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一次函数与45度角模型

一次函数与45度角模型
一次函数是指数学中的一种函数，其最高次幂为1，即形式为y = ax + b。

其中，a和b为常数，且a不等于0。

一次函数通常表示
为直线，具有斜率和截距两个重要的特征。

斜率a表示了直线的倾
斜程度，而截距b表示了直线与y轴的交点位置。

而45度角模型则是一种简单而重要的模型，它指的是当自变量
和因变量的值相等时，即x = y时，所得到的函数图像呈现出45度
角的特征。

在直角坐标系中，这意味着函数图像将会沿着y = x这
条直线对称。

现在我们来掂量一下一次函数与45度角模型之间的关系。

首先，一次函数的图像在直角坐标系中通常是一条直线，其斜率a决定了
直线的倾斜程度。

当斜率a等于1时，即a = 1，这意味着函数图
像会沿着45度角的方向上升。

换句话说，当x增加1个单位时，y
也会增加1个单位，这就是45度角模型的特征之一。

另外，从代数的角度来看，一次函数中的自变量x和因变量y
是对等的，它们之间的关系可以被看作是一种对称关系。

这与45度
角模型中x和y相等的特性相呼应，也是它们之间联系的体现。

总的来说，一次函数与45度角模型之间存在着斜率的关联和对称的特性。

斜率为1的一次函数图像呈现出45度角的特征，而一次函数中自变量和因变量的对等关系也与45度角模型中x和y相等的特性相吻合。

因此，我们可以说一次函数与45度角模型在某种程度上是相互呼应和对应的。

【5-图论】2.顶点的度【讲师版】

【5-图论】2.顶点的度【讲师版】
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课程类型数学
“顶点的度”
讲义编号：
度是图论中极为重要的概念。

在竞赛中常常通过寻找关于度的关系，从而解决问题。

定理：简单图G的顶点集合与边的集合分别是V和E，则。

例1 证明，在任意一群人中，认识这群人中奇数个人的人数为偶数。

【解答】
例2 某网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少参加一次比赛。

证明：必有6场比赛，其中12个参赛者互不相同。

【解答】
例3 有三所中学，每所有n名学生。

每名学生都认识其他两所中学的n+1名学生。

证明可以从每所中学中各选一名学生，这3名选出的学生互相认识。

【解答】
例434个国家参加国际数学竞赛的命题审议会。

每个国家代表团有两个人组成，一名团长，一名团员。

会上，某些与会者相互握手。

同一个国家的两名代表不握手。

会下，A国团长问其他所有与会者，他们与人握手的次数，得到的答案都不相同。

问A国团员和多少人握过手？
【解答】。

第45讲节点的度数

(2) 因为序列4, 4, 3, 3, 2, 2中, 奇数个数为偶数, 可以得到一个无向图(见图7-11),其度数序列为4, 4, 3, 3, 2, 2.
16
Remark I. Δ(G)节点相当Hub节点: 鲁棒而脆弱. R.Albert, H.Jeong, A.L.Barabasi. The Internet’s Achilles’ heel: Error and attack
deg(v) 2m.
vV
6
Corollary 在任意图G = (V, E)中, 度数为奇数的节点个数必为偶数.
Proof
2m deg(v) deg(v) deg(v).
vV
deg(v)偶数
deg(v)奇数
7Байду номын сангаас
由定理及其推论很容易知道,在任何一次聚会上, 所有人握手次数之和必为偶数并且握了奇数次手的人数必为偶数.(环的解释?)
vV
vV
(G) min deg (v), (G) min deg (v).
vV
vV
例子?
14
对于无向图G = (V, E), V = {v1, v2, …, vn},称 deg(v1), deg(v2), …, deg(vn)为的度数序列. 对于有向图, 还可以定义其出度序列和入度序列.
v关联的所有边的关联次数之和为节点v的
度数(degree),记为deg(v).
deg(v1) 2, deg(v2 ) 5,
v3
e5
e3 e4
v1
deg(v3) 3.
v2
e1
一个环算2度?
e2
4
Def 设G = (V, E)是有向图, v V:

