2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练25圆的基本概念与性质练习湘教版

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4.中考数学一轮复习教材梳理第六单元圆含答案精品

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元圆第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2，解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°，又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元圆第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。

中考数学-圆讲义及练习

第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）（第14题图）（第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．（第16题图）（第17题图）（第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为．（第19题图）（第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。

2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练27与圆有关的计算练习湘教版

课时训练(二十七)与圆有关的计算(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2017·天门]一个扇形的弧长是10π cm,面积是60π cm2,则此扇形的圆心角的度数是()A.300°B.150°C.120°D.75°2.120°的圆心角所对的弧长是6π,则此弧所在圆的半径是()A.3B.4C.9D.183.若圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为()A.2B.3C.4D.64.[2018·淄博]如图K27-1,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为()图K27-1A.2πB.C.D.5.[2018·凉山州]如图K27-2,AB与☉O相切于点C,OA=OB,☉O的直径为6 cm,AB=6 cm,则阴影部分的面积为 ()图K27-2A.(9-π)cm2B.(9-2π)cm2C.(9-3π)cm2D.(9-4π)cm26.[2017·温州]已知扇形的面积为3π,圆心角为120°,则它的半径为.7.[2018·永州]如图K27-3,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置,则弧AB的长为.图K27-38.[2018·白银]如图K27-4,分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a,则勒洛三角形的周长为.图K27-49.关注数学文化[2017·岳阳]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形的边数无限增加时,周长就越接近圆的周长,由此求得了圆周率π的近似值.设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为d.如图K27-5所示,当n=6时,π≈==3,那么当n=12时,π≈=.(结果精确到0.01,参考数据:sin15°=cos75°≈0.259)图K27-510.[2018·衡阳]如图K27-6,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC,分别交AC,AB的延长线于点E,F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4,CE=2,求的长.(结果保留π)图K27-611.[2018·达州]已知,如图K27-7,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由,DF,EF围成的阴影部分的面积.图K27-7|拓展提升|12.[2018·吉林]如图K27-8是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:第一步,点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步,点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步,点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;(2)所画图形是对称图形;(3)求所画图形的周长(结果保留π).图K27-813.[2018·贵阳]如图K27-9,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P 点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.图K27-9参考答案1.B[解析] 根据S扇形=lr,求得半径r=12,由弧长公式l=,得10π=,解得n=150.2.C[解析] 设圆的半径为r,根据弧长公式,得6π=,解得r=9. 3.B[解析] 如图,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,则AD经过圆心O,∠ODB=90°,OD=1.∵△ABC是等边三角形,∴BD=CD,∠OBD=∠ABC=30°,∴OA=OB=2OD=2,∴AD=3,BD=,∴BC=2,∴△ABC的面积S=BC·AD=×2×3=3.4.D5.C6.3[解析] 设扇形的半径为r,由扇形的面积公式得=3π,得r=3.7.π[解析] 由点A(1,1),可得OA==,点A在第一象限的角平分线上,则∠AOB=45°,再根据弧长公式得,弧AB的长为π=π.8.πa [解析] 每段圆弧的半径等于a,圆心角都等于60°,由弧长公式可求出一段圆弧的长,然后再乘3即可.9.3.11[解析] 如图所示,∠AOB=30°,∠AOC=15°.在直角三角形AOC中,sin15°===0.259,所以AC=0.259r,AB=2AC=0.518r,L=12AB=6.216r,所以π≈==3.108≈3.11.10.解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠EAB,∴∠OAD=∠DAE,∴∠DAE=∠ODA,∴OD∥AE.∵DE⊥AE,∴OD⊥EF,∴EF是☉O的切线.(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC∥EF.又∵OD∥AE,∴四边形CEDG是平行四边形.∵DE⊥AE,∴∠E=90°,∴四边形CEDG是矩形,∴DG=CE=2.∵OD⊥EF,BC∥EF,∴OG⊥BC,∴CG=BG.∵OA=OB,∴OG=AC=2,∴OB=OD=4,∴∠BOD=60°,∴的长=π×4=π.11.解:(1)证明:如图,连接OD,CD.∵BC是直径,∴∠BDC=90°.∵△ABC是等边三角形,∴点D是AB的中点.∵点O是BC的中点,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.(2)如图,连接OD,OE,DE.∵同(1)可知点E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴△ADE是等边三角形.∵等边三角形ABC的边长为8,∴等边三角形ADE的边长为4.∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=2.∴△DEF的面积=·EF·DF=×2×2=2.△ADE的面积=△ODE的面积=4.扇形ODE的面积==.∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=2+4-π=6-.12.解:(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.(2)观察图形可知所画图形是轴对称图形.(3)周长=×2π×4+×2π×4×2=8π.13.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠EOP,∠MPO=∠EPO.∵PE⊥OC,∴∠PEO=90°,∠EOP+∠EPO=90°,∴∠MOP+∠MPO=(∠EOP+∠EPO)=×90°=45°,∴∠OMP=180°-45°=135°.(2)如图所示,连接CM.∵OM=OM,∠COM=∠POM,CO=PO,∴△COM≌△POM.∴∠CMO=∠PMO=135°.∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段圆弧上.设劣弧CMO所在圆的圆心为O1,∵∠CMO=135°,∴弦CO所对的劣弧的圆周角为45°,∴∠CO1O=90°,在Rt△CO1O中,CO1=sin45°×OC=×2=.当点P在半圆上从点B运动到点C时,内心M所经过的路径为☉O1的劣弧OC.∴劣弧OC的长==π.同理,当点P在半圆上从点C运动到点A时,内心M所经过的路径为☉O2对应的劣弧OC.与☉O1的劣弧OC的长度相等.因此,当点P在半圆上从点B运动到点A时,内心M所经过的路径长为π+π=π.。

