高考概率大题及答案

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高考概率大题题型归纳

从5名男生和3名女生中任选3人参加竞赛，设事件A为“选到男生人数比女生人数多”，则事件A发生的概率为：A. 3/14B. 5/14C. 10/14D. 11/14（正确答案）甲、乙两人按五局三胜制进行乒乓球比赛，已知甲获胜的概率为0.6，则甲打满5局才获胜的概率为：A. 0.216B. 0.288（正确答案）C. 0.432D. 0.648一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个球，将其中白球的个数记为X，则下列概率等于C(16,1)C(4,1)/C(26,2)的是：A. P(0 < X ≤ 2)B. P(X ≤ 1)（正确答案）C. P(X = 1)D. P(X ≥ 1)设随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，若P(X < a) = 0.32，则P(a < X < 4 - a)等于：A. 0.68B. 0.36C. 0.32D. 0.34（正确答案）从长度为2, 3, 4, 5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是：A. 1/4B. 3/4（正确答案）C. 1/2D. 2/3甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4，则两人合作译出密码的概率为：A. 1/12B. 5/12C. 7/12（正确答案）D. 1/2在圆M：(x + 1)² + (y - 3)² = 4内任取一点P，则点P到x轴的距离小于2的概率为：B. 1/4（正确答案）C. 1/6 - √3/πD. √3/π从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有多少对？A. 24B. 18C. 12（正确答案）D. 6设不等式组{ x - 2y + 1 ≥ 0, |x| - y - 1 ≤ 0 } 表示的平面区域为Ω，已知A(1/2,3/2)，B(3,5/2)在Ω内，若在区域Ω内随机取一点Q，则所取点Q满足∠AQB为钝角的概率为：A. 1/6B. 1/8C. 1/9（正确答案）D. 1/12。

高考概率大题及答案

高考概率大题及答案【篇一：2015年高考数学概率与统计试题汇编】4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：??a??0.76,a? ，据此估计，??bx? ，其中b???根据上表可得回归直线方程y该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )a．11.4万元 b．11.8万元c．12.0万元 d．12.2万元【答案】b考点：线性回归方程．13．如图，点a 的坐标为?1,0? ，点c 的坐标为?2,4? ，函数f?x??x2 ，若在矩形abcd 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】5 12【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为4??x2dx?4?1275?．所以此点取自阴影3355部分的概率等于?． 412考点：几何概型．16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x，求x的分布列和数学期望．15【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为． 22【解析】试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a．则银行3卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为a6?6?5?4，事件a包含3的基本事件数为a5?5?4?3，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随机变量x的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．试题解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a，5431= 则p(a)=6542（Ⅱ）依题意得，x所有可能的取值是1，2，3151又p(x=1)=,p(x=2)=?6651542,p(x=3)=1=. 6653所以x的分布列为所以e(x)=1?1122?3?6635． 2考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．2015江苏理科5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5. 6考点：古典概型概率2015年重庆理科17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

高考概率大题及答案

高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。

已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。

现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。

2.一批产品某种型号有20%的不合格品。

现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。

首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。

而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。

因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。

假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。

因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。

3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。

现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。

高考真题数学概率题及答案

高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。

在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。

题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。

题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。

解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。

题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。

解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。

通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。

希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。

高考数学试卷概率题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 从装有5个红球、4个黄球、3个蓝球的袋中，随机取出3个球，取出的3个球都是红球的概率是：A. 1/50B. 1/15C. 1/10D. 1/62. 一个密码锁由3个数字组成，每个数字可以是0到9中的任意一个，那么正确的密码有：A. 100种B. 900种C. 81种D. 729种3. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到偶数的概率是：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/64. 一个班级有30名学生，其中有18名女生和12名男生。

随机抽取一名学生，抽到女生的概率是：A. 3/5B. 2/5C. 3/10D. 1/55. 一个口袋里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是：A. 1/4B. 1/3C. 3/7D. 1/76. 从一副52张的标准扑克牌中，随机抽取4张牌，其中抽到4张都是同花色的概率是：A. 1/4165B. 1/1326C. 1/416D. 1/267. 一个箱子里有10个白球和15个黑球，随机取出2个球，取出的2个球都是黑球的概率是：A. 3/7B. 1/7C. 2/7D. 1/48. 一个班级有40名学生，其中有20名喜欢数学、15名喜欢物理、10名两者都喜欢。

