辅导资料全等三角形问题中常见的辅助线的作法讲义

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全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中罕有的帮助线的作法(有答案)泛论：全等三角形问题最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,结构二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角等分线,可向双方作垂线. 也可将图半数看,对称今后关系现.角等分线平行线,等腰三角形来添. 角等分线加垂线,三线合一尝尝看.线段垂直等分线,常向两头把线连. 要证线段倍与半,延伸缩短可实验.三角形中两中点,衔接则成中位线. 三角形中有中线,延伸中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形3.角等分线在三种添帮助线4.垂直等分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30.60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目标是组成30-60-90的特别直角三角形,然后盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.8.盘算数值法：碰到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特别直角三角形,或40-60-80的特别直角三角形,常盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.罕有帮助线的作法有以下几种：最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,二个角之间的相等.1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”法结构全等三角形．3)碰到角等分线在三种添帮助线的办法,（1）可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角等分线上的一点作该角等分线的垂线与角的双方订交,形成一对全等三角形.（3）可以在该角的双DCBAEDF CBA方上,距离角的极点相等长度的地位上截取二点,然后从这两点再向角等分线上的某点作边线,结构一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．6)已知某线段的垂直等分线,那么可以在垂直等分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,运用三角形面积的常识解答．一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE. 运用：1.（09崇文二模）以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DEEDCBADCBAPQCBA的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是; （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC. 3.如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5.如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC 运用：三.平移变换例1AD 为△ABC 的角等分线,直线MNDCBFED CBA⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 五.扭转例1正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为(第23题图)OP AMNEB CD F ACEFBD图①图②图③ACD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分离交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF.（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积例3如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．2.（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形（图1） A B CDEFM N（图2）C（图3）ABC DE F MNDC BAABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ）如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．参考答案与提醒一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.解：延伸AD 至E 使AE ＝2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值规模是1<AD<4EDF CBA例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延伸FD 至G 使FG ＝2EF,连BG,EG, 显然BG ＝FC,在△EFG 中,留意到DE ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中,由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.解：延伸AE 至G 使AG ＝2AE,连BG,DG, 显然DG ＝AC,∠GDC=∠ACD 因为DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG,AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD 等分∠BAE 运用：1.（09崇文二模）以的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是ABC ∆BC.DE的中点．探讨：AM与DE的地位关系及数目关系．∆为直角三角形时,AM与DE的地位关系是,（1）如图①当ABC线段AM与DE的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．C∴DE AM ⊥,DE AM 21=二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F,连FD△ADB 是等腰三角形,F 是底AB 中点,由三线合一知 DF ⊥AB,故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F,使AF ＝AD,△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°CBA故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ）故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3.如图,已知在△ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 盘算数值法）延伸AB 至D,使BD BP,连DP在等腰△BPD 中,可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ）故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延伸BA 至F,使BF ＝BC,连△BDF ≌△BDC （SAS ）故∠DFB ＝∠DCB ,FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5.如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上随意率性一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延伸AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC运用：剖析：此题衔接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用已知前提和等边三角形的性质经由过程证实三角形全等解决它们的问题.B∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠,EF AE =,FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新鲜,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用全等三角形的性质解决. 三.平移变换例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延伸BA 至F,使AF ＝AC,连FEAD 为△ABC 的角等分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ）故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：O ED CB AAB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD,DC+AE =AC证实(角等分线在三种添帮助线,盘算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角等分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,衔接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2.如图,△ABC中,AD等分∠BAC,DG⊥BC且等分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）解释BE=CF的来由;（2）假如AB=a,AC=b,求AE.BE的长.解：(垂直等分线联络线段两头)衔接BD,DCDG垂直等分BC,故BD＝DC因为AD等分∠BAC, DE⊥AB于E,DF⊥ACEDGFC BA于F,故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ）故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 解：（1）FE 与FD 之间的数目关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1,在AC 上截取AE AG =,贯穿连接FG ∵21∠=∠,AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆(第23题图) OP A MN E B C D F ACEFBD图①图②图③FED CBA∴AFG AFE ∠=∠,FG FE =∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠的等分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2,过点F 分离作AB FG ⊥于点G ,BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠∴可得︒=∠+∠6032,F 是ABC ∆的心坎 ∴160∠+︒=∠GEF ,FG FH =又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五.