湖南省201x年中考数学总复习第六单元圆课时训练25圆的基本概念及性质练习

圆的基本概念及性质25圆的基本概念及性质限时:30分钟夯实基础1.把一张圆形纸片按如图K25-1所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则的度数是 ()图K25-1A.120°B.135°C.150°D.165°2.如图K25-2,经过原点O的☉P与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB等于()图K25-2A.80°B.90°C.100°D.无法确定3.如图K25-3,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点D,E.若∠DCE=40°,则∠P的度数为()图K25-3A.140°B.70°C.60°D.40°4.如图K25-4,在☉O中,直径AB⊥弦CD,垂足为M,则下列结论一定正确的是()图K25-4A.AC=CDB.OM=BMC.∠A=∠ACDD.∠A=∠BOD5.[xx·自贡]如图K25-5,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为()图K25-5A.RB.RC.RD.R6.[xx·锦州]如图K25-6,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AD与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F.若∠DCE=80°,∠F=25°,则∠E的度数为()图K25-6A.55°B.50°C.45°D.40°7.线段AB=10 cm,在以AB为直径的圆上,到点A的距离为5 cm的点有个.8.[xx·黑龙江]如图K25-7,AC为☉O的直径,点B在圆上,OD⊥AC,交☉O于点D,连接BD.若∠BDO=15°,则∠ACB= .图K25-79.如图K25-8,P是等边三角形ABC外接圆的弧BC上的一点,BP=6,PC=2,则AP的长为.图K25-810.如图K25-9,量角器的0度刻度线在AB所在的直线上.将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为cm.图K25-911.如图K25-10,CD为☉O的直径,弦AB交CD于点E,连接AC,BD,OB.(1)求证:△AEC∽△DEB;(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求☉O的半径.图K25-1012.如图K25-11,已知AB是☉O的直径,点C在半径OA上(点C与点O,A不重合),过点C作AB的垂线,交☉O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线,交☉O于点E,交CD的延长线于点F.(1)若点E是的中点,求∠F的度数;(2)求证:BE=2OC.图K25-11能力提升13.[xx·遵义]如图K25-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC 于点E.若DE=3,则AD的长为()图K25-12A.5B.4C.3D.214.如图K25-13,在5×4的正方形网格中,弧AB经过格点C,D是上的一点,则∠ADB= .图K25-1315.[xx·石家庄二模]如图K25-14,BC=6,点A为平面上一动点,且∠BAC=60°,点O为△ABC的外心,分别以AB,AC为腰向外作等腰直角三角形△ABD与△ACE,连接BE,CD交于点P,则OP的最小值是.图K25-14拓展练习16.已知:如图K25-15,O1为x轴上一点,以O1为圆心作☉O1交x轴于C,D两点,交y轴于M,N两点,∠CMD的补角的平分线交☉Ο1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图①,求☉Ο1的半径及点E的坐标.(2)如图②,过点E作EF⊥BC于点F,若A,B为上两动点(AB∥CD)时,试问:BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.图K25-15参考答案1.C2.B3.B4.D5.D6.C7.28.60°[解析] 如图,连接DC.∵AC为☉O的直径,OD⊥AC,∴∠DOC=90°,∠ABC=90°.∵OD=OC,∴∠ODC=45°.∵∠BDO=15°,∴∠BDC=30°.∴∠A=30°,∴∠ACB=60°.9.8[解析] 如图,在AP上取一点D,使PD=PC.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AC=BC,∵∠APC=∠ABC=60°,∴△PDC是等边三角形.∴∠PCD=60°,PC=DC=PD=2.∴∠ACD+∠DCB=∠BCP+∠DCB.∴∠ACD=∠BCP.∴△ADC≌△BPC.∴AD=PB=6.∴AP=AD+PD=6+2=8.10.[解析] 如图,根据题意,得AD=10,∠AOD=120°.∵OA=OD,∴∠DAO=30°.设OE=x,则OA=2x.∵OE⊥AD,∴AE=DE=5.在Rt△AOE中,x2+52=(2x)2,解得x=(负值舍去).∴CE=OE=.11.解:(1)证明:∵∠A=∠D,∠C=∠ABD,∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB,O为圆心,∴BE=AB=4.设☉O的半径为r.∵DE=2,∴OE=r-2.在Rt△OEB中,由勾股定理,得OE2+EB2=OB2,即(r-2)2+42=r2,解得r=5,即☉O的半径为5.12.解:(1)如图,连接OE.∵点E是的中点,∴=.∴∠BOE=∠EOD.∵OD∥BF,∴∠DOE=∠BEO.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°.∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°.∴∠F=30°.(2)证明:如图,过点O作OM⊥BE于点M.∴∠OMB=∠DCO=90°,BE=2BM.∵OD∥BF,∴∠COD=∠B.∵OB=OD,∴△OBM≌△DOC.∴BM=OC.∴BE=2OC.13.D[解析] 如图,连接BE.因为∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠ACB,所以∠DBE=∠ACB.因为BD是圆的直径,所以∠BED=90°,∠DAB=90°.因为AD∥BC,所以∠ABC=180°-∠DAB=90°.所以∠BED=∠ABC.所以△BED∽△CBA.所以=,即=.所以得到BE=6.在Rt△BED中,可得BD=3.在Rt△ADB中,可得AD=2.故选D.14.135°[解析] 如图,连接BC并延长到图中的格点E,连接AE,AC,易证△ACE是等腰直角三角形,得到∠ACB=135°,所以∠ADB=135°.15.3-[解析] ∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形,∴∠BAD=∠CAE=90°.∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,∴△DAC≌△BAE.∴∠ADC=∠ABE.∴∠PDB+∠PBD=90°.∴∠DPB=∠BPC=90°.∴点P在以BC为直径的圆上.∵△ABC的外心为O,∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,如图.当PO⊥BC时,OP的值最小,∵BC=6,∴BH=CH=3.∴OH=,PH=3.∴OP=3-.16.解:(1)如图①,∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴D(-1,0),M(0,3).∵△DMO∽△DCM,∴=,即DM2=DO·DC,又DM==,DO=1,∴CD=10,半径为CD=5.连接EO1,易知∠EO1C=2∠EMC=90°,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.证明:如图②,连接EC,EO1,过点E作EG⊥AC于点G,连接MA,EA,EB.又∵∠EO1C=90°,AB∥CD,∴优弧BEC=优弧AED.∴∠ECG=∠EAB=∠ECF.又∵EC=EC,∠EGC=∠EFC,∴△ECF≌△ECG.∴CF=CG,EG=EF.又∵∠EAC=∠EBC,∴△EAG≌△EBF.∴BF=AG.∴BF+CF=AG+CG=AC.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

