集合之间的关系含答案

1.2 集合之间的关系

【课堂例题】

例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ⊆且B C ⊆，试证A C ⊆.

例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由.

(1)∅ {|23}x x -<<-;

(2){|5}x x > {|6}x x >；

(3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}；

(4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z +

=∈.

例3.求出所有符合条件的集合C

(1){1,2,3}C ⊆;

(2){,}C a b Ü;

(3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ⊆Ü.

(选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之.

.

1.2 集合之间的关系

【知识再现】

1.对于两个集合A 与B ,

(1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________；

(2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ；

(3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作____________或______________.

2.空集∅是__________________的子集；空集∅是__________________的真子集.

【基础训练】

1.(1)下列写法正确的是（ ）

（A ）{0}∅Ü （B ）0∅Ü （C ）{0}∅∈ （D ）0∈∅

(2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ⊂∅≠，则.A ≠∅ 其中正确的个数是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2.用恰当的符号填空(,,=⊆⊇)

(1){1,3,5} {5,1,3}; (2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{|

0}3

x x x -=+; (3){|2}x x > {|2}x x ≥; (4){|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2

x x n n Z =+∈. 3.(1)已知2{,}{2,2}x y x x =，则x = ，y = .

(2)2{1,3,}{1,}x x ⊇，则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系，并用文氏图表示：

{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形},

{|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形}

5.类比“⊆”、“⊂≠”的定义，请给出符号“⊆”的定义：

如果 ，则称集合A 不是集合B 的子集，用符号“A B ⊆”表示，读作“A 不包含于B ”.

6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ⊆且{0,2,4,8}M ⊆，

写出所有符合条件的集合M .

7.已知2

{1},{|30}A B x x x a ==-+=,

①若A B Ü，求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =？

【巩固提高】

8.已知2{0,,}{,,1}b

a a

b a a +=，求实数,a b .

9.已知集合2{|60}M x x x =+-=，关于y 的方程20ay +=的

解集为N ，且N M ⊆，求实数a 的值.

(选做)10. 已知集合1

{|,},6P p p n n Z ==+∈

1

1

{|,},{|,}2326m

s Q q q m Z R r r s Z ==-∈==+∈,

判断集合,,P Q R 之间的关系并证明.

【温故知新】

11.用列举法表示“mathematics ”中字母构成的集合;

用描述法表示集合{2,2,6,10,14,18,}-L .

【课堂例题答案】

例1.证：任取x A ∈，因为A B ⊆，所以x B ∈，因为x B ∈且B C ⊆，所以x C ∈，因此A C ⊆ 证毕.

例2.,,,=⊇⊆⊆

例3.(1),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}∅

(2),{},{}a b ∅

(3){1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,4,5}

【知识再现答案】

1.(1)若集合A 中的任意元素都属于集合B ，,A B B A ⊆⊆，A 包含于B ，B 包含于A

(2)B 是A 的子集，A B =

(3)B 中至少有一个集合不属于A ，A B B

A ，茌

2.任何集合；任何非空集合.

【习题答案】

1.,A B

2.,,,=⊇⊆⊇

3.(1)

1,12

；

(2){ 4.,D C A D B A 苘苘

5.集合A 中至少有一个元素不属于集合B

6.,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4}∅

7.2a =，不存在

8.1,0a b =-=

9.2

{0,1,}3

a ∈-

10.P Q R =Ü 证明： 613231{|,},{|,},{|,}666

n m s P p p n Z Q q q m Z R r r s Z +-+==

∈==∈==∈ 任取x P ∈，613(21)266

n n x ++-==，所以x Q ∈，因此P Q ⊆； 任取x Q ∈，323(1)166

m m x --+==，所以x R ∈，因此Q R ⊆； 任取x R ∈，313(1)266

s s x ++-==，所以x Q ∈，因此R Q ⊆； 因此P Q R ⊆=

在集合Q 中取2m =得23q =，因此23Q ∈，但是26136n +=无整数解，所以23

P ∉ 因此P Q R =Ü 证毕 D C B A