绪论拓扑学的起源

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演变过程从论到拓扑学的数学发展

演变过程从论到拓扑学的数学发展数学作为一门学科，经历了漫长而精彩的发展历程。

从古代的论证研究到现代的拓扑学，数学的发展一直在不断演变和创新。

本文将从论证研究开始，逐渐引出拓扑学的发展过程，并探讨其演变过程。

一、论证研究的起源数学的起源可以追溯到古代的论证研究。

古代的数学家们通过观察和实践，逐渐发现了一些数学规律和关系。

例如，古代埃及人通过观察尼罗河的洪水周期性变化，建立了一套水利管理系统。

古希腊的毕达哥拉斯学派则发现了一系列几何定律，如勾股定理等。

二、古代的几何研究古希腊的几何研究对数学的发展起到了重要的推动作用。

欧几里德的《几何原本》系统化地总结了当时几何学的成果，并提出了一套清晰而严谨的证明方法。

这套证明方法对后来的数学发展产生了深远影响。

另外，阿基米德在几何测量领域做出了重要的贡献，为现代数学的发展奠定了基础。

三、代数的兴起随着时间的推移，数学的研究逐渐从几何领域扩展到了代数领域。

古代印度的数学家在代数方面取得了重要成就，如发明了零和无穷大的概念，并解决了高次方程的问题。

同时，阿拉伯数学家通过翻译古希腊文献，将古代数学知识传播到了西方世界，对欧洲的数学发展起到了推动作用。

四、分析学的诞生17世纪，分析学的诞生标志着数学领域的一次革命。

牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发现了微积分学，为解决动力学和物理学中的各种问题提供了强大的工具。

微积分学的发展推动了数学和科学的快速发展，并成为了数学学科中的重要分支。

五、拓扑学的兴起20世纪初，拓扑学作为一门独立的数学学科得到了充分的发展。

拓扑学关注的是空间的性质和变形，而不依赖于空间的度量和距离。

拓扑学的发展为几何学、分析学和代数学等其他数学分支提供了新的工具和方法。

同时，拓扑学的应用也涉及到了物理学、化学和计算机科学等多个学科领域。

六、数学发展的现状与未来当今，数学作为一门学科得到了广泛的应用和发展。

计算机科学的快速发展促进了数学研究方法和工具的创新，同时也为数学家们提供了更多的应用场景。

拓扑学的起源

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20世纪的拓扑学家及其贡献
总结词
20世纪的拓扑学家在拓扑学领域做出了卓越的贡献，推动了拓扑学的进一步发展。
详细描述
在20世纪，许多杰出的数学家投身于拓扑学的研究，如艾伦伯格、霍普夫、吴文俊等。他们的工作在拓扑学领域做出了卓越的贡献，推动了拓扑学的进一步发展，使得拓扑
学成为数学领域中一门重要的学科。
欧几里得的几何学
欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的几何体系，它为拓扑学的发展奠定了基础。欧几里得几何学强调图形的内在性质和不变性，对后来的拓扑学发展产生了深远影
响。
近代的拓扑研究
19世纪的拓扑研究
19世纪是拓扑学发展的关键时期。数学家们开始深入研究图形的拓扑性质，并逐渐形成了专门的拓扑学分支。其中，德国数学家费利克斯·克莱因和德国数学家埃德蒙·诺伊维奇等人在这一时期做出了重要贡献。
20世纪的拓扑学发展
20世纪是拓扑学迅速发展的时期。在这一时期，拓扑学的研究领域不断扩大，涉及到了代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑等多个方向。同时，拓扑学与其他数学分支的交叉研究也取得了重要进展。
现代的拓扑学发展
拓扑学与其他领域的交叉研究
随着科学技术的发展，拓扑学逐渐与其他领域产生了越来越多的交叉研究。例如，拓扑学与物理学、化学、生物学等领域的结合，为解决实际问题提供了新的思路和方法。
拓扑学的起源
• 拓扑学的历史背景 • 拓扑学的数学基础 • 拓扑学的应用领域 • 拓扑学与其他数学分支的关系 • 拓扑学的重要人物与事件
目录
Part
01
拓扑学的历史背景
古代的拓扑观念
古代文明中的拓扑思考
古埃及、古希腊和古罗马的数学家们通过对几何形状的观察和比较，开始形成了早期的拓扑观念。例如，他们研究了图形的内在性质，如封闭性、连通性和对称性。

拓扑学的基本概念-定义说明解析

拓扑学的基本概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间中的形状、连通性和变化性质。

它主要关注的是不同空间对象之间的关系，而不考虑其具体的度量尺寸或几何特征。

拓扑学起源于18世纪，经过数学家们的不断探索和研究，逐渐形成了一套完整的理论体系。

在拓扑学中，我们关注的是空间对象之间的相互关系，而不关心它们的形状如何变化或者具体的度量尺寸。

例如，我们可以将两个球看作是相同的，因为它们都具有一个孔，而不关心它们的大小或者表面的形状。

这种抽象的思维方式使得拓扑学成为解决很多实际问题的强大工具，例如网络连通性分析、形状识别等。

拓扑学的基本概念包括拓扑空间、拓扑结构、连通性等。

拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合，通过给定的一组开集来定义集合中元素的关系。

拓扑结构则是用来描述集合中元素之间的邻近性和连通性的规则。

而连通性则是指一个空间对象是否是连通的，即是否可以通过一条连续的路径将其所有点连接起来。

拓扑学作为一门基础学科，在多个领域都有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，拓扑学被用来描述网络中节点之间的连通性和通信路径；在物理学中，拓扑学被用来研究物质的相变性质；在生物学中，拓扑学被用来研究DNA的结构和蛋白质的折叠等。

这些应用领域的发展与拓扑学的基本概念密不可分。

本文将从拓扑学的起源、基本概念、拓扑空间与拓扑结构以及拓扑学的应用领域等方面进行介绍。

通过对这些内容的系统阐述和分析，旨在帮助读者更好地理解拓扑学的基本概念和应用，以及其在解决实际问题中的重要性。

接下来的章节将详细介绍这些内容，以期能够为读者提供一个全面而深入的拓扑学知识框架。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以根据以下方式进行编写：文章结构部分：本篇文章将按照以下结构组织和介绍拓扑学的基本概念：1. 引言：首先，我们将概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体的概览。

接着，我们将介绍文章的结构，明确每个部分的内容和安排。

拓扑学原理

拓扑学原理拓扑学是一门研究空间中变形、对空间的影响和结构的学科，属于几何学的一个分支。

其核心思想是将复杂的平面或三维空间组织成一系列简单的形状，以帮助理解复杂的空间形态。

扑学试图理解物体之间的关系，尤其是建筑物、组织和空间中物体之间的关系。

它还是探究物体如何从一种状态变成另一种状态的学科。

拓扑学对于设计师和建筑师来说，非常重要，因为它有助于更好地理解和审视空间中物体的构成和变化。

拓扑学的历史可以追溯到18世纪，当时初步开始探索这一学科的思想，但其发展到现在还是很晚的。

19世纪中期，美国数学家威尔逊发表了他的《拓扑学》著作，对拓扑学的定义提出了修改，并强调了运用拓扑学的重要性，从而引发了20世纪以来拓扑学的大量研究。

拓扑学的基本原理是：不可进行分割或拆分的元素，可以组成更复杂的拓扑结构；拓扑结构中的元素在形状、尺寸和位置上保持不变；拓扑结构包含的元素之间的位置和相对位置保持不变，成为空间的局部关系；一些局部关系可以组成整体的空间结构，其结构会受到整体的影响。

拓扑学可以视为一门理论性学科，其学习可以分为两个方面：空间拓扑学和拓扑运算学。

空间拓扑学主要研究几何体中的拓扑结构，试图理解各个元素之间的关系，确定几何形状的拓扑性质。

拓扑运算学是一种运用数学和计算机程序推理出物体的特征和拓扑信息的技术，是计算机视觉和自然语言处理的核心理论，它的应用已经广泛应用于拓扑空间分析、几何处理和科学计算等领域。

