九年级数学：圆的复习第三课时

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第二十四章圆复习课课件(共35张PPT)人教版九年级数学上册

学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知道圆内接多边形并会相关计算. 5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
1 圆的有关概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
O．
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
2 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合, 即圆具有旋转不变性.
解：设直径BC与弦AD交于点E
A
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
B
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
C E D
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
典型例题
当堂检测
课堂总结
例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm 利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(三)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）一．选择题1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2 B．C．3 D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2D．3二．填空题11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．三．解答题17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？参考答案一．选择题1．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸故选：D．3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，△BOC是等腰直角三角形，作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，∴OF＝OB sin45°＝，∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．故选：B．4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE•BE＝CE•（10﹣CE），解得CE＝2或8，从图中可知这里选答案为8，从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．故选：B．6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD∵∠BOD＝60°∴∠BOA＝30°∵OB＝OA＝OD＝2∴CB＝1在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝∴AC＝OA﹣OC＝2﹣故选：A．7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD•tan30°＝≈2.3m．则大棚高度CD约为2.3m．故选：B．9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．13．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．14．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．15．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：x2＝（x﹣20）2+602，解得x＝100mm．所以原轮片的半径是100mm．三．解答题（共4小题）17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，∴ED＝CD＝12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13（m）；（2）OE＝＝＝5，∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OE⊥CD，∴CE＝CD＝2在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）在Rt△OAE中，，∴AC＝AE﹣CE＝∵AC＝BD∴AC+BD＝．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．。

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆章节复习(解析版)

圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。

【新部编版】2019-2020九年级数学下册第三章圆复习教案 (新版)

学生思考，了解学习目标
导入新课
思
教师出示导学提纲，提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价
根据导学提纲阅读教材，完成导学提纲的问题
跟踪训练：例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，
4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系分别为点B在圆A ，点C在圆A ，点D在圆来自，圆课程标准描述
考试大纲描述
教材内容分析
圆的整章复习
学生分析
学生通过对本章知识的学习，对基本知识的理解达到一定的水平，希望通过本节课的复习，能够更进一步加深印象。
学习目标
理解圆的各种定理，及补充定理，掌握几种圆相关的位置关系。
重点
定理的运用
难点
定理的运用
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图（备注）
导
教师用问题导入，引入新课题，明确目标
学生根据教师要求吧，分组展示，可板书，也可口述
检验学生自学成果，为教师的讲铺垫
评
教师讲授精选例题，同时讲授学生自学过程中发现的突出问题。教师对优秀小组做出评价。
根据教师讲授，学生完成导学提纲上的相关问题，做好笔记
知识解难释疑
检
教师出示当堂检测
学生在规定时间内完成当堂检测
例17：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，则此圆弧的长度是。
（1）圆是到定点的距离定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离
半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合
（2）点和圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆dr点P在圆dr点P在圆 dr
例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，

人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT

• 学习重点：垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？
九年级上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD，求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．

2圆心角和圆周角第三课时-冀教版九年级数学上册课件

O
Ax
课堂小测
2.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接与 ⊙O,∠ACB=135°，则AB=_2_2___.
A
D
O· C
B
课堂小测
3.如图，B,C是⊙O上两点，且∠α=96°， A是⊙O上一个动点（不与B,C重合),则 ∠BAC=_4_8_°__或__1_3_2_.°
B
C
α
A
O
课堂小结同弧所对的圆周角相等
冀教版九上
第二十八章圆
28.2圆心角和圆周角
第三课时圆内接四边形及其性质
学习目标
1.掌握并能灵活运用“同弧（等弧）所对的圆周角相等”.
2.理解圆内接四边形的概念.探究、掌握、并能灵活运用圆内接四边形的性质.
创设情境，引入新课
如图，在足球场上，鹿晗、小明两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当鹿晗带球到点A处时，点 A,M,N恰在同一圆上，此时小明在点B处，点B也在圆上，小昭示意鹿晗将球传给自己射门.你认为鹿晗该自己直接射门，还是将球传给小明？
巩固小练习
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝ 40°，则∠C＝(140° )
D C
A
O·
B
巩固小练习
2．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，⌒DC＝⌒CB.若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于( 55° )
C D
A
B
构造直径所对的圆周角
巩固小练习 3.已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为_6_0__°或__1__2_0_°_.
A●
视察∠A与∠B在图中的特征，你发现了一个什么结论？
新课学习一、同弧（等弧）所对的圆周角相等

