向量数量积的坐标运算与度量公式

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向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式一、本单元的地位和作用学生通过学习向量数量积的坐标运算与度量公式，使他们进一步了解向量数量积在今后的学习做题中起重要作用，从而为日后学习打好基础，培养学生数与形之间的相互转换与独立思考，解决问题的能力。

二、内部结构向量数量积的坐标运算a·b= a₁b₁+a₂b₂两个向量垂直的坐标表示a₁b₁+a₂b₂=0练习A 1题练习A 2题向量的长度计算公式|a|=√a₁2＋a₂2或| AB|=√（x₂－x₁）2+(y₂－y₁) 2练习A 1题向量数量积的坐标表示与数量积定义向量夹角的坐标表示cos<a,b>=( a₁b₁+a₂b₂)/√a₁2＋a₂2√b₁2+ b₂2三、教材内容（一）复习引入教师提问，学生回答。

1、平面向量数量积（内积）定义。

定义：|a||b|cos<a,b>叫做向量a和b的数量积（或内积）。

a·b=|a||b|cos<a,b> 2、向量垂直，共线的充要条件。

a⊥b·b=0 a∥b3、平面向量数量积的运算律。

a·b=b·a （a+b）·c=a·c+b·cλ（a·b）=（λa）·b（二）讲解新课1、向量内积的坐标运算。

向量数量积的坐标表达式：a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂教师引导学生证明该公式。

证明：建立正交基底{e ₁，e ₂}，a ·b =(a ₁e ₁+a ₂e ₂)·(b ₁e ₁+b ₂e ₂)=a ₁b ₁e ₁·e ₁+a ₁b ₂e ₁·e ₂+a ₂b ₁e ₂·e ₁+a ₂b ₂e ₂·e ₂因为e ₁·e ₁= e ₂·e ₂=1，e ₁·e ₂= e ₂·e ₁=0从而得到向量数量积的坐标表达式：a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂教师小结：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂2、垂直的坐标表示由向量垂直的充要条件知道：aa ·b =0所以用坐标表示为：如果a ⊥b ，则a ₁b ₁+a ₂b ₂=0如果a ₁b ₁+a ₂b ₂=0，则a ⊥b说明：当120b b ≠时，条件a 1b 1+a 2b 2=0，可以写成1221a a k b b ==-。

19-20版第2章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |(2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则cos 〈a ，b思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示] 由于单位向量a 0＝a|a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a|a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝(－8)2＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________. ±4[|a|＝32＋x2＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝() A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]A．4 B．5C．3 5 D．4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)254[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝25，|a－b|＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[2，＋∞)[∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ [思路探究] (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb 求解． (2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)．因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向，即4k －6－6<0，解得k<3.，当2a－3b与c反向时，k＝－92所以k的范围是k<3且k≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝() A. 2 B．2C．5 2 D．50A[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝(－1)2＋12＝ 2.故选A.]2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝π4，则x等于()A．1 B．－1 C．4 D．－4A[∵a·b＝|a|·|b|cos π4，∴3x＋2＝10×x2＋4×2 2，解得x＝1或x＝－4.又∵3x＋2>0，∴x>－23，故x＝1.]3．设a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)且a⊥b，则x＝________.－23[∵a⊥b，∴a·b＝0.即x＋2(x＋1)＝0.解得x＝－23.]4．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[解](1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。

2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。

3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。

二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。

2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。

三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。

2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。

3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。

4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。

四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。

2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。

3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。

第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。

2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。

3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。

第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。

2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。

五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。

并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。

向量的数量积坐标运算原理

向量的数量积坐标运算原理向量的数量积（也称为点积或内积）是向量运算中的一种重要运算，它用于计算两个向量之间的相似性和夹角。

在三维空间中，向量的数量积可以通过以下公式来表示：A ·B = A * B * cos(θ)其中，A和B是两个向量，A 和B 分别表示它们的模（长度），θ表示A和B 之间的夹角。

向量的数量积可以使用坐标运算来计算。

假设A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)是两个三维向量，则它们的数量积通过以下公式计算：A ·B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3在计算数量积时，我们将每个向量的对应坐标相乘，然后将乘积相加，从而得到数量积的结果。

这个过程可以类比于在笛卡尔坐标系中通过向量的投影计算出向量的模和夹角。

为了更好地理解坐标运算原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设有两个向量A = (2, 3)和B = (4, 5)，我们可以使用坐标运算来计算它们的数量积。

