集合之间的关系(子集

中职数学集合之间的关系

中职数学集合之间的关系
12月25号
【知识回顾】
1.子集:如果集合A中任一个元素都是集合B的元素,则称集合 A是集合B的子集.记作:A⊆B或B⊇A,读作“A包含于B”或“B包含 A”.
【说明】 (1)当集合A不包含于B或集合B不包含A时,则记作:A⊈ B或B⊉ A.
(2)子集性质: ①任何一个集合A是它本身的子集,即A⊆A; ②空集是任何一个集合A的子集,即∅ ⊆A; ③传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C; ④子集个数:一个集合A的子集个数为2n,其中n是指集合A中的元素个数.
(8)∅ {x|x2+1=0,x∈R}.
【点评】正确理解∈,∉ ,⊆,⊇,⊈, 的涵义:元素与集合的关系是“从属关系”:“属于”或“不属于”,集合与集合的关系是“包含
关系”:“包含”或“不包含”;正确区分子集与真子集.
【例2】 (1)集合A={-2,2},B={-2,0,2},则下列关系正确的是( )
【答案】 A
8.已知集合M={x|x≥10},则下列关系正确的是
A.10∉ M
B.{10}⊈ M
C.{10}⊆M
D.10≠M
( )
【答案】 C
9.若集合M={x|x≤4},a= 15 ,则下列关系正确的是
A.a∉ M
B.{a}∈M
C.{a}⊆M
D.a⊆M
【答案】 C
( )
10.若集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}中有且只有一个元素,则a的取
A.A⊈ B
B.A B
C.A=B
D.A∈B
【点评】由真子集、集合相等的概念,集合与集合的关系很快排除A、C、D.
(2)已知集合M={x|x2=4}与集合N={-2,2},则下列关系正确的是 (

集合的关系及其基本运算

集合的关系及其基本运算知识精要1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A 注：B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。

注：空集是任何集合的子集。

Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集。

Φ A若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集。

A A ⊆易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。

如Φ⊆{0}。

不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝},|{A x S x x ∉∈且4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。

记作A B （读作“A 交B ”），即A B ＝｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝。

集合之间的关系

集合间的基本关系⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。

记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B ，或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。

⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。

记作：φ几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。

⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

例1：已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则A B ； A C ； {2} C ； 2 C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，非空子集为2n -1，非空真子集2n -2 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

例2：已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。

（3m ≥）练习：1、有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。

1.2 集合之间的关系

1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。

集合的子集与真子集的关系

集合的子集与真子集的关系集合是数学中一个基础的概念，它用于描述具有共同属性的对象的聚集。

在集合论中，集合之间有着多种关系，其中包括子集和真子集的关系。

本文将详细讨论集合的子集与真子集的含义及它们之间的区别。

一、子集的定义在集合论中，若集合A中的所有元素都包含在集合B中，则称集合A为集合B的子集，表示为A⊆B。

简而言之，如果A中的任何元素也是B中的元素，那么A就是B的子集。

同时，集合A也可以等于集合B，这样的关系称为自身子集。

例如，若集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4}，可以发现A中的所有元素都包含在B中，因此A是B的子集。

二、真子集的定义在集合论中，若集合A是集合B的子集，且A不等于B，则称A 为B的真子集，表示为A⊂B。

真子集是一种比子集更为严格的关系，即A只是B的一部分。

与子集不同的是，真子集不能与原集合B有相同的元素。

当集合A 除去所有与集合B的元素相同的元素后，A中仍有元素存在，则A为B的真子集。

仍以前述例子为例，若集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4}，可以发现A是B的子集，但它们并不相等，因此A为B的真子集。

三、子集与真子集的区别子集与真子集在概念上存在一定的差异。

子集可以与原集合相等，即A可以等于B；而真子集必须严格小于原集合，即A不等于B。

另外，从数量上看，对于集合A的元素个数n，集合A的所有子集的数量为2^n，其中包括了集合A本身和空集；而集合A的所有真子集的数量为2^n - 1，不包括集合A本身。