北师大版初中数学九下第三章圆教案

北师大版初中数学九下第三章圆教案圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合，是初中九年级的数学学习重点内容，下面店铺为你整理了北师大版初中数学九下第三章圆教案，希望对你有帮助。

北师大版数学九下圆教案：圆的有关性质教学过程：一、复习旧知：1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释)2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。

并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的?二、讲授新课：1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。

分析归纳圆定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：① 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径)② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，定长为半径的圆上。

由此得出圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。

3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

4、初步掌握圆与一个集合之间的关系：⑴已知图形，找点的集合例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到圆心O的距离小于2cm的所有点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到圆心O的距离大于2cm的点的集合。

⑵已知点的集合，找图形例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。

人教版初中九年级上册数学课件《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)

A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章圆
直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm，求△PEF的周长．

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆心角与圆周角的关系(解析版)

圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。

2022-2023学年浙教版数学九年级上册第3章《圆的基本性质》章节复习

圆的基本性质_章节复习一、单选题1如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°2如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A.80°B.90°C.100°D.无法确定3直角三角形两直角边长分别为3和1，那么它的外接圆的直径是（）A.1B.2C.3D.44如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，∠E=30°，交AB于点D，连接AE，则S ADC：S△ADE的比值为（）A.12B.22C.32D.15如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A.80°B.70°C.60°D.50°6如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图像中，能表示y与x函数关系的图像大致是（）A.B.C.D.7如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A.43π﹣2 B.43π C.23π D.23π﹣2二、填空题8 如果一个扇形的圆心角为135°，半径为8，那么该扇形的弧长是____．9 如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=______．10 如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为____．11 如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_________．12如图，直线y＝x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行下去，点B n的坐标为__________（n为正整数）．y=xxOyA1A2A3A4B1B2B3B413 如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．14 已知：如图，在圆O中，弦AB，CD交于点E，AD＝CB．求证：AE＝CE．15 已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．16 如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD=∠CBD；（2）若BE=4，AC=6，求DE．17 如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD 的上方，求AB和CD间的距离．18 如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF=BF；（2）若CD=12，AC=16，求⊙O的半径和CE的长．19 如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．20 如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE 分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．21已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．22如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O直径为6，AC的长为2，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）23 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是__。

浙教版九年级数学上第3章圆的基本性质复习提纲

第三章圆的基天性质复习一、点和圆的地点关系：假如P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：1）d<r→2）d=r→3）d>r→1、两个圆的圆心都是O，半径分别为、r2，且r＜OA＜r，那么点A在（）1A、⊙r1内B、⊙r2外C、⊙r1外，⊙r2内D、⊙r1内，⊙r2外2、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为A、cm或cm B 、cm C⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离PD=12cm,QD<12cm,RD>12cm，则点9cm，则该圆的半径是（）、cm D 、5cm或13cmd=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且P在，点Q在，点R在.AB为⊙0的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延伸CD至E，使DE=CD，那么点E的地点（）A．在⊙0内B．在⊙0上C．在⊙0外D．不可以确立二、几点确立一个圆问题：（1）经过一个已知点能够画多少个圆？2）经过两个已知点能够画多少个圆？这样的圆的圆心在如何的一条直线上？3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？定理：经过确立一个圆。

1、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不可以确立2、作以下三角形的外接圆：3、找出以下图残缺的圆的圆心二、圆的轴对称性：1、垂径定理：垂直弦的直径均分弦，而且均分弦所对的弧2、推论1：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的弧3、推论2：均分弧的直径垂直均分弧所对的弦1、已知，⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为_______.2、已知，⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P，AB=6，CP=1，则⊙O的半径为3、已知，⊙O的直径为10cm,A是⊙O内一点，且OA=3cm,则⊙O中过点A的最短弦长。

=-------cm4、如图，P为⊙O的弦BA延伸线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。

【配套K12】九年级数学下册第3章圆复习教案

第三章圆一、复习目标1.复习本章内容，以求对本章知识有整体认识2.在巩固复习中，寻求对圆各单元知识有框架性认识3.通过对比、归纳思考本章知识结构，使学生能够增强分析问题解决问题能力。