拓扑学的应用相当广泛，可用于建筑设计、景观设计、控制系统分析、物理学和地理学的研究、机器人规划、计算机科学中的数据结构等研究领域。

拓扑学的本质是一种数学思维方式，它可以帮助研究者从复杂的空间形式和物质变化中发现蕴藏的规律，进而开发出更具实用性的方法和解决方案。

拓扑学是一门博大精深的学科，因为它既涉及数学思维，又涉及技术实现，同时还对空间构造及其变形有独特的认识。

它为人类进行空间管理和设计提供了极具依据的学术支持，也为一些复杂的科技项目的实施提供了有益的指导。

拓扑学简介（一）

拓扑学简介（一）拓扑学简介（一）Comments>>| Tags 标签：原创, 拓扑学, 莫比乌斯带季候风发表于2008-09-29 13:19拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。

“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。

中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。

拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。

比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。

而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。

为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。

好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。

莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。

经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。

在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。

他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。

可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。

莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。

数学中的拓扑学研究

数学中的拓扑学研究拓扑学是一门关于空间的数学学科，它研究的是不同形状的空间之间的关系。

比如，我们可以将一根橡皮筋拉扯成不同的形状，但是这些形状在拓扑学的研究中被视为同一种形状，因为它们可以通过扭转和拉扯操作变换而来。

拓扑学被广泛应用于知识领域和技术开发中，例如：在计算机科学领域中，拓扑学的研究可以应用于编写算法和构建网络；在工程中，拓扑学被应用于构建路线图和设计建筑。

拓扑学的起源可以追溯到18世纪初期，当时研究的焦点是欧拉公式，欧拉公式描述了不同维度的空间、边界和多面体之间的关系。

到19世纪中期，拓扑学作为一门独立的学科开始出现，同时也涌现出了一批著名的数学家，如Poincare、Brouwer、Urysohn 等，他们开创了现代拓扑学的研究领域，为拓扑学的发展奠定了基础。

拓扑学的重要性在于，它可以描述不同形状之间的性质和差异，例如，一个空间是否连通、有界、压缩性、局部连接等等。

通过对这些性质的研究，我们可以得到很多关于空间的重要信息，这些信息有助于我们解决很多具有应用价值的问题。

例如，在计算机科学中，我们可以利用拓扑学中的连通性、路径和环的概念来构建计算机网络，并优化其性能。

在工程中，我们可以利用拓扑学中的空间映射，来构建信号传输系统并优化其工作效率。

总之，拓扑学在数学和应用领域中的应用非常广泛。

拓扑学中的基本概念有很多，例如空间、点集、映射、同胚、连通性等等。

其中，最重要的概念之一是同胚（homeomorphism），同胚是指两个空间之间存在一个一一映射和其逆映射，且这两个映射都是连续的，这样的两个空间被称为同胚空间。

同胚把两个不同的拓扑空间联系起来，使它们在拓扑空间的意义下成为相同的。

例如，对于一个面包的圆面和正方形面，如果我们可以将正方形面变形为圆形面（即在不破坏边界的情况下可以相互转换），那么这两个面之间就是同胚关系，它们在拓扑空间中是同一种形状。

此外，连通性也是拓扑学中一个重要的概念。

拓扑学的产生-PPT精品文档

经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在 n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，

《拓扑学的产生》课件

《拓扑学的产生》PPT课件
拓扑学是研究空间中的连续性质的数学分支。本课件将介绍拓扑学的起源、基本概念以及在不同领域的重要应用。
什么是拓扑学？
拓扑学是研究空间中的连续性质的数学分支。它研究的对象是那些在保持空间形状的连续变形下不变的性质。
拓扑学的历史背景
拓扑学的起源可以追溯到18世纪，但它在20世纪得到了广泛发展。拓扑学的发展与几何学和分析学的交叉影响密不可分。
2
信号传播
拓扑学可以帮助研究神经信号在脑内的传播路径和传输效率。
3
认知能力
拓扑学研究还可以探索脑网络的拓扑特征与认知能力之间的关系。
拓扑学在数据分析中的应用
拓扑学在数据分析中扮演着重要的角色，可以帮助发现数据集中的重要特征和关系。
拓扑数据分析中的持久性理论
拓扑数据分析的持久性理论是一种用于分析数据集中的拓扑特征和形态变化的数学工具。
拓扑物理学的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ沿研究
拓扑物理学是一个快速发展的研究领域，正在探索新的拓扑态和拓扑现象。
拓扑学的挑战和前景
拓扑学领域还面临一些挑战，但它仍然具有广阔的应用前景，将继续为我们的科学和技术进步做出贡献。
基于拓扑数据分析的人工智能
拓扑数据分析在人工智能中的应用是一种基于拓扑学的新兴领域，可以帮助机器学习系统更好地理解和利用数据。
拓扑学在量子物理学上的应用
拓扑学被广泛应用于量子物理学中，特别是在拓扑绝缘体和拓扑量子场论的研究中起到了重要作用。
拓扑绝缘体的发现
拓扑绝缘体是拓扑学的重要应用之一，可以在材料中实现导电和绝缘两种性质的结合。
地图学
拓扑学在地图学中有广泛的应用，可以帮助解决路径规划和区域分析等问题。
计算机图形学

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展拓扑学是数学的一个分支学科，研究的是空间中点、线、面等几何形体的性质，以及它们之间的关系。

拓扑学的发展可以追溯到18世纪末19世纪初，然而真正成为一个独立的学科，则是在20世纪初。

最早的拓扑学概念可以追溯到欧几里得几何学，就是研究平面和空间中的基本对象及其性质。

然而，拓扑学的真正发展起步是通过对欧拉多面体定理的研究。

欧拉在1750年提出了欧拉公式，即V-E+F=2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。

欧拉通过研究各种多面体的顶点、边和面的数目之间的关系，发现符合这个公式的多面体只有五种。

这个发现对于拓扑学的发展起到了重要的推动作用。

19世纪初，高斯和拉普拉斯开始研究平面上的曲线，尤其是封闭曲线。

他们发现，通过曲线上一个点周围的环绕数（逆时针计数为正，顺时针计数为负），可以判断曲线是否闭合。

这个环绕数可以看作是拓扑学中的一个基本概念，即同伦。

19世纪末，庞加莱开始研究多维空间中的连通性问题。

他引入了拓扑学中的同伦和同伦不变量的概念，即两个空间通过连续变形相互等价。

庞加莱的研究对于现代拓扑学的发展起到了重要的奠基作用。

20世纪初，拓扑学逐渐成为一个独立的学科，并开始发展自己的独特理论和方法。

一个重要的里程碑是由墨菲斯提斯在1905年提出的“距离”概念。

他引入了距离空间的概念，即在空间中两个点之间的距离可以度量，而不仅仅是通过拓扑性质的相关性进行研究。

这种引入距离的方法大大推动了拓扑学的发展，使得拓扑学可以更加与实际问题相结合。

随着拓扑学的发展，许多重要的概念和定理被提出，如连通性、紧性、同调论等。

这些概念和定理使得拓扑学可以应用于更广泛的领域，如材料科学、生物学、计算机科学等。

例如，在材料科学中，拓扑学被应用于研究材料的电子结构和导电性质；在生物学中，拓扑学被应用于研究蛋白质的结构和功能；在计算机科学中，拓扑学被应用于网络拓扑和分布式计算等问题。

总的来说，拓扑学的产生和发展是一个漫长而复杂的过程，它起源于对几何形体性质的研究，经过数学家们的不断探索和推动，逐渐成为一个独立的学科，并为许多领域的科学研究提供了重要的工具和方法。

