可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
矩阵行列式与可逆矩阵
矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
矩阵求逆原理
矩阵求逆原理
矩阵求逆的原理是通过变换矩阵的行列式和逆矩阵的乘积等于单位矩阵的性质。
在数学中，如果一个矩阵A的逆矩阵存在，则称该矩阵为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
首先，对于一个N阶方阵A，如果其行列式det(A) 不等于0，则矩阵A是可逆的。
行列式 det(A) 是矩阵A的各阶次顺序的
排列组合的乘积。
求矩阵A的逆矩阵可以通过以下的步骤进行计算：
1. 计算矩阵A的伴随矩阵(adjugate matrix)。
伴随矩阵是指将
矩阵A的每个元素与其对应的代数余子式相乘，然后将每个
元素的符号按照“+ - + - ...”的规律确定。
2. 计算矩阵A的行列式 det(A)。
行列式 det(A) 的值可以通过
矩阵A的行列式展开式计算得到。
3. 计算矩阵A的逆矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以通过以下公式
得到：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)，其中adj(A)表示矩阵A的
伴随矩阵。
需要注意的是，只有方阵才能有逆矩阵，即行数和列数相等的矩阵。
同时，不是所有矩阵都有逆矩阵，有些矩阵是不可逆的，即行列式为0的矩阵。
求矩阵的逆矩阵在线性代数和计算数学中具有重要的应用，例
如在解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量等方面起到关键的作用。
矩阵可逆行列式
矩阵可逆行列式什么是矩阵可逆行列式？矩阵可逆行列式是矩阵理论中一个重要的概念。
在矩阵中，如果存在一个逆矩阵，使得原矩阵与逆矩阵的乘积等于单位矩阵，则称该矩阵为可逆矩阵。
而矩阵可逆的一个重要条件就是其行列式不为零。
可逆矩阵与行列式之间的关系在矩阵理论中，行列式是判断矩阵可逆性的重要工具之一。
一个 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是其行列式不为零。
换句话说，如果一个矩阵的行列式为零，那么它就不是可逆矩阵。
可逆矩阵的性质及判断方法可逆矩阵的性质•可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，记作 A-1。
•若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵。
•若 A 是可逆矩阵，则 A-1 也是可逆矩阵。
•若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB-1 也是可逆矩阵。
判断矩阵可逆的方法•行变换法：将矩阵进行初等行变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。
•列变换法：将矩阵进行初等列变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。
•初等行列式法：计算矩阵的行列式，若不为零，则原矩阵可逆。
可逆矩阵的求解方法逆矩阵的求解方法求解逆矩阵的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：1.初等行变换法假设有一个 n 阶方阵 A，将 A 扩展为一个 n 阶的增广矩阵 [A|I]，其中 I 表示单位矩阵。
通过对矩阵进行初等行变换，使其左边部分变为单位矩阵，则右边部分就是所求的逆矩阵。
2.伴随矩阵法对于一个 n 阶方阵 A，可以通过求解伴随矩阵的转置除以 A 的行列式，得到所求的逆矩阵。
具体计算公式如下：A^-1 = (adj(A)) / det(A)其中 adj(A) 表示矩阵 A 的伴随矩阵，det(A) 表示矩阵 A 的行列式。
可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•方程组求解：通过求解可逆矩阵的逆矩阵，可以求解线性方程组的解。
•线性变换：可逆矩阵可以表示线性变换，通过对矩阵进行相乘，可以对向量进行变换操作。
•数据压缩：在数据压缩中，可逆矩阵可以用来将高维数据压缩为低维数据，并且可以将低维数据还原为高维数据。
5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式
0 1 0 0
0 0 k 0
0 0 0 1
1 0 T24 ( k ) 0 0
都是四阶初等矩阵.
