高三数学第一次调研测试题苏教版知识精讲.doc
江苏省苏北四市2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题(解析版)
2022-—2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题2023.01注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝A．M B．N C．P D．O2．已知i5＝a＋b i(a，b∈R)，则a＋b的值为A．－1B．0C．1D．23．设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0，若p是q的充分不必要条件，则A．a＞0B．a＞1C．a≥0D．a≥14．已知点Q在圆C：x2－4x＋y2＋3＝4上，点P在直线y＝x上，则PQ的最小值为A．2－1B．1C．2D．25．某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛(每两队主、客场各赛1场)，决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为A ．15B ．16C ．17D ．186．若f (x )＝sin(2x ＋π6)在区间[－t ，t ]上单调递增，则实数t 的取值范围为A ．[π6，π2]B ．(0，π3]C ．[π6，π3]D ．(0，π6]所以函数f (x )的单调递增区间为[－π3，π6]，则0＜t ≤π6，故答案选D ．7．足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为2，A ，B ，C 分别为正多边形的顶点，则→AB ·→AC ＝A ．(3＋3cos18°)a 2B ．(3＋cos18°)a 2C ．(3＋2cos18°)a 2D ．(33＋3cos18°)a 28．在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位通项分别写下了一个命题：甲：ln3＜3ln2：乙：lnπ＜πe ；丙：212＜12；丁：3eln2＞42．所写为真命题的是A．甲和乙B．甲和丙C．丙和丁D．甲和丁【答案】B【解析】法一：而8＞e，所以f(8)＜f(e)，故丁错；综上，答案选B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
高三数学第一轮复习第一次调研测试题苏教版知识精讲
高三数学第一轮复习：第一次调研测试题苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一次调研测试题【模拟试题】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设全集}3,1{B ),4,3,0(A },4,3,2,1,0{U ===，则=)B A (C U ___________。
2、函数x sin x cos y =的最小正周期是_____________。
3、已知复数)i 2)(i 1(z --=，则|z|的值是___________。
4、函数x ln x )x (f -=的单调递减区间是____________。
5、对某学校400名学生的体重（kg ）进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg 以上的学生人数为____________。
6、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3x ,0y x ,04y x 所表示的平面区域的面积是___________。
7、如图，已知一个多面体的平面展开图是由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___________。
8、已知等差数列}a {n 满足：6a ,8a 21-=-=。
若将541a ,a ,a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为___________。
9、已知抛物线)0m (mx y 2≠=的准线与椭圆12y 6x 22=+的右准线重合，则实数m 的值是___________。
10、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果b 为___________。
a ←1b ←1While b ＜5c ←a ＋b a ←b b ←c End While Print b11、如图，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色。
两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为___________。
12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，x 21)x (f --=，则不等式21)x (f -<的解集是___________。
江苏省苏北老四所县中高三数学下学期第一次调研试题(含解析)苏教版
高三（下）第一次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．n39521=．，则有故答案为3．（5分）用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均=2，故答案为：4．（5分）（2010•江苏模拟）阅读下列算法语句：Read S←1For I from 1 to 5 step 2S←S+IEnd forPrintSEnd输出的结果是10 ．5．（5分）当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax﹣By=0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是．．故答案为：．6．（5分）已知正方形ABCD的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：则MA+MC= ．，∴得（x≠0）故答案为7．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα= ．，确定的平面区域，﹣2×（，故答案为：．8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．，∴），＜（﹣）＜﹣，故答案为9．（5分）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是．故答案为：．10．（5分）若函数f（x）=（a，b，c∈R）（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a+b+c= 4 ．=11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2012）的值为﹣1 ．12．（5分）已知f（x）=x3，g（x）=﹣x2+x﹣a，若存在x0∈[﹣1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），则实数a的取值范围是或1＜a＜．，]，]，]]a，即）与（，+∞））上是减函数]]））＜，故]，]）a）＜＜＜，]，13．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则a1= ﹣2或126 ．时，则，，14．（5分）已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是．或＜﹣时，﹣故答案为：二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2010•徐州二模）在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求sin（α+β）的值．的坐标即、）∵，，）得：，，，16．（14分）（2010•江苏模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D﹣AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．∵AE=EB=2，∴AB=2EH=×∵AM=2MB，∴CN=17．（14分）某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）=（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）x（18．（16分）（2011•大同一模）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M （2，t）（t＞0）在直线上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．的坐标，表示出，，及，由，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，∴c=1，从而；其圆心为，半径的距离=，则19．（16分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P、A、B共线，且（1）求P点坐标（2）若，求S2011（3）若，记T n为数列前n项的和，若时，对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．共线且共线且20．（16分）（2012•南京一模）设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f （x）的最小值．（x≥e））当）当）在时为负数，在间）在区间上为减函数，在时，）当时的最小值为）的最小值为）的最小值为三、第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=，属于特征值1的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．可得=6，可得A=．22．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（其中α为参数），M是曲线C1上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C2，直线l 的方程为ρsin（θ+）=，直线l 与曲线C2交于A，B两点．（1）求曲线C2的普通方程；（2）求线段AB的长．的参数方程为的坐标为（，）==AB=2 =223．（2012•江苏一模）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）（1）求；（2）求E（X））从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，事件“”所含基本2×3+1=7，故可求，，）从六点中任取三个不同的点共有”所含基本事件有，，=）；X===．24．（2013•浙江二模）如图，过抛物线C：y2=4x上一点P（1，﹣2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求y1+y2的值；（2）若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．）确定，可得的方程，，所以，的方程为，即，=≥0，可知﹣2≤t≤2.。
高三数学新学期调研考试试题苏教版
高三新学期调研考试数学第Ⅰ卷（共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则=+y x ▲ . 4 2．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ▲.212a a q ===3．用一组样本数据8，x ，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s = ▲ .24．阅读下列程序: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．105．.当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________.376. 已知正方形ABCD 的坐标分别是(1,0)-,(0,1),(1,0)，(0,1)-，动点M 满足：12M B M D k k =- 则MA MC += ▲MA MC +=7.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α= ▲ ．cos α=9108．已知定义在R 上的奇函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，若0)21(=f ，△ABC 的内角A 满足0)(cos <A f ，则A 的取值范围是 ),32()2,3(ππππ ． 9.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．答：2(1)(2)n n n ⨯-⨯-，10．若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图所示，则a b c ++= ▲ . 411．定义在R 上的函数()f x 满足()f x ＝2log (1), 0(1)(2), 0x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩，则(2012)f 的值为 . -112．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a 3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实数a 的取值范围是 ．(0，－3＋212)13．已知数列}{n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a= ▲ ．2-或12614．已知函数f (x )=3(21)34,,a x a x tx x x t -+-≤⎧⎨->⎩，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是__▲___．12a ≤二、解答题：（本大题共6小题，共计90分） 15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，点)cos ,21(2θP 在角α的终边上，点2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上，且21-=⋅OQOP 第10题⑴求θ2cos 的值；⑵求sin()αβ+的值。
2020-2021学年高三数学第一次调研测试题及答案解析(苏教)
最新 高三（下）第一次调研数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ．2．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．3．不等式的解集是 ．4．已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α+2cos α= ．5．设函数f （x ）=则的值为 ．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为 ．7．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足∀x 1，x 2∈[0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则的大小关系是 ．8．若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 ．9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量，，满足，则函数y=f （x ）的表达式为 ．10．已知命题p 1：函数y=2x ﹣2﹣x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2﹣x 在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2②p 1∧p 2③（￢p 1）∨p 2④p 1∧（￢p 2）中真命题是 ．11．已知点P 是曲线y=x 3﹣10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为 ．12．已知函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线x=，则f （x ）的单调递增区间为 ．13．已知函数f （x ）=x ﹣，g （x ）=x 2﹣2ax+4，若∀x 1∈[0，1]，∃x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．二、简答题（共6小题，90分）15．化简与求值：（1）．（2）．16．已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，，求△ABC的面积．18．已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m﹣1）与f（3﹣m）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．20．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．【考点】并集及其运算．【分析】求出A∪B，再明确元素个数【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：52．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的充分不必要条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据A=可以判断sinA=，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：若A=，根据三角函数的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，当sinA=，比如sin=，显然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．