拓扑学的发展与应用

拓扑学的发展与应用拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中的形状、位置和变形等性质。

它关注的是那些不随形状的变化而改变的性质，而不关心具体的度量或者距离。

本文将讨论拓扑学的发展历程以及其在现实世界中的应用。

一、拓扑学的发展历程拓扑学的起源可以追溯到18世纪末的欧洲。

当时，数学家在研究欧拉定理时，开始发展出与物体的形状相关的概念和方法。

然而，直到20世纪初，拓扑学才真正成为一个独立的学科。

1904年，法国数学家亩尔曼提出了第一个拓扑学的公理系统，奠定了拓扑学的基础。

随着数学家对拓扑学更深入的研究，该学科得以逐渐发展壮大。

二、拓扑学的应用领域1. 电路设计：拓扑学可应用于电路设计中的布线问题。

通过使用拓扑学的方法，可以最小化电路板上导线的长度，提高电路的性能和可靠性。

2. 数据分析：在数据分析领域，拓扑学可以帮助我们理解大数据集之间的结构和关联。

通过将数据表示为拓扑空间，可以发现隐藏在数据中的模式和关系，进而进行更准确的分析和预测。

3. 分子化学：在分子化学领域，拓扑学的概念可以用来描述分子中原子之间的连接方式。

这种描述方法可以帮助研究人员理解分子的性质，优化合成路径，并预测分子的反应行为。

4. 地理信息系统：拓扑学在地理信息系统中有广泛的应用。

通过建立地理空间中点、线、面等几何对象之间的拓扑关系，可以实现空间数据的有效存储、查询和分析。

5. 网络通信：在网络通信领域，拓扑学可以用于设计和优化网络拓扑结构。

例如，通过分析网络节点之间的连接方式，可以选择最优的路径和传输协议，提高网络的性能和可靠性。

三、未来的发展趋势随着科学技术的不断进步，拓扑学在各个领域的应用将进一步拓展。

例如，在材料科学中，拓扑绝缘体被广泛研究，其可以用于制造更加高效的电子器件。

此外，在生物学和医学领域，拓扑学的概念被应用于研究蛋白质和脑网络的结构。

这些研究对于深入理解生物系统以及开发新的治疗方法具有重要意义。

总之，拓扑学作为一门基础数学学科，在现实世界中具有广泛的应用。

什么是拓扑学及其应用

拓扑学（Topology）是数学的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、结构以及它们之间的关系。

拓扑学的研究对象可以是任意维度的空间，而不仅仅是平面或者立体空间。

拓扑学起源于18世纪的欧洲，当时人们对于空间形状和连续性的研究逐渐形成了拓扑学的雏形。

拓扑学的主要研究内容包括拓扑空间、连续映射、同胚等概念。

其中最重要的概念之一是拓扑空间，它是一组元素的集合，配合着一些定义在这些元素上的开集公理，从而定义出拓扑空间中的结构和关系。

而连续映射则是拓扑空间之间的映射，它保持了空间中元素之间的邻近关系。

同胚是指两个拓扑空间之间存在一一对应关系，并且保持了空间中元素之间的邻近关系。

拓扑学具有广泛的应用领域，尤其是在自然科学和工程技术领域中起着重要的作用。

一个典型的应用领域是网络拓扑。

网络拓扑是指将网络中的各个节点和连接关系抽象成数学模型，通过对网络拓扑的分析和优化，可以实现更高效的数据传输和通信。

拓扑学的方法可以帮助网络管理员设计合理的路由算法、降低网络拥塞和延迟等问题。

另一个应用领域是物理学。

在物理学领域中，拓扑学被用来研究凝聚态物质中的拓扑相变和拓扑保护态。

通过研究拓扑相变，人们可以深入了解物质中的微观结构和相互作用规律，也可以寻找新的物质性质和应用。

拓扑保护态则是指在一些量子体系中存在的特殊电子态，它们具有稳定的拓扑性质，对外界扰动具有抗干扰的能力。

这种抗干扰能力使得拓扑保护态在量子计算和量子通信领域有着广阔的前景。

此外，拓扑学还在计算机科学领域具有重要的应用价值。

拓扑学中的图论是计算机科学中的基础模型之一，它研究了图的形状和结构以及它们之间的关系。

图论在算法设计、网络优化、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。

拓扑学的其他概念和方法，如同伦理学、群论等，也被应用于计算机图形学、数据库理论等领域。

总而言之，拓扑学是一门研究空间形状和结构的学科，它的应用涵盖了自然科学、工程技术和计算机科学等领域。

通过拓扑学的方法，人们能够深入了解空间中的结构和关系，从而提高数据传输的效率、研究物质中的新性质，并且在计算机科学领域中提供了一些基础模型和方法。

拓扑学

第1章绪论拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段．拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。

