5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式
《高等代数(上)》课程标准
《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。
本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。
（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。
2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。
提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。
培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。
使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。
（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。
熟练掌握行列式、矩阵的运算。
熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。
（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。
培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。
培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。
培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。
矩阵可逆行列式
矩阵可逆行列式什么是矩阵可逆行列式？矩阵可逆行列式是矩阵理论中一个重要的概念。
在矩阵中，如果存在一个逆矩阵，使得原矩阵与逆矩阵的乘积等于单位矩阵，则称该矩阵为可逆矩阵。
而矩阵可逆的一个重要条件就是其行列式不为零。
可逆矩阵与行列式之间的关系在矩阵理论中，行列式是判断矩阵可逆性的重要工具之一。
一个 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是其行列式不为零。
换句话说，如果一个矩阵的行列式为零，那么它就不是可逆矩阵。
可逆矩阵的性质及判断方法可逆矩阵的性质•可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，记作 A-1。
•若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵。
•若 A 是可逆矩阵，则 A-1 也是可逆矩阵。
•若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB-1 也是可逆矩阵。
判断矩阵可逆的方法•行变换法：将矩阵进行初等行变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。
•列变换法：将矩阵进行初等列变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。
•初等行列式法：计算矩阵的行列式，若不为零，则原矩阵可逆。
可逆矩阵的求解方法逆矩阵的求解方法求解逆矩阵的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：1.初等行变换法假设有一个 n 阶方阵 A，将 A 扩展为一个 n 阶的增广矩阵 [A|I]，其中 I 表示单位矩阵。
通过对矩阵进行初等行变换，使其左边部分变为单位矩阵，则右边部分就是所求的逆矩阵。
2.伴随矩阵法对于一个 n 阶方阵 A，可以通过求解伴随矩阵的转置除以 A 的行列式，得到所求的逆矩阵。
具体计算公式如下：A^-1 = (adj(A)) / det(A)其中 adj(A) 表示矩阵 A 的伴随矩阵，det(A) 表示矩阵 A 的行列式。
可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•方程组求解：通过求解可逆矩阵的逆矩阵，可以求解线性方程组的解。
•线性变换：可逆矩阵可以表示线性变换，通过对矩阵进行相乘，可以对向量进行变换操作。
•数据压缩：在数据压缩中，可逆矩阵可以用来将高维数据压缩为低维数据，并且可以将低维数据还原为高维数据。
矩阵的行列式和逆矩阵的计算
矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵在数学中是一个重要的概念，广泛应用于统计学、物理学、工程学等领域。
对于矩阵的行列式和逆矩阵的计算，是矩阵理论与实践中的核心问题。
在本篇文章中，我们将对这两个问题进行详细的讨论。
1.行列式的定义在介绍矩阵的行列式之前，我们需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，用记号A=(aij)表示。
其中，i表示行号，j表示列号，aij为矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行和列分别称为行向量和列向量。
例如，下面是一个3行2列的矩阵：A = [1 2;3 4;5 6]行列式是一个与矩阵有关的数，在矩阵中扮演着重要的角色。
设A为一个n阶矩阵，由n行n列的元素组成，其行列式记作|A|，定义如下：当n=1时，|A|=a11;当n>1时，|A|=∑(-1)i+jaij|Mij|，其中Mij为划去第i行第j列后得到的n-1阶矩阵的行列式。
值得注意的是，行列式只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列顺序无关。
此外，矩阵的行列式有以下重要性质：（1）|A|=|AT|，即矩阵和其转置矩阵的行列式相等；（2）若矩阵A中某一行或某一列的元素全为0，则|A|=0；（3）若矩阵A的两行或两列成比例，则|A|=0。
2.行列式的计算方法在实际应用中，我们需要通过一定的方法来计算矩阵的行列式。
下面介绍两种常用的行列式计算方法。
（1）按行（列）展开法按行展开法是一种实际应用最广泛的行列式计算方法。
具体步骤如下：①选取矩阵的一行（列），将其展开成n个代数余子式的和，即：a11A11+a12A12+...+a1nAn1。
其中，aij为第一行（列）的元素，Ai1, Ai2, ..., Ain为它们对应的代数余子式。
②对于每个Ai1, Ai2, ..., Ain，依次递归使用按行展开法，将其展开成n-1个代数余子式的和。
③不断递归使用上述步骤，最终得到一个由每个代数余子式的积和求和得到的表达式，即为所求行列式。
高等代数课程标准
《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。
通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。
同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。
在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。
二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。
2、理解该学科的主要概念、基本原理。
如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。
3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。
4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。
三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。
一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。
教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。
五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质 行列式的定义与性质 矩阵秩的定义与性质 矩阵乘积的行列式与秩的关系 矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
5.2可逆矩阵(一)
0
...
