平面向量综合试题(含答案)

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平面向量习题及答案

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

平面向量经典试题(含答案)

平面向量1如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= ．〖解析〗在ABC ∆中，有余弦定理得2222cos1207BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，7BC =，由正弦定理得3sin 7C ∠=，则2cos 7C ∠=，在ADC ∆中，由余弦定理求得222132cos 9AD DC AC DC AC C =+-⋅⋅∠=，则133AD =，由余弦定理得891coc ADC ∠=，1388||||cos ,7()3391AD BC AD BC AD BC ⋅=⋅=⨯⨯-=-．〖答案〗83-．2．）已知AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足2()OP tPA tOB t R =+∈，则PA PB=（）A 、13B 、12C 、2D 、3〖解析〗如图所示，不妨设,OA a OB b ==；找共线，对于点P 在直线AB 上，有AP AB λ=；列方程，因此有AP AO OP =+2a tPA tb =-++，即12a tbAP t-+=+；而AB AO OB a b =+=-+，即有11212tt tλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此1t =时13λ=.即有PA PB =12.〖答案〗B ．3.在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．〖解析〗当点D 无限逼近点C 时，由条件知BD DC ⋅趋向于零，||||AB AC =，即△ABC 是等边三角形．〖答案〗5π12． 4.如右图，在ABC ∆中，04,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC上的高，则AD AC ⋅的值等于（）ABDCAB O Pab （第2题图）A ．0B ．4C ．8D ．-4【答案】B【解析】因为04,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高, AD=2BD =1()2442AD AC AD AB BC AD AB AD BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯=,选择B 5 在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（） A ．2AC AC AB =⋅ B ． 2BC BA BC =⋅C ．2AB AC CD =⋅ D ． 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=〖解析〗由于 ||||AC AB AC AB ⋅=⋅cso ∠CAB=|AC |2, 可排除A.||||BA BC BA BC ⋅=⋅cos ∠ABC=||AC 2, 可排除B , 而||||AC CD AC CD ⋅=⋅cos(π－∠ACD)=－||||AC CD ⋅cos ∠ACD<0 ， |2|AB >0 , ∴|2|AB ≠AC CD ⋅，可知选C ．〖答案〗C ． 6)函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( ).(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π-.(,2)6D π解析直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=根据定义cos[2()]26y y x x π''-=-+-，根据y 是奇函数，对应求出x '，y '答案 B7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，且AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则+λμ= _________. 答案: 4/3 解析:设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+= 8在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 答案 B9.在△ABC 中，=++===n m AC n AB m AP PR CP RB AR 则若,,2,2 ( ) A ．32 B ．97 C ．98 D ．1答案:B10.设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2mm α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]答案:Ａ11.如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（）A.1213,PP PPB. 1214,PP PPC. 1215,PP PPD. 1216,PP PP答案 A12.)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则()A.a ⊥eB.e ⊥(a －e )C.a ⊥(a －e )D.(a ＋e )⊥(a －e ) 答案：B※※13.已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的A .内心 B. 垂心 C.重心 D.AB 边的中点答案 C14. 如图所示，在△ABO 中，OC =41OA ,OD =21OB ,AD 与BC 相交于点M ，设OA =a ，OB =b .试用a 和b 表示向量______OM a b =+. 解设OM =m a +n b ，则AM =OM -OA =m a +n b -a =(m-1)a +n b .AD =OD -OA =21OB -OA =-a +21b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线. ∴存在实数t,使得AM =t AD ，即(m-1)a +n b =t(-a +21b ). ∴(m-1)a +n b =-t a +21t b .⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21t n t m ，消去t 得：m-1=-2n ，即m+2n=1. ①又∵CM =OM -OC =m a +n b -41a =(m-41)a +n b .CB =OB -OC =b -41a =-41a +b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线. 8分∴存在实数t 1,使得CM =t 1CB ,∴(m-41)a +n b =t 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-41, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ，消去t 1得,4m+n=1 ② 由①②得m=71,n=73, ∴OM =71a +73b .15.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，AP ∶PM 的值为______. 解方法一设e 1=BM ,e 2=CN , 则AM =AC +CM =-3e 2-e 1， BN =BC +CN =2e 1+e 2.因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使AP =λAM =-3λe 2-λe 1，BP =μBN =2μe 1+μe 2，∴BA =BP -AP =（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，另外BA =BC +CA =2e 1+3e 2，⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5354μλ， ∴AP =54AM ,BP =53BN ,∴AP ∶PM=4∶1. 方法二设AP =λAM ， ∵AM =21(AB +AC )=21AB +43AN ， ∴AP =2λAB +43λAN . ∵B 、P 、N 三点共线，∴AP -AB =t(AB -AN ),∴AP =(1+t)AB -t ANa b ∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt λλ4312∴2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM=4∶1.16.设0≤θ＜2π，已知两个向量1OP =（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是 . A.2B.3C.23 D.32答案 C17．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42- (B)32- (C) 422-+ (D)322-+答案：D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，22221tan 1cos 21tan 1x x ααα--==++.PA PB•22221cos 21x x x x α-=⋅=⋅+，令21t x =+，……使用基本不等式得min ()322PA PB •=-+.18．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A.)323,⎡-+∞⎣B. )323,⎡++∞⎣C. 7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得PABO220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。