在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff 空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对0T 、1T 、2T 、正则、正规、3T 、4T 、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．第2章可数性公理2.1 第一第二可数性公理ⅰ 可数性公理的相关定义定义设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族．如果T 满足下列条件： ⑴ X ，∅∈T ；⑵ 若A ，B ∈T ，则A ∩B ∈T ；⑶ 若T ⊂T 1，则T ∈T ∈A A 1 ，则称T 是X 的一个拓扑．如果T 是集合X 的一个拓扑，则称偶对),(T X 是一个拓扑空间，或称X 是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；本文中约定T 是一个拓扑则可称集合X 是一个拓扑空间．此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间),(T X （或X ）中的一个开集．定义 2.1.1 某拓扑空间的一个基或在某一点的一个领域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数领域基．定义 2.1.2 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间或简称为2A 空间．定义 2.1.3 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．定义 2.1.4 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间．ⅱ 1A 、2A 相互蕴涵关系引理 2.1.3 设x 是一个拓扑空间x ∈X ,如果是X 的一个基,则}{B x B x ∈∈= 是点x 的一个邻域基．定理2.1.4 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理．证明:设X 是一个满足第二可数性公理的空间, 是它的一个可数基,对于每一个x ∈X,根据引理2.1.3}{B x B x ∈∈= 是点x 处的一个邻域基,它是的一个子族所以是可数族,于是X 在点x 处有可数邻域基x ．定理 2.1.4的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数公理,由于离散空间的每一个单点子集都是开集,而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并,因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集.所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间．ⅲ 1A 、2A 拓扑性质定理 2.1.1 满足第二可数性公理的空间任何一个子空间是满足第二可数性公理的空间．证：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，是它的一个可数基．如果Y 是X 的一个子集，y ∈Y ，对于Y 中的任何一个开集U ，存在X 中的一个开集V 使得U ＝V ∩Y ；存在的一个子族 1使得 1∈=B B V ．因此 1)(∈=B Y B U .由于上式中的每一个B ∩Y 是︱Y 中的一个元素，所以在上式中U 已经表示成了︱Y 中的某些元素之并了，因此︱Y 是Y 的一个基，它明显是一个可数族．定理2.1.6 满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间是满足满足第一可数性公理的空间．证明: 设x 是一个满足第一可数性公理的空间, Y ⊂X 为X 的一个子空间,y 为Y 中任一点即y ∈Y .由于X 是满足第一可数性公理的空间,故y 处有可数邻域基ϑ如果U 是y 在Y 中的一个邻域,则存在y 在X 中的一个邻域V ,使得U =V ∩Y ,于是存在1V ∈y ϑ使得1V ⊂V .从而1V ∩Y 是y 在Y 中的一个邻域,并且1V ∩Y ⊂ V ∩Y =U .其中1V ∩Y ∈Y y ϑ,所以Y y ϑ是y 在Y 中的一个邻域基.明显Y y ϑ是一个可数族．定理2.1.2 设n X X X ,,,21 是n 个满足第二可数性公理的空间，则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21满足第二可数性公理．证：假设已知拓扑空间的某一个性质P 是一个拓扑不变性质．为了证明性质P 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质P 的拓扑空间的积空间也是具有性质P 的拓扑空间．所以我们只要对于n ＝2的情形加以证明．设21X X 和都满足第二可数性公理的空间， 1和 2分别它们可数基，1 、2 分别为1X 、2X 的拓扑，令如记积拓扑的定义中的积拓扑的那个基，为了证明}2,1,{~21=∈⨯=i B B B i i 是积空间21X X ⨯的一个基，只需证明中的每一个元素均可以表示为 ~中的某些元素的并，为证此设21U U ⨯∈ ，其中Ui ∈i （i ＝1，2）．由于i 是i 的一个基，故对于每一个i ，存在i ⊂i ，使得i Bi i i B U ∈=．于是21U U ⨯＝（ i B B ∈11）×( 222∈B B )= 22,1121∈∈⨯B B B B = ∈⨯⨯2121B B B B 其中 =｛i B B B 21⨯∈i , i =1,2｝⊂ ~．所以集族 ~=｛i B B B 21⨯∈i , i =1,2｝是积空间21X X ⨯一个基,它明显是一个可数族.定理2.1.5设n X X X ,,,21 是n 个满足第一可数性公理的空间，则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21也满足第一可数性公理．证明:我们只要证明n ＝2的情形.设x =（21,X X ）是积空间X =21X X ⨯的任意给定的一个点,因为21,X X 满足第一可数性公理,所以21,X X 处有可数邻域基21,x x ,因此}2,1,{~21=∈⨯=i x Bx B B i i 是x =（21,X X ）处的邻域基,由于21,x x 可数,因此 ~也可数.因此X = 21X X ⨯满足第一可数性公理．定理设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续开映射,如果X 满足第二可数性公理,则Y 也满足第二可数性公理.证明:设X 满足第二可数性公理, 是它的一个可数基,由于f 是一个开映射,})({~ ∈=B B f 是Y 中开集构成的一个可数族.只需证明 ~是Y 的一个基.设U是Y 中的一个开集,则)(1U f-是X 中的一个开集.因此存在 ⊂1使得)(1U f -= 1∈B B .由于f 是一个满射.我们有U = 11)())((∈-=B B f U f f 即U 是B~中某些元素的并,所以B ~是Y 的一个基.定理设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续开映射,如果X 满足第一可数性公理,则Y 也满足第一可数性公理.证明:设X 满足第一可数性公理,任意的x ∈X .故x 有可数领域基 ,由于f 是一个开映射, })({~ ∈=B B f 是Y 中开集构成的一个可数族.下面证明 ~是Y 的一个领域基.设U 是Y 中的一个领域,则)(1U f -是X 中的一个领域因为X 满足第一可数性公理,所以存在拓扑空间中的一个开集)(1V f-使得x ∈)(1V f -⊂)(1U f -.因为f 是一个满的连续开映射.所以有)())(())((11B f V f f U f f =⊃--,所以 ~为Y 的一个领域基.从以上几个定理我们可以看出拓扑空间满足第一可数性公理的空间或第二可数性公理的性质是可遗传的,是有限可积的,也是拓扑不变性质．ⅳ 1A 空间的一些其它性质定理2.1.7 设X 和Y 是两个拓扑空间,其中X 满足第一可数性公理, x ∈X ,则映射f :X →Y 在点x ∈X 处连续的充分必要条件是:如果X 中的序列｛1x ｝收敛于x ,则Y 中的序列｛)(1x f ｝收敛于)(1x f .证明:必要性设f 在点x 处连续,｛1x ｝i Z +∈ 是X 中的一个收敛于1x 的序列.如果U 是)(x f 的一个邻域,则)(1U f-是X 的一个邻域,这时存在M ∈Z +使得i ＞M 时有1x ∈)(1U f -,从而)(1x f ∈U .充分性假设映射f 不连续,即)(x f 有一个领域V ,使得)(1V f - 不是x 的领域,则x 的任何一个领域U 都不能包含在中,即对于x 的任何一个领域U ,包含关系U = )(1V f -不成立.也就是说)(U f ∩V '≠∅,由以上知, )(x f 有一个领域V 使得对于x 的任何一个领域U 有)(U f ∩V '≠∅.设+∈Z i i u }{是点x 处的一个可数领域基,满足条件:对于每一个i ∈Z +,1+⊂i i U U 选取∈i x i U 使得)(i x f ∈)(U f ∩V '即)(i x f ∉V ．明显的,序列｛i x ｝收敛于x ,然而序列｛)(i x f ｝在)(x f 的领域V 中却没有任何一个点,所以不收敛于)(x f ,这与反证假设矛盾.因此反证假设不成立,所以映射f 在点x 处连续.定理 2.1.8 设X 和Y 是两个拓扑空间,其中X 满足第一可数性公理,则映射f :X →Y 是一个连续映射的充分必要条件是:如果X 中的序列｛i x ｝收敛于x ∈X ,则Y 中的序列｛)(i x f ｝收敛于)(x f .证明:只需证明映射f 连续当且仅当对于每一点x ∈X ,映射f 在点x 处连续. 充分性设对于每一点x ∈X , 映射f 在点x 处连续.如果U ⊂Y 是一个开集,则对于每一点x ∈)(1U f-.集合U 是)(x f ∈U 的一个领域.因此对于每一点x ∈)(1U f -,)(1U f -是x 的一个领域,因而)(1U f -是一个开集,所以f 连续. 必要性设映射f 连续, x ∈X .如果U 是)(x f 的一个领域,则存在开集V 使得)(x f ∈V ⊂U ,于是x ∈)(1V f-⊂)(1U f -,其中)(1V f -是一个开集,从而)(1U f -是x 的一个邻域,这证明f 在点x 处连续.2.2 Lindeloff 空间ⅰ 定义定义2.2.1 设X 是一个Lindeloff 空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindeloff 空间.ⅱ 1A 、2A 与Lindeloff 空间的关系定理 2.2.1(Lindeloff 定理) 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间.证明:设A V ∈=ααϑ}{是空间X 的任意一开覆盖, 是X 的可数基,因为每一个)(A V ∈αα是某些U ∈ 的并,所以存在的子族)( ⊂''覆盖X ,对每一个U ∈ ',选取αV 使αV U ⊂,这样得到的子覆盖},{ '∈⊃='U U V V ααϑ是可数的.证完. 注:第一可数空间与Lindeloff 空间互不蕴涵.① 一个第一可数空间,它不是一个Lindeloff 空间.设X 为一个不可数集,在X 上取离散拓扑,则X 是第一可数空间,但它不是Lindeloff 空间.② 一个Lindeloff 空间,它不是第一可数空间.设X 为一个不可数集,在X 上取有限补拓扑,即X 的非空开集为X \C,其中C 为有限集.显然X 是Lindeloff 空间,然而, X 不是第一可数空间.事实上,假如在点x ∈X 存在可数的拓扑基,则必有含有点x 的可数的开集族x ,使x 的每个开领域包含某个B ∈x ,因此x B x B ∈=}{,从而得到X \}{x =x \ x B xB B ∈∈=(X\B).因为每个X \B 为有限集,故X \}{x 为一个至多可数集,这与X 为一个不可数集的条件发生矛盾.因此可知X 不是第一可数空间.