3.2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
3.矩阵乘积的行列式与秩4
An1 An 2 Ann
0 0 d
dE.
(2)
(3)
如果 d A 0,那么由(2)得: 1 * 1 * A( A ) ( A ) A E. d d
定理3 矩阵A可逆的充分必要条件是 A非退化,而 A1 1 A* 1 A*
即矩阵AB的行向量 C1 , C2 ,, Cn 可经B 的行向量线性表出. 所以AB的秩不能超 过B的秩,也就是说,
秩( AB) 秩( B).
同样,令 A1 , A2 ,, Am 表示A的列向量, D1 , D2 ,, Ds 表示AB的列向量,由计算可 知 Di b1i A1 b2i A2 bmi Am (i 1,2,, s).
定义7 n级方阵A称为可逆,如果有n级方 阵B,使得
AB BA E.
(1)
这里E是n级单位矩阵. (3) 积是单位矩 注意: (1)方阵, (2)可交换, 阵.
定义8 如果矩阵B适合AB=BA=E,那么B
就称为A的逆矩阵.记为 A
1
B.
若A是一个n级逆矩阵,则它的逆矩阵 是唯一的. 假设 B1 , B2是A的逆矩阵, B1 B1E B1 ( AB2 ) ( B1 A) B2 EB2 B2 . 于是若A是可逆矩阵, 则有矩阵
d A (d A 0).
证明: 当d A 0, 由(3)可知,A可逆,且
A
1
1 * A . d
(4)
1
反过来,如果A可逆, 那么有 A 使 1 AA E,
1 A A E 1, 两边取行列式,得
(5)
因而 A 0, 即A非退化.
由(5)可以看出,如果 A d 0, 那么
3_2特殊矩阵,方阵的行列式
特殊矩阵 方阵乘积的行列式
一.特殊矩阵及其运算性质 1. 单位矩阵
形如
1 0 L 0 0 1 L 0 M M 0 0 L 1
称为n阶单位 的n阶方阵称为 阶单位 阶方阵称为 矩阵.记为 简记为E. 记为En,简记为 矩阵 记为 简记为
该方阵的特点是主对角线上的元素都是1, 该方阵的特点是主对角线上的元素都是 主对角线上的元素都是 S 其他元素都是0. 其他元素都是 其第i行第 列的元素为 其第 行第j列的元素为 δ ij 行第
所以 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵
1 i = j S = 0 i ≠ j
易证
( 1) EA = AE = A, ( A为任意n阶方阵 )
( 2 ) Em Am×n = Am×n En = Am×n
3 ) E n = E , 其中n为正整数 (
单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数1在 单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数 在 数的乘法运算中的作用类似。 数的乘法运算中的作用类似。
上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为0. 上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为0. 下 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为
可以验证： 可以验证： 为同阶同结构的三角矩阵, 若A，B为同阶同结构的三角矩阵,则 kA A + B AB 仍为同阶同结构的 三角矩阵.
a11 a12 0 a 4. 三角矩阵 22 上三角矩阵 L L 0 0 三角矩阵 a11 0 下三角矩阵 a a22 21 L L a n1 a n 2
L a1n L a2 n L L L ann 0 0 L L L ann L L
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
R ( AB ) ≤ R ( B )
R 类似可得， 类似可得， ( AB) ≤. R( A) 故 R(C ) ≤ min{R( A), R( B)}
推论 则
A = A1 A2 L As， R ( A) ≤ min{R ( A1 ), R ( A2 ),L , R ( As )}
⇔ A ≠ 0 ⇔ R( A) = n .
条件是 至少有一个是退化的. 条件是A,B至少有一个是退化的 至少有一个是退化的
二、矩阵乘积的秩
定理2 定理 阵，则 是数域P上 矩阵， 是数域 是数域P上 设A是数域 上 n×m 矩阵，B是数域 上m × s 矩 是数域
R( AB) ≤ min{R( A), R( B)}
于是
γ 1 a11 a12 γ 2 = a21 a22 AB = M M M γ a s n1 an 2
m ∑ a1k β k = L a1m β1 km1 L a2 m β 2 ∑ a2 k β k = k =1 M M M β L anm m m a β ∑ nk k k =1
即乘积的秩不超过因子的秩. 即乘积的秩不超过因子的秩 证明 设 A = ( aij ) nm , B = (bij )， AB = (cij．将B，AB按 ， 按 )ns ms 行分块， 行分块，记
β1 γ1 β2 AB = γ 2 B= M M β γ m s
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
一、矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质 行列式的定义与性质 矩阵秩的定义与性质 矩阵乘积的行列式与秩的关系 矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。
§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩讨论主题 1.矩阵乘积的行列概要
Ex.2：秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)
证明:设秩(A)=r, 秩(B)=s,
1 , 2 ,, r 是矩阵A列向量组的一个极大
线性无关组 1 , 2 ,, s 是矩阵B列向量 组的一个极大线性无关 组, 则矩阵 A B 的每一列向量都可由这 r s个向量线性表示 , 从而 秩(A B) r s 秩(A) 秩(B)
（P81-Ex.3）
0 AB (1 2n ) ( n 1 n 2 2 n ) AB 0 D (1) | AB | E B B E
Coro.: |A1A2…An|=|A1||A2|…|An|
Def. ：数域 P 上的方阵 A 称为非退化的， 如果|A|≠0，
否则称为退化的。
§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩
讨论主题: 1.矩阵乘积的行列式值与
因子矩阵行列式的关系;
| AB | ?