那么至少有一名学生既喜欢数学又喜欢物理的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 3/8D. 5/89. 抛掷一枚公平的硬币，连续抛掷两次，至少有一次出现正面的概率是：A. 3/4B. 1/2C. 1/4D. 1/310. 一个袋子里有3个红球、2个黄球和4个蓝球，随机取出3个球，取出的3个球颜色各不相同的概率是：A. 1/5B. 1/3C. 3/10D. 1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）11. 抛掷一枚公平的硬币，连续抛掷3次，得到至少一次正面的概率是________。

高考数学《概率》综合复习练习题(含答案)

高考数学《概率》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 2.718≈为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[]0,e 上的随机数1231000,,,x x x x 和1y ，2y ，3y ，…，1000y ，从而得到1000个点的坐标(),i i x y （1,2,3,1000i =），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A ．0.70B ．1.04C ．1.26D ．1.922．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（） A ．125 B ．85C ．35D ．253．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（） A ．320B ．310 C ．25D ．154．已知ABC 和ABD △都内接于同一个圆，ABC 是正三角形，ABD △是直角三角形，则在ABD △内任取一点，该点取自ABC 内的概率为（）A ．14B ．12C ．34D 35．现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子．我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动．在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．236．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在[]60,90内，绘成频率分布直方图（如图所示），从[)60,70中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[)60,65内的概率是（）A．715B．815C．23D．137．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（）A．215B．15C．415D．258．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（） A ．545B ．547C ．549D ．5519．在各不相同的10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出两个球，第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为 A ．110 B ．13C ．25D ．5910．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（）A ．35B ．310 C ．45D ．2511．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 A ．27B ．57C ．29D ．5912．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值.假如统计结果是60m =，那么π≈（）A ．165 B ．65C ．7825D ．14245二、填空题13．已知某人同时抛掷了两枚质地均匀的正方体骰子，记“两枚骰子的点数之和是6的倍数”为事件A ，则()P A =______________．14．如图，连接△ABC 的各边中点得到一个新的111A B C △，又连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ，111A B C △，222A B C △，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是______．15．某校有高一、高二、高三、三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为___________．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．三、解答题17．在第29届“希望杯”全国数学邀请赛培训活动中，甲､乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示.（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加第29届“希望杯”全国数学邀请赛，你会选择哪一位？说明理由；（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率.18．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率； (1)乙中靶； (2)恰有一人中靶； (3)至少有一人中靶.19．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数． (1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率； (2)设X 为所取的3个数中奇数的个数，求X 的可能取值及相应的概率．20．在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了4个演唱节目，2个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）(1)若从6个节目中选3个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数； (2)现对6个节目安排演出顺序，求4个演唱节目接在一起的概率；(3)现对6个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．21．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．22．为了研究性格和血型的关系，随机抽查了100个人的血型和性格，其情况如下表：（1）根据上面的22⨯列联表，判断是否有95%的把握认为性格与血型有关？（2）在“内向型”性格的人中，用分层抽样的方法抽取5人.若从5人中抽取3人进一步分析性格和血型的关系，求恰好抽到两名“O型或A型”人的概率.附表：其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++23．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市30名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝100mL以上的”为常喝.已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为4 .(1)请将上表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；(2)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.24．A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计B班的学生人数；（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率; （Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率。

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【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知，事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏）现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东）在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3）＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2，， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22，因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－＝，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江）设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数．若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ，化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东）已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ．－1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理）若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州）在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