首先，将向量A和B的对应坐标相乘：A ·B = (2 * 4) + (3 * 5) = 8 + 15 = 23这样，我们得到了向量A和B的数量积为23。

通过计算可以得到，向量A和B 之间的夹角θ约为57.02。

在实际应用中，向量的数量积具有很多重要的性质和应用。

以下是一些常见的性质和应用：1. 平行性：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。

因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否平行。

2. 夹角：通过数量积的公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。

夹角的范围是0到180之间。

3. 正交性：如果两个向量的数量积为0，则它们是正交或垂直的。

因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否正交。

4. 投影：向量的数量积还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。

具体而言，如果我们有一个向量A和一个单位向量u，那么向量A在u上的投影可以通过执行数量积A ·u来计算。

向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件

k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系，利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22

向量数量积的坐标运算与度量公式

02
向量数量积的性质
向量数量积的交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
根据向量数量积的定义，向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积可以表示为$mathbf{A} cdot mathbf{B}$ 或$mathbf{B} cdot mathbf{A}$，其结果相同。这意味着交换向量的顺序不会改变数量积的值。
向量数量积的分配律
总结词
向量数量积的分配律是指数量积满足分配性质。
VS
详细描述
根据向量数量积的分配律，对于任意两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$以及标量$k$，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。这意味着数量积满足分配性质，可以与标量进行分配运算。
分配律
$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
向量数量积的坐标表示
坐标表示
向量$overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和 $overset{longrightarrow}{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积为$a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。