相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵
1 pij
1 0 1 1 1 0 1 1
(*)
对（*）作第三种列变换即可化为 A . Note：1）定理的结论可叙述为：存在一些初等矩阵使
Et
E1 AQ1
Ir O Qs O O
2) 也可叙述为：存在阶m可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
Ir O PAQ O O
3）由此可得判断矩阵可逆的思想： 对A作初等变换化为
13( 1) 23(3)
1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 2 2 0 1 0 0 4 5 1 3 0 1 1 1 0 1
a13 a31 a31 a33 [1,3] a22 a23 a21 a22 a23 P 13 A a a32 a33 a a 13 11 12 行乘以数k 相当于用 Di (k )左乘A . a12
3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 Tij (k )左乘A .
5.2.5
① 行初等变换法
逆矩阵的求法
行 A可逆，由 A I，即存在初等矩阵 E1 , , E s，使 11 2 2 11 2 2 1 E E E A I sI 4 2 1 (A | I) 0 1 , 即A 4 0 1 1 6 1 1 从而 E E E I A 6 1 1 s 2 1
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵现代数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广泛用于线性代数、微积分、概率论等领域。
矩阵的两个重要性质是行列式和逆矩阵。
本文将重点探讨矩阵的行列式和逆矩阵，并解释它们的概念、计算方法以及应用场景。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个数值，可以通过矩阵中元素的运算得到。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，计算方式如下：|A| = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 + ... + a1n·A1n，其中a11、a12、a13等表示矩阵A第一行各元素的值，A11、A12、A13等表示对应元素的代数余子式。
行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（或两列）的符号变号；2. 如果矩阵中有一行（或一列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果矩阵中的两行（或两列）相同，那么行列式的值为0；4. 若矩阵中某一行（或一列）的元素都是两数之和，则可将该行（或列）按元素分开计算，得到的两行（或列）的行列式与原矩阵的行列式相等。
行列式在线性代数中有广泛应用，例如：a. 计算矩阵的逆矩阵时，需要先计算矩阵的行列式，若行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵；b. 判断矩阵是否可逆时，可以通过行列式是否为0来判断；c. 计算二次型的矩阵时，常常需要用到行列式。
二、矩阵的逆矩阵逆矩阵是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵I（AB=BA=I）。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么称之为可逆矩阵或非奇异矩阵。
计算方法如下：1. 对于一个2阶方阵A，如果其行列式不为0，那么逆矩阵存在。
假设A的行列式为|A|，则A的逆矩阵记作A^-1，可通过以下公式计算： A^-1 = (1 / |A|) * (a22 -a12, -a21, a11)。
2. 对于一个n(n≥3)阶方阵A，如果其行列式不为0，逆矩阵存在。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵进行，即将A的每个元素转置并求代数余子式所构成的矩阵C，再将矩阵C转置并除以A的行列式，得到A的逆矩阵。
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且.一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-AAA =--11)(111)(---=ABAB 11121---A A A m A ')()(11'='--AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij p j i ikk D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(ji k k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T kD k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A I A E E E s =12 112-=AI E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，1535159051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----95929110513132010919492001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++ji j i A A a A a A a njni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A AA A AA01000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11AAA=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴-134112112211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n n n b b b x x x a a aa a a a a a2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nnn nnn n nb b b A A A A A A A A A A xx x21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i nni i i i A b A b A b A b b b A A A Ax +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A dnd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d21222222*********1BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A A A B A B A B A。
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质 行列式的定义与性质 矩阵秩的定义与性质 矩阵乘积的行列式与秩的关系 矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
张禾瑞高等代数第五章课件
1 1 ( A ) A A( A . ) I
5.2.3
初等矩阵的定义、性质
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. n=4
P 14 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 k 0
1 0 0 0
1、交换A的i ，j 行相当于用 如
a11 a 21 a 31 a12 a22 a32
P 左乘A ij
.