文科数学概率高考题（含答案）

文科数学概率高考题（含答案）概率是历年高考数学文科考试经常出现的题型。

为了帮助考生掌握数学中概率知识点，下面是店铺为大家整理的数学概率高考题，希望对大家有所帮助!文科数学概率高考题（一）1.[2014•新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.1.132.[2014•全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.2.233.[2014•浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________.3.134.[2014•陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.4.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.5.、[2014•四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.5.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)=327=19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.K2 古典概型6.[2014•福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.6.解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20aa=6400(美元).因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个.设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个.所以所求概率为P(M)=310.7.[2014•广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________.7.258.[2014•湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )A.p1C.p18.C9.[2014•湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).其中a，a分别表示甲组研发成功和失败;b，b分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平.(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.9.解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x甲=1015=23，方差为s2甲=1151-232×10+0-232×5=29.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x乙=915=35，方差为s2乙=1151-352×9+0-352×6=625.因为x甲>x乙，s2甲(2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个，故事件E发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P(E)=715.文科数学概率高考题（二）10.[2014•江苏卷] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.10.1311.[2014•江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.11211.B12.[2014•江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)=f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值.12.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)=11192.(2)F(n)=n，1≤n≤9，2n-9，10≤n≤99，3n-108，100≤n≤999，4n-1107，1000≤n≤2014.(3)当n=b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)=k;当n=100时，g(n)=11，即g(n)=0，1≤n≤9，k，n=10k+b，11，n=100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，同理有f(n)=0，1≤n≤8，k，n=10k+b-1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n-80，89≤n≤98，20，n=99，100.由h(n)=f(n)-g(n)=1，可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S={9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}.当n=9时，p(9)=0.当n=90时，p(90)=g(90)F(90)=9171=119.当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9，由y=k20k+9关于k单调递增，故当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)=8169.又8169<119，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119.13.[2014•辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2，P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63513.解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i=1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j=1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A={(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}.事件A由7个基本事件组成，因而P(A)=710.14.[2014•山东卷] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.14.解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150=1，150×150=3，100×150=2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A;B1，B2，B3;C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.所以P(D)=415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.15.[2014•陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.4515.B16.[2014•四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.16.解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)=327=19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.17.[2014•天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.17.解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.因此，事件M发生的概率P(M)=615=25.18.[2014•重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图13所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数;(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率.18.解：(1)据直方图知组距为10，由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，解得a=1200=0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).故所求概率为P=310.文科数学概率高考题（三）19.[2014•福建卷] 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.19.1820.[2014•湖南卷] 在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.1520.B21.[2014•辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图11所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π821.B22.[2014•重庆卷] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)22.932K4 互斥事件有一个发生的概率K5 相互对立事件同时发生的概率23.[2014•全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.23.解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1，P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3，则P(F)=0.06<0.1，所以k的最小值为3.K6 离散型随机变量及其分布列24.[2014•江苏卷] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X).24.解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P=C24+C23+C22C29=6+3+136=518.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X=4)=C44C49=1126;{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X=3)=C34C15+C33C16C49=20+6126=1363;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X 2 3 4P 111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布25.[2014•全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.25.解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1，P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3，则P(F)=0.06<0.1，所以k的最小值为3.。

概率高考题及答案详解

14．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．15．（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221332，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB．16．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．17（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(18)(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有ABCD 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题ABCD 分别加1分2分3分6分，打错任一题减2分; ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数不足14分时，答题结束，淘汰出局。

概率大题较难含答案

1．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢. 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意X 的可能取值为2,3,4,5.列出分布列表格，就可以求出期望的值.用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，kB 表示“第k 局乙获胜”.121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++121231234()()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++X 的可能取值为2,3,4,5.考点：1.概率的求解；2.期望的求解.2a、a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)在概率P(【答案】（1（2【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)－a)2－a)2；C·－a)2－a)－a2)；P(ξ＝1)＝11C·－a)2－a2)；P(ξ＝2)＝11C·2P(ξ＝3)＝11所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)－a)2－a 2)－a 2)＋3(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)－a 2)－(2a －a 2)]P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－a 2)－a 2]由2(1)0,120,21202a a a a ⎧⎪-≥⎪-⎪≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩和0＜a ＜1，得0a3．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