向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式1.向量数量积及向量垂直的坐标表示设a= (a i, a2), b= (b i, b?)(1)数量积 a b=a也i + 32^2.(2)若a, b为非零向量，a丄b ? ab土ab=0・［点睛］记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.2.三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a = (a i,(2)两点间的距离公式：A(X I ,A/(X2—X1)2+ (y2—y i f.(3)向量的夹角公式：a= (a i, a2), a2),则|a| =寸a1 + a2.y i), B(X2 , y2),则| AB | = b= (b l, b2),贝J cos〈a, b>a ib i +a2b2Q a2+ a2J b2+ b2［小试身手］1.判断下列命题是否正确.(正确的打“"”，错误的打“X”(i)向量的模等于向量坐标的平方和.( )(2)若a= (a i, a2), b= (b i,切，贝J a丄b? a i b i + a zte = 0.((3)若两个非零向量的夹角0满足cos 0< 0,则两向量的夹角一定是钝角.()答案：(i)x (2)x (3)x2.已知a= (—3,4), b= (5,2),贝J a b 的值是( )A. 23B. 7C. - 23D. - 7答案：D3.已知向量 a = (X — 5,3), b = (2, 成的集合是( )A . {2,3}B . {— 1,6}C . {2}答案：C4 .已知 a = (1，衍)，b = (— 2,0),答案：2平面向量数量积的坐标运算［典例］(1)(全国卷n )向量 a = (1, — 1), b = (—1,2),则(2a +b) aB . 0(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB = (1,— 2), AD = (2,1),贝J AD -AC =()B . 4［解析］(1)a = (1,— 1), b = (— 1,2), •••(2a + b) a = (1,0) (1,— 1)= 1.⑵由 AC = AB + AD = (1,— 2)+ (2,1)= (3,— 1),得 AD -AC =X)，且a 丄b ,则由x 的值构则 |a + b| =课堂讲练设让.举一能迪冀题(2,1) (•, - 1)= 5.［答案］(1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性'质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行'数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.［活学活用］已知向量a与b同向，b= (1,2), a b= 10.(1)求向量a的坐标;⑵若c= (2,- 1),求(b c) a.解：⑴因为a与b同向，又b= (1,2),所以a=入b (入2 0.又 a b= 10,所以 1 -H 22 A10,解得r 2>0.因为后2符合a与b同向的条件，所以a= (2,4).(2)因为 b c= 1X 2+ 2X (- 1)= 0, 所以(b c) a= 0 a= 0.向量的模的问题［典例］⑴设x, y€ R，向量a= (x,1), b= (1, y), c= (2,-4), 且a丄c, b// c,则|a+ b|=( )A A /5C . 2躬-------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1—(2)已知点 A(1,— 2)，若向量 AB 与 a = (2,3)同向，|AB | = 2/13,则点B 的坐标是 _________ .［解析］(1)由F 丄c，? !2x — 4=0，?片2,L 」' 丿 l b // c ［2y + 4= 0 l y =— 2. •••a =(2,1), b = (1,- 2), a + b = (3,- 1). •••|a + b|=/i0.(2)由题意可设AB =入a A 0),••• AB = (2 入 3?).又 |AB |= ^13,•••(2?)2 + (3 沪=(^/13)2，解得后 2 或—2(舍去).求向量的模的两种基本策略(1) 字母表示下的运算：利用|a|2= a 2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2) 坐标表示下的运算：若 a = (x , y)，贝J a a = a 2= |a|2= x '+y 2,于是有 |a| = A /x 2+ y 2.［活学活用］1.已知向量 a = (cos 0, sin B),向量 b = («3, 0),则|2a -b|的最二 AB = (4,6).又 A(1,— 2),二 B(5,4).(2)(5,4)大值为解析：2a - b = (2cos 0-^3, 2sin 0),|2a - b| = p (2cos0—羽)2+(2sin 0)2=寸4coS 0— 4V3cos 0+ 3 + 4sin 20 =>/ 7—^/Scos 0,当且仅当cos 0=- 1时，|2a — b|取最大值2 + ^/3. 答案：2+V 32.已知平面向量 a = (2,4), b = (- 1,2),若 c = a -(a b)b,则|c|解析：•/ a = (2,4), b = (- 1,2),二 ab = 2X (- 1)+ 4X 2= 6,二 c=a -(a b)b = (2,4)- 6(- 1,2)= (2,4)- (- 6,12)= (8,- 8), 二|c|=782+( —= 8^2.答案：8返(1)v a = (3,2), b = (-1,2),向量的夹角和垂直问题［典例］(1)已知 a = (3,2), b = (- 1,2), (a +入 b 丄 b ,则实数入= (2)已知 a = (2,1), b = (— 1,- 1), c = a + kb , d = a + b , c 与 d的夹角为n 则实数k 的值为［解析］• • a+ 入 b (3—入2+ 2?).又T (a +入b丄b,即(3— ?X (—1) + 2X (2+ 2?)= 0,1解得=—g.(2)c= a+ kb= (2 —k,1—k), d= a + b= (1,0),由cos n爭寸；2—2常:—岸02誇,•- (2—k)2= (k—1)2,二k= 2.［答案］⑴—5 (2)|解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a b _,cos 0= 及|a||b|，再由cos 0=厂蔺求出cos 0,也可由坐标表示l a ll b l硏a l应b2直接求出cos0由三角函数值cos0求角'意角0的取值范围是0W 0W na b _(2)由于0w 0< n利用cos 0= "lOl日来判断角0时，要注意cos 0<0 有两种情况：一是0是钝角，二是0= n cos 0>0也有两种情况：一是0为锐角，二是0= 0.［活学活用］已知平面向量 a = (3,4), b= (9, X), c= (4, y)，且 a II b, a丄c.(1)求b与c;⑵若m= 2a- b, n= a+c,求向量m, n的夹角的大小.