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【三维设计】高考数学一轮复习 第3节 几何概型我来演练 文

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【三维设计】高考数学一轮复习 第3节 平行关系我来演练

【三维设计】高考数学一轮复习 第3节 平行关系我来演练

一、选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．bα B ．b ∥α C ．b α或b ∥α D ．b 与α相交或b α或b ∥α解析：b 与α相交或bα或b ∥α，都可以．答案：D 2．(2012·长春模拟)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ β∥γ ⇒α∥β ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γ α∥γ ⇒α∥a其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．答案：C3．(2011·海口模拟)在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形解析：如图，由题意，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD . ∴EF ∥HG ，且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．答案：B4．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．4解析：a∩α＝A时，aα，故①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一直线都无公共点，④正确；长方体中的相交直线A1C1与A1B1都与面ABCD平行，所以⑤正确．答案：B5．(2011·天津模拟)如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段A F上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．答案：C二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，给出条件：①α与β无公共点；②直线a∥α，直线b∥α，a，bβ；③a⊥α，a⊥β.上述条件中能推出平面α∥平面β的是________．(填写所有符合要求的条件的序号)解析：条件①是两平面平行的定义；条件②缺少直线a与b相交；条件③可以推出α∥β.答案：①③7.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：由平面BB1D1D∥平面NHF知当M点满足在线段FH上有MN∥面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH三、解答题8.空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝a ，与直线AD ，BC 都平行的平面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E ，F ，G ，H .(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)求四边形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵AD ∥平面EFGH ，平面ADC ∩平面EFGH ＝FG ，∴AD ∥FG .同理HE ∥AD ，∴EH ∥FG .同理，由BC ∥平面EFGH ，得EF ∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)∵FG AD ＝FC AC ，EF BC ＝FA AC， 又AD ＝BC ＝a ，∴FG ＋EF a ＝FC ＋FA AC＝1， ∴四边形EFGH 的周长为2a .9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接HM 、MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO 、D 1O ，则OE 綊12DC .又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形．∴GE ∥D 1O .又D 1O 平面BB 1D 1D ，EG 平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知D 1H ∥BF ，D 1H 平面BDF ，BF 平面BDF ，∴D 1H ∥平面BDF .同理由B 1D 1∥BD 可得，B 1D 1∥平面BDF .又B 1D 1、HD 1平面HB 1D 1，且B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2012·乌鲁木齐模拟)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，SA 的中点．(1)求证：NB ⊥MC ；(2)在棱SD 上是否存在点P ，使AP ∥平面SMC ？若存在，请找出点P 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取AD 的中点O ，连接NO ，BO ， ∵N 是SA 的中点，O 是AD 的中点，∴NO ∥SD .又∵SD ⊥底面ABCD ，∴NO ⊥底面ABCD ，MC 平面ABCD ，∴NO ⊥MC .又∵ABCD 是正方形，M ，O 分别是AB ，AD 的中点，由平面几何知识可得BO ⊥MC ，NO ∩BO ＝O ，∴MC ⊥平面NOB ，NB 平面NOB . ∴NB ⊥MC .(2)取线段SD 的中点P 即可． 设SC 的中点为Q ，连接PQ ，MQ ， ∴PQ ＝12CD 且PQ ∥CD ；又AM ∥CD 且AM ＝12CD ；∴PQ ∥AM 且PQ ＝AM .∴AP QM 是平行四边形．∴AP ∥MQ ，AP 平面SMC ，MQ 平面SMC . ∴AP ∥平面SMC .。