ⅲ Lindeloff 拓扑性质令X =[0,1],以[0,1]及所有单点集{x }(x ≠0)为领域基生成X 上的一个拓扑.因X 的任一开覆盖必含有[0,1],故X 为一个Lindeloff 空间,但子空间(0,1]为不可数的离散空间,故它不是Lindeloff 空间.注：包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff 空间.这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.从上面例子我们可以看出Lindeloff 空间性质是不可遗传的,但它对于闭子空间却是可遗传的,下面我们证明:定理2.2.2 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间.证明:设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间, Γ是子空间Y 的一个开覆盖则对于每一个Γ∈A 存在X 中的一个开集A Y U U A A = ,使得, }{}{Y A U A 'Γ∈ 于是是X 的一个开覆盖,它有一个可数子覆盖,设为}{},,{21Y U U A A ' .这时易见,},,,{21+∈=Z i Y A A A A i i 其中,便是Γ的一个关于可数子空间Y 的可数子覆盖.推论2.2.3 ⑴Lindeloff 空间的有限闭子空间的并为Lindeloff 空间;⑵Lindeloff 空间的任意闭子空间的交为Lindeloff 空间.证明:⑴设),2,1(n i y i =为Lindeloff 空间的闭子空间,则i y 为Lindeloff 空间, n i i y1=仍是Lindeloff 闭子空间.由定理2.2.2得 ni i y 1=也是Lindeloff 空间 ⑵设),2,1(n i y i =为Lindeloff 空间的闭子空间,则i y 为Lindeloff 空间,∞=1i iy 是闭集,因此, ∞=1i i y仍为Lindeloff 空间注: Lindeloff 空间不是有限可集的.设X 是实数集τ是所有半开区间[)}{,b x a x b a ≤≤=的族为领域基的X 上的拓扑.设}{αU 是拓扑空间X 的任意一个开覆盖,于是,对每一个有理数X r ∈,存在r r U r U U ∈∈使得},{α,根据X 上的拓扑τ的定义,当r 走遍有理数集时,相应的r U 所组成的可数族就覆盖了拓扑空间X .故X 是Lindeloff 空间令Y =X ×X ,对每一点p =(x ,y ) ∈Y ,点p 的领域集为{),(ξp s },其中),(ξp s 是左下角为点p 并以ξ＞0为边的半开正方形.令L={(x , y )︱y =-x },则L 是Y 的闭子集.为证Y 不是Lindeloff 空间,我们只要证明Y 的闭子空间L 不是Lindeloff 空间即可,但这是显然的,因为集族 Lp p s ∈),(ξ是L 的一个开覆盖,而它没有可数的子覆盖.所以Y 不是Lindeloff 空间.定理 2.2.4 X 是Lindeloff 空间, f :x →y 是一个连续映射,则)(x f 也是Lindeloff 空间.证明:设β是y 的任意一个开覆盖,则})({1β∈=-B B f A 是Lindeloff 空间X 的开覆盖,因它有可数子覆盖,即β的可数子族β'使得})({1β'∈='-B B f A 覆盖X ,故β'是β的可数子覆盖,所以y 也是Lindeloff 空间.推论2.2.5 21X X ⨯是Lindeloff 空间,则21,X X 也是Lindeloff 空间.证明:定义映射i P : 21X X ⨯→i X （i =1，2），显然它是一个连续映射,又因为21X X ⨯是Lindeloff 空间,由定理2.2.4得1X 和2X 也是Lindeloff 空间.2.3 可分空间ⅰ 可分空间的相关定义定义2.3.1 设X 是一个拓扑空间，D ⊂X ，如果D 的闭包等于整个拓扑空间X ，即D =X ，则称D 是X 的一个稠密子集.定义 2.3.2 设X 是一个拓扑空间,如果X 中有一个可数稠密子集,则称X 是一个可分空间.ⅱ 2A 与可分空间的关系定理 2.3.1 满足第二可数性公理的空间都是可分空间.证明: 设ϑ是空间X 的可数基,对于每一个U ∈ϑ,任取点x ∈U ,则集},{ϑ∈∈=U U x x A 是可数集.下证集A 稠密于空间X ,A X -是一个开集,不能包含基ϑ中的任何非空元素,故是空集.在前面我们知道,包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.同样包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分空间的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.注: 可分空间与Lindeloff 空间互不蕴涵.⑴ 设X 为一不可数集,并在X 上取可数补拓扑,则X 为一不可分的拓扑空间,由于X 的任一非空开集的补集是可数的,因而X 是Lindeloff 空间.⑵设X 为一不可数集,a ∈X ,我们规定X 的开集为空集∅以及含有点a 的任意子集.由于单点集{a }在X 中稠密.故X 是可分的,然而, X 显然不是Lindeloff 空间.ⅲ 可分空间的拓扑性质由于第二可数性公理是一个可遗传的性质,因此根据定理2.3.1我们可以得到以下推论:推论2.3.2 满足第二可数性公理的空间的子空间都是可分空间.定理2.3.3 可分空间的有限积空间仍为可分空间证明: 因为),,2,1(n i X i =是可分空间,存在i i X D ⊂,使得,i i X D =并且i D 是可数集.则n n X X X D D D D ⨯⨯⊂⨯⨯⨯=2121.又因为=D .2121n n X X X D D D ⨯⨯=⨯⨯⨯,而D 又是一个可数集,所以积空间n X X X ⨯⨯21是一个可分空间.定理2.3.4 可分空间的开子空间是可分空间证明: 设Y 为X 的一个开子空间, D 为Y 的一个子集即X D Y D ⊂⊂则,．因为X 为一个可分空间,所以X 中存在一个可数的稠密子集D ~,使得Y D Y D D ==则有 ~.因为D ~是可数集,则D 也是可数的,所以Y 是一个可分空间. 注: 存在某个可分空间的闭子空间,它不是可分的例如,设X 为一个不可数集,p ∈X ,令X 的开集为空集∅以及含有点p 的任意子集.易见单点集{p }在X 中稠密.因此, X 是可分的,又, X \{p }是X 的闭子空间.因X 不可数,故X \{p }不可分.例:设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个连续映射,证明如果X 是一个可分空间,则)(x f 也是可分的.证明: X 是一个可分空间,则存在X D X D =⊂使得,且D 是可数集,则)()(,)(11X f D fX D f =⊂--.因为f :X →Y 是一个连续映射,所以))(())((),())((11X f f D f f X f D f f =⊂--即)()(),()(X f D f X f D f =⊂所以)(D f 是)(x f 的一个稠密子集.又因为f 是连续的, D 是可数集,所以)(D f 也是一个可数集.ⅳ 可分空间的一些其它其它性质定理: 设X 是离散空间,X 是Lindeloff 空间 ⇔X 含可数多个点⇔X 是可分空间.证明:离散空间X 的每个子集是开集,所以若X 含有可数多个点则X 一定是Lindeloff 空间.反之,若X 是Lindeloff 空间,则所有单点集构成的X 的开覆盖有可数子覆盖,所以X 含有可数多个点.若X 含有可数多个点, X 显然是可分空间.反之,若X 是可分空间,则X 的一个可数子集的闭集是X ,因为离散空间任何子集的闭集时其本身,即X 的一个可数子集是X ,所以X 含可数多个点.定理2.3.5 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理证明: 设(X ,d )是一个可分的度量空间. D 是X 中的一个可数稠密子集.令},)1,({+∈∈=Z n D x nx B ,易见是由X 中的开集构成的一个可数族.设y ∈X ,U 是y 的一个领域,则存在+∈Z k ,使得U ky B ⊂)1,(.由于D 是X 中的一个稠密子集,所以≠D k y B )21,( ∅,任意选取D ky B y )21,(~∈,如果)21,~(k y B x ∈,则有k y x d 21)~,(<,于是k y y d y x d y x d 1),~()~,(),(<+≤即)1,(k y B x ∈.因此,我们可以得到:U ky B k y B ⊂⊂)1,()21,~(.由于,~D y ∈所以.)21,~( ∈ky B 综合以上所说,我们证明了:对于任何y ∈X 和y 的任何一个领域U ,存在某一个 ∈)21,~(k y B 使得U ky B y ⊂∈)21,~(所以是X 的一个基. 根据定理2.3.5及推论2.3.2可得到下面推论:推论2.3.6 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.第3章分离性公理3.1 0T , 1T , 2T 空间ⅰ 定义定义 3.1.1(0T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在其中一点的领域不包含另外一点(例如1x 的领域)(1x U 使)(12x U x ∉).以上叙述称为0T 分离公理,满足0T 分离公理的拓扑空间称为0T 空间.定义 3.1.2(1T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在点1x 的领域)(1x U 使)(12x U x ∉,点2x 的领域)(2x U 使)(21x U x ∉.以上叙述称为1T 分离公理,满足1T 分离公理的拓扑空间称为1T 空间.定义 3.1.3(2T 分离公理) 对拓扑空间X 的不同两点21,X X ,存在点1x 的领域)(1x U ,点2x 的领域U(x 2),使)()(21x U x U = ∅,以上叙述称为2T 分离公理或Hausdorff 公理,满足公理的空间称为2T 空间或Hausdorff 空间 ⅱ 0T , 1T , 2T 相互蕴涵关系我们由0T 、1T 空间的定义知道1T 空间当然是0T 空间，但反之不然，例如：设X ={a,b,c},规定X 的开集为∅,{a},{a,b},{a,c}和X ,则X 为一个拓扑空间.易见, X 是0T 空间.因为对于点c a ,而言,含点c 的开集必含点a ,所以X 不是1T 空间．同样有定义可知2T 空间一定是1T 空间，反之不然，例如：设X 是一个包含着无限多各点的有限补空间,由于X 中的每一个有限子集都是闭集,所以它是一个1T 空间.然而在拓扑空间X 中任何两个非空的开集一定会有非空的交,这是因为X 中每一个非空开集都是X 中的有限子集的补集,而X 又是一个无限集的缘故.由此可见X 必然不是一个2T 空间．ⅲ 拓扑性质定理: 1T 空间的每一个子空间都是1T 空间证明：设X 是一个1T 空间，Y 是X 的一个子空间.对于任意的x 、y Y ∈,y x ≠,因为Y 是X 的一个子空间,所以x 、y X ∈.由于X 是1T 空间,所以在X 中有x 的开领域U 使得y U ∉.令Y U U =~,则y U ~∈,则U ~是x 在Y 的一个开领域.所以Y也是一个1T 空间.定理: 2T 空间的每一个子空间都是2T 空间证明: 设X 是一个2T 空间, Y 是X 的一个子空间.设x 、y Y ∈,x ≠y .首先在X 中有x 的开集A 且1A Y A = 则1A y ∉,同理有y 的开集B ,使得B x ∉且1B Y B = 则x 1B ∉.由于X 是一个正则空间,所以1A 、B 分别在X 中有开领域U~和V ~,使得U ~∩V ~=∅.令U =U ~∩Y 和V =V ~∩Y ,它们分别是x 、y 在子空间Y 中的开领域,显然U ∩V =∅.定理:n X X X ⨯⨯21是Hausdorff 空间当且仅当每个拓扑空间},,2,1{n i X i =是Hausdorff 空间.证明:我们只需证明n =2的情形.设21X X ⨯是Hausdorff 空间,对于111,X x x ∈'为不同的两点.任取22X x ∈,则),(21x x ,),(21x x '为21X X ⨯的不同点,有不相交领域2121,U U U U '⨯'⨯.