向量数量积坐标运算优秀课件
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2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件人教新课标B版
cos
θ＝
a·b |a||b|
＝
x1x2＋y1y2 .
x21＋y21 x22＋y22
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个 平面向量共线的条件也可以用坐标运算的情势刻画出来，那么学 习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何 通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？ 同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两 个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探 索平面向量数量积的坐标表示.
明目标、知重点
呈重点、现规律 1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几 何问题以及解析几何问题提供了完善的理论根据和有力的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几 何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标情势，二者不能混淆，可以对 照学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
1234
3.在△ABC 中，∠C＝90°，A→B＝(k,1)，A→C＝(2,3)，则 k 的值为_5__. 解析 ∵B→C＝A→C－A→B＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， → AC＝(2,3)， ∴B→C·A→C＝2(2－k)＋6＝0，∴k＝5.
明目标、知重点
1234
4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝8___2_. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)， ∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b， ∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8 2.
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
空间向量数量积及坐标运算PPT课件
4．异面直线夹角的范围是(0， ]．2
第3页/共27页
1．空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)．
2．两个空间向量的数量积的性质
(1)a·e＝ |a|cos〈a，e．〉 (2)a⊥b⇔ a·b＝0． (3)|a|2＝ a·a． (4)|a·b|≤ |a||b．|
＝ |
1300，
即
BA1
与
B1C
夹角的余弦值为
30 10 .
第17页/共27页
练习：．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 是 C1G 的中点． (1)求 EF 与 B1C 的夹角； (2)求 EF 与C1G 的夹角的余弦值； (3)求 F，H 两点间的距离．
∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23.
第24页/共27页
3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，
AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的
角是
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
第25页/共27页
解析：设〈 AB，CD〉＝θ，
∵ AB·CD＝( AC ＋CD＋ DB)·CD＝|CD|2＝1，
∴ BA1 ·AC ＝－ BA2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，| BA1 |＝ 1＋2＝ 3.
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC BA1 || AC
＝－1＝－ |6
6 6.
平面向量的数量积的坐标表示课件
平面向量的数量积的坐标 表示ppt课件
本课程将深入浅出地讲解平面向量的数量积及其坐标表示方法。通过本课程 的学习，您将会掌握数量积的定义、计算方法、几何意义及其与其他向量概 念的联系等知识，并能够运用所学知识解决问题。
平面向量的数量积是什么？
1 定义
平面向量的数量积是两 个向量对应坐标分量的 乘积之和。
面积
两个向量的数量积等于它们所张成平行四边 形的面积。
采用坐标表示计算数量积的步骤是什么？
1
输入向量坐标
将要计算数量积的向量输入坐标表示。
2
对应分量相乘
将两个向量对应的坐标分量相乘。
3
求和
将所有对应分量相乘的结果求和得到数量积的值。
使用数量积判断平面向量是否垂直的方 法是什么？
1 计算数量积Biblioteka 先计算两个向量的数量积。2 判断值
如果数量积为0，则它们垂直；否则，它 们不垂直。
如何使用数量积计算平面向量的投影？
向量投影
先将一个向量投影到另一个向量上，再乘以原向量的模长即可得到向量在另一个向量上的投影。
如何通过数量积计算矩形面积？
矩形面积
将两个相邻的向量看成矩形的相邻两条边，它们所张成的面积即为这两个向量的数量积的绝对值。
投影法
利用向量的投影计算数量积， 即将一个向量投影到另一个 向量上，并将投影的长度乘 以原向量的模长。
数量积的几何意义是什么？
投影长度
可以用数量积来计算一个向量在另一个向量 上的投影长度。
平行垂直
数量积为0时，两个向量垂直；数量积大于0 时，两个向量同向；数量积小于0时，两个向 量反向。
夹角余弦
可以用数量积来计算两个向量夹角的余弦值。
怎样用向量坐标计算平面向量的数量积？