这是由于真子集与原集合不相等，故应剔除集合A本身。

四、示例分析为了更好地理解子集和真子集的概念，下面通过一些示例进行具体分析。

1. 示例1：集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}。

由于集合A中的所有元素（1和2）都包含在集合B中，且A不等于B，所以A为B的子集，也是B的真子集。

2. 示例2：集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}。

集合：子集

例3.已知集合A={a，a+b，a+2b}， B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.
解：
【例题】
例4 :已知A {x | 2 x 5},B {x | a 1 x 2a 1}, B A,求实数a的取值范围.
解： A，当B ，有 a 1 2a 1, 即a 2 2 a 1 a 1 当B 时，有 a 1 -2 2 a 3 2 a 1 5 综上所述， a的取值范围 a 3.
记作（或）
B A
一个特殊而又重要的集合:
规定: 空集是任何集合的子集，即
空集---不含有任何元素的集合，记作：

⊆A
问: 空集是任何集合的真子集吗？空集是任何非空集合的真子集
4、子集的性质：
①A A ②
A
③对集合A，B，C，若 A B ，且 B C ，则 AC
元素和______ 集合之间. 注：与用在_____ 集合和______ 集合之间. ()与 ( )用在_____
思考 :已知集合A { x | y ( x 1)( x 2)}, B { y | y 2 x a , a R, x A}, C { z | z x , x A}.是否存在a , 使C B ?
2
若存在, 求出a的范围; 若不存在, 说明理由.
【课堂小结】
【例题】
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个.
【例题】

1.1.2集合之间的关系子集真子集

设 U 是一个集合，A是U的子集，则由U 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集。U 称为全集记为
U
CU A
CU A { x | x U , x A }
例: 1、设U=R，A={ x│x-3 > 2}, 求 CU A
2、若A={x|1<x<2} , B={x|x>0} , 求 C R A ，C R B , CBA.
1.1.2 集合的包含关系
子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集．
记作 A B（或 B A ），
读作 “A 包含于 B”（或“B 包含 A”）．用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
B
A
规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有 A．
{ 1，2 ，3 }；
B 的真子集是上述子集中，去掉{ 1，2 ，3 }．
思考：你能找出一般的规律吗?
设 U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
A = {1 , 3 , 5 , 7 } B = { 2 , 4 , 6 , 8 }
A B 用 Venn 图表示的关系是________
小结： 1. 子集、真子集 2. A=B（集合相等）
3.全集与补集
相等的定义：如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等记作 A=B
相等的定义：如果集合A是集合B的子集，且集合B 是集合A的子集，则集合A与集合B相等.
如果 A B 且 BA 则 A=B
A
B
新课
真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集．