平面向量单元测试题及答案

D. AB 与 BA 是两平行向量
3，下列命题正确的是
A、若 a ∥ b ，且 b ∥ c ，则 a ∥ c 。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C、向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 ,
D、若非零向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线。
4，已知向量 a m,1 ，若， a =2，则 m
12，.把函数 y x2 4x 7 的图像按向量 a 经过一次平移以后得到 y x2 的图像，
则平移向量 a 是
（用坐标表示）
三，解答题：（10 分×6 = 60 分）
13，设 P1(4,3), P2 (2,6), 且 P 在 P1P2 的延长线上，使 P1P 2 PP2 ,，则求点 P
的坐标
（1），当点 P 在 x 轴上时，求实数 t 的值；（2），四边形 OABP 能否是平行四边形？若是，求实数 t 的值；若否，说明理由，
.
.
17，已知向量 OA =（3, －4）, OB =（6, －3）, OC =（5－m, －3－m）,
（1）若点 A、B、C 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数 m 的值．
A．1
B. 3
C. 1
D. 3
5，若 a =（ x1， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ），，且 a ∥ b ，则有
A， x1 y2 + x2 y1 =0，
B， x1 y2 ― x2 y1 =0，
C， x1 x2 + y1 y2 =0，
D， x1 x2 ― y1 y2 =0，
6，若 a =（ x1， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ），，且 a ⊥ b ，则有

平面向量高考试题精选(含详细答案)

平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．110．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．012．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．18．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是．21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值X围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF与其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是（0，]．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值X围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值X围是．。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝，＝，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若＝λ＋μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()【答案】A【解析】，所以点在直线的上方，由0≤λ≤μ≤1可知A项成立【考点】向量运算及数形结合点评：求解本题首先由向量运算找到C点坐标，根据参数范围找到坐标的特点，从而确定C点的位置，求解过程中结合特殊点，如可排除部分选项2.在梯形中，与相交于点.若则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点E，为平行四边形；所以故选B3.若，则的值为 _．【答案】【解析】，所以【考点】1．向量模的坐标计算；2．向量的坐标运算．4.已知，它们的夹角为，那么．【答案】【解析】，所以【考点】向量的模5.下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．【考点】平面向量中基底的定义．6.在平面直角坐标系上，第二象限角的终边与单位圆交于点．（1）求的值；（2）若向量与夹角为，且，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）直线的斜率为【解析】（1）由单位圆及三角函数的概念得==，=，所以（2）设点B的坐标，由向量的数量积及模长公式得即，又因为，所以或，从而得到点B的坐标，再由斜率公式或方向向量求出直线的斜率为．试题解析：（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以，解得=，又因为角是第二象限角，所以=，所以=，=， 2分所以； 6分（2）由（1）知，，设点坐标为，则=，因为，所以， 8分又因为与夹角为，所以，即， 10分联立解得或，所以点坐标为（,）或（，）， 12分所以或，所以直线的斜率为． 14分【考点】①任意角的三角函数的概念②向量的数量积及模长直线的斜率7.已知，若，则＝．【答案】【解析】向量垂直等价于其数量积为0，【考点】向量垂直与数量积的坐标运算8.在中，若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，，故选择A【考点】平面向量基本定理9.下列向量与共线的是A．B．C．D．【答案】C【解析】共线向量的坐标之间一定是整数倍关系，据此可以确定答案为选项C。

平面向量测试题及答案

平面向量测试题及答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.平面向量测试题一.选择题1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．MD ．3．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（）A ．7B ．10C ．13D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） )(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。

平面向量(含答案)