2.乘积矩阵的秩与其因子 矩阵秩的关系.
R( AB) ?
Th.1：数域P上两个方阵乘积的行列
等于它的因子行列式的乘积。 |AB|=|A||B|
A 0 D= | A || B | E B
Coro.：二个方阵A、B的乘积为退化的充 分必要条件是 A ， B 中至少有一个
是退化的。
Th2：设A是数域P上的n×m 矩阵, B是P上的m×s矩阵,于是
秩（AB）≤min[秩(A),秩(B)].
(即矩阵乘积的秩不超过各因子的 秩)
证明：设
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1m a2 m anm
思考题
当A,B为n阶方阵时,矩阵AB维非奇异矩 阵的充分必要条件是什么? 把你的结论推广成n个方阵乘积形式.
线性代数12方阵的行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素旳乘积冠以正号，蓝线上三 元素旳乘积冠以负号．
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21 a2i k a2 j a2n
an1 ani anj ann
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
性质7. 行列式按行（列）展开法则
Solution.
255
2 0 4 2 0 204
5 2 7 5 2 527
2 5 5 2 5 255
2 0 204
由已知条件可得 5 2 527能被17整除
2 5 255 结论成立.
3 1 1 2
ex4.计算D 5 1 3 4 2 0 1 1
1 5 3 3
Solution.
1 c1 c2 1 D
Solution.
a2 2a 1 2a 3 2a 5 a2 2a 1 2 4
D
b2 c2
2b 1 2c 1
2b 3 2c 3
2b 5 2c 5
b2 c2
2b 1 2c 1
24 24
d 2 2d 1 2d 3 2d 5 d 2 2d 1 2 4
0
其二、当行列式各行(列)元素之和相同步，应先把各 列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.
(3) 定义4中行列式按第一行展开，一样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开. 由此可计算某些行列式.
矩阵和行列式的乘积
有关“矩阵”和“行列式”的乘积
有关“矩阵”和“行列式”的乘积如下：
首先，我们需要明确什么是矩阵，什么是行列式，以及它们之间的关系。
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。
行列式是一个标量值，表示一个矩阵的特性。
假设我们有一个矩阵A 和一个行列式|B|。
行列式和矩阵的乘积通常表示为|B| × A。
但需要注意的是，行列式和矩阵的乘积并不直接等于将行列式的值乘以矩阵中的每个元素。
实际上，行列式和矩阵的乘积涉及到矩阵的线性变换和行列式的计算。
在数学上，行列式和矩阵的乘积通常表示为：|B| × A = |B| × (a11, a12, ..., a1n)；an1, an2, ..., ann。
其中，aij 是矩阵A 的元素。
但是，具体的计算方法取决于行列式和矩阵的具体形式。
因此，为了得到具体的答案，我们需要知道行列式和矩阵的具体形式。
矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式：
1、什么是矩阵乘积的行列式：
矩阵乘积的行列式（Matrix Product Determinant）是指两个矩阵相乘的
结果的行列式。
它是将两个矩阵相乘后形成的新矩阵的行列式，有时
也被称为张量积或维数比乘积。
2、怎么计算矩阵乘积的行列式：
计算两个矩阵乘积的行列式时，需要考虑两个矩阵相乘后形成的新矩
阵是规范化矩阵，该矩阵中除了对角元素以外的元素均为0。
当两个矩阵中任意一个为单位矩阵时，行列式的计算方法变得简单。
a×b的行列式等于a的行列式×b的行列式
当两个矩阵都不是单位矩阵时，可以考虑将其分解成块，将大的矩阵
分解成多个小的矩阵，然后计算乘积中所有子矩阵的行列式乘积之和。
3、矩阵乘积的行列式的应用：
矩阵乘积的行列式有一些很重要的应用，它可以用来求解一维特征值
问题。
它也用于求解一些复杂问题，如求解基因组学中的基因定位和
排序。
如果可以用矩阵表示复杂的计算，可以将复杂的计算转化为求
矩阵乘积的行列式。
矩阵乘积的行列式也可以用来求解数学建模问题，如求解线性同余方程组等。
3.2特殊矩阵方阵乘积的行列式
§3.2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式本节介绍几种特殊且常用的矩阵及这些特殊矩阵的运算性质及方阵乘积的行列式． 一、对角矩阵定义1 如果n 阶方阵A =(a ij )中的元素满足a ij =0，i ≠j (i ，j =1，2，… n )，则称A 为对角矩阵．即：A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a 0000002211，可简记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a 2211 对角矩阵的运算有下列性质：(1)同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵． (2)对角矩阵A 的转置A T 仍是对角矩阵，且A T =A ．(3)任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的．即若A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21， 则 AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n b a b a b a2211，并且有AB =BA ． (4)对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零．且A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21可逆时， 有A –1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211n a a a 性质(1)(2)(3)可直接验证，下面只证性质(4)因矩阵A 可逆 ⇔ |A |≠0．