高考概率经典解答题及答案

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

(完整版)概率论大题附答案

第一章随机事件及其概率1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ．解以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则4964100C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．解从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有25C 10=种不同取法）；有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；有利于3A 的取法有5×25C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得111102550()0.06()0.15()0.30165165165P A P A P A ======，，．1.8 考虑一元二次方程 02=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．解显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=∆．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}∆<和{0}∆>．下表给出了事件{∆由对称性知{0}∆<和{0}∆>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率β为170.47αβ==≈．． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．解引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．由贝叶斯公式，有1111122()(|)2(|)()(|)()(|)3P H P A H P H A P H P A H P H P A H α===+．1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试，经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器 (1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．解这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====，，，．(1) 10台仪器都能出厂的概率0112210100()()(|)()(|)0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=⨯+===≈　；．(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率109{2}1{0}{1}10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--⨯⨯≈．1.23 设B A ,是任意二事件，证明：(1) 若事件A 和B 独立且B A ⊂，则()0P A =或()1P B =；(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．证明 (1) 由于B A ⊂，可见()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，．因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见()()()0P A P B P AB ==，因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．补充：第二节事件的关系和运算1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生； ⑺ A ,B ,C 都不发生.解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC第三节事件的概率解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-=0.1 ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+1111500044488=++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}max (),()P A P B P A B ≤+，所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.第四节条件概率及与其有关的三个基本公式1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,B A A ⊂+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =所以()()()()()()()()0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B BP A P P A P A A⨯===≈⨯+⨯+第五节事件的独立性和独立试验1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n ==每个元件正常工作，，且()i P C p =，{}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p ===，()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===-()1()1(1)n P B P B p =-=--2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置通达,{}i A i =第条线路不通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达，由条件知，2()i P A p =，2()1i P A p =-，23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--第二章随机变量及其分布2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为410C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k-，因此 437410C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，或01230123~351056371131210210210210621030X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数410P 10987120=⨯⨯⨯=．易见 7843728{1}{2}10120109120P Y P Y ⨯======⨯，，327732171{3}{4}109812010987120P Y P Y ⨯⨯⨯⨯⨯======⨯⨯⨯⨯⨯，．1234~842871120120120120Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 2.11 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．解以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：2{1}{2}ee 2!P X P X λλλλ--====，．于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此42222{=4}=e =e 0.090243P X --≈ ！2.14 设随机变量X 服从区间25[，]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．解设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此234820(){2}{3}3(1)92727P B P Y P Y p p p ===+==-+=+=α．2.17 设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥ ，分别求常数C解（1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1{}2P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23{}=32C P X C Φ-<=（）所以反查表可得 3.88C ≈2.22 设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中10 00 10X Y X X -<==>⎧⎪⎨⎪⎩，若，，若，，若．解由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为1{1}{0}{10}{0}{0}032{1}{0}{02}31~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，；-1．补充：第二节离散随机变量解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64P A P X P X ==+==2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。