平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．.若向量(1,2),(4,5)BA CA == ，则BC =A. (5,7)B. (3,3)--C. ()3,3D. ()5,7--2．已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为（）A.1-B.2C.1或2-D.1-或23．已知向量(1,2),(2,)a b m ==- ，若//a b ，则|23|a b + 等于( )A B ． C ．．4．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ=（） A.23 B.13 C.13- D.23- 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2 6．已知||6a = ，||3b = ，12a b ⋅=- ，则向量a 在向量b 方向上的投影是（） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．27．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若//AB OC ，则实数m 的值为（）A ．15B ．-3C ．35-D ．17- 8．平面向量a 与b 的夹角为60°，1||),0,2(==b a ,则|2|b a +等于( )A B ．C ．4D ．129．已知(3,4)a = ,(1,2)b = ,则a b -= ． 10．已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a ⊥，则x 的值为 .11．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为．12．已知向量()()cos45,sin30,2sin 45,4cos60,b c =︒︒=︒︒ 则b c ⋅= ．13．向量a ，b 满足则a 与b 的夹角为．14．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c = //c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角 15．已知平面向量(cos ,sin )a ϕϕ= ，(cos ,sin )b x x = ，(sin ,cos )c ϕϕ=- ，其中0ϕπ<<，且函数()()cos ()sin f x a b x b c x =⋅+⋅ 的图象过点)1,6(π．（1）求ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在[0,]2π上的最大值和最小值．16．已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．17．向量)sin ,1(x m a +=→，))6cos(4,1(π+=→x b ，设函数→→⋅=b a x g )(，（R m ∈，且m 为常数）（1）若x 为任意实数，求)(x g 的最小正周期；（2）若)(x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求m 的值.18(1,)b y = ,已知//a b ，且有函数)(x f y =. （1）求函数)(x f y =的周期；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,，若有3)3(=-πA f ，边7=BC ,721sin =B ，求AC 的长及ABC ∆的面积. 19．已知向量x ),1,(sin -=)23,(cos x =，)()(x f ⋅+=（1）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的值域：（2）锐角A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若1023)2(,27,245===B f b c a ，求边c a ,.参考答案1．B【解析】试题分析：()3,3BC BA AC =+=-- 考点：向量的坐标运算.2．D.【解析】试题分析：∵2(1,1),(,2)x x ==+a b ，,a b 共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x 2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．3．C【解析】试题分析：由//a b 可得()40221-=⇒=-⨯-⨯m m ，所以()54641628,432=+=+⇒--=+.考点：向量的坐标运算.4．A【解析】试题分析：2AD DB = ，即()2C D C A C B C D -=- ，解得1233CD CA CB =+ ，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示5．C【解析】试题分析：因为，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，所以，(1,2),(,1)OB AC m =-=- ，又//OB AC ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的概念，共线向量.6．A【解析】试题分析：向量a 在向量b方向上的投影是θcos ⋅（θ是a ，b 的夹角），θcos ⋅=-4.考点：向量的数量积运算.7．B ．【解析】试题分析：由题意知(3,1)AB OB OA =-= ，(2,1)OC m m =+ ，又//AB OC ，则3(1)120m m ⨯+-⨯=，即3m =-.考点：两向量平行的充要条件.8．B【解析】试题分析：因为，(2,0),a = 所以，||2a = ，2220|2|444421cos60412,|2|a b a a b b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=+= B. 考点：平面向量的数量积、夹角、模9．(2,2)【解析】试题分析：根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到(31,42)(2,2).a b -=--= .向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.考点：向量的减法运算10．1【解析】试题分析：b a ⊥10330=⇒=-⇒=⋅⇒x x b a .考点：平面向量数量积运算.11．【解析】试题分析：｜c ｜2＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a·b＋b 2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c ｜＝考点：平面向量数量积、向量的模.12．2．【解析】试题分析：由向量数量积的坐标运算公式得112sin 45cos454sin30cos6024222b c ⋅=︒︒+︒︒=⨯⨯= ．考点：1．向量数量积的坐标运算公式；2．三角函数式求值．13．23π．