不等式的解集是（﹣1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．【解答】解：∵，∴，∵y=2x是一个递增函数，∴x2﹣x＜2，⇒﹣1＜x＜2．故答案为：（﹣1，2）4．已知角α的终边上有一点P（﹣3，4），则sinα+2cosα= ﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x=﹣3，y=4，r=5，可得cosα和sinα的值，从而求得sinα+2cosα的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣3，4），∴x=﹣3，y=4，r==5，∴cosα==﹣，sinα==，∴sinα+2cosα=+2×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．5．设函数f（x）=则的值为．【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为﹣3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．7．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足∀x 1，x 2∈[0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则的大小关系是 ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，得到其为增函数，再结合其为偶函数即可得到结论．【解答】解：因为（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，所以：f （x ）在[0，+∞）上递增，又因为f （x ）是偶函数，所以：f （﹣2）=f （2）∵ ∴f （）＜f （1）＜f （2）=f （﹣2）故答案为：f （）＜f （1）＜f （﹣2）．8．若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大， 由得D （1，），所以z=x+y 的最大值为1+；故答案为：．9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量，，满足，则函数y=f （x ）的表达式为． 【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．【分析】由三点共线可得f （x ）+2f ′（1）x ﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f ′（1）的值，进而可得解析式．【解答】解：∵A 、B 、C 三点共线，且，∴f （x ）+2f ′（1）x ﹣lnx=1，两边求导数可得：f ′（x ）+2f ′（1）﹣=0，把x=1代入可得f ′（1）+2f ′（1）﹣1=0，解得f ′（1）=，故f （x ）+x ﹣lnx=1，即故答案为：10．已知命题p 1：函数y=2x ﹣2﹣x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2﹣x 在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2②p 1∧p 2③（￢p 1）∨p 2④p 1∧（￢p 2）中真命题是 ①④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由指数函数的单调性判断p 1的真假，利用导数判断函数y=2x +2﹣x 的单调性，然后利用复合函数的真假判断逐一核对四个命题得答案．【解答】解：∵y=2x ﹣2﹣x =在R 上为增函数，∴命题p 1为真命题； 由y=2x +2﹣x ，得y ′=2x ln2﹣2﹣x ln2=ln2（2x ﹣2﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，y ′＜0，当x ∈（0，+∞）时，y ′＞0，∴函数y=2x +2﹣x 在R 上为先减后增，命题p 2为假命题．则p 1∨p 2为真命题；p 1∧p 2为假命题；（￢p 1）∨p 2为假命题；p 1∧（￢p 2）为真命题． 故答案为：①④．11．已知点P 是曲线y=x 3﹣10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为 y=2x+19 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P （x 0，y 0），求出函数的导数，根据导数的几何意义得f ′（x 0）=3x 02﹣10=2，所以得x 0=﹣2（舍正），从而得出切点为P （﹣2，15）．根据斜率为2，利用点斜式可得直线方程，最后化成斜截式．【解答】解：设P （x 0，y 0），求得函数的导数为f ′（x ）=3x 2﹣10由题意知：f ′（x 0）=3x 02﹣10=2，∴x 02=4．∴结合函数图象第二象限内的一点，得x 0=﹣2，∴y 0=15．∴P 点的坐标为（﹣2，15）．直线方程为y ﹣15=2（x+2），即y=2x+19故答案为：y=2x+1912．已知函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线x=，则f （x ）的单调递增区间为 ． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【分析】依题意，f （0）=f （），可求得m=1，利用辅助角公式可得f （x ）=sin （2x+），从而可求得f （x ）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f （x ）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线对称， ∴f （0）=f （）， ∴m=1，∴f （x ）=sin （2x+）， 由2k π﹣≤2x+≤+2k π，k ∈Z 得： k π﹣≤x ≤+k π，k ∈Z ．故答案为：[k π﹣， +k π]（k ∈Z ）．13．已知函数f （x ）=x ﹣，g （x ）=x 2﹣2ax+4，若∀x 1∈[0，1]，∃x 2∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是 [，+∞） ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】先用导数研究出函数f （x ）的单调性，得出其在区间[0，1]上的值域，f （x ）的最小值是f （0）=﹣1．然后将题中“若∀x 1∈[0，1]∃x ∈[1，2]，使f （x 1）≥g （x 2）”转化为f （x 1）的最小值大于或等于g （x 2）在区间[1，2]能够成立，说明g （x 2）≤﹣1在区间[1，2]上有解，注意到自变量的正数特征，变形为，在区间[1，2]上至少有一个实数解，即在区间[1，2]上的最小值小于或等于2a ，问题迎刃解．【解答】解：函数f （x ）=x ﹣的导数，函数f （x ）在[0，1]上为增函数，因此若∀x 1∈[0，1]，则f （0）=﹣1≤f （x 1）≤f （1）=原问题转化为∃x 2∈[1，2]，使f （0）=﹣1≥g （x 2），即﹣1≥x 22﹣2ax 2+4，在区间[1，2]上能够成立变形为，在区间[1，2]上至少有一个实数解 而，所以 故答案为[，+∞）14．已知函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 （1，2） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f （x ）﹣a|x|=0得f （x ）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f （x ）﹣a|x|=0得f （x ）=a|x|，作出函数y=f （x ），y=a|x|的图象，当a ≤0，不满足条件，∴a ＞0，当a ≥2时，此时y=a|x|与f （x ）有三个 交点，当a=1时，当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣5x ﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）二、简答题（共6小题，90分）15．化简与求值：（1）．（2）．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1）==cosα．（2）==1．16．已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）三角函数问题一般都是要把三角函数转化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为f（x）=2sin （2x+）．（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知，而，因此我们选面积公式，正好由已知条件可求出A，从而得到面积．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+=sin2x+=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），得，∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），（2）由已知，f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜，∴，∴2A+=，从而A=，又∵=，∴，∴△ABC的面积S===．18．已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m﹣1）与f（3﹣m）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m（m≥﹣2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln （x+2），可求函数的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）；（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立，从而有对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值．【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）∴f（x）=f（﹣x）=ln（﹣x+2）…（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（m﹣1）＞f（3﹣m）所以|m﹣1|＞|3﹣m|所以（m﹣1）2＞（3﹣m）2所以m＞2…所以当m＞2时，f（m﹣1）＞f（3﹣m）；当m=2时，f（m﹣1）=f（3﹣m）；当m＜2时，f（m﹣1）＜f（3﹣m）…（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）2，即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立…从而有对x∈[m，10]恒成立，因为m≥﹣2，所以…因为存在这样的t，所以﹣m2﹣7m﹣7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0…又m≥﹣2，所以适合题意的最小整数m=﹣1…19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．【解答】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．20．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．2016年10月23日。
江苏省南通市高三数学第一次调研测试试题苏教版
南通市 高三第一次调研测试数学一、填空题已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，那么AB = . 已知复数z 知足()341(i z i +=为虚数单位)，那么z 的模为 .某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采纳分层抽样的方式，抽取280人进行体育达标检测，那么抽取高二年级学生人数为 .函数2()lg(23)f x x x =-++的概念域为 . 有图是一个算法流程图，那么输出的x 的值是 .同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上别离标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观看向上的点数，那么两个点数之积不小于4的概率为 .底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 .在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且通过抛物线24y x =核心的双曲线的方程是 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)m y x x R m x=-∈≠-1x =处的切线为直线l .假设直线l 在 两坐标轴上的截距之和为12，那么m 的值为 .已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.假设()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，那么ϕ= .在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.假设122360,100a a a a +≤+≤，那么155a a +的最大值为 .已知函数(0)x y a b b =+>的图像通过点(1,3)P ，如以下图所示，那么411a b +-的最小值为 .如上图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.假设4AO AM ⋅=，那么AB = .已知函数()f x 是概念在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩那么函数2()3y xf x =-在区间 ()12015，上的零点个数为 .二、解答题在∆ABC 中，角,,A B C 的对边别离为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=()1求角A 的大小；()2若3,AB AC ⋅=，求∆ABC 的面积.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点. ()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 别离是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右核心，极点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右核心2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积别离为12,S S .假设122S S =，求直线l 的斜率.在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点)C ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).()1假设圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；()2过监控摄像头最大水平视角为60，求圆盘半径的最大值. (注：水平摄像视角指镜头中心点水平观看物体边缘的实现的夹角.)19.假设函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，那么称0x 为函数()y f x =的极值点.已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈ ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.20. 设数列{}na的前n项和为nS.假设()*1122nnan Na+≤≤∈，那么称{}na是“紧密数列”.()1假设数列{}na的前n项和为()()2*134nS n n n N=+∈，证明：{}na是“紧密数列”；()2设数列{}na是公比为q的等比数列.假设数列{}n a与{}n S都是“紧密数列”，求.q的取值范围.数学Ⅱ附加题部份注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷总分值为40分，考试时刻为30分钟。
江苏省南通市高三数学第一次调研考试试题(含解析)苏教版