概率试题及答案

概率考试题目一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．当事件A 与事件B 同时发生时，事件C 必发生，则（）.. ()() . ()(). ()() . ()()A P C P AB B PC P AB C P C P ABD P C P A B ≤≥==⋃2．对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( ).A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)3. 某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁以上的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（）. A. 0.76 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.54、设0() 1 , 0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则下列结论成立的是（）.A. 事件A 和B 互不相容；B. 事件A 和B 互相对立；C. 事件A 和B 互不独立；D. 事件A 和B 互相独立.5．将一枚硬币重复投掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于（）.A. -1B. 0C. 1/2D. 16．设1()F x 和2()F x 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使 12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（）.. 3, 4 . 0.5,0.5. 0, 1 . 1,0A a bB a bC a bD a b ========7. 设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( ).A. f(x)单调不增B.()1F x dx +∞-∞=⎰ C. ()0F -∞= D. ()()F x f x dx +∞-∞=⎰8. 设在总体2(,)N μσ中抽取样本123,,X X X ,其中μ已知，2σ未知，则下面选项中哪项不是统计量( )A. 3114i i X =∑ B .311ii Xσ=∑ C .223X μ+ D .123min(,,)X X X9. 设X 1,X 2,…X 6是来自正态总体N(0,1)的样本，则统计量X 12+X 22+…+X 62服从（）分布A 正态分布B t 分布C F 分布D 2χ分布10. 设X 为随机变量，且()1,()3,E X D X =-=则)]2(3[2-X E =（）.A. 6B. 9C. 30D. 36二、填空题（本题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1.设事件A 与B 相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A ⋃B)= .2.已知随机变量X 服从[0,3]上的均匀分布，则()E X = .3.设随机变量X 服从p n ,为参数的二项分布且()12,()6E X D X ==，则参数=p .4. 设X1, X2, ···, X12是来自总体X 的样本，X 是样本均值，若E ( X )=120,()144D X =,则()E X = . 5.随机变量X 和Y 相互独立，且22(10),(5),XY χχ则随机变量105X Y _______.6. 设A,B 为随机事件,A 与B 互不相容,P(B)=0.2,则()P AB =__________.7. 设随机变量X 的分布函数为21,0()0,x e x F x -⎧->=⎨⎩其他，其概率密度为(),f x 则(1)f =_______.8. 已知Cov(,)3,()1,()2,X Y D X D Y ===则(23)D X Y ++=___________. 9. 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,12,,,n X X X 为来自总体的一个样本，2S 为样本方差，且222(1),cS n χσ-则c =__________.10. 设(0,1),()XN x Φ为其分布函数，则(0)Φ=_______.11. 已知(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度为________. 12. 已知(3)Xπ，则{3}P X ==________.13. 已知X 的概率密度为()f x ，则2Y X =的概率密度为________.14. 已知X 的概率密度为01()0cxx f x <<⎧=⎨⎩其它，则c=________.15. 已知(1,9)XU ，则{6}P X <=________.三、判断题（本题共 5 小题，每小题2 分，共 10分）P ｛X=3｝=0 . ( ) 2. (,)2f x y =可作为随机变量(,)X Y 的密度函数 . ( ) 3. ()()()E X Y E X E Y +=+ . （） 4. 随机变量X 和Y 满足Cov(,)0X Y =，则X 与Y 相互独立. （） 5.设 {X n} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为μ, 方差为 σ2>0，则当 n充分大时，有lim ()n n i n P y y X μ→∞-≤=Φ⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ . （）四、综合题（本题共 1 小题，每小题 30 分，共 30分）1、求c 的值；2、求{X+Y<4}Ｐ；3、求X 的边缘分布律； 4、求Z=X+2Y 的分布律； 5、求E （max （X ，Y ））；6、求Y=2时，X 的分布律； 7、判断X 与Y 是否相互独立； 8、求相关系数XY ρ.五、应用题（本题共 1 小题，每小题 10 分，共 10分）20%,30%,50%, 它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一产品，问它是次品的概率是多少?若取出一件是次品，那么这次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？1、A complex-valued sequence converges if and only if both the real part and the imaginary part converge separately.2、This device for representing real numbers geometrically is a very worthwhile aid that helps us to discover and understand better certain properties of real numbers.参考答案及评分标准一、选择题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1、B2、 C3、 D4、D5、A6、 D7、C8、B.29、 D 10、 A二、填空题（本题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1、 0.72、1.53、 0.54、1205、F(10,5) 6. 0.2 7. 2e -28、21 9、n-1 10、 0.5 11、(,)(-z+y,y)y f x z x dx f d +∞+∞-∞-∞-+⎰⎰或12、 9e -3/2 13、 f(y/2)/2 14. 2 15、 5/8三、判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1、√2、 ×3、√4、×5、√四、综合题（本题共 1 小题，每小题 30 分，共 30分）解：1、0.1+0.1+0.1+0.1+c+0.1+0.1+0.1+0.1=1 2分 C=0.2 1分 2、{X+Y<4}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}=0.1+0.1+0.1+0.1+c =0.6Ｐ3分3、X 的边缘分布律为3分4、Z=2X+Y3分 5、=0.1*1+0.1*2+0.1*4+0.1*1+0.2*2+0.1*4+2*0.1+0.1*2+4*0.1=2.4E[max(X,Y)]3分6、 Y=2时，X 的分布列为3分7、P{X=0}*P{Y=1}=0.3*0.3P{X=0,Y=1}≠ 2分故X 与Y 是不相互独立。