容易看出,1111,,x x U U ''是在1X 中的不相交领域,即1X 是Hausdorff 空间.同理2X 也是Hausdorff 空间.反之,设21,X X 都是Hausdorff 空间.),(),,(2121x x x x ''为21X X ⨯的两个不同点,不妨设1x ≠1x ',因为1X 是Hausdorff 空间,则有1X 的不相交开集11U U '和,使1x ∈1U , 1x '∈1U ',因此2221,X U X U ⨯⨯是),(21x x ,),(21x x ''的不相交领域,所以X 1×X 2是Hausdorff 空间.定理设X 和Y 是两个拓扑空间, f :X →Y 是一个满的连续映射,如果X 是2T 空间,则Y 也是一个2T 空间.证明:设x ,y ∈Y ,x ≠y , U 、V 分别是点x 、y 处的一个开领域.因为f :X →Y 是一个满的连续的映射,所以在拓扑空间X 中有,)(1x f -和)(1y f -分别有开领域)(1U f -, )(1V f -,又因为X 是2T 空间,所以有)(1U f-∩)(1V f -=∅.因f 是满的连续映射,所以))(())((11V f f U ff -- = ∅即U ∩V =∅. 所以Y 也是一个2T 空间. 我们从这个定理可以看出2T 空间是一个拓扑不变的性质.与以上证法相似我们也容易证明0T 空间和1T 空间也是一个拓扑不变性质的.定理3.1.3 2T 空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点证明: 设{i x }是2T 空间中的一个序列,并且有1lim i i x y →∞=和2lim i i x y →∞=其中21y y ≠于是对于j =1,2,点j y 有一个开领域j V ,使得21V V =∅.故存在j N ＞0使得当j i j V x N i ∈≥时有.任意选取},m ax {21N N M >.可见21V V x M ∈,故21V V 非空,这是一个矛盾.定理3.1.1 下列论断等价:⑴X 是0T 空间;⑵ 对X 的不同两点21,X X ,或者}{21x x ∉,或者}{12x x ∉;⑶ 对X 的不同两点21,X X 具有不同的闭包}{,}{21x x .证明: ⑴⇒⑵ 设}{21x x ∉及}{12x x ∉同时成立,则1x 的任何领域包含1x ,不满足⑴.⑵⇒⑴ 设}{21x x ∉,则存在1x 的领域)(1x U 使}{12x x ∉⑵⇒⑶ 显然⑶⇒⑵ 设}{21x x ∉,}{12x x ∉同时成立,亦即}{}{,}{}{1221x x x x ⊂⊂,从而有}{}{}{221x x x =⊂，同理}{}{12x x ⊂,故有}{}{21x x ⊂,不满足(3).定理3.1.2 设X 是一个拓扑空间,则以下条件等价:⑴X 是一个1T 空间;⑵X 中每一个单点集都是闭集;⑶X 中每一个有限子集都是闭集.证明: ⑴⇒⑵ 设X x ∉,当X 是一个1T 空间时,对于任何y ∈X ,y ≠x ,点y 有一个领域U 使得U x ∉,即U ∩{x }=∅,因此}{x y ∉,从而}{}{x x =.这证明单点集{x }是一个闭集.⑵⇒⑶ 设},,,{21n x x x 是X 的一个有限子集.当⑵成立时,我们有, nn n x x x x x x x x x 212121}{}{}{},,,{==}{}{}{21n x x x =},,,{21n x x x =即},,,{21n x x x 是一个闭集. ⑶⇒⑴ 设x ,y ∈X ,x ≠y ,当⑶成立时,单点集{x }和{y }都是闭集.从而}{}{''y x 和分别是y 和x 的开领域,前者不包含x ,后者不包含y ,这就证明了X 是一个1T 空间.3.2 正则、正规、3T 、4T 空间ⅰ 相关定义定义 3.2.1 设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域,它们互补相交(即如果x ∈X 和X A ⊂是一个闭集,使得A x ∉,则存在x 的一个开领域U 和A 的一个开领域V 使得U ∩V =∅),则称拓扑空间X 是一个正则空间.定义3.2.2 设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个互不相交的闭集各有一个开领域并且这两个开领域互不相交(即如果A 、B ⊂X 都是闭集,则存在A 的一个开领域U 和B 的一个开领域V 使得U ∩V =∅),则称拓扑空间X 是一个正规空间.定义3.2.3 正则的1T 空间称为3T 空间,正规的1T 空间称为4T 空间.ⅱ 正则、正规、3T 、4T 空间关系我们由拓扑空间的定义可知4T 空间是3T 空间，但拓扑空间的正则性和正规性之间没有必然的蕴涵关系.如X ={1,2,3}取T ={∅,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}则),(T X 是正规空间而非正则空间.但是我们不可能找到一个如此简单的正则而非正规的空间.定理 :设X 是有限集,若),(T X 是正则空间,那么),(T X 是正规空间.证明:设A ,B 是),(T X 的两个不相交的闭集,因为X 有限,所以可以设},,,{21n a a a A =,因为),(T X 是正则空间,所以对),,2,1(n i a i =和B ,有开集i U 、i V ,使i a ∈i U 、i i V B ⊂ ,且i U ∩i V =∅.令n U U U U 21=，n V V V V 21=,则U 、V 为开集,U A ⊂,V B ⊂且)()(2121n n V V V U U U V U = =)]([211n V V V U ∪…∪)]([21n n V V V U ⊂ )()(11n n V U V U = ∅,所以(X ,T )为正规空间.ⅲ 拓扑性质定理正则空间的每一个子空间都是正则空间证明:设X 是一个正则空间,Y 是X 的一个子空间.设y ∈Y 和B 是Y 的一个闭集使得y ∉B ,首先,在X 中有一个闭集B ~使得B ~∩Y =B .因此y ∉B .由于X是一个正则空间,所以y 和B ~分别在X 中有开领域(对于拓扑空间X 而言)U ~和V ~使得U ~∩V ~=∅.令U =U ~∩Y 和V =V ~∩Y .它们分别是y 和B 在子空间Y 中开领域,显然U ∩V =∅.定理正规空间的每一个闭子空间都是正规空间证明:设Y 是正规空间X 的一个闭子空间. A ,B 是子空间的闭集,则对于A 、B 也为X 中的闭集,所以存在X 中的一个开领域U ~、V ~,使得U ~∩V ~=∅,令U =U~∩Y , V =V ~∩Y 则U ∩V =∅所以Y 是一个正规空间.定理 4T 空间的每一个闭子空间都是4T 空间证明: 设Y 是4T 空间的一个闭子空间,m 、n 是闭子空间Y 中的任意点,其中m ≠n ,因为Y 是4T 空间的一个闭子空间,所以m 对于4T 空间有开领域U ~,使得U n ~∉.令Y U U ~=,则U n ∉,所以Y 是1T 空间.下证Y 为正规空间: A 、B 是子空间Y 的闭集.因为A 、B 也为4T 空间中的闭集,所以存在4T 空间的一个开领域A U ~、B V ~使得A U ~∩B V ~= ∅令A U =A U ~∩Y , B V =B V ~∩Y ,它们分别是A 、B 在闭子空间Y 中的开领域,则A U ∩B V = ∅,所以Y 为正规的.定理设n X X X ,,,21 是1≥n 个正则空间,则积空间n X X X ⨯⨯⨯ 21也是正则空间.证明: 我们只需证明2=n 的情形.设2121),(X X x x x ⨯∈∈,集合U 是x 在21X X ⨯中的一个开领域,则有1x 在1X 中的一个开领域1U 和2x 在2X 中的一个开领域2U ,使得1U ×2U ⊂U .由于1X 和2X 都是正则空间.故1x 在1X 中有一个开领域1V 使11U V ⊂-, 2x 在2X 中有一个开领域2V 使得22U V ⊂-,于是1V ×2V 是x 在21X X ⨯中的一个开领域,并且U U U V V V V ⊂⨯⊂⨯=⨯--212121.这就证明了是一个正则空间.这个定理说明正则空间具有有限可积性质.我们也容易证明10,T T 空间也具有有限可积性质.定理：设X 和Y 是两个拓扑空间,f ：X →Y 是满的连续映射，如果X 是一个正则空间，则Y 也是一个正则空间．证明：设Y y ∈,闭集Y A ⊂且A y ∉.因为f 是一个满的连续映射,则在X 中有X y f ∈-)(1,X A f ⊂-)(1.因为X 是一个正则空间,所以在X 中存在)(1y f -和)(1A f -的开领域U ~和V ~,使得U ~∩V ~=∅．因为f 是一个满的连续映射,所以在Y 中存在y 、A 的开领域U 、V ,使得U ∩V = ∅,所以Y 也是一个正则空间．定理：设X 和Y 是两个拓扑空间, f ：X →Y 是满的连续映射,如果X 是一个正规空间，则Y 也是一个正规空间．证明：A 、B 是Y 中的两个闭集，由于f 是一个连续映射则)(1A f -和)(1B f -是X 中的两个闭集.由于X 是一个正规空间,则)(1A f -和)(1B f -分别存在一个开领域U ~和V ~.使得U ~∩V ~=∅,由于f 是满的连续映射,则在Y 中存在A 、B 的开领域U 、V 使得U ∩V =∅,所以Y 也是一个正规空间．ⅳ 正则、正规、3T 、4T 空间其它性质定理 3.2.1 设X 是一个拓扑空间,则X 是一个正则空间当且仅当对于任何点x ∈X 和x 的任何一个开领域U ,存在x 的一个开领域V 使得U V ⊂. 证明：必要性设X 是一个正则空间，如果x ∈X ,集合U 是x 的一个开领域,则U 的补集U '便是一个不包含点x 的闭集.于是x 和U '分别有开领域1U 和1V 使得1U ∩1V =∅.从而1U ⊂1V ',所以U U U V V U ⊂⊂'=⊂---1111即.充分性设x ∈X 和A 是一个不包含x 的闭集.这时A 的补集A '是x 的一个开领域,根据定理中所陈述的条件可见,有x 的开领域U 使得A U '⊂.令V ='-U ,则有A ⊂U .所以V 是A 的一个开领域,并且易见U ∩V =∅,这证明X 是一个正则空间.引理3.2.2 拓扑空间X 为正则空间,当且仅当对X 中的任一点x 以及不含点x 的任一闭集B , x 、B 分别有开领域U 、V ,使得C(U )∩C(V )=∅.定理 3.2.3 拓扑空间X 为正则空间,当且仅当对X 中的任一点x 以及X 中不含点x 的任一闭集B , x 、B 分别有闭领域U 、V ,使得U ∩V =∅.证明: 必要性设X 为正则空间,由引理 3.2.2的必要性知,对X 中任一点x以及X 中不含x 的任一闭集B , x 、B 分别有开领域1U 、1V ，使得C(1U )∩C(1V )=∅,令U = C(1U ),V = C(1V )则U 、V 分别为x 、B 的闭领域,且U ∩V =∅.充分性设X 的任一x 以及不含x 的任一闭集B , x 、B 分别有闭领域U 、V ,使得U ∩V =∅,于是x ∈V V i B U U i ⊂⊂⊂)(,)(,故C(1U )∩C(1V )= ∅,根据引理3.2.2的充分性可知X 为正则空间.定理3.2.4 设X 是拓扑空间,则下列命题等价:⑴ X 为正规空间;⑵ 对于X 中的任意闭集A 和每个包含A 的开集U ,存在开集V 使得A ⊂V ⊂V ⊂U ;⑶ 对于X 中的任意两个互不相交的闭集A 、B ,存在开集U ,使得A ⊂U 及U ∩B =∅;⑷ 对于X 中的任意两个互不相交的闭集A 、B ,存在开集U ,使得A ⊂U ,B ⊂V 且U ∩V =∅.证明: ⑴⇒⑵ 由已知X 为正规空间, A 为闭集, U 为开集且A ⊂U ,则X -U 为闭集且(X -U )∩A =∅.由定义在X 中的开集V 、1V ,使得A ⊂V , X -U ⊂1V ,且V ∩1V = ∅,从而有V ⊂ X -1V 及X -1V ⊂U .因为X -1V 为闭集,则V ⊂X -1V ⊂U ,从而A ⊂V ⊂V ⊂U .⑵⇒⑶ 已知A 、B 为X 中的任意两个互不相交的闭集,因此X -B 为开集且A ⊂X -B ,由⑵则存在开集U ,使得A ⊂U ⊂U ⊂X －B ,从而U ∩B =∅. ⑶⇒⑷ 已知A 、B 为X 中的任意两个互不相交的闭集,由⑶知存在开集U ,使得A ⊂U 及U ∩B =∅,从而U 与B 为X 的两个互不相交的闭集,再由⑶知存在开集V ,使得B ⊂V 及U ∩V =∅.。

