2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
2. 2. 2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教案重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教案难点：减法运算时方向的确定.教案思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法<1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。
易知-(-a> = a.<2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a> = 0如果a、b互为相反向量，则 a = -b， b = -a，a + b = 0<3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a 与b的差.即：a-b = a + (-b> 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-bA作法：在平面内取一点O，作= a，= b 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a-b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
b5E2RGbCAP2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b>4．探究：OABaBb-bBa+abO abBaba-b１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a -b ？ 三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 例2、平行四边形中，a，b ， 用a、b 表示向量、.p1EanqFDPw 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？ 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？A OOB C5． 练习：1。
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1/27/2020
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18
A
a a+b
O
b
BA OA OB a b
bC
a
B
AB OB OA b a
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§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课堂练习
<<教材>>
P.87
练习1.2.3
书面作业
<<教材>>
P.9 1
习题2.2 A组4.5
12
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
4.向量减法的平行四边形法则
例2.如图，平行四边形ABCD中，AB a, AD b,
用a, b 表示向量 AC、DB
D
C
AC a b
b
DB a b
A
a
B
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6
二、讲解新课
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.向量减法的定义:
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的 差，即a - b= a + (-b)。
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 表示： a b a (b),
1/27/2020
思考：若a // b ,怎样作a b
1
a
与b同
向
2
2.2.2向量减法运算及其几何意义
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
例4. ABCD中，AB a, AD b,
你能用a,b表示AC, DB吗？ D
C
A
B
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道AC a b
同样，由向量的减法，知DB AB AD a b
即a (a) (a) a 0
2.向量减法的定义: a b a b
即减去一个向量相当于加上这个向量的
相反已向知量向.量a,b不共线，求作向量a
b.
B
b
a
b
a b
o
a
b a (b )
C
D
3. a b 的作图方法： B
b
b
a b
a
o
a
A
向量减法的三角形法则
有什么规律？
1.在平面内任取一点O, 作OA
a, OB
b（共起点）
2.连接两向量终点，方向由减向量指向被减向量。
即连接B, A，方向由点B指向点A。
B
b
ba
o
a
A
(1)如果从
a 的终点到
b
的终点作向量，
那么所得向量是什么？
(作2出)改变a
a, b
b 的方向，使
呢？
a // b ，怎样
如果a // b，那么怎样作出 a b呢？
向量是否有减法？如何理解向 量的减法？ 我们知道，减去一个数等于加 上这个数的相反数.向量的减法 是否也有类似的法则？
新课
1.相反向量：与 a长度相等，方向相反的 向量，叫做 a的相反向量，记作：a
性质：
1.a与 a互为相反向量，即 (a) a
高中数学教学课例《2.2.2向量的减法运算及其几何意义》课程思政核心素养教学设计及总结反思
(4)充分挖掘和利用学习资源。因地制宜开展探究
活动
(5)采用多样化的评价方式，鼓励学生参与评价
3.重视同伴评价和自我评价
4.在活动中评价学生的探究能力、情感态度和价值
观 5.在纸笔测试中注重考核学生分析、解决问题的能
力 6.既关注对学生量的评价,又要注重对学生质的评
价
2.新知探究 提出问题：①向量是否有减法？ ②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法 教学过程 则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？ 引导学生思考,相反向量有哪些性质 a 和-a 互为相 反向量.于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0.如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则 如图 1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义, 知=a+(-b)=a-b.又 b+=a,所以=a-b.由此,我们得到 a-b 的作图方法.
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,
向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量数学方法,类
比,数形结合,几何作图,分类讨论.
七、课后作业
促进学生的全方面发展，关键是课堂的实施，那么
教学方式的转变当然要体现在教学的设计之中，因此课
堂的教学设计在遵循一定策略的基础上，一定要以学生
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向 量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算； 并利用三角形做出减向量.运用几何直观，类比等思维 教学策略选 方法，进一步提高理性思维能力.像数的代数和那样， 择与设计 把减式看成和式.类比数的减法(减去一个数等于加上 这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引 入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相 反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法
2.2.2向量减法运算及其几何意义
首页
引入 进行 小结 作业
教学过程
EXIT
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首页 练2、非零向量a, b成何位置关系时, | a b || a b | . 教学过程
引入 进行 小结 作业
EXIT
2014年7月5日星期六
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(1) 0 0; (2) (a) a;
EXI (b).