本课程将深入浅出地讲解平面向量的数量积及其坐标表示方法。通过本课程 的学习，您将会掌握数量积的定义、计算方法、几何意义及其与其他向量概 念的联系等知识，并能够运用所学知识解决问题。
平面向量的数量积是什么？
1 定义
平面向量的数量积是两 个向量对应坐标分量的 乘积之和。
面积
两个向量的数量积等于它们所张成平行四边 形的面积。
采用坐标表示计算数量积的步骤是什么？
1
输入向量坐标
将要计算数量积的向量输入坐标表示。
2
对应分量相乘
将两个向量对应的坐标分量相乘。
3
求和
将所有对应分量相乘的结果求和得到数量积的值。
使用数量积判断平面向量是否垂直的方 法是什么？
1 计算数量积Biblioteka 先计算两个向量的数量积。2 判断值
如果数量积为0，则它们垂直；否则，它 们不垂直。
如何使用数量积计算平面向量的投影？
向量投影
先将一个向量投影到另一个向量上，再乘以原向量的模长即可得到向量在另一个向量上的投影。
如何通过数量积计算矩形面积？
矩形面积
将两个相邻的向量看成矩形的相邻两条边，它们所张成的面积即为这两个向量的数量积的绝对值。
投影法
利用向量的投影计算数量积， 即将一个向量投影到另一个 向量上，并将投影的长度乘 以原向量的模长。
数量积的几何意义是什么？
投影长度
可以用数量积来计算一个向量在另一个向量 上的投影长度。
平行垂直
数量积为0时，两个向量垂直；数量积大于0 时，两个向量同向；数量积小于0时，两个向 量反向。
夹角余弦
可以用数量积来计算两个向量夹角的余弦值。
怎样用向量坐标计算平面向量的数量积？
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
《向量数量积》课件
适用于任何可以图形表示的向 量，如二维和三维空间中的向 量。
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
【-高中数学向量数量积的坐标运算PPT课件
解： a b = (3 , -1) (1 , -2) = 3 + 2 = 5
| a | = a a 32 (1)2 10
| b | = b b 12 (2)2 5
cos<a , b> a ·b 5 2
a b 10 5 2
所以 <a , b> =
4
【变式练习】已知 a = (2 , 3)，b = (–2 , 4)， 求: (a + b)·(a – b)
反之呢 ？
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
注意记忆向量垂直与平行的坐标表示的区别.
a // b a1b2 - a2b1 = 0 a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
判断：向量(-b2 , b1)与(b1 , b2)是否垂直？ 那么向量 k(-b2 , b1)与向量(b1 , b2)呢？
例如：向量(3,4)与向量____，____，____……都垂直.
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
能否利用向量坐标表示向量长度的计算 公式？
知识支持 设 a = (a1 , a2)，则 a ·a = a12 + a22 .
a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a2
已知 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，怎样用 a、b的坐标表示 a ·b 呢？
知识支持
平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的 直角坐标运算、数量积的运算律
设e1、e2分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量， 建立正交基底{e1 , e2} ，已知a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，则
a – b 和 a 是如何用坐标表示的？
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.4.2 向量数量积的坐标运算
解方程组得
则|b|= ������ 2 + ������ 2 =5.
问题导学
当堂检测
平面向量数量积的坐标运算主要解决的问题. 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数 化. 主要解决以下三方面的问题: (1)求两点间的距离(求向量的模). (2)求两向量的夹角. (3)证明两向一、数量积的坐标运算
活动与探究 已知向量 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a· b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)· (a-b). 思路分析:题目中给出了两向量的坐标,欲求本题中的数量积,可根 据向量数量积的坐标运算公式,也可考虑其几何意义来求解.
问题导学
目标导航
预习导引
2.三个重要公式
目标导航
预习导引
预习交流 2
(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则 |a+2b|= . .
4 3
(2)已知 a=(3,x),|a|=5,则 x= (3)若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a· b= ,则 x= 提示:(1)2 3 (2)± 4 (3)1 3
1 2
问题导学
当堂检测
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cos θ<0,且 cos θ≠-1. 所以 a·b<0,且 a 与 b 不反向. 由 a·b<0 得 1+2λ<0,故 λ<- , 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向. 所以 λ 的取值范围为 -∞,所以 cos θ>0,且 cos θ≠1. 所以 a·b>0,且 a,b 不同向. 由 a·b>0 得 λ>- ,由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 所以 λ 的取值范围为 - ,2 ∪(2,+∞).