扭转例 1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.证实：将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度,至三角形ABG图 1图 2则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.(1)当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.解：(盘算数值法)（1）衔接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DA CD等分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°因为DM⊥DN,有∠EDN＝90°因为 CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图,ABC∆是等腰三角形,且∆是边长为3的等边三角形,BDC60角,使其双方分离交AB于点M,∠=,以D为极点做一个0BDC120交AC于点N,衔接MN,则AMN∆的周长为;解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 盘算数值法) AC 的延伸线与BD的延伸线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．解：（1）∵AD AB ⊥,CD BC ⊥,BC AB =,CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）; ∴CBF ABE ∠=∠,BF BE =∵︒=∠120ABC ,︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ,BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==,BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MN（2）图2成立,图3不成立.证实图2,延伸DC 至点K ,使AE CK =,衔接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =,KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ,︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立,AE .CF .EF 的关系是EF CF AE =- 2.（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.剖析：（1）作帮助线,过点A 作PB AE ⊥于点E ,在PAE Rt ∆中,已知APE ∠,AP 的值,依据三角函数可将AE ,PE 的值求出,由PB 的值,可求BE 的值,在ABE Rt ∆中,依据勾股定理可将AB 的值求出;求PD 的值有两种解法,解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到K ABCDE FMN图 2AB P '∆,可得AB P PAD '∆≅∆,求PD 长即为求B P '的长,在P AP Rt '∆中,可将P P '的值求出,在B P P Rt '∆中,依据勾股定理可将B P '的值求出;解法二：过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,交PB 于G ,在AEG Rt ∆中,可求出AG ,EG 的长,进而可知PG 的值,在PFG Rt ∆中,可求出PF ,在PDF Rt ∆中,依据勾股定理可将PD 的值求出;（2）将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值即为B P '的最大值,故当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值,依据PB P P B P +'='可求B P '的最大值,此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图,作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中,︒=∠45APB ,2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中,︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图,因为四边形ABCD 为正方形,可将将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到AB P '∆,,可得AB P PAD '∆≅∆,B P PD '=,A P PA '=∴︒='∠90P PA ,︒='∠45P AP ,︒='∠90PB P ∴2='P P ,2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ;解法二：如图,过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,设DA 的延伸线交PB 于G ．EPA DCBP ′PA CBDEP ′PACBDP ′PACBD在AEGRt ∆中,可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG在PFG Rt ∆中,可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ,1510=FG 在PDF Rt ∆中,可得（2）如图所示,将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值,即为B P '的最大值∵B P P '∆中,PB P P B P +'' ,22=='PA P P ,4=PB 且P .D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值（如图）此时6=+'='PB P P B P ,即B P '的最大值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之G FP A CBDE间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ）如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．剖析：（1）假如DN DM =,DNM DMN ∠=∠,因为DC BD =,那么︒=∠=∠30DCB DBC ,也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ,直角三角形MBD .NCD 中,因为DC BD =,DN DM =,依据HL 定理,两三角形全等.那么NC BM =,︒=∠=∠60DNC BMD ,三角形NCD 中,︒=∠30NDC ,NC DN 2=,在三角形DNM 中,DN DM =,︒=∠60MDN ,是以三角形DMN 是个等边三角形,是以BM NC NC DN MN +===2,三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QABAC AB NC MB AN AM 2=+=+++,三角形ABC 的周长ABL 3=,是以3:2:=L Q ．（2）假如DN DM ≠,我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换.延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD ,那么三角形MBD 和ECD 中,有了一组直角,CEMB =,DCBD =,是以两三角形全等,那么DE DM =,CDE BDM ∠=∠,︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN中,有DE DM =,︒=∠=∠60MDN EDN ,有一条公共边,是以两三角形全等,NE MN =,至此我们把BM 转换成了CE ,把MN 转换成了NE ,因为CE CN NE +=,是以CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）,得出的成果是一样的.图 1N MAD CB （3）我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换,思绪同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠,三角形BDM 和CDH 中,由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ,我们做的角CDH BDM ∠=∠,CD BD =,是以两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =,DH DM =,三角形MDN 和NDH 中,已知的前提有DH MD =,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就须要知道HDN MDN ∠=∠,因为MDB CDH ∠=∠,是以︒=∠=∠120BDC MDH ,因为︒=∠60MDN ,那么︒-︒=∠60120NDH︒=60,是以NDH MDN ∠=∠,如许就组成了两三角形全等的前提．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==,三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =,L AB 31=,是以三角形AMN 的周长L x Q 322+=．解：（1）如图1,BM .NC .MN 之间的数目关系：MN NC BM =+;此时32=LQ ．（2）猜测：结论仍然成立．证实：如图2,延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ∵CD BD =,且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）E 图 2NMAD CB NA∴DE DM =,CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +== 故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3,当M .N 分离在AB .CA 的延伸线上时,若x AN =,则L x Q 322+=（用x .L 暗示）．点评：本题考核了三角形全等的剖断及性质;标题中线段的转换都是依据全等三角形来实现的,当题中没有显著的全等三角形时,我们要依据前提经由过程作帮助线来构建于已知和所求前提相干的全等三角形.。