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首页 向量减法的推导 :
C
教学过程
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a b b
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§ 2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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首页 相反向量 : 与a长度相等, 方向相反的向量, 称之.记作 教学过程 a . 引入
引入 进行 小结 作业
D C
b
A
EXIT
a
B
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练1、化简 :
(1) AB BC CA; (2)( AB MB) BO OM ; (3)OA OC BO CO; (4) AB AC BD CD; (5)OA OD AD; (6) AB AD DC. (7) NQ QP MN MP.
小结
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第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
2.2.2平面向量的减法及几何意义
例2：如下图,已知向量 a , b , c , d , 求作向量
a b, c d .
A
B
C
b a
c
d
O
b
D
c
a
d
则 BA OA OB a b
DC OC OD c d
例3：如下图,
ABCD中, AB a , AD b ,
a
b
O
a b
a
A
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习:课本P87页T2. 例1:
化简：（ ） AC DB 1 AB
( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
一、向量减法运算的定义
(1)相反向量.
相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 a ① a 和 a互为相反向量,于是 ( a ) a a
②规定:零向量的相反向量还是零向量,即 ③任一向量与其相反向量的和是零向量,即
规定:与向量 a 长度相等,方向
0 0
a
a (a ) (a ) a 0.
④如果 a 、b 是互为相反的向量,那么 a b, b a, a b 0. (2)向量减法的定义: a b a ( b )
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
ab
• 变式训练五
若 a b a b , 则a与a b的夹角为多少度？
2.2.2向量减法运算及其几何意义
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B 水速
(2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
D C
2 3 tan CAB 3 2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习2
填空：
重要提示
AB BA
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
练习3
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
2.2.2向量减法运算及其几何意义
rr
rr r r
若a，b不共线，则 | a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
首尾相接
2、向量加法的平行四边形法则
D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
bC
a
B
起点相同
3、向量加法的交换律：ar
+
r b
=
r b
+
ar .
4、向量加法的交换律：(ar
= = = =
_Duu_Bur___; _uCu_uA_r ___; _uAu_Cu_r ___; _uAu_Dur____;
你能将减法运 算转化为加法 运算吗？
OA OB = _B_A____ .
例2：选择题：
uuur uuur uuur
（1）AB + BC AD = D
uuur
uuur
5、0 + a = a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线
（√ ）
例3:化简uuur uuur (1) AB CB; uuur uuur uuur uuur (2) AB + BC + DA DC; uuuur uuuur uuur (3)MN MP PQ.
向量的减法与几何意义
性质
向量减法不满足交换律，即$vec{A} - vec{B}$和$vec{B} - vec{A}$不一 定相等。
向量减法是可结合的，即$(vec{A} vec{B}) - vec{C} = vec{A} - (vec{B} vec{C})$。
方向相同的向量相减
方向相同的两个向量相减，结果的模长等于 Байду номын сангаас向量模长之差，方向与被减向量相同。
向量减法的运算律
02
01
03
向量减法的结合律
$a - b - c = a - (b + c)$
向量减法的交换律
$a - b = b - a$
向量减法的分配律
$(a + b) - c = a - c + b - c$
04
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量作为向量减法的基准
任何向量与零向量相减，结果仍为原向量。
零向量的方向不确定
零向量没有确定的方向，可以视为任意方向。
零向量的模长为0
零向量的模长为0，表示它没有大小。
向量减法的方向性
方向相反的向量相减
方向相反的两个向量相减，结果的模长等于 两向量模长之和，方向与被减向量相反。
VS
详细描述
在向量加减法中，向量的长度或模是一个 重要的概念。向量的模长是指向量的长度 或大小，通常用双箭头表示。向量的模长 可以通过勾股定理计算得出，即向量的大 小等于向量坐标的平方和的平方根。在向 量加减法中，向量的模长可能会发生变化 ，这取决于向量的方向和大小。
03
向量减法的应用
速度与加速度的计算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
uuur
uuur
uuur
3.若| AB |＝5，| AC |＝8，则| BC |的取值范围是
( C)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
4．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
ABCD
中，设
uuur AB
uuur
＝a，AD
＝b，uBuCur
＝c，则
uuur DC
等于(
A)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
2.已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA =a ， OB =b，OC =c，用 a，b，c 表示 OD .
【解析】 = - = - = - + =c-b+a.
B
ab
D
b a
d c
A
d b
cd
C a
c
O
作法：如图，在平面内任取一点O，作OuuAur
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
cr ,则OuuDur
r d,
BA a b,DC c d.