高中数学三维设计一轮复习文数通用版：高考达标检测(四十二) 几何概型命题3角度

高中数学三维设计一轮复习文数通用版：高考达标检测(四十二) 几何概型命题3角度

高考达标检测（四十二） 几何概型命题3角度——长度（角度）、面积、体积一、选择题1.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12 B.32C.13D.14解析：选C 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13.2．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，若点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比， 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为( )A.12＋1πB.12－1πC.12D.1π解析：选A 由题意可知半圆0<y <2ax －x 2是以(a,0)为圆心、以a 为半径的x 轴上方的半圆，要使原点与半圆内一点的连线与x 轴的夹角小于π4，则该点应该落在直线y ＝x 与x 轴之间的区域，所以所求事件的概率为P ＝14×π×a 2＋12×a 212×π×a 2＝12＋1π.3.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α＝π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为( )A ．1－32B.32C.4－34D.34解析：选A 由题知，直角三角形中较短的直角边长为1，较长的直角边长为3， 所以中间小正方形的边长为3－1，其面积为(3－1)2＝4－23， 则飞镖落在小正方形内的概率为4－234＝1－32. 4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0，直线3x －4y ＋12＝0，圆C 上任意一点P 到直线的距离小于2的概率为( )A.16 B.13 C.12D.14解析：选D 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，圆心C (1,0)，半径r ＝2，所以圆心C 到直线3x －4y ＋12＝0的距离d ＝1532＋(－4)2＝3.若圆心C 到直线3x －4y ＋m ＝0的距离d ＝|3＋m |32＋(－4)2＝1，则m ＝2或m ＝－8(舍去)，此时直线AB 的方程为3x －4y ＋2＝0，如图所示，在△ABC 中，CD ＝1，CB ＝2，则△ABC 为等腰直角三角形，即∠ACB ＝π2，故所求概率P ＝π22π＝14.5．已知直线y ＝3－x 与两坐标轴所围成的区域为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3－x ，x ≥0，y ≥2x 所围成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选B 在平面直角坐标系中，作出区域Ω1，如图中△OAB 所示，其面积为12×3×3＝92.作出区域Ω2，如图中△OBC 所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x ，y ＝2x ，得C (1,2)，所以区域Ω2的面积为12×3×1＝32，故所求概率P ＝3292＝13.6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.12解析：选D f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 由f (x ) ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≥12， ∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴0≤x ≤π2， ∴所求的概率为P ＝π2π＝12.7．已知△ABC 内一点O 满足OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，若在△ABC 内任意投一个点，则该点在△OAC 内的概率为( )A.16B.14C.13D.12解析：选C 如图，以OB ―→，OC ―→为邻边作平行四边形OBDC ， 则OB ―→＋OC ―→＝OD ―→，又OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0， 则3OD ―→＝AB ―→.作AB 靠近B 点的三等分点E ，则OC ―→＝BD ―→＝EO ―→，则O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半， 所以B 到AC 的距离是O 到AC 的距离的3倍，所以S △AOC ＝13S △ABC ，故在△ABC 内任意投一个点，则该点在△OAC 内的概率为13.8．在[－2,2]上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2有交点”发生的概率为( )A.14B.916C.34D.1116解析：选D 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，－2≤b ≤2，又直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2有交点， 即|a ＋b －1|2≤2，得－2≤a ＋b －1≤2， 所以－1≤a ＋b ≤3，作出平面区域如图所示，则事件“直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2有交点”发生的概率为 P ＝S 阴影S 正方形＝42－12×32－12×1242＝1116.二、填空题9．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ， 由4x (12－x )＞128，得x 2－12x ＋32＜0，解得4＜x ＜8， 因此所求的概率为8－412＝13.答案：1310．在区间[－3,5]上随机取一个数a ，则使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点的概率为__________．解析：若使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点， 则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2，则使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点的概率P ＝2－(－2)5－(－3)＝12.答案：1211．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中△OAB 所示，面积为4，在△OAB 内满足x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为四分之一圆，面积为π2，所以所求事件的概率P ＝π24＝π8.答案：π812.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．解析：设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝a －ya ，解得y ＝a －x ，所以矩形的面积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋a －x 22＝a24，当且仅当x ＝a －x ， 即x ＝a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2412×a ×a ＝12.答案：12三、解答题13．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率． 解：(1)用x ，y 分别表示小陈、小李到班的时间， 则x ∈[10,30]，y ∈[10,30]，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示． (2)小陈比小李至少晚到5分钟，即x －y ≥5，对应区域为△BEF ， 故所求概率P ＝S △BEF S 正方形ABCD ＝12×15×1520×20＝932.14．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率． 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次， 所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)． 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，即y ＝2x －1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.1．有一长、宽分别为50 m,30 m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )A.34 B.38 C.3π16D.12＋3π32解析：选B 如图所示，当工作人员走到AB 或CD 两个线段中时能及时听到呼唤，其中OA ＝152，作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE ＝15，AB ＝2(152)2－152＝30，所有可能的结果为游泳池的周长160，故所求概率P ＝2×30160＝38. 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋12≥0表示的区域为Ω，不等式⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2≤14表示的区域为M ，向区域Ω均匀随机撒360粒芝麻，则落在区域M 中的芝麻约为( )A ．114粒B ．10粒C ．150粒D ．50粒解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域Ω为图中△ABC 所示．易得A ⎝⎛⎭⎫－32，－12，B ⎝⎛⎭⎫32，－12，C (0,1)， ∴△ABC 的面积为12×⎝⎛⎭⎫32＋32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝94， 区域M 的面积为圆⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14的面积，即π×⎝⎛⎭⎫122＝π4，其中区域Ω和M 不相交的部分面积即空白面积为⎝⎛⎭⎫12×π×14－12×1×12×12＝π－216，∴区域Ω和M 相交的部分面积为π4－π－216＝3π＋216，∴落入区域M 的概率为3π＋21694＝3π＋236，∴落入区域M 的芝麻数约为360×3π＋236≈114. 3．任取k ∈[－1,1]，直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝4相交于M ，N 两点， 则|MN |≥23的概率是________．解析：因为圆心到直线的距离d ＝|2k |k 2＋1， 所以|MN |＝2r 2－d 2＝2 4－4k 21＋k 2＝41＋k 2. 由|MN |≥23，得41＋k 2≥23，即k 2≤13，所以－33≤k ≤33， 所以|MN |≥23的概率 P ＝33－⎝⎛⎭⎫－331－(－1)＝33.答案：33。

【三维设计】高中数学 第1部分 第三章 §3 模拟方法 概率的应用配套课件 北师大版必修3

【三维设计】高中数学 第1部分 第三章 §3 模拟方法 概率的应用配套课件 北师大版必修3

[一点通] 在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时， 常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自 区域特征，分别计算其面积，以公式 P(A)＝ 试验的构全成部事结件果A的构区成域的面区积域面积计算事件的概率即可．
3.如图所示，墙上挂有一边长为 a 的正方形木板， 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为
4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地， 以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观 止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落 入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)．
解：根据题意可知，铜钱的面积为 π(32)2＝94π，正方形孔的面 积为 1×1＝1. 由几何概型可知事件的概率等于相应面积的比， 即91 ＝94π.
5．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 Ml
水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 ( )
A．0
B．0.002
C．0.004
D．1
解析：由几何概型公式得 P＝5200＝0.004.
答案：C
6．在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面 的距离都大于1的概率． 解：依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点
7.如右图，是一残缺的轻质圆形转盘，其 中残缺的每小部分与完整的每小部分的 角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用 其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向 残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则 顾客赢的概率为________．
解析：指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指 针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度 型几何概型． 因其角度比为 3∶2， 故商家赢的概率为36306˚0×˚ 35＝35， 顾客赢的概率为36306˚0×˚ 25＝25. 答案：25

三维设计高三一轮数学

三维设计高三一轮数学

三维设计高三一轮数学稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！咱们今天来聊聊三维设计高三一轮数学。