江苏省徐州市中考数学总复习第六单元圆课时训练27圆的基本概念和性质练习(最新整理)

课时训练（二十七)圆的基本概念和性质（限时:30分钟）|夯实基础|1。

到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（)A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C。

三条中线的交点D。

三条边的垂直平分线的交点2。

如图K27-1,在半径为5 cm的☉O中，弦AB=6 cm，OC⊥AB于点C,则OC= (）图K27-1A。

3 cm B.4 cm C.5 cm D。

6 cm3.如图K27-2，AB为☉O的直径，点C在☉O上，若∠ACO=50°,则∠B的度数为（)图K27—2A.60° B。

50° C.40° D。

30°4.[2017·苏州］如图K27-3，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB 于点D,E是☉O上一点,且=，连接OE，过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）图K27-3A。

92° B.108° C.112°D.124°5.如图K27-4所示，点P在以AB为直径的半圆O内，连接AP，BP,并延长分别交半圆于点C,D，连接AD，BC，并延长交于点F,作直线PF,与AB交于点E，下列说法一定正确的是（）图K27-4①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB;④BD⊥AF。

A。

①③ B.①④C。

②④D。

③④6.[2018·无锡]如图K27—5，点A,B，C都在☉O上，OC⊥OB，点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC= 。

图K27-57.［2018·南通]如图K27—6,AB是☉O的直径,点C是☉O上的一点，若BC=3,AB=5,OD⊥BC 于点D，则OD的长为.图K27-68。

[2018·嘉兴］如图K27—7，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D，量得AD=10 cm，点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为cm.图K27-79.［2016·扬州]如图K27—8，☉O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC,则AC的长为.图K27-810.[2017·盐城]如图K27—9，将☉O沿弦AB折叠,点C在上,点D在上,若∠ACB=70°,则∠ADB= °.图K27-911.［2017·南京］如图K27—10,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A，C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°，则∠EAC= 。