2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，则∁U A= {x|x≤﹣1} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．解答：解：由集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，又U=R，所以∁U A={x|x≤﹣1}．故答案为{x|x≤﹣1}．点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算把复数z化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数z所对应的点位于复平面的象限可求．解答：解：由z==．所以复数z所对应的点Z（﹣2，﹣3）．则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．故答案为三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48 ．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．解答：解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：48点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键．4．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f（2013）= ．考点：函数的周期性；函数的值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性把要求的式子化为f（﹣1），再利用x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，求得 f（﹣1）的值．解答：解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），则f（2013）=f（2×1006+1）=f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，∴f（﹣1）=4﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q的否命题．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）考点：四种命题的真假关系．专题：规律型．分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．解答：解：命题P的条件是：a＞0，结论是：a2≠0；命题q的条件是：a≤0，结论是：a2=0；故命题P是命题q的否命题．故答案是否命题．点评：本题考查四种命题的定义．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0），可得c==5，结合双曲线的离心率e==算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．解答：解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，∴c==5，且=因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为．考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件利用等比数列的性质可得 9a5=﹣36，13a7=﹣104，解得 a5=﹣4，a7=﹣8，从而求得a5与a7的等比中项±的值．解答：解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则由等比数列的性质可得 9a5=﹣36，13a7=﹣104．解得 a5=﹣4，a7=﹣8，则a5与a7的等比中项±=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列求和公式的应用，属于中档题．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．考点：循环结构．专题：图表型．分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．解答：解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故答案为：．点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律．9．（5分）（2012•上饶一模）△ABC中，，则= ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．解答：解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵Rt△ABC中，，∴BC==2，可得斜边上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案为：点评：本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值．着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题．10．（5分）已知0＜a＜1，若log a（2x﹣y+1）＞log a（3y﹣x+2），且λ＜x+y，则λ的最大值为﹣2 ．考点：简单线性规划；对数函数的单调性与特殊点．专题：不等式的解法及应用．分析：根据题意得出约束条件，再作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z最小，从而得出目标函数z=x+y的取值范围，最后根据λ＜x+y，得出λ的最大值．解答：解：根据题意得：即画出不等式表示的平面区域设目标函数z=x+y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L：y=﹣x由得A（﹣1，﹣1）直线过A（﹣1，﹣1）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为z=﹣2则目标函数z=x+y的取值范围是（﹣2，+∞）．又λ＜x+y，则λ的最大值为﹣2故答案为：﹣2．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值．11．（5分）曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．解答：解：由题意，，∴=e∴∴∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线的斜率是关键．12．（5分）如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为﹣1.5 cm．考点：向量在物理中的应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：设该物体在ts时刻的位移为ycm，根据当t=0时y达到最大值3，可设y=3cosωt，由三角函数的周期公式算出ω=，得函数解析式为y=3cos t，再将t=5s代入即可得到该物体5s时刻的位移值．解答：解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，则∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，∴当t=0时，y达到最大值3．因此，设y=3cosωt，∵函数的周期为3s，∴=3，解之得ω=，得函数解析式为y=3cos t，由此可得，该物体5s时刻的位移为3cos（•5）=3=﹣1.5cm故答案为：﹣1.5点评：本题给出简谐振动模型，求质点的位移函数关系式并求物体5s时刻的位移值，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数在物理方面的应用等知识，属于中档题．13．（5分）已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x﹣8=0相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x上，且PA=PB，则x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，2）．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由题意可得CP垂直平分AB，且 y0=2x0．由=﹣1，解得 x0=．把直线y=ax+3代入圆x2+y2+2x﹣8=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围．解答：解：圆x2+y2+2x﹣8=0 即（x+1）2+y2=9，表示以C（﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x0，y0）在直线y=2x上，∴y0=2x0．又CP的斜率等于，∴=﹣1，解得 x0=．把直线y=ax+3代入圆x2+y2+2x﹣8=0可得，（a2+1）x2+（6a+2）x+1=0．由△=（6a+2）2﹣4（a2+1）＞0，求得 a＞0，或a＜﹣．∴﹣1＜＜0，或 0＜＜2．故x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，2），故答案为（﹣1，0）∪（0，2）．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．14．（5分）设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为（2，3）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将等式化简，再利用基本不等式求最值，即可得到P的坐标．解答：解：由题意，=∵，∴y＞2∴=8当且仅当，即y=x+1时，m取得最小值为8∵y=x2﹣1∴x=3，y=3∴P（2，3）故答案为：（2，3）点评：本题考查基本不等式求最值，考查学生的计算能力，正确化简是关键．二、解答题：本大题共12小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．解答：解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C对角线的交点，所以E、F分别是A1B1B和A1C的中点．所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；…6分（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，又EF∥BC，∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分点评：本题考查平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，掌握直线与平面平行的判定定理与平面与平面垂直的判定定理是关键，考查分析与推理证明的能力，属于中档题．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有 C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a2+b2=sin2A+sin2B= 1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．解答：解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）]=1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．17．（14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得DP的长度；（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2﹣x．因x＞2﹣x，故1＜x＜2设DP=y，则PC=x﹣y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x﹣y．由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2，即（2）记△ADP的面积为S1，则S1==，当且仅当x=∈（1，2）时，S1取得最大值故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好（3）记△ADP的面积为S2，则S2S2S2==，于是S2′=，∴，关于x的函数S2在（1，）上递增，在（，2）上递减．所以当时，S2取得最大值故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．18．（16分）（2013•奉贤区二模）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．解答：（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论．19．（16分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．解答：（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣；（3）证明：由题意，k1≠k2，设M（x M，y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0∴，同理，，当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点（0，﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣）综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣）．点评：本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f （x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f （x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．21．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：（1）AB•AC=AE•AD；（2）∠FAE=∠FAD．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）连接BE，利用同圆弧所对的圆周角相等，可得∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，即可得到△ABE∽△ADC，利用相似三角形的性质即可得出．（2）连接OF，由F是的中点，可得∠BAF=∠CAF．再由（1）相似三角形的可得∠BAE=∠CAD，即可得出结论．解答：证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，∴△ABE∽△ADC，∴．∴AB•AC=AE•AD．（2）连接OF，∵F是的中点，∴∠BAF=∠CAF．由（1）得∠BAE=∠CAD，∴∠FAE=∠FAD．点评：熟练掌握同圆弧所对的圆周角相等，、相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（10分）选修4﹣2：矩阵与变换已知曲线C：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．考点：旋转变换．专题：计算题．分析：设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，根据矩阵变换得出结合P′是曲线C1上的点，求得C2的方程即可．解答：解：NM==设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，=，得∴（5分）∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程（﹣x）2=2y．即y=（10分）点评：本题考查几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想．属于基础题．23．（2009•江苏模拟）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=2，直线l的参数方程为试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=2化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用设点M的坐标的参数形式，结合点到直线的距离公式求解即得．解答：解：曲线C的普通方程是（2分）直线l的普通方程是（4分）设点M的坐标是的距离是（6分），d取得最大值．（8分）点评：本题考查点的极坐标、参数方程和直角坐标的互化、点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，属于中档题．24．选修4﹣5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，求的最大值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：要求最大值，即是求同时使取得最大值和4a2+b2（即是1﹣4ab）取得最小值时满足的条件．解答：解：由于a＞0，b＞0，且，则4a2+b2=（2a+b）2﹣4ab=1﹣4ab，又由1=2a+b，即所以==当且仅当时，等号成立．点评：本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题．25．（10分）如图，已知定点R（0，﹣3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．（1）求动点M的轨迹C1；（2）圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点（0，1）的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）设M的坐标，表示出P，Q的坐标，可得的坐标，利用数量积公式，可得轨迹方程，从而可得轨迹；（2）由题意，=AB•CD，AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1，CD=y2，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．解答：（1）解：设M（x，y），则由，可得∴∵，∴∴x2=4y∴动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线；（2）证明：由题意，=AB•CD，圆C2：x2+（y﹣1）2=1的圆心即为抛物线C1的焦点F设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1，同理CD=y2，设直线的方程为x=k（y﹣1）代入抛物线方程可得k2y2﹣（2k2﹣4）y+k2=0∴=AB•CD=y1y2=1．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．26．（10分）已知数列{a n}满足：．（1）若a=﹣1，求数列{a n}的通项公式；（2）若a=3，试证明：对∀n∈N*，a n是4的倍数．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由题意，令b n=a n﹣1，则，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）若a=3，，利用数学归纳法，结合二项式定理，即可证明结论．解答：（1）解：a=﹣1时，令b n=a n﹣1，则∵b1=﹣5为奇数，b n也是奇数且只能为﹣1∴，即；（2）证明：a=3时，①n=1时，a1=4，命题成立；②设n=k时，命题成立，则存在t∈N*，使得a k=4t∴=34t﹣1+1=27•（4﹣1）4（t﹣1）+1∵（4﹣1）4（t﹣1）=+…+4+1=4m+1，m∈Z∴=27•（4m+1）+1=4（27m+7）∴n=k+1时，命题成立由①②可知，对∀n∈N*，a n是4的倍数．点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法的运用，考查二项式定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