2024八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结

全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。

常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。

下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。

一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。

2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。

3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。

根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。

4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。

5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。

根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。

二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。

2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。

3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。

4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。

以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。

在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。

同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。

中考复习全等三角形问题中常见的辅助线的作法共PPT资料【优选版】

• 求证：BC= AB + CD。
• 证明：过点 E 作 EF⊥BC ，垂足为点 F • ∵ BE 是 ∠B 的角平分线，∠EFB = ∠A = 90°
• ∴ EF = AE • 在 △EFB 和 △EAB 中 • ∵ ∠EFB = ∠A = 90° ，EF = AE ，EB = EB • ∴ △EFB ≌ △EAB （HL）
• 证明： • 方法一、截长法 • 在线段 AB 上取点 E ，使得 AE = AC , 连接 ED • ∵ AD是∠BAC的角平分线
• ∴ ∠EAD = ∠CAD • 在 △EAD 和 △CAD 中 • ∵ AE = AC , ∠EAD = ∠CAD ，AD = AD • ∴ △EAD ≌ △CAD
5.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
6.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
• ∴ ED = CD , ∠AED = ∠ACD • 又 ∵ ∠AED = ∠B + ∠EDB （三角形外角和定理），∠ACD = 2∠B • ∴ ∠B + ∠EDB = 2∠B （等量代换）
• ∴ ∠B = ∠EDB • ∴ BE = ED （等角对等边） • 又∵AB = AE + EB • ∴ AB = AC + CD （等量代换）
• 方法二、补短法 • 延长线段 AC 至点 F ，使 CF = CD ，连接 DF • 略证： • 由 ∠ACB = 2∠B = ∠CDF + ∠F ， ∠CDF = ∠F • 可得 ∠B = ∠F • 在证 △ABD ≌ △AFD （AAS） • 可得 AB = AF • 而 AF = AC + CF = AC + CD • 即证 AB = AC + CD

辅导资料：全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” •2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”•3）遇到角平分线，能够自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明. 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 _______ .例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ ABC中，BD=DC=A,E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.应用:1、( 09崇文二模)以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE 的位置关系及数量关系.(1)如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是____________________ ,线段AM与DE的数量关系是 ____________ ;(2)将图①中的等腰Rt ABD绕点A 沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1) 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1 如图，ABC 中，AB=2AC AD平分BAC，且AD=BD 求证：CDL AC2、如图, AC// BD, EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBABAC 60，CD过点E,求证;AB =AC+BDC 400，P，Q分别在BC, CA上，并且AP, 求证：A C 1800C3、如图，已知在§ABC内,4、QAB C5、如图在△ ABC 中，AB> AC, / 1 = Z 2, P 为 AD 上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC应用:如虱在四边Jg AltCD 申点丘毘皿上一个动点.若乙疗朋二血・R肚"叭判斷J/J > MC *-j 恥的关系幷征期你的结i:、平移变换例1 ADABC 的角平分线，直线 MN L AD 于A.E 为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A,△ EBC 周长记为P B .求证P B > P A .例2如图，在△ ABC 的边上取两点 D E ,且BD=CE 求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60°,A ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 0,求证：0E=0D(1)说明BE=CF 的理由；(2)如果AB=a , AC=b ，求AE 、BE 的长.2、如图，△ ABC 中，AD 平分/ BACDGL BC 且平分 BC, DE I AB 于 E , DF 丄 AC 于 F.BDFN应用：1如图①，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以0P 所在直线为对称轴的全等三角形。