解：(1)T a I b,. 3x= 4X 9,. x= 12.-a丄c,. • 3 X 4 + 4y= 0,. • y= —3,••• b= (9,12), c= (4,- 3).(2)m= 2a- b= (6,8)-(9,12)= (- 3,- 4),n= a + c= (3,4) + (4,- 3)= (7,1).设m, n的夹角为0,□ ［m n —3X 7+(—4)X 1则cos 0=丽=&-3)2+ (-4布+ 12-25 V2=丽=-2.•••0€ ［0,兀］•••0=3n，即m, n的夹角为¥・、求解平面向量的数量积［典例］已知点A, B, C 满足|AB|= 3, |BC| = 4, |CA|= 5,求AB BC + BC CA + CA -AB 的值.［解］［法一定义法］全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）盯 3如图，根据题意可得△ ABC 为直角三角形，且B =-, cosA =3,4cosC = 5,二 AB BC + BC CA + CA -AB =BC CA + CA -AB=4X 5cos( C)+ 5X 3cos( A)=—20cosC — 15cosA=—20 X 5— 15X 5=—25.［法二坐标法］如图，建立平面直角坐标系, 则 A(3,0)，B(0,0), C(0,4).二 AB = (— 3,0), BC = (0,4), CA = (3, 二 AB BC = — 3 X 0+ 0X 4= 0,BC CA = 0X 3+ 4X (— 4)= — 16, CA -AB = 3X (— 3)+ (— 4)X 0= — 9.二 AB BC + BC CA + CA AB = 0— 16— 9=— 25.［法三转化法］T |AB |= 3, |BC | = 4, |AC | = 5, AB 丄 BC ，— AB BC = 0,二 AB BC + BC CA + CA -AB = CA (AB + BC )c—3全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解)-- ---- --------- 2=CA AC =— |AC | = — 25.求平面向量数量积常用的三个方法(1) 定义法：利用定义式a b = |a||b|cos 0求解; (2) 坐标法：利用坐标式ab = a i b i + a z b z 解题;(3) 转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.［活学活用］如果正方形OABC 的边长为1,点D , E 分别为AB , BC 的中点，那么cosZ DOE 的值为1 1—―1X-+-X 1 ,卄0D 0E2 2 4 故 cos/ DOE ==—㈡ =c.| 0D| |0E |Y 5 x /552 X2法二：••• OD = OA + AD = OA + -OC ,■■■ ■ ELL —. ■•■■■■■-■ 1 —OE = OC + CE = OC + 20A ,—V s — v s|0D |= 2，|0E |= 2，解析：法一：以0为坐标原点，0A , OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示,2,1〕则由已知条件，可得0D =f 1、1, 2 0E =J_E _________ 甘全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解) n I----- n I IL亠I 2 I 2 ■OD OE = 2OA2+ 2OC2= 1,• cos Z DOE = rOD•咅5.| OD ||OE | 5答案：4课后层级训练，涉步提升能力层级一学业水平达标1已知向量a = （0,- 2/3）, b= （1, 凤贝y向量a在b方向上的投影为（）B. 3C. —\[3a b — 6解析：选D向量a在b方向上的投影为血=2 —3•选D.2.设x€ R,向量a= (x,1),b= (1, —2),且a丄b,则|a+b|=( A・诵C. 2质BA/IO D. 10解析：选B由a丄b得ab= 0,••• X X 1 + 1X (—2)= 0, 即卩x= 2,• • a+ b= (3, —1),••• |a + b| = p 32 +( —1)2= V1O・3.已知向量 a = (2,1), b= (—1, k), a (2a—b) = 0,贝J k=(A. —12B.—6D. 12解析：选 D 2a—b= (4,2) —(—1, k) = (5,2—k)，由 a (2a—b)=0,得(2,1) (5,2— k) = 0,二 10 + 2-k = 0,D .—65解析：选 C 设 b = (x , y)，贝J 2a + b = (8+ x,6+y)= (3,18),所I _ 3_ ^5以〔6 + y = 18,解得〔y _ 12/ 故 b _(—所以 CO〈亠 &〉_a b _ 16丽 _ 65-5.已知 A(— 2,1), B(6,— 3), C(0,5),则^ABC 的形状是()解析：选 A 由题设知 AB = (8, — 4), AC = (2,4), BC = (— 6,8),••• AB -AC = 2X 8+ (— 4)X 4= 0, 即卩 AB 丄 AC .:丄 BAC _ 90° 故^ ABC 是直角三角形.6.设向量 a = (1,2m), b = (m +1,1), c = (2, m).若(a + c)丄b , 则 |a= ____________ .解析：a + c = (3,3m),由(a + c)丄b ,可得(a + c) b= 0, 即卩 3(m +答案•.迄解得k = 12.4. a , b 为平面向量，已知a = （4,3）, 角的余弦值等于（）8 A.652a + b = (3,18),贝J a , b 夹B .865C-HA .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等边三角形 1) + 3m = 0,解得 m2,则 a = (1,— 1),故|a|=^7.已知向量 a — (1,、/3), 2a + b — (— 1, A /3), a 与 2a + b 的夹角为e,贝J e — _____ .解析：V a — (1, V 3), 2a + b — (— 1,^3),2, |2a + b| = 2, a (2a + b) = 2,••• cos e = a ^2a+b)= 1,|a||2a + b| 2〉答案：n8.已知向量a = (\/3, 1), b 是不平行于X 轴的单位向量，且a b= Q 3,则向量b 的坐标为 ___________ .y)(y M 0),则依题意有｛—1 解得W 3x + y —/ 3,答案:9.已知平面向量 a = (1, X), b = (2X + 3,— X), x € R. (1)若 a 丄b , 求 X 的值；⑵若 a // b ,求|a — b|. 解：⑴若a 丄b ,则 a b = (1, X)(•2x + 3,— X)=1X (2x + 3)+ x( — X)= 0, 即 X 2— 2x — 3= 0,解得 x =- 1 或 x = 3.解析: 设 b =(X ,「x =2I y — 2 ,(1故b —1(2)若a// b,贝J 1X ( —X) —x(2x + 3)= 0, 即x(2x + 4)= 0,解得x = 0 或x=— 2. 