【解析】试题分析：由题意解得1a b ⋅=- ，则1cos ,2a b =- ，即a 与b 的夹角为23π．考点：1．平面向量数量积运算；2．向量夹角公式．14．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【解析】试题分析：（1）设(,)c x y = ，利用两个已知条件||c = //c a 列出关于,x y 的方程组，解出,x y 即可；（2）由2a b + 与2a b - 垂直得(2)(2)0a b a b +⋅-= ，对此式进行化简，可求出a b ⋅ ，又,a b 的模易知，利用向量数量积的定义则可求出a 与b 的夹角.试题解析：设(,)c x y = 由//||c a c =及 2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或所以，(2,4)(2,4)c c ==-- 或 7分（2）∵2a b + 与2a b - 垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ；∴52a b ⋅=- ∴cos 1||||a b a b θ⋅==- ，∵[0,]θπ∈∴θπ= 14分考点：向量的数量积、向量的模、向量的平行与垂直.15．（1）3πϕ=；（2）最小值12，最大值1．【解析】试题分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算，求出,a b b c ⋅⋅ 代入：()()c o s ()s f x a b x b c x=⋅+⋅ 整理便得()cos(2)f x x ϕ=-，再根据()f x 过点)1,6(π可得ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，便将函数)(x f y =中的x 换成12x 便得函数)(x g y =的解析式：()cos()3g x x π=-. 由02x π≤≤得033236x πππππ-≤-≤-=.结合cos y x =的图象可得()cos()3g x x π=-在[0,]2π上的最大值和最小值. 试题解析：（1） cos cos sin sin cos()a b x x x ϕϕϕ⋅=+=- 1分cos sin sin cos sin(b c x x x ϕϕϕ⋅=-=- ()x -ϕ 2分()()cos ()sin f x a b x b c x ∴=⋅+⋅cos()cos sin()sin x x x x ϕϕ=-+-cos()x x ϕ=--cos(2)x ϕ=-， 4分即()cos(2)f x x ϕ=- ∴()cos()163f ππϕ=-=，而0ϕπ<<， ∴3πϕ=． 6分（2）由（1）得，()cos(2)3f x x π=-，于是1()cos(2())23g x x π=-，即()cos()3g x x π=-． 9分当[0,]2x π∈时，336x πππ-≤-≤，所以1cos()123x π≤-≤， 11分即当0x =时，()g x 取得最小值12，当3x π=时，()g x 取得最大值1． 13分考点：1、向量的坐标运算；2、三角变换；3、三角函数的图象变换；4、三角函数的最值16．（1）3π、π；（2）(1,0]-. 【解析】试题分析：（1）先由平面向量数量积的坐标表示得到()f x ，然后由三角函数的倍角公式进行降次，再将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式.令()0f x =，在区间[]0,π解得3x π=或π，即得到零点3π、π；（2）由条件及余弦定理，通过基本不等式可得1cos 2B ≥，又根据角B 是三角形内角，从而得到其范围，再代入即可得()f B 的取值范围.试题解析：因为向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，函数()f x m n = .所以21cos ()cos cos 2222x x x x f x x +=-=-111cos sin()22262x x x π=--=--3分（1）由()0f x =，得1sin()62x π-=. =+266x k πππ-∴， 5=+266x k k Z πππ-∈或， =+23x k ππ∴， =+2x k k Z ππ∈或，又[]0,x π∈，3x π∴=或π.所以()f x 在区间[]0,π上的零点是3π、π. 6分（2）在ABC ∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而，10分 11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴ 12分考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17．（1）T π=；（2）2m =.【解析】试题分析：(1)借助向量数量积运算，利用两角和与差公式化为一角一函数()2sin(2)6g x x m π=++，可求函数周期；(2)由x 的范围求出26x π+的范围，借助函数图象求出函数最值.试题解析：（1）()14sin cos()14sin (cos cos sin sin )666g x a b m x x m x x x πππ=⋅=+++=++-2cos2x x m ++2sin(2)6x m π=++ 5分所以T π=.（2）因为03x π≤<，所以52666x πππ≤+<， 9分所以6x π=时，()2max g x m =+；0x =时，min ()1g x m =+ 12分所以217,2m m m +++==. 14分考点：1.函数的性质：周期、最值；2.三角函数的化简.18．（1）2π;（2）2AC =,S =. 【解析】试题分析：（1）利用//的充要条件得出)(x f y =，再化简成sin()y A x B ωϕ=++类型求周期；（2）先由条件3)3(=-πA f 求出角A ,再由正弦定理B AC A BC sin sin =求AC ，然后只需求出AB 或sin C 即可求ABC ∆的面积.试题解析：解：由//得0)cos 23sin 21(21=+-x x y 3分即 )3sin(2)(π+==x x f y 5分（1）函数)(x f 的周期为π2=T 6分（2）由3)3(=-πA f 得3)33sin(2=+-ππA 即23sin =A ∵ABC ∆是锐角三角形∴3π=A 8分由正弦定理：BAC A BC sin sin =及条件7=BC ,721sin =B 得2237217sin sin =⋅=⋅=A B BC AC ， 10分又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=即2122472⨯⨯⋅-+=AB AB 解得3=AB 11分 ∴ABC ∆的面积233sin 21=⋅⋅=A AC AB S 12分考点：1、平面向量与三角函数结合，2、正弦定理与余弦定理综合运用，3、三角形面积公式.19．（1）1[22-；（2）8c a ==. 【解析】试题分析：（1）先利用倍角公式、两角差的正弦公式将解析式化简，将已知x 代入，求值域；本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。

