高二数学空间向量基本定理

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高二数学空间向量基本定理

例题：
如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA＝' c，p是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2) AM 3)AN
N
பைடு நூலகம்
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
n 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
n 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
此过，留下俩脑袋！若说半个不，管杀； / 太阳能路灯；还管埋！嘻嘻！”女科长Ｏ．雯娃姑婆：“就你们两个小丫头也敢劫道？！也不问问我们是谁？你俩想找死呀？！”月光妹妹：“有什么菜谱都拿出来练练！嘻嘻！”女科长Ｏ．雯娃姑婆：“我先让你品尝一下『白宝穷鬼蚂蚱卡』的厉害！”女科长Ｏ．雯娃姑婆悠然如同葫芦一样的脚顿时狂舞收缩起来……很小的胡须透出深黑色的阵阵幽雾……怪异的眼睛透出深青色的丝丝怪音。接着把突兀的亮黑色龙虾一般的眉毛甩了甩，只见五道晃动的活似玻璃管般的灰烟，突然从暗橙色炸鸡样的脸中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，暗绿色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的妙睡朦胧味在狂速的空气中摇曳…… 紧接着耍了一套，窜马泳圈翻一千零八十度外加鹰哼泳池旋七周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。最后摆起很大的暗红色鹅掌一样的手掌一喊，轻飘地从里面射出一道幽光，她抓住幽光绝妙地一转，一样黑森森、黄澄澄的法宝『白宝穷鬼蚂蚱卡』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边疯耍，一边发出“呜呜”的余音……忽然间女科长Ｏ．雯娃姑婆旋风般地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她深黄色布条一样的舌头中，威猛地滚出五片幽灵状的虎尾，随着女科长Ｏ．雯娃姑婆的耍动，幽灵状的虎尾像皮球一样在双腿上优美地玩出隐隐光烟……紧接着女科长Ｏ．雯娃姑婆又摆起金橙色兔子一样的四对翅膀，只见她普通的嘴唇中，狂傲地流出五团轮胎状的珍珠，随着女科长Ｏ．雯娃姑婆的摆动，轮胎状的珍珠像香皂一样，朝着月光妹妹玲珑活泼的美鼻子斜冲过来！紧跟着女科长Ｏ．雯娃姑婆也晃耍着法宝像玻璃管般的怪影一样朝月光妹妹斜劈过来月光妹妹悠然秀美挺拔的玉腿猛然振颤飘荡起来……轻灵雅秀、能够听懂远处动物语言的妙耳朵喷出暗红色的飘飘暗气……似乎总是带着一丝迷人笑意的小嘴唇跃出紫宝石色的朦胧异香……接着把轻灵似风的玉臂摇了摇，只见六道变幻莫测的如同肥皂般的紫影，突然从轻盈矫健的玉腿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，灰蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的僵尸鸭酣妖隐味在发疯般的空气中跃动！紧接着来了一出，蹦貂面条翻

1.2 空间向量基本定理(精讲)高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)

1.2空间向量基本定理一、空间向量基本定理（1）定义：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使=++p xa yb zc u r r r r.（2）基底与基向量：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{},,,=++∈p p xa yb zc x y z R u r u r r r r，这个集合可以看作由向量，，a b c r r r 生成的，我们把{}，，a b c r r r叫做空间的一个基底，，，a b c r r r 都叫做基向量。

说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.二、空间向量的正交分解1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}，，i j k r r r表示。

2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。

题型一空间向量基底的概念辨析【例1】若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（）A．{},,a b b c c a +++B．{},,a b b c c a---C．{},,a b c a b c +++D．{},,3a b c a b c a b c -++--+【答案】A【解析】选项A：令()()c a a b b c λμ+=+++，则λ，μ∈∅，A 正确；选项B：因为()()c a a b b c -=----，所以{},,a b b c c a ---不能构成基底；选项C：因为()a b c a b c ++=++，所以{},,a b c a b c +++不能构成基底；选项D：因为()()32a b c a b c a b c -+=-+++-，所以{},,3a b c a b c a b c -++--+不能构成基底．故选：A.【变式1-1】设=+x a b ，=+y b c ，=+z c a ，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,++x y a b c ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =，则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．【变式1-2】设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,=+=-p a b q a b 构成空间的另一个基底的向量是()A．a B．bC．c D．a 或b【答案】C【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合()()2p q a b a b a +=++-=，得a 与p 、q 是共面向量，同理b 与p 、q 是共面向量，所以a 与b 不能与p 、q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p 、q 构成空间的一个基底．故选：C．【变式1-3】下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个【答案】C【解析】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A 错误，B 错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C 正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D 错误.故选：C【变式1-4】已知{}123,,e e e 是空间的一个基底，向量12332a e e e =++，23b e e λ=+，12332c e e e =++，若{},,a b c 能作为基底，则实数λ的取值范围是（）A．()(),11,-∞--+∞B．()(),00,∞-+∞U C．()(),11,-∞+∞D．()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+【答案】B【解析】若a ，b ，c 共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得a xb yc =+，即()123231233322e e e x e e y e e e λ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭．因为1e ，2e ，3e 不共面，所以332y =，2x y λ=+，1x y =+，解得1x =-，2y =，0λ=，即当0λ=时，2a b c =-+，此时{},,a b c 不能作为基底，所以若{},,a b c 能作为基底，则实数λ满足的条件是0λ≠．故选：B题型二用基底表示空间向量问题【例2】在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A．121232a b c -+B．221332a b c+-r r r C．111222a b c+-D．211322a b c-++【答案】D【解析】由已知()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+，所以，()1221123322MN ON OM b c a b c =-=+-=-++，故选：D.【变式2-1】在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A．121232a b c-+B．211322a b c-++C．111222a b c+-D．221332a b c ++【答案】B【解析】∵点M 在线段OA 上，且2=OM MA ，N 为BC 中点，∴23=OM OA ，111()222=+=+ON OB OC OB OC ，∴112211223322=-=+-=-++MN ON OM OB OC OA a b c ．故选：B．【变式2-2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，若E 为1DD 的中点，F 在BD 上，且3BF FD =，则EF 等于（）A．111332a b c --B．111442a b c --C．111442a b c -+D．111233a b c -+【答案】B【解析】11142EF DF DE DB DD =-=-()11111142442=--=--AB AD DD a b c ，故选：B【变式2-3】如图：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC ，11B D 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则向量BM =（）A．1122-++a b cB．1122-+-a b cC．1122a b c--+D．1122a b c -+【答案】B【解析】因为在平行六面体1111-ABCD A B C D 中，M 为11A C ，11B D 的交点,11=A B a ，11=A D b ，1=A A c ，所以11=+BM BB B M 11112=-+A AB D 111111()2=-+-A A A D A B 111111122=-+-A B A D A A 1122=-+-a b c .题型三空间向量基本定理的应用【例3】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）A．118B．98C．78D．58【答案】C【分析】根据空间向量基本定理求解，即用,,OA OB OC 表示出OG 即可得．【解析】由题意，33()44OG OM MG OM MN OM OM OC CN =+=+=+-++133444OM OC CN =++133848OA OC CB =++133()848OA OC OB OC =++-813388OA OB OC =++又OG xOA yOB zOC =++，所以133,,888x y z ===，78x y z ++=．故选：C．【变式3-】若{},,a b c 是空间的一个基底，且p xa yb zc =++，则(,,)x y z 叫p 在基底{},,a b c 下的坐标.已知p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则p 在另一组基底{},,a b a b c -+下的坐标为（）A．13(,,1)22B．15(,,1)22C．13(,1,22D．15(,1,)22【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.【解析】依题意32p a b c =++，设()()p s a b t a b kc =-+++，即()()s t a t s b kc ++-+，所以12352211s s t t s t k k ⎧=⎪+=⎧⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩，所以p 在另一组基底{},,a b a b c -+下的坐标为15(,,1)22.故选：B【变式3-2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 的中点，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点，O 为EF 的中点，直线PE 交直线1DD 于点Q ，直线PF 交直线1BB 于点R ，则（）A．511777AO AP AQ AR =++B．111244AO AP AQ AR =++C．211366AO AP AQ AR=++D．522999AO AP AQ AR=++【答案】B【分析】先以1AA ，AB ，AD 为基底，表示出,,AP AQ AR ，然后解向量方程组，用,,AP AQ AR 表示出1AA ，AB ，AD ，再由1AA ，AB ，AD 与AO 的关系可得.【解析】记1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r ，则123232a b c AP a b AR a c AQ ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2()5233555323555a AR AQ AP b AR AQ APc AR AQ AP ⎧=+-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-++⎪⎩又()134AO a AO a b c =+=++所以23233323()54555555AO AR AQ AP AR AQ AP AR AQ AP ⎛⎫=+-+-++-++ ⎪⎝⎭整理得111244AO AP AQ AR =++．故选：B 【变式3-3】已知斜三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，113A AB A AC π∠=∠=，点E ､F 满足112AE AA =，12BF BC =uu u r uu u r ，则EF =（）C．2【答案】D【解析】以向量1,,AB AC AA 为基底向量，()()11111222EF EA AF AA AB AC AB AC AA =+=-++=+-所以()()2222211111122244EF AB AC AA AB AC AA AB AC AB AA AC AA =+-=+++⋅-⋅-⋅11114442222222224222⎛⎫=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1824=⨯=所以EF =故选：D。

