半线性双曲方程的一个非协调有限元超收敛分析
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
法与技 巧 ，给 出了近似 解与 精确解 的误 差估 计及 超逼 近性 ．最后 ，通 过使 用插 值后 处理 技 巧得到 了整 体超 收
敛 结果 ．
关键 词 ：半线性； 双曲方程； 各向异性； 非协调元； 超收敛 中图分 类号： ２ １ Ｏ２ ． ４２ 文献标识 码： Ａ
点 的有 效途 径 之一 就是 采 用各 向异性 剖分 ，它可 以
０ 引 言
考虑下 面一 类半线性 双 曲方 程 ：
” 一 ｕ＝， 材， Ａ （） ｕ （ Ｘ ０ ＝ ） ） （ ，
，
使人 们 用很 少 的 自由度 而 得 到 同样 的收敛 效果 ． 文
献 ［．］ ５９分别 在各 向异性 条件 下，对 ２ 阶椭 圆等问题
进行 了分析研 究 ．
这 里 【 表 示 ｖ 跨 过边 界 Ｆ的跳 跃 度 ，当 Ｆ［０２ １】 ， ． ６
在空间Ｖ 上定义 ｌｉ （ １ ） 其中 Ｉｂ ∑ ． “ ．＝ １ Ｉ ，
存 在 唯一 性；文献 【．】 ２４利用 有 限元 方法对 其 进行 了
收敛性分 析． 但上 述有 限元 分析都 是基 于对 网格经典 假设，也就是对 剖分 的正则性假设或一致性假设，即
ｈ ｛ Ｋ ｈｈ Ｘ ｐ ≤Ｃ ／ ≤Ｃ， 寸 Ｊ ， 、 Ｋ∈ ｈ
Ｋ Ｅｄｈ 来自百度文库Ｅ
单元 的 ４个顶点 其 中 是 的一个凸剖分簇 ，ｈ ｍａ ，Ｊ＝ｍ ｎ ， 条边的边长分别记为 ２ 和 ２ ， ＝ ｘ ； ｉ 而 ， 分别 是一 般单元 的最 大直径 和最大 内 分 别 为 Ｚ（Ｋ— ｘＹ ） Ｚ （ ＋ ， Ｋ— ｙ ￣ ｘ ｈ ， Ｋ一 ， ２ Ｙ ｂ）， Ｚ （Ｋ＋ ，Ｋ十 ，Ｚ （ 一 ，Ｋ十 ） ３Ｘ Ｙ 厅） ４ Ｙ ，单元 Ｋ 的 ４ 条边分 别为 ‘＝Ｚ ｆ （ ｄ ） ＝１ ，， ｉ ＋ ｍｏ ４， ， ３４． Ｚｌ ｉ ２
Ｍ ａｒ ．２Ｏｌ １
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ｏ —１ １０ １０ —８ ２２ １）２０ ３ —４ １
半 线 性 双 曲方 程 的 一个 非协 调 有 限元 超 收 敛 分 析
乔 保 民
（ 商丘 师 范 学 院 数 学 系，河 南 商 丘 ４ ６ ０ ） ７ ００
摘 要 ：在各 向异性条 件下 ， 利用有 限元 方法 对半线 性双 曲方 程的一 个非 协调元 逼近 进行 了研究 ， 通过 新 的方
１ 单 元构 造
为简单起见 ， 不妨假设 是 Ｒ 上 的一个有界凸 ２ 多边形 区域， 其边界 分别平行 于坐标轴 轴和 Ｙ轴 ． 为 的一个 矩形 单元 剖 分族 ，Ｖ Ｋ∈Ｊ ，单 ｈ 元 的 中心设为 （Ｋ Ｙ ） 沿 Ｘ Ｘ ，Ｋ ， 轴方 ￣ｆ ｙ轴方向的 ２ ｆ ｌ ｌ
在 上定 义如下 有 限元 ， ， ） ：
切 圆直 径．这 里及 以后 出现 的 Ｃ均表示 一 个常 数且 与ｈ 无关 ，不 同的地方 可 以取 不 同的值．然 而，在实
际应 用 中 ，对 于直 接定 义 在 窄边 区域 上 的 问题 ，如
果采用 上 面传 统 的正 则剖 分 ，总体 自由度 的增 加将 会 使 计算 量 非 常大 ．另 一 方 面，由于方 程 的解 在 其
定 义域 上 的变 化 经常是 不 均衡 的，往 往表 现 为某 一 部 分变 化 平缓 ，某一 部 分变 化剧 烈 ，所 以正则 性 网
｛ ， ， ｝ ， ， Ｖ ， ５
ｓａ｛， Ｙ （） （）， ｐｎ １ ， ， ｝ ，
其 中
ｄ １，１ＩＬｄ ｓ ，４２￣ ｖ ， ＿’， Ｉｅ ２ ５ ｘ ３ ｙ
（ ｆ∈． （， ， ， Ｏｘ ０ ） 】 １ ２ ∈ ， Ｘ∈ ， ㈣ ～
本 文在 各 向异性 条 件下 ，讨 论 一类 半 线性 双 曲 方程 半 离散 格式 的非协 调元 逼 近 ，通过 导 数转移 方 法 和一些 特 殊技 巧 ，给 出 了其近 似解 与 精 确解 的误
