正态分布习题与详解(非常有用,必考点)

1. 若x ～N (0,1),求(l)P 2). 解：(1)P

(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)==.

2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在N(1,4)下，求)3(F

（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)2

1

3(

-Φ＝Φ（1）＝ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σ

μ

σμ-+Φ＝Φ（1）＝

Ｆ（μ－σ）＝)(

σ

μ

σμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－＝ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝－＝ 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π

21，求总体落入区

间（－，）之间的概率 [Φ（）=, Φ（）=]

解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(2

22)(+∞-∞∈=

--

x e

x f x σμσ

π，它是偶函数，

说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σ

π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分

布

( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1

P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-

0.57930.884810.4642=+-=

4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内

的概率不少于，则a 至少有多大[Φ（）=, Φ（）=] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2

N ξ

520500500500

(500520)(

)()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200

P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200

a a a

P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，

()0.975200

a ∴Φ≥

查表知： 1.96392200a

a ≥⇒≥

1设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2

( A)

1

2

p + ( B)l —p C ．l-2p D ．

1

2

p - 【

答

案

】

C 因为(4)(2)P X P X p

>=<=,所以

P(2

1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选

C ．

2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400[答案] B

[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，，所以E (ξ)＝1 000×＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.

3．设随机变量ξ的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1

3，则D (ξ)＝( ) B ．－1

9 [答案] D

[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛

⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭

⎫1－132＝59.

4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6

7，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2

[答案] A

[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝7－x 6－x 42，

P (ξ＝1)＝x ·7－x C 72＝x 7－x

21，

P (ξ＝2)＝C x 2C 7

2＝xx －1

42，

∴0×7－x 6－x 42＋1×x 7－x 21＋2×xx －142＝67， ∴x ＝3.

5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )

[答案] C

[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，

∵⎩⎪⎨⎪⎧ Eξ＝4，Dξ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧

np ＝4np 1－p ＝2

， 解之得，p ＝1

2，n ＝8，

∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭

⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×

⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭

⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)

＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭

⎫125＝247256.

5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1

2πσi

e －x －μi 22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，

则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

6①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;

③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0;