2019年中考数学总复习第六单元圆第25课时圆的基本概念与性质课件湘教版201901151157

课堂考点探究
3.[2018· 镇江] 如图 25-11,AD 为△ ABC 的外接圆☉O 的直径, 若∠BAD=50° ,则∠ACB= ° .
[答案] 40 [解析] 连接 BD,如图, ∵AD 为△ ABC 外接圆☉O 的直径, ∴∠ABD=90° , ∴∠D=90° -∠BAD=90° -50° =40° , ∴∠ACB=∠D=40° .
6.下列语句中,正确的个数是 ( A )
①相等的圆心角所对的弦相等; ②三点确定一个圆; ③平分弦的直径垂直于弦; ④圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴. A.1个 C.3个 B.2个 D.4个
课前双基巩固
7.圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为 ( D ) A.30° C.30° 或 150° B.60° D.60° 或 120°
BD= ,故 OB=
2
��
��
sin 60 ° 2
= ÷ = a.
2 3
��
3
3
5.2 m
图25-3
课前双基巩固
题组二易错题
【失分点】求圆周角易漏解;求圆中两平行弦之间的距离有两种情况,如果缺乏分类讨论容易漏解;确定圆的条件中,一定要注意是不在同一条直线上的三点确定一个圆.
在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆心角的度数等于它所对弧的度数
拓展
课前双基巩固
考点五圆周角
圆周角定义圆周角定理推论顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫作圆周角圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角直径所对的圆周角是
课前双基巩固

中考数学复习圆的基本性质练习题含答案解析

2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练25圆的基本概念与性质练习湘教版201901151154

课时训练(二十五)圆的基本概念与性质(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2018·衢州] 如图K25-1,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是()图K25-1A.75°B.70°C.65°D.35°2.[2018·济宁] 如图K25-2,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是()图K25-2A.50°B.60°C.80°D.100°3.[2017·株洲] 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形4.[2017·泸州] 如图K25-3,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()图K25-3A.7B.2 7C.6D.85.[2017·宜昌] 如图K25-4,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是()图K25-4A.AB=ADB.BC=CDC.ABD.∠BCA=∠ACD6.[2018·白银] 如图K25-5,☉A过点O(0,0),C( 3,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是()图K25-5A.15°B.30°C.45°D.60°7.[2018·枣庄] 如图K25-6,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°.则CD的长为()图K25-6A. 15B.2 5C.2 15D.88.如图K25-7,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()图K25-7A.2 2<r≤17B. 17<r≤3 2C. 17<r≤5D.5<r≤299.[2018·东莞] 同圆中,已知AB 所对的圆周角是°.10.[2018·龙东] 如图K25-8,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.图K25-811.[2018·毕节] 如图K25-9,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE 的度数为.图K25-912.如图K25-10所示,工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm测, 得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.图K25-1013.[2018·临沂]如图K25-11,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 c m.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是cm.图K25-1114.