一想到高三一轮复习数学，是不是感觉有点小紧张？但别怕啦，这个三维设计可有意思了。

就说那些知识点吧，以前觉得乱成一团麻，现在通过三维设计，好像被一根根理清楚啦。

每一个概念，每一道例题，都变得清晰易懂。

而且哦，这书里的练习题也特别贴心。

不是那种难到让人想哭的，而是一步步引导着咱们巩固知识。

做对的时候，心里那叫一个美，感觉自己超厉害；做错了也不怕，正好能发现自己的漏洞在哪里。

还有那些解题的小技巧和方法，就像是一把把神奇的钥匙，能打开一道道难题的大门。

以前觉得怎么都想不明白的题，现在用了这些方法，一下子就豁然开朗了。

老师带着咱们用这本书复习的时候，感觉就像有个引路人，一步一步带着咱们在数学的世界里稳稳地前进。

高三虽然辛苦，但是有了三维设计的陪伴，数学好像也没那么可怕啦！咱们一起加油，争取在高考中把数学拿下！稿子二：亲爱的同学们，今天咱们唠唠三维设计高三一轮数学哈。

高三啦，数学的重要性不用我多说，大家都懂。

而这个三维设计呢，真的是我们的好帮手。

书里的内容编排得特别好，由浅入深，循序渐进。

刚开始复习的时候，还担心自己跟不上节奏，结果发现完全是想多了。

那些公式定理，不再是死板地摆在那里，而是通过各种有趣的例子和讲解，让我们真正理解了它们的含义和用法。

还有啊，我特别喜欢里面的一些拓展内容，让我们看到数学不仅仅是做题，还能在生活中派上大用场。

和同学们一起讨论三维设计里的难题，也是一种乐趣。

大家各抒己见，有时候还能碰撞出奇妙的火花，想出新的解题思路。

虽然有时候做数学题会做到头疼，但是看着自己一点点的进步，又觉得一切都是值得的。

相信在三维设计的帮助下，咱们的数学成绩一定会像坐火箭一样飙升！加油吧，小伙伴们！。

【三维设计】高考数学 第九章 第三节 几何概型课件 文

【三维设计】高考数学 第九章 第三节 几何概型课件 文

于点 C，OA 的中点为 D，如图，连接 OC，DC.不妨令 OA＝OB ＝2，则 OD＝DA＝DC＝1.在以 OA 为直径的半圆中，空白部分
π 1 π 1 面积 S1＝ ＋ ×1×1－4－2×1×1＝1，所以整体图形中空白 4 2
1 部分面积 S2＝2.又因为 S 扇形 OAB＝ ×π×22＝π，所以阴影部分面 4 积为 S3＝π－2. π－ 2 2 所以 P＝ ＝1－ . π π
法二：连接 AB，设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于 点 C，令 OA＝2. 由题意知 形 O C， 1 所以 S 空白＝S△OAB＝ ×2×2＝2. 2 1 又因为 S 扇形 OAB＝ ×π×22＝π，所以 S 阴影＝π－2. 4 π－ 2 2 所以 P＝ ＝ ＝1－ . π π S扇形OAB S阴影
高分障碍要破除 [ 针对训练 ] 选 B 长方形水池的面积为 30×20 ＝ 600( 平方
米)， “海豚嘴尖离岸边的距离超过 2 米”所构成的区域是长 26 米，宽 16 米的长方形，其面积为 26×16＝416(平方米)，故所 416 52 求事件的概率 P＝ ＝ . 600 75
[以题试法 2]
选 B 由题意得阴影部分面积 S1＝
π 2 2 2∫0 sin xdx＝2[(－cos x)|π ] ＝ 2 × 2 ＝ 4 ，圆 x ＋ y 0
4 ＝π 面积为 S＝π ，则所求事件的概率 P＝ 3. π
2 3
[例 3] 解析：(1)点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球 心，以 1 为半径的半球的外部．记点 P 到点 O 的距离大于 1 为 1 4π 2 － × ×13 2 3 π 事件 A，则 P(A)＝ ＝1－ . 23 12
|c| (2)设直线 4x＋3y＝c 到圆心的距离为 3，则 ＝3，取 c＝15， 5 则直线 4x＋3y＝15 把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长 的比值即是所求的概率，由于圆半径是 2 3，则可得直线 4x＋ 1 3y＝15 截得的圆弧所对的圆心角为 60° ，故所求的概率是 . 6 [答案] 1 5 6

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 第三章 三角函数、解三角形(含解析)

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 第三章 三角函数、解三角形(含解析)

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数基础盘查一角的有关概念(一)循纲忆知了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)．(二)小题查验1．判断正误(1)三角形的内角必是第一、二象限角( )(2)第一象限角必是锐角( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四一3．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在第________象限．答案：一、三基础盘查二弧度的定义和公式(一)循纲忆知了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．(二)小题查验1．判断正误(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位( )答案：(1)×(2)√2．(人教A版教材练习改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.2基础盘查三任意角的三角函数(一)循纲忆知理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(二)小题查验1．判断正误(1)三角函数线的长度等于三角函数值( )(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负( )(3)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限( ) (4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(人教A 版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P (－12,5)，则cos θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝________.答案：513 －1213 －1253．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则 sin α＝________.答案：513对应学生用书P44考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[类题通法](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．考点二 三角函数的定义(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．[提醒] 三角函数线是有向线段．[一题多变][典型母题]设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求 sin α的值．[解] 设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0， ∴r ＝－4a2＋3a2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a －5a ＝－35. [题点发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求 sin α的值． 解：当a ＜0时，sin α＝－35；当a ＞0时， r ＝5a, sin α＝35.[题点发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α， tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[题点发散3] 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α， tan α的值． 解：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三 扇形的弧长及面积公式(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.[一题多变][典型母题][题点发散1] 去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．[题点发散2] 若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.答案： 2[题点发散3] 若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．对应A 本课时跟踪检测十七一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.3．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 二、填空题7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π68．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)9．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，则sin θ＝ar＝a2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四 三、解答题11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8 ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 12．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式对应学生用书P46基础盘查一 同角三角函数的基本关系 (一)循纲忆知理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(二)小题查验 1．判断正误(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知sin α＝－35，则tan α＝________.答案：34或－343．化简：2sin 2α－11－2cos 2α＝________. 答案：1基础盘查二 三角函数的诱导公式 (一)循纲忆知能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(二)小题查验 1．判断正误(1)六组诱导公式中的角α可以是任意角( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化( )(3)角π＋α和α终边关于y 轴对称( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．(人教A 版教材习题改编)(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝________. 答案：(1)22(2) 3对应学生用书P46考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识][提醒] 对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[题组练透]1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：324．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－335．化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α.解：原式＝－tan α·cos α－cos απ＋α－π＋α＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . [一题多变][典型母题]已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． [解] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1， ②由①得 cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [题点发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求 sin α＋cos α的值．解：法一：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 法二：∵α是三角形的内角且tan α＝－13，∴α为第二象限角， ∴sin α＝1010， cos α＝－31010， ∴sin α＋cos α＝－105. [题点发散2] 保持本例条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由例题可知： tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. [题点发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 求tan α的值．解：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.对应B 本课时跟踪检测十八一、选择题1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.2．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α－cos α tan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.4．