对于对角矩阵而言， |A |≠0⇔ a 1a 2 … a n ≠0⇔ a 1≠0，a 2≠0，…， a n ≠0，即主对角元都不为零．当主对角元都不为零时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121211a a a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 于是 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121211a a a 特别地，当a 1=a 2= … =a n =k 时，对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k kk称为n 阶数量矩阵，记作kE数量矩阵具有性质：用数量矩阵左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B ，其乘积等于用数k 乘矩阵B ．即若aE 是一个n 阶数量矩阵，B 是一n ×s 矩阵，则(kE )B =B (kE )=kB ．二、三角形矩阵定义3 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211的n 阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000的n 阶方阵，即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵．上(下)三角形矩阵具有下述性质：(1)若A 、B 是两个同阶的上(下)三角形矩阵，则A +B 、kA 、AB 仍为上(下)三角形矩阵；如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n b b b b b b 00022211211 则，AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n b b b b b b00022211211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nn b a b a b a 0*22221111其中*表示主对角线上方的元素；0表示主对角线下方的元素全为零．上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元都不为零．当上(下)三 角形矩阵可逆时，其逆矩阵仍为上(下)三角形矩阵．如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a O a a a a a 22211211，则 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1122111*nn a O a a ．三、对称矩阵与反对称矩阵定义4 如果n 阶矩阵A 满足A T =A ，则称A 为对称矩阵．由定义知，对称矩阵A =(a ij )中的元素a ij =a ji (i ，j =1，2，… n )，因此，对称矩阵的形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211，如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--501032121、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0221均为对称矩阵． 对称矩阵有以下性质：(1)如果A 、B 是同阶对称矩阵，则A +B ，kA 也是对称矩阵．证：因为A T =A ，B T =B ，所以(A +B )T =A T +B T =A +B ，即A +B 是对称矩阵． (2)可逆对称矩阵A 的逆矩阵A–1仍是对称矩阵．证：因为A T =A ，所以(A –1)T =(A T )–1=A –1，因此A–1为对称矩阵．但要注意：两个对称矩阵乘积不一定是对称矩阵．例如A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110均为对称矩阵，但AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1011，不是对称矩阵． 定义5 如果n 阶方阵A 满足A T =–A ，则称A 为反对称矩阵．由定义知，反对称矩阵A =(a ij )中的元素满足a ij =–a ji (i ，j =1，2，… n )．因此，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零．即反对称的形式为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00021212112 nnn n a a a a a a ．例如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---021203130、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0220均为反对称矩阵．根据反对称矩阵的定义，容易证明以下性质：(1)若A 、B 是同阶反对称矩阵，则A +B ，kA ，A T 仍是反对称矩阵． (2)可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵．(3)奇数阶反对称矩阵不可逆．因为奇数阶的反对称矩阵的行列式等于0． 注意：两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵． 例２ 对任意m ×n 矩阵，证明AA T 和A T A 都是对称矩阵． 证：因为AA T 是m ×m 方阵，且(AA T )T =(A T )T A T =AA T 所以由定义知 AA T是对称矩阵．同理，A T A 是n 阶方阵，且(A T A )T =A T (A T )T =A T A 所以 A TA 也是对称矩阵．例３ 已知A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB +BA 是反对称矩阵． 