A2017年数学高考真题

2017年数学高考真题剖析解读纵观2017年全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ高考数学试题，全国卷Ⅰ难度略高于卷Ⅱ、Ⅲ，这也是每年高考的必然规律．三套试卷总体上都体现了对基础知识，基本技能，基本方法及对常规试题通性通法的考查，但又有一定的灵活性，变化性，综合性，创新性．整体上看难度与2016年高考试题无太大差异，命题稳中求变，对常规知识的考查所占比重还是最大．总体来说，基础题知识点覆盖全面，方法简单，计算量小，考查常规；中档题综合性稍大，灵活性略强，解题过程蕴含一定的数学思想方法，解题技巧，或背景有新意，或与生活实际联系较紧密，或计算量稍大；难题的综合度或抽象度较大，灵活性，综合性更强，计算能力要求更高．全国卷3套试卷，都体现了新考纲对基础性、综合性、应用性、创新性及数学文化等方面的考查要求，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的新思想、新要求．全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ对选修1－1考查了圆锥曲线，导数及其应用，与往年的考查方式相比，没有太多的变化，难度大，综合性强，得分率低．主要考查了圆锥曲线的标准方程，几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，导数的概念，几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，零点，不等式等问题．平时学习时，一定要夯实基础知识，熟练掌握基本题型的解题思路，特别注意运算能力的提升！由于这部分的题目综合性强，所以还要求学生学会融会贯通，能把所学知识梳理成网，灵活变通使用．其他省市试题与全国卷相比略有不同，多个地方还考查了常用逻辑用语等知识，另外对于圆锥曲线和导数的考查，江苏卷，山东卷试题难度比全国卷还要大！下面列出了2017年全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及各地区选修1－1所考查全部试题，请同学们根据所学选修1－1知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习内容，有选择性的试做！)穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·文5，本题考查了双曲线的标准方程和性质，考查了数形结合思想以及运算求解能力]已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2，0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.2．[2017·全国卷Ⅰ·文12，本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，夹角公式，考查了运算求解能力]设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 解法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m 3－m≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1. 对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9.则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.解法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即3m≥3， 解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.3．[2017·全国卷Ⅱ·文5，本题考查了双曲线的离心率，考查了分析推理能力]若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) 答案 C解析 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a 2<2，∴1<e < 2.故选C.4．[2017·全国卷Ⅱ·文12，本题考查了抛物线的标准方程，几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查了分析问题解决问题的能力，运算求解能力]过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)．∴|NF |＝ (1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝ (3＋1)2＋(23－23)2＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.5．[2017·全国卷Ⅲ·文11，本题考查了椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.6．[2017·全国卷Ⅲ·文12，本题考查了函数的零点，函数的性质，考查了函数与方程的思想，运算求解能力]已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13 C.12 D ．1答案 C解析 解法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a ⎝⎛⎭⎫e t ＋e －t －1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.解法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”． －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.7．[2017·北京卷·文7，本题以向量知识为背景考查了充要条件，考查了推理论证能力，分类讨论思想]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一：由题意知|m |≠0，|n |≠0.设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A.解法二：∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A.8．[2017·天津卷·文2，本题以不等式为背景考查了充要条件，考查了分析推理能力]设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵2－x ≥0，∴x ≤2.∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2，∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.9．[2017·天津卷·文5，本题考查了双曲线的标准方程和双曲线的几何性质，考查了运算求解能力]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 根据题意画出草图如图所示⎝ ⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a ＝tan60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．[2017·山东卷·文5，本题考查了不等式的性质，复合命题的真假性判断，考查了学生推理论证能力]已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q答案 B解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题．故选B.11．[2017·山东卷·文10，本题考查了对新定义的理解和应用，函数的单调性，考查了学生分析问题，解决问题的能力]若函数e x f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x答案 A解析若f(x)具有性质M，则[e x f(x)]′＝e x[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－x ln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．经验证，选项B，C，D均不符合题意．故选A.12．[2017·浙江卷·文2，本题考查了椭圆的离心率的求法]椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴e ＝c a ＝53.故选B.13．[2017·浙江卷·文7，本题考查了原函数与导函数的关系，可用排除法，考查了数形结合思想]函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A BC D 答案 D 解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.二、填空题14．[2017·全国卷Ⅰ·文14，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法]曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．答案 x －y ＋1＝0解析 ∵y ′＝2x －1x 2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，∴切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.15．[2017·北京卷·文10，本题考查了双曲线的标准方程和几何性质]若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________. 答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，∴m ＝2.16．[2017·天津卷·文10，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求解]已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．答案 1解析 ∵f ′(x )＝a －1x ，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.17．[2017·天津卷·文12，本题考查了抛物线的几何性质，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为______________________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠F AC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．[2017·山东卷·文15，本题考查了双曲线与抛物线相交问题，以及两种曲线的几何性质，考查了数形结合思想，运算求解能力]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__________________．答案 y ＝±22x解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，∴y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .19．[2017·江苏卷·文8，本题考查了双曲线的几何性质，考查了运算求解能力]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．答案 2 3解析 如图所示，双曲线x 23－y 2＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|F 1F 2|＝4.双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，渐近线方程为y ＝±33x .由⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝33x ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32. ∴|PQ |＝3，∴S 四边形F 1PF 2Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.三、解答题 20．[2017·全国卷Ⅰ·文20，本题考查了抛物线的切线方程，直线与抛物线的位置关系，考查了学生综合分析问题，解决问题的能力，运算求解能力]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.21．[2017·全国卷Ⅰ·文21，本题考查了利用导数讨论函数的单调性，根据不等式求参数范围，考查了分类讨论思想，函数与方程的思想]已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．(2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ，从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，从而当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34 时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e34 ，1]． 22．[2017·全国卷Ⅱ·文20，本题考查了曲线轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归的数学思想]设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP→＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .23．