2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)含答案

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ ．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i=1,第i局乙当裁判0,第i局甲或丙当裁判,i=1,2,⋅⋅⋅,n，p i=P X i=1，X表示前n局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n=3且X=1”的概率；(2)求p i；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n充分大时E X 的实际含义.附：设X，Y都是离散型随机变量，则E X+Y=E X+E Y.8(2024·安徽池州·二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E X ；(2)规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P Y=k取最大值时的整数k.9(2024·辽宁·二模)一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为-2的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．10(2024·广东湛江·一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，⋯，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为P n n=1,2,3,⋅⋅⋅,25．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；(2)证明：数列P n-P n-1n=2,3,⋅⋅⋅,24为等比数列．11(2024·广东韶关·二模)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．12(2024·河北邢台·一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k=0，1，2，⋯，10)的概率为P k，则当k为何值时，P k最大？13(2024·湖南衡阳·模拟预测)某电竞平台开发了A､B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n(n∈N*且n≥2)关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为23，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩A､B两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为X i i=1,2,⋯,n，求E X i关于i的解析式，并求E X8的值.(精确到0.1，参考数据：2 37≈0.059.)14(2024·湖南邵阳·模拟预测)2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场(停车时间不超过60分钟)，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟0,1515,30 30,45 45,60甲143a14a 乙162b13b设此次停车中，甲所付停车费用为X ，乙所付停车费用为Y ．(1)在X +Y =18的条件下，求X ≥Y 的概率；(2)若ξ=X -Y ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．15(2024·湖北·一模)2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生12n710n高中生合计3 5 n附：α0.10.050.00250.010.001χα 2.706 3.841 5.024 6.63510.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．(1)完成上述列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)16(2024·湖北·二模)吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x 与损伤度y ，数据如下表：吸烟量x 1456损伤度y3867(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；(2)在实际应用中，通常用各散点(r ,y )到直线y =bx +a 的距离的平方和S =ni =1(bx i +a -y i )2 来刻画“整体接近程度”.S 越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程y =b x +a.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附：b =ni =1(x i -x )(y i -y)ni =1(x i -x)2，a =y -b x.17(2024·山东枣庄·一模)有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为12．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第n n ∈N *,n ≥5 次答题后游戏停止的概率为a n ．①求a n ；②a n 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．18(2024·安徽合肥·二模)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为x 1,x 2,x 3,⋯,x n ，其平均数记为x，方差记为s 21；把第二层样本记为y 1,y 2,y 3,⋯,y m ，其平均数记为y，方差记为s 22；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为s 2．(1)证明：s 2=1m +nn s 21+x -z 2 +m s 22+y -z 2 ；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1)；(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N μ,σ2 ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A ,B ,C ,D 四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1)．附：P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.68,302≈17,322≈18,352≈19．19(2024·福建福州·模拟预测)甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N0,0.22，规定X∈-0.2,0.2的零件为合格品．的零件为优等品，X∈-0.6,0.6(1)从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数(精确到整数)；(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率(精确到0.01)．(附：若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.9545，=0.6827，Pμ-2σ<ξ<μ+2σPμ-3σ<ξ<μ+3σ=0.9973)20(2024·河北保定·二模)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P (A |B )=23，P (B |A )=56，P B =23.(1)求P A 和P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立未建立合计(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k 的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的k 倍，且新列联表中的数据都为整数).若要使得依据α=0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定k 的最小值参考公式及数据：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，n =a +b +c +d .