2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。

高三数学平面向量试题答案及解析

高三数学平面向量试题答案及解析1.已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以四边形为菱形，因此，即.【考点】1.向量运算；2.三角形外心.2.已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.3.已知向量，，则向量在上的正射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量在上的正射影的数量为选D.【考点】向量正投影4.设向量，，则向量在向量上的投影为．【答案】-1【解析】由已知向量，，向量在向量上的投影为．【考点】向量的投影．5.已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】因为两向量垂直，所以，即，代入坐标运算：，解得：，所以．【考点】向量数量积的坐标运算6.已知向量满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是．【答案】【解析】设,则,设OA中点为D，则,因此四点A,D,B,C共圆,圆心为AB中点M,直径为AB,从而的最大值和最小值分别是因此【考点】向量几何意义7.已知向量满足，则在方向上的投影为．【答案】【解析】根据，求得，根据投影公式可得在方向上的投影为．【考点】向量在另一个向量方向上的投影．8.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC一定是A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据题意有，即，从而得到，所以三角形为直角三角形，故选B．【考点】向量的加减运算，向量垂直的条件，三角形形状的判断．9.已知、是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为三点共线，所以，所以，故选B．【考点】向量共线的充要条件．10.已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为、、，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．因为，，所以故选B．【考点】平面向量；均值不等式11.设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，则a 与b的数量积等于（）A．－B．－C．D．【答案】D【解析】由已知可得，因为与平行，所以可得，解得．即．．故D正确．【考点】1向量共线；2数量积公式．12.在中，已知，，分别是边上的三等分点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为、分别是边上的三等分点所以，所以又所以得所以故答案选【考点】1．向量的线性关系；2．向量的数量积．13.如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是；当面积最大时，．【答案】，【解析】如图，作,交延长线于，则,易证得，所以设，则所以所以由题知，所以故的值域是因为，所以当面积最大时，，即则在中，所以【考点】1．向量的数量积；2．二次函数的最值．14.边长为2的正三角形内（包括三边）有点，，求的取值范围．【答案】．【解析】如下图所示，建立平面直角坐标系，∴，，，，，∴，即点P的轨迹为圆夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧，在中，有，又∵，即的取值范围是．【考点】平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中的取值范围是．【答案】【解析】建立如下图所示直角坐标系，则，,，，，所以，，又因为点在以为圆心、为半径的圆上，且在第一象限，所以点的坐标为，，所以，所以．,,由三角函数的性质可知，函数的值域为，所以的取值范围为．【考点】1．向量的坐标运算；2．圆的参数方程；3．三角函数的性质．【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、圆的参数方程的应用、三角函数的性质、数形结合思想，属难题．平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解进行，并注意方程思想与转化思想的应用．16.已知向量，，若与平行，则的值是 _．【答案】【解析】由题意与平行，则可得到【考点】共线向量17.在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．【考点】正余弦定理【名师】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．18.已知向量，其中，则向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，则，即，则，则有，所以向量的夹角是．【考点】平面向量的数量积的运算．19.（2015秋•上海月考）已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．【答案】1【解析】代入向量数量级定义式计算．解：=||•||cos=2×1×=1．故答案为：1．【考点】平面向量数量积的运算．20.（2015•河南模拟）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．【答案】5【解析】本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到本题答案．解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．【考点】平面向量数量积的运算．21.已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（）A．－12B．12C．一9D．9【答案】D【解析】由，可得点的轨迹是以两定点，为焦点的双曲线的上支，且∴的轨迹方程为：，由和联立可解得：，则．故选D．【考点】椭圆的简单性质．22.在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________．【答案】．【解析】如图：由知点D是BC边的中点，点E是CA边上靠近点C的一个三等分点，．故答案应填：．【考点】向量的数量积．23.在中，则∠C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，解得，所以，故选B．【考点】平面向量数量积的应用．24.已知点P是内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点M是中点，则点P是一个三等分点，，选C.【考点】向量表示25.知△ABC和点M满足＋＝－，若存在实数m使得m＋m＝成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C．【考点】平面向量．26.已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．