(2015·福建泉州期末)若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134C.135D.134解析：选D 法一：(切化弦的思想)：因为tan α＝2, 所以 sin α＝2cos α， cos α＝12sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1, 所以解得 sin 2α＝45.所以2sin 2α＋1sin2α＝2sin 2α＋12sin α cos α＝2sin 2α＋1sin 2α＝2×45＋145＝134.故选D. 法二：(弦化切的思想)：因为2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin α cos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D.5．(2015·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sinB －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0, sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限，选B.6．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 015)＝－3. 二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α ＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝ sin αcos α＝－43.答案：－438．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：09．(2015·绍兴二模)若f (cos x )＝cos 2x, 则f (sin 15°)＝________. 解析：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 答案：－3210．(2015·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角， 则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：0 三、解答题11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.第三节三角函数的图象与性质对应学生用书P47基础盘查 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 (一)循纲忆知1．能画出y ＝sin x, y ＝cos x, y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． (二)小题查验 1．判断正误(1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线( )(3)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数( ) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )( )(5)正切函数在整个定义域内是增函数( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[]－π，0上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 答案：B3．(2015·皖南八校模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：选C f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C. 4．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为____________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z对应学生用书P48考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]正弦、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函数的值域为R .[题组练透]1．函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B 由2sin x －1≥0, 得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π24．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫||x ≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]正弦函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；余弦函数的单调递增区间是[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；正切函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )．[典题例析]写出下列函数的单调区间： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的递增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递减区间，它的递减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .(2)观察图象(图略)可知，y ＝|tan x |的递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . [类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[演练冲关]1．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2)解析：选A 由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为__________________________________．解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) 考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．正弦、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数．2．正弦、余弦函数的最小正周期为T ＝2π，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝2π|ω|；正切函数的最小正周期为T ＝π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b的周期是T ＝π|ω|.3．正弦函数y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，对称中心为(k π，0)，k ∈Z .余弦函数y ＝cos x 的对称轴是x ＝k π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0，k ∈Z ，即弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x 轴的交点，即函数的零点；正切函数没有对称轴，其对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . [多角探明]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用. 角度一：三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：选A 因为y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 2．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心 3．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：选C ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4.∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．角度三：三角函数对称性的应用4.(2015·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.5．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )[类题通法]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．对应A 本课时跟踪检测十九一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |解析：选B 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.4．(2015·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π12解析：选C 由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴k ＝1，x 0＝π3，故选C. 5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.6．(2015·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2＜φ＜π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D.二、填空题 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为______________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 答案：2或－210．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]； 且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1] π12三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用对应学生用书P50基础盘查一 y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 (一)循纲忆知了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．(二)小题查验(人教A 版教材习题改编)函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的振幅为________，周期为________，初相为________．答案：23 4π －π4基础盘查二 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知熟练运用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． (二)小题查验(人教A 版教材例题改编)用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的图象，试写出相应的五个点坐标．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(2π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，0，(5π，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13π2，0基础盘查三 y ＝sin x 变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题，并能进行图象变换．(二)小题查验1．判断正误(1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象( )(2)要得到函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象，只需将函数y ＝sin x 上所有点的横坐标变为原来的ω倍( )(3)将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0( )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(人教A 版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象，则这个简谐运动的函数表达式为________________．答案：y ＝2sin 5π2x ，x ∈[0，＋∞)对应学生用书P50考点一 求函数y ＝Aωx ＋φ的解析式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，求出需要确定的系数A ，ω，φ，b ，得到三角函数的解析式．[题组练透]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z解析：选B 根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．2．(2015·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：。