α0.010.0050.001x a6.6357.87910.82821(2024·浙江绍兴·模拟预测)书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该桌平均值之差存在着较大的关系.(注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，个人值类似.)为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：个人值与平均值之差x-9-6-30369得分y-38600-23100-10900+11800+24100+36700(1)①计算x ,y 的相关系数r ，并判断x ,y 之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.②求出y 与x 的经验回归方程.③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：角色宫永照园城寺怜花田煌松实玄雀力值249104能力值241636试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分(近似至百位)(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在(1)②问当中方程斜率b 存在的标准差Δb ；另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现“个人值”X 符合正态分布规律X ~N μ,σ2 .(μ为评估得出的个人值.)已知松实玄实际表现个人值满足P X >10.5 =0.02275，求(1)③中其得分的标准差.(四舍五入到百位)(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的43.我们设进行了i 轮之后，在前i 轮内该参赛者的总得分为E X i ；若园城寺怜参加了此比赛，求ni =1E X i2i参考数据和公式：①7i =1x i y i =1029000；7i =1y 2i =4209320000.②相关系数r =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2ni =1y i -y2；经验回归方程y =b x +a ，b =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2，a =y -b ⋅x；Δbb=1r 2-1n -2，其中n 为回归数据组数.③对于随机变量X~Nμ,σ2，Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.④x <<1时，1+xα≈1+αx，α∈R；⑤对间接计算得出的值f=xy有标准差Δf满足Δff=Δx x 2+Δy y 2.⑥13136≈3.2×10-4；6.8≈2.6；2946524≈1715×1+9×10-422(2024·江苏南通·模拟预测)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前k1≤k<n条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设k=tn，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.①若n=4，k=2，求P；②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k+1k+1+⋯+1n-1=ln nk)23(2024·安徽·模拟预测)某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为12，每次答题是否答对互不影响.(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i次答题所得分数X i i∈N*的数学期望为E X i．(ⅰ)求E X1，E X2，E X3，并猜想当i≥2时，E X i与E X i-1之间的关系式；(ⅱ)若ni=1E X i>320，求n的最小值．24(2024·辽宁·模拟预测)某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i i =1,2,⋯,20 .设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N (M ，N 均大于100)，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E X i +X j =E X i +E X j ，D X i +X j =D X i +D X j (i )证明：E X =E X 1 ，D X =120D X 1 ；(ii )该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i i =1,2,⋯,20 .数据x i i =1,2,⋯,20 的平均值x =30，方差s 2=1.采用x和s 2分别代替E X 和D X ，给出M ，N 的估计值.(已知随机变量x 服从超几何分布记为：x ∼H P ,n ,Q (其中P 为总数，Q 为某类元素的个数，n 为抽取的个数)，则D x =nQ P 1-QPP -nP -1 )25(2024·广东广州·一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n (n ≥3,n ∈N *)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n =3，用X 表示A 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X 的均值；(2)记A 团队第k (1≤k ≤n -1,k ∈N *)位成员上场且闯过第二关的概率为p k ，集合k ∈N *p k <3128中元素的最小值为k 0，规定团队人数n =k 0+1，求n .26(2024·广东深圳·二模)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P B <1，证明：P A B >P A B．27(2024·湖南·二模)某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为12，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X ，已知X 的分布列如下：(其中a >0,0<p <1)X0123Pa (1-p )2apa a 1-p(1)记事件A i 表示王同学假期三天内去运动场锻炼i 次i =0,1,2,3 ，事件B 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p =12时，试根据全概率公式求P B 的值；(2)是否存在实数p ，使得E X =53若存在，求p 的值：若不存在，请说明理由；(3)记M 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，0<P M <1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：P M ∣N >P M ∣N.28(2024·山东济南·二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为14.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在1,0,-1,0,0,1,0,-1四点处.(1)设粒子在第2秒末移动到点x,y，记x+y的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望E X ；(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为p n.(i)已知nk=0(C k n)2=C n2n求p3,p4以及p2n；(ii)令b n=p2n，记S n为数列b n的前n项和，若对任意实数M>0，存在n∈N*，使得S n>M，则称粒子是常返的.已知2πnnen<n!<6π 142πn n e n，证明：该粒子是常返的.29(2024·山东潍坊·二模)数列a n 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a n +1-a n 称为a n 的一阶差数列，记为a 1 n ，依此类推，a 1 n 的一阶差数列称为a n 的二阶差数列，记为a 2n ，⋯．如果一个数列a n 的p 阶差数列a pn 是等比数列，则称数列a n 为p 阶等比数列p ∈N * ．(1)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1．(ⅰ)求a 1 1，a 1 2，a 13；(ⅱ)证明：a n 是一阶等比数列；(2)已知数列b n 为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求b n 及满足b n 为整数的所有n 值．。