[2018·张家界] 如图K25-12,P是☉O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为AB(1)当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值;(2)求证:△PAN∽△PMB.图K25-1215.[2017·安徽] 如图K25-13,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.图K25-13|拓展提升|16.如图K25-14,AB是☉O的直径,弦BC=4 cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以1 cm/s 的速度从点A出发在AB上沿着A→B→A运动,设运动时间为t s(0≤t<16),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t的值为.(填一个正确的即可)图K25-1417.在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图K25-15①,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图②,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.图K25-15参考答案1.B2.D3.A[解析]正三角形的边所对的圆心角是120°;正方形的边所对的圆心角是90°;正五边形的边所对的圆心角是72°;正六边形的边所对的圆心角是60°.故选A.4.B[解析] 连接OC,则OC=4,OE=3,在Rt△OCE中,CE= OC2 - OE2= 42 - 32= 7.因为AB⊥CD,所以CD=2CE=2 7.5.B[解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系,由相等的圆周角所对的弧、弦相等,可知选项B正确.6.B[解析]连接DC.由∠DOC=90°,知DC为直径.由题意知DO=1,OC= 3,所以直径DC=2,由此得∠DCO=30°,所以∠OBD=∠OCD=30°.7.C[解析] 作OH⊥PD于H,连接OD,AP=2,BP=6,则AO=BO=4,则PO=2,又∠HPO=∠APC=30°,∴OH=1,OD=OB=4,在Rt△HOD中,HD= OD2 - OH2= 15,∴CD=2HD=2 15.8.B[解析] 根据图形中网格与勾股定理可知,AD=2 2,AE=AF= 17,AB=3 2,∴AB>AE>AD.以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则必须满足17<r≤32.9.5010.5111.30°[解析]∵AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,∴∠A=∠BOD= ×180°=60°,又∵3CE⊥AB,∴∠ACE=90°-60°=30°.12.8[解析] 设钢珠的圆心为O,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.在Rt△AOD中, 利用勾股定理得AD= OA2 - OD2= 52 - 32=4(mm),所以AB=2AD=2×4=8(mm).10 313. [解析] 能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC的外接圆☉O,连接3OB,OC,则∠BOC=1 1 52∠BAC=120°,过点O作OD⊥BC于点D,∴∠BOD=∠BOC=60°,由垂径定理得BD=BC=cm,∴2 2 25BD 5 32OB===,sin60° 3 3210 3∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是.314.解:(1)当点M在AB1 1此时OM=AB=×4=2,2 21 1∴S△ABM=AB·OM=×4×2=4,即△MAB面积的最大值为4.2 2(2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.15.证明:(1)根据圆周角定理知∠E=∠B,又∵∠B=∠D,∴∠E=∠D.又∵AD∥CE,∴∠D+∠DCE=180°,∴∠E+∠DCE=180°,∴AE∥DC,∴四边形AECD为平行四边形.∴AD=EC,∵AD=BC,∴EC=BC.又∵OC=OC,OB=OE,∴△OCE≌△OCB(SSS), ∴∠ECO=∠BCO,即CO平分∠BCE.16.4(答案不唯一)[解析] ∵AB是☉O的直径, ∴∠C=90°.∵∠ABC=60°,BC=4 cm,∴AB=2BC=8 cm.∵F是弦BC的中点,∴当EF∥AC时,△BEF是直角三角形,此时E为AB的中点,即AE=AO=4 cm,∴t=4÷1=4(s),4 + 8或t==12(s).11当FE⊥AB时,∵FB=BC=2(cm),21∠B=60°,∴BE=FB=1(cm),2∴AE=AB-BE=8-1=7(cm),7∴t==7(s),117.解:(1)如图①,连接OQ,∵PQ∥AB,PQ⊥OP,OP 33 32 - ( 3)2 6∴OP⊥AB.∵tan30°=,∴OP=3×=,由勾股定理得PQ==.OB 3(2)如图②,连接OQ,由勾股定理得PQ=OQ2 - OP2=9 - OP2,要使PQ取最大值,需OP取最小值,此时OP⊥BC,1 3 9 3∵∠ABC=30°,∴OP=OB=2,此时PQ最大值=9 - =.32 4 211。