当x= 0 时，a= (1,0), b= (3,0),a—b= (—2,0), |a—b| = 2.当x= — 2 时，a= (1,—2), b= (—1,2),a—b= (2,—4), |a—b|=/4+ 16 = ^/s. 综上，|a—b|= 2或2品10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(—2,3)，C(2, —1)・(1)求AB -AC 及| AB + AC |;⑵设实数t满足(AB —t OC)丄OC,求t的值. 解：(1)T AB = (—3,—1), AC = (1,—5),…AB •AC = —3 X 1 + (—1) X (—5)= 2.-AB + AC = (—2, —6), •• |AB + AC |=/4+ 36 = ^/10.(2)V AB —t oe = (—3—2t, —1+ t), 0C = (2, —1)，且(AB —t OC)丄OC ,• ••(AB —t OC) OC = 0,•••(—3—2t) X 2+ (—1 +1) (—1) = 0,…t= — 1.层级二应试能力达标1.设向量a= (1,0), b=(2, g),则下列结论中正确的是( )A. |a|=|b|B. ab證C. a—b与b垂直D. all b解析：选C由题意知|a=Vl2+02= 1, |皆寸+(P=普,1 11 11 a b= 1X 2+ 0x2 = 2, (a—b) b= ab- |b|2=㊁一£ 0,故a—b与b垂直.2.已知向量OA = (2,2), OB =(4,1),在x轴上有一点P,使AP BP 有最小值，则点P的坐标是( )A. (—3,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (4,0)解析：选 C 设P(x,0)，则AP = (x—2,—2), BP = (x—4,—1),••• AP EP = (x —2)(x —4) + 2 = x2—6x+ 10=(x—3)2+ 1,故当x= 3时，AP BP最小，此时点P的坐标为(3,0).3.若a= (x,2), b= (—3,5), 且a与b的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是()f 10、I ，3丿A.C.fj, +"B.解析：选C x应满足(x,2) (- —3,5)v0且a, b不共线，解得x10 口 6 10＞亍，且x M—5,二x＞亍4 .已知OA = (—3,1), OB = (0,5),且AC ll OB , BC 丄AB (O 为全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）坐标原点），则点C 的坐标是（）又 0A = (-3,1),--AC = 0C — 0A = (x + 3, y — 1).•/ AC // OB ,--5(x + 3) — 0 (y — 1) = 0,…x = — 3.T OB = (0,5),BC = 0C — 0B = (x , y — 5), AB = OB — OA = (3,4).—— 29••• BC 丄 AB ，二 3x + 4(y — 5)= 0,. y =4， f29、c 点的坐标是一3, 29 .V4 /5.平面向量 a = (1,2), b = (4,2), c = ma + b(m € R)，且 c 与 a的夹角等于c 与b 的夹角，贝J m = ______ .解析：因为向量 a = (1,2), b = (4,2),所以 c = ma + b = (m + 4,2m + 2),所以 a c = m +4 + 2(2m + 2)= 5m + 8, bc = 4(m + 4)+ 2(2m +2) = 8m + 20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以肃=肃，即菁b^ nci f5m + 8 8m+ 2029)A.— 3,—429、c.®石B ・「3, /D.g ,- 29、29、解析：选B 设C （x , y ）,则0C =（X , y)・全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解)而所以育="WT,解得m = 2. 答案：26.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，则解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如设 E(1, a)(0 < a < 1). 所以 DE CB = (1, a) (1,0)= 1,DE DC = (1, a) (0,1) = a < 1, 故DE DC 的最大值为1.答案：1 17.已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 (1)若|c|= 2^/5,且 c// a ,求 c 的坐标；J 5⑵若初=专，且a + 2b 与2a — b 垂直，求a 与b 的夹角a解：(1)设 c = (x , y),v |c| = 2^/5,「.^Jx 2+y 2 = ^/s , ••• X 2+ y 2=20.由 c / a 和|c| = 2^5,[1 y — 2 x = 0, 可得 k + y 2= 20,l x = 2, l x =— 2, 解得 l y =4, 或y = — 4.故 c = (2,4)或 c = (-2,— 4).DE CB 的值为；DE DC 的最大值为图所示.则 D(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),a = (1,2).CE全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）(2)T(a + 2b)丄(2a—b),：(a+ 2b) (2a- b)= 0,即2a2 + 3a b—2b2= 0,5 5• 2X 5+ 3a b— 2X4 = 0,整理得 a b= —Q,a b• cos 0=厂蔺=—1.|a||b|又0€ [0, n, •- 0= n.8.已知OA = (4,0), OB = (2,^/3), OC = (1—?)O A + ?OB(^2^ ；).(1)求OA OB及OA在OB上的射影的数量；（2）证明A, B, C三点共线，且当AB = BC时，求入的值;⑶求|OC|的最小值.解：（1）OA OB = 8,设OA与0B的夹角为0,则cos0=q A单=丄=1,则|OA||OB| 4X 4 ；,••• 0A在0B上的射影的数量为|OA|COS0= 4X 1= 2.■ ■■H H H(2) AB = OB —OA = (—2,^/3), BC = OC —OB = (1 —片OA —(1—"OB =(入—1)AB，所以A, B, C三点共线.当AB = BC 时，—1 = 1,所以=2.(3)|OC|2= (1—护OA' + 2/(1— "OA OB + J^OB；=16" —16 + 16= 16(「z) +12,X 2/•••当=1时，|OC|取到最小值，为2屈全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）第21页。