江苏省2020届高三数学上学期第一次调研抽测试题(含解析)
高三数学上学期第一次调研抽测试题（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：锥体的体积公式1=3V Sh 锥体， 其中为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{1，2，4}，则A I B ＝ ． 答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{1，2，4} ∴A I B ＝{1，2}2．设i 为虚数单位，则复数3(1i)+的实部为 ． 答案：﹣2 考点：复数解析：∵323(1i)13i 3i i 22i +=+++=-+ ∴复数3(1i)+的实部为﹣2．3．某校共有学生2 400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ． 答案：25考点：统计，抽样调查 解析：600÷2400×100＝25 4．若从甲、乙、丙、丁 4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 ． 答案：34考点：古典概型解析：从甲、乙、丙、丁 4位同学中选出3名代表共有4种情况，其中甲被选中有3种情况，则甲被选中的概率为34． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为﹣2，则输入的x 的值为 ．答案：14考点：算法初步解析：当x ＞1时，22y x =-，输出的y 的值为﹣2，解得x ＝0，不符题意，舍；当x ≤1时，2log y x =，输出的y 的值为﹣2，解得x ＝14，符合题意，所以输入的x 的值为14． 6．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，则a 的值为 ．5考点：双曲线解析：∵焦距为4， ∴c ＝2，∴2125a =+7．不等式23122x x --<的解集为 ． 答案：(﹣1，2) 考点：指数函数 解析：∵23122x x --<∴231x x --<- 解得﹣1＜x ＜2∴原不等式的解集为(﹣1，2)8．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BB 1的中点，则三棱锥D 1—DEC 1的体积为． 答案：43考点：棱锥的体积解析：1111D DEC E DD C 114V V 222323==⨯⨯⨯⨯=——． 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 ． 答案：316考点：等比数列 解析：∵3680a a += ∴38q =-，即2q =- ∴211122a a q ===-- ∴551[1(2)]3121(2)6S ---==--． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 答案：充分不必要 考点：常用的逻辑用语 解析：因为“34πϕ=”⇒“函数()g x 为偶函数”；“函数()g x 为偶函数”“34πϕ=” 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件． 11．已知函数()()xf x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0)f )处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为 ．答案：3e考点：导数的几何意义，函数的切线解析：因为()()x f x ax b e =+，则()(1)xf x ax a e '=++由曲线()y f x =在点(0，(0)f )处的切线方程为310x y -+=，得切点坐标为(0，1)∴b ＝1，a ＝2，即()(21)xf x x e =+，所以(1)f 的值为3e ． 12．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为 ．答案：9考点：基本不等式解析：2481648411()()55942xy x y x y x yxy xy y x y x+++=+=+++=++≥+=，当且仅当x ＝2，y ＝1取“＝”．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当x ∈(0，3]时，()11f x x =--．若函数y ()log (01)a f x x a a =->≠且在(0，+∞)上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是． 答案：(4，7)U (19，16] 考点：函数与方程解析：根据数形结合的思想，可得1log 41log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩或01log 61log 91a aa <<⎧⎪≥-⎨⎪<-⎩，解得4＜a ＜7或19＜a ≤16．14．在平面直角坐标系xOy 中，P(2，2)，Q(0，﹣4)为两个定点，动点M 在直线x ＝﹣1上，动点N 满足NO 2＋NQ 2＝16，则PM PN +u u u r u u u r的最小值为 ．答案：3考点：圆的方程解析：由NO 2＋NQ 2＝16，得点N 在圆22(2)4x y ++=上，设MN 中点为T(x ，y )，M(﹣1，m )，N(0x ，0y )则00212x x y y m =+⎧⎨=-⎩，代入圆N 得：2212()()122m x y -++-=，即点T 在以(12-，22m -)为圆心，1为半径的圆上所以PT 的最小值为32，PM PN +u u ur u u u r 的最小值为3．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，相交于点，OP OC =,为PC 的中点，. （1） 求证：平面； （2） 求证：平面16. (本小题满分14分)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b ⋅=. (1)求角的大小；(2)若4,5b c ==，求sin2B 的值.17. (本小题满分14分)设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和21(2),8n n S a n N *=+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 的首项为2,公比为(0)q q >，前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.18.(本小题满分16分)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通,A B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=. 拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的 电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km,设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.(1)求函数()f θ的解析式；(2)试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t-=>的左、右顶点为,A B ，右焦点为F .过点A 且斜率为的直线交椭圆于另一点.(1)求椭圆的离心率；(2)若12k =，求22PA PB 的值； (3)设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点关于直线的对称点在直线PF 上。
江苏省盐城市高三年级第一次调研考试数学试题
数学试题参考公式:球的体积公式为343V R π=,其中R 为球的半径. 柱体体积公式为V S h =底. 锥体体积公式为13V S h =底. 线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.必做题部分（本部分满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．(1)(12)i i -+= ▲ .2．函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '= ▲ . 3．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 ▲ .4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ▲ . 5．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 ▲ .6．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM>AC 的概率是 ▲ .7．如果实数,x y 满足不等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥1≤≤，则22x y +的最小值为 ▲ .8．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ▲ .主视图左视图俯视图第4题图9．在△OAB 中,(2cos ,2sin )OA αα=, (5cos ,5sin )OB ββ=,若5OA OB ⋅=-,则OAB S ∆= ▲ . 10．定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 ▲ .11．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a =▲ . 12．若函数2()xf x x a=+(0a >)在[)1,+∞,则a 的值为 ▲ . 13．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点21,F F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为 ▲ . 14．某同学在研究函数 f (x) =x1 + | x | (x R∈) 时，分别给出下面几个结论：①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本小题满分14分）已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-.第8题图(Ⅰ)若a b ⊥,求θ；(7分)(Ⅱ)求||a b +的最大值.(7分)16．（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)17．（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点. (Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11. (5分)MAB CD A 1B 1C 1D 118.（本小题满分15分）已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分) (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. (5分)19．（本小题满分16分）如图是一个面积为．．．1．的三角形,现进行如下操作.第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作: 连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……,如此下去.记第n 次操作后剩余图形的总面积为a n.(Ⅰ)求1a 、2a ；(4分)(Ⅱ)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14,问至少经过多少次操作?(5分) (Ⅲ)求第n 次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S n .(7分)20．（本小题满分16分）设函数322()21f x x mx m x m =---+-(其中2m >-)的图象在2x =处的切线与直线y=－5x+12平行. (Ⅰ)求m 的值；(4分)(Ⅱ)求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值；(4分) (Ⅲ)若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=, 试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:222911110a b c a b c ++≤+++. (8分)① ②附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）一、选做题：请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.1．（选修4—1：几何证明选讲）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC. (Ⅰ)求证：FB=FC ；(Ⅱ)若AB 是△ABC 外接圆的直径，0120EAC ∠=，BC=6，求AD 的长.2．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到的点1(0,3)P - (Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)求矩阵A 的特征值及特征向量.3．（选修4—4：坐标系与参数方程）从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.4．（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，22θθ<二、必做题：本大题共2小题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内. 5．求由曲线y=x 3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积.FEDCBA6．一个人随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中去，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对了的个数有ξ种.(Ⅰ)求ξ的分布列；(Ⅱ)求ξ的期望值.江苏省盐城市2007—2008学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准必做题部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）：。
高三数学第一次调研测试题苏教版知识精讲
高三数学第一次调研测试题苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一次调研测试题【模拟试题】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设全集}3,1{B ),4,3,0(A },4,3,2,1,0{U ===，则=)B A (C U ___________。
2、函数x sin x cos y =的最小正周期是_____________。
3、已知复数)i 2)(i 1(z --=，则|z|的值是___________。
4、函数x ln x )x (f -=的单调递减区间是____________。
5、对某学校400名学生的体重（kg ）进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg 以上的学生人数为____________。
6、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3x ,0y x ,04y x 所表示的平面区域的面积是___________。
7、如图，已知一个多面体的平面展开图是由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___________。
8、已知等差数列}a {n 满足：6a ,8a 21-=-=。
若将541a ,a ,a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为___________。
9、已知抛物线)0m (mx y 2≠=的准线与椭圆12y 6x 22=+的右准线重合，则实数m 的值是___________。
10、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果b 为___________。
a ←1b ←1While b ＜5c ←a ＋b a ←b b ←c End While Print b11、如图，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色。