中考数学专项训练：圆的基本性质(含解析)

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ODEBA所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC =．9．（2019·陕西）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°【分析】连接FB ，得到∠FOB ＝140°，求出∠EFB ，∠OFB 即可．【解答】解：连接FB ．∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB ＝∠FOB ＝70° ∵EF ＝EB∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∴∠EFO ＝∠EBO ，∠EFO ＝∠EFB ﹣∠OFB ＝35°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC= BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为（）A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵OA，∴AE=，∴2sin2OEAOEOA OA∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）ODEBA如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.16．（2019·娄底）如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD ，∵由AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，又∵在⊙O 中有∠ACD ＝30°, ∴∠B ＝∠ACD ＝30°，∴112122AD AB ==⨯=． 17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD ⊥BC 于D ，∵OB ＝6，∠OBD ＝30，∴BD ＝12BC ＝33，∴BC ＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .DCBOA【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

湖南省2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练25圆的基本概念及性质练习

精品-2019年中考数学总复习第六单元圆单元测试湘教版

单元测试(六)范围:圆限时:60分钟满分:100分一、选择题(每小题5分,共30分)1.如果在两个圆中有两条相等的弦,那么 ()A.这两条弦所对的圆心角相等B.这两条弦所对的弧相等C.这两条弦都被与它垂直的半径平分D.这两条弦所对的弦心距相等2.如图D6-1,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=()图D6-1A.55°B.110°C.120°D.125°3.如图D6-2,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为 ()图D6-2A.3B.3C.6D.94.如图D6-3是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8 cm,水的最大深度为2 cm,则该输水管的半径为()图D6-3A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5.如图D6-4,AB是☉O的切线,B为切点,AC经过点O,与☉O分别相交于点D,C.若∠ACB=30°,AB=,则阴影部分的面积是()图D6-4A.B.C.-D.-6.如图D6-5,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,且BC=CD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.若AB=4ED,则cos∠ABC的值是()图D6-5A.B.C.D.二、填空题(每小题5分,共30分)7.一个扇形的圆心角是120°,它的半径是3 cm,则扇形的弧长为 cm.8.如图D6-6,点A,B,C在☉O上,∠A=40°,∠C=20°,则∠B=°.图D6-69.如图D6-7,一个宽为2 cm的刻度尺(刻度单位:cm),放在圆形玻璃杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿半径为cm.图D6-710.如图D6-8①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分.图②中,图形的相关数据:半径OA=2 cm,∠AOB=120°,则图②的周长为 cm.(结果保留π)图D6-811.如图D6-9,已知AM是圆O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交圆于点D,E,若∠BMD=40°,则∠EOM=度.图D6-912.如图D6-10,☉O的半径是2,直线l与☉O相交于A,B两点,M,N是☉O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠M=45°,则四边形MANB面积的最大值是.图D6-10三、解答题(共40分)13.(12分)如图D6-11,已知BC是☉O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD.(1)求证:△ACD∽△BAD;(2)求证:AD是☉O的切线.图D6-1114.(14分)如图D6-12,AB是☉O的直径,BC为☉O的切线,D为☉O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证:CD为☉O的切线;(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π).图D6-1215.(14分)如图D6-13,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.图D6-13参考答案1.C2.D3.A4.C[解析] 如图,过点O作OD⊥AB于点D,连接OA.∵OD⊥AB,∴AD=AB=×8=4(cm).设OA=r cm,则OD=(r-2)cm.在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5 .5.C[解析] 连接OB.∵AB切☉O于点B,∴OB⊥AB.又OC=OB,∠C=30°,∴∠C=∠OBC=30°,∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.在Rt△ABO中,∠ABO=90°,AB=,∠A=30°,∴OB=1,∴S阴影=S△ABO-S扇形OBD=×1×-=-.6.A[解析] 连接OC,AC.∵CE⊥AD,∴∠EAC+∠ECA=90°.∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC.又∵BC=CD,∴∠OAC=∠EAC,∴∠OCA=∠EAC,∴∠ECA+∠OCA=90°,∴EF是☉O的切线,∴∠ECD=∠EAC,∴∠ECD=∠BAC.又∵AB是直径,∴∠BCA=90°,∴△CDE∽△ABC,∴=.又∵AB=4DE,CD=BC,∴=,∴BC=AB,∴cos∠ABC==.7.2π8.60[解析] 连接OA,根据“同圆的半径相等”可得OA=OC=OB,所以∠C=∠OAC,∠OAB=∠B,故∠B=∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠C+∠BAC=20°+40°=60°.9.[解析] ∵刻度尺与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,∴AC=9-3=6(cm).如图,过点O作OB⊥AC于点B,则AB=AC=×6=3(cm).设杯口外沿的半径为r cm,则OB=(r-2)cm,OA=r cm.在Rt△AOB中,OA2=OB2+AB2,即r2=(r-2)2+32,解得r=.10.[解析] ∵半径OA=2 cm,∠AOB=120°,∴的长==,的长+的长=,∴题图②周长为+=.11.80[解析] 由于AB=AC,∠BAM=∠CAM,所以AM是等腰△ABC的顶角平分线,所以AM⊥BC.因为AM是圆O的直径,所以BC是圆O的切线,所以∠BMD=∠BAM=40°,所以∠CAM=40°,所以∠EOM=2∠CAM=80°,故答案为80.12.4 [解析] 如图,过点O作OC⊥AB于点C,交☉O于D,E两点,连接OA,OB,DA,DB,EA,EB.∵∠M=45°,∴∠AOB=2∠M=90°,∴△OAB为等腰直角三角形,∴AB=OA=2 .∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,∴当点M到AB的距离最大时,△MAB的面积最大;当点N到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即点M运动到点D,点N 运动到点E.此时四边形MANB面积的最大值为S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB·CD+AB·CE=AB·(CD+CE)=AB·DE=×2 ×4=4 ,故答案为4 .13.证明:(1)∵AB=AD,∴∠B=∠D.∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B,又∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.(2)连接OA,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠CAD,∴∠BAC=∠OAD.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∴AD是☉O的切线.14.解:(1)证明:连接OD.∵BC是☉O的切线,∴∠ABC=90°.∵CD=CB,∴∠CBD=∠CDB.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD,∴∠ODC=∠ABC=90°,∴CD为☉O的切线.(2)在Rt△OBF中,∵∠ABD=30°,OF=1,∴∠BOF=60°,OB=2,BF=.∵OF⊥BD,∴BD=2BF=2,∠BOD=2∠BOF=120°,∴S阴影=S扇形OBD-S△BOD=-×2×1=π-.15.解:(1)证明:连接OC,∵CN为☉O的切线,∴OC⊥CM.∴∠OCA+∠MCD=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠MCD=∠ODA.又∵∠ODA=∠MDC,∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴=,即=,得OD=.设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得x+2=x2+52,解得x=,即MC=.。