0
a21
0 ...
... ...
0 ...
b11 ... b1n ... bn1 ... bnn
...
b11 ... b1n a c11 12 ... ... ... ... cn1 b ... b
n1 nn
b11 ... b1n bn1 ... bnn
b11 ... b1n a11a22 ... bn1 ... bnn
b11 ... b1n ... ... bn1 ... bnn
... a12 a21 ...
a11 a21
a12 a22
b11 ... b1n ... ... ... bn1 ... bnn
17
数学与计算机科学学院高等代数课件
一般地，利用数学归纳法可以证明：
(1)引理1
a11 ... c11 ... cn1 ... ... ... ... ... a1m ... c1m ... cnm 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 ... 0 ...
an 2 ... ann 1 ...
... b1n ... ...
AB
b21 b22 ... b2 n
1 bn1 bn 2 ... bnn
25
数学与计算机科学学院高等代数课件
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a21 ... D an1 1 0 ... 0 a12 a22 ... 0 ... 0 ... a1n ... a2 n ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 a11b11 a11b12 ... a11b1n 0 ... 0 b11 b21 ... bn1 0 ... 0 b12 b22 ... bn 2 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 b1n b2 n ... bnn
矩阵乘积的行列式与秩
即乘积的秩不超过各因子的秩.
证明 为了证明 (2)，只需要证明
秩( AB ) 秩( A ) 与 秩( AB ) 秩( B ) 同时成立即可. 现在来分别证明这两个不等式.
设
a11 a12 a1m
b11 b12 b1s
Aaa2n11
a22
an2
aa2nmm,Bbbm 211
b22
bm2
bbm 2ss.
令 B1 , B2 , … , Bm 表示 B 的行向量，C1 , C2 , … , Cn 表示 AB 的行向量. 由计算可知，Ci 的第 j 个分量 和 ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm 的第 j 个分量都等于
m
a ik bkj , 因而
推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n n
矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | .
定义 9 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退 化的，如果 | A | 0；否则称为退化的.
显然，一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件 是它的秩等于 n .
推论 2 设 A，B 是数域 P 上的 n n 矩阵,
矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A，B 中至少有 一个是退化的.
二、矩阵乘积的秩
关于矩阵乘积的秩，我们有：
定理 2 设 A 是数域 P阵，于是 秩( AB ) min[ 秩( A ) , 秩( B ) ] . (2)
k 1
Ci = ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm (i = 1,2, … , n),
即矩阵 AB 的行向量组 C1 , C2 ,…, Cn 可经 B 的行向 量组线性表出. 所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即
5.6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
09:04
3
例题 6.1
利用伴随矩阵计算以下矩阵的逆矩阵：
可以求得 .
09:04
5
例题
解: 注意到
09:04
这时有
6
定理6.1的证明
用两种方法计算D的行列式.
1) 直接利用拉普拉斯定理
09:04
7
定理6.1的证明(续)
2) 先利用第一类初等行变换把D的左上主子矩阵化为零, 再利用拉普拉斯定理.
proof
09:04
proof
2
注记
定理6.2不但给出了方阵可逆的充分必要条件，同时还给 出了一种求逆矩阵的方法． 但是，用伴随矩阵求逆的计算量太大，不实用． 我们将介绍一种通过矩阵的初等行变换求逆的实用方 法． 利用线性变换与矩阵的一一对应关系容易证明：线性变 换可逆的充分必要条件是它的矩阵是可逆的．
§6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
矩阵乘积的行列式
两个矩阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积
矩阵的逆
方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零； 矩阵的逆的计算公式（伴随矩阵）
• 行列式按一行（一列）展开公式的应用
09:04
1
矩阵乘积的行列式，逆
设 A,B 为 n 阶矩阵, 则它们的乘积 AB 还是一个 n 阶矩阵.