集合之间的关系(子集

集合之间的关系(子集篇一：集合之间的关系教案1.2集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【学习要求】1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．3.会求已知集合的子集、真子集．4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．【学法指导】通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.填一填：知识要点、记下疑难点1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．2.子集的性质：①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②??A(空集是任意一个集合的子集)．3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B (或BA)，读作“A真包含于B ”，或“B真包含A ”．4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图.5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果A?B ，且B?A ，那么A＝B .6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x) .反之，如果p(x)?q(x)，则A?B研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是ab，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一子集与真子集的概念导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：(1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？答：集合A，B的表示是用列举法；集合C，D，P，Q的表示是用描述法．问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系？答：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素．小结：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B或B?A，读作：A 包含于B或B包含A.问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？答：在实数中如果a大于或等于b，则a，b的关系可表示为a ≥b或b≤a；在集合中如果集合A是集合B的子集，则A，B的关系可表示为A?B(或B?A)．所以这是它们的相似之处．问题4 在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？答：集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作P Q或QP.问题5 空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？答：(1)空集是任意一个集合的子集；(2)任何一个集合A是它本身的子集．问题6 对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C 有什么关系？答：A与C的关系为A?C.问题7 “导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B 中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？答：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．问题8 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？1 / 3答：能．我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？答：如图所示：例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：为了一个不漏地写出集合A＝{1,2,3}的所有子集，可以分类写，即空集，含一个元素的子集，含两个元素的子集，含三个元素的子集．解：集合A的所有子集是：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．3小结：集合A＝{1,2,3}中有三个元素，其子集的个数为8个，即2个，事实上，如果一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2个．跟踪训练1 写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．探究点二集合的相等问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)集合C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；(2)集合C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}；(3)集合A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．答：可以看出每组的两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同．问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？答：若A?B，且B?A，则A＝B.小结：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.即：如果A?B，且B?A，那么A＝B.例2 说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；2(2)P＝{x|x＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.小结：在两个集合A，B的关系中，有一个集合是另一个集合的“子集”；或一个集合是另一个集合的“真子集”；或两个集合“相等”；另外还可能有“集合A不包含于B”或“集合B不包含于A”．跟踪训练2 用适当的符号(∈，?)填空：(1)0______{0}；0______?；?______{0}；22(2)?______{x|x＋1＝0，x∈R}；{0}______{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)设A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x|x ＝4k±1，k∈Z}，则A______B______C. 解析(1)0∈{0},0??，?{0}；22(2)?＝{x|x＋1＝0，x∈R}，{0}{x|x＋1＝0，x∈R}；(3)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C.探究点三集合关系与其特征性质之间的关系问题1 已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．答：集合A是集合B的子集，例如Q＝{x|x是有理数}，P＝{x|x 是实数}，易知Q?P，也容易判断命题“如果x是有理数，则x是实数”是正确命题．这个命题还可以表述为：x是有理数?x是实数，符号“?”表示推出．小结：一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x)．反之，如果p(x)?q(x)，则A?B.问题2 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题，那么怎样表示p(x)，q(x)的关系？答：p(x)?q(x)，符号“?”表示相互推出．例3 判定下列集合A与集合B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数?x是36的约数，所以A?B；2 / 3n(2)因为x>5?x>3，所以B?A；(3)因为x是矩形?x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.小结：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A＝{n|n＝2k＋1，k∈Z}和B＝{m|m＝2l－1，l∈Z}；**(2)C＝{n|n＝2k＋1，k∈N}和D＝{m|m＝2l－1，l∈N}．解(1)当k∈Z，l∈Z时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以A＝B；**(2)当k∈N，l∈N时，n＝2k＋1?m＝2l－1，所以C?D.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：由于任何集合都是它本身的子集，故①错；空集只有一个子集就是它本身，故②错；空集是任何非空集合的真子集，故③错；2.满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是( )A．3 B．6C．7 D．8解析：M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．若集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x，y分别等于__________．???2x＝7?2x＝4?解：由集合相等的定义得或?，?x＋y＝4?x＋y ＝7??7x＝??2∴?1y＝??2舍?x＝2?或???y＝5 .∴x，y的值分别是2,5.4.观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．(4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，B＝{育才中学高一(11)班的学生}．解：通过观察就会发现，这四组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A?B.课堂小结：1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．4.注意区分“∈”与“?”的不同涵义.3 / 3篇二：集合间的基本关系知识点集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。

3、集合之间的关系

集合间的基本关系1.子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.A ⊇B 或B ⊆A ．B 可能有三种情况，B= Ø，A =B ，B ≠⊂A ．不可漏掉空集和自身！如果：A ⊇B ，B ⊇C ，有：A ⊇C ．集合具有包含传递性．2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集. 3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .4.Venn 图：在数学上，我们经常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，这种图称为Veen 图。