[2017·全国卷Ⅱ·文21，本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据不等式求参数范围，考查了运算求解能力，分析推理能力]设函数f (x )＝(1－x 2)e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2.当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减， 在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，故e x ≥x ＋1.当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1.综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．24．[2017·全国卷Ⅲ·文20，本题考查了直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程的求解，弦长等知识，考查了运算求解能力]在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12. 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3， 即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．25．[2017·全国卷Ⅲ·文21，本题考查了利用导数讨论函数的单调性，证明不等式，考查了运算求解能力，分析推理能力，分类讨论思想]已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a －2.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0， 所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a －2.26．[2017·北京卷·文19，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，分析推理能力]已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n ，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )，直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n 2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.27．[2017·北京卷·文20，本题考查了导数的几何意义，求函数的最值，考查了运算求解能力，分类讨论思想]已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0， 即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 28．[2017·天津卷·文19，本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值等知识，考查了分类讨论思想，函数与方程的思想]设a ，b ∈R ，|a |≤1.已知函数f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，g (x )＝e x f (x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)已知函数y ＝g (x )和y ＝e x 的图象在公共点(x 0，y 0)处有相同的切线，①求证：f (x )在x ＝x 0处的导数等于0；②若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]．令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝4－a .由|a |≤1，得a <4－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a )．(2)①证明：因为g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x ))，由题意知⎩⎨⎧ g (x 0)＝e x 0，g ′(x 0)＝e x 0，所以⎩⎨⎧ f (x 0)e x 0＝e x 0，e x 0(f (x 0)＋f ′(x 0))＝e x 0， 解得⎩⎨⎧ f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0.所以，f (x )在x ＝x 0处的导数等于0. ②因为g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，且e x >0，所以f (x )≤1.又因为f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0， 所以x 0为f (x )的极大值点，由(1)知x 0＝a .另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1<4－a .由(1)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，故当x 0＝a 时，f (x )≤f (a )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，得b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1.令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1,1]，所以t ′(x )＝6x 2－12x . 令t ′(x )＝0，解得x ＝2(舍去)或x ＝0.因为t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，所以，t (x )的值域为[－7,1]．所以，b 的取值范围是[－7,1]．29．[2017·天津卷·文20，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了分析推理能力，运算求解能力]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以，椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m .由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝32c ，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232.同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c ，又由c >0，得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.30．[2017·山东卷·文20，本题考查了导数的几何意义，用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论思想，函数与方程思想，运算求解能力]已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)， 即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x＝x (x －a )－(x －a )sin x＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g(a)＝－13－sin a；6a当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－13－sin a.6a综上所述：当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－136a －sin a，极小值是g(0)＝－a；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－13－sin a.6a31．[2017·山东卷·文21，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的几何性质，考查了转化与化归的思想，分析推理能力，运算求解能力]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)，又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a2b 2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0得m 2<4k 2＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1. 又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2km 2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2k 2＋1＋m 2， 整理得|ND |2＝4m 2(1＋3k 2＋k 4)(2k 2＋1)2. 因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1)(2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2. 令t ＝8k 2＋3，t ≥3， 故2k 2＋1＝t ＋14.所以|ND |2|NF |2＝1＋16t (1＋t )2＝1＋16t ＋1t ＋2. 令y ＝t ＋1t ， 所以y ′＝1－1t 2. 当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增， 因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4.由(*)得－2<m <2且m ≠0， 故|NF ||ND |≥12.设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12， 所以θ的最小值为π6， 从而∠EDF 的最小值为π3， 此时直线l 的斜率是0.综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.32．[2017·浙江卷·文20，本题考查了导数的运算，用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查了运算求解能力]已知函数f (x )＝(x －2x －1)·e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围．解 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x )′＝－e －x ， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12x －1e －x－(x －2x －1)e －x＝(1－x )(2x －1－2)e －x 2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12. (2)由f ′(x )＝(1－x )(2x －1－2)e －x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52. 因为又f (x )＝12(2x －1－1)2e －x ≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12e －12 .33．[2017·浙江卷·文21，本题考查了直线的斜率，直线与抛物线的位置关系，用导数研究函数式的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，运算求解能力]如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.34．[2017·江苏卷·文20，本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，不等式等知识，考查了函数与方程思想，构造函数思想，运算求解能力]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a ＞0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2＞3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23. 因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0. 又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3. 列表如下：故f (x )的极值点是x 1，x 2. 从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)． (2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a. 设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3， 即ba > 3.因此b 2>3a .(3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )，因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ， 所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6. 因此a 的取值范围为(3,6]．。