2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式向量的数量积，也叫点积或内积，表示了两个向量之间的数值关系。

向量的数量积被定义为两个向量的相应分量的积的和。

设向量A和B的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的数量积可以表示为：A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3向量的数量积具有以下几个重要的性质：1.A·B=B·A（数量积的交换律）数量积满足交换律，即A与B的数量积等于B与A的数量积。

2.A·(B+C)=A·B+A·C（数量积的分配律）数量积满足分配律，即A与向量B和向量C的和的数量积等于A与B的数量积加上A与C的数量积。

3.k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)（数量积的结合律）数量积满足结合律，即向量A与k乘以B的数量积等于k乘以A与B的数量积，也等于A与k乘以B的数量积。

4.A·A≥0，当且仅当A=0时，A·A=0任意非零向量A与自身的数量积大于等于0，当且仅当A是零向量时，A与自身的数量积等于0。

数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量上的投影的长度乘以两个向量夹角的余弦值。

设向量A和向量B的夹角为θ，则有：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度。

这个公式说明了向量的数量积与夹角之间的关系。

当夹角θ等于90度时，cosθ等于0，所以此时A·B=0，即两个向量相互垂直；当夹角θ等于0度时，cosθ等于1，所以此时A·B等于两个向量的模的乘积，即数量积最大。

通过数量积的度量公式，我们可以计算出向量的模和夹角。

向量A的模可以通过数量积计算得出：A，=√(A·A)这里的√表示开方运算。

向量A和向量B的夹角可以通过数量积和模的计算得出：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)θ = arccos(A·B / (，A， * ，B，))这里的arccos表示反余弦函数。

向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式
一.复习回顾：复习回顾： 1、平面向量的数量积是如何定义的，它有那、平面向量的数量积是如何定义的，些重要的性质？些重要的性质？ r r 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 r r a b cosθ 叫做 a 与b 的数量积（或内积），的数量积（或内积）记作
换用两向量的数量积坐标表示,即为:
r r r r r r r r 如果a ⊥ b, 则a ⋅ b = 0, 反之, 如果a ⋅ b = 0, 则a ⊥ b
如果a ⊥ b, 则a1b1 + a2b2 = 0; 如果a1b1 + a2b2 = 0, 则a ⊥ b.
a1 a2 当b1b2 ≠ 0时, 条件a1b1 + a2b2 = 0, 可以写成 = =k − b2 b1 所以向量(a1 , a2 )与(−b2 , b1 )平行, 其中k是比例系数,
即有
a ⋅ b = a b cosθ
a ⋅b
2、两平面向量垂直的充要条件是什么？、两平面向量垂直的充要条件是什么？ 3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如、两平面向量共线的充要条件又是什么，何用坐标表示出来？何用坐标表示出来？
a ⊥ b ⇔ a⋅b = 0
a // （ ≠ 0 ⇔ 存在唯一的 λ使得a = λ b bb ） r r r r 若a = 1，a 2）， = 1，b2），// b ⇔ a1b2 − a2b1 = 0 （a b （b a
练习 : (1)a = (4,5), b =(−4,3), a ⋅ b = -1 (2)a = (8,5), b = (−7,−8), a ⋅ b = -96 (3)a = (−11,2), b = (3,9), a ⋅ b = -15

高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式

2 2
设A（x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB （x2 x1，y2 y1）那么
例2、
(1)已知a （ 3， 4）、b （5， 2），求 | a |， | b |。
( 2)已知点A（ 3， 4）、B（5， 2），试用向量的方法求出A、B两点间的距离。
3、两向量夹角公式的坐标运算
设非零向量a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 ) a b 则 cos a b cos x1 x2 y1 y2
2 x1