5.空集：Ø．注意，空集是集合，不是元素，不能和0元素混淆．空集是任何非空集合的真子集．所以有些集合，在无解或无意义时，满足空集的条件！6.记住以下结论：①有n 个元素的集合有n2个子集． ②有n 个元素的集合有n 2-1个真子集．知识要点集合之间的关系③有n 个元素的集合有n2-1个非空子集． ④ 有n 个元素的集合有n 2-2个非空真子集．集合的基本运算1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．（1）包含全部A 、B 的元素，但不能重复．（2）部分元素属于A ，部分元素属于B ，也有同属于A 、B 的．（3）并集运算：A ∪B=B ∪A ；A ∪A=A ；A ∪Ø =A；若A ⊇B ，A ∪B=A ；若A ∪B=A ，A ⊇B ；A ∪B ⊇A ．2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．如果没有元素满足条件，则A ∩B= Ø．3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．4.补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作A 。

集合和子集的关系

集合和子集的关系集合是数学中一种基本的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

而子集则是指集合中的一部分元素所组成的集合。

子集与集合之间存在着紧密的关系，下面就让我们一起来探讨集合和子集的关系。

首先，我们来了解一下集合的概念。

集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

例如，{1, 2, 3, 4, 5}就是一个集合，其中包含了五个元素。

集合中的元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号、甚至是其他集合。

而子集则是指集合中的一部分元素组成的集合。

换句话说，如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就是另一个集合的子集。

例如，{1, 2}是集合{1, 2, 3, 4, 5}的子集，因为集合{1, 2}中的元素1和2同时也属于集合{1, 2, 3, 4, 5}。

集合与子集之间的关系可以用数学符号来表示。

如果集合A是集合B的子集，我们可以用符号A⊆B来表示。

其中，“⊆”这个符号表明了包含、含于的关系，表示A中的元素都属于B。

同样地，如果一个集合A的所有元素同时也属于一个集合B，那么我们可以称集合A是集合B的真子集，用符号A⊂B来表示。

子集与集合的关系有一些特性和性质。

首先，任意一个集合都是它自身的子集。

即对于任意的集合A，都有A⊆A成立。

其次，对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，而B是A的子集，那么这两个集合是相等的。

即如果A⊆B且B⊆A，则有A=B成立。

此外，集合的空集也是任意集合的子集。

空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

对于任意的集合A，都有∅⊆A成立。

在实际问题中，我们常常需要理解和应用集合和子集的概念。

例如，在概率论中，根据样本空间可以构建不同的事件集合，而这些事件集合则可以被看作样本空间的子集。

在集合论中，集合的关系和运算可以帮助我们解决复杂的问题，如集合的并、交和补运算等。

总结起来，集合和子集是数学中的基本概念，集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体，而子集是指集合中的一部分元素组成的集合。

集合的基本关系

集合之间的基本关系知识点：1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个A⊆（或B⊇Ａ）集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)或若集合A⊆B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。