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8
定理6.1的证明(续２)
09:04
9
定理6.1的证明(续３)
AB的(i,j)元
09:04
…
back
10
定理 6.2 的证明
只需证明充分性．由行列式按一行展开的公式知
定义A的伴随矩阵：
则有 即
同理, 由行列式按一列展开的公式可以得到
back
09:04
11
矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式：
1、什么是矩阵乘积的行列式：
矩阵乘积的行列式（Matrix Product Determinant）是指两个矩阵相乘的
结果的行列式。
它是将两个矩阵相乘后形成的新矩阵的行列式，有时
也被称为张量积或维数比乘积。
2、怎么计算矩阵乘积的行列式：
计算两个矩阵乘积的行列式时，需要考虑两个矩阵相乘后形成的新矩
阵是规范化矩阵，该矩阵中除了对角元素以外的元素均为0。
当两个矩阵中任意一个为单位矩阵时，行列式的计算方法变得简单。
a×b的行列式等于a的行列式×b的行列式
当两个矩阵都不是单位矩阵时，可以考虑将其分解成块，将大的矩阵
分解成多个小的矩阵，然后计算乘积中所有子矩阵的行列式乘积之和。
3、矩阵乘积的行列式的应用：
矩阵乘积的行列式有一些很重要的应用，它可以用来求解一维特征值
问题。
它也用于求解一些复杂问题，如求解基因组学中的基因定位和
排序。
如果可以用矩阵表示复杂的计算，可以将复杂的计算转化为求
矩阵乘积的行列式。
矩阵乘积的行列式也可以用来求解数学建模问题，如求解线性同余方程组等。
高等代数习题--
高等代数习题第一章基本概念§1.1 集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？2、设a是集A的一个元素。
记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？3、设写出和 .4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．(i)(ii)(iii)(iv)7．证明下列等式：(i)(ii)(iii)§1.2映射1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下：f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设a ,b是任意两个实数且a<b.试找出一个[0,1]到[a ,b]的双射.7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与g f一般不相等。
8、设A是全体正实数所成的集合。
令(i)g是不是A到A的双射？(ii)g是不是f的逆映射？(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？9、设是映射，又令，证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii)如果是满射，那么也是满射；(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则1234 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里，是个元素中取个的组合数.4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§1.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:; ;; .2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 .3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而 ,则 .4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则或 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而 .证明 ;利用证明,素数有无限多个．§1.5数环和数域1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．2．证明,是数域．3．证明,是一个数环,是不是数域?4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5．设是一整数,令由例1,是一个数环.设 ,记．证明: 是一个数环．．,这里是与的最大公因数．．第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6) ，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证明：§2.2 多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：( i )(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§2.3 多项式的最大公因式1.计算以下各组多项式的最大公因式：( i )(ii)2.设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3.令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。
矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式
矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式矩阵行列式是矩阵的一个标量值，它表示矩阵的线性变换的倍数，也可以理解为矩阵所表示的几何体积。
而矩阵的乘积是指两个矩阵的乘法运算，它表示的是两个矩阵的线性变换的复合。
在矩阵乘积的运算中，矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式。
这个定理可以用下面的公式来表示：
det(AB)=det(A)*det(B)
其中，AB表示两个矩阵的乘积，A和B分别表示矩阵，并且它们都必须为方阵，即行数和列数相等。
这个定理的证明比较复杂，需要使用线性代数的知识和相关理论。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解这个定理。
假设我们有两个矩阵：
A=[a1,a2]
[a3,a4]
B=[b1,b2]
[b3,b4]
它们的乘积为：
AB=[a1*b1+a2*b3,a1*b2+a2*b4]
[a3*b1+a4*b3,a3*b2+a4*b4]
由于A和B都是方阵，因此它们的行列式可以表示为：
det(A)=a1*a4-a2*a3
det(B)=b1*b4-b2*b3
那么，通过直接计算可以得到矩阵乘积AB的行列式：
det(AB)=(a1*b1+a2*b3)*(a3*b2+a4*b4)-
(a1*b2+a2*b4)*(a3*b1+a4*b3)
将det(A)和det(B)代入上式，经过简单的展开和整理可以得到：det(AB)=det(A)*det(B)
这就证明了在矩阵乘积的运算中，矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式。
乘积矩阵行列式与行列式的乘积
乘积矩阵行列式与行列式的乘积乘积矩阵行列式与行列式的乘积矩阵是线性代数中的重要概念，而其中的行列式更是矩阵理论的核心内容之一。
行列式具有很多重要的性质和应用，而乘积矩阵行列式与行列式的乘积更是在矩阵计算中有着重要的指导意义。
首先，我们来看乘积矩阵行列式的定义。
假设有两个矩阵A和B，它们的乘积AB可以表示为一个新的矩阵C。
而C的行列式记作det(C)，它是由AB的元素按照一定规则组成的一个数值。
简单来说，乘积矩阵行列式就是将两个矩阵进行乘法运算后，再计算得到的新矩阵的行列式。
那么，乘积矩阵行列式和行列式的乘积有什么关联呢？事实上，它们之间存在着一个非常重要的公式。
根据性质，我们知道行列式有加法与乘法的运算规则。
在这里，两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式分别进行乘法后再相乘，即det(AB) = det(A) *det(B)。