第12章全等三角形常见辅助线做法(教案)

还有一个值得注意的问题是，在总结回顾环节，虽然大部分学生能够跟随我的思路进行复习，但仍有一部分学生显得有些迷茫。这可能是因为他们在课堂上的注意力不够集中，或者是对某些知识点理解不够深入。为了改善这一点，我计划在课后提供一些额外的学习资源，如视频讲解和在线练习，帮助这部分学生巩固知识。
最后，我意识到教学过程中需要不断调整方法和节奏，以适应不同学生的学习需求。在接下来的课程中，我将更加注重个体差异，提供个性化的指导和支持，确保每位学生都能在全等三角形的学习中取得进步。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“全等三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的判定方法及其基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形，其判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS等。这些判定方法在几何证明和解题中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过作辅助线，利用全等三角形的判定方法解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和辅助线的常见作法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用模型或工具作辅助线，观察全等三角形的形成。

三角形全等中的辅助线讲义

全等三角形之辅助线（讲义）_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明：如图，连接AD．在△ABD和△DCA中，AB ODAB DCBD CAAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SSS ）∴∠B=∠C （全等三角形对应角相等） 2. 证明：如图，连接AC ．∵AB ∥CD∴∠CAB =∠ACD ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中，CAB ACDAC CABCA DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴AB =CD ，BC =DA （全等三角形对应边相等） 3. 证明：如图，连接AC ，AD ．在△ABC 和△AED 中，AB AEB EBC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△AED （SAS ）∴AC =AD （全等三角形对应边相等） ∵F 是CD 的中点 ∴CF =DF在△ACF 和△ADF 中，AC AD AF AFCF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ACF ≌△ADF （SSS ）∴∠CFA =∠DFA （全等三角形对应角相等） ∵∠CFA +∠DFA =180° ∴∠CFA =90°∴AF ⊥CD4. 证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D ．ADBCFCBEDA∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中，B CADB ADCAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ADB ≌△ADC （AAS ）∴AB =AC （全等三角形对应边相等）∵BE =CF ∴BE +EF =CF +EF 即BF =CE在△ABF 和△DCE 中，AB DC B CBF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△DCE （SAS ）∴∠AFB =∠DEC （全等三角形对应角相等） AF =DE （全等三角形对应边相等） ∵OG ⊥EF∴∠OGE =∠OGF =90°AD B C在△OEG 和△OFG 中，AFB DECOGE OGFOG OG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△OEG ≌△OFG （AAS ）∴OE =OF （全等三角形对应边相等） ∴AF -OF =DE -OE即OA =OD∴△AFD ≌△AED （AAS ） ∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等）在Rt △BFD 和Rt △CED 中，DF DEBD CD=⎧⎨=⎩（已证）（已知） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC全等三角形之辅助线（随堂测试）1. 已知：如图，AB =CD ，∠A =∠D ．求证：∠ABC =∠DCB ．DCB A【参考答案】1. 证明：如图，连接AC ，BD ．在△ABD 和△DCA 中，AB CD DAB ADCAD DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SAS ） ∴BD =CA （全等三角形对应边相等）在△ABC 和△DCB 中，AB DC CA BDBC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB （全等三角形对应角相等）DA B C全等三角形之辅助线（作业）2. 已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC =AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．FE BAD C3. 已知：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：BE =DF ．F EB ADC5. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．有如下结论：①△ACE ≌△MCF ；②CE =CF ；③∠AMB =∠ANB ；④EN =FB ．其中正确结论的序号有________________．【参考答案】1. 证明：如图，过点G 作GH ⊥BE 于H ．∵GH ⊥BE∴∠GHB =∠GHE =90° 在Rt △GHB 和Rt △GHE 中，GB GEGH GH=⎧⎨=⎩（已知）（公共边） ∴Rt △GHB ≌Rt △GHE （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等） ∵BC =EF ∴BC +CF =EF +CF 即BF =EC在△ABF 和△DEC 中，A DB EBF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴DC =AF2. 证明：如图，连接BE ．在△AEF 和△DBC 中，AF DC F CEF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△AEF ≌△DBC （SAS ）∴AE =BD （全等三角形对应边相等）在△ABE 和△DEB 中，AE BD AB DEEB BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（已知）（公共边） H FB AC GD CD ABE F∴△ABE ≌△DEB （SSS ）∴∠ABE =∠DEB （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE3. 证明：如图，连接BD ．∵AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD 在△ABD 和△CDB 中，ABD CDBBD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABD ≌△CDB （ASA ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点， ∴DE =BF在△BED 和△DFB 中，DE BF ADB CBDBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△BED ≌△DFB （SAS ）∴BE =DF （全等三角形对应边相等） 4. B 5. ①②④CDA B E F。