③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n -2个非空真子集.一、子集与真子集①包含关系的判断1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A解：“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.3．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A⊆C，B⊆C，则集合C 中元素最少有()A．2个B．4个C．5个D．6个解：A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，∵A⊆C，B⊆C，∴集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素．11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．2.（一星）用适当的符号填空：⑴{1}___2-+={|320}x x x⑵{1,2}___2-+={|320}x x x⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=答案：（1）⊂；（2）=；（3）⊃；（4）=5.（一星）用适当的符号填空：{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ {|2x x ≤，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R3.（一星）用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}23.,___________.(1)3{3};(2)2{3};(3){1}{1,2,3}(4){1}{{1},{2},{1,2}}=≠∈∈（一星）以下表述中正确的有；答案：（2）（4）6.（二星）下列说法中，正确的是（） A ．任何一个集合必有两个子集； B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅ C ．任何集合必有一个真子集； D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S == 备注：空集、子集概念辨析1.判断下列两个集合之间的关系：（1）=A {}6,3,2,=B {}的约数是12x x ；（2）=A {}1,0，=B {}N y y x x ∈=+,122；（3）=A {}21<<-x x ，=B {}22<<-x x ；（4）=A (){}0,<xy y x ，=B (){}0,0,<>y x y x .2.指出下列各组集合之间的关系：（1）=A {}1,1-，=B ()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1----；（2）=A {}是等边三角形x x ，=B {}是等腰三角形x x ；（3）=M {}*,12N n n x x ∈-=，{}*,12N n n x x N ∈+==.7.{(,)||1||1|0}{(,)|10}_____.A x y x y B x y xy x y （三星）=-+-==--+=集合与集合的包含关系为答案：A B ⊂28.{|12,}{|_________.A x x a a a RB x y ==+-∈==（三星）设集合与集合的包含关系为答案：B A ⊂②空集的概念1.下列四个集合中，是空集的是( )A ．{0}B ．{x |x ＞8且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x ＞4}4.下列集合中是空集的是( )A ．{}332=+x x B ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,2C ．{}02≥-xx D ．{}R x x xx ∈=+-,0123.给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅ÜA ，则≠A ∅.其中正确的个数是个.1.（一星）下列四个命题：①Φ=｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集,其中正确的有（）B A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.（二星）若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（） A ．0X ⊆ B ．{}0X ∈ C ．X ∅∈ D ．{}0X ⊆φφφ∈∈==22.（一星）下列关系中正确的是().0.0{0}.0.{0}A B C D答案：B③找规律判断关系1111.|,,|,,6231|,.26n M x x m m Z N x x n Z p P x x p Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭（三星）指出下列集合之间的关系：答案：M N P ⊂=7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，求M 和N 关系.二、韦恩图9．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}得，N M ，选B.12.（二星）设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）A BBA AB A BA ．B ．C ．D ．三、已知包含关系求参数范围 ①列举法相关6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C .则满足条件的集合A 的个数是( )A ．8B ．2C ．4D ．1解： ∵A ⊆B ，A ⊆C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A ＝∅，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }．4.已知=A {}0822=--∈x x R x ，=B {}08222=--+-∈a a ax x R x ，B A ⊆,求实数a 的取值集合.5.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且只有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,14．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵B ⊆A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C.6.已知集合{}m A ,1,4--=，集合{}5,4-=B ，若A B ⊆,则实数m = .②描述法相关9.（二星）设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______.17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a4}， ∵A ⊇B ，∴－a4≤－1，即a ≥4，所以a 的取值范围是a ≥4.2110.{|||2},{|1},.2x A x x a B x A B a x -=-<=<⊆+（三星）设若，求实数的取值范围答案：01a ≤≤1．已知集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（）BA ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1]2.已知集合=A {}21≤≤x x ，=B {}a x x ≤≤1 (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．③端点的单独验证1.设集合{2135},{322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，若集合A 是集合B 的真子集，求实数a 的取值范围。