二、课时安排2三、复习重难点对本章知识结构的总体认识，把握有关性质和定理解决问题。

四、教学过程(一)圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

(二)点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d rA（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；（四）圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1图2图4图5（五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

241.4圆周角第3课时切线长定理和三角形的内切圆人教版数学九年级上册

环节2 探究新知1.如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？2.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能发现这个图形中相等的线段吗？有相等的角吗？PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.3.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？1.小组合作 1.OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.过圆外一点能够作圆的两条切线.切线长与切线的区别：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量．2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系预设：部分学生不能够正确的讨论出来。

补救：学生解释，老师补充。

4.如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24,圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F。

①求AB的长；②求圆O的半径；提供了理论依据。

3.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.环节3 当堂练习1.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环1.学生独立完成。

2021年九年级数学中考复习专题：圆的综合(考查切线证明、长度计算等)(三)

中考复习专题：圆的综合（考察切线证明、长度计算等）1．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线．6．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．7．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD 交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）8．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD 交AB于E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．9．如图，⊙O是△ABC外接圆，AC是直径，OF∥AB，过点B⊙O的切线相交于点D，与OF的延长线交点E．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若∠C＝30°，求证：△OED是等腰三角形；（3）若⊙O的半径为3，cos D＝，求OF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD 于点D．（1）求证：AE平分∠DAC，（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求①AD的长，②图中阴影部分的面积．11．△ABC内接于⊙O，点D在BC上，连接AD、BO，AD＝AC．（1）如图1，求证：∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE交BC于点F，∠CAE＝3∠DAE，连接BE，DE，若∠EDC＝∠EBC+60°，求∠DEA的度数：（3）如图3，在（2）的条件下，若tan∠ACB＝2，AE＝2+1，求半径BO的长．12．如图1，△ABC内接于⊙O，连接AO，延长AO交BC于点D，AD⊥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，在⊙O上取一点E，连接BE、CE，过点A作AF⊥BE于点F，求证：EF+CE ＝BF；（3）如图3在（2）的条件下，在BE上取一点G，连接AG、CG，若∠AGB+∠ABC ＝90°，∠AGC＝∠BGC，AG＝6，BG＝5，求EF的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD＝AC．延长DO交圆O于E点，连接AE．（1）求证：DE⊥AB；（2）若DB＝4、BC＝8，求AE的长．14．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C的点，且DE2＝DB •DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝5，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B 重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝20，求OP的长．参考答案1．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62，∴AB＝4．（2）连接OD．∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．2．（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴的长＝＝．4．解：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEO+∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°，∴ED＝AD，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠BEF＝60°，∵∠BEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝30°，∵∠ADE+∠A＝90°，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG，∴∠DGE＝30°，∴∠DEG＝∠DGE，∴DG＝DE，∴DG＝DA；（3）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π．解得：r2＝4，即r＝2，即⊙O的半径的长为2．5．证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．又∵DC＝BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB＝AC．（2）连接OD；∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC．∴∠0DE＝∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．6．证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．7．（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝，∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝＝．8．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OD＝OB，∴∠1＝∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥BC，而∠C＝90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，∴（r+9）2＝152+r2，解方程得，r＝8，即⊙O的半径为8．