二叉树中不同度的节点之间的关系

二叉树中不同度的节点之间的关系一、概述二叉树是一种重要的数据结构，在计算机科学和算法设计中占据非常重要的地位。

在二叉树中，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

在二叉树中，节点的度是指其子节点的个数。

二、二叉树中节点的度在二叉树中，节点的度可以是0、1或2。

其中，度为0的节点称为叶子节点，度为1的节点称为单分支节点，度为2的节点称为双分支节点。

叶子节点是二叉树中最底层的节点，它没有任何子节点；单分支节点有一个子节点；而双分支节点有两个子节点。

三、不同度的节点之间的关系1. 叶子节点之间的关系在二叉树中，叶子节点是没有子节点的节点，它是二叉树的最底层节点。

叶子节点之间的关系是相互独立的，它们没有孩子节点，因此它们之间没有直接的关联。

2. 单分支节点之间的关系单分支节点有一个子节点，这意味着它们之间存在一种父子关系。

在二叉树中，每个节点只有一个父节点，因此单分支节点之间存在父子关系。

如果一个节点是另一个节点的父节点，那么它们之间就存在一种层次关系。

单分支节点之间的关系可以通过它们的父节点来进行通联。

3. 双分支节点之间的关系双分支节点有两个子节点，它们之间存在着复杂的关系。

双分支节点和它们的子节点之间存在父子关系。

而双分支节点之间也存在着共同的父节点，因此它们之间也存在一种层次关系。

另外，在二叉树中，双分支节点之间还存在着兄弟关系。

如果两个节点有共同的父节点，那么它们就是兄弟节点。

在整个二叉树中，双分支节点之间的关系是非常复杂的。

四、总结在二叉树中，不同度的节点之间存在着不同的关系。

叶子节点之间是相互独立的，它们之间没有直接的关联；单分支节点之间存在着父子关系，因为它们有公共的父节点；而双分支节点之间存在着父子关系、层次关系和兄弟关系，它们之间的关系比较复杂。

了解不同度的节点之间的关系，有助于我们更好地理解和应用二叉树这一重要的数据结构。

在二叉树中，不同度的节点之间的关系不仅仅是静态的父子关系和层次关系，还涉及到动态的遍历和查找。

结点数与度的关系

结点数与度的关系
在图论中，结点是图的基本元素之一。

每个结点可以与其他结点相连形成边，而一个结点的度则是它与其他结点相连的边的数量。

因此，结点数与度之间有着密切的关系。

具体来说，对于一个无向图，它所有结点的度之和等于它的边数的两倍。

这是因为每条边都会贡献两个结点的度，所以所有结点的度之和必须是边数的两倍。

而对于有向图，则需要分别计算它的入度和出度。

一个结点的入度是指指向这个结点的边的数量，而出度则是指从这个结点出发的边的数量。

同样地，有向图的所有结点的入度之和等于它的边数，而所有结点的出度之和也等于它的边数。

在实际应用中，我们可以利用结点数和度之间的关系来分析图的性质。

例如，在社交网络分析中，我们可以计算每个用户的度来了解他们在网络中的影响力；在交通路网优化中，我们可以利用结点的度来确定哪些交通节点是最为重要的。

总之，结点数与度之间的联系是图论研究中的基础知识，对于理解和应用图论算法都有着重要的意义。

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13章轴对称专题突破 (45°、60°角的用法) 课件(14张PPT)