证：AB +BA 显然是n 阶方阵，且由对称矩阵和反对称矩阵的定义，有A T =A ， B T =–B ，于是（AB +BA )T =(AB )T +(BA )T = B T A T +A T B T =(–B )A +A (–B )= –(AB +BA ) 由反对称矩阵的定义知，AB +BA 是反对称矩阵．思考题：1．试证：对任意一个方阵A ，都有A +A T 是对称矩阵，A –A T 是反对称矩阵． 2．设A 、B 是两个反对称矩阵，试证：(1) A 2是对称矩阵；(2)AB –BA 是反对称矩阵．四、矩阵的转置定义 5 设 m ×n 矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211将A 的行变成列所得的n ×m 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn nn m m a a a a a a a a a 212221212111 称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T ．例如 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21530421，则 A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--20145231 矩阵的转置满足以下规律：(1) (A T )T =A (2) (A +B )T =A T +B T(3) (kA )T =kA T (k 为常数) (4) (AB )T =B T A T 我们只证明(4) 设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ms m m s s a a a a a a a a a 212222111211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛sn s s n n b b bb b b b b b 212222111211 首先容易看出， (AB )T 和B T A T 都是n ×m 矩阵．其次，位于(AB )T 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB 的第 j 行第 i 列的元素，且等于a j 1b 1i + a j 2b 2i +…+a js b si = ∑=sk ki jk b a 1而位于B T A T 的第i 行第j 列的元素位于B T 的第i 行与A T 的第j 列对应元素的乘积之和，因而等于 B 的第i 列的元素与 A 的第 j 行对应元素的乘积之和：b 1i a j 1+ b 2i a j 2+…+ b si a js = ∑=sk jk ki a b 1上面两个式子显然相等，所以(AB )T =B T A T例11 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110211， B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-123101， 求(AB )T 和A T B T解：因为 A T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101， B T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130211所以 (AB )T =B T A T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4132 A T B T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---552121211 注意：一般情况下 (AB )T ≠A T B T显然，(2)和(4)可以推广到n 个矩阵的情形．即：(A 1+A 2+…+A n )T =A T 1+ A T 2+…+ A T n(A 1A 2…A n –1A n )T = A T n A T n –1… A T 2 A T 1五、方阵乘积的行列式定义6 由n 阶方阵A =(a ij ) 的元素按原来位置所构成的行列式，称为n 阶方阵A 的行列式，记为|A |．设 A ，B 是n 阶方阵，k 是常数，则n 阶方阵的行列式具有如下性质： (1) |A T |=|A |； (2) |kA| =k n |A |； (3) |AB |=|A |.|B |．性质(1)，(2)可由行列式的性质直接得到，性质(3)的证明较冗长，此处略去． 把性质(3)推广到m 个n 阶方阵相乘的情形，有|A 1A 2…A m |=|A 1||A 2||…||A m | 例12 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2101，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113 验证 |A ||B |=|AB |=|BA |．证：显然有|A ||B |= –2，因为 AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0113＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1113|AB |=1113--= –2而BA =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122，|BA |=0122= –2 因此|A ||B |=|AB |=|BA |．定义7 设 A 是n 阶方阵，当|A |≠0时，称A 为非奇异的(或非退化的)；当|A |=0时，称A 为奇异的(或退化的)由性质(3)可以得到定理：设A ， B 为n 阶方阵，则 AB 为非奇异的充分必要条件是A 与B 都是非奇异的． 例13 已知A 为 n 阶方阵，且 AA T 是非奇异的，证明A 是非奇异的． 证：因为AA T 非奇异的，所以|AA T |≠0，即|AA T |=|A | |A T |=|A |2≠0从而|A |≠0，即A 是非奇异的．思考题：1．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100120301，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103120001求：(1) (A +B )(A -B )(2) A 2-B 2比较(1)与(2)的结果，可得出什么结论？2．证明题(1) 若矩阵A 1，A 2都可与B 交换，则kA 1+lA 2，A 1A 2也都与B 可交换； (2) 若矩阵A 与B 可交换，则A 的任一多项式f (A )也与B 可交换； (3) 若A 2=B 2=E ，则(AB )2=E 的充分必要条件是A 与B 可交换．。
矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式
矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式矩阵行列式是矩阵的一个标量值，它表示矩阵的线性变换的倍数，也可以理解为矩阵所表示的几何体积。
而矩阵的乘积是指两个矩阵的乘法运算，它表示的是两个矩阵的线性变换的复合。
在矩阵乘积的运算中，矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式。
这个定理可以用下面的公式来表示：
det(AB)=det(A)*det(B)
其中，AB表示两个矩阵的乘积，A和B分别表示矩阵，并且它们都必须为方阵，即行数和列数相等。
这个定理的证明比较复杂，需要使用线性代数的知识和相关理论。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解这个定理。
假设我们有两个矩阵：
A=[a1,a2]
[a3,a4]
B=[b1,b2]
[b3,b4]
它们的乘积为：
AB=[a1*b1+a2*b3,a1*b2+a2*b4]
[a3*b1+a4*b3,a3*b2+a4*b4]
由于A和B都是方阵，因此它们的行列式可以表示为：
det(A)=a1*a4-a2*a3
det(B)=b1*b4-b2*b3
那么，通过直接计算可以得到矩阵乘积AB的行列式：
det(AB)=(a1*b1+a2*b3)*(a3*b2+a4*b4)-
(a1*b2+a2*b4)*(a3*b1+a4*b3)
将det(A)和det(B)代入上式，经过简单的展开和整理可以得到：det(AB)=det(A)*det(B)
这就证明了在矩阵乘积的运算中，矩阵行列式的乘积等于矩阵乘积的行列式。
矩阵相乘行列式
矩阵相乘行列式矩阵相乘行列式1. 介绍矩阵的概念矩阵是运算中经常使用的一种数学工具，它由若干个数排成的矩形表格组成。
一个矩阵有m行n列，用Amn表示。
其中，m代表行数，n 代表列数。
一个矩阵中的每一个数都有一个位置，这个位置由它所在的行列组成。
2. 矩阵相乘的定义矩阵相乘是一种用于计算两个矩阵之间乘积的方法。
如果矩阵A和矩阵B都是m行n列的矩阵，那么它们的乘积AB定义如下：AB=C，C 是m行k列的矩阵，其中k是B的列数。
C中的每一个元素Cij都是A 的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵相乘的行列式矩阵的行列式是一种用于求某一个矩阵的数值大小的方法。
如果一个n 阶方阵的行列式为D，那么通过它的逆矩阵计算得出的行列式应该为1/D。
在矩阵相乘过程中，我们可以使用矩阵的行列式来帮助我们简化计算。
例如，在计算矩阵AB的行列式时，我们可以使用等式det(AB)=det(A)×det(B)来帮助我们进行计算。
4. 矩阵相乘的应用矩阵相乘在实际问题中有着非常广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵相乘来计算图像的变换、旋转、缩放等操作。
在物理学中，我们可以使用矩阵相乘来计算电磁场、热传导、流体力学等问题。
在金融学中，我们可以使用矩阵相乘来计算投资组合的收益率，以及其他风险管理问题。
5. 矩阵相乘的算法矩阵相乘的算法通常包括朴素算法、Strassen算法等。
朴素算法将矩阵相乘的过程直接转换为一个三重循环，时间复杂度为O(n^3)。
Strassen算法通过将矩阵相乘的过程拆分为七个矩阵乘积的方式来提高计算效率，时间复杂度为O(n^log7)。
此外，还有其他一些矩阵相乘的算法，如Coppersmith-Winograd算法等。
总结：矩阵相乘行列式是运用数学工具的方法，他们被用于很多领域诸如计算机、物理学及金融学等。
对于矩阵相乘，我们有不同的算法可选择。
矩阵的行列式数值大小可以帮助简化计算。
方阵的行列式计算公式
方阵的行列式计算公式方阵是一种特殊的矩阵，它的行数和列数相等。
方阵在许多数学和物理问题中都有着重要的应用，其中行列式就是方阵一个重要的特征值。
行列式的计算公式是一种方法，通过该方法我们可以求得方阵的行列式的具体值。
首先，让我们来了解一下什么是行列式。
行列式是一个与方阵相关的数值，它可以用来描述方阵的一些特征。
对于一个n阶方阵（即行数和列数均为n），它的行列式一般记作det(A)或|A|，其中A代表方阵。
行列式的计算公式其实是一种递归的方法，可以通过将方阵划分为更小的子方阵来进行计算。
具体的计算公式如下：对于一个1阶方阵：|A| = A对于一个2阶方阵：|A| = a*d - b*c其中A = [a b; c d]，a、b、c、d分别代表方阵的元素。
对于一个n阶方阵（n > 2）：|A| = a_1 * |A_1| - a_2 * |A_2| + a_3 * |A_3| - ... + (-1)^(n+1) * a_n * |A_n|其中a_1、a_2、a_3、...、a_n分别代表方阵的第一行元素，|A_1|、|A_2|、|A_3|、...、|A_n|分别代表剩余的n-1阶子方阵的行列式。
通过这个公式，我们可以将一个n阶方阵的行列式转化为多个n-1阶方阵的行列式的和减法。
在计算子方阵的行列式时，又可以继续将其拆分为更小的子方阵的行列式，直到计算到1阶方阵时，直接将其返回即可。
行列式的计算公式在实际应用中有着广泛的应用。
一方面，行列式可以用来判断方阵是否可逆。
如果一个方阵的行列式为0，则称其为奇异方阵，奇异方阵是不可逆的。
而非奇异方阵的行列式不为0，因此可以通过行列式的计算来判断方阵是否可逆。
另一方面，行列式可以用来求解线性方程组。
如果一个线性方程组的系数矩阵的行列式不为0，则可以通过Cramer法则求解方程组的解。
Cramer法则利用了行列式的计算公式，通过对系数矩阵的行列式进行求值，进而求解方程组的解。
3.2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式s
En
简记作E
Amn , Amn En Amn .