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第三章 三角函数、解三角形

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第三章 三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}． 2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x ，y)是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .[试一试]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第______象限角． 答案： 一或三2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.答案： －121．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想． [练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角． 解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限． 答案： 三 对应学生用书P39角的集合表示及象限角的判定1.①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：32．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}． 答案：{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°4.设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么集合M ，N 的关系是______． 解析： 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有答案：[备课札记] [类题通法] 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______．(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.[解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z)，所以α的最小正值为11π6.(2)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. [答案] (1)11π6 (2)－64[备课札记] [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． [针对训练]已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P(k ，－3k)， 则r ＝k2＋－＝10|k|. 当k>0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k ＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.扇形的弧长及面积公式[典例] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝1012θ·r2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝40.S ＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，Smax ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．[备课札记]∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案： 2 [类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l. 解：设扇形的半径为r cm ， 如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)．对应学生用书P41[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．解析：由三角函数的定义知P(cos θ，sin θ)． 答案：(cos θ，sin θ)2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或43．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a≤3.答案：(－2,3]4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案：5π65．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知 tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x ＝10.答案：106．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______.解析：因为 sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以 cos α＝－ 1－19＝－223从而tan α＝－24. 答案：－24[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．解析：易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 答案：三或四3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______.解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.答案：124．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，325．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是________(填写序号)． 解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.答案：③6．在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y)，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)． 答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标yA ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标xA ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H. 则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)． 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2. ∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式对应学生用书P411．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [试一试]1．(2013·全国大纲卷改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝______.解析：因为α是第二象限角， 所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 答案：－12132．计算：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝______.答案：－121．诱导公式的应用原则负化正，大化小，化到锐角为终了． 2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan π4＝….[练一练]1．(2014·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4＝______.解析：因为f(x ＋π)＝2sin(2x ＋2π＋φ)＝2sin(2x ＋φ)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫13π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3.答案： 32．(2013·芜湖调研)若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：2对应学生用书P42三角函数的诱导公式1.sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：322．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－333．化简：π＋απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－α－3π－3π－α＝________.解析：原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2π＋α－π＋α＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αα＝tan αcos αcos α－cos αα＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案：－1 4．已知A ＝π＋αsin α＋π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是______．解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.答案：{2，－2}[备课札记][类题通法]诱导公式应用的步骤任意负角的三角函数→任意正角的三角函数 ↓锐角三角函数←0～2π的角的三角函数同角三角函数的基本关系[典例] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求其值．[解] (1)联立方程 错误!由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α ＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α∵tan α＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [备课札记]tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87. (2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan α1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.[类题通法]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [针对训练]已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β， ① tan2α＝9tan2β. ②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β. ③ 由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝38，∴cos α＝±64.诱导公式在三角形中的应用[典例] －B)，3cos π－B)，求△ABC 的三个内角．[解] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.[备课札记][类题通法]1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B)＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C 2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． [针对训练]在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：∵sin A ＋cos A ＝2，∴1＋2sin Acos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B)， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32.∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.对应学生用书P43[课堂练通考点]1．(2013·苏州期中)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ，又 tan θ＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝－2.答案：－22．(2014·镇江统考)已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－243．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________.解析：∵0<A<π，∴0<2A<2π.又∵sin 2A ＝23，即2sin Acos A ＝23，∴0<A<π2.∴(sin A ＋cos A)2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.答案：1534．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·南通调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.答案：－352．(2014·淮安模拟)若 tan α＝3，则 sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α＝______. 解析：sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α ＝sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 αsin2 α＋cos2 α＝tan2 α－2tan α＋3tan2 α＋1＝12－610＝35. 答案：353．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝______.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 34．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是______．解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：310105．已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为________． 解析：∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－126．已知sin(π－α)＝log814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log814＝－23，又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.第Ⅱ组：重点选做题1．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝______.解析：由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos2α＝5(1＋tan2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 答案：22.(2014·无锡模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动． (1)求经过1 s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间． 解：(1)经过1 s 后，∠BOA 的弧度为π3＋2.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋π3＝2π，所以t ＝5π6，即经过5π6s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．3.(2014·镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(xB ，yB)，设∠BAO ＝β.(1)用β表示α；(2)如果 sin β＝45，求点B(xB ，yB)坐标；(3)求xB －yB 的最小值．解：(1)因为∠AOB ＝α－π2＝π－2β.所以α＝3π2－2β.(2)由 sin α＝yB r ，r ＝1，得yB ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2β＝－cos 2β＝2 sin2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.由 α为钝角，知xB ＝cos α＝－1－sin2 α＝－2425.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425，725. (3)法一：xB －yB ＝cos α－sin α＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ α＋π4. 又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，cos α＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22.所以xB －yB 的最小值为－ 2.法二：因为α为钝角，所以xB<0，yB>0，x2B ＋y2B ＝1，xB －yB ＝－(－xB ＋yB)，(－xB ＋yB)2≤2(x 2B ＋y2B )＝2， 所以xB －yB≥－ 2.所以xB －yB的最小值为－ 2.第三节三角函数图像与性质对应学生用书P43正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件． [试一试] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R2．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x≤3π4的值域是________．解析：因为－π4≤x≤3π4，由y ＝sin x 的图像知－22≤sin x≤1，故函数y 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，11．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决． [练一练]1．函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是________．解析：作出函数y ＝|sin x|的图像观察可知，函数y ＝|sin x|在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上递增． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π，3π22．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22对应学生用书P44三角函数的定义域与值域1.函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即此时函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x)＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x>0，cos x≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π，－π3＋2k π≤x≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z3．(1)函数y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos2x 的最小值是________，最大值是________．解析：(1)y ＝2cos2x ＋5sin x －4＝2(1－sin2x)＋5sin x －4 ＝－2sin2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，ymax ＝1，当sin x ＝－1时，ymin ＝－9，故y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos2x ＝3－sin x －2(1－sin2x)＝ 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，ymin ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，ymax ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)782[备课札记] [类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x .[解] (1)由2k π＋π2≤x－π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x≤2k π＋7π4，k ∈Z.故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z)． (2)把函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x<k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x<k π2＋5π12，k ∈Z. 故函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．[备课札记]解：画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z)．[类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法： 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f(x)的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，02．(2013·苏北四市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.答案：34三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：求三角函数的对称轴或对称中心；由三角函数的对称性求参数值； 三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝－2sin2x ＋23sin x· cos x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，求f(x)的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)， 所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z)．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以－π6≤2x＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. 答案：π33．已知ω>0，函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.答案：2角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为______． 解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[备课札记] [类题通法]1．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f(x)取得最大或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f(x)＝0.2．对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． 对应学生用书P46[课堂练通考点]1．(2014·常州统考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π2的单调增区间是________． 解析：由0≤x≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4.又y ＝sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8，所以函数f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π82．已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为________．解析： 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π6≤x≤k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x－π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0 5．(2013·南京二模)对函数f(x)＝xsin x ，现有下列命题：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心；(4)函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________(填序号)．解析：由f(x)＝x sin x 知其定义域为R ，对于(1)，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x ＝f(x)， 所以f(x)是偶函数；对于(2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝5π2， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2；对于(3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＝－3π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2≠－f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2； 对于(4)，f′(x)＝sin x ＋xcos x ，易知f′(x)>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，由(1)知f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．答案：(1) (4)[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x≥32， ∴2k π－π6≤x≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为________．解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.答案：π63．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________解析：∵ω>0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案：324．(2014·镇江期末)函数f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12－x x －1的对称中心坐标为________．解析：因为f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12－x x －1＝－＋1－xx －1＝－－－x －1(x≠1)，所以f(x ＋1)＋1＝cos xx，所得函数f(x)的对称中心为(1，－1)．答案：(1，－1)5．(2013·浙江高考改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f (x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z)；当φ＝π2时，f(x)为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x≤π3，∴π3≤2x＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]； 且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1]π127．设f(x)＝1－2sin x. (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f(x)取得最大值．8．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间．解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x≤k π＋π12，k ∈Z.∴f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·福州质检)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)试写出一个函数g(x)，使得g(x)f(x)＝cos 2x ，并求g(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g(x)＝cos x －sin x.理由如下：因为g(x)f(x)＝(cos x －sin x)(sin x ＋cos x)＝cos2x －sin2x ＝cos 2x ， 所以g(x)＝cos x －sin x 符合要求．又g(x)＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x<2k π＋7π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z. 由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x<2k π＋3π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z.2．已知a>0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]．∴f(x)∈[b,3a ＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z. 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.第四节函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用对应学生用书P461．y ＝2.用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝Asin ωx 的图像得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|. [试一试]1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为__________． 答案：2，1π，－π42．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω 的值为________． 答案：141．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法2．学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．[练一练]1．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，02．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像至少向左平移__________个单位．解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可．答案：12对应学生用书P47的解析式1.(2013·四川高考改编)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω＋φ的值是________． 解析：由图知最小正周期T ＝211π12－5π12＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f(x)＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，φ＝－π3.答案：2－π32．(2013·苏北四市三调)若函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的。