子集与集合的关系

子集与集合的关系子集是集合论中的重要概念，它描述了一个集合中的元素是否都属于另一个集合。

在数学和计算机科学中，子集的概念被广泛应用于各种领域，如集合运算、逻辑推理和数据结构等。

本文将探讨子集与集合的关系，介绍子集的定义、性质和应用。

一、子集的定义和表示方法在集合论中，给定两个集合A和B，如果集合A的所有元素都属于集合B，那么集合A就是集合B的子集，记作A⊆B。

换句话说，如果x是集合A的元素，那么x也是集合B的元素。

反过来，如果存在一个元素x，它是集合A的元素但不是集合B的元素，那么集合A就不是集合B的子集。

子集可以用集合的元素来表示，也可以用逻辑符号来表示。

例如，集合A={1,2,3}是集合B={1,2,3,4,5}的子集，可以用符号A⊆B来表示。

另外，如果A是B的子集，但A和B不相等，那么A就是B 的真子集，记作A⊂B。

二、子集的性质子集有一些基本的性质，它们对于理解和应用子集概念非常重要。

1. 自反性：任何集合A都是它自身的子集，即A⊆A。

2. 传递性：如果A是B的子集，B是C的子集，那么A也是C的子集。

例如，如果A={1,2}是B={1,2,3}的子集，B又是C={1,2,3,4}的子集，那么A也是C的子集。

3. 空集的子集性质：空集是任何集合的子集。

即，对于任何集合A，都有空集∅⊆A。

4. 幂集：对于任何集合A，A的幂集是由A的所有子集组成的集合。

例如，集合A={1,2}的幂集是{{}, {1}, {2}, {1,2}}。

5. 子集数量：对于一个集合A，它的子集数量是2的A的元素个数次方。

例如，集合A={1,2,3}有8个子集。

三、子集的应用子集的概念在数学、计算机科学和其他领域中都有广泛的应用。

1. 集合运算：子集的概念是集合运算的基础。

通过判断一个集合是否是另一个集合的子集，我们可以进行并集、交集、差集和补集等操作。

2. 逻辑推理：子集的概念在逻辑推理中起着重要的作用。

在命题逻辑中，我们可以通过子集的关系来判断两个命题之间的逻辑关系，如蕴含、等价和独立等。

集合间的基本关系总结归纳

集合间的基本关系总结归纳集合是数学中一个基础的概念，它描述了一组元素的集合体。

而在集合理论中，我们常常需要研究集合之间的基本关系。

本文将对集合之间的基本关系进行总结归纳，包括子集关系、相等关系、交集和并集等。

一、子集关系在集合论中，子集关系是最基本的关系之一。

对于两个集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，用符号A⊆B表示。

即A中任意一个元素x，必然存在于B中。

子集关系有以下几个特点：1. 任何集合是其自身的子集，即A⊆A。

2. 空集∅是任意集合的子集，即∅⊆A。

3. 如果A是B的子集，且B是C的子集，则A也是C的子集，即A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

二、相等关系相等关系是指两个集合包含的元素完全相同。

当集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集时，称集合A和集合B相等，记作A=B。

相等关系具有以下性质：1. 集合与自身相等，即A=A。

2. 集合相等满足交换律，即A=B等价于B=A。

3. 如果A=B且B=C，则A=C，满足传递性。

三、交集与并集交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。

对于集合A和集合B，它们的交集记作A∩B，表示A和B共有的元素。

并集是指两个集合中所有元素的集合。

对于集合A和集合B，它们的并集记作A∪B，表示A和B中所有的元素。

交集和并集具有以下性质：1. 交集满足交换律，即A∩B=B∩A。

2. 并集满足交换律，即A∪B=B∪A。

3. 交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

4. 交集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

5. 并集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

四、包含关系除了子集关系外，还存在一种更为宽松的包含关系。

对于集合A和集合B，如果集合A包含了集合B的所有元素，但并不要求A中的元素全部存在于B中，则称A包含B，用符号A⊇B表示。

包含关系具有以下特点：1. 任何集合包含空集∅，即A⊇∅。

数学人教B必修1第一章121 集合之间的关系

1、2、1 集合之间的关系1。

子集一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A、读作“A包含于B"，或“B包含A".理解子集的定义要注意以下七点：（1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A，能推出x∈B、例如:｛1，2,3｝⊆N，N⊆R，{x｜x为山东人}⊆｛x｜x为中国人｝等.(2）当集合A中存在着不是集合B的元素，我们就说A不是B的子集,记作“A B”(或B A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”）。

例如:A＝｛1,2，3}不是B＝｛2，3,4，5，6｝的子集,因为集合A中的元素1不是集合B中的元素。

(3)任意一个集合是它本身的子集.因为对于任意一个集合A,它的任意一个元素都属于集合A本身，记作A⊆A、例如:{1，5}⊆｛1,5｝等。

(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有∅⊆A、(5）在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素"所组成的集合.因为若A ＝∅，则A中不含任何元素;若A＝B,则A中含有B中的所有元素。

