指数运算、指数函数

§1．4指数运算、指数函数

【复习要点】

1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】

1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n

m n

m

b a ab a a a

a a ===⋅+)(,)(,

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n m n

m

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

2．指数函数的概念, 性质和图象如表：

其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。

5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。

【基础训练】

1］4

3的结果为 （ ） A.5

B.5

C.－5

D.－5

2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2

1

2-

B ．3

12- C ．2

12

-

-

D ．6

52-

3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2

33

1

a a ⋅=a

B ．2

12

1a a

⋅-

=0 C ．(a 3)2=a 9

D ．6

13121a a a =÷

4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n

n

a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3

433

4

④623)5(5-=-

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．化简11111321684

21212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是 （ ）

A ．1

1

321122--⎛

⎫- ⎪

⎝⎭

B ．1

132

12--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1

3212-- D ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭

6

．4

4

等 于 （ ）

A ．16a

B ．8a

C ．4a

D ．2

a

【例题选讲】

1．设3

2212

,-==x

x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有

（1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？

2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3

21.1 （2）4

316.0-

，2

35

.0-

，8

325.6 （3）5

32

)1(+a ，4

32

)1(+a

3．已知函数3234+⋅-=x

x

y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围.

4．设01a <<，解关于x 的不等式2

2

232

223

x

x x

x a

a -++->

5．已知[]3,2x ∈-，求11

()142x x

f x =-+的最小值与最大值

6．设a R ∈，22

()()21

x x a a f x x R ⋅+-=

∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数

【反馈练习】

1．已知函数|12|)(-=x

x f ，当c b a <<时，有)()()(b f c f a f >>，则有 （ ） A . c

a

22> B . b

a

22> C . c a

22<- D 222<+c a .

2．若函数,)

2(,2)

2(),2()(⎩⎨

⎧≥<+=-x x x f x f x

，则)3(-f 的值为 （ ） A ．2 B ．8 C ．8

1 D ．

2

1 3．函数1

21

-=

x

y 的值域是 （ ）. A.)1,(--∞ B.).0()1,(∞+--∞ C.),1(+∞- D.),0()0,(+∞-∞ 4．设c bx x x f +-=2

)(满足3)0(=f ，且对任意R x ∈，都有)2()(x f x f -=，则（ ）.

A.)()(x

x

c f b f < B.)()(x

x

c f b f ≤ C.)()(x

x

c f b f ≥ D. )(x

b f 与)(x

c f 不可能比较

5．已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2

2

a b >；(2)22a b

>；(3)b

a 11<；(4)11

3

3a b >；

(5)1133a b

⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

中恒成立的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个