全等三角形(常见辅助线)课件

2. 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。
3. 因为AD=AD（公共边），所以根据AAS全等条件，可证△BED≌△CFD，从而得出BE=CF。
例题三：高线在全等三角形证明中的应用
题目描述
已知三角形ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC的平分线交AD于点E，EF⊥BC于点F，求证：EF=ED。
掌握多种解题方法
加强实践应用
在学习全等三角形的过程中，学生应尝试掌握多种解题方法，培养灵活运用知识的能力。
学生应多做一些与全等三角形相关的练习题，通过实践应用巩固所学知识，提高解题能力。
拓展学习领域
在掌握全等三角形相关知识的基础上，学生可以进一步拓展学习领域，探索更广泛的数学世界。
截长补短法
通过在长边上截取一段等于短边，或将短边延长至等于长边
，从而构造出全等三角形。
利用已知条件构造辅助线
01
02
03
已知两边及夹角
可以通
可以通过作角平分线或截长补短法来构造全等三角形。
已知三边
可以通过作高、中线或截长补短法来构造全等三角形。
输标02入题
01
辅助线应用
03
若两角不直接相邻，可以通过作平行线来构造同位角或内错角，再利用ASA判定。
04
当已知两角及夹边时，可以通过作角平分线或高来构造全等三角形。
SSS判定与辅助线
SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。
当已知三边时，可以通过作中线或高来构造全等三角形。
辅助线应用
例题一：中线在全等三角形证明中的应用
解题步骤 1. 连接BD和CD，由于D是BC的中点，所以BD=CD。

完整版)全等三角形常用辅助线做法

完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。

下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。

一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。

具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。

要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。

具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。

由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。

显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。

另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

要证明CD=AD+BC。

因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。

全等三角形-辅助线做法讲义(精.选)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一——倍长中线【夯实基础】例：ABC ∆中，是BAC ∠的平分线，且，求证方法1：作⊥于E ，作⊥于F ，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线【方法精讲】△中方式1：延长到E ，是边中线使，连接方式2：间接倍长作⊥于F ，延长作⊥的延长线于E 使，连接连接【经典例题】例1：△中，5，3，求中线的取值范围例2：已知在△中，，D在上，E在的延长线上，交于F，且，求证：例3：已知在△中，是边上的中线，E是上一点，且，延长交于F，求证：提示：倍长至G，连接，证明Δ≌Δ三角形是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在上，且，过D作BADF//交于点F，.求证：平分BAC∠提示：方法1：倍长至G，连结方法2：倍长至H，连结例5：已知，∠∠，是△的中线，第 1 题图ABFD EC求证：∠∠提示：倍长至F ，连结证明Δ≌Δ（）进而证明Δ≌Δ（）【融会贯通】1、在四边形中，∥，E 为边的中点，∠∠，与的延长线相交于点F 。

试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长、交于G 证明、所以2、如图，为ABC ∆的中线，平分BDA ∠交于E ，平分ADC∠交于F. 求证：EF CF BE >+3、已知：如图，中，90，于M ，平分交于D ，交于T ，过D 作交于E ，求证：.提示：过T 作⊥于N 证明Δ≌ΔEABC第 14 题图DF CBEADABCMTE截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。