高二数学空间向量基本定理

一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A DBiblioteka BC例题：
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且

高二数学空间向量基本定理

例题：
如图，在平行六面体 ABCD－A ' B'C ' D '中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量： 1)AP ； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷第444章验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验，也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷第445章报喜望着面色依然冷冷の年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧，今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表

3.2 空间向量基本定理(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)

向量，有且只有一对实数
Ԧ
，μ，使
Ԧ ＝ 1 ＋ μ 2 ．
若 1 ， 2 不共线，我们把{1 ， 2 }叫做表示这一平面内所有向量的一个基
底．
例题1.如图３- ２- ２，在长方体ABCD-A１B１C１D１中，点E是棱AA１的中点，
点O是面对角线BC１与B１C的交点，试判断向量
发的三条棱所对应的向量作为基底.
03
空间向量基本定理的应用
1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求
证：EF⊥AB1．
→ ＝a，AA
→ ＝b，AD
→ ＝c，则EF
→ ＝EB
→ ＋B→F＝1(BB
→ ＋B→D )
证明：设AB
1
1
1
1
1 1
2
1 → → 1 → → → 1
情况一：a，b，Ԧc共面

情况二：a，b，Ԧc不共面
三个两两垂直的向量
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个
不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
P
k
O
i
α

j
Q
能够表示为
Ԧ + Ԧ + 吗？
三个两两垂直的向量
k
i
xi

j yj
P
zk
zk
k
i
xi
3
3
3
3
CE ∙ AD = b
，∴ CE ⊥ AD，即CE⊥ A’D .
1
+ cԦ
2
∙ −Ԧc
1
+ b
2
1

高二数学空间向量基本定理

空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
A1B B1C AC
A
C B
M
D1C1Nຫໍສະໝຸດ PA1B1
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
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会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里

1.2+空间向量基本定理+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

AA1 5, BAA1 60, DAA1 60, M, N分别为D1C1 , C1B1的
中点.求证：MN AC1.
D1 A1
M N C1 B1
D
C
A
B
证明：设AB a, AD b, AA1 c，这三个向
量不共面,{a, b, c}构成空间的一个基底,
我们用它们表示MN, AC1, 则
P
k
定理可知, 存在唯一的有序实数对( x, y), 使得
O
OQ xi yj .
j i
从而OP OQ zk xi y j zk
Q
因此, 如果i, j, k是空间三个两两垂直的向量,
那么对任意一个空间向量 p, 存在唯一的有序实数
P
组( x, y, z), 使得 p xi yj zk .
2
2
2
M N C1 B1
所以MN AC1
D A
C B
例3：如图, 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1, E, F,G分别为CD, AD, DD的中点. (1) 求证：EF // AC; (2) 求CE与AG所成角的余弦值.
(1) 证明：设DA i , DC j, DD' k,
则{ i , j,k}构成空间的一个单位正交基底.
p xa yb zc.
1.空间向量基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对任意一个空
间向量 p ，存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使得
p xa yb zc.
所有空间向量组成的集合为 {p | p xa yb zc, x, y, z R}
{a,b, c}叫做空间的一个基底，空间任意三个
（2）如果 {a,b,c}构成空间的一个基底，那么用它表示下列

高二数学 3.1.2 空间向量的基本定理

3.1.2 空间向量的基本定理1．共线向量定理两个空间向量a ，b (________)，a ∥b 的充要条件是____________________，使__________．2．向量共面的条件(1)向量a 平行平面α的定义已知向量a ,作OA →＝a ,如果a 的基线OA_______________________，则就说向量a 平行于平面α，记作________．(2)共面向量的定义平行于____________的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理如果两个向量a ，b __________，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，________________________，使____________．3．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c __________，那么对空间任一向量p ，_________________________________，使_____________．(2)基底如果三个向量a ，b ，c 是三个________________，则a ，b ，c 的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个________，记作____________，其中a ，b ，c 都叫做__________．表达式xa ＋yb ＋zc ，叫做向量a ，b ，c 的________________________________.探究点一向量共线问题问题1(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0?问题2 向量共线在几何中有什么应用？例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．跟踪1 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．探究点二向量共面问题问题1 如何理解向量与平面平行？问题2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量a 、b 共线，那么结论是否还成立？问题3 向量共面在几何中有什么应用？问题4 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？例2已知斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′，设AB →＝ a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在面对角线AC ′上和棱BC 上分别取点M 和N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：(1)MN →与向量a 和c 共面；(2)MN 与面A ′AB 平行吗？跟踪2 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋ 13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．探究点三空间向量分解定理问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2 和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题3 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？例3 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.跟踪3 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →.【达标检测】1．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是( )A ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则（）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面3．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS→＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ,H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用a ，b ，c 表示)【课堂小结】1．利用空间向量的数乘运算可以划定两个向量共线．2．空间三个向量a 、b 、c 共面，只要找到一个向量能用其余两个向量线性表示即可．3．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．3.1.2 空间向量的基本定理一、基础过关1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 35．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 8．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线．③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF→是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .。