【变式练习】
如图，已知a,b, 求作 a b.
（2）
（1）a
ab
a
b
b
（3）
a
（4）
ab
a
b
r
b r ra
.
7.在平行四边形 ABCD 中，| + |=| - |，则有
()
A. =0 C.ABCD 是矩形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
人教a版必修4学案：2.2.2向量减法运算及其几何意义(含答案)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c → → → → 2．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于( ) → → → → A.QP B.OQ C.SP D.SQ → → 3．在平行四边形 ABCD 中，AC－BD等于( ) → → → → A．2AB B．2BA C．2CD D．2DB → → → 4．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是( ) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) → → 5．边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB－BC|的值为( A．1 B．2 3 C. D. 3 2
知识点三 向量减法的几何意义及应用 → → → → 例 3 在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，先用 a，b 表示向量AC和DB，并回答： 当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？
回顾归纳 向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b|，|a＋ b|，|a－b|在相应图形中的含义是解题的关键．
向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ___________________________________________________________________． → → (2)作法：在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则向量 a－b＝__________.如图所 示． (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 → → 为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA－OB＝________. 自主探究 我们已经知道向量不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，若以向量－b 去替换向量 b 就会 得到向量不等式：________________________. 当向量 a、b 共线同向且|a|≥|b|时，有________________； 当向量 a，b 共线反向时，有________________________； 当向量 a，b 不共线时，总有________________________． 对点讲练 知识点一 作两向量的差向量 例 1 任意画一对向量 a，b，求作它们的差．
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
研一研·问题探究、的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：
仍是零向量
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
对比项 对 比
本 课 时 栏 目 开 关
实数的减法
向量的减法
(3)互为相反数的 (3) 两个相反向量的和是 和是零
零向量
内 容
(4)实数的减法：减 (4)向量的减法：减去一个 去一个数等于加上 向量相当于 加上这个向量 这个数的相反数
的相反向量
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝___ a； BA ；(2)－(－a)＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
3．向量减法的平行四边形法则 → → 以向量AB＝a，AD＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则
本 课 时 栏 目 开 关
→ → 对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b. 4．向量减法的三角形法则 → → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b， 即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
本 课 时 栏 目 开 关
请你利用平行四边形法则作出差向量 a－b.
解 利用平行四边形法则． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ → → 作OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四 → 边形 OAEC，则OE＝a－b.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1-2.2.2向量的加法、减法运算及其几何意义
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aA BC A BCA BCCaa b b aO ABaaa bbb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0A BD C（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出 a - b ？ 例题： 例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， ， 则BA = a -b ， = c -dO AB a B’b-b bB a+ (-b)a b O abBa ba -bABbad Da -b A B B B’ O a -b a a bb O A O B a -b a -b B A O -b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直）变式三：a+b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法| 板书设计（略） 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC ，并画出b-c 和a+d.A BD C。
高中数学必修四 2.2.2 向量减法运算及其几何意义(步步高)
反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直 接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量； 若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差 向量.
跟踪训练 1 如图所示，O 为△ABC 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. 求作：b＋c－a.
梳理 (1)定义：如果两个向量长度 相等 ，而方向 相反， 那么称这两 个向量是相反向量. (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差 向量a－b?
解答
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； 解 原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D). 解 原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D
＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
解答
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B). 解 (A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋D→B ＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→D＋D→B ＝B→C＋C→B＝0.
解答
类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|A→B|＝6，|A→D|＝9，求|A→B－A→D|的取值范围. 解 ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|，且|A→D|＝9，|A→B|＝6， ∴3≤|A→B－A→D|≤15. 当A→D与A→B同向时，|A→B－A→D|＝3； 当A→D与A→B反向时，|A→B－A→D|＝15. ∴|A→B－A→D|的取值范围为[3,15].
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AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
当两个向量不共线时，你能 发现它们的模与它们的和向 量的模之间的大小关系吗？ a A o·
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
(1) 交换律 : a b b a
a
b
ab a
b
b A a c
B
O
C
BC OB (a+b)+c=_____+____=______ OC
a和b互相垂直 |a +b|=|a b|？_____________________
例3:化简
(1) AB CB; (2) AB BC DA DC ; (3) MN MP PQ.