但在这两种情况下集合A都是集合B的子集.(6)包含关系具有传递性：对于集合A，B,C，若A⊆B，B⊆C,则A⊆C、（7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出,避免遗漏和重复.【例1】已知集合M＝｛0，1},集合N＝{0,2，1－m｝，若M⊆N,则实数m＝__________、解析:∵M⊆N，M＝{0，1｝，∴1∈N、∴1－m＝1,即m＝0、答案:0点技巧有限集合子集的确定技巧（1）确定所求的集合；（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到。

2。

真子集如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”,或“B真包含A”.例如:{1｝{1,2,3｝.关于真子集注意以下四点：（1）空集是任何非空集合的真子集。

集合间的基本关系

§1.2 集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A是集合B的真子集AB (或B A )集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B2．Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图． 3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？答案不一定．如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？答案符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．思考{0}与∅相同吗？答案不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．答案N M解析因为正方形是菱形，所以N M.2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．答案⊆∈3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案－1解析1－a＝2，解得a＝－1.4．集合{0,1}的子集有________个．答案 4解析集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．一、集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.反思感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练1(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是() A．A⊆B B．A＝BC．A B D．B A（1）答案 C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M 且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.（2）答案 D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．二、确定集合的子集、真子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．反思感悟求集合子集、真子集的3个步骤跟踪训练2 满足{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个．答案 7解析由题意可得{1,2} M ⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M 共有7个．三、由集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.(2)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．延伸探究1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围．解当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .反思感悟利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意．(2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3. 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1 B．3 C．4 D．62．集合{1,2}的子集有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 C解析①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅ {0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2、答案 A解析集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3、答案 B解析x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N是M的真子集，其对应的Venn图如选项B所示．4、答案 4解析∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴4∈A，∴m＝4.5、答案a≥1解析∵B A，∴a≥1.1．知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．(3)由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．。

1.2集合间的基本关系-2024-2025学年高一数学必修第一册+课件(人教A版2019)

当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
(2)
集合
⌀
{a}
{a,b}
{a,b,c}
集合的子集
⌀
⌀,{a}
⌀,{a},{b},{a,b}
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
子集的个数
1
2
4
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2 ?真子集的个数
及非空真子集的个数是2 -2.
确定集合的子集、真子集
设A={x(x-16)(x+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集？
解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1
或x=4.
故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为∅;
由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4};
由2个元素构成的子集为{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4};
由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}.
知识讲解
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B
的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做

中职数学集合之间的关系的教案

【课题】1.2集合之间的关系
【教学目标】
知识目标：
掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）的概念，会判断集合之间的关系.
能力目标：
（1）通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力；
（2）通过集合的关系的图形分析，培养学生的观察能力.
情感目标：
（1）经历利用集合语言描述集合与集合间的关系的过程，养成规范意识，发展严谨的作风；
（2）经历利用图形研究集合间关系的过程，体验“数形结合”的探究方法.
【教学重点】
集合与集合间的关系及其相关符号表示．
【教学难点】
真子集的概念．
【教学设计】
（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；
（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；
（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；
（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．（90分钟）
【教学过程】。

【二级结论】专题1 子集、交集、并集、补集之间的关系式

专题1 ⼦集、交集、并集、补集之间的关系式⼆级结论1：⼦集的个数问题【结论阐述】若⼀个集合含有（）个元素，则集合有个⼦集，有个真⼦集，有个⾮空⼦集，有个⾮空真⼦集.理解：的⼦集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应⽤.对解决有关集合的个数问题，可以直接利⽤这些公式进⾏计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪⾥来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的⼦集问题.另外要注意⼦集､真⼦集､⼦集､⾮空真⼦集之间的联系有区别.【典例指引1】（2023·安徽·合肥市第⼋中学模拟预测）【典例指引2】【针对训练】（2023·河南·开封市东信学校模拟预测）（2022·⿊⻰江⻬⻬哈尔·⼆模）A n n ∈N ∗A 2n (−1)2n (−1)2n (−2)2n A 2n n 2n 已知集合，，则满⾜条件的集合的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8已知集合，则集合的真⼦集的个数为（）A ．B ．C ．D ．集合的⾮空真⼦集的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8设集合，则集合M 的真⼦集个数为（）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【典例指引2】已知集合，或.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【针对训练】已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A．B．C．D．（2023·湖北·⻩⽯市有⾊第⼀中学模拟预测）已知，且，则满⾜条件的x有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（2021·辽宁沈阳·三模）已知集合，若，则实数（）A．B．1C．D．或（2023·重庆⼋中模拟预测）已知集合，，且，则a的取值范围可以是（）A．B．C．D．（2023·辽宁·⾼三⽉考）（2023·浙江绍兴·模拟预测）（2023·天津·南开中学模拟预测）A ．B ．C ．D ．若全集，则集合等于（）A ．B ．C ．D ．已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．设全集，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．已知全集为，集合，则___________，___________.。

