人教版数学选修1-2第一章1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

1．2独立性检验的基本思想及其初步应用1.了解分类变量的意义．2.了解2×2列联表的意义．3.了解随机变量K2的意义．4．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．1．分类变量和列联表(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表．2.等高条形图(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．(2)观察等高条形图发现aa＋b和cc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3．独立性检验(1)定义利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(2)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②利用公式计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)列联表中的数据是两个分类变量的频数．()(2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．()(3)K2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%答案：C3．若由一个2×2列联表中的数据计算K2的观测值k＝4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为两个变量有关系．答案：0.05探究点一等高条形图从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机作随机样本，根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任将数据整理如下：相应的等高条形图如图．试结合等高条形图分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关．[解]从题图中可以看出，阴影部分所占比例差距较大，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精”与“对事故负有责任”有关系．利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤1.某学校对高三学生做了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．解：作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例大，可以认为考前心情紧张与性格类别有关．探究点二独立性检验某校对学生的课外活动进行调查，结果整理成下表：试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为学生喜欢课外活动的类别与性别有关系．[解]由表中数据可知K2的观测值k＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝79×（21×29－23×6）2 44×35×27×52≈8.106.因为P(K2≥7.879)≈0.005，且8.106＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为学生喜欢课外活动的类别与性别有关系．解决独立性检验问题的基本步骤(1)根据已知的数据作出列联表． (2)求K 2的观测值．(3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小.2.福建师大开展阳光体育活动，为了研究锻炼时间与性别是否有关，对全校大学生的锻炼时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到如下列联表：(1)请把列联表中的数据补充完整；(2)根据表中数据分析，在犯错误的概率不超过多少的前提下可以认为“锻炼时间与性别有关”？解：(1)列联表如下：(2)根据2×2k ＝50×（5×10－20×15）220×30×25×25≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为“锻炼时间与性别有关”．1．两分类变量之间关联关系的定性分析 (1)频率分析通过对样本的每个分类变量的不同类别和事件发生的频率的大小比较来分析分类变量之间是否有关联关系，通常通过列联表列出两个分类变量进行分析．(2)图形分析利用等高条形图来分析两分类变量之间是否具有相关关系，形象、直观地反映两个分类变量之间的总体状态和差异大小，进而推断它们之间是否具有相关关系．2．独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法．要判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K 2应该很小．若由观测数据求得的K 2的观测值k 很大，则断言假设不成立．给定一个正数k 0，称为一个判断规则的临界值．如果k ≥k 0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．规范解答——频率分布直方图与独立性检验的综合应用(本题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，是否可认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.[解] (1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (3分)(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (6分)(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得k ＝300×（45×60－165×30）75×225×210×90＝10021≈4.762＞3.841.(10分)所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．(12分)[规范与警示] (1)按频率分布直方图的信息，统计出相关的数值． (2)利用独立性检验的基本思想作出分析判断．[A 基础达标]1．下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94，72 B ．52，50 C ．52，74 D ．74，52 解析：选C.根据列联表的特点，可知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋22＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝74. 2．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )A ．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B ．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C ．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D ．以上说法都不对解析：选C.在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A 错．在等高条形图中仅能够看出频率，无法看出频数，故B 错．3．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )A ．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B ．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C ．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D ．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有解析：选D.这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.4．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )A.a a ＋b 与d c ＋dB.c a ＋b 与a c ＋dC.a a ＋b 与c c ＋dD.a a ＋b 与c b ＋c解析：选C.由等高条形图的意义可知a a ＋b 与c c ＋d的值相差越大，|ad －bc |就越大，相关性就越强．5．对两个分类变量A 、B 的下列说法中正确的个数为( ) ①A 与B 无关，即A 与B 互不影响；②A 与B 关系越密切，则K 2的观测值就越大；③K 2的观测值大小是判定A 与B 是否相关的唯一依据． A ．1 B ．2C．3 D．0解析：选A.①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的观测值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.6．如果由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为两个变量之间有关系．解析：因为k＝4.013＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量有关系．答案：0.057.在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k＞6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③8．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到K2＝50×（13×20－10×7）2≈4.844＞3.841.所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种判23×27×20×30断出错的可能性约是________．解析：根据K2≈4.844＞3.841知，这种判断出错的可能性约是5%.答案：5%9．某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响．解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：因为ad－bc＝982×17－8×493＝12 750，|ad－bc|比较大，说明甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．相应的等高条形图如图所示．图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样品中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场时样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．10.某校高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生的成绩均在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生的数学成绩，将他们的成绩按[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90、100]分成七组，得到的频率分布直方图如图所示：(1)估计该年级本次数学考试成绩的平均分(同一组中的数据用该区间中点值作代表)； (2)请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．解：(1)估计该年级本次数学考试成绩的平均分为0.04×35＋0.12×45＋0.2×55＋0.28×65＋0.18×75＋0.12×85＋0.06×95＝65.4(分)．(2)应抽取男生60人，女生40人，可得2×2列联表：则K 2的观测值k ＝100×（12×34－6×48）18×82×40×60≈0.407＜3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．[B 能力提升]1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )解析：选B.根据独立性检验的基本思想知x 与y 关系最强的是B. 2.有两个分类变量X ，Y ，其一组的列联表如下所示，其中a ，15－a 均为大于50.05的前提下认为X ，Y 有关，则a 的值为( )A ．8B ．9C ．8，9D ．6，8解析：选C.根据公式，得K 2的观测值k ＝65×[a （30＋a ）－（15－a ）（20－a ）]220×45×15×50＝13×（13a －60）220×45×3×2＞3.841，根据a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，求得a ＝8，9满足题意．3．某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：则在焦虑、说谎、懒惰这三种心理障碍中与性别关系最大的是________．解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量K 21，K 22，K 23，其观测值分别为k 1，k 2，k 3，由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：可得k 1＝110×（5×60－25×20）30×80×25×85≈0.863＜2.706，同理，k 2＝110×（10×70－20×10）230×80×20×90≈6.366＞5.024，k 3＝110×（15×30－15×50）230×80×65×45≈1.410＜2.706.因此，说谎与性别关系最大．答案：说谎4．(选做题)某大学高等数学老师这学期分别用A ，B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的高等数学期末考试成绩(单位：分)，得到如下茎叶图：(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高；(2)现从甲班高等数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；(3)学校规定：成绩不低于85分为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关”．解：(1)80～100分之间，所以乙班的平均分高．(2)记成绩为86分的同学为A 、B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，F .“从甲班高等数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15个，“抽到至少有一个同学的成绩为86分”所组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )共9个，故P ＝915＝35.(3)根据给定的数据，填写相应的数据如下所示：则K 2的观测值k ＝40×（3×10－10×17）213×27×20×20≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．。