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)集合教学案

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第一节集__合[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． 二、集合间的基本关系 A B 或B A∅B (B ≠∅)三、集合的基本运算[小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选B 选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .2．(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析：选D 验证a ＝1时B ＝∅满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件． 4.(2012·盐城模拟)如图，已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}5．(教材习题改编)已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．典题导入[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2013＝________.[自主解答] (1)∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}， ∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. (2)由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2，故(m －n )2 013＝－1或0.[答案] (1)D (2)－1或0由题悟法1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝________.解析：(1)∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当a ＝0时，a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有8个元素． (2)∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3.∴a ＝－32满足条件．答案：(1)B (2)－32典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[自主解答] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. [答案] (1)D (2)4由题悟法1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．以题试法2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ⊆{2,3}可得6m＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2， 综上可得实数m ＝0或2或3.(理)已知集合A ＝{y |y ＝－x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 013}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．[－2 012,2 013]B ．(－2 012,2 013)C ．[－2 013,2 011]D ．(－2 013,2 011)解析：选B 集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域，由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，可得0≤y ≤1，故A ＝[0,1]．集合B 是不等式|x －m |<2 013的解集，解之得m －2 013<x <m ＋2 013，所以B ＝(m －2 013，m ＋2 013)．因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .如图，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m －2 013<0，m ＋2 013>1，解得－2 012<m <2 013.典题导入[例3] (1)(2011·江西高考)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )(2)(2012·安徽合肥质检)设集合A ＝{x |x 2＋2x －8<0}，B ＝{x |x <1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－4<x <2}C ．{x |－8<x <1}D ．{x |1≤x <2}[自主解答] (1)∵M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}． (2)∵x 2＋2x －8<0， ∴－4<x <2， ∴A ＝{x |－4<x <2}， 又∵B ＝{x |x <1}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}． [答案] (1)D (2)D将例3(1)中的条件“M ＝{2,3}”改为“M ∩N ＝N ”，试求满足条件的集合M 的个数． 解：由M ∩N ＝N 得M ⊇N .含有2个元素的集合M 有1个，含有3个元素的集合M 有4个， 含有4个元素的集合M 有6个，含有5个元素的集合M 有4个， 含有6个元素的集合M 有1个．因此，满足条件的集合M 有1＋4＋6＋4＋1＝16个．由题悟法1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(2012·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁U A)∩B等于( )A．{x|x>2，或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选C A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，∁U A＝{x|0≤x≤2}．∴(∁U A)∩B＝{x|1<x≤2}．1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则( ) A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．(2012·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是( )A．2 B．3C．4 D．8解析：选C 依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( )A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}解析：选B 因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．4．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：选B 因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．5．(2013·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B的实数a的一个值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁U(A∩B)＝( ) A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x2－7x＋10<0⇔(x－2)·(x－5)<0⇒2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，故∁U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( ) A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3解析：选B 法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m ＝3.法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.又当m＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝{1,3，3}＝A，故选B.8．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是( ) A．(－3，－1) B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：选A 在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.9．若集合U ＝R ，A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝________. 解析：由题意得∁U B ＝(－∞，1)， 又因为A ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}， 于是A ∩(∁U B )＝(－2,1)． 答案：(－2,1)10．(2012·武汉适应性训练)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}． 答案：{5,6}11．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x<1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝________.解析：M ＝{x |x <0，或x >2}，所以∁R M ＝[0,2]， 又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁R M )＝[0,2]． 答案：[0,2]12．(2012·吉林模拟)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁UA )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1213．(2012·苏北四市调研)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x 可化为(x －a )(x －1)≤0，由题意知不等式的解集为{x |1≤x ≤a }．A 中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为＋2＝28，所以7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：71．(2012·杭州十四中月考)若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝lg x ，110≤x ≤10，B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]解析：选A ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，10，∴y ∈[－1,1]，∴A ∩B ＝{－1,1}．2．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C 由36－x 2>0，解得－6<x <6.又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}． 依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然k ＝0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不同时在集合M 中，才能成为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选3与5，即M ＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}． 所以满足条件的集合M 共有5个．3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，那么( )A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥1解析：选A 由题意得M ＝{x |x ≥－a }，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U N ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，又M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，因此－a ＝1，a ＝－1.4．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确； ③令A 1＝{－4,0,4}，A 2＝{－2,0,2}，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，则a 2 013＋b 2 013＝________.解析：由已知得b a ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－12．集合S ＝{a ，b ，c ，d ，e }，包含{a ，b }的S 的子集共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个 解析：选D 包含{a ，b }的S 的子集有：{a ，b }；{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }；{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }；{a ，b ，c ，d ，e }共8个．3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x ，Venn 图如图所示，∴(20－x )＋6＋5＋4＋(9－x )＋x ＝36，解得x ＝8.答案：84．已知集合A ＝{x |x 2＋2x ＋a ≤0}，B ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，若A ，B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是________．解析：若A ，B 全为空集，则实数a 满足4－4a <0且a >4a －9，即1<a <3，则满足题意的a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)5．(2012·重庆高考)设平面点集A ＝(x ，y )(y －x )·⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47π D.π2解析：选D A ∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S C ＝S F ，S D ＝S E .因此A ∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一π2.半，即为。