2. 对角矩阵 P46
1 0 0 0 2 0 形如 0 0 n
的 n阶方阵称为对角矩阵
记作
diag (1 , 2 ,, n )
特点：主对角线上以外的元素全是零．
注意：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。 例如
1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1
结论：若A，B为对称矩阵，则AB为对称 P50 矩阵的充要条件是AB= BA 证明： A A , B B 若AB为对称矩阵 则 ( AB) AB 而 ( AB) BA BA 所以 AB= BA 反之，若 AB= BA 则 ( AB) BA BA AB 所以AB为对称矩阵。
tA t n A （2）
ta11 ta12 ta21 ta22 tA ta ta n2 n1 ta11 ta12 ta1n ta2 n tann ta1n
（3）AB A B B A
A1 A2 Ak A1 A2 Ak
a1n a2n a3n 0
例如
0 2 B1 2 0 ,
0 1 2 A2 1 0 1 2 1 0
反对称矩阵
性质：
（1）同阶反对称矩阵的和、差 仍为反对称矩阵
（2）数与反对称矩阵的乘积仍为反对称矩阵 （3）A为任意n阶方阵，则A - A′为反对称矩阵
1 1 2 A2 1 0 1 2 1 3
对称矩阵
（1）同阶对称矩阵的和、差 仍为对称矩阵
线性代数第二章 方阵的行列式
1 2 3
例
2 3 1 1 3 2 21 3 3 21 3 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 18
下面我们来观察三阶行列式的值的特点
§1 n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a33 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
§1 n阶行列式的定义
公式 若排列i1 i2„ in中, it之后有kt个数比it小 (t=1,2,„,n-1),则(i1 i2„ in)=k1+k2+„+ kn-1. 例 (53421)= 4 2 2 1 9 (52431)= 4 1 2 1 8 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列； 例 (53421)=9, ∴53421为奇排列； 改变了排列 (52431)=8, ∴52431为偶排列。 的奇偶性
bin c i 1 a n1 ann
ann
§1 n阶行列式的定义
证
左边
j1 j i j n
( j1 j i j n ) ( 1 ) a1 j1 ( biji c iji ) ani n
( j1 j i j n ) ( 1 ) a1 j1 biji ani n
1 2 3
例
2 3 1 1 3 2 21 3 3 21 3 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 18
下面我们来观察三阶行列式的值的特点
方阵乘积的行列式
其中， cij = b1 j a i 1 + b2 j a i 2 + L bnj a in 其中，
故 C = AB
的第n+1行，第n+2行，....，第n+n行逐行换到第 行， 行逐行换到第1行 再把 D2 n 的第 行 行 ， 行逐行换到第 第2行，...，第n行，有 行 ， 行
矩阵乘积的行列式方阵的行列式方阵行列式行列式的计算行列式的性质行列式的计算方法矩阵的行列式行列式的值行列式行列式计算
证明：对于 阶方阵 阶方阵A和 ， 证明：对于n阶方阵 和B，有 | AB |=| A || B |
设 A = a ij , B = bij .
a11 L a1n L L D2 n = −1 O L O b11 L b1n L L L − 1 bn1 L bnn a n1 L a nn
( )
( )Hale Waihona Puke A = −IO B
由教材P17例1.2.6知 例 由教材 知
D2 n = A B
乘第 列 乘第n列 接下来， 乘第2列 接下来，在 D2 n 中，以 b1 j 乘第1列，b2 j 乘第 列，L , 以 bnj 乘第 列， 都加到第n+j列上 都加到第 列上 ( j = 1,2,L , n) ，
−I D2 n = (− 1) A
n
O = C = AB C
∴ AB = A B
对于n阶矩阵 、B，一般来说 AB ≠ BA, 但总有 对于 阶矩阵A 阶矩阵 ，
AB = BA
矩阵乘积的行列式与秩
推论 2 设 A，B 是数域 P 上的 n n 矩阵,
矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A，B 中至少有 一个是退化的.