1.2集合间的基本关系

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变式训练：集合 M＝{x|x2＋2x－a＝0，x∈R}，且 ∅ M，则实数 a 的范围是( (A)a≤－1 ) (D)a≥1
(B)a≤1 (C)a≥－1
2 解析：∵∅ M ， ∴ M 为非空集合，即 x ＋2x－a＝0 有根，
∴Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1.故选 C.
新课
实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，集合之间是否具备类似的关系？
新课
示例1：观察下面三个集合, 找出它们之间的关系: A＝{1，2，3}
B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.子集一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.
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6．设集合 A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且 A⊇B，则实数 k 的取值范围组成的集合是__________．
解析：因为 A⊇B，所以 2k－1≥－3 且 2k＋ 1≤2， 1 解得：－1≤k≤ . 2
1 答案：{k|－1≤k≤ } 2
湖南省长沙}，B＝{a2}，并且 B 是 A 的真子集，则实数 a 的值为__________．
2 解析：∵B A，∴a ∈A，
则有： (1)a2＝1⇒a＝± 1，当 a＝1 时与元素的互异性不符， ∴a＝－1； (2)a2＝3⇒a＝± 3； (3)a2＝a⇒a＝0，a＝1，舍去 a＝1，则 a＝0. 答案：－1，± 3，0 综上：a＝－1，a＝± 3或 a＝0.
(若x A, 则x C , 则A C )
而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为B C或C B.
2.集合相等示例2：

集合的基本关系

戴氏教育第二讲集合的基本关系第一部分：【知识回顾】知识点一子集1. 子集的定义一般地，对于两个集合A,B,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即若A a ∈，则B a ∈，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 包含B 于”,“B 包含A ”，这时我们就说集合A 是集合B 的子集。

2. 子集的性质（1）任何一个集合都是它本身的子集：对于任何一个集合A,它的任意一个元素都属于集合A 本身，故有A A ⊆。

（2）自子集具有传递性：对于集合A,B,C,若C B B A ⊆⊆,,则C A ⊆.如集合A={0,1,2}，B={0,1,2,3}，C={-1,0,1,2,3,4}，易知,,C B B A ⊆⊆同时.C A ⊆（3）规定：空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A,都有.A ⊆φ3. B A ⊆（或A B ⊇）如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A ，分别记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 不包含于B ”，或“B 不包含A ”。

如：A={0,1,2,}，B={1,2,4}，集合A 中的元素0不属于集合B ，说明集合A 不是集合B 的子集，即集合A 不包含于集合B 。

知识剖析：（1）“A 是B 的子集”的含义：集合A 任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意A x ∈,能推出B x ∈.（2）在子集的定义中，不能理解为子集A 是由集合B 中的“部分元素”构成的集合。

反例：若φ=A ,则A 中不含有任何元素；若A=B ，则A 中含有B 中的所有元素。

这两种情况都是说集合A 是集合B 的子集，但均不符合“子集A 是由集合B 中的‘部分元素’构成的集合”这一说法。

（3）区分“∈”与“⊆”：“ ∈”表示元素与集合之间的从属关系；“⊆”表示集合与集合之间的包含关系。

知识点二集合相等对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A=B 。