两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为___________。
12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，x 21)x (f --=，则不等式21)x (f -<的解集是___________。
江苏省南通市2023-2024学年高三第一次调研测试数学(解析版)
南通市2024届高三第一次调研测试数学2024.01.24注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}2．已知z＋z＝8，z－z＝6i，则z z＝A．25 B．16 C．9 D．53．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设{a n}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则a4－a7 a2－a5＝A．19B．13C．3 D．95．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能A．每个面都是等边三角形B．每个面都是直角三角形C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为A．1 B．2 C．3 D．4直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为A．202cm B．305cm C．405cm D．602cm二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省 高三数 第一次调研测试
高三第一次调研测试数学必做题部分注意事项:1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}20B x x x =-≤，则AB = ▲ ．2．复数(1i )(12i )z =++（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ．3．运行如图的算法，则输出的结果是 ▲ ．4．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是 ▲ ．5．已知函数21()log ,,22f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，若在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上随机取一点0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．6．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a bp a b ，则=p ▲ ．7．已知曲线()sin 1f x x x =+在点(,1)2π处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a = ▲ ．8．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞， 则实数a 的值是 ▲ ．9．已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>，若()()62f f ππ=，且()f x 在区间(,)62ππ内有最第4题图第3题图大值，无最小值，则=ω ▲ ．10．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ▲ ．11．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = ▲ ．12．已知函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]13-，，则b a -的取值范围是 ▲ ．13．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c，已知sin a A =， （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．16．如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1AC 中点．求证： （1）直线//FM 平面1A EB ； （2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．ＡＥＦ1A17．已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和．（1）若4S ，10S ，7S 成等差数列，证明1a ，7a ，4a 也成等差数列； （2）设332S =，62116S =，2n n b a n λ=-，若数列}{n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．18．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．在矩形ABCD 中，已知6AD =，2AB =，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以F 、E 为焦点，DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程； （2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bx a =+>图象上． （1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求a ，b 的值，并求出此时函数的单调增区间； （2）若正方形ABCD 唯一确定，试求出b 的值．数学附加题（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知圆22:1C x y +=在矩阵A =00a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0,0)a b >>对应的变换下变为椭圆1422=+y x ，求,a b 的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C所截得的弦长．D ．选修4－5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．22．【必做题】如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =．（1）求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；（2）在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．23．【必做题】已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．2012届高三年级第一次质量检测数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．{}1,0,1,2-； 2．3； 3．1； 4．15 5．1； 6．1； 7．15； 8．2133a +b ；9．(,2]-∞； 10； 11．22(2)2x y -+=； 12．10； 13．95； 14．[1,1]- 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．15．⑴因为1cos 3A =，0A <<π， 所以sin A =，…………………………………………2分又因为cos 2AB AC bc A ⋅==， 所以6bc =，………………………………………………6分 所以11s i22ABCSbc A ==⨯=分 ⑵因为5b c +=，6bc =，所以2,3,b c =⎧⎨=⎩或3,2b c =⎧⎨=⎩．由余弦定理，得 2222cos 9a b c bc A =+-=， 所以3a =．………………………………………………………………………………………14分 16．⑴因为ABCD 是菱形，AC BD O =，所以O 是BD 的中点，又E 是PB 的中点，所以EO PD ．…………………………………………………………2分因为EO ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以EO 平面PCD ．…………………………………………………………………………6分⑵因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，……………………………8分又因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，……………………………………………………10分因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ，…………………………………………………12分又因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………………14分17．⑴由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：400020008000000⨯=（元）800=（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：1002000200000⨯=（元）20=（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，…………2分所以函数表达式为：2*(1)()800209000107909000()2x x y f x x x x x -==+⨯+=++∈N ．………………………6分 ⑵由⑴知写字楼每平方米平均开发费用为：2()5(107909000)()100002000f x x x g x x x++=⨯=………………………………………………10分90050795079)6950x x ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭≥（元）， (12)分当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． (14)分18．⑴由题意知，c e a ==，1b =，221a c -=，………………………………………………4分解得2a =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．………………………………………………………6分 ⑵设直线1l 的方程为()10y kx k =+≠，由方程组221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x kx ++=，………………………………………………8分解得1228,041k x x k =-=+，所以2841M kx k =-+，221441M k y k -=+， (10)分用1k -代替上面的k ，可得284N kx k =+，2244N k y k -=+， (12)分因为22222143881415588541MP k k k k k k k k k --+-+===--+， 22222438814558854NP k k k k k k k k k --+-+===+， ………………………………………………………14分所以MP NP k k =，因为,MP NP 共点于P ，所以,,M N P 三点共线，故直线MN 恒过定点3(0,)5P -．………………………………………………………………16分19．⑴当2c =时，由已知得12a =，21222a ba b =+=+，232222+2a ba b b =+=+，因为{}n a 是等差数列，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，所以1322a a a +=，即22+(22+2)=2(22)b b b ++，所以2=0b b -，解得=0b ，或=1b ．………………………2分当=0b 时，2n a =，对*n ∈N ，10n n a a +-=成立，所以数列{}n a 是等差数列； 当=1b 时，12n n a a +=+，对*n ∈N ，12n n a a +-=成立，所以数列{}n a 是等差数列； 所以数列{}n a 的通项公式分别为2n a =或2n a n =．………………………………………4分⑵因为{}n a 是等比数列，所以1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，即22[(2)](2)b b c c b c ++=+，化简得222bc c c +=，所以0c =或22b c +=， 当22b c +=时，2122a ba c b c =+=+=，所以2n a =，不满足341256n S <． 当0c =时，若0b =，则与12a =矛盾，所以0b ≠，因此12n n a b -=．…………………8分则1122,2n n n n a b a b +++==，因为12,,n n n a a a ++按某种顺序排列成等差数列， 所以有212b b +=，或212b b +=，或22b b +=， 解之得1b =或12b =-或2b =-．……………………………………………………………12分又因为||<1b ，所以12b =-，所以12[1()]412[1()]1321()2n n n S --==----， 由341256n S <，得41341[1()]32256n --<，即11()21024n ->，因为n 是正整数，所以n 的取值集合为{}2,4,6,8． (16)分20．⑴因为()ln f x x =，所以1()f x x'=，因此(1)1f '=， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-， (2)分由21,1,2y x y x bx =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得22(1)20x b x -++=，由24(1)80b ∆=+-=，得1b =-．………4分⑵因为21()()()ln (0)2h x f x g x x x bx x =+=+->，所以211()x bx h x x b x x-+'=+-=，由题意知()0h x '<在(0,)+∞上有解，因为0x >，设2()1u x x bx =-+，因为(0)10u =>，则只要20,2()40,b b ⎧>⎪⎨⎪-->⎩解得2b >，所以b 的取值范围(2,)+∞． (8)分⑶不妨设12x x >．因为函数()ln f x x =在区间[1,2]上是增函数，所以12()()f x f x >，函数()g x 图象的对称轴为x b =，且1b >， （ⅰ）当2b ≥时，函数()g x 在区间[1,2]上是减函数，所以12()()g x g x <，所以1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-等价于1221()()()()f x f x g x g x ->-， 即1122()()()()f x g x f x g x +>+， 等价于21()()()ln 2h x f x g x x x bx =+=+-在区间[1,2]上是增函数， 等价于1()0h x x b x '=+-≥在区间[1,2]上恒成立， 等价于1b x x+≤在区间[1,2]上恒成立，所以2b ≤，又2b ≥，所以2b =；………………………………………………………………………………………10分 （ⅱ）当12b <<时，函数()g x 在区间[1,]b 上是减函数，在[,2]b 上为增函数． ①当211x x b <≤≤时，1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-等价于1122()()()()f x g x f x g x +>+，等价于21()()()ln 2h x f x g x x x bx =+=+-在区间[1,]b 上是增函数，等价于1()0h x x b x '=+-≥在区间[1,]b 上恒成立，等价于1b x x+≤在区间[1,]b 上恒成立，所以2b ≤，又12b <<， 所以12b <<； (12)分②当212b x x <≤≤时，1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-等价于1122()()()()f x g x f x g x ->-，等价于21()()()ln 2H x f x g x x x bx =-=-+在区间[,2]b 上是增函数，等价于1()0H x x b x '=-+≥在区间[,2]b 上恒成立，等价于1b x x -≥在区间[,2]b 上恒成立，所以32b ≥，故322b <≤． (14)分③当2112x b x <<≤≤时，由()g x 图象的对称性知，只要1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-对于①②同时成立，那么对于③，则存在1[1,]t b ∈，使12121212|()()||()()||()()||()()|f x f x f t f x g t g x g x g x ->->-=-恒成立； 或存在2[,2]t b ∈，使12121212|()()||()()||()()||()()|f x f x f x f t g x g t g x g x ->->-=-恒成立． 因此，322b <≤．综上，b 的取值范围是322b ≤≤．…………………………………………………………16分徐州市2012届高三年级第一次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21A ．设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ ．设PT 交内圆于C ，连结OP ，O C '，则2PM PC PT =，所以222PM PC PT PC PT PT PT==．……………………………………………………………………5分 由弦切角定理知2,2POT PTQ CO T PTQ '∠=∠∠=∠，则POT CO T '∠=∠,PO CO ',所以PC OO R r PT OT R'-==，即PM PT =分 21B ．