解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;
(2)AB+BC+DA-DC= AB+BC+DA+CD= AB+BC+CD+DA= 0 . (3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ)
练习3:如图,已知向量 AB a , AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
解：以AB 、AD 为邻边作平行四边形 ABCD ， 由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形 由向量的加减法知 AC a b， DB a b 故 | AC || a b | ， | DB || a b |
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC a b;
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
D
b
A
a b
C
ab
B
变式训练一：当a ,b满足什么条件时，
a
| a || b | a +b与a b垂直？_____________
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
OC a+(b+c)=OA+_____=______ AC
探究
A2
A1 A2 A3 A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4 A3 A1A3 A1A2+A2A3=_______
A1
化简：
(1) AB CD BC (2) MA BN AC CB
(3) AB BD CA DC
=MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习1、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
1、 AB BA 0
（
） ） ）
注：两个向量的和仍是向量。
1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相接,首尾连 同一起点对角线
C
ab
A
b
B
a
b
ab
C
b
A
a
B
O
3. a b a b a b
a
4 .向量加法的交换律
5 .向量加法的结合律
向量的减法是否也有类似的法则：
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？
一、相反向量 定义：与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量，记作： a
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
2、 AB OA OB （
4、若
3、相反向量就是方向相反的量 （
AB BC CA 0
，则A、B、C ）
三点是一个三角形的定点 （ 5、 0 a a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线 （ ）
√
练习1:
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
a b
O
A
练习 如图，已知a, b, 求作a b.
（1） （2）
a
a
b b
o a
A
（3）
o
B A
b
a b
a b
（4）
B
a
B
o
a b
b
A
a
b
B
o
a bA
例1.已知向量 a, b, c, d , 求作向量 a b, c d .
b a
作法 :
d
A
B
D
C
c a
b
O
d
c
1.在平面上任取点O , 作OA a , OB b, OC c , OD d . 2.作 BA, DC , 则BA a b, DC c d为所求.
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
练习2.
若 AB 8, AC 5, 则 BC的取值范围是_____.
解： BC AC AB , AC AB AC AB AC AB 3 BC 13
1.向量加法的三角形法则: 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相接,首尾连 同一起点对角线
C
ab
A
b
B
a
b
ab
C
b
A
a
B
O
a
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
依据三角形法则
(1)同向
(2)反向
b
a
A
B C BC
b
a
A
AC = a + b
练习2
填空：
重要提示
AB BA
AB AD _____; DB
CA BA BC ______;
AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA . OA OB ______
你能将减法运 算转化为加法 运算吗？
例2.已知平行四边形ABCD , AB a , AD b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解： 如图，设 AD 表示船速， AB 表示水的流速， D 以AB，AD为邻边作 ABCD， 则 AC 是船的
实际航行速度.
在 RtABC 中， AB 2
BC 2 3
2 2
AC
AB BC 2 2 3 4
2 2
A
B
2 3 3 CAB 60 2 答：船实际航行速度为 4km/h ，方向与流速间的夹角为 60 ． tan CAB
a b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量，这就是向量减法的几何意义.
思 考
(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么
所得向量是什么？
a
b
a
b
O （ 1） A B
？ b a
a
b
（ 2） B
思考：若向量a、 b共线，则应怎样作出 a b 呢？
同向 反向
a b
0
首尾相接首尾连
一般的 A 0 A 1 A 1 A 2 A n 2 A n1 A n1 A n A 0 A n
A 1 A 2 A 2 A 3 A n1 A n A n A 1 0
举例说明？
例2.一艘船以 2 3km/h的速度向垂直于对岸的方向 行驶，同时，河水的流速为 2km/h，求船实际航行 速度的大小与方向（用与水流速间的夹角表 示）． C
因为DAB 120 O ，所以DAC 60 O 所以ADC 是正三角形，则 | AC | 3 由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
3 3 3 | OD || AD | sin 60 3 2 2
o
C
O
D
b
120o
`
A
a
B
所以 | a b | 3， | a b | 3 3
小结
1、向量的减法可以转化为向量的加法进行： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2、向量减法仍遵循三角形法则 “同一起点指向被减” 3、在解题中要注意转化思想和数形结合思想的应用.
: (a b ) c a (b c )
: a b b a.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
加与减是对立统一的两个方面，既然向量 可以相加，那自然也可以相减.那么，两个向 量如何进行减法运算?
探 究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数，如:5-1=5+(-1)
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
a 与 b 的差。a 与 b
的差
三、向量减法的作图方法：