2 y1
1、数量积的坐标表示 2、向量坐标表示的求模公式 3、平面内两点间的距离公式 4、两向量夹角的余弦
a b x1 x2 y1 y 2
2
2 a x2 y2 , 或 a x2 y2
AB （x1 x2 ) （y1 y2 )
2
cos
x1 x2 y1 y2
由于 a x1i y1 j a （x1，y1） b x2 i y 2 j b （ x 2， y 2）
从 a b x1 x2 y1 y 2得到：
也就是： a b x1 x2 y1 y 2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形 ABC 是直角三角形.
0
x
变式训练 2
思考：在△ABC 中， AB = (2，3)， AC = (1，k)，且 A为直角，求k值.

向量的数量积与向量积的计算

向量的数量积与向量积的计算在数学中，向量是描述物体运动的工具，通过大小和方向来表示。

而向量的数量积和向量积是两种常见的向量运算，用于求解向量之间的关系和计算。

本文将分别介绍向量的数量积和向量积的定义、性质以及计算方法。

一、向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量相乘得到的结果。

它的定义如下：设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。

则a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示a与b之间的夹角。

数量积的性质有以下几点：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(k a)·b = k (a·b)，其中k为任意实数接下来，介绍向量数量积的计算方法。

向量a和向量b的数量积a·b可以通过两种计算方法得到，即坐标法和几何法。

1. 坐标法b₃)。

则a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃2. 几何法设向量a的模为|a|，向量b的模为|b|，夹角为θ。

则a·b = |a| |b| cosθ二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量相乘得到的结果。

它的定义如下：设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。

则a×b = |a| |b| sinθ n，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示a与b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。

向量积的性质有以下几点：1. 反交换律：a×b = - b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：k (a×b) = (k a)×b = a×(k b)，其中k为任意实数4. a×a = 0，即向量的向量积与自身的向量积等于零向量向量积的计算方法如下：b₃)。

向量积的坐标运算及度量公式

a b a1e1 a2 e2 b1e1 b2 e2
a1b1e1 e1 a1b2 e1 e2 a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2
e1 e1 e2 e2 1, e1 e2 e2 e1 0
我们得到数量积的坐标表达式
C. 3 2
D. 3 2
4.设m、n是两个非零向量，且m x1, y1 , n x2, y2 ，则以下关系
式中与m n等价的是 __①___②③④
①m n=0
②
x x =-y y
12
12
③ m+n m-n
④ m+n
2
2
m n
知识反馈
例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、
2.已知两个非零向量a a1, a2 ,b b1,b2 ,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？ 3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ 4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
2.两向量垂直和平行的条件
设a a1, a2 ,b b1,b2 ，平行 1 若a / /b,则a1b2 a2b1 0,
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)，若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直例如：向量3,4与向量4,3,8,6,12, 9…垂直

高中数学2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

[答案] B
[解析] 3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为
A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( A．直角三角形 C．等腰直角三角形 [答案] C
→ ＝(3，－1)，AC → ＝(－1，－3) [解析] AB →· → ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0 AB AC → |＝|AC → |＝ 10∴△ABC 为等腰直角三角形．且|AB
[点评] 处理有关垂直总是要注意利用a⊥b⇔a·b＝
0(a，b是非零向量)，或者利用a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0(a＝(a1， a2)，b＝(b1，b2))．
[例2] 设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为 45°，求实数t的值． [分析] 利用公式a·b＝|a||b|cosθ建立方程，解t的值．
a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．又∵(a＋b)·(a－b) ＝ (cosα ＋ cosβ)(cosα － cosβ) ＋ (sinα ＋ sinβ)(sinα － sinβ) ＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
二、填空题
5 ．已知 a ＝ (x － 2 ， x ＋ 3) ， b ＝ (2x － 3 ，－ 2) ，若 a⊥b，则x＝________.
[答案]
[解析]
2
9 0 或2
∵a⊥b，∴a· b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0