拓扑学简史

李斯廷于1848年，发表了《Vorstudein zur Topologie》(拓扑学的初步研究)一文。并和 Mobius各自独立的发现了Mobius带，并研究了它的一些性质。 • “拓扑，我们这里是指研究对象的特性，”他写道，并强调了将要研究这些特性是“不用考虑测量和数量。 /rzepa/listing/
1895，庞加莱发表了《Analysis situs》。并于在1899年到1904年，几乎每年都发表一篇《Coplement a l’analysis situs》。这些文章成为代数拓扑的“圣经”。文章引入了同调，基本群，单纯形，复形。其中丰富的想法让其后的数学家忙上了40年。
庞加莱猜想(1904-2003)：每一个三维单连通的闭流形和三维球同胚。 N=2时，庞加莱解决（基本群）。 1950-1960，n多有名数学家声称解决此猜想，结果发现证明都有漏洞。 N大于等于5时，Smale解决（1961年）。 N=4时，Freedman解决（1981年）。 N=3时，Perelman解决（2003年）。
三）代数拓扑之初创
Jules Henri Poincaré(1854-1912):出生在南锡。 1)家庭环境 2)个人简历 1862-1873 南锡中学在南锡中学待了11年，每门功课都是优秀生。他的数学老师将他描述为“数学怪兽”，他在法国学校的顶级中学生中举行的竞赛开放式竞赛中赢得了几次一等奖。（他最差的功课是音乐和体育，那些功课上他被称为“最多中等”） 1873-1875 巴黎综合理工学院(École Polytechnique)，师从Charles Hermite。 1875-1877 国立巴黎高等矿业学校(École nationale supérieure des mines de Paris)，获得工程师学位。 1877-1912 矿业公务员。(1893年成为矿业军团首席工程师，并在1910年成为总监) 1879-1881 获得巴黎大学博士学位，并被任命到卡昂大学（Caen University）教书。 1881-1912 巴黎大学(La Sorbonne)和巴黎综合理工学院(École Polytechnique)任教。 3)数学贡献公认的19世纪末的数学界领袖，是繼高斯之後对于数学及其应用具有全面知识的最后一人。比如：多复变，三体问题，狭义相对论，代数拓扑。 4)荣誉 1908年當選法蘭西學院院士 1900年英國皇家天文學會金質獎章 1911年布鲁斯奖（Bruce Medal）法国的一个街道名：Rue Henri Poincaré