空间向量基本定理高二数学系列

3．已知向量
OA
和OB
在基底{a，b，c}
下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若OC
＝
2 5
AB ，
则向量 OC 在基底{a，b，c} 下的坐标是（）
A．
(
6 5
,
4 5
,
8) 5
B．(6 , 4 , 8)
555
C． ( 6 , 4 , 8)
5 55
D．
(
6 5
,
4 5
,
8) 5
【答案】A
教学目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
知识清单
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实
数组(x，y，z)，使得__p_＝__x_a_＋__y_b_＋__z_c____. 2.基底
【解析】对于①：若向量 a ， b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 a / /b ，故①正确；
对于②：若非零向量 a ， b ， c 满足 a b ，b c ，则a 与 c 不一定共线，故②错误；
对于③：若OA ， OB
， OC
是空间的一组基底，且OD
1 3
OA
1 3
OB
22
【解析】解析由题意得， a 、 b 、 c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组 (, , ) ，使 d a b c .
∴ d e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e3
( )e1 ( )e2 ( )e3 .

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以a ，b ，c两两不共线，但两两共面，故A 正确；对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++，故B 正确；因为()()2a c a c a -++= ，所以a ，a c - ，a c + 共面，故不能构成空间的一个基底，故C 错误；根据空间向量基本定理可知，若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零，故D 正确；故选：ABD变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为()232a b a a b -=-+ ，所以,2,a a b a b -+是共面向量，不能构成基底，A 不正确；因为,,a b a b c +-不是共面向量，所以可以构成基底，B 正确；因为22a b +与a b + 平行，所以22,,2a b a b c ++ 不能构成基底，C 不正确；因为2a c b c a b c +++=++，所以,,2a c b c a b c ++++ 共面，不能构成基底，D 不正确.故选：B.变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，cD ．a b +，a b c ++ ，c【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.【详解】{},,a b c构成空间的一个基底，对于A ，()()2b c b c b ++-= ，因此b c + ，b ，b c -共面，A 正确；对于B ，)()(2a a b b a ++-=，因此a ，a b + ，a b - 共面，B 正确；对于C ，假定a b +，a b - ，c 共面，则存在,R λμ∈使得()()()()c a b a b a b λμλμλμ=+-++-=+ ，而,,a b c不共面，则00λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得0λμ==，于是0c = ，,,a b c 共面，与,,a b c 不共面矛盾，因此a b +，a b - ，c 不能共面，C 错误；对于D ，()a b c a b c ++=++ ，因此a b +，a b c ++ ，c 共面，D 正确．故选：ABD变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于()b c a b a c -=+-+ ，故b c - 与a b +、a c + 共面，无法构成空间的一个基底，故B 错误；因为{},,a b c 是空间的一个基底，由于不存在实数对x 、y ，使得()()b c x a b y a c +=+++，若成立则011x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然方程组无解，故a b +、a c + 与b c + 可以作为空间的一个基底，故A 正确，同理可得C 、D 正确；故选：ACD变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94【答案】D【分析】由题意可知，向量OA 、OB 、OC共面，则存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于x 、y 、k 的方程组，即可解得k 的值.【详解】因为向量123OA e e e =++ ，12322OB e e e =-+ ，12332OC ke e e =++不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，故存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，即()()()()()123123123123322222ke e e x e e e y e e e x y e x y e x y e ++=+++-+=++-++ ，因为{}123,,e e e 是空间的一个基底，则2322k x y x y x y =+⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得521494x y k ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.故选：D.变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，BC ，则空间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D．,AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，AB 、AC 都在面ABC 内，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥.因为AB AC ⊥，1AB =，BC =2AC =，又SA =1，所以空间的一个单位正交基底可以为1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+C ．111442a b c --+ D ．311442a b c -+- 【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】如图所示，()1111111112242442CM CO CC CB CD CC a b c =+=++=--+，故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，111111111111()22222BM BA AA A M AB AA A B A D a c a b a b c =++=-+++=-+++=-++.故选：B变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC-+B ．111444PA PB PC++C ．131444PA PB PC ++ D ．113444PA PB PC -+ 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A PBC -中，因为AQ ⊥平面PBC ，所以Q 是PBC 的中心，连接PQ ，则()2132PQ PB PC =⨯+，所以34PM PA AM PA AQ=+=+ ()333444PA AP PQ PA PA PQ=+⨯+=-+ ()13211114432444PA PB PC PA PB PC =+⨯⨯+=++.故选：B变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OM =（）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 【答案】A【分析】利用基底,,a b c表示,OP OQ ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为2OP PA =，所以13OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 11()64OA OB OC =++ 146114a b c =++，故选：A.变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC =++ B ．111333OE OA OB OC =++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++ 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为13NE NM =，所以3NM NE = ，所以3()OM ON OE ON -=-，即1233OE OM ON =+ ，又11,()22OM OA ON OB OC ==+ ，所以111633OE OA OB OC =++ .故选：D变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c a b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）【答案】214999a b c-++【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，O 为BCD △的重心，则()()211323BO BC BD BC BD =⨯⨯+=+，所以23PM AM AP AC CM AO=-=+- ()2233AC CD AB BO=+-+ 222333AC CD AB BO=+-- ()()13222333AC A B D D AB C AC B +⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦2222233399AC AD AC AB BC BD=+----()()2222233399AC AD AC AB AC AB AD AB=+------ 22222223339999AC AD AC AB AC AB AD AB=+---+-+ 214214999999AB AC AD a b c =-++=-++.故答案为：214999a b c-++变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .【答案】()11,33=++=-OG a b c GH a【分析】由已知得()12AD AB AC =+ ，23AG AD = ，可得OG OA AG =+；由23= OH OD 可得=++ GH GA AO OH 可得答案.【详解】由已知得=-- OB b O a A ，=--OC c O a A ，因为G 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，所以()()22112=+=+- A b A AB c D a C ，()()2213331222=+=+-=-⨯b AG ADc a b c a ，所以()()11233=+=+-++=++ OG OA AG a a b c a b c ；又因为H 是OBC △的重心，所以()()22113323==⨯+=+OH OD OC OB b c ，()()3131123=++=-+--++=- GH GA AO OH b c a a b c a .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P 为平面ABC 上的一点，12OP OA mOB nOC =++ ，则12OP m n OA m AB n AC ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ，于是112m n ++=，即12m n +=，显然选项BCD 都不满足，A 选项满足.故选：A变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．【答案】12/0.512/0.5【分析】用1,AB AA 表示出DP，从而得出m ，n 的值．【详解】由于11111()222AP AD DP AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以12m =，12n =，故答案为：12；12．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：11AC AB BC CC =++，即11AC AB BC C C =+- ，因为1123AC xAB yBC zC C =++ ，所以1x =，21y =，31z =-，所以1x =，12y =，13z =-，所以1171236x y z ++=+-=.故选：B.变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出MN，即可求解.【详解】矩形ABCD 中，AC AB AD =+ ,所以PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++.因为12PM PC = ，所以()12PM AP AB AD =-++ .因为PD AD AP =- ,23PN PD =，所以()23PN AD AP =- .所以()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+ .所以111,,266x y z =-=-=，所以11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．【答案】1-【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+-，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，如图，则111111111111111()2222AE AA A E AA A C AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++ ，1,,AA AB AD 不共面，又1AE AA xAB y AD =++ ，于是得12x y ==，所以122x y -=-.故选：C例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，即()()232a b x a c y b c λ-=-++ ，则()232a b xa yb y x c λ-=++-，则x =2，32y =-，0y x λ-=，解得43λ=-.故选：D.变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+=，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：13考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC =+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC=++ D ．221333OM OA OB OC=+- 【答案】D【分析】OM xOA yOB zOC =++，分析出当,,,M A B C 共面时，1x y z ++=，从而分析四个选项，得到正确答案.【详解】当,,,M A B C 共面时，不妨设AM AB AC λμ=+，变形得到()()OM OA OB OA OC OA λμ-=-+-，则()1OM OB OA OC λλμμ=-+-+，设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则11x y z λμλμ++=--+++=，只有选项D 中2211333⎛⎫++-= ⎪⎝⎭符合题意.故选：D .变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．【答案】(1)证明见解析(2)()122BF a c b =+- ．【分析】（1）连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ，根据直线与平面平行的判定定理可得AD ∥平面PEF ，BC ∥平面PEF ，从而可得向量EF 与BC，AD 共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）证明：如图，连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ．∵P ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴AD ∥PF ．又∵PF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ．∴AD ∥平面PEF ．同理可证，BC ∥平面PEF ．∴向量EF 与BC，AD 共面.（2）解：()()1122BF BC BD AC AB AD AB=+=-+-()()112222AC AD AB a c b =+-=+-.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN = ，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．【答案】111444OA OB OC ++34/0.75【分析】运用空间向量的线性运算法则，将OP用基底,,OA OB OC 表示出来，延长OP 与AM 交于D ，当//PQ BD 时，//PQ 平面ABC .【详解】由条件可知：()33134444OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON=+=+=+-=+()132111111443422444OA OM OA OB OC OA OB OC =+⨯=+⨯+=++；延长OP 与AM 交于D ，连接BD ，则当//PQ BD 时，PQ ⊄Q 平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，//PQ ∴平面ABC ；令,OD OP AD mAM μ== ，则有1111444AD OD OA OP OA OA OB OC μμμμ⎛⎫=-=-=-++ ⎪⎝⎭，()()11112222AD m AM m AB AC m OB OA OC OA mOA mOB mOC ==+=-+-=-++ ，根据向量基底表示法的唯一性，有：1141124m m μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24,33m μ==，//,,OQ OP PQ BD OPQ OBD OB OD∴= 34=，34λ∴=.故答案为：111444OA OB OC ++，34变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.【答案】1【分析】设1AH AC λ= ，其中01λ≤≤，将EF 、EH 、1GC 用基底{}1,,AB AD AA 表示，分析可知1GC 、EF、EH共面，则存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，解出λ的值，即可得出AH 的长度.