⑴由1110118a-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得18a +=-，所以9a =-；……………………………………5分⑵由⑴知1191-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，则矩阵A 的特征多项式为2211()(1)92891f λλλλλλ-==--=---， 令()0f λ=，得2λ=-或4λ=，所以矩阵A 的特征值为2-或4．………………………10分21C ．⑴因为)4πρθ=+，即2(sin cos )ρθθ=+，所以22(sin cos )ρρθρθ=+， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=；……………………………3分又因为,12,x t y t =⎧⎨=+⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+．…………………………6分⑵由⑴知，圆心()1,1C 到直线l 的距离d =<分所以直线l 与⊙C 相交．………………………………………………………………………10分21D ．因为,,a b c 均为正实数，所以1111()222a b a b++，当且仅当a b =时等号成立；1111()222b c b c++，当且仅当b c =时等号成立；1111()222c a c a ++．当且仅当c a =时等号成立，………………………………6分 三个不等式相加即得111111222a b c b c c a a b +++++++≥， 当且仅当a b c ==时等号成立．………………………………………………………………10分22．⑴如图，以1A 为原点，11111,,A B AC A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,2,0)A B C B P ，所以11(1,0,1),(1,2,0)A B B P ==-，111111cos ,2A B B PA B B P A B B P <>=== 所以直线1PB 与1A B ．………………5分 ⑵在1PAA ∆中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ． 所以111(1,0,1),(0,1,)2A B A D ==． 设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,102A B a c A D b c ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩．n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ，所以平面1BA D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面1AA D 的一个法向量，所以12121212cos ,3||||312<>===⨯n n n n n n． 所以12sin ,<>=n n ， 故二面角A －A 1D －B ．…………………………………………10分 23．1n =时，2!(1)n n n n ⋅=+，2n =时，2!(1)n n n n ⋅<+，3n =时，2!(1)n n n n ⋅<+，所以猜想：2n ≥时，2!(1)n n n n ⋅<+．……………………………………………………3分 证明：不等式即为(1)!2nnn n +<． ⑴当2n =时，左边2!2==，右边2219()24+==，(1)!2n n n n +<成立， ⑵假设当n k =时，原不等式成立，即1!()2k k k +<， 则当1n k =+时，左边11(1)(1)!(1)!(1)()22k k k k k k k k k ++=+=+⋅<+⋅=+，右边12()2k k ++=， 要证11(1)2()22k k k k k +++<+成立， 即证122()1k k k ++<+，即证11(1)21k k ++>+， 事实上，由二项式定理，得211211111111(1)1() (121111)k k k k C C C k k k k +++++=+⋅+⋅++>+⋅=++++， 即当1n k =+时，原不等式也成立． 由⑴⑵可得当2n ≥时，不等式2!(1)n n n n ⋅<+成立．……………………………10分。
2024-2025学年江苏省南京市高三上学期第一次学情调研数学试题及答案
南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （ ）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4x a =，log 3a y =，则x y a +=（ ）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （ ）A. B.4.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（ ）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（ ）A. B.6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（ ）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（ ）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（ ）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（ ）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =T 在C上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎛ ⎝，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN =，33,2BD ⎛=-- ⎝.设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则sin cos ,BD n BD n BD nθ⋅=====，所以BD 与平面MNB.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2n n n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n n n n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0y =，所以A点坐标为7,⎛ ⎝，所以12121122F F A A S y F F =⨯=⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即t=，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x aax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。
高三数学上学期第一次学情调研考试试题含解析 试题
江都中学2021届高三数学上学期第一次学情调研考试试题〔含解析〕一、填空题{124}{234}，，，，，A B ==，那么A B =_______．【答案】{}24，【解析】【分析】根据集合的交集运算进展求解【详解】公一共元素为2,4，所以A B ={}24，【点睛】此题相对简单，需注意交集取公一共元素，并集全部都取，补集取相反局部的总体原那么2.在复平面内，复数21+=i z i 〔i为虚数单位〕对应点的坐标是______． 【答案】()11，【解析】【分析】通过对式子的除法运算进展化简即可 【详解】()()()21-2==1+1+1+1-=i i i z i i i i ，对应的复平面的点坐标为()11， 故答案为：()11，【点睛】复数的除法运算中应熟记()()22a bi a bi ab +-=+，公式在化简时，分母没必要再拆项3.5个正整数，它们的平均数是4，众数是35，，那么这5个数的方差为______．【答案】45 【解析】 【分析】 通过分析数据可知，这5个数为3,3,4,5,5，再根据方差公式进展求解【详解】因为5个数中众数为3,5，故3,5各有两个，因平均数是4，设另一个数为x, 335545++++==x x ,求得4x =，再根据方差公式()()()22221114()23425455==-=-+-=∑n i i S X X n ，求得方差为45 故答案为：45【点睛】判断数据特征，进展合理推断是解决这种题型常用方法，平均数与方差公式需要牢记4.根据如下图的伪代码，那么输出的S 的值是______．【答案】2【解析】【分析】由题可知，S 的初始值为0，循环变量的初始值为1，步长为2，所以该循环进展的是累加运算，结合详细数值进展运算即可【详解】所以该程序运行后输出的算式是350sin sin sin 2666=+++=S πππ 所以输出的S 的值是2【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图，注意步长为2和每次循环得到的S 值是解题的关键22221(00)y x a b a b -=>>，，那么该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】y x =±【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进展求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为：y x =±【点睛】此题考察双曲线渐近线的求法，解题时要纯熟掌握双曲线的简单性质6.甲约乙下中国象棋，假设甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，那么甲乙和棋的概率为______．【答案】0.3【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进展求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P故答案为：【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，互相HY2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，那么m 的值是______．【答案】6【解析】【分析】结合正四棱锥与正四棱柱的构造特征和体积公式进展求解即可【详解】方法一：正四棱柱的体积为8，，底面积为4，故体积为3，6，即6=m . 方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积一样，所以体积之比为1213326==h h . 【点睛】一定要明确题设中给的图形特征，如此题中，正四棱锥是底面为正方形，各侧面是正三角形，正四棱柱指的是正方体{}n a 的公比为()q q ∈Z ，假设1418a a +=，且2312a a +=，那么1a 的值是____.【答案】2【解析】【分析】采用等比数列的通项公式进展求解【详解】()3141118+=+=a a a q ①，()223112+=+=a a a q q ②两式相除可得()()()231(1)13112++-+==++q q q q q q q q ，解得12q =〔舍去〕，2q ， 2q 代入①式可得12a =答案为：12a =【点睛】此题中涉及立方和公式：()()3322+=++-a b a b a b ab ，应熟记 9.02παβ<<<，假设tan tan 2αβ=，且1sin sin 3αβ=，那么βα-的值是______． 【答案】π3【解析】【分析】 观察式子构造特点，可通过sin sin 1cos cos tan tan 6==αβαβαβ求得，要求βα-的值，可通过计算()cos -βα的值，反查三角函数表求得 【详解】sin sin 1cos cos tan tan 6==αβαβαβ，()111cos cos cos sin sin 632-=+=+=βαβααβ 又02<<<παβ，3πβα∴-= 答案为：π3 【点睛】对于形如βα-这种角度的求解问题，我们一般通过转化成()sin -βα，()cos -βα的形式进展求解，还应熟悉常见的和差角公式的根本特点()()2ln 030x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩，，有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是______. 【答案】1a ≥【解析】【分析】当0x ≤时，结合对数函数单调性转化成恒成立问题，当0x >时，结合二次函数性质，采用韦达定理求解【详解】由题可知，函数有三个零点，那么对于()ln =+y x a 在(],0-a 有一个根，根据对数函数性质可得：当0x =时，函数值()0,≥f x 即ln 0,1≥≥a a23=-+y x ax a 在(0,)+∞上有两个根，由韦达定理得21212940300⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩a a x x a x x a ，解得49>a 综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥【点睛】函数零点问题一般需要通过结合函数图像根本性质和零点存在定理进展求解，函数转化成恒成立问题在解决此类题型中应用广泛,a b 满足11b a b+=，那么2+a b 的最小值为_______．【答案】4+【解析】【分析】将2+a b 中的a 值进展代换，再结合均值不等式性质，即可求解 【详解】由2111+=⇒=-b b a a b b ，0,1>∴>a b 那么()211221223144111+=+=+-++=+-+≥+---b a b b b b b b b b 故2+a b的最小值为4+【点睛】要熟悉均值不等式的一般形式和变形式，涉及拼凑法时，一定要注意等价性，不可多项或者少项xOy 中，圆22:9C x y +=，点A 是圆C 与x 正半轴的交点，点P 是圆C 上异于点A 的任意一点，假设直线:2l y kx =+恰有一点B 满足2AB BP =，那么实数k 的所有值为______． 【答案】{}403， 【解析】【分析】可设(),2+B b bk ，通过2AB BP =代换出圆上的坐标点P ,将P 点代入圆的方程进展求解即可【详解】由题可知(3,0)A ,设(),2+B b bk ，()00,P x y()()00133221362⎧=-⎪=⇒⎨⎪=+⎩x b AB BP y kb ，又22009+=x y ，将P 点代入圆的方程得： ()()()()222211333691421044-++=⇒++-+=b kb k b k b 又B 只有一个，故()()2242410=--+=k k ，解得0k =或者43k = 故k 组成的集合为{}403， 【点睛】此题将向量和圆进展考察，表达了用线量法表示几何关系的优越性，此题还涉及等价条件的转化，把方程经过变形处理看作关于b 的一元二次方程，再结合判别式进展求解，表达了方程的化归思想a b c ，，满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，且22b c -=，求b c ⋅的最小值为______． 【答案】58【解析】【分析】可设()1,0a =，(),b m n =，(),c p q =，运用向量的坐标表示求出m,n,再由向量模的公式和数量积公式的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】设()1,0a =，(),b m n =，(),c p q =， 1122a b m ⋅=⇒=，22a c p ⋅=⇒=， ()()2222212423b c b c n q q n -=⇒-=+-=⇒=± ()2235511232312488b c nq n n n n n ⎛⎫⋅=+=+±=±+=±+≥ ⎪ ⎪⎝⎭答案为：58【点睛】此题主要考察了向量的坐标运算及向量模的公式，二次函数最值问题，找出n,p 的等量关系，学会用配方法解题是关键ABC 中，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，那么tan tan tan A B C 的最小值______．【答案】6【解析】【分析】结合图形，根据三角形的几何关系，分别表示出tan A ，tan B ，tan C ，将tan tan tan A B C 转化成函数问题，利用导数求解最值【详解】不妨设2BD CD ==,=AD AB ,1∴==BH HD ,tan =B h ,tan 3=h C ,()2tan tan 4tan tan tan tan 13+=-+==--B C h A B C B C h ()2232tan tan tan 334433∴=⨯--=h A B h h h h C 令()()324,33=-h f h h ()()2229'93-=-h f h h ，令导数为0，可得3h = f h 在()0,3单减，()3,+∞单增，()()min 36==f h f所以tan tan tan A B C 的最小值为6【点睛】此题采用将正切函数转化为几何问题，结合函数求解最值，在三角形问题中，我们常利用函数来研究几何问题，在处理相对复杂的几何问题时，往往可简化运算二、解答题15.△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，AB =求： 〔1〕角C 的大小；〔2〕△ABC 中最小边的边长.【答案】〔1〕34C π=〔2 【解析】【分析】〔1〕由内角和定理，以及诱导公式化简tan C ，将tan A 与tan B 代入值代入求出tan C 的值，即可确定出C 的度数；〔2〕由tan A 与tan B 的大小判断出BC 为最小边，由tan A 的值，利用同角三角函数间根本关系求出sin A 的值，利用正弦定理求出BC 的长．【详解】解：(1)()()tan tan tan C A B A B π⎡⎤=-+=-+⎣⎦= –tan tan 1tan tan A B A B +-= –134513145+-⋅ 1=-，所以34C π=， (2)因为tan tan A B <，所以最小角为A又因为1tan 4A =，所以17sin 17A =， 17c AB ==，又sin sin a c A C =， 所以a = sin sin c A C ⋅ = 17171722⋅ = 2． 