Ｉ（ ０ ＝ ） ｔ ，） （ ， ｔ
差估 计 及超 逼 近 性质 ，同 时，通 过 插值 后 处 理技 巧
为其 光滑边 得 到 了整体超 收敛结 果 ．
其 中 为 Ｒ 上 的一 个有界 闭 区域 ，
界，Ｘ ＝（，） ．
双 曲方程 是一 类 重要 的发 展方 程 ，关 于该 方程 的研究 已有 很多 结果 ．文献 … 研究 了这类方 程解 的
第 ３ ５卷 第 ２期
江西 师范大 学学报 （ 自然 科 学 版 ） ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ￣ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ ＮＩＥ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ａ Ｇ Ｉ Ｒ Ｌ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｎ Ｕ
Ｖｂ ． ５ＮＯ． １３ ２
２１ 年 ３ ０１ 月
） ３ 一 ） ２ ＝（ｔ １／ ．
格 不能 很好 地体 现 解 的这种 性质 ．这 时解 决 这一 难
有 限元 空 间定义 为
收稿 日期：２ １． ３０ ０ １０ ．１
基金项 目：国家 自然科学￣ （０ ７ １９ 河南省 自然科学基金（ ２ ０ ４Ｏ ４ ） １９ ２ １） ， Ｏ ３ｏ ｌ １ １ ９ 和河南教育厅 自然科学基金（ ｌＡｌ０ ｌ） ２ Ｏ ｌ０ ４资助项 目 ０ 作者简 介：乔保 民（９ ３） 男 ， 南宁 陵人，副教授 ，主要从 事有 限元理论 及应 用 的研 究 ． １６一 ， 河
１２ ３
江 西师 范 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
２ １ 矩 ０１
Ｖ ｛；Ｉ ， ∈ ｈｖｖ ∈ ， ＝ ｈ
时，［ ＝ ． ］
＝Ｆ ｝ ０ ｃＫ， ， Ｏ
代 入（） ，整理得 ３式
Ａ 芎 专 十Ｂ ＝ｃ ｏ， （ （） ， ０＝ 芎 ＝＿ ， ｊ Ｂ ｊ
敛 结果 ．
关键 词 ：半线性； 双曲方程； 各向异性； 非协调元； 超收敛 中图分 类号： ２ １ Ｏ２ ． ４２ 文献标识 码： Ａ
点 的有 效途 径 之一 就是 采 用各 向异性 剖分 ，它可 以
０ 引 言
考虑下 面一 类半线性 双 曲方 程 ：
” 一 ｕ＝， 材， Ａ （） ｕ （ Ｘ ０ ＝ ） ） （ ，
，
使人 们 用很 少 的 自由度 而 得 到 同样 的收敛 效果 ． 文
献 ［．］ ５９分别 在各 向异性 条件 下，对 ２ 阶椭 圆等问题
进行 了分析研 究 ．
这 里 【 表 示 ｖ 跨 过边 界 Ｆ的跳 跃 度 ，当 Ｆ［０２ １】 ， ． ６
在空间Ｖ 上定义 ｌｉ （ １ ） 其中 Ｉｂ ∑ ． “ ．＝ １ Ｉ ，
存 在 唯一 性；文献 【．】 ２４利用 有 限元 方法对 其 进行 了
收敛性分 析． 但上 述有 限元 分析都 是基 于对 网格经典 假设，也就是对 剖分 的正则性假设或一致性假设，即
ｈ ｛ Ｋ ｈｈ Ｘ ｐ ≤Ｃ ／ ≤Ｃ， 寸 Ｊ ， 、 Ｋ∈ ｈ
Ｋ Ｅｄｈ 来自百度文库Ｅ
单元 的 ４个顶点 其 中 是 的一个凸剖分簇 ，ｈ ｍａ ，Ｊ＝ｍ ｎ ， 条边的边长分别记为 ２ 和 ２ ， ＝ ｘ ； ｉ 而 ， 分别 是一 般单元 的最 大直径 和最大 内 分 别 为 Ｚ（Ｋ— ｘＹ ） Ｚ （ ＋ ， Ｋ— ｙ ￣ ｘ ｈ ， Ｋ一 ， ２ Ｙ ｂ）， Ｚ （Ｋ＋ ，Ｋ十 ，Ｚ （ 一 ，Ｋ十 ） ３Ｘ Ｙ 厅） ４ Ｙ ，单元 Ｋ 的 ４ 条边分 别为 ‘＝Ｚ ｆ （ ｄ ） ＝１ ，， ｉ ＋ ｍｏ ４， ， ３４． Ｚｌ ｉ ２
Ｍ ａｒ ．２Ｏｌ １
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ｏ —１ １０ １０ —８ ２２ １）２０ ３ —４ １