【答案】（1）,；（2）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可解得函数的单调增区间．（Ⅱ）由，可得，结合范围，可得，从而求得，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：解：（Ⅰ）由可得所以函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由可得【考点】1．余弦定理；2．三角函数中的恒等变换应用．27.在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______．【答案】．【解析】，所以当M,N重合时，，最大，为，又设所以，显然当时，最大为，故的最大值为3．【考点】数量积的应用．28.已知向量若则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知，因为，所以，，所以．故选C．【考点】向量垂直的坐标运算，向量的模．29.已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．【答案】150°．【解析】根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．【考点】平面向量数量积的运算．30.已知点为内一点，且则________．【答案】【解析】如图，即，又，所以有，则.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为有相同的底边，所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于的比值，所以要结合利用向量的运算求得的比值.31.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以有，其中为与的夹角，将代入前式中，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】向量的运算.32.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．33.等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，则．【答案】4【解析】因为，而，.所以答案应填：4．【考点】平面向量数量积的运算．【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底，用表述出，代入数量积进行运算.另一种方法：以为原点，分别以为轴，建立直角坐标系，则,所以，由知，所以.本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.34.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，又因为三点共线，所以.【考点】1.向量的线性运算；2.向量共线定理.35.如图，在中，为的中点，为上任一点，且，则的最小值为．【答案】9【解析】因为是中点，所以，又在线段上，所以，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．【考点】平面向量的基本定理，基本不等式．【名师】设点是直线外任一点，，则是三点共线的充要条件．36.在平面直角坐标系中有不共线三点，，.实数满足，则以为起点的向量的终点连线一定过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，所以.设点在向量的中点连线上，则,所以一点过点，故选C.【考点】向量的坐标运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中，根据，设点在向量的中点连线上，利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算，得到向量的表示，即可到结论.37.四边形中，且，则的最小值为【答案】【解析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a-2，0），B（0，b-3），当时，取得最小值.【考点】平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．38.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意实数，的最小值为____________.【答案】【解析】,建立如图所示的直角坐标系, 取,设.,当且仅当时取等号. 故答案为.【考点】1、向量的几何性质、平面向量的数量积公式；2、利用基本不等式求最值.【易错点晴】本题主要考查向量的几何性质、平面向量的数量积公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用“或”时等号能否同时成立）.39.已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，（1）求曲线的方程；（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值【解析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；（2）设，将表示为（或）的函数，根据函数性质求出最小值；（3）设坐标和直线的斜率，根据相切得出的关系，求出坐标得出圆的圆心和半径，利用切线的性质得出的长．试题解析：（1）设为曲线上的任意一点，依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为（2）设，则因为，所以当时，有最小值2（3）当点在轴上运动（与原点不重合）时，线段的长度不变，证明如下：依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，由得将代入直线的方程得，又，故圆心所以圆的半径为当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值【考点】抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系40.平面向量与的夹角为60°，，则等于（）A．B．4C．12D．16【解析】，因此，选A.【考点】向量的模41.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师】由向量数量积的定义（为，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.42.已知向量，且，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】，由得，解得，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：|a|＝|a|＝cos θ＝cos θ＝a·b＝0x x＋y y＝043.在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.【答案】【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算.44.已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【解析】因，故，应选A。