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
4.2.9向量数量积的坐标运算ppt
2．向量垂直的等价结论
设(x1，y1)，(x2，y2)，则
a b x1 x2 y1 y2． 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．向量模的坐标计算
设a ＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝
2 x 2 y．
数学运用
例11 已知a＝（1，－2），b＝（1，y），若向量a，b的夹角为锐角，求实 数y的 取值范围．
OB ＝（5，1），OC ＝（2，1）， 例12 平面内有向量 OA ＝（1，7）， 点P是直线OC上一个动点． （1）当PA · PB 取最小值时，求 OP 的坐标； （2）当点P满足（1）的条件和结论时，求cos∠APB的值．
例13 AD ，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点． 例14 求证：直径上的圆周角为直角．
课堂练习
1．设(5，-7)，(-6，-4)，求a· b ，及a与b的夹角．
2．已知a＝(4,－2)， b ＝(6,－1)，求： (1) a· b ； （2）(2a－b)(a＋2b)； (3)|2a－3b| ．
向量的数量积
第四课时
复习回顾
1．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b =x1x2+y1y2.
向量数量积的 坐标表示
第三课时
问题情境
问题1 若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用向量a，b的坐标 来表示它们的数量积a· b？
数学理论
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即a · b =x1x2+y1y2．
(1)设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2
人教A版(2019)必修第二册 第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示 课件(31张)
内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
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内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)
AC = (−2 − 1,5 − 2) = ( −3,3)
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形 是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形 即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的 夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与 的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （ ） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形 是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形 即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的 夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与 的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （ ） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0
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解:mab(4,32),n2ab(7,8). (1) mn,7(4)8(32)0,52.
9
(2) 8(4)7(32)0,1.
2
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 设 点 A 坐 标 为 (5, 7),点 B 坐 标 为 ( 6, 4), 求 O A O B 及 |A B|.其 中 O 是 坐 标 原 点
解 :O A O B 5 ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) 3 0 2 8 2 . |A B |(5 ( 6 ))2 ( 7 ( 4 ))21 3 0 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 2 、 已 知 a ( 4 ,3 ) ,b ( 1 ,2 ) ,m a b ,n 2 a b 求 的 值 或 范 围 :
( 1 ) m n ; ( 2 ) m // n ; ( 3 ) m 与 n 的 夹 角 是 钝 角 ; ( 4 ) |m | |n |.
向量数量积坐标运算优秀课件
复习回顾
(1)a b | a || b | cos
(2)a a | a |2 或| a | a a；
a b a b 0;cos a b .
| a || b |
我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
复习回顾
两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 ab ab0
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x2y1 0
两向量夹角公式的坐标运算 设a与b的夹角为 （0 180）， 则cos ab
ab
设a（x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 ， (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 4 、 已 知 a ( 1 , 3 ) , b ( 3 1 , 3 1 ) , 则 a 与 b 的 夹 角 是 多 少 ？
解 :由 a(1, 3),b( 31, 31),得 ab313( 31)4,
|a|2,|b|22.
设 a与 b的 夹 角 是 ,则 cosab 2, 0, .
运算律
1． ab b a
2． a b a b a b 3． a b c a c b c
不满足结合律 即 :(a b )c a (b c ) 不满足消去律 即:abac推不b出 c
ab0也推b不 0或 出 a0
平面向量数量积的坐标表示
在坐标系中，已知两个非零向量 a(x1, y1)
x1x2 y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
abx1x2y1y2.
向量的模和两点间的距离公式
( 1 ) a a |a |2 或 |a |a a ；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ), A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
b(x2,y2)如何用坐标表示 a b
先看x轴,y轴上的单位向量 i(1,0),j(0,1)
i i 1. j j 1 .
i j j i 0 .
平面向量数量积的坐标表示
ax1iy1 j bx2iy2 j,
ab(x1iy1 j)(x2iy2 j)
2
2
x1x2i x1y2i jx2y1i jy1y2 j
x12 y12 x22 y22 其中x12 y12 0，x22 y22 0.