二、矩阵乘积的秩
关于矩阵乘积的秩，我们有：
定理 2 设 A 是数域 P 上的 n 矩阵，B 是
数域 P 上的 m s 矩阵，于是 秩( AB ) min[ 秩( A ) , 秩( B ) ] . (2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
证明 为了证明 (2)，只需要证明
秩( AB ) 秩( A ) 与 秩( AB ) 秩( B ) 同时成立即可. 现在来分别证明这两个不等式.
设
a11 a12 a1m
b11 b12 b1s
Aaa2n11
a22
an2
aa2nmm,Bbbm 211
推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n n
矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | .
定义 9 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退 化的，如果 | A | 0；否则称为退化的.
显然，一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件 是它的秩等于 n .
k 1
Ci = ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm (i = 1,2, … , n),
即矩阵 AB 的行向量组 C1 , C2 ,…, Cn 可经 B 的行向 量组线性表出. 所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即
秩( AB ) 秩( B ) .
同样，令 A1 , A2 , … , Am 表示 A 的列向量，D1 , D2 … , Ds 表示 AB 的列向量. 由计算可知，
3_2特殊矩阵,方阵的行列式
HHT H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
反对称矩阵
定义 如果AT A 即 aij a ji i, j 1, 2,L , n
a11 a12 L
对称矩阵
a12
a22
L
L L L
说明
a1n
a2n
L
a1n
a2
n
L
ann
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等。
对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵都是对称矩阵。
对称矩阵的基本性质 （A,B为同阶矩阵）
(1)如果 A , B 都是对称矩阵,则 A B, A仍是 对称矩阵,其中 为任意常数.
0
,
B
1
01 是反对称矩阵
AB
BA
1 0
0 1
不是反对称矩阵.
例5设 A是 n 阶反对称矩阵, B是 n 阶对称矩阵 , 则 AB BA是 n 阶反对称矩阵.
证明:因为
( AB BA)T ( AB)T (BA)T BT AT AT BT B( A) ( A)B (BA AB) ( AB BA) 所以 AB BA 是 n 阶反对称矩阵
4 ABT BT AT .
5
A1 A2 L
Ak
T
AkT
Ak
T 1
L
A1T .
例2 已知
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如果 A T A, 则称 A为反对称矩阵．
特点： 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
即有
aij a ji ( i, j 1, 2, , n ) ;
反对称矩阵有 aij a ji ( i, j 1, 2, , n ),
该矩阵主对角线上的元素全为0.
1 0
0
2. 对角矩阵
0
2
0
(Diagonal Matrix)
0 0
n
简记为 d iag (1 , 2 , , n )
特点: 主对角线上以外的元素全是零．
运算性质
（1） d iag ( a1 , a 2 , , a n ) d iag (b1 , b2 , , bn ) d iag ( a1 b1 , a 2 b2 , , a n bn )
第二节 特殊矩阵 方阵乘积的行列式
一、特殊矩阵
1. 单位矩阵
(Identity matrix)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
记作En, 简记为E.
特点：(1) 主对角线的元素都是1, 其他元素都是0.
(2) 乘法性质 E m Am n Am n , Am n E n Am n .
特别地，当A为方阵时，EA=AE=A
(BBT )T (BT )T BT BBT
故 BB T是 m阶对称矩阵. 同理，B T B 是 n 阶对称矩阵．
例3 设列矩阵x=(x1,…,xn)T满足xTx=1, E为n阶单位阵, H=E−2xxT. 证明H为对称矩阵，且 HHT=E.
证 首先注意到xTx=1为数, 所以 (xxT )2 x(xT x)xT xxT
0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
B3 B2B 0
因数量矩阵aE与B可交换，故可使用二项式定理
得到
An E Bn
( E)n
C
1 n
(
E
)
n
1
B
C
2 n
(
E
)
n
2
B2
C
3 n
(
E )n3
B3
Bn
n E n n1B n(n 1) n2 B 2
2
n 0 0 0 n n1 0
3 8
则 A 2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 A n A .
(3) 若A,B均为n阶方阵，有：AB A B B A = BA (4) 设 A1 , ，Ak 是 n 阶方阵 ,则 A1 Ak A1 Ak
例 5 设 A 是 n 阶方阵 , 且满足 AAT E , A 1 , 则 A E 0 . 证明 因为 AAT E , 所以
B的第j列 与A的第i行的元素 的乘积之和
A的第i行的元素 与 B的第j列 的乘积之和=cij 所以 cij gij C T G B T AT ( AB )T .
由(4), 根据数学归纳法可证
( A1
Ak )T
Ak
T
Ak
T 1
A1T
5. 对称矩阵和反对称矩阵
设 A aij 为n 阶方阵，
（4） [diag (a1 , a2 , , an )]m diag (a1m , a2 m , , an m ) m为正整数.
a 0 0
数量矩阵
aE
0
a
0
=diag(a,
a,
, a)
0 0 a
特点: (1) 主对角线上元素都相等.