(3)如图 3，若∠AEC＝135°.求证：CE⊥BD.
证明：过点 A 向上作 AF⊥AE 交 CE 的延长线于点 F， ∵∠AEC＝135°，∴∠AEF＝45°， ∴△AEF 为等腰直角三角形，∴AE＝AF. ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠CAE＋∠EAF， ∴∠BAE＝∠CAF. ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△BAE≌△CAF(SAS)， ∴∠BEA＝∠F＝45°， ∴∠CEB＝∠AEC－∠AEB＝90°，∴CE⊥BD.
专题突破 60°角的用法
模型平行构造等边三角形条件 DE∥BC，△ABC 是等边三角形结论 △ADE 是等边三角形
1.如图，△ABC 是等边三角形，点 D 是 AB 上一点，点 E 是 BC 延长线上一点，DE 交 AC 于点 F，DF＝EF.求证：AD＝CE. 证明：方法 1：过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于点 G，构造等边△ADG， ∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠E. 又∵∠GFD＝∠CFE，DF＝EF， ∴△CEF≌△GDF，∴EC＝DG＝AD. 方法 2：过点 E 作 EH∥AB 交 AC 的延长线于点 H，构造等边△EHC，证△FEH≌△FDA(AAS)，∴EH＝AD＝CE.
第十三章轴对称专题突破25 45°角的用法
模型作垂线构等腰直角三角形模型作垂线构旋转全等
模型作垂线构对称
1．如图，在等腰直角△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为△ABC 外一点，连接 AD，CD，BD，∠ADC＝45°.求证：AD⊥BD.
证明：过点 C 作 CE⊥CD 交 DA 的延长线于点 E， ∴∠DCE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD. ∵∠ADC＝45°，∴CE＝DC. ∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠CDB＝45°， ∴∠ADB＝∠ADC＋∠CDB＝90°，∴AD⊥BD.

高中数学必修45知识点总结精品文档11页

必修4知识点总结2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= 13、三角函数的诱导公式：口诀：函数名称不变，符号看象限．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为maxy，则()max min12y yA=-，()max min12y yB=+，()21122x x x xT=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．aC B18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121c o s a b a bx θ⋅==+．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．高中数学必修5知识点1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列．14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11naa n d =+-．20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④11n a a n d-=+；⑤n m a a d n m -=-．21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =+．22、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21nn n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．25、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．26、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．27、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n na a q --=；③11n na q a -=；④n m nma q a -=． 28、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =⋅．29、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．30、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S=偶奇．②n n mn m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．31、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．32、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1nna b a bn n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,2x =()12x x <有两个相等实数根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．第 11 页 40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．41、设a 、b 是两个正数，则2a b +称为正数a 、b称为正数a 、b 的几何平均数．42、均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥2a b +≥． 43、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭． 44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．。

人教A版本高中数学教学选修45学习知识点总结计划-

三求：求对应方程的根 .
,
四画：画出对应函数的图象 .
12
五解集：依据图象写出不等式的解集 .
kkk
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .
1
6、高次不等式的解法：穿根法 .
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分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿〔奇穿偶切〕，
131
1bn 2bn 1 ... nb1 1c1 2c2 ... ncn 1b1 2b2 ... nbn. 〔反序和乱
22
序和顺序和〕，当且仅当
()();
1 2 ... n 或 b1 b2 ... bn 时，反序和等于顺序和 .
242
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〔异向可减性〕 b, c d c b d 0
④〔可积性〕 b,c 0 c bc 1
b, c 0 c bc
⑤〔同向正数可乘性〕 b 0,c d 0 c bd 〔异向正数可除性〕 b 0,0 c d b cd n n ⑥〔平方法则〕 b 0 b (n N ,且 n 1) ⑦〔开方法则〕 b 0 n n b( n N ,且 n 1)
1 b 2、几个重要不等式 ①
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222
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个条件 “一正、二定、三相等〞 .
b b ，b R , 〔当且仅当 b 时取号〕. 变形公式：
③ 〔三个正数的算术—几何平均不等式〕
b
bc
22
3
b
3
2
bc (、b、c R ) 〔当且仅当 b c 时取到等号〕 .

节点的度数

第14讲图的有关概念, 节点的度数

主要内容: 1.图的有关概念. 2.节点的度数. 3.子图与图的同构.