【详解】设1AH AC λ=，其中01λ≤≤，1122EF AF AE AB AD =-=- ，()111122EH AH AE AB AD AA AD AB AD AA λλλλ⎛⎫=-=++-=+-+ ⎪⎝⎭，11112GC GC CC AB AA =+=+ ，因为1//GC 平面EFH ，则1GC 、EF 、EH 共面，显然1GC 、EF不共线，所以，存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+，即1111112222AB AD AA m AB AD n AB AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222m n AB m AD n AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，因为{}1,,AB AD AA 为空间中的一组基底，所以，11221122m n m n λλλ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得13λ=，因此，11133AH AC ===.故答案为：1.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.【答案】213【分析】设1AM AC λ= ，其中01λ<<，用AB、AD 、1AA 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本定理可知存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，由空间向量基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，即可解得实数λ的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】设()111AM AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++，其中01λ<<，1112233GM AM AG AB AD AA AA AB AD AA λλλλλλ⎛⎫=-=++-=++- ⎪⎝⎭ ，11223GE AE AG AB AA =-=- ，11233GF AF AG AD AA =-=- ，因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE、GF 共面，由共面向量定理可知，存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，即1112121232333AB AD AA m AB AA n AD AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1112233m AB n AD m n AA =+-+，所以，()12132233m n m n λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-+=-⎪⎩，解得213λ=.故答案为：213.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE ；(2)计算BC FE ⋅.【答案】(1)1122FE b c a=+-(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用1,,BA BB BC 表示出FE；（2）应用向量数量积的运算律得BC FE ⋅ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅，结合已知即可求数量积.【详解】（1）11FE FD DD D E =++ 11122BA BB BC =+-1122b c a =+- ；（2）11122BC FE BC BA BB BC ⎛⎫⋅=⋅+- ⎪⎝⎭ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅ 11πcos 22BC BA BC BB =+ 2π1cos 32BC -0321=+-=.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．【答案】12-/0.5【分析】BC ，BD ，BA两两成60 角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，BC ，BD ，BA 两两成60角，12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ,由12AE BE BA BC BA =-=- ，1122CF BF BC BA BD BC =-=+- ，所以111222AE CF BC BA BA BD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-．故答案为：12-变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，求OE AC ⋅ 的值.【答案】(1)111236OE a b c =++ ；(2)83-.【分析】（1）由点E 为AD 的中点，可得1()2OE OA OD =+ ，而11()33OD OB BC OB OC OB =+=+- ，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知111236OE a b c =++ ，由于AC OC OA c a =-=-，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=- ，所以()111236OE AC a b c c a ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅ 221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.【答案】3【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，求出1AC ，1AC AB ⋅ ，再由向量夹角公式求1C AB ∠的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，∴111AC AD AB CC AD AB AA =++=++ ，设AB a = ，则1AD AA a ==，又1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，所以212AB AD a ⋅= ，2112AB AA a ⋅= ，2112AD AA a ⋅= ，所以以11AC AB AD AA =++===.()22221111222AC AB AD AB AA AB a a a a ⋅=++⋅=++= ，所以21111cos cos,AC ABC AB AC ABAC AB⋅∠===.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，2AB=，2AD=，12AA=，1160BAA DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，则1BC与1CA所成角的余弦值为（）A．6-BC．4-D．4【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设AB a=，AD b=，1AA c=，因为,,a b c向量不共面，故{},,a b c可构成空间的一组基底，结合2a=，2b=，2c=，1160DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，所以a b⋅=0，=a c⋅122=22⨯⨯，12=22=2b c⨯⨯⋅，则1BC b c=+，1CA a b c=--+，可得11BC CA⋅()()b c a b c=+⋅--+22a b a c b b c c b c=-⋅-⋅--⋅+⋅+0244=--+2=-，1BC===，1CA==2=，所以111111cos,BC CABC CABC CA⋅===又因为异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以1BC 与1CA.故选：B.变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A．4MG =B．2MG =C ．异面直线AC 与DB所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用,,AB AC AD 表示出MG，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设,,AB a AC b AD c ===，则||||1,||2a b c === ，且1,12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ，111()()222MG AG AM AD AB AC c a b =-=-+=-- ，所以||2MG = ，因为1()2AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，且||BD = ，所以cos ,AC BD = 36AC BD AC BD ⋅=，则sin ,AC BD == 所以异面直线AC 与DB所成角的正弦值为故选：BC变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．【答案】23-【分析】以,,AB AC AD为基底，()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ，即可求解.【详解】解：以,,AB AC AD为基底，它们两两之间均为60︒，设正四面体ABCD 棱长为2，则()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ,()1111122222⋅⎛⎫⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎭⋅⎝ AM CN AB AC AD AC AD AB AD AC AC AB AC AC ()1112422=+--=-所以()()222112324⎡⎤=+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦，AM AB AC AB AB AC AC 22211324⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭CN AD AC AD AD AC AC ，所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==-⋅ ,故答案为：23-变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠=== ，11190,60,47BAA DAA BD ∠∠=== .(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.【答案】(1)11BD AA AD AB =+-，15AA =【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用1,,AB AD AA 表示CE，计算1BD CE ⋅ ，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1）111BD AA A AD A D B B A =-=+- ，111122AA AD AA AA ⋅=⨯⨯=，110,4242AB AA AD AB ⋅=⋅=⨯⨯= ，222211147222BD AA AD AB AD AB AA AD AB ==+++⋅-⋅-⋅ ，即2114741628AA AA =+++-，解得15AA = ；（2）由（1）知111111,2BD AA AD AB CE CC C E AA AD=+-=+=-()2211111111112222BD CE AA AD AB AA AD AA AD AD AA AB AA AB AD⎛⎫⋅=+-⋅-=-+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭115525254222=-+⨯+⨯=1BD CE == 设异面直线1BD 与CE 所成角为θ，则111552cos cos ,BD CE BD CE BD CEθ⋅===⋅变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.【答案】5.【分析】（1）用空间的一个基底1{,,}AB AD AA表示向量1DB ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1{,,}AB AD AA为空间的一个基底，因为2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=，则11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+ ，所以1||DB ==（2）由（1）知，11DB AB AD AA =-+ ，则22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=，又1DB = ，所以向量1DB 与AB夹角的余弦值111cos ,5||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉==.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅=，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ===||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅=⋅，∴异面直线1BD 与AC所成角的余弦值为6.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，2216AB AD == ，2125AA = cos 44cos608AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AD AA AD AA DAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，对于选项A ，()()11AC BD AB BC CC AD AB⋅=++⋅-11AB AD AB AB BC AD BC AB CC AD CC AB =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅ 2211AB AD A D AA B A B A AD A A A D AB =⋅-+-⋅+⋅-⋅ 2211161610100A AA D AA AB A D AB =-++⋅-⋅=-++-=所以1AC BD ⊥，即1AC BD ⊥.故选项A 正确.对于选项B ，()()1111BC AC BC CC AC AA ⋅=+⋅-()()()()()11111AD AA AB AD AA AD AA AB AD AA AD AA =+⋅+-=+⋅++⋅-2211AD AB AA AB AD AA =⋅+⋅+- 81016259=++-=故选项B 正确.对于选项C ，()()222111B A AD ABAD A D A B=-=+-222111222AD AB AD AA AD AB AA A A A B=+++⋅-⋅-⋅ 16251620162041=+++--=所以1BD =1BD =故选项C 错误.对于选项D ，()1111111112222OB OB BB DB AA AB AD AA AB AD AA =+=+=-+=-+故选项D 错误.故选：AB变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2【答案】AB【分析】A 选项，利用空间向量运算法则得到11AC AB AD AA =++，平方后，由向量数量积公式求出2111AC = ，求出1AC A 正确；B 选项，求出DB AB AD =- ，()()110A AB AD AA A C DB AB D ⋅⋅=++-=，得到B 正确；C 选项，作出辅助线，得到四边形11ABCD 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，从而得到C 错误；D 选项，先得到AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，从而求出()()116A AB AD AD A C B B AA D ⋅⋅+=+-= ，1AC BD，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.【详解】由空间向量运算法则得到：11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅112212cos602cos 452cos 45AB AD AB AA AD AA =+++⋅︒+⋅︒+⋅︒122111222=+++++=，故1AC =A 正确；因为DB AB AD =-，所以()()11A A AB AD A AB ADC DB ++=⋅⋅- 2211AB AD AA AB AA AD-+⋅-⋅=112cos 45cos 4502AA AB AA AD -+⋅︒=-⋅︒=，故1AC DB ^，1AC DB ⊥，B 正确；连接11,A D BC，因为11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，故直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，()()11D A AB AD A AB A C BD A +⋅=-⋅+2211AB AD AB AB AA AD AD AB AD AA =⋅-+⋅+-⋅+⋅ 112cos 452cos 45112AB AA AD AA =-+⋅︒++⋅︒=+=，又()22222AC AB ADAB AB AD AD=+=+⋅+ 222cos60426AB AD =++⋅︒=+=，()2222211111222BD AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA =-+=++-⋅+⋅-⋅ 112212cos602cos 452cos 45AD AB AD AA AB AA =++-⋅︒+⋅︒-⋅︒523=-=，故1AC BD == ，设1BD 与AC 所成角为θ，所以111cos cos 3AC BD AC BD AC BD θ⋅=⋅==⋅故1BD 与AC所成角的余弦值为3，D 错误.故选：AB考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）AB ．2CD【答案】D【分析】记AB a =，AD b =，1AA c =，由1AC a b c =++ ，利用向量法即可求出1AC 的长.【详解】解：记AB a =，AD b =，1AA c = ，由题意可知1a b c === ，,,,60a b b c c a ︒〈〉=〉=〈〉=，所以11cos601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭，所以1AC =1AC故选：D.变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AB AD AA BD =-++，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以{}1,,AB AD AA 为基底向量，可得111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++，则2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=++-⋅-⋅+-⋅uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1222cos6021cos4521cos45=++-⨯-⨯⨯+⨯⨯15432=-⨯-，∴1BD =故选：C.变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.【答案】(1)111,222PC a b c BM a b c=+-=-++62【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）。