9．解：（1）如图1，连接BO，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∴∠ABD＝∠CBO，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠C，∴∠ABD＝∠C，又∵∠D＝∠D，∴△ABD∽△BCD；（2）证明：∵∠C＝30°，OE∥AB，∠ABC＝90°，∴∠BAO＝60°＝∠BOA＝∠BOE，由（1）知OB⊥DE，∠EBO＝∠DBO＝90°，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOD（ASA），∴OE＝OD，∴△OED是等腰三角形；（3）∵OE∥AB，CO＝AO，∴CF＝BF，∴OF是△ABC中位线，∴OF＝AB，又∵在Rt△OBD中，cos∠D＝＝，设BD＝4x，则OD＝5x，由勾股定理（5x）2＝（4x）2+32，解得，x＝1（取正值），∴DB＝4，OD＝5，如图2，过点B作BM⊥OA于M，则∠OMB＝∠OBD＝90°，又∵∠BOM＝∠DOB，∴△OBM∽△ODB，∴＝＝，∴＝＝，∴BM＝，OM＝，∴AM＝，∴AB＝＝，∴OF＝AB＝．10．证明：（1）如图，连接OE，∵DC为切线，∴OE⊥CD，且AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠DAE＝∠EAO，即AE平分∠DAC；（2）①∵∠ABE＝60°，∠AEB＝90°，∴∠EAB＝30°，∠AOE＝120°∴BE＝AB＝3，AE＝BE＝3∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，且∠D＝90°∴DE＝AE＝，AD＝DE＝，②∵OA＝OB＝BE＝3，∴S扇形AOE＝π•OA2＝3π，S△AOE＝S△ABE＝×AE•BE＝，∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝3π﹣11．解：（1）连接OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB），∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C，∴∠DAC＝180°﹣2∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠DAC＝180°﹣∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠DAC，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝[180°﹣（180°﹣∠DAC）]＝，即∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，∵∠CAE＝3∠DAE，∴∠CAD＝4∠DAE，∵AD＝AC，AH⊥BC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠ADH+2∠DAE＝90°，∵∠EDC＝∠EBC+60°，∠EBC＝∠EAC，∴∠EDC＝∠EAC+60°＝∠DAE+60°，∵∠AED+∠DAE+∠ADH+∠EDC＝180°，∴∠DEA+∠DAE+∠DAE+60°+∠ADH＝180°，∴∠DEA+90°+60°＝180°，∴∠DEA＝30°，（3）如图3，过点D作DG⊥AE交AH的延长线于点G，连接GC，OE，CE，过点B 作BN⊥AE于N，∵∠CAD＝4∠DAE，AD＝AC，AH⊥DC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，AH是CD的中垂线，∴∠DAE＝∠FAH，∵DG⊥AE，∠DAE＝∠FAH，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，且∠DAE＝∠FAH，AE＝AE，∴△ADE≌△AGE（SAS）∴∠AED＝∠AEG＝30°，DE＝EG，∴∠DEG＝60°，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝EG＝DE，∠DGE＝60°，∵AH是CD的中垂线，∴DG＝GC，∴DG＝GC＝EG，∴点D，点G，点E在以点G为圆心，DG为半径的圆上，∴∠DCE＝∠DCE＝30°，∴∠BAE＝∠BCE＝30°，∴∠BOE＝60°，且BO＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝BO，∵∠BAE＝30°，BN⊥AE，∴AN＝BN∵∠ACB＝∠AEB，∴tan∠ACB＝tan∠AEB＝2＝，∴EN＝BN，∵AE＝EN+AN，∴2+1＝BN+BN，∴BN＝2，∴EN＝1，∴BE＝＝＝，∴BO＝．12．证明：（1）∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）如图2，在BF上截取FH＝EF，连接AE，AH，∵AF⊥EH，EF＝FH，∴AH＝AE，∴∠AHE＝∠AEH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ACB＝∠AEH，∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠HAE，∴∠BAH＝∠CAE，且AH＝AE，AB＝AC，∴△ABH≌△ACE（SAS）∴BH＝CE，∴BF＝EF+CE；（3）如图3，延长CG交⊙O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，AM，MB，∵∠AGB+∠ABC＝90°，∴∠AGB＝90°﹣∠ABC，∴∠AGB＝2∠BAC，∵∠AGC＝∠BGC，∴∠BGM＝∠AGM＝∠AGB，∴∠BGM＝∠AGM＝∠BAC，且∠BAC＝∠BMC，∴∠BMG＝∠BGM，∴BM＝BG＝5，∵∠AMC＝∠ABC，∠AGM＝∠BAC，∴∠GAM＝∠ACB，∴∠AMG＝∠MAG，∴MG＝AG＝6，∵BM＝BG，BN⊥MG，∴MN＝NG＝3，∴BN＝＝＝4，∵∠BMG＝∠AGM，∴BM∥AG，∴＝，∵AP∥BN，∴＝，∴AP＝，∴PG＝＝，∴PN＝PG﹣NG＝，且∴PK＝，KN＝，∴AK＝＝，BK＝＝，∴AB＝AK+BK＝，∵AF2＝AG2﹣GF2，AF2＝AB2﹣BF2，∴AG2﹣GF2＝AB2﹣（5+GF）2，∴GF＝，∴BF＝，∵MP＝MG﹣PG＝，∴MK＝，∵∠AMC＝∠ABC，∠MAB＝∠BCM，∴△MAK∽△BCK，∴，∴CK＝，∴GC﹣KC﹣KG＝，∵∠BMC＝∠BEC，∠BGM＝∠CGE，∠BGM＝∠BMG，∴∠CGE＝∠CEG，∴CG＝CE＝，∵EF+CE＝BF，∴EF＝BF﹣CE＝＝．13．（1）证明：连接AO．∵AD＝AC，AO＝AO，OD＝OC，∴△AOD≌△AOC（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴DE⊥AB．（2）解：设OD＝OC＝x，在Rt△OBD中，∵OB2＝BD2+OD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，设AD＝AC＝y，在Rt△ACB中，∵AB2＝AC2+BC2，∴（y+4）2＝y2+82，∴y＝6，在Rt△ADE中，AE＝＝＝6．14．解：（1）∵DE2＝DB•DA，∴＝，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE．（2）∵△DEB∽△DAE，∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，∴AB＝BF＝5，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，∵cos∠BED＝，则BE＝3，AE＝4∴＝＝，即：＝＝，解得：BD＝，DE＝，则AD＝AB+BD＝，ED＝．（3）由点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，设HD＝x，则EH＝﹣x，则9﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，则sinβ＝，MB＝BF sinβ＝5×＝，DM＝BD﹣MB＝．15．证明：（1）连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP＝＝＝6．。