半 线 性 双 曲方 程 的 一个 非协 调 有 限元 超 收 敛 分 析
乔 保 民
（ 商丘 师 范 学 院 数 学 系，河 南 商 丘 ４ ６ ０ ） ７ ００
摘 要 ：在各 向异性条 件下 ， 利用有 限元 方法 对半线 性双 曲方 程的一 个非 协调元 逼近 进行 了研究 ， 通过 新 的方
１ 单 元构 造
为简单起见 ， 不妨假设 是 Ｒ 上 的一个有界凸 ２ 多边形 区域， 其边界 分别平行 于坐标轴 轴和 Ｙ轴 ． 为 的一个 矩形 单元 剖 分族 ，Ｖ Ｋ∈Ｊ ，单 ｈ 元 的 中心设为 （Ｋ Ｙ ） 沿 Ｘ Ｘ ，Ｋ ， 轴方 ￣ｆ ｙ轴方向的 ２ ｆ ｌ ｌ
在 上定 义如下 有 限元 ， ， ） ：
切 圆直 径．这 里及 以后 出现 的 Ｃ均表示 一 个常 数且 与ｈ 无关 ，不 同的地方 可 以取 不 同的值．然 而，在实
际应 用 中 ，对 于直 接定 义 在 窄边 区域 上 的 问题 ，如
果采用 上 面传 统 的正 则剖 分 ，总体 自由度 的增 加将 会 使 计算 量 非 常大 ．另 一 方 面，由于方 程 的解 在 其
定 义域 上 的变 化 经常是 不 均衡 的，往 往表 现 为某 一 部 分变 化 平缓 ，某一 部 分变 化剧 烈 ，所 以正则 性 网
｛ ， ， ｝ ， ， Ｖ ， ５
ｓａ｛， Ｙ （） （）， ｐｎ １ ， ， ｝ ，
其 中
ｄ １，１ＩＬｄ ｓ ，４２￣ ｖ ， ＿’， Ｉｅ ２ ５ ｘ ３ ｙ
（ ｆ∈． （， ， ， Ｏｘ ０ ） 】 １ ２ ∈ ， Ｘ∈ ， ㈣ ～
本 文在 各 向异性 条 件下 ，讨 论 一类 半 线性 双 曲 方程 半 离散 格式 的非协 调元 逼 近 ，通过 导 数转移 方 法 和一些 特 殊技 巧 ，给 出 了其近 似解 与 精 确解 的误
Ｉ（ ０ ＝ ） ｔ ，） （ ， ｔ
差估 计 及超 逼 近 性质 ，同 时，通 过 插值 后 处 理技 巧
为其 光滑边 得 到 了整体超 收敛结 果 ．
其 中 为 Ｒ 上 的一 个有界 闭 区域 ，
界，Ｘ ＝（，） ．
双 曲方程 是一 类 重要 的发 展方 程 ，关 于该 方程 的研究 已有 很多 结果 ．文献 … 研究 了这类方 程解 的
第 ３ ５卷 第 ２期
江西 师范大 学学报 （ 自然 科 学 版 ） ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ￣ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ ＮＩＥ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ａ Ｇ Ｉ Ｒ Ｌ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｎ Ｕ
Ｖｂ ． ５ＮＯ． １３ ２
２１ 年 ３ ０１ 月
） ３ 一 ） ２ ＝（ｔ １／ ．
格 不能 很好 地体 现 解 的这种 性质 ．这 时解 决 这一 难
有 限元 空 间定义 为
收稿 日期：２ １． ３０ ０ １０ ．１
基金项 目：国家 自然科学￣ （０ ７ １９ 河南省 自然科学基金（ ２ ０ ４Ｏ ４ ） １９ ２ １） ， Ｏ ３ｏ ｌ １ １ ９ 和河南教育厅 自然科学基金（ ｌＡｌ０ ｌ） ２ Ｏ ｌ０ ４资助项 目 ０ 作者简 介：乔保 民（９ ３） 男 ， 南宁 陵人，副教授 ，主要从 事有 限元理论 及应 用 的研 究 ． １６一 ， 河
１２ ３
江 西师 范 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
２ １ 矩 ０１
Ｖ ｛；Ｉ ， ∈ ｈｖｖ ∈ ， ＝ ｈ
时，［ ＝ ． ］
＝Ｆ ｝ ０ ｃＫ， ， Ｏ
代 入（） ，整理得 ３式
Ａ 芎 专 十Ｂ ＝ｃ ｏ， （ （） ， ０＝ 芎 ＝＿ ， ｊ Ｂ ｊ