空间向量基本定理

向量组：① , , ，② , , ，③ , , ，④ , , + + ．其可以作为
空间一个基底的向量组有（）
D1
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A1
解：如图所示，令 = ， = 1， =
则 = 1， = 1， = ， + + =
下列说法正确的是（ D
）
A．、、共线
B．、共线
C．、共线
D．、、、四点共面
解析:选D，因为向量、、不能构成空间的一个基底，则向量、
、共面，所以、、、四点共面
2.设 = + , = + , = + 且 , , 是空间的一个基底，给出下列
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
−

,

D
1 = + + 1 = + + ,
1
2

A
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
1 ,由于，1，，1四点不共面，可知向量
, , 也不共面，同理 , , 和 , , + +
也不共面，而, , 共面，故选：.
A
B1
D
C1
C
B
3.如图，在长方体 − 1111中，是线段1上一点，且 = 21，

空间向量基本定理高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

【变式训练5】如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥ 平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，， .
【例6】如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，点E是上底面
A′B′C′D′的中心，取向量，，为基底的基向量，在
下列条件下，分别求x，y，z的值.
探索新知
O
A
B
D
C
新课探究
问题一
右图中的向量与它们的关系？
是不共面的三个向量，请问向量
问题二
如果向量 b、c表示向量
分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、
空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向
量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
使p＝xa+yb+zc．
C’
证明:存在性
(1)
；
【例6】如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，点E是上底面
A′B′C′D′的中心，取向量，，为基底的基向量，在
下列条件下，分别求x，y，z的值.
(2)
.
【变式训练6】如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，
N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，
C
M B
对应练习
1. 已知向量
是空间的一个基底．求证:向量
能构成空间的一个基底.
典例分析
D1 A1
M N C1 B1
D A
C B
D1 A1
M C1 N B1
D A
C B
对应练习
2.如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且

高二数学空间向量基本定理

例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡

高二数学人教A版讲义：空间向量基本定理

x
z
0, 2
y
z
0
，即
x
y
z
0 ，与
x,
y,
z
不全为
0
矛盾，因此，
a, 2b,b
c
不共面，
它们能构成一个基底；
对于
D，因
c
1
(a
c)
1
(a
c)
，则
c,
a
c,
a
c
三个向量共面，它们不能构成一个基底，
2
2
所以不能构成一个基底的一组向量是 ABD.
故选：ABD
3．（2021·全国·高二课时练习）已知 M，A，B，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量
c
不能构成基底；
选项
D：因为
3a
b
c
2
a
b
c
a
b
c
，所以
a
b
c
,a
b
c
,
3a
b
c
不能构成基底．
故选：A.
【题型专练】
1．（2022·湖南·高二课时练习）已知 a ， b ， c 是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（）
A． 2a ， a b ， a 2b
（）
A．
a
b,
b
c,
c
a
C．
a
b,
c,
a
b
c
B．
a
b,
b
c,
c
a
D．
a
b
c
,
a
b
c ,
3a
b
Hale Waihona Puke c【答案】A【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.