这个公式在矩阵计算中非常有用，可以简化计算过程，提高效率。
乘积矩阵行列式与行列式的乘积在很多实际问题中都有着广泛的应用。
首先，它可以用来求解线性方程组。
对于一个线性方程组，我们可以将其写成矩阵的形式Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知量矩阵，b是常数矩阵。
如果A的行列式不等于0，那么方程组存在唯一解，并且可以通过乘积矩阵行列式与行列式的乘积来求解解析解。
这种方法在工程、物理等领域中具有重要的应用价值。
其次，乘积矩阵行列式与行列式的乘积还可以用来判断矩阵的可逆性。
如果一个矩阵A的行列式不等于0，那么它是可逆矩阵，也就是说它存在逆矩阵。
这对于线性代数的理论和应用都有着重要的意义。
利用乘积矩阵行列式与行列式的乘积，我们可以快速计算一个矩阵的行列式，从而判断它的可逆性。
最后，乘积矩阵行列式与行列式的乘积还可以用来研究矩阵的特征值与特征向量。
在矩阵的特征值与特征向量的计算中，行列式起到了关键的作用。
通过乘积矩阵行列式与行列式的乘积，我们可以得到矩阵的特征值，并结合其他方法，可以求解出矩阵的特征向量。
5.6矩阵乘积的行列式及矩阵的逆
例4 解
1 求方阵 A 2 3
1 2 2 4 3 3 A 2 3 1
2 2 4
3 1 的逆矩阵. 3
2
A1存在.
又
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 故 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
a a 解： A 11 12 , A* a22 a12 , a a a22 21 21 a11
A
1
1 1 * A a11a22 a12a21 | A|
a22 a 21
a12 . a11
例2: 单位矩阵E:
解 A =2, 11
A12 = 3 , A22 = 6 ,
A13 = 2 , A23 = 2 , A33 = 2 ,
所以:
6 4 2 A* 3 6 5 . 2 2 2
A21 = 6 ,
A31 = 4 , A32 = 5 ,
(2).用伴随矩阵求逆矩阵:
1 0 (A C) 2 0 1
1
例1：设 B
2
1 证明: A 可逆且 A 3E A . 1 3 2 1 2 证 A 3E A A A 2 2 2 3 1 2 E B E B 2 2
1
a 0, b 1, c 1, d 2.
a b B c d
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式
0 1 0 0
0 0 k 0
0 0 0 1
1 0 T24 ( k ) 0 0
都是四阶初等矩阵.
相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵
1 pij
1 0 1 1 1 0 1 1
(*)
对（*）作第三种列变换即可化为 A . Note：1）定理的结论可叙述为：存在一些初等矩阵使
Et
E1 AQ1
Ir O Qs O O
2) 也可叙述为：存在阶m可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
Ir O PAQ O O
3）由此可得判断矩阵可逆的思想： 对A作初等变换化为
13( 1) 23(3)
1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 2 2 0 1 0 0 4 5 1 3 0 1 1 1 0 1
a13 a31 a31 a33 [1,3] a22 a23 a21 a22 a23 P 13 A a a32 a33 a a 13 11 12 行乘以数k 相当于用 Di (k )左乘A . a12
3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 Tij (k )左乘A .
5.2.5
① 行初等变换法
逆矩阵的求法
行 A可逆，由 A I，即存在初等矩阵 E1 , , E s，使 11 2 2 11 2 2 1 E E E A I sI 4 2 1 (A | I) 0 1 , 即A 4 0 1 1 6 1 1 从而 E E E I A 6 1 1 s 2 1
可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且.一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-AAA =--11)(111)(---=ABAB 11121---A A A m A ')()(11'='--AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij p j i ikk D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(ji k k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T kD k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A I A E E E s =12 112-=AI E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，1535159051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----95929110513132010919492001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++ji j i A A a A a A a njni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A AA A AA01000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11AAA=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴-134112112211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n n n b b b x x x a a aa a a a a a2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nnn nnn n nb b b A A A A A A A A A A xx x21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i nni i i i A b A b A b A b b b A A A Ax +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A dnd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d21222222*********1BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A A A B A B A B A。
可逆矩阵的行列式
可逆矩阵的行列式
可逆矩阵行列式是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In任满足一个），其中In为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A（-1）。
矩阵是高等代数学中的。
常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵行列式与可逆矩阵
矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
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3) A，B可逆，则AB也可逆，且 ( AB) 1 B 1 A 1 .(可推广)
1 1 1 1 证 注意到 AB( B A ) ( B A ) AB I ,即得.