(2) 当a=1时，数量矩阵即为单位矩阵．
(3) n 阶数量矩阵与任一 n 阶方阵可交换, 即
形式：
a11 a12
对称矩阵
a12
a22
a1n a2n
0 a12
反对称矩阵
a12
0
a1n a2n
a1n
a2n
ann
12 6 1
6 1
8 0
0 6
.
a1n
a2n
0 1 2
1 0 3
2
3 0
0
例2 设B是一个m×n矩阵, 则BBT和BTB都是对称矩阵. 证 因BBT是m 阶方阵，且
（1）若 A, B 都是对称矩阵，则 A B , A 都是对称
矩阵（其中 为任意常数）.
（2）若A, B都是对称阵，则AB为对称阵的充要条件是 AB BA .
二、方阵乘积的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
（4）( AB )T B T AT .
证 (1)-(3)显然. 只证(4). 设 A ( aij ) ms , B (bij ) sn , 记 AB C (cij )mn , BT AT G ( gij )nm .
于是按矩阵乘法的定义，有
cij A的 第 i行 与 B的 第 j列 的 元 素 的 乘 积 之 和 g ji BT的第j行 与AT的第i列的元素 的乘积之和
A E A AAT A(E AT ) A (E A)T . E A A E .
A E 0.
注意：A B A B
例6 n阶方阵A=(aij) 的行列式|A|的各个元素的代数
余子式Aij构成的如下的矩阵
A11 A21
A
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
ji
于是
A
AA
A
AE
A
类似地，
A
A
A
n k 1
Aki akj
A
A
E
A
(2) 由(1), 对上式左右同时求行列式，且根据本节
定理1可知
A A AA A n
由于|A|≠0, 所以
| A* || A |n1 .
例7 求方阵 解 计算得
3 7 3
A 2 5 2
4
10
因此 H T ( E 2 xx T ) T E T 2 ( xx T ) T E 2xxT H
故 H 是对称矩阵.
HH T H 2 (E 2xxT )2 E 4xxT 4(xxT )(xxT )
E 4xxT 4x(xT x)xT E 4xxT 4xxT E
例4 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 令B A AT
Q BT A AT T AT A B,
所以B为对称矩阵.
令C A AT , Q CT A AT T AT A C,
所以C为反对称矩阵.
A 1 ( A AT ) 1 ( A AT ) 1 B 1 C
2
2
22
命题得证.
对称阵的基本性质
（2） k d iag (a1 , a2 , , a n ) diag(ka1, ka2 , , kan )
（3） d iag ( a1 , a 2 , , a n ) d iag (b1 , b2 , , bn ) d iag (b1 , b2 , , bn ) d iag ( a1 , a 2 , , a n ) d iag ( a1b1 , a 2 b2 , , a n bn )
阵的乘积仍为上三
annbnn 角形矩阵
注:下三角形矩阵具有与上三角形矩阵类似性质．
4. 转置矩阵 AT=(aji)称为A=(aij)的转置.
1 3
例如
1
A
3
性质
2 4
1
5
,
AT
2
1
4
5
（1） ( AT )T A;
（2） ( A B )T AT B T ;
（3） A T A T , 为任意数；
3
的伴随矩阵．
A11
5 10
2 3
5,
A21
7 10
3 3
9, A31
7 3 5 2
1
A12 2 , A22 3 , A32 0 ,
A13 0 , A23 2 , A33 1 ,
从而A*
A11 A12
A21 A22
A31 5 9 1 A32 2 3 0
a21
a22
0
an1 an2
ann
特点：主对角线的右上方的元素全为零．
直接验证可知
a11 a12
0
a22
0
0
a11b11
0
0
a22b22
0
a1n b11 b12
a2n
0
b22
b1n
b2 n
ann 0 0 其中*b表nn 示 主对角线
上方的元素，即两 个同阶的上三角矩
A13 A23 A33 0 2 1
A
a b
b a
3 7 3 7
2 5 2 2
4
10
3
1
1
2 3 1 2
1
x1
x2
a11 a21
a12 a22
x1 x2
称其为矩阵A的伴随矩阵(adjoint matrix)．试证
(1) A A A A A E ;
(2) 当 A 0 时，| A* || A |n1 .
证 (1) 设 AA* bij ，则
bij ai1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn A ij
A
,
0 ,
ji (i, j 1, 2, , n)
0 0
n
0
0n1
0
n
0 0
n n1 n
0
0
0
0 0
n(n 2
1)