Chapter 7 图论

图论的创始人是瑞士数学家L. Euler，他于1736 年首次建立“图”模型解决了Köningsberg七桥问题. 图论的应用领域非常广泛，它已经渗透到诸如语言学、逻辑学、物理学、化学、电信工程、信息论、控制论、经济管理等各个领域，特别是在计算机科学中的数据结构、计算机网络、计算

(a)节点又可以称为点、顶点或结点,常用一个实心点或空心点表示,但在实际应用中还可以用诸如方形、圆形、菱形等符号,为了方便可以在这些符号的旁边或内部写上表意名称. (计算机学科中常称节点.) (b)边及其的表示.
• 无向边? b3 = AB = BA ={A, B}(可重). • 有向边(弧)? e8 (v2 , v3 ) v2 , v3 .

所有边都是无向边的图称为无向图(graph, undirected graph),所有边都是有向边的图称为有向图(digraph, directed graph).

(c)图的拓扑不变性质. 需要注意的是,我们讨论的图不但与节点位置无关,而且与边的形状和长短也无关. 有n个节点的图称为n阶(order)图,有n个节点 m条边的图称为(n, m)图. 在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图 (empty graph), 记为, 若 V 但E = 的图称为零图(discrete graph), n阶零图可记为Nn, 仅一个节点的零图称为平凡图(trivial graph).

初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》

初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握解决四个节点共圆难题的方法和技巧，培养学生的物理思维和问题解决能力。

具体目标包括：- 理解什么是四个节点共圆问题- 掌握解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法- 运用所学知识解决实际问题- 提高逻辑思维和推理能力二、教学内容本课程将涵盖以下内容：1. 什么是四个节点共圆问题2. 解决四个节点共圆问题的基本步骤3. 实例分析：通过案例讲解如何应用解决方法4. 练与讨论：让学生进行练和思考，加深理解和掌握程度三、教学过程步骤一：引入通过简短的引导，激发学生对四个节点共圆问题的兴趣，引发思考。

步骤二：概念讲解向学生介绍四个节点共圆问题的定义和基本概念，确保学生对问题的理解。

步骤三：解决方法讲解向学生详细介绍解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法，包括：- 确定已知条件和待求条件- 利用几何知识分析问题- 运用相应公式或原理进行计算和推导步骤四：实例分析通过具体案例进行分析和讲解，让学生了解如何应用所学方法解决实际问题。

步骤五：练与讨论提供一些练题，让学生进行练和思考，加深对四个节点共圆问题解决方法的理解和掌握程度。

鼓励学生积极参与讨论，互相交流和分享解题思路。

四、教学评估教学过程中，教师可以通过以下方式进行评估：- 在引入环节观察学生对问题的反应和思考程度- 在概念讲解和解决方法讲解过程中观察学生对概念和方法的理解程度- 在练与讨论环节检查学生解题情况和解题思路五、教学资源- 幻灯片或投影仪展示教学内容和案例分析- 练题和答案- 黑板和粉笔六、教学延伸鼓励学生自主研究和探索更多有关几何问题的知识，例如如何解决更复杂的节点共圆问题，拓展学生的几何思维。

七、教学反思根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学方法和步骤，注重培养学生的实际应用能力和创新思维能力。

九年级数学上册20.230°、45°、60°角的三角函数值教案北京课改版

20.2 30°，45°，60°角的三角函数值一、教学目标1.通过探索，理解同角三角函数的关系。

(难点)2。

能够掌握互余两角三角函数的关系及特殊角的三角函数值。

（重点）3.运用所学的知识解决实际的问题。

二、课时安排1课时三、教学重点能够掌握互余两角三角函数的关系及特殊角的三角函数值。

四、教学难点通过探索，理解同角三角函数的关系.五、教学过程(一）导入新课当你走进公园游乐场，看到小孩荡秋千的情景,秋千时高时低，你是不是很想知道秋千摆至最高位置和其摆至最低位置的高度差是多少？如图所示,一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2。