高一数学人教B版必修4课件：2-3-3 向量数量积的坐标运算与度量公式

向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．注意平行与垂直关系的联系与区别．对于两个非零向量 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，有 (1)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0； (2)a∥b⇔a·b＝±|a||b|⇔x1y2－x2y1＝0. 2．对一些几何问题(如垂直关系)可考虑建
9 ∴2x －9x＝0，∴x＝0 或 x＝ . 2
2
→ ＝(－1,2)，OB → ＝(3，m)，若OA → ⊥AB → ，则 6．已知向量OA m＝________.
[解析]
→ ＝OB → －OA → ＝(4，m－2)， AB
→ ⊥AB → ，∴OA →· → ＝0， ∵OA AB 即(－1,2)· (4，m－2)＝0， • [答案 ] 4 ∴－1×4＋2×(m－2)＝0，解得 m＝4.
∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2) 由(λa＋b)⊥(a－2b)， 1 得 4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－7.
• 二、填空题 9 [答案] 0 • 5．已知 a或＝ 2(x－2，x＋3)，b＝(2x－3，－2)，
若 a⊥ ________. [解析 ] b，则 ∵a⊥x b＝，∴ a· b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0
2
22 11 → → ∴OM＝(2,1)或OM＝ 5 ， 5 .
故存在点 M(2,1)或点
22 11 M 5 ， 5 满足题意．
[例 4]
若 a＝(λ，2)，范围是
10 A.－∞， 3 6 6 10 B.－∞，－5∪－5， 3 10 C. 3 ，＋∞ 10 D.－∞， 3
∴b⊥c，∴b 与 c 的夹角为 90° .

向量的数量积运算的所有公式

向量的数量积运算的所有公式1.数量积定义公式：A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA2.量积的坐标表示：设A=(A₁,A₂,…,AA)和A=(A₁,A₂,…,AA)是两个n维向量，则A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA3.量积的几何表示：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖是A和A的长度，A是A和A之间的夹角。

4.正交性：当A·A=0时，A和A互相垂直，即A与A正交。

5.长度平方：A·A=‖A‖²即一个向量与自身的量积等于其长度的平方。

6.长度平方的展开：A·A=A₁²+A₂²+…+AA²7.向量之和的数量积：(A+A)·A=A·A+A·A8.向量乘以标量的数量积：(AA)·A=A(A·A)其中，A是标量。

9.向量乘法与交换律：A·A=A·A10.关于数乘的结合律：(AA)·A=A(A·A)=A·(AA)11.加法可分配律：A·(A+A)=A·A+A·A12.数乘可分配律：(A+A)A·A=AA·A+AA·A13. Einsteain求和约定：当上下两个指标相同时，指标重复出现的求和，例如：A·A=AᵢAᵢ，其中i=1,2,…,n，对于所有的i求和。

14.柯西-施瓦兹不等式：‖A·A‖≤‖A‖‖A‖，其中等号成立当且仅当A和B线性相关。

这些公式展示了向量的数量积运算的一些基本性质和计算公式。

通过利用这些公式，我们可以将向量的数量积运用于解决各种问题，例如计算向量的夹角、向量的投影等。

向量的数量积坐标运算

向量的数量积坐标运算向量的数量积，也称为点积或内积，是一种在向量空间中定义的操作，其结果是一个标量。

对于两个n维向量A和B，其数量积可以表示为A·B，也可以写作A·B = |A||B|cos θ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ是A和B之间的夹角。

此外，数量积也可以通过坐标运算来计算。

假设向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则向量A和B的数量积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2+ ... + an*bn这个公式可以理解为，向量A和B的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

数量积的坐标运算具有许多重要的性质和应用。

首先，数量积满足交换律和分配律，即A·B = B·A和(A+B)·C = A·C + B·C。

其次，数量积可以用来计算两个向量的夹角，通过公式θ = arccos((A·B) / (|A||B|))，其中arccos表示反余弦函数。

此外，数量积还可以用来判断两个向量的方向，如果A·B > 0，则A和B的夹角小于90度，方向大致相同；如果A·B < 0，则A和B的夹角大于90度，方向大致相反；如果A·B = 0，则A和B垂直，方向垂直。

在实际应用中，向量的数量积被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

例如，在物理学中，向量的数量积可以用来计算力所做的功、两个力的夹角等；在工程学中，向量的数量积可以用来计算向量的投影、判断向量的方向等；在计算机科学中，向量的数量积可以用来实现各种向量运算和算法。

总之，向量的数量积是一种重要的向量运算，它不仅可以通过坐标运算来计算，而且具有许多重要的性质和应用。

通过掌握数量积的计算方法和性质，我们可以更好地理解向量的概念和应用，为实际应用提供有力支持。

向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式

19-20版 第2章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计

向量的数量积坐标运算原理

向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件

向量数量积的坐标运算与度量公式

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2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

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向量的数量积与向量积的计算

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高中数学2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

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向量的数量积坐标运算

19-20版第2章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式