高二数学复习考点知识与题型专题讲解3---空间向量基本定理

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.2 空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k使得a＝x i＋y j＋z k. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|.(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点三求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知{},,a b c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（） A ．,,a b b c +B ．,,a a b c -C ．,,a c b c a b ---D ．,,a b a b c ++3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（） A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥O ABC -中，设,,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+ C ．111263a b c --D ．111263a b c ++5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+ C ．111322a b c +-D ．111322a b c -++ 题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++8．（2022·全国·高二）对空间任一点O 和不共线三点A ､B ､C ，能得到P ､A ､B ､C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．111236OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =++D ．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P ，Q ，R ，S 共面的是（）A ．AP AQ AR AS →→→→=++B ．23AP AQ AR AS →→→→=++ C ．23AP AQ AR AS →→→→=+-D ．243AP AQ AR AS →→→→=-+ 题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（）A ．－1B ．0C ．1D ．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（）．A ．1-B ．1C ．2-D ．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=-D ．1330λ=-题型五：空间向量基本定理的应用13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数λ使得AP BC λ=，且(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，则62x y +的最小值为（）A ．4+．8C ．6．6+14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（） A ．已知,,a b c 是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D 不共面 C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c 共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OC M OA =-+ C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OC A =-- 题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体'ABCD A B C D -'''.点E是上底面''''A B C D 的中心，取{,,}AB AD AA ' 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z的值.(1)BD x AD y AB z AA =+'+'; (2)AE x AD y AB z AA =+'+.【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知M ，A ，B ，C 为空间中四点，任意三点不共线，且2OM OA xOB yOC =-++，若M ，A ，B ，C 四点共面，则x y +的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++D ．1OG =111888OA OB OC ++ 20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC =++ C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（） A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（） A ．521632a b c +-B ．121632a b c ---C ．121632a b c ++D ．521632a b c --+24．（2022·全国·高二课时练习）设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（） A ．1B ．2C ．3D ．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，2AG GE =，则GF =（）A ．1121332AB AC AA -+B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知BA ，BC ，BB '为三条不共面的线段，若23AC x AB yBC zC C ''=++，则x y z ++的值为（）． A ．1B ．76C ．56D ．11627．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（）． A ．2B ．2-C ．1D ．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量a ，b ，c ，下列命题中正确的个数是（） ①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②若a ，b ，c 非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++；④若a ，b 不共线，向量(),,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 可以构成空间的一个基底. A ．0B ．1C ．2D ．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA zAC =++，则x y z ++=（）A ．1B ．12C ．32D ．3430．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（） ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若向量a b +，b c +，c a +是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底； ③{},,a b c 为空间一组基底，若()0,,xa yb zc x y z R ++=∈，则2220x y z ++=；④对于任意非零空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，若a b ∥，则312123aa ab b b ==．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线D ．A ，P ，M ，D 四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n =C ．12m =-，1n =-D ．32m =，1n =35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（）A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+，R μ∈且0)λμ≠，则{a ，b ，}c 构成空间的一个基底D ．若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知{},,a b c 是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=B ．对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．在a ，b ，c 中，能与a b +，a b -构成空间另一个基底的只有cD ．不存在另一个基底{},,a b c '''，使得2323a b c a b c '''++=++37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（）A ．空间任意向量,a b 都是共面向量B ．已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则1t =-C ．在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若向量,,a b b c c a +++是空间一组基底，则,,a b c 也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（）A ．111345OM OA OB OC =++B ．2MA MB MC =+C ．23OM OA OB OC =++D ．32MA MB MC =-三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知,a b 是平面α上的两个向量，有以下命题：①平面α上任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；②若存在,R λμ∈，使0a b λμ+=，则0λμ==；③若,a b 不共线，则空间任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；④若,a b 不共线，且p 与,a b 共面，则都有(),p a b R λμλμ=+∈.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，23ON OM =，设OA a =，,OB b OC c ==，则OP =________（用,,a b c 来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件；（2）若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；（3）0a b ⋅=，0b c ⋅=，则a c =；（4）若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底；（5）()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析---,,a cbc a b三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于()()2+--=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a a选项B：由于()()2++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a b选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +-三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C4．A【详解】连接,,OM ON 111()()()223MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =-=+-+=+--=11112112()()23263263OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +---=+-=+-. 故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+， ∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+．故选：B ．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出OM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+- 111322a b c =-++. 故选：D.7．D【解析】【分析】根据点P 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面；对于B 选项，111236OP OA OB OC =++，1111236++=，P 、A 、B 、C 四点共面；对于C 选项，1122OP OA OB OC =++，1112122++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23RP RQ RS →→→=+，即得解. 【详解】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23AP AR AQ AR AS AR →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23RP RQ RS →→→=+，所以RP →，,RQ RS →→为共面向量，故,,,P Q R S 四点共面. 故选：D . 10．D 【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +. 【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线，由于a ，b ，c 共面，所以存在,x y ，使c xa yb =+，即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-， ()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t-+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩，即26m t +=-.故选：D 11．B 【解析】【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-，由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+，即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-，所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B. 12．B 【解析】【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可. 【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 13．A 【解析】【分析】根据向量的共面定理，得到2x y +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，存在非零实数λ使得AP BC λ=，可得//AP BC ，即,,,P A B C 四点共面，因为(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，根据向量的共面定量，可得11x y -++=，即2x y +=，又由621621621()()(62)(84222y x x y x y x y x y +=⋅++=⋅+++≥+=+当且仅当62y x x y=时，即x =时，等号成立，所以62x y +的最小值为4+故选：A. 14．D 【解析】【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c 表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D 所在的直线是异面直线时，,C AB D 有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c 两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确，故选：D 15．