拓扑学的产生

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四色问题
英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路
二，拓扑学的发展阶段
十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。
在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了
维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微
分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展邓一凡0401120摘要：拓扑学作为数学上一个重要的分支，主要是研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质，自从18世纪开始出现萌芽以来，对微分几何，分析学，抽象代数，经济学等其他学科产生了重大的影响。

而随着时代的发展，拓扑学更会在科学中起到更加重要的作用和影响力。

As an important branch of mathematics , Topology is to study a variety of "space" in the continuity of the invariant under changes in the nature, since the 18th century began to sprout since the differential geometry, analytical science, abstract algebra, economics, etc. other disciplines have had a significant impact. With the development of the times, topology in science will play a more important role and have more influence.关键字：拓扑学欧拉四色问题七桥问题庞加莱正文：拓扑学的定义：（1）Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。

形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。

简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。

主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量拓扑学早期的发展：拓扑学最初被称为形势几何学，这是莱布尼茨于1679年提出的，他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式，这是指任何闭的凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法，它是一个拓扑不变量，称为欧拉示性数.但据史学家考证，笛卡儿在1639年就知道它，并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决，欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图，并给出了一般性的解答.德国数学家高斯（Gauss，C.F.）于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系，他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数.利斯廷（Listing，J.B.）于1848年第一次采用了拓扑学一词，而黎曼（Riemann，B.）于1851年定义了黎曼面，引进了连通性和亏格，实际上解决了可定向闭曲面的分类问题，给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年，默比乌斯（Mo¨bius，A.F.）和利斯廷独立地发现了单侧的曲面，现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义.拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱（Poincaré，H.）实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文，然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形，并提出了著名的庞加莱猜想：基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础，其思想非常丰富，观念很深刻，影响很深远，尽管不够严密或缺乏证明，但后来的进展正是从此入手，将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学，进而发展出微分拓扑学等学科和分支.从此以后，拓扑学得到了蓬勃的发展，也为不同学科提供了宝贵的数学支持。

拓扑学历史

萌芽拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。

欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τόπος和λόγος（“位置”和“研究”）。

这是拓扑学的萌芽阶段。

1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。

黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。

组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。

他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。

他的主要兴趣在流形。

在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。

他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。

拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。

实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。

在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。

这终于导致抽象空间的观念。

点集拓扑最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇。

他在1906年引进了度量空间的概念。

F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。

随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。

经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。

欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。

拓扑学起源

拓扑学起源引言拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中固有的性质，而不依赖于度量或坐标系统。

它关注空间中点、线、面等基本元素之间的关系，并通过定义和研究拓扑结构来揭示空间的本质特征。

本文将探讨拓扑学的起源及其相关概念。

古代数学与几何古代数学在埃及、巴比伦、印度和中国等地同时发展，但几何学在古希腊时期达到了巅峰。

古希腊数学家欧几里得创作了《几何原本》，其中包含了许多基本定理和证明方法。

欧几里得将几何问题建立在公理系统之上，并通过逻辑推理进行证明。

然而，在欧几里得之前，许多文明已经开始研究空间中的形状和关系。

例如，埃及人利用准确测量土地边界的技术，发展出了一套实用的几何方法。

巴比伦人也在建筑领域使用了类似的技术。

拓扑学的起源拓扑学的起源可以追溯到18世纪。

当时，欧洲的数学家们开始研究曲线、曲面和多面体等几何对象的性质。

这些研究主要集中在拓扑学的前身——分析学和代数拓扑学方面。

分析学主要关注连续性和极限等概念，而代数拓扑学则研究了空间中点、线、面等基本元素之间的关系。

这两个领域的交叉研究为后来的拓扑学奠定了基础。

19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱对拓扑学做出了重要贡献。

他引入了拓扑不变量的概念，这些不变量可以用于刻画空间中的特征。

庞加莱还提出了著名的庞加莱猜想，它成为了20世纪最重要的数学难题之一。

20世纪初，荷兰数学家勒贝格提出了测度论，并将其应用于拓扑学中。

他定义了测度和积分等概念，并通过测度论方法对空间进行分类和描述。

拓扑空间与拓扑结构拓扑学的核心概念是拓扑空间和拓扑结构。

拓扑空间是一个集合，其中包含了一些元素以及它们之间的关系。

这些关系由拓扑结构来定义，它包括开集、闭集、邻域等概念。

开集是指在拓扑空间中的一个子集，如果对于每个点都存在一个邻域完全包含在该子集中，则该子集为开集。

闭集则是指其补集为开集。

邻域是指包含某个点的开集。

通过定义和研究这些基本概念，可以揭示空间的性质和特征。

例如，连通性描述了空间中是否存在分割成两个或多个不相交部分的方式；紧致性描述了空间是否可以被有限个开覆盖所覆盖。

拓扑学的由来

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。
什么是拓扑学？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“ 一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956 年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成能不能用一笔就把这个图形画出来。
欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。于是，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑学.txt

拓扑学拓‎扑学是近代‎发展起来的‎一个研究连‎续性现象的‎数学分支。

‎中文名称起‎源于希腊语‎Τοπολ‎ογ?α的‎音译。

To‎p olog‎y原意为地‎貌，于19‎世纪中期由‎科学家引入‎，当时主要‎研究的是出‎于数学分析‎的需要而产‎生的一些几‎何问题。

发‎展至今，拓‎扑学主要研‎究拓扑空间‎在拓扑变换‎下的不变性‎质和不变量‎。

拓扑定‎义‎拓扑学，‎是近代发展‎起来的一个‎研究连续性‎现象的数学‎分支。

中文‎名称起源于‎希腊语Το‎πολογ‎的音译。

T‎o polo‎g y原意为‎地貌，于1‎9世纪中期‎由科学家引‎入，当时主‎要研究的是‎出于数学分‎析的需要而‎产生的一些‎几何问题。

‎发展至今，‎拓扑学主要‎研究拓扑空‎间在拓扑变‎换下的不变‎性质和不变‎量。

拓扑‎学是数学中‎一个重要的‎、基础的分‎支。

起初它‎是几何学的‎一支，研究‎几何图形在‎连续变形下‎保持不变的‎性质(所谓‎连续变形，‎形象地说就‎是允许伸缩‎和扭曲等变‎形，但不许‎割断和粘合‎)；现在已‎发展成为研‎究连续性现‎象的数学分‎支。

编‎辑本段学科‎方向‎由于连续性‎在数学中的‎表现方式与‎研究方法的‎多样性，拓‎扑学又分成‎研究对象与‎方法各异的‎若干分支。

‎在拓扑学的‎孕育阶段，‎19世纪末‎，就拓扑‎‎已出现点集‎拓扑学与组‎合拓扑学两‎个方向。

现‎在，前者演‎化为一般拓‎扑学，后者‎则成为代数‎拓扑学。

后‎来，又相继‎出现了微分‎拓朴学、几‎何拓扑学等‎分支。

‎数学的‎一个分支，‎研究几何图‎形在连续改‎变形状时还‎能保持不变‎的一些特性‎，它只考虑‎物体间的位‎置关系而不‎考虑它们的‎距离和大小‎。

[英to‎p olog‎y] ‎举例来说‎，在通常的‎平面几何里‎，把平面上‎的一个图形‎搬到另一个‎图形上，如‎果完全重合‎，那么这两‎个图形叫做‎全等形。

但‎是，在拓扑‎学里所研究‎的图形，在‎运动中无论‎它的大小或‎者形状都发‎生变化。

绪论 拓扑学的起源

演变过程从论到拓扑学的数学发展

拓扑学的起源

拓扑学的基本概念-定义说明解析

拓扑学原理

拓扑学简介（一）

数学中的拓扑学研究

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