【点睛】此题考察了正弦定理，同角三角函数间的根本关系，以及特殊角的三角函数值，纯熟掌握正弦定理是解此题的关键．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA AB =，E 为PB 的中点．〔1〕假设过C D E ，，的平面交PA 于点F ，求证：F 为PA 的中点； 〔2〕假设平面PAB ⊥平面PBC ，求证：BC PA ⊥．【答案】〔1〕见解析； 〔2〕见解析.【解析】【分析】(1) 采用线面平行的断定定理和性质定理进展求解，证明∥AB EF ，进而证明F 为PA 的中点〔2〕因为平面PAB 与平面PBC 的交线为PB ，可通过线面垂直的断定定理证明BC PAB ⊥平面，进而得到BC PA ⊥【详解】〔1〕因为ABCD 是矩形，所以，∥CD AB ，又平面AB PAB ⊂，平面CD PAB ⊄， 所以∥平面CD PAB ，又平面CD CDEF ⊂，平面平面CDEFPAB EF =，所以∥CD EF ，所以∥AB EF ，又在△PAB 中，E 为PB 的中点， 所以，F 为PA 的中点．〔2〕因为PA AB =，E 为PB 的中点，所以⊥AE PB ，AE PAB ⊂平面 又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB⊥平面PBC PB =，所以⊥平面AE PBC ，BC PBC ⊂平面，所以AE BC ⊥，又ABCD 是矩形， 所以AB BC ⊥，AEAB A =，，平面AB AE PAB ⊂，所以，BC PAB ⊥平面， PA PAB ⊂平面，所以BC PA ⊥．【点睛】线面平行与线线平行可互相转化，线面垂直与面面垂直也可互相转化假如题设要证线线平行，一般是通过线面平行转化，假设是要证线线垂直，一般是通过线面垂直进展转化，如此题的证明思路OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一局部，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA =km ，AB =，π4OAB ∠=．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ，矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2．〔1〕求()f a ，并写出定义域；〔2〕当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？ 【答案】〔1〕32()2f a a a a ，定义域为(0,1)；〔2〕当713a 时，矩形草坪CDEF 的面积最大．【解析】 试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为()322f a a a a =--+，定义域为()0,1；(2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当713a -=时，矩形草坪CDEF 的面积最大. 试题解析：〔1〕以O 为原点，OA 边所在直线为x 轴，建立如下图的平面直角坐标系， 过点B 作BG OA ⊥于点G ，在直角ABC 中，AB =，π4OAB ∠=，所以1AG BG ==，又因为2OA =， 所以1OG =，那么()1,1B ，设抛物线OCB 的HY 方程为22y px =， 代入点B 的坐标，得12p =， 所以抛物线的方程为2y x =．因为CD a =，所以AE EF a ==，那么22DE a a =--， 所以()()22f a a a a=-- 322aa a =--+，定义域为()0,1．〔2〕()2'322f a a a =--+，令()'0f a =，得a =当0a <<时，()'0f a >，()f a 在10,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调增；当113a <<时，()'0f a <，()f a 在1,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减．所以当a =()f a 获得极大值，也是最大值．xoy 中，12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且椭圆经过点(2,0)A 和点(1,3)e ，其中e 为椭圆的离心率．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点A 的直线l 椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =．假设12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．【答案】〔1〕221?43x y +=〔2〕310【解析】 【分析】〔1〕由椭圆经过点A 〔2，0〕和〔1，3e 〕，列出方程组，求出a ＝2，b 3=c ＝1，由此能求出椭圆的方程；〔2〕设直线l 的方程是y ＝k 〔x ﹣2〕，联立方程组，求出点B 坐标，点M 的坐标为〔1，﹣k 〕，由MF 1⊥BF 2，即可求出直线l 的斜率．【详解】〔1〕因为椭圆经过点()20A ，和点()13e ，， 所以22222219144a c b b c a =⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，，，解得231a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22143x y +=．〔2〕由〔1〕可得()()121010F F ，，，-，设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y=k(x-2)由方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，解得x=2或者286x 43k -=+，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 由OM=OA 知，点M 在OA 的中垂线x=1上， 又M 在直线l 上，所以M 点坐标为(1,-k)．所以()12F M k ，=-，222222286124912143434343k k k k F B k k k k ⎛⎫⎛⎫----=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，，． 假设12M F BF ⊥，那么222122228181220180434343k k kF M F B k k k --⋅=+==+++．解得2910k =，所以k =，即直线l 的斜率 【点睛】此题考察椭圆方程的求法，考察椭圆的简单性质，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-，a R ∈.〔1〕求函数()f x 的极值；〔2〕假设函数()g x 有两个零点，务实数a 取值范围；〔3〕假设当()1，x ∈+∞时，()()0f x g x +>恒成立，务实数a 的最大值． 【答案】〔1〕极小值1a e -，没有极大值； 〔2〕10a e<<； 〔3〕2 . 【解析】 【分析】〔1〕直接进展求导，根据导数与原函数的关系进展极值求解〔2〕由于参数a 的存在，故需对a 进展分类讨论，0a ≤时与题意不符，舍去，对0a >进展导数求解，通过增减性进展辨析，当1x a =时取到极大值，此时需要判断函数在1x a=的左右两侧存在函数值小于零的点，进而得证〔3〕令()()()=+F x f x g x ，先求导，再根据恒成立问题求解参数a 【详解】〔1〕()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=， x ()x所以()f x 有极小值1a e-，没有极大值；〔2〕1()g x ax'=-， ①0a ≤时，()0g x '>，在()0，+∞单调递增，此时()g x 至多有一个零点，这与题意不符；②0a >，令()0g x '=，得1x =，因为函数()g x 有两个零点，所以()11ln 10ga a=->，得10a e<<，()10g a =-<，()()110g g a ⋅<，又()g x 在()11，a上单调，且图象连续不连续，所以()g x 在()11，a 上有一个零点； ()2211111ln 2ln ga a aa a =-=-，()()2ln t t t t e ϕ=-> ()2210t t t tϕ-'=-=<，所以()t ϕ在()，e +∞单调减，所以()()20t e e ϕϕ<=-<， 所以，()210ga <，()()2110g g a a⋅<，又()g x 在()211，a a 上单调，且图象连续不连续，所以()g x 在()211，a a上有一个零点；综上，实数a 取值范围为10a e<<； 〔3〕记()()()()()()1ln 11F x f x g x x x a x x =+=+-->()1ln x F x x a x +'=+-，令1ln x y x a x +=+-，221110x y x x x-'=-=> 所以，2y a >- ，①2a ≤时，()0F x '>，()F x 在()1，+∞上单调增，所以()0F x >，符合题意； ②2a >时，()110aaF ee '=+>，()()10a F e F ''<，又()F x '在()1，+∞上单调增， 所以，()01，x ∃∈+∞，使得()00F x '=那么当()01，x x ∈时，()0F x ≤，这与()0F x >恒成立不符， 综上，实数a 的最大值为2.【点睛】导数问题整体难度偏大，求解时遇到导数受阻情况，需要复原原函数，根据极值点进展判断，如此题中确定极值点后，无法判断极值点两侧是否存在函数值小于零的点，需要找出临近点再进展判断；对于恒成立问题，一般是通过极值点证明最大值或者最小值恒大于或者小于某个值进展求解；遇到参数问题可采取分类议论的方式将难度降低，结合导数进一步求解{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，nn n kca a +=+()n *∈N .假设对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，那么称数列{}n a 为“()H k 〞数列.〔1〕假设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；〔2〕假设数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； 〔3〕假设数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ． 【答案】〔1〕见解析； 〔2〕n a n =； 〔3〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕采用1n n n a S S -=-可进展求解，要验证1n =是否成立〔2〕〔3〕通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进展联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】〔1〕当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 那么21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，那么1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.〔2〕121,1,2==-=a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，那么{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n那么{}-n a n 是常数列，110,-=∴=n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=． 又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=〔3〕由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d那么()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，那么21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差〔公比〕是求解的关键，涉及n a 与n S 的联络需用1n n n a S S -=-进展通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可()12，P 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点()54，P '，求矩阵A 和矩阵A 的特征值．【答案】31，-. 【解析】 【分析】根据矩阵的变换关系列出关于a,b 的二元一次方程，联立求解即可；设矩阵的特征值为λ，令()12021f λλλ--==--，解出对应的λ即可 【详解】因为115124a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得12524a b +=⎧⎨+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩， 所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()12021f λλλ--==--，得()2140λ--=， 解得， 1231，λλ==-， 所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，矩阵A 的特征值为31，-． 【点睛】矩阵的求解只需要熟记常规计算方法，代入相应公式进展求解P 是曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数，2≤≤ππθ〕上一点，O 为原点．假设直线OP 的倾斜角为π4，求点P 的直角坐标．【答案】().【解析】 【分析】观察可知曲线C 为椭圆，直接写出C 的HY 方程，再联立直线与椭圆的HY 方程求解即可【详解】曲线C 直角坐标方程：()22014≤x y y +=，直线OP 的方程为：0x y -=，联立方程组221400x y x y y ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪≤⎪⎪⎩，解得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P的直角坐标为()．【点睛】椭圆的参数方程为：cos sin =⎧⎨=⎩x a y b θθ，其中a,b 不等，注意和圆的参数方程进展区分23.1x ，2x ，3x 为正实数，假设1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用根本不等式a b +≥得221212.x x x x +≥=同理可得232322,x x x x +≥=213132x x x x +≥=,三式相加就可得所求结论.准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用根本不等式进展放缩证明是解决此题的关键.【详解】2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥++=， ∴2223211231x x x x x x ++≥.考点：根本不等式应用.24.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AA AB AC AB AC M ===⊥是棱BC 的中点，点P 在线段1A B 上．〔1〕假设P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小 〔2〕假设N 是1CC 的中点，直线1A B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度． 【答案】(1)π4. (2) 2BP =. 【解析】 【分析】(1) 以{}1AB AC AA ，，为正交基建立如下图的空间直角坐标系，利用向量法求得 直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4．〔2〕设()P x y z ，，，1BP BA λ=，01λ≤≤， 利用向量法求得直线1A B 与平面PMN 所成角的正弦值()22121272*********λλλ⎛⎫-⨯++ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14λ=，即得线段BP 的长度． 【详解】以{}1AB AC AA ，，为正交基建立如下图的空间直角坐标系，那么()000A ，，，()200B ，，，()020C ，，，()1002A ，，，()110M ，，． 〔1〕假设P 是线段A 1B 的中点，那么()101P ，，，()011MP =-，，，()020AC =，，． 所以2cos 2MP AC MP AC MP AC⋅==-⋅，． 又[]0πMP AC ∈，，，所以3π4MP AC =，． 所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4．〔2〕由()021N ，，，得()111MN ，，=-． 设()P x y z ，，，1BP BA λ=，01λ≤≤， 那么()()2202x y z λ-=-，，，，， 所以2202x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，所以()2202P ，，λλ-，所以()1212MP λλ=--，，． 设平面PMN 的法向量(),,n x y z =， 那么n MN ⊥，n MP ⊥，所以()0,1220,x y z x y z λλ-++=⎧⎨--+=⎩取111,,122n λλ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 因为()1202BA ，，=-，设直线1A B 与平面PMN 所成角为θ．由111sin cos n BA n BA n BAθ⋅====⋅⎛，14λ=． 