4) A可逆，则 A可逆,
且( A) 1 ( A1 )
AA1 A1 A I .
证 由 ( A1 ) A A( A1 ) I ,有
5.2.1
可逆矩阵的定义
定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵. 例：
2 1
5 3 5 3 5 2 3 1 2 1 2 1 A B
5.2.3
定义2 对n = 4
0 0 P 14 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0
初等矩阵的定义、性质
由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.
1 0 0 0
0 0 1 0 0 k 0 1
1 0 D3 (k ) 0 0
5 1 3 0
0 1
A与B互为逆矩阵. 把矩阵A的逆矩阵记为 A1.
Note：1）由于只有方阵才满足AB=BA=I ，所以可逆矩阵 一定是方阵，且它的逆矩阵也是方阵;
2）并不是所有的方阵都可逆,比如零矩阵和有一列或一行 全是零的矩阵等 ; 3）由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以条件要求两个等 式 AB=I, BA=I ; 4）可逆矩阵与逆矩阵是两个不同的概念，由等式AB=BA=I 联系着；可逆矩阵一定有逆矩阵，逆矩阵是对于一个可逆矩 阵而言的 ; 5）由定义判断一个方阵A是否可逆，在于说明是否存在一个 方阵B,使得AB=BA=I ,一般用待定法转化为方程组判断求解 的问题，比较麻烦（例略），并且并非每一个方阵都可逆.
Ir A O mr ,r
Or ,n r Omr ,n r
证 由定理4.1.2，A可通过行及第一种列变换化为
0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 C1,r 1 C2,r 1 Cr ,r 1 C1n C2 n Crn 0 0
(*)
对（*）作第三种列变换即可化为 A . Note：1）定理的结论可叙述为：存在一些初等矩阵使
Et
第i行 第j行 1
换法矩阵
1 Di (k )
1 Tij (k )
1 k 1
第i行(k 0) 1
a13 a31 a31 a33 [1,3] a22 a23 a21 a22 a23 P 13 A a a32 a33 a a 13 11 12 行乘以数k 相当于用 Di (k )左乘A . a12
3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 Tij (k )左乘A .
第i行 第j行 1
倍法矩阵
1
k 1
消法矩阵
命题1 对A作行初等变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作列初等变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A.如
1、交换A的i ，j 行相当于用 Pij 左乘A .
a11 如 a21 a 31 2、把A的第i
行 A A EA A, E为相应的初等矩阵 即 .
命题第二结论同理可得. Note：1）注意一次和相应的含义; 2）作用在于把矩阵经初等变换而得到的新矩阵可用 矩阵等式表示出来，为表述和论证有关问题带来方便.
命题2 初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为同类型的初等 矩阵. 1 1 1 Pij Pij Di (k ) Di ( ) Tij (k ) 1 Tij (k ) k 引理5.2.1 对矩阵A施行一个初等变换后得矩阵A .则
A可逆 A 可逆
进一步有,初等变换不改变矩阵的可逆性. Note：引理提供了一种思想：对要判断矩阵可逆性，可考虑 用初等变换化为最简单的形式，从最简单形式的矩阵的可逆 性判断原矩阵的可逆性。问题是，矩阵在初等变换下的最简 形式如何？为此有： 定理5.2.2 任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为(其中 r(A)=r).
0 1 0 0
0 0 k 0
0 0 0 1
1 0 T24 ( k ) 0 0
都是四阶初等矩阵.
相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵
1 pij
1 0 1 1 1 0 1 1
5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布 5．2．1 可逆矩阵的定义 5．2．2 可逆矩阵的性质 5．2．3 初等矩阵的定义、性质 5．2．4 矩阵可逆的判别 5．2．5 逆矩阵的求法 5．2．6 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
5.2.2
可逆矩阵的性质
1) A可逆，则A的逆矩阵唯一.
证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C
1 1 ( A ) A 2) A可逆，则 A 可逆，且
1
证
注意到 A( A 1 ) A 1 A I ,即得.