5m，当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0。

01m）(二）讲授新课活动1：小组合作1.锐角三角函数的定义直角三角形中边与角的关系：锐角三角函数。

2.在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角的对边,斜边和邻边之间的比值也随之确定。

sinA=a/c， cosA=b/c，sinB=b/c, cosB=a/c3。

sinA和cosB,cosA和sinB有什么关系？活动2: 如图，观察一副三角板：它们有几个锐角？分别是多少度?（1)sin30°等于多少？（2）cos30°等于多少?（3）tan30°等于多少？（4）sin45°、sin60°等于多少？(5） cos45°、cos60°等于多少?(6） tan45°、tan60°等于多少？（三）重难点精讲例题1、如果α是锐角，且sin2α+sin254°=1，那么α的度数为（）A。

45°B. 26°C。

36°D. 46°分析：∵sin2α+cos2α=1,∴sin254°+cos254°=1，∵sin36°=cos54°，又∵α是锐角,且sin2α+sin254°=1，∴sin236°+sin254°=1，∴α=36°.故选B。

2019-2020学年人教A版数学必修五课件：第1章 1.2 第2课时角度问题

第十八页，编辑于星期六：二十三点六分。
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
第十九页，编辑于星期六：二十三点六分。
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
第一章解三角形
1.2 应用举例第2课时角度问题
第一页，编辑于星期六：二十三点六分。
学习目标
核心素养
1.能灵活运用正弦定理及余弦定
理解决角度问题(重点).
通过研究利用正弦定理和
2.会将实际问题转化为解三角形余弦定理在解决与角度有
问题(难点).
关的实际问题，提升学生的
3.能根据题意画出几何图形(易错数学建模与数学运算素养.
1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ________ ，大小为 ________km/h.
第六页，编辑于星期六：二十三点六分。
1．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
β 的关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
B [由仰角与俯角的水平线平行可知 α＝β.]
第七页，编辑于星期六：二十三点六分。
2．在某次高度测量中，在 A 处测得 B 点的仰角为 60°，在同一
[提示] 如图所示：
第二十七页，编辑于星期六：二十三点六分。

人教版必修四第一章1.1.1角的概念的推广课件

例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
轴线角的定义:终边落在坐标轴上的角叫做轴线角.
巩固练习：
1、锐角是第几象限的角？答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角。 3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
4.在坐标平面内作出下列各角：30°，
2：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定
-1500 6600
终边 y 终边
x Ⅰ Ⅱ o 始边 Ⅲ Ⅳ
终2边.象限角的定义终边 1)将角的顶点与原点重合 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
390°，-330°;它们是一象限的角，
可以统一表示为 α=k·3600+300(k=. -1,0.1)
猜想:与300终边相同的角可表示为?
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
-3300=300-3600 =300 -1x3600
300+2x3600 ,
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'
解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
的概念形成的角

高考数学第四十五讲

第7页
考点陪练
1.(2010·山东淄博)(基础题，易)直线l经过A(2,1)、B(1，
m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A ．[ 0 ， )
B ．[ 0 ， ] [ 3 ， ) 44
C ．[ 0 ， ] 4
D ．[ 0 ， ] ( ， ) 42
答案：D
解析：k＝
3 a
2 b
1，
b
2a ,从 a3
而
S ABO
1 2
a
b
1a 2
2a a3
a2 a3
,故
有
S ABO
(a 3)3 6(a 3) 9 a3
(a 3) 9 6 2 (a 3) 9 16 12.
a3
a3
当且仅当 a-3= 9 ,即 a=6时 , a3
( S ABO ) m in
第26页
典例3直线l过点M(2,1)，且分别与x、y轴交于A、B两点，O 为原点．求当△AOB面积最小时，直线l的方程．分析：先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程．
第27页
[解] 方法一：如图所示，直线l如果通过一、二、三或一、三、四象限时，△AOB的面积不存在最值，因此只考虑直线 l与x、y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值．设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
5
所以tan＝ 3，故l的方程为y＝ 3 x＋2.
4
4
即3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.
(2)设直线l和l1的倾斜角分别为、，则：＝2 ，又tan＝－43，故－43＝tan2＝12ttaann2 . 解得tan＝3，或tan＝－1(舍去)．

高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲二极坐标系

(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos 53π＝2. y＝ρsin θ＝4sin 53π＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π，由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？