非协调元

5-6 Wilson 非协调元
理论和计算经验表明，单元的计算精度取决于单元位移模式中所包含的完全多项式的次数，位移模式中非完全的高次项一般不能提高精度。

为此，E.Wilson 提出一种构造非协调单元的方法，对提高等参元计算的精度和效率是有意义的。

5-6-1 双线性单元计算纯弯曲问题的误差
图5-26a 表示受纯弯曲的双线性单元，图5-26b 为精确位移状态示意，图5-26c 为双线性单元的位移示意。

若记 '
'
,u v 为双线性单元位移，则有
()()22
22111''111,(5101)22,
(5102)
u a xy v a a x a v b y u a xy v ==-+--==-不难证明式（5-101）的位移对应
1,
(5103)
x y xy a Ey σστ===-
确实是纯弯应力。

而对式（5-102）的位移，其应力为
'''1
11
22,,(5104)112(1)
x y
y xy Ea E
Ev
a a y x
v
v
v σστ=
=
=
---+
显然它不是纯弯应力，导致误差的原因是位移模式中缺少2x 和2y 项。

5-6-2 Wilson 非协调元
为提高精度，Wilson 提出在位移场中附加内部无结点的位移项 e e =+d N δNa （5-105）
式中 222211000
011ξηξη⎛⎫
--= ⎪--⎝⎭N （5-106a ） 为附加位移场“形函数”矩阵
()1234T
e a a a a =a （5-106b ） 即为附加“位移参数”矩阵。

由式（5-105）可得
e e =+εB δBa （5-107） 经单元分析推导可得：
11
e
e
E T E a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭K
K F +F δK K F a （5-108） 式中
1(5109)(5109)(5109)(5110)(5110)
e e e T V e T V e T V
e
T
T
E
b s V
S e T T E b s V
S K dV
a K dV
b K dV
c dV dV
a dV dV
b σ
σ
=-=-=-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B DB B DB B DB F N F N F F N F N F
由于e a 是单元内部自由度，与单元集合体的其他单元没有联系，因而可在单元阶段对式（5-108）进行如下改造
11()()e e e T
e a E e
-⎡⎤=-⎣⎦a K F K δ （5-111a ）
()
1
11
1()e
T e e e e e e
a
E a E ---=K
K K
K
δF +F -K K F （5-111b ）
这一过程称为内部自由度的静力凝聚（简称静力凝聚）。

若记
()*111e
e T
a
--K =K K K K （5-112a ） *11e e e e e E E a E -F =F -K (K )F （5-112b ）
则再把**e e E K F 和视为改造后的“双线性单元”的单元刚度、单元等效
结点荷载矩阵时，有限元的其他分析和计算步骤与常规单元完全一
样。

为便于分析，可令e
E F =0，在此条件下只要用式（5-112）改变
单元刚度即可。

计算实践可证明，这种非协调元的精度有显著的提高。

5-6-3 Wilson 非协调元的收敛性
由于N 在1=1ξη=±±和边界上分别为
22=12
2
=101-00=0001-1-0
0=0
01-0ξηηηξ
ξ±±⎛⎫
⎪
⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
N N
而不同单元的位移参数e a 是不同的，因此这种单元的位移是不协调的，其收敛性不能得到保证。

在板壳初步分析一章里将介绍非协调元收敛准则，这里只给出一些结论：
● 当网格划分是矩形或平行四边形单元时（此时J 为常数），非协调位移在单元尺寸不断
减小时协调性能得到改善、能保证趋于常应变状态，因此分析是收敛的。

● 对任意的四边形划分Wilson 指出，以==0ξη（单元中心点）的Jacobi 矩阵
值作为整个单元各点的J 矩阵，在此条件下计算e
1K ，则用非协调单元也是收
敛的。

§5-7 结论与讨论
5-7-1 几点结论
●本章所介绍的三角形和矩形单元及等参（除Wilson 非协调元外）
都是协调元，理论分析和算例都表明，协调元一定收敛，非协调元满足一定条件也是收敛的，而且有时收敛的速度更快一些。

●三角形单元用面积坐标描述较简便，而四边形单元用正则坐标，描
述公式统一简便。

●等参元可以是曲边单元，同样也分为两大类，即三角形类和四边形类。

选什么样的单元作母单元即产生什么样的等参元。

正则母单元的形函数是构造等参元的必备条件。

●母单元的形函数，可以直接用是凑法得到，也可以用统一方法，由低阶（常应变三角形和双线性矩形）单元的形函数来得到。

●等参单元刚度矩阵和等效荷载计算公式中被积函数都十分复杂，一般只能采用数值积分法获得近似积分结果。

●等参元（子单元）几何形状、位移模式都是由对应的母单元形函数插值构造的。

母单元的(),i i ξη点对应子单元的(,)(,)e i i i i x N x ξηξη=点。

但由指定点(,)i i x y ，一般不可能对求得对应的(,)i i ξη点。

●等参元当det 0=J 时将失效，因此在离散划时要注意避免出现
det 0=J 的一些情况。

5-7-2 几点讨论
●协调单元的位移解答一般都小于精确解（真实解答），也即协调单元的刚度比实际值大。

请读者考虑为什么？（提示：所设立位移模式一般并非实际位移）
●完备而非协调的单元是可能收敛的，请读者考虑，整体分析保证结点平衡，当单元变小（结点增多）时，显然平衡的点增加，单元趋于零时物体每一点都趋于平衡。

那么从解答的唯一性考虑，非协调元应满足什么样的条件才是收敛的呢？
●三角形类常用单元还有10结点（边中各两个结点，中心一个节点，
加三个角顶结点）单元，四边形类还有12结点（边中个2个结点，顶点各一个结点）单元，你能用统一方法建立它们的形函数吗？
●对不选学第6章空间与轴对称问题有限元的读者，和常应变三角形单元和矩形双线性单元对应，作三维（空间）物体有限元分析时，有四结点常应变四面体单元和八结点的长方体单元。

建议自行建立形函数，并导出单元刚度矩阵。