2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)

必修4 第二章向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是（）A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列命题正确的是（）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A ．a =2aB ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅cD ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b10．下列命题正确的个数是( ) ①=+0 ②0=⋅0③=-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.必修4 第二章向量(一)必修4第三章向量(一)参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．3 14．12e 2e +122e e + 15．4- 16．4三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C. D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a a b -=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点 O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______【答案】2133a b +【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF ＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．【答案】（1）34π；（2）1-．【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以2,64,22cos ,240204020a b a b -⋅-+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解λ=-.得：119．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。

平面向量测试题及详解

平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17 D.174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关 7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53D ．1 12．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________． 16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B 2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB→＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa ＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522. 17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3. 18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析](1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1.20.[解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x . (2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝422.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =

平面向量综合试题(含答案)

BAC D平面向量一、选择题：1、在平面上,已知点A（2,1），Ｂ（0,2),C（-2,1）,O(0，0).给出下面得结论:①②③其中正确．．结论得个数就是（）A.1个B.２个C.3个D.０个2.下列命题正确得就是()A.向量得长度与向量得长度相等Ｂ.两个有共同起点且相等得向量,其终点可能不同C.若非零向量与就是共线向量,则Ａ、B、C、D四点共线Ｄ．若,则3、若向量= (1，１）, = （1，-1）， =(－1,2)，则等于( )A、+B、C、D、＋４．若,且与也互相垂直,则实数得值为( )Ａ. B、６C、D、35.已知＝（2,３）, ＝（,7) ，则在上得正射影得数量为( )Ａ、B、C、Ｄ、6．己知(2,-1）、(0,5) 且点Ｐ在得延长线上，,则Ｐ点坐标为（）A、(－2,11)B、(C、(,3)D、(2，－7)7.设就是非零向量,若函数得图象就是一条直线,则必有( ）A．ﻩ B. C.ﻩD．8.已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A(-2,1),B(-1,3)，C(3,4），则D点坐标为( ）A、(２，2) Ｂ、（4,6) C、（－６,０) D、(２，2)或(-6,0)或(4,6)９、在直角中,就是斜边上得高,则下列等式不成立得就是(Ａ)（B)(C）(D)10. 设两个向量与其中为实数、若则得取值范围就是( ）A、B、C、D、１0.已知P={a|a=(１，0)＋ｍ(0,1）,m∈R}，Q={b|ｂ=(1，1)+ｎ(-1,1）,ｎ∈R｝就是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,１)} B．{（-１,1）} C.{（1,０）}D．{(0，1)｝二、填空题：１1．若向量得夹角为，,则.12.向量.若向量，则实数得值就是ﻩﻩ．1３.向量、满足=＝1,=3,则=1４. 如图,在中，就是边上一点，则、１５.如图，在中,点就是得中点,过点得直线分别交直线,于不同得两点,若，,则得值为ﻩ. 三、解答题:１6、设两个非零向量e１、ｅ2不共线、如果＝e１＋ｅ2,2e１+8ｅ2,=3(e1－e2)⑴求证：A、B、D共线;⑵试确定实数ｋ,使kｅ1+e２与e1+kｅ２共线、1７、已知△ＡBC中,A（2,4），B（－1,－２）,C（４，3),BC边上得高为ＡＤ、⑴求证:AB⊥AＣ；⑵求点D与向量得坐标、1７.(1０分)已知ｓiｎ(α+错误!)=－错误!，α∈(0,π).(１)求错误!得值；（２)求cos(2α-错误!)得值.18.已知矩形相邻得两个顶点就是Ａ(－1，3）,B(-2，４）,若它得对角线交点在x轴上，求另两个顶点得坐标.１9、已知△顶点得直角坐标分别为、（１)若，求ｓin∠得值;（２)若∠就是钝角,求得取值范围、20.已知向量.(１）若，求; (2)求得最大值.2１、设向量,函数、(Ⅰ)求函数得最大值与最小正周期; (Ⅱ）求使不等式成立得得集合、 22.(12分）已知向量a =(cos α,sin α）,b ＝(c ｏs β,sin β),|a -b |=错误!.(１)求co ｓ(α－β)得值; (2)若0<α<＼f(π,2)，－错误!＜β＜０,且si ｎ β＝-错误!,求sin α.平面向量参考答案一、选择题:1－5：BA ＢＢC 6、Ａ７、 A 【解析】，若函数得图象就是一条直线，即其二次项系数为0，０, 8、D 9、 C 、【分析】： ,Ａ就是正确得,同理B 也正确,对于D 答案可变形为,通过等积变换判断为正确、 10、 A 【分析】由可得,设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得、故选A 10、Ａ二、填空题: １１、【解析】。

平面向量试题附答案

1．下列结论正确的是(②③ )①若,a b 都是单位向量，则a b =。

②物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量。

③方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量。

④直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量。

2．如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，则MA =1122a b --， MC =1122a b +，MB =1122a b -，MD =1122a b -+。

3．(3,2),(0,1)a b ==-，则24a b -+=(6,8)--。

4．已知点(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)A B C D ，则AB 与CD 的位置关系是//AB CD 。

5．已知向量(2,3),(6,3)OA OB ==-，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是10(,1)3或14(,1)3-。

6．已知ABCD 的顶点(1,2),(3,1),(5,6)A B C ---则点D 的坐标是(1,5)。

7．已知(2,3),(,6)a b x ==-，若a 与b 共线，则x =4-若a b ⊥，则x =9。

8．已知6,4a b ==，a 与b 的夹角为60，则(2)(3)a b a b +⋅-=72-，a b+=。

9．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列说法正确的是( C ) A ．a 与a λ的方向相反 B ．a a λ-≥C ．a 与2a λ的方向相同 D ．a a λλ-=⋅10．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1),(4,1),(4,5)A B C 则cos A =35，cos B =0， ABDMabcos C =45。

11．等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32-. 12．设12,e e →→是两个不共线的向量，1212122,3,2,AB e ke CB e e CD e e =+=+=-若A 、B 、D 三点共线，则k= -813．已知O 为四边形ABCD 所在平面内的一点，且向量,,,OA OB OC OD 满足OA OC OB OD +=+，试判断四边形ABCD 的形状。

平面向量测试题(含答案)

平面向量章末检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．）＋＋（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513 D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么3a b +=（）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） 1()2a b →→-（B ） 1()2b a →→-（C ） →a ＋12b → （D ） 1()2a b →→+6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数8．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4） 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±10、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.11．若),4,3(=Ａ点的坐标为（-2，-1），则Ｂ点的坐标为． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13、已知向量3,(1,2)a b ==，且b a⊥，则a 的坐标是_________________。

《平面向量》测试题及答案

《（一）平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k)3.若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（） A.73B. 37C.-37D.-734.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（）A.60°B.-60°C.120°D.-120°5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-528.设点P 分有向线段21P P的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21)9.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b=。