B 【解析】【分析】证明出当1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则点M 、A 、B 、C 共面.然后逐项验证可得合适的选项. 【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面. 对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面. 故选：B. 16．(1)1AC ； (2)12α=，14，34γ=. 【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得. (1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体， ∴1111111AA BC AB AA BC A B AC ++=++= (2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++ 1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++， ∴12α=，14，34γ=. 17．(1)1,1,1x y z ==-= (2)11,,122x y z === 【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； (1)解：BD BA AA A D ''''=++，AD AB AA '=-+，又因为BD x AD y AB z AA =+'+'，所以1,1,1x y z ==-=; (2)AE AA A D D E =+''''+，12AA AD DB ='++，()12AA AD AB AD =++-'， 1122AD AB AA =+'+，又因为AE x AD y AB z AA =+'+，所以11,,122x y z ===. 18．D 【解析】【分析】根据四点共面结论：若,,,A B C D 四点共面，则OD aOA bOB cOC =++且1a b c ++=，【详解】若M ，A ，B ，C 四点共面，则21x y -++=，则3x y += 故选：D ． 19．B 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++ 故选：B 20．D 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭ 故选：D 21．D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面故选：D 22．A 【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A. 23．B 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解【详解】因为E 为1CD 中点，所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++ ()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+ 所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=--- 即121362a b c EF =--- 故选：B 24．C 【解析】【分析】以A 为顶点作AB a =，AD b =，1AA c =，作出平行六面体1111ABCD A B C D -，根据空间向量的加法法则作出，,,,x y z a b c ++，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =，则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C ．25．D 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+-()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++，故选：D ． 26．B 【解析】【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解. 【详解】根据向量的加法法则可得AC AB BC CC AB BC C C '''=++=+-，又23AC x AB yBC zC C ''=++，且,,AB BC C C '不共面，所以 1 2=1 3=-1x y z =⎧⎪⎨⎪⎩，解得111,,23x y z ===-，所以1171236x y z ++=+-=. 故选：B. 27．D 【解析】【分析】根据m 与n 共线，由()xa yb c z a b c ++=-+，即可求解. 【详解】因为m 与n 共线，空间的一组基底{},,a b c ，所以()xa yb c z a b c ++=-+，所以,,1,x z y z z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=-⎩，所以x ＋y ＝0. 故选：D. 28．B 【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断. 【详解】若 a 与b ，b 与c 共线，0b = ，则不能判定a c λ= ，故①错误；若非零向量,,a b c 共面，则向量c 可以在一个与,a b 组成的平面平行的平面上，故②错误；,,a b c 不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；c a b λμ=+，∴ c 与,a b 共面，故,,a b c 不能组成一个基底，故④错误；故选：C. 29．C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案. 【详解】连接,AM AN 如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN =+∴ 11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++. 根据题意知1AG xAB yAA zAC =++.32x y z ∴++=. 故选：C. 30．C 【解析】【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④. 【详解】①：向量a b ，与空间任意向量都不能构成一个基底，则a 与b 共线或a 与b 其中有一个为零向量，所以//a b ，故①正确；②：由向量a b b c c a +++，，是空间一组基底，则空间中任意一个向量d ，存在唯一的实数组()x y z ，，使得d ()()()()()()x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++，所以a b c ，，也是空间一组基底，故②正确；③：由{}a b c ，，为空间一组基底，若0()xa yb zc x y z R ++=∈，，，则0x y z ===，所以2220x y z ++=，故③正确；④：对于任意非零空间向量123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，若//a b ，则存在一个实数λ使得=a b λ，有112233a b a b a bλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，又123b b b ，，中可以有为0的，分式没有意义，故④错误. 故选：C 31．BD 【解析】【分析】根据空间向量运算判断AB 选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD 选项的正确性. 【详解】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点， ()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选：BD 32．ABD 【解析】【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得. 【详解】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∴若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∴a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确. 故选：ABD. 33．ABC 【解析】【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D. 【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确；对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面，即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC. 34．CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD 35．ABD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．【详解】解：对于选项A ：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A 正确，对于选项B ：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B 正确，对于选项C ：(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，∴a ，b，c 共面，不能构成基底，所以选项C 错误，对于选项D ：OA 、OB 、OC 共起点，若O 、A 、B 、C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D 正确，故选：ABD ．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得x y za b c，++=0{a，b，}c不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为{a，b，}c构成空间的一个基底，所以对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，)z，使得p xa yb zc=++，所以B对；对于C，因为2()()b a b a b=+--，=++-，2()()a ab a b所以a，b，不能与a b+，a b-构成空间另一个基底；又因为设x，y，z R∈若()()0++-+=x a b y a b zc⇒++-+=⇒===，x y a x y b zc x y z()()00所以c与a b+，a b-构成空间另一个基底；所以在a，b，c中，能与a b+，a b-构成空间另一个基底的只有c，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，++表示以O为顶点，以1a，2b，3c为相邻三边的长方体对角线，a b c23绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{a'，b'，}c'，都满足2323++='+'+'，所以D错误．a b c a b c故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，空间任意向量,a b 都是共面向量，所以A 正确；对于B ，已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则211t ++=，解得2t =-，所以B 错误；对于C ，在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()2PA BC PB BA PC PB PB PC PB BA PC BA PB ⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ()2PB PC PB BA PB PB PC PB BA =⋅--⋅=⋅--0PB AC =⋅=，所以C 正确；对于D ，因为向量,,,a b b c c a +++是空间一组基底，则对于空间任一向量()d x y z =，，，都存在实数m ，n ，p ，使得()()()()d x y z m a b n b c p c a ==+++++，，，即()()()d m p a m n b n p c =+++++，所以,,a b c 也是空间的一组基底，所以D 正确．故选：ACD ．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC 是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．1122a b c -++ 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA AC AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 故答案为：1122a b c -++.40．0【解析】【分析】由2=PM MC 可得出BM 关于{},BP BC 的表达式，再利用空间向量的减法可求得x 、y 、z 的值，即可得解.【详解】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若0a b ==，则对于平面内任意一个向量p ，无法得到(),p a b R λμλμ=+∈，①错误；对于②，若0a b ==，则,λμ为任意实数，②错误；对于③，若p 与,a b 不共面，则对于空间任意一个向量p ，无法得到p a b λμ=+(),R λμ∈，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.42．13-【解析】连接OD ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接OD∵四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC = ∴()2111232223DE OE OD OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+∴121223αβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴13αβγ++=-.故答案为：13-43．111444a b c ++【解析】【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.,,OA a OB b OC c ===，而M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，则1()2OM OB OC =+1122b c =+，因AP ＝3PN ，23ON OM =，则33()44OP OA AP OA AN OA ON OA =+=+=+-132111443444OA OM a b c =+⋅=++，所以111444OP a b c =++. 故答案为：111444a b c ++44．()12c a b -- 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MB BO ON AB OB OC OB OA OB OC =++=-+=--+()11112222OC OA OB c a b =--=--，所以MN 等于()12c a b --．故答案为：()12c a b --. 45．（1）（4）【解析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解】（1）若a b a b -=+，则a ，b 反向共线，即满足充分条件，但当非零向量a ，b 同向共线时，不存在a b a b -=+，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量a ，b 中有一个零向量，则存在无数个实数λ，使a b λ=，即（2）错误；（3）若0a b ⋅=，0b c ⋅=，说明a b ⊥，b c ⊥，不一定存在a c =，即（3）错误；（4）令()()a b b c c a λμ+=+++，则()a b a b c μλλμ+=+++，所以110λμλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即a b +，b c +，c a +不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，即（4）正确；（5）()()cos ,a b c a b c a b c a b ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．46．(1)111333OG OA OB OC =++(2)73【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-，根据空间向量数量积的运算律及定。