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练-计数原理、概率

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练-计数原理、概率

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练－计数原理、概率第1节分类加法和分步乘法计数原理(理)一、选择题1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析：所有选法分两类：甲、乙恰有1人入选的选法有C 12C 27＝42种；甲、乙都入选的选法有C 17＝7种，故不同的选法有42＋7＝49(种)．答案：C2．(2020·菏泽模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，如此的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8；当公比为3时，等比数列可为1、3、9；当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1和8、4、2,9、3、1,9、6、4也是等比数列，共8个．答案：D3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A ．8种B ．9种C ．10种D ．11种解析：分四步完成，共有3×3×1×1＝9种． 答案：B4.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P －ABC 与正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对那个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )A ．24种B ．18种C．16种D．12种解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：D5．(2011·北京海淀区期末)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是()A．72B．60C．48D．12解析：分两种情形：当首位为偶数时有C12C13C12C12个，当首位为奇数时有C13C13C12C12个，因此总共有：C12C13C12C12＋C13C13C12C12＝60(个)．答案：B二、填空题6．若一份试卷共有10道选做题，分为两个系列，每个系列有5道题，要求考生选做6道题，但每个系列至多选4道题，则每位考生选做方案种数为________．解析：因为每组至多选4题，因此分为两类：一类是一个系列选4题，另一个系列选2题，共有A22·C45·C25＝100种方法；另一类是每个系列各选3题，共有C35·C35＝100种方法．由分类计数原理得共有100＋100＝200种不同的选做方案．答案：2007．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答)．解析：分两步：(1)先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，共有5种排法；(2)再排a2，a4，a6，共有A33＝6种排法，故不同的排列方法有5×6＝30种．答案：30三、解答题8．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，求如此的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数．解：M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．9．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解：(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．10.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解：依照A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则依照分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则依照分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球能够放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A33＝6种不同的放法，依照分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．第2节排列与组合(理)一、选择题1.将1,2,3，…，9数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3, 4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()A．6种B．12种C．18种D．24种解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排1,2，最右下角的格子只能是9，如此只要在剩余的四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故总的方法数是C24＝6.答案：A2．在数字1,2,3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A．6 B．12C．18 D．24解析：本题是要求某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”，“－”，有A22种排法，现在两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种方法，因此共有A22 A33＝12种方法．答案：B3．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有()A．70种B．80种C．90种D．100种解析：差不多事件的总数是C310，在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是C15C13C12，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有C310－C15C13C12＝90种．答案：C4．2020年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位职员值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有()A．1 440种B．1 360种C．1 282种D．1 128种解析：采取对丙和甲进行捆绑的方法：假如不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1 440种，假如“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．答案：D5．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均能够亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共能够出现出不同的变换形式的种数为()A．20 B．30C．50 D．80解析：按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，能够出现出不同的变换形式的种数为C35×2＝20种；第二类：三个灯泡两红一黄时，能够出现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，能够出现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种．故出现出满足条件的不同的变换形式的种数为20＋30＋30＝80.答案：D二、填空题6．(2020·本溪模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体竞赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)解析：①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种．②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种；因此共48种．答案：487．(2020·北京模拟)三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：依照题意，两端的座位要空着中间六个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，能够认为是坐后产生的空，故共有A34＝24种．答案：24三、解答题8．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？解：先选1空盒：C14，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3＋C23＝6种放法，剩3个红球有3＋1＋A23＝10种放法，由分步乘法原理，得不同放法共有C14×6×3×10＝720种．9．4名男同学，3名女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？解：(1)3名女同学是专门元素，先把她们排好，共有A33种排法；将排好的女同学视为一个整体，与男同学进行全排列，这时是5个元素的全排列，有A55种排法．由分步乘法计数原理有A33A55＝720种不同的排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4名男生的中间及两头的5个空档中插入3名女生共有A35种排法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种．10．某医院有内科大夫12名，外科大夫8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科大夫甲与某外科大夫乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有一名内科大夫和一名外科大夫，有几种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568种；(3)分两类：甲、乙中有一人参加；甲、乙都参加．共有C12C418＋C318＝6 936种选法；(4)法一：(直截了当法)：至少一名内科一名外科的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，因此共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656种选法．法二：(间接法)：由总数中减去五名差不多上内科大夫和五名差不多上外科大夫的选法种数，得共有C520－(C58＋C512)＝14 656种选法．第3节二项式定理(理)一、选择题1．(2020·潍坊模拟)二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．160D ．－160解析：二项式(2x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6·26－r·(－1)r ·x 6－2r .令6－2r ＝0，得r ＝3，因此二项式(2x －1x )6的展开式中的常数项是C 36·26－3·(－1)3＝－160. 答案：D2．(2020·日照模拟)若二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x －4的系数是( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：令x ＝1，则3n ＝243，解得n ＝5.二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 5x5－r ·2r ·x －2r＝2r ·C r 5·x 5－3r ，由5－3r ＝－4，得r ＝3.故展开式中x －4的系数是23C 35＝80.答案：A3． (2020·上海模拟)(1－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：二项式(1－x )8各项系数和为(1－1)8＝0，二项式(1－x )8展开式的通项公式为(－1)r·C r 8·x r2，当r ＝8时，可得x 4项的系数为(－1)8·C 88＝1，由此可得二项式(1－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为0－1＝－1.答案：A4．若(3x ＋1x )n 的展开式中各项系数和为1 024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有( )A ．2项B ．3项C ．5项D ．6项解析：令x ＝1，则22n ＝1 024，∴n ＝5.T r ＋1＝C r 5(3x )5－r(1x )r ＝C r 5·35－r ·x 10－3r 2，含x 的整数次幂即使10－3r 2为整数，r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项．答案：B5．(x ＋2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：因为(x ＋2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，因此n ＝10，T r ＋1＝C r 10·(x )10－r·(2x 2)r ＝2r C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，则r ＝2，T 3＝4C 210＝180.答案： A 二、填空题6．(2011·浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：关于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2.答案：27．若对任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 1＋a 2＋a 3＝________. 解析：令x ＝3得27＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3. 令x ＝2得8＝a 0， ∴a 1＋a 2＋a 3＝27－8＝19.答案：19三、解答题 8．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； 解：(1)通项公式为 T k ＋1＝C k n x -3n k(－12)k x 3k-＝C k n (－12)k x -23n k，因为第6项为常数项，因此k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令n －2k 3＝2，得k ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454.9．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1(或令x ＝0，得a 0＝1)， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. 10．求(1＋x )3(1＋1x )3的展开式中1x 的系数．解：利用二项式定理得(1＋x )3⎝⎛⎭⎫1＋1x 3的展开式的各项为C r 3x r ·C n 3x －n ＝C r 3C n 3xr －n ， 令r －n ＝－1，故可得展开式中含1x 项的是C 03·C 13x ＋C 13·C 23x ＋C 23·C 33x ＝15x ，即(1＋x )3⎝⎛⎭⎫1＋1x 3的展开式中1x 的系数是15.第4节 随机事件的概率(理)一、选择题1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，假如该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身精湛过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必定事件发生的概率是1，因此该同学的身精湛过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．(2020·皖南八校联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析： 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后显现的点数中有3的概率为( ) A.16 B.15 C.13 D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后显现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．(2020·合肥模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地平均的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16B.13C.12D.34解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是{a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，因此{b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情形，因此满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A二、填空题6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：P ＝35.答案：357．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：P ＝1－0.2×0. 25＝0.95.答案：0.95三、解答题8．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为3的概率；(2)求检验次数为5的概率．解：(1)记“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A ，则检验次数为3的概率为P (A )＝C 12C 15C 27·1C 15＝221.(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B ，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C ，则检验次数为5的概率为P ＝P (B )＋P (C )＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55C 57＝521.9．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x 、y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．(1)求满足a·b ＝－1的概率；(2)求满足a·b ＞0的概率．解：(1)设(x ，y )表示一个差不多事件，则两次抽取卡片的所有差不多事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、…、(6,5)、(6,6)，共36个．用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1，则A 包含的差不多事件有(1,1)、(3,2)、(5,3)，共3个，P (A )＝336＝112.(2)a·b ＞0，即x －2y ＞0，在(1)中的36个差不多事件中，满足x －2y ＞0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,2)，共6个，因此所求概率P ＝636＝16.10．某次会议有6名代表参加，A 、B 两名代表来自甲单位，C 、D 两名代表来自乙单位，E 、F 两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A 被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？ 解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．其中代表A 被选中的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ， D )，(A ，E )，(A ，F )，共5种，则代表A 被选中的概率为515＝13.(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为815；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为115.则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为815＋115＝35.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套课件解答题增分 系列讲座(三)

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套课件解答题增分 系列讲座(三)
解题规范
[典例] (2013·湖北高考)(本题满分 12 分)已知 Sn 是等 比数列{an}的前 n 项和，S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3 ＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出 符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由．
由题意得Sa22＋－aS34＋＝aS43＝－－S21，8，
1分
不注意a1，q的
即－a1qa11q＋2－qa＋1qq32＝＝a1－q21，8，
2分
范围，导致扣分.
解得aq1＝＝－3，2.
4分
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[解题流程] 第二步 根据所求，利用 公式求出 an.
解题规范
[适用题型] 在高考中，有以下几种解答题用到此种审题方法： 1．利用导数研究函数性质时，应注意函数定义域；
2．求等比数列前 n 项和应注意公比 q 的值，研究数列的 性质时，应注意 n 的取值；
3．观察三视图时，应注意平行与垂直.
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解答题增分 系列讲座（三） “数列”类题目的审题技巧 结束 与
为偶数，导致失分. 10分
即2n≥2 012，则n≥11.
11分
综上，存在符合条件的正整数n，
且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}. 1
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解答题增分 系列讲座（三） “数列”类题目的审题技巧 结束 与
解题规范
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7分 8分
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2020年高考数学一轮复习教案：第10章 第3节 几何概型(含解析)

2020年高考数学一轮复习教案：第10章 第3节 几何概型(含解析)