例1. 如图，△中，∠＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：＝＋证法一：（补短法）延长至点F，使得＝在△和△中∴△≌△（）∴∠B＝∠F∵∠＝2∠B∴∠＝2∠F而∠＝∠F＋∠∴∠F＝∠∴＝而＝＋∴＝＋∴＝＋证法二：（截长法）在上截取＝，连结在△和△中EDCBADCBAPQCBA∴△≌△（）例2. 如图，在△中，＝，∠＝90°，∠1＝∠2，⊥交的延长线于E ，证明：＝2。

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题全等三角形辅助线做法总结：在图中有角平分线时，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

当角平分线平行线时，等腰三角形来添。

而角平分线加垂线时，三线合一试试看。

当线段垂直平分线时，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点连接则成中位线，而三角形中有中线时，延长中线等中线。

一、截长补短法（和，差，倍，分）：截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换）。

补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）。

例如：1，已知如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD。

2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中一个图形为基础，添加线段）构建图形（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）。

例如：已知如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

三、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC。

四、遇到角平分线时，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等）例如：已知如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：∠B+∠ADC=180.五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等）。

例如：1如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半）2，已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。

3，如图，已知：AD是△ABC的中线，且CD=AB，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆：遇到两组线段相等，可试着连接垂直平分线上的点）例如：在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC,D为△ABC外一点，且AD=BD,DE⊥AC交AC的延长线于E,求证：DE=AE+BC。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法郭建新【摘要】全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易【关键词】全等三角形辅助线作法人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

一、找全等三角形的方法：1 可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；2 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；3 可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；4 若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

二、三角形中常见辅助线的作法：1 延长中线构造全等三角形；2 利用翻折，构造全等三角形；3 引平行线构造全等三角形；4 作连线构造等腰三角形。

三、常见辅助线的作法有以下几种：1 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

思路分析：（1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用（2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

（3）解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)常见的辅助线的作法(教师版)全等三角形问题常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长线:倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的线,倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置CCBA上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法1. 引言在我们学习几何的时候，三角形简直就像是个“明星”，不管走到哪里，都是焦点。

全等三角形更是个令人心动的概念，简单来说，就是那些形状和大小完全相同的三角形。

可是，老实说，要搞清楚这些三角形的关系，有时候可得借助一些“秘密武器”——辅助线！今天，我们就来聊聊这其中的门道，让大家在几何世界中游刃有余，像“鱼在水中”一样轻松。

2. 辅助线的魅力2.1 什么是辅助线？辅助线，顾名思义，就是我们在解题过程中为了搞清楚某些关系而“加”的线。

就像大厨做菜，总得有点调料才能让菜更加美味。

辅助线能帮我们理清三角形之间的关系，让复杂的问题变得简单，哎呀，那感觉就像是拨开云雾见青天，简直爽得不得了。

2.2 辅助线的类型说到辅助线，种类可多了，像什么垂线、平行线、角平分线等等，真是应有尽有。

每种线都有它的“个性”，有的能帮我们证明角度相等，有的则让边长对比变得轻而易举。

比如说，画一条角平分线，就像是把一个三角形分成两个完美的小三角，没准你还会发现“哦，原来这两个小家伙是全等的呢！”3. 实战应用3.1 画辅助线的技巧画辅助线的时候，可得注意点细节。

首先，咱们得了解题目给出的信息，想清楚我们要解决的问题。

想象一下，就像开车前得先看清路线，心里有个谱，才能开得顺畅。

其次，画线的时候别心急，慢慢来，越是仔细，效果越好。

记得多试几种方法，像“试错法”一样，最后总能找到那条“金线”。

3.2 辅助线的作用辅助线的作用可大了，能帮助我们找出全等三角形的对应边和角，有时候只需一条简单的线，就能让复杂的关系变得一目了然。

就像是魔术师一挥手，困扰你的难题就瞬间消失了。

举个例子，假如我们要证明两个三角形全等，画条平行线就能帮助我们找到相等的角，哇，真是神奇！4. 结语在学习全等三角形的过程中，辅助线就像是我们的小帮手，能够帮助我们搞清楚三角形之间的关系。

无论你是新手还是老手，掌握了这些技巧，绝对能让你在几何的海洋中乘风破浪，所向披靡。