2021年湖南省长沙市中考数学一轮复习课时训练(25) 圆的有关概念及性质

课时训练(二十五)圆的有关概念及性质夯实基础1.有下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;③在同圆中,相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.[2020·黔东南州]如图K25-1,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AB的长为()图K25-1A.8B.12C.16D.23.[2020·镇江]如图K25-2,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于 ()图K25-2A.10°B.14°C.16°D.26°⏜=AD⏜,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB 4.[2020·青岛]如图K25-3,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB的度数为()图K25-3A.99°B.108°C.110°D.117°5.[2020·常州]如图K25-4,AB是☉O的弦,C是优弧AB上的动点(C不与点A,B重合),CH⊥AB,垂足为H,M是BC 的中点.若☉O的半径是3,则MH的最大值是()图K25-4A.3B.4C.5D.66.[2019·威海]如图K25-5,☉P与x轴交于点A(-5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°,则点C的纵坐标为()图K25-5A.√13+√3B.2√2+√3C.4√2D.2√2+27.[2020·河北]有一题目:“已知点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图K25-6.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑得不周全,∠A还应有另一个不同的值.”关于上述题目,下列判断正确的是()图K25-6A .淇淇说的对,且∠A 的另一个值是115°B .淇淇说的不对,∠A 就是65°C .嘉嘉求的结果不对,∠A 应是50°D .两人都不对,∠A 应有3个不同值8.[2020·绥化]如图K25-7,正五边形ABCDE 内接于☉O ,点P 为DE ⏜上一点(点P 与点D ,E 不重合),连接PC ,PD ,过点D 作DG ⊥PC ,垂足为G ,则∠PDG 的度数为度.图K25-79.[2019·安徽]如图K25-8,△ABC 内接于☉O ,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD ⊥AB 于点D.若☉O 的半径为2,则CD 的长为 .图K25-810.[2020·岳阳]如图K25-9,AB 为半圆O 的直径,M ,C 是半圆上的三等分点,AB=8,BD 与半圆O 相切于点B ,点P 为AM⏜上一动点(不与点A ,M 重合),直线PC 交BD 于点D ,BE ⊥OC 于点E ,延长BE 交PC 于点F ,连接PB ,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)①PB=PD ;②BC ⏜的长为43π;③∠DBE=45°;④△BCF ∽△PFB ;⑤CF ·CP 为定值.图K25-911.[2020·衢州]如图K25-10,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA;(2)求OE的长.图K25-10⏜上一点,12.[2020·温州]如图K25-11,C,D为☉O上两点,且在直径AB两侧,连接CD交AB于点E,G是AC∠ADC=∠G.(1)求证:∠1=∠2;(2)已知点C关于DG的对称点为F,连接CF.当点F落在直径AB上时,CF=10,tan∠1=2,求☉O的半径.5图K25-1113.[2020·咸宁改编]定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.(1)若四边形ABCD是对余四边形,则∠A与∠C的度数之和为;(2)如图K25-12,MN是☉O的直径,点A,B,C在☉O上,AM,CN相交于点D.求证:四边形ABCD是对余四边形.图K25-12拓展提升14.[2020·杭州]如图K25-13,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,C重合),BD与OA相交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()图K25-13A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°15.[2020·遵义]如图K25-14,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,延长AD交☉O于点E.若BD=4,CD=1,则DE的长是.图K25-14【参考答案】1.C2.C3.C [解析]连接BC ,则∠B+∠D=180°.∵∠ADC=106°,∴∠B=74°.∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CAB=16°.故选C .4.B [解析]∵BD 是☉O 的直径,∴∠BAD=90°.∵AB ⏜=AD ⏜,∴∠ADB=∠ABD=45°.∵∠COD=126°,∴∠CAD=12∠COD=12×126°=63°.∴∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°.