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 3 、 已 知 A ( 1 , 2 ) , B ( 2 , 3 ) , C ( 2 , 5 ) , 求 证 A B C 是 直 角 三 角 形 . .
证 明 :A B ( 2 1 ,3 2 ) ( 1 ,1 ) ,A C ( 2 1 ,5 2 ) ( 3 ,3 ) , A B A C 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 0 , A B A C , A B C 是 直 角 三 角 形
|a||b| 2
4
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 已 知 a ( 3 , 2 ) , b ( 4 , k ) , ( 5 a b ) ( b 3 a ) 5 5 , 试 求 k 的 值 .
解: a(3,2),b(4,k) (5ab)(b3a)(11,10k)(5,k6) 55(k10)(k6)55, (k10)(k6)0,k10或k6.
9
(2) 8(4)7(32)0,1.
2
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 设 点 A 坐 标 为 (5, 7),点 B 坐 标 为 ( 6, 4), 求 O A O B 及 |A B|.其 中 O 是 坐 标 原 点
解 :O A O B 5 ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) 3 0 2 8 2 . |A B |(5 ( 6 ))2 ( 7 ( 4 ))21 3 0 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 2 、 已 知 a ( 4 ,3 ) ,b ( 1 ,2 ) ,m a b ,n 2 a b 求 的 值 或 范 围 :
( 1 ) m n ; ( 2 ) m // n ; ( 3 ) m 与 n 的 夹 角 是 钝 角 ; ( 4 ) |m | |n |.
向量数量积坐标运算优秀课件
复习回顾
(1)a b | a || b | cos
(2)a a | a |2 或| a | a a；
a b a b 0;cos a b .
| a || b |
我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
复习回顾
两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 ab ab0
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x2y1 0
两向量夹角公式的坐标运算 设a与b的夹角为 （0 180）， 则cos ab
ab
设a（x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 ， (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 4 、 已 知 a ( 1 , 3 ) , b ( 3 1 , 3 1 ) , 则 a 与 b 的 夹 角 是 多 少 ？
解 :由 a(1, 3),b( 31, 31),得 ab313( 31)4,
|a|2,|b|22.
设 a与 b的 夹 角 是 ,则 cosab 2, 0, .
运算律
1． ab b a
2． a b a b a b 3． a b c a c b c
不满足结合律 即 :(a b )c a (b c ) 不满足消去律 即:abac推不b出 c
ab0也推b不 0或 出 a0
平面向量数量积的坐标表示
在坐标系中，已知两个非零向量 a(x1, y1)
x1x2 y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
abx1x2y1y2.
向量的模和两点间的距离公式
( 1 ) a a |a |2 或 |a |a a ；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ), A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
b(x2,y2)如何用坐标表示 a b
先看x轴,y轴上的单位向量 i(1,0),j(0,1)
i i 1. j j 1 .
i j j i 0 .
平面向量数量积的坐标表示
ax1iy1 j bx2iy2 j,
ab(x1iy1 j)(x2iy2 j)
2
2
x1x2i x1y2i jx2y1i jy1y2 j
x12 y12 x22 y22 其中x12 y12 0，x22 y22 0.
平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 3 、 已 知 A ( 1 , 2 ) , B ( 2 , 3 ) , C ( 2 , 5 ) , 求 证 A B C 是 直 角 三 角 形 . .
证 明 :A B ( 2 1 ,3 2 ) ( 1 ,1 ) ,A C ( 2 1 ,5 2 ) ( 3 ,3 ) , A B A C 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 0 , A B A C , A B C 是 直 角 三 角 形
|a||b| 2
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平面向量数量积的坐标表示
例题讲解
例 1 、 已 知 a ( 3 , 2 ) , b ( 4 , k ) , ( 5 a b ) ( b 3 a ) 5 5 , 试 求 k 的 值 .
解: a(3,2),b(4,k) (5ab)(b3a)(11,10k)(5,k6) 55(k10)(k6)55, (k10)(k6)0,k10或k6.