高二数学平面向量试题答案及解析

高二数学平面向量试题答案及解析1.设是单位向量，且，则的值为．【答案】【解析】。

2.已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是_______．【答案】【解析】略3.已知点O为直线外任一点，点A、B、C都在直线上，且，则实数【答案】-2【解析】略4.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；（2）求的值.【答案】解：(1),当时，得,当时，得.(2).【解析】解：(1)矩阵的特征多项式为，令，得,当时，得,当时，得. …………………6分(2)由得，得.∴.……………………14分5.若向量，且与的夹角余弦为，则等于_________________.【答案】【解析】略6.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则7.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示8.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．9.已知，，若，，且，则_________．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．数量积；2．向量垂直．10.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由向量数量积的定义写出函数，然后应用辅助角公式将函数化成的形式，再由公式求得函数的最小正周期；（Ⅱ）由求得的取值区间即为函数的增区间．试题解析：（Ⅰ）所以，的最小正周期为．（Ⅱ）由得所以，的单调递增区间为．【考点】1．向量的数量积；2．三角恒等变形公式；3．三角函数的性质．11.（本小题共12分）设向量（1）若，求x的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】主要考察向量数量积的坐标表示的相关问题，（1）首先表示和，令其相等，得到：，然后再解方程；（2）第一步，先利用数量积的坐标表示得到函数，并化简为，第二步，然后根据，求的范围，并算得其最值．试题解析：（1）由及得：又，从而，所以．（2）当时，取得最大值所以函数的最大值是．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简和性质．12.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．13.已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．【考点】向量平行的充要条件．14.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．15.（12分）已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．【答案】（1）f（）=﹣1；（2）cos（α﹣β）=．【解析】（1）由向量的数量积公式得出函数f（x）的解析式，再由对称轴方程求出,从而得出函数f（x）的解析式，最后将代入解析式求值即可；（2）利用已知条件可求出的正弦、余弦值，然后利用两角差的余弦公式即可求出cos（α﹣β）的值．试题解析：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x = ．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值．16.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，由平行四边形法则知，所以，同理，故．故答案为：B．【考点】平面向量共线．【思路点睛】首先，利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，然后再平行四边形法则作出Q,同理可求出，再将两个式子相比，即可求出的面积与的面积之比．17.已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．【答案】【解析】依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又∵．∴，∴所求方程为：．【考点】双曲线的定义．18.设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理①；②；③；④其中正确的命题序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】B【解析】两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，，故①错，所以答案为B【考点】空间向量．【方法点睛】可根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直线，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案．向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键．19.在各项均为正数的等比数列中，和是方程的两根，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】和是方程的两根，由【考点】1．等比数列性质；2．向量的数量积运算20.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，因为与垂直，所以，解得．故D正确．【考点】空间向量垂直问题．21.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径列出不等式，解之即可求的取值范围；（2）设，联立方程，化简得，由韦达定理写出与的关系，代入向量表达式，可求出的值，从而求出直线方程，即可求的长．试题解析：（1）由题设，可知直线的方程为，因为与交于两点，所以．解得，所以k的取值范围为．（2）设．将代入方程，整理得，所以，，由题设可得，解得，所以的方程为．故圆心在直线上，所以．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．向量的坐标运算．【名师】本题主要考查的是直线与圆的位置关系与向量的坐标运算，属于中档题．直线与圆的位置关系的判断可用几何法或代数法:几何法即由圆心到直线的距离来判断，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离；代数法即联立方程组用一元二次方程的判别式来判断，即时，直线与圆相交；时，直线与圆相切；时，直线与圆相离；实际解题时用几何法比代数法简单．22.在直角坐标系中，已知两点，；，是一元二次方程两个不等实根，且、两点都在直线上．（1）求；（2）为何值时与夹角为．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线上求得;（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出,与（1）中的结合得到关于的方程，求解方程得答案试题解析：（1）、是方程两个不等实根，解之，又、两点都在直线上，（2）由题意设，，同理当与夹角为时，解之即为所求．【考点】一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算．【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律．23.已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．（1）若，试用、、表示；（2）证明：；（3）若的，，外接圆的半径为，用表示．【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）【解析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量只要证明利用O是三角形的外心，可得然后用向量然后用向量、、表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径试题解析：（1）由平行四边形法则可得：,即；（2） O是的外心，，即，而，,，；（3）在中, 为的外心，，，于是，，【考点】向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义．【方法点睛】（1）当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；（2）当是非坐标形式时，要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．24.已知向量则A．2或3B．－1或6C．6D．2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算25.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据已知可得：，故选择C【考点】求向量的模26.已知A点坐标为，B点坐标为，且动点到点的距离是，线段的垂直平分线交线段于点．（1）求动点的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）根据题意知，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以轨迹的方程为；（2）设点则，根据两点之间的距离公式得：，化简得：，又有椭圆的范围知，求函数的最值．试题解析：（1）∵；又，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，∵，∴，所求轨迹方程为．（2）解：设点则【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误．27.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值；（II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C.D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．【答案】（1）34π；（2）1-．【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。