所以114BP BA =，所以114BP BA == 【点睛】〔1〕此题主要考察向量法求异面直线所成的角和直线和平面所成的角，意在考察学生对这些知识的掌握程度和计算才能.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：〔几何法〕找→作〔定义法〕→证〔定义〕→指→求〔解三角形〕，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：〔向量法〕•sin AB n AB nα=，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.3n ≥，集合{}123，，，，P n =，，A B 是P 的两个非空子集，，记n a 为所有满足A B ≠∅的集合对()，A B 的个数． 〔1〕求3a ； 〔2〕求n a ．【答案】〔1〕37； 〔2〕43n n -. 【解析】 【分析】正难那么反，通过求出AB ≠∅的情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列组合公式进展求解 【详解】〔1〕集合对()，A B 一共()()33212149--=个，先考虑A B =∅的情况：{}1=A 时，，{}2=B ，{}3=B ，{}23=，B ，{}2=A 时，，{}1=B ，{}3=B ，{}13=，B ， {}3=A 时，，{}1=B ，{}2=B ，{}12=，B {}12=，A 时，，{}3=B ，{}13=，A 时，{}2=B ， {}23=，A 时，{}1=B ． 所以AB ≠∅的集合对()，A B 的个数为37，即337a =．〔2〕集合对()，A B 一共()()()2212121n n n --=-个，先考虑A B =∅的情况：当A 中有k 个元素时，一共有kn C 种选法，那么B 中不能包括这k 个元素中任何一个，只能从包含剩余n k -个元素的集合中选取非空子集，一共有21n k --种选法，故此时有()21k n k n C --种，所以，()111111212n n n kn kk n kknnn k k k C C C -----===⋅-=⋅-∑∑∑ ()()00000222nnkn kn nk n nnnn n n k k C C C C C C -==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--+⎢⎥⎣⎦∑∑ ()()()1212112nnn ⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()131222321n n n n n +⎡⎤=-+--=-+⎣⎦，所以，()212132143n n n n n n a +=---+=-．【点睛】对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常亲密励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学第一轮复习第一次调研测试题苏教版
高三数学第一轮复习：第一次调研测试题苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一次调研测试题【模拟试题】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设全集}3,1{B ),4,3,0(A },4,3,2,1,0{U ===，则=)B A (C U ___________。
2、函数x sin x cos y =的最小正周期是_____________。
3、已知复数)i 2)(i 1(z --=，则|z|的值是___________。
4、函数x ln x )x (f -=的单调递减区间是____________。
5、对某学校400名学生的体重（kg ）进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg 以上的学生人数为____________。
6、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3x ,0y x ,04y x 所表示的平面区域的面积是___________。
7、如图，已知一个多面体的平面展开图是由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___________。
8、已知等差数列}a {n 满足：6a ,8a 21-=-=。
若将541a ,a ,a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为___________。
9、已知抛物线)0m (mx y 2≠=的准线与椭圆12y 6x 22=+的右准线重合，则实数m 的值是___________。
10、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果b 为___________。
a ←1b ←1While b ＜5c ←a ＋b a ←b b ←c End While Print b11、如图，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色。
两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为___________。
12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，x 21)x (f --=，则不等式21)x (f -<的解集是___________。
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高三数学第一次调研测试题苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一次调研测试题【模拟试题】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设全集}3,1{B ),4,3,0(A },4,3,2,1,0{U ===，则=)B A (C U ___________。
2、函数x sin x cos y =的最小正周期是_____________。
3、已知复数)i 2)(i 1(z --=，则|z|的值是___________。
4、函数x ln x )x (f -=的单调递减区间是____________。
5、对某学校400名学生的体重（kg ）进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg 以上的学生人数为____________。
6、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3x ,0y x ,04y x 所表示的平面区域的面积是___________。
7、如图，已知一个多面体的平面展开图是由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___________。
8、已知等差数列}a {n 满足：6a ,8a 21-=-=。
若将541a ,a ,a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为___________。
9、已知抛物线)0m (mx y 2≠=的准线与椭圆12y 6x 22=+的右准线重合，则实数m 的值是___________。
10、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果b 为___________。
a ←1b ←1While b ＜5c ←a ＋b a ←b b ←c End While Print b11、如图，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色。
两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率为___________。
12、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，x 21)x (f --=，则不等式21)x (f -<的解集是___________。
13、如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点。
若6OA =，则NC MD ⋅的值是__________。
14、电子跳蚤游戏盘是如图所示的,6,7,8ABC AB AC BC ∆===.如果跳蚤开始时是在BC 边上的点0P 处，02BP =.跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P (第 1 次落点)处，且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P (第2 次落点)处，且21AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P (第3 次落点)处，且32BP BP =；…，跳蚤按上述规则一直跳下去，第n 次落点为(n P n 为正整数)，则点2005P 与2008P 之间的距离为 。
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知：在△ABC 中，53A cos =。
（1）求)CB sin(2Acos 2+-的值； （2）如果△ABC 的面积为4，AB ＝2，求BC 的长。
16、（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足)N t ,50t 1(200t 2)t (f ∈≤≤+-=。
前30天价格为)N t ,30t 1(30t 21)t (g ∈≤≤+=，后20天价格为)N t ,50t 31(45)t (g ∈≤≤=。
（1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； （2）求日销售额S 的最大值。
17、（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝AB 21，BC ⊥PC 。
（1）求证：PA ⊥BC ；（2）试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由。
18、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）已知：以点C （t ，t2）（0t ,R t ≠∈）为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点。
（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线4x 2y +-=与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程。
19、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题12分） 已知函数.2x |x |)x (f +=（1）判断函数f(x)在区间),0(+∞上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程2kx )x (f =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围。
20、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题12分）设数列}b {},a {n n 都是等差数列，它们的前n 项的和分别为n S ，n T ，若对一切*N n ∈，都有n 3n T S =+。
（1）若11b a ≠，试分别写出一个符合条件的数列}a {n 和}b {n ；（2）若1b a 11=+，数列}c {n 满足：n n b 1n a n 2)1(4c --λ+=，且当*N n ∈时，n 1n c c ≥+恒成立，求实数λ的最大值。
试题答案1、答案：{}22、答案：π34、答案：]1,0( 5、答案：64 6、答案：257 8、答案：－1 9、答案：－12 10、答案：5 11、答案：2312、答案：(,1)-∞-13、答案：26 14、答案：3 15、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解：（1）∵在△ABC 中，53A cos =， .54A sin ,2,0A =⎪⎭⎫⎝⎛π∈∴2分)A sin(2Acos 1)C B sin(2A cos 2-π-+=+-∴ 3分A sin 2A cos 1-+= 4分.0542531=-+= 6分 （2）.4A sin bc 21,4S ABC =∴=∆8分.5b ,2AB c .10bc ,54A sin =∴===∴= 10分 A cos bc 2c b a BC 2222-+==∴12分.17532522522=⨯⨯⨯-+= 17BC =∴。
14分16、（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤++-=Nt ,50t 31),200t 2(45,N t ,30t 1),30t 21)(200t 2(S ⎩⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤++-=.N t ,50t 31,9000t 90,N t ,30t 1,6000t 40t 27分（2）①当N t ,30t 1∈≤≤时，6400)20t (S 2+--=，∴当20t =时，S 的最大值为6400； 10分②当N t ,50t 31∈≤≤时，9000t 90S +-=为减函数，∴当31t =时，S 的最大值为6210。
12分 ∵64006210<，∴当20t =时，日销售额S 有最大值6400。
14分17、（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） （1）证法一：连结AC ，在四边形ABCD 中， ∵AD ⊥AB ，CD ∥AB ，∴AD ⊥CD 。
设.a 2AB ,a CD ,AB 21DC AD ,a AD ==∴=== 在△ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝45°，a 2AC =。
在△ACB 中，AB ＝2a ，︒=∠=45CAB ,a 2AC ， .a 2CAB cos AC AB 2AB AC BC 22=∠⋅⋅-+=∴.BC AC .AB BC AC 222⊥∴=+∴3分又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，.C PC AC = ∴BC ⊥平面PAC 5分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BC 。
7分 证法二：连结AC ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E 。
在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形。
∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°。
.45BCE .CE AE BE ,AB 21CD AE ︒=∠∴==∴==∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°。
∴AC ⊥BC 。
3分又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，,C PC AC = ∴BC ⊥平面PAC 。
5分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BC 。
7分（2）解：当M 为PB 的中点时，CM ∥平面PAD 。
8分证法一：取AP 中点F ，连结CM ，FM ，DF 。
则FM ∥AB ，.AB 21FM = ∵CD ∥AB ，AB 21CD =，∴FM ∥CD ，FM ＝CD 。
∴四边形CDFM 为平行四边形。
∴CM ∥DF 。
12分∵DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD 。
14分证法二：在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ，连结PQ ，CM 。
∵CD ∥AB ，∴∠QCD ＝∠QBA 。
∵∠CQD ＝∠BQA 。
∴△CQD ∽△BQA 。
21AB CD QB QC ==∴。
∴C 为BQ 的中点 ∵M 为BP 的中点，∴CM ∥PQ 。
12分 ∵PQ ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ； ∴CM ∥平面PAD 。
14分证法三：取AB 中点E ，连结EM ，CE ，CM 。
在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AB 21CD =，E 为AB 的中点， ∴AE ∥DC ，且AE ＝DC 。
∴四边形AECD 为平行四边形。
∴CE ∥DA 。
∵DA ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， ∴CE ∥平面PAD 。
10分同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点， 得FM ∥平面PAD 。
∵CE ⊂平面CEM ，EM ⊂平面CEM ，,E EM CE = ∴平面CEM ∥平面PAD ， 12分∵CM ⊂平面CEM ，∴CM ∥平面PAD 。
14分 18、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）解：（1）∵圆C 过原点O ，∴.t4t OC 222+= 设圆C 的方程是.t 4t t 2y )t x (2222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2分令0x =，得t4y ,0y 21==；令0y =，得t 2x ,0x 21==。
4|t 2||t4|21OB OA 21S O A B=⨯⨯=⨯=∴∆，即△OAB 的面积为定值。
6分（2）方法一：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN 。