线性代数第一章习题答案
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习 题 1-1
1．计算下列二阶行列式： （1）
x x 1
1； （2）α
α
ααsin cos cos sin -．
解 （1）
()
111
12
-=-=
x x x x ．
（2）
1)cos (sin sin cos cos sin 2
2=--=-ααα
α
αα．
2．计算下列三阶行列式：
（1）121223
112
--； （2）00000d
c b a ； （3）2
2
2
1
11
c
b
a
c b a
； （4）c
b a b
a a c
b a b
a a c
b a
++++++232．
解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=
3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．
3．证明下列等式： =333231
23222113
1211a a a a a a a a a 33
32
232211a a a a a 33
31
232112
a a a a a -32
31
222113
a a a a a +．
证明 33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=
)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=
33
32
232211
a a a a a =33
31
232112
a a a a a -32
31
222113
a a a a a +．
4．用行列式解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1
2361
32321
321321x x x x x x x x x ．
解 （1）74
3
34==
D ，24
6
351==
D ，96
3
542==
D ，
所以 7
21=
=
D
D x ，7
92=
=
D
D y ． （2）23213111
132
-=--=D ，232
11116
131
1-=----=D ，
462
1
3
161
1122-=---=D ，691
1
3
611
1
32
3-=---=D ； 所以 111==
D
D x ，222==
D
D x ，333==
D
D x ．
习 题 1-2
1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4321； （2）2314； （3）1243； （4）3142；
（5）)2(42)12(31n n -； （6）2)22()2()12(31 --n n n ． 解 （1）是标准排列，其逆序数为0；
（2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4． （3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5． （4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3． （5）逆序有
（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 （7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………
（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个
所以逆序数为 2
)
1(21-=
+++n n n ．
（6）逆序有
（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 …………………
（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个 （4 2） 1个 （6 2），（6 4） 2个 …………………
（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个
所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．
2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．