高二数学空间向量笔记

空间向量笔记一、向量的概念与表示1.向量：既有大小又有方向的量。

在数学中，我们用有向线段来表示向量。

2.向量的模：向量的大小或长度，记作|a|。

计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2+ z^2)。

3.向量的坐标表示：在直角坐标系中，向量a = (x, y, z)表示a的三个分量。

4.向量的数量积：两个向量的点乘，记作a ·b。

计算公式为：a ·b = |a| ×|b| × cosθ，其中θ是两向量的夹角。

二、向量的基本定理1.三个向量i, j, k满足i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1)，它们相互独立，可以表示空间中的任意向量。

2.任意向量a可以表示为i、j、k的线性组合，即：a = xi + yj + zk。

三、向量的运算1.向量的加法：平行四边形法则。

2.向量的数乘：标量与向量的乘法，满足分配律。

3.向量的减法：减法可以转换为加法，a - b = a + (-b)。

4.向量的向量积：定义了两个向量a和b的向量积为一个新向量c，记作c =a × b。

向量积满足反交换律，即a ×b = -b × a。

5.向量的混合积：三个向量的混合积定义为(a, b, c)，计算公式为：(a, b, c) =a · (b × c)。

混合积满足反交换律和分配律。

四、向量的应用1.向量在速度和加速度的研究中的应用：通过研究速度和加速度的向量性质，可以深入理解物体运动的过程。

2.向量在力的合成与分解中的应用：在物理学中，力可以视为向量，通过向量的合成与分解可以研究力的作用效果。

3.向量在解决实际问题的应用：例如，在物理、工程、航天等领域，可以使用向量来解决很多实际问题。

【高中数学】空间向量基本定理(教学课件)+高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

使得 p＝x i＋y j＋z k．我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p
在 i，j，k 上的分向量。
探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代
替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？
新知1.空间向量基本定理
定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，
思路 : 即证a b, b c, c a是否共面.
析 : 假设a b, b c, c a共面,
则存在x, y使a b x(b c) y(c a),
假设三个向量共面，建立x,y的方
程组，若有解，则不可构成基底；
若无解，则可构成基底.
整理得a b ya xb ( x y)c,
AG CE
2
2
2
cos AG, CE

5
5
5
| AG || CE |

2
2
2
CE与AG所成角的余弦值是 .
5
【基底法的应用4】证线线垂直(向量数量积为0)
同类题：P14-3
P15-6/7(1)
P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，
a
P10-8.(三垂线定理)若平面内的一条直线与这个平面的斜
4
43
4
4
2
4
1
11
1

OA OB OC
4
22
2

1
1
1
OA OB OC
4
4
4
以三角形法则或平行四边形法则为切入点，
建立目标向量与基底的关系.

1.2空间向量基本定理高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

=e1+e2-e3,试判断{, , }能否作为空间的一个基底.
解设=x+y ,则 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),
即 e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
-3 = 1,
∴ + = 2,此方程组无解.
用基底表示空间向量
【例 2】如图,在三棱柱 ABC-A'B'C'中,已知'=a, =b, =c,点 M,N 分别
是 BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量, .
解连接 A'N(图略).
= +
= +
1
'
2
1
(
2
−
= +
1
(
2
1
人教A版数学选择性必修
第一册
课程标准
1.掌握空间向量基本定理.
2.了解空间向量正交分解的含义.
3.会用空间向量基本定理解决有关问题
基础落实·必备知识全过关
知识点
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在
唯一的
有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc .
明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,
一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
变式训练2[北师大版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F

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