九年级数学第三章《圆》教材分析

九年级数学第三章《圆》的教材分析一、教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．二、教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．三、教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算． 13．圆锥的侧面积和全面积的计算．四、教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解。

九年级数学下册第3章圆3.1圆3.1.3过不在同一直线上的三点作圆课件湘教版

AC AP 3AP. tan 30
【互动探究】若AP=1，则⊙O的面积为多少？提示：∵∠PAC=90°， ∴弦PC为⊙O的直径, ∴PC2=12+( 3 )2=4,∴PC=2, ∴S⊙O=π×12=π.
【总结提升】三角形外接圆圆心的“三种”位置 1.锐角三角形的外心在三角形内部，如图1； 2.直角三角形的外心是斜边的中点，如图2； 3.钝角三角形的外心在三角形外部，如图3.
4.已知 A B ，请找出 A B 所在圆的圆心，并将圆的其他部分作出来.
【解析】作法：(1)在 A 上B 任取一点C(点C与A，B两点不重合). (2)连结AC，BC. (3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是A B 所在圆的圆心.
(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.
设半径OB=R，则OD=4-R，由R2=32+(4-R)2,解得R=3.125.
3.△ABC的边长AB=1 cm, A C 2cm ,B C 3cm ,则其外接圆的半径是________.
【解析】因为AB2+AC2=12+2=3=BC2.
所以△ABC为直角三角形，所以其外接圆的半径为△ABC斜边的一半，即 r 3 .
3.1.3 过内确定一个圆的条件.(重点) 2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能经过不在同一直线上的三个点作圆.(重点) 3.了解三角形的外接圆及外心.(难点)
确定圆的条件 (1)确定一个圆需要确定_圆__心__和__半__径__. (2)经过一点A可以作_无__数__个圆. (3)经过两点A，B可以作_无__数__个圆，这些圆的圆心都在线段AB 的_垂__直__平__分__线__上.
题组二:与圆内接三角形有关的运算 1.(2013·漳州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OB,OC,若 OB=BC,则∠BAC等于 ( )

九年级上册数学第三章复习知识点：圆周角

九年级上册数学第三章复习知识点：圆周角
查字典数学网初中频道为您整理了九年级上册数学第
三章温习知识点：圆周角，希望协助您提供多想法。

和小编一同等候学期的学习吧，加油哦!
1、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

(两条件缺一不可)
2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦
为直径。

(①罕见辅佐线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。

(恣意一个外角等于它的内对角)
补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。

2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。

2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。

3、同弧所对的(在弧的同侧)圆外部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

以上就是查字典数学网为大家整理的九年级上册数学第三章温习知识点：圆周角，大家还满意吗?希望对大家有所协助!。