a31 a22 a12 a33 a23 P A 13 a13
a13 a31 [1,3] a23 a21 a a33 11
A和B的乘法定义为
n a1i bi1 i 1 n a b AB 2i i1 i 1 n a mi bi1 i 1
a1i bi 2 a
i 1 i 1 n 2i
n
bi 2
a
i 1
n
mi
bi 2
a1i bil i 1 n a 2i bil i 1 n a mi bil i 1
3 1 2 1 1 2 4 3 0 1 , 求 3A 2B. 例 1 已知 A 0 3 2 1 , B 5 3 4 0 3 2 1 2 5 0
3 1 5 例 2 已知 A 1 4 2
0 0 0 1 1 0 T24 (k ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 k 0 1
1 0 D3 (k ) 0 0
定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如
线性代数中的行列式理论
线性代数中的行列式理论在数学的各个领域中，线性代数无疑是重要的一部分，而其中行列式理论则是线性代数中的重要理论之一。
它以对矩阵和线性方程组的解的探究为主要研究对象，是线性代数中不可或缺的理论基础。
行列式的定义行列式是一个方阵的标量函数，它把一个 n 行 n 列的矩阵 M 映射到一个实数上。
行列式的记法通常是 det(M) 或者 |M|。
行列式的定义需要用到一些基本概念。
首先，我们需要了解“代数余子式”的概念。
设一个 n 行 n 列的矩阵为 M，则它的一个元素 M(i,j) 的代数余子式 A(i,j) 定义为删去第 i 行和第 j 列后剩余行列式的相反数。
例如，对于三阶矩阵 M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}，其中元素 4 的代数余子式 A(2,1) =\begin{vmatrix}2 & 3\\8 & 9\end{vmatrix} = 18。
接着，对于一个 n 行 n 列的矩阵 M，它的行列式 det(M) 定义为 M 的元素按照一个特定的顺序相乘的和，其中顺序为 M 的第一行元素和它们对应的代数余子式的乘积加上第二行元素和它们对应的代数余子式的乘积减去第三行元素和它们对应的代数余子式的乘积加上第四行元素和它们对应的代数余子式的乘积……即：$\det(M) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} \prod_{i=1}^nM_{i,\sigma(i)}$其中 S_n 表示集合 {1,2,...,n} 上的所有置换，$\sigma$ 为 S_n 中的一个置换，$\sigma(i)$ 表示置换 $\sigma$ 所作用在 $i$ 上的结果，而 $(-1)^\sigma$ 则表示置换 $\sigma$ 的奇偶性。
行列式的性质行列式有许多重要的性质，它们构成了行列式理论的基础。
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，它用于描述和解决各种数学和工程问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆与行列式是两个关键概念。
本文将详细介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆1.1 概念在线性代数中，设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，那么B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A⁻¹。
1.2 逆矩阵的存在条件一个矩阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵的行列式为零，则该矩阵不存在逆矩阵。
1.3 逆矩阵的性质(1) 若A存在逆矩阵A⁻¹，则A⁻¹也存在逆矩阵，且其逆矩阵为A。
(2) 对于一个n阶方阵A，如果A存在逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
(3) 若A和B都是n阶方阵，且A和B都存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹。
1.4 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的计算方法是：先求出矩阵A的代数余子式，然后将代数余子式按一定顺序放置在原矩阵的转置矩阵上，最后将转置矩阵中的每个元素乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别表示元素在矩阵中的行和列的编号。
最后，将得到的矩阵除以矩阵A的行列式即可得到矩阵A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式2.1 概念在线性代数中，对于一个n阶方阵A，记为|A|，被称为矩阵A的行列式。
行列式用于表示矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆、线性方程组是否有唯一解等。
2.2 行列式的性质(1) 若A是n阶方阵，且k是一个常数，则kA的行列式等于k的n次方乘以A的行列式，即|kA| = k^n |A|。
(2) 若A和B都是n阶方阵，则|AB| = |A| * |B|。
(3) 若A是n阶方阵，则|A| = |A^T|，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
(4) 若A是一个n阶方阵，并且存在某一行或某一列的元素全为零，则|A| = 0。
高等代数习题【可编辑范本】
高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。
记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。
4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。
2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。
写出A到自身的一切映射。
在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。
试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。
7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。
令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。
3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。
5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。
矩阵的行列式与逆阵
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
5
总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
6
7
8
9
10
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
A
A
定理 2设.2A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆 ｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 1 A*
A
证 若A可逆,则 AA1 = E AA1 = A A1 E 1
从而 |A| 0.必要性得证.