高考数学概率大题专项题型

高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以 n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：即E（X）=0×=．11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设该小组中有n 个女生，根据题意，得解得n=6，n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=3）=P（ξ=2）=1﹣∴ξ的分布列为：∴Eξ=1×12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为所以13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：Eξ=﹣=．…（6分）（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的可能取值为2，﹣2，P（η=2）=α，P（η=﹣2）=β，η的分布列为∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即 x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：…..（13分）17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：。

高三数学试卷概率题及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 从一副52张的扑克牌中（去掉大小王），随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 4/132. 一个袋子里装有5个红球和7个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 5/12B. 7/12C. 1/2D. 5/73. 一枚均匀的硬币连续抛掷两次，至少出现一次正面的概率是多少？A. 3/4B. 1/2C. 1/4D. 1/34. 一个班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。

随机选择一名学生，这名学生是女生的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1D. 05. 一批产品中有10个正品和5个次品，随机抽取3个产品，至少抽取到2个正品的概率是多少？A. 21/55B. 36/55C. 45/55D. 54/55二、填空题（每题5分，共50分）6. 从1到10这10个数字中随机抽取一个数字，抽到偶数的概率是______。

7. 一批产品中有30%是次品，随机抽取5个产品，其中至少有1个次品的概率是______。

8. 抛掷两个均匀的正方体，两个正方体上点数之和为7的概率是______。

9. 一个密码锁由3位数字组成，每个数字可以是0到9中的任意一个，随机输入一个密码，输入正确的概率是______。

10. 一个班级有30名学生，其中有10名喜欢数学，15名喜欢物理，5名两者都喜欢。

随机选择一名学生，这名学生既喜欢数学又喜欢物理的概率是______。

三、解答题（每题20分，共40分）11. 甲、乙两人进行一场比赛，甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4。

如果比赛进行到一半时，甲领先2分，请问此时甲最终获胜的概率是多少？12. 一个袋子里装有10个球，其中有3个红球、4个蓝球和3个绿球。

随机取出3个球，求以下事件的概率：（1）取出3个球都是同一种颜色的概率；（2）取出3个球中有2个红球和1个蓝球的概率。

答案一、选择题1. A2. A3. A4. A5. B二、填空题6. 1/27. 0.7298. 6/36 = 1/69. 1/100010. 5/30 = 1/6三、解答题11. 由于甲领先2分，且甲获胜的概率为0.6，所以甲最终获胜的概率仍然是0.6。

高中数学概率大题(经典)

高中数学概率大题(经典)高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，……6)。

求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率：(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。

2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫：若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

(1)求ξ的分布列:(2)求ξ的数学期望。

3、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球。

某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回)，记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分。

(1)求拿4次至少得2分的概率：(2)求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

4、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。

将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率：(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ。

5、在2006年多哈娅运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决.已知比赛中，第一局日本女排先赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为35胜一局，在这个条件下，(1)求中国女排取胜的概率：(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ。

(两问均用分数作答)6、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。

规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球：若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。

现甲进行第一次摸球。

(1)在前三次模球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况，(Ⅱ)在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。

专题15 概率与统计专项高考真题(带答案及解析)

专题15概率与统计（解答题）1．【2021·全国高考真题（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯=，=，y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.2．【2021·北京高考真题】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()E Y E X >．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()E Y ，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C C P C ==，不在同一组的概率为19599P =，则()()49529502530=999999E Y E X =⨯+⨯>.3．【2021·全国高考真题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．4．【2021·全国高考真题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)8(0ii x x =-=∑，2021)9000(i iy y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数)((iinx y r x y --=∑1.414≈．【解析】（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20220.943(iix y y x r --=∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．7．【2020年高考全国III 卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．8．【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO [0,50](50,150](150,475]PM 2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．9.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313((1)()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．12．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k k P X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== ．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y ===== (3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．13．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为X012P 0.240.520.24故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为X1-01P (1)αβ-(1)(1)αβαβ+--(1)αβ-（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+ 877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=．4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。

2023高考数学概率知识点练习及答案

2023高考数学概率知识点练习及答案高考数学概率知识点练习及答案一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD内任取一点，则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. 1/2B.2C. -1D.1答案：D 命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查考生的运算求解能力.解题思路：如图，以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆，图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域，由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P==.3.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN) ，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )A.3B.4C.2和5D.3和4答案：D 解题思路：分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a+b=2的有1种情况，a+b=3的有2种情况，a+b=4的有2种情况，a+b=5的有1种情况，所以可知若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4，故选D.4.记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为( )A. 3/4B.1/2C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立.而a，b[-π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2+b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________.答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y2≤2的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x∈[-1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且m≠n，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足m≠n的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率.命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0.解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国“节能减排”战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车”，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4”，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.。