故选B .5.A [解析]因为∠BHC=90°,M 为BC 的中点,所以MH=12BC ,而BC 的最大值是直径,所以MH 的最大值等于3.故选A .6.B [解析]如图,连接P A ,PB ,PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ,PE ⊥OC ,垂足分别为F ,E.由题意可知,四边形PFOE 为矩形,∴PE=OF ,PF=OE. ∵∠ACB=60°,∴∠APB=120°. ∵P A=PB ,∴∠P AB=∠PBA=30°. ∵PF ⊥AB ,∴AF=BF=3. ∴PE=OF=2.∵tan30°=PFAF ,cos30°=AFAP , ∴PF=√3,AP=2√3. ∴OE=√3,PC=2√3.在Rt △PEC 中,CE=√PC 2-PE 2=2√2, ∴OC=CE+OE=2√2+√3.故选B .7.A [解析]如图①,当∠A 是锐角时,△ABC 的外心O 在其内部,∠A=65°;如图②,当∠A 是钝角时,△ABC 的外心O 在其外部.∵∠O=2∠A ,∴∠A=12∠O=12×230°=115°.故∠A=65°或115°.故选A .8.54 [解析]连接CE.正五边形的内角∠CDE=15×(5-2)×180°=108°.∵DC=DE ,∴∠P=∠DEC=12×(180°-108°)=36°.∵DG ⊥PC ,∴∠PDG=90°-∠P=54°. 9.√2 [解析]如图,连接CO 并延长交☉O 于点E ,连接BE ,则∠E=∠A=30°,∠EBC=90°.∵☉O 的半径为2,∴CE=4,∴BC=12CE=2. ∵CD ⊥AB ,∠CBA=45°,∴CD=√22BC=√2.10.②⑤ [解析]∵M ,C 是半圆上的三等分点,∴∠BOC=13×180°=60°.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,得∠BPC=12∠BOC=12×60°=30°.∵BD 与半圆O 相切于点B ,∴∠ABD=90°.∵P 是AM⏜上一动点,∴∠PBA 的大小不确定,∴∠PBD 的大小不确定,∠D 的大小也不确定,所以PB=PD 不成立,结论①错误.∵直径AB=8,∴半径为4,∴BC⏜=60π×4180=4π3,∴结论②正确. ∵BE ⊥OC ,∴∠BEO=90°,∴∠OBE=180°-90°-60°=30°,∴∠DBE=∠ABD-∠OBE=90°-30°=60°,∴结论③错误. ∵∠PFB=∠FCB+∠FBC ,所以∠PFB>∠FCB , ∴△BCF 和△PFB 不可能相似,∴结论④错误.∵OB=OC ,∠BOC=60°,∴△BOC 是等边三角形,∴∠CBO=60°.∵BE ⊥OC ,∴∠CBE=12∠CBO=30°, ∴∠CBF=∠CPB.又∵∠BCF=∠PCB ,∴△BCF ∽△PCB ,∴CF CB =CBCP ,∴CF ·CP=CB 2.∵△OBC 是等边三角形,∴CB=OB=4,∴CF ·CP=16,为定值,∴结论⑤正确.综上,结论正确的是②⑤. 11.解:(1)证明:∵点E 是AD 的中点,OC 是半径, ∴AC⏜=CD ⏜,∴∠CAD=∠CBA. (2)∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°. ∵AE=DE ,∴OC ⊥AD ,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB. 又∵∠CAD=∠CBA ,∴△AEC ∽△BCA ,∴CE AC =ACAB , ∴CE6=610,∴CE=3.6.∵OC=12AB=5,∴OE=OC-EC=5-3.6=1.4.12.解:(1)证明:∵∠ADC=∠G ,∴AC ⏜=AD ⏜. ∵AB 为☉O 的直径,∴ACB ⏜=ADB ⏜, ∴ACB ⏜-AC ⏜=ADB ⏜-AD ⏜,即BC ⏜=BD ⏜, ∴∠1=∠2.(2)如图,连接DF .∵AC⏜=AD ⏜,AB 是☉O 的直径, ∴AB ⊥CD ,CE=DE , ∴FD=FC=10.∵点C ,F 关于DG 对称, ∴DC=DF=10,∴DE=5.∵tan ∠1=25,∴在Rt △BDE 中,EB=DE ·tan ∠1=2.∵∠1=∠2,∴tan ∠2=25, ∴在Rt △ADE 中,AE=DEtan∠2=252,∴AB=AE+EB=292,∴☉O 的半径为294.13.解:(1)90°或270° [解析]∵四边形ABCD 是对余四边形,当∠A 和∠C 互余时,∠A+∠C=90°; 当∠B 与∠D 互余时,∠B+∠D=90°,则∠A+∠C=360°-90°=270°.故答案:90°或270°. (2)证明:连接BN ,BM.∵MN 是☉O 的直径,∴∠BMN+∠BNM=90°.∵点A ,B ,C 在☉O 上, ∴∠BAM=∠BNM ,∠BCN=∠BMN ,∴∠BAM+∠BCN=90°,即∠BAD+∠BCD=90°, ∴四边形ABCD 是对余四边形.14.D [解析]∵OA ⊥BC ,∴∠AOB=90°.∵OB=OD ,∴∠B=∠D.在△OBD 中,∠B+∠D+∠BOD=180°, 即2∠D+90°+β=180°,∴2∠D+β=90°.∵∠AED 是△ODE 的外角,∴∠D=∠AED-∠AOD=α-β,所以2(α-β)+β=90°,整理,得2α-β=90°.故选D.15.-5+√412[解析]如图,过点B作BH⊥AC于点H,交AE于点F,连接BE.∵∠BAH=45°,∴∠ABH=45°,∴AH=BH.∵∠AHF=∠BHC=90°,∴∠C+∠HBC=90°.又∵AD⊥BC,∴∠C+∠HAF=90°,∴∠HBC=∠HAF.∴△AHF≌△BHC(ASA).∴AF=BC=5.∵∠HAF=∠HBC,∠HAF=∠EBC,∴∠HBC=∠EBC.∵AD⊥BC于点D,∴DE=DF.∵∠CAE=∠CBE,∠ACB=∠AEB,∴△ACD∽△BED.∴CDDE =ADBD,即1DE=5+DE4.∴DE=-5+√41(舍去负值).2。