若 |A| 0, 则由
AA* A*Α | A | E
A( 1 A*) ( 1 A*)A E
4
4
例4 已知 A为方阵且 Ak 0, k N
证明 (E A)1 E + A + + Ak1. 证 因为 (E A)(E A Ak1) E Ak E
所以 E A 可逆，而且
(E A)1 E A Ak1
总结关于方阵 A :
A 可逆 |A| 0
AA*=A*A=|A| E
记作B = A-1.
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
矩阵乘法和可逆矩阵
矩阵乘法和可逆矩阵1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12⋯ a1nb11b12⋯ b1sc11c12⋯ c1sA= a21 a22⋯ a2n B= b21 b22⋯ b2s C=AB=c21 c22⋯ c2s ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a m1 am2⋯ amn, bn1bn2⋯ bns, cm1cm2⋯ cms,则cij =ai1b1j+ai2b2j+ ⋯+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. 乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn,B的列向量组为β1, β2,⋯ ,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,⋯ ,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,⋯,s.即A(β1, β2,⋯ ,βs)=(Aβ1,Aβ2,⋯ ,Aβs).②β=(b1,b2, ⋯,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+ ⋯+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i, ⋯,b ni)T,则γi=AβI= b1iα1+b2iα2+ ⋯+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,⋯ ,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.请注意,以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 -1B= 2 -1 1 ,则C=AB.-1 1 23. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h. ② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) n阶矩阵的多项式乘法公式设f(x)=am x m+am-1x m-1+⋯+a1x+a,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+⋯+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性的障碍,数的多项式的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项公式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设 B =(β1, β2,⋯ ,βs ),则 X 也应该有s 列,记X =(χ1, χ2,⋯,χs ),则有A χi =βi ,i=1,2, ⋯,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX =B 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 (I)的解法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X . (A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T ,转置得X .. (A T |B T )→(E |X T )矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义 设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得AB =E , BA =E ,则称A 为可逆矩阵. 此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作A -1.如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=0,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C方便是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21⋯ An1A*= A12 A22⋯ A n2 =(A ij)T.⋯⋯⋯A 1n A2n⋯ Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1. ③ (A T)*=(A*)T. ④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.。
行列式与逆矩阵的计算
在计算行列式时，可以将某一行或某一列去掉，然后求剩下的子矩阵的行列式，这个子 矩阵的行列式就是原行列式的代数余子式。利用代数余子式，可以更方便地计算行列式。
利用逆矩阵的性质简化计算
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A的逆矩阵存在，那么 这个逆矩阵乘以原矩阵A会得到单位 矩阵。利用这个定义，可以更方便地 计算逆矩阵。
逆矩阵与转置矩阵互为转置：$(A^{-1})'=(A')^{-1}$。
03
逆矩阵的计算方法
高斯消元法
通过消元法求解线性方程组，然后利 用求解结果构造逆矩阵。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵和行列式的性质计算逆 矩阵。
迭代法
利用迭代公式不断逼近逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将原矩阵分块， 然后分别求出各块的逆矩阵，再组合 成整体的逆矩阵。
02
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得$AB=BA=I$，则称A是可 逆的，并称B是A的逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
一个n阶方阵A的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质
01
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵：$AB=I$，其中I为单位矩阵。
02
逆矩阵的逆也是原矩阵：$B^{-1}A^{-1}=I$。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
详细描述
展开法是最基本的计算方法，通过将行列式按照某一行或某一列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。 递推法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式，再利用已知的低阶行列式的值计算高阶行列式的值。化简法是通 过数学变换将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵矩阵在数学和物理领域中有着广泛的应用，它们可以描述线性方程组以及空间中的变换。
矩阵的行列式和逆矩阵是矩阵理论中的两个重要概念。
本文将详细介绍矩阵的行列式和逆矩阵及其相关概念，从而帮助读者更好地理解和应用矩阵运算。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它可以帮助我们判断矩阵的一些特征和性质。
对于一个 n 阶矩阵 A，其行列式通常表示为 |A| 或 det(A)。
行列式的计算方法可以通过拉普拉斯定理来进行，即通过对矩阵的某一行或某一列展开，并按照一定的规律进行求和。
具体地，对于一个 3 阶矩阵 A，其行列式计算公式如下：|A| = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 -a22a31)其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行、第 j 列的元素。
对于更高阶的矩阵，行列式的计算可以采用类似的方法展开并求和。
行列式的值可以为正、负或零，通过行列式的结果我们可以判断矩阵的线性相关性、可逆性以及体积变化等性质。
二、矩阵的逆矩阵一个 n 阶方阵 A 的逆矩阵一般表示为 A^(-1)，它满足以下条件：A^(-1)A = AA^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
对于一个可逆矩阵 A，其逆矩阵存在且唯一。
若矩阵 A 的行列式为零，则矩阵 A 是不可逆的，即不存在逆矩阵。
在实际应用中，逆矩阵有着重要的作用。
通过求解线性方程组，我们可以利用逆矩阵求出未知数的值。
具体地，对于一个线性方程组 AX = B，其中 A 是系数矩阵，X 和 B 分别为未知数和常量向量。
通过左乘A^(-1)，我们可以得到 X 的解：X = A^(-1)B。
这一方法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在工程计算、物理模拟和金融分析等领域。
三、矩阵的性质与应用除了行列式和逆矩阵，矩阵还具有许多其他重要的性质和应用。
《可逆矩阵一》
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继续下去可进一步得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c 21 c 22 ... c 2 n ... ... ... ... ... ... ... ...
a1 1 a2 1
a1 2
b1 1 ...
a22 bn1
... ... ...
b1n ... bn n
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一般地，利用数学归纳法可以证明： (1)引理1
a 11 ... a 1m 0 ... 0
... ... ... a m 1 ... a mm
... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
0 1 ... 0 b21
... ... ... ... ...
0 ... 0 b12 ... b1n b22 ... b2n ... ... ...
0 0 ... 1 bn1 bn2 ... bnn
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若n阶矩阵A可逆，则存在n阶矩阵B使得AB=BA=I， 从而∣AB∣=∣I∣ ，即∣A∣∣B∣ =1，所以 ∣A∣≠0。 反之，若n阶矩阵A的行列式∣A∣≠0，A是否 一定可逆呢？ 回答是肯定的，为了证明这一点，需要引进一个 概念。
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两个可逆矩阵行列式的乘积
两个可逆矩阵行列式的乘积
两个可逆矩阵的行列式乘积等于它们各自行列式的乘积。
设两个可逆矩阵分别为A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则有：
det(AB) = det(A) * det(B)
这个性质可以通过矩阵的行列式定义和矩阵乘法的性质进行证明。
因为行列式表示的是线性变换对单位面积（二维）或单位体积（三维）的倍数，所以当两个矩阵连续作用时，其对应的线性变换可以看作是一个复合变换，而复合变换的整体效果可以由各个子变换的效果相乘得到。
需要注意的是，只有可逆矩阵的行列式才存在，如果某个矩阵不可逆（行列式为0），那么它与任何其他矩阵的乘积也将不可逆。
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§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且.一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-AAA =--11)(111)(---=ABAB 11121---A A A m A ')()(11'='--AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij p j i ikk D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(ji k k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T kD k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A I A E E E s =12 112-=AI E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，1535159051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----95929110513132010919492001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++ji j i A A a A a A a njni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A AA A AA01000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11AAA=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴-134112112211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n n n b b b x x x a a aa a a a a a2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nnn nnn n nb b b A A A A A A A A A A xx x21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i nni i i i A b A b A b A b b b A A A Ax +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A dnd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d21222222*********1BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A A A B A B A B A。