第三节几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19. ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D ．1B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．] 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．12[在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.]2．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.][规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法,求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P 的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()A.14 B.12C.23 D.34A[依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－π4B.π4C.π－32 D.π2－1(2)在满足不等式组⎩⎨⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0－2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34C.13 D.23(1)A(2)B[(1)方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面区域即△ABC，其面积为4，且事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是34.]与体积有关的几何概型P，使得V P-ABC＜12V S-ABC的概率是()A.78 B.34C.12 D.14A[当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为()A.34 B.23C.13 D.12D[由题图可知V F-AMCD＝13×S四边形AMCD×DF＝14a3，V ADF-BCE＝12a3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为14a312a3＝12.][规律方法]求解与体积有关的几何概型的注意点,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13 B.12C.23 D.34B[如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝20 40＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310B[如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4m nD.2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m n .]。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数y=sin(ωx+φ)的图象及三

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数y=sin(ωx+φ)的图象及三

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第四节函数y＝sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[知识能否忆起]一、y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念二、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A三、函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[小题能否全取]1．函数y ＝sin x2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝2π解析：选C 由x 2＝π2＋k π得x ＝π＋2k π(k ∈Z )．故x ＝π是函数y ＝sin x2的一条对称轴．2．(教材习题改编)已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A 最小正周期为T ＝2ππ3＝6；由2sin φ＝1，得sin φ＝12，φ＝π6.3．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.答案：31.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．2．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于ωx 加减多少值．典题导入[例1] 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [自主解答] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．由题悟法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．以题试法1．(2012·江西省重点中学联考)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：选A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，注意到当x ＝－π2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时y ＝－cos 2x 取得最大值，因此直线x ＝－π2是该图象的一条对称轴.典题导入[例2] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[自主解答] 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝2sin π3＝62.[答案]62若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f (0)．解：由图知A ＝5，由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.此时y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 将最高点坐标⎝⎛⎭⎫π4，5代入y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ， 得5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π3，f (0)＝5sin π3＝532.由题悟法确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π(如例2)．以题试法2．(1) (2012·浙江金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋56π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－π16，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋π4，k ∈Z 解析：选D 依题意A ＝2,2sin φ＝3且|φ|<π2，则φ＝π3，由2sin ⎝⎛⎭⎫πω12＋π3＝2得πω12＋π3＝π2，则ω＝2， 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3>1，得2k π＋π6<2x ＋π3<2k π＋5π6(k ∈Z )，所以k π－π12<x <k π＋π4(k ∈Z )．(2)(2012·长春调研)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点、最低点，且AB ＝22，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝2D ．x ＝1解析：选D 由y ＝cos(ωx ＋φ)为奇函数知φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，则y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－sin ωx .由AB ＝22知 ⎝⎛⎭⎫T 22＋22＝22，所以T ＝4＝2πω，得ω＝π2，y ＝－sinπx 2.结合选项知当x ＝1时，y ＝－sin π×12＝－1，此时函数y ＝－sin πx2取得最小值，因此该函数图象的一条对称轴为x ＝1.典题导入[例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)求f (x )的增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域．[自主解答] (1)由图象知A ＝2，由T 2＝2π得T ＝4π，所以ω＝12.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ， ∴f (0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6， 由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6＝2， ∴12x 0＋π6＝π2＋2k π， x 0＝4k π＋2π3，k ∈Z ，又(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点， ∴x 0＝2π3.(2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π，所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3＋4k π，2π3＋4k π，k ∈Z . (3)∵－π≤x ≤π， ∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6≤1， ∴－3≤f (x )≤2，所以f (x )的值域为[－3，2]．由题悟法利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．以题试法3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为A ＋1＝3，所以A ＝2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以T 2＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，所以α＝π3.1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析：选A 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 2．(2012·潍坊模拟)将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sinx 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2xD ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：选B 平移后的函数解析式是y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .3．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2解析：选D 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ4.又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为 2.4.(2012·海淀区期末练习)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3解析：选C 由图可知，A ＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 5.(2013·福州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12 B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12 C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 解析：选D 由函数的图象可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.6.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 解析：选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.7.(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以，φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝3.答案： 38.(2012·成都模拟)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s.解析：单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期T ＝2π2π＝1.答案：19．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→(2)y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 答案：(4)(2)(或((2)(6)))10．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋n ＝4，－A ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，n ＝2.又因为函数的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4.由直线x ＝π3是一条对称轴可得4×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝k π－5π6(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π6.综上可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2. 11．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：12．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.1．(2012·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD u u u r 在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析：选A 由CD u u u r 在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2. 同时函数图象可以看做是由y ＝sin x 的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.2．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则下列结论中正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2 B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象解析：选D ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ＝f (x )·g (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x .T ＝2π2＝π，最大值为12，∴选项A 、B 错误．又∵f (x )＝cos x 2π−−−−−−→向右平移位个单 g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∴选项C 错误，D 正确．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大， 故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．1．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选C 依题意可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x ＝3cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，图象向左平移n (n >0)个单位得f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n ＋π6，要使平移后的函数为偶函数，则n 的最小值为5π6. 2．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式． 解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)， ∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4()k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 3．(2012·北京模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1， ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z . (3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4列表如下：故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象为：。

三维设计一轮复习资料数学

三维设计一轮复习资料数学

三维设计一轮复习资料数学三维设计一轮复习资料数学在三维设计领域中，数学是一门不可或缺的学科。

无论是建筑设计、工业设计还是动画制作，都离不开数学的应用。

因此，在准备三维设计一轮复习资料时，数学的内容是必不可少的。

本文将从几何、向量和矩阵等角度，为读者提供一些有关数学的复习资料。

几何是三维设计中最基础的数学概念之一。

在几何学中，我们学习了点、线、面以及它们之间的关系。

在三维设计中，几何的应用非常广泛。

例如，在建筑设计中，我们需要计算房间的体积和表面积，以确定材料的使用量。

在工业设计中，我们需要计算物体的尺寸和形状，以确保其符合设计要求。

因此，在复习几何时，我们应该重点关注点、线、面的性质和计算方法。

向量是三维设计中另一个重要的数学概念。

向量可以表示空间中的位移、速度和力等物理量。

在三维设计中，我们经常使用向量来描述物体的位置和方向。

例如，在动画制作中，我们可以使用向量来表示一个角色的位置和运动轨迹。

在工业设计中，我们可以使用向量来表示一个产品的尺寸和形状。

因此，在复习向量时，我们应该重点关注向量的定义、运算和应用。

矩阵是三维设计中另一个重要的数学工具。

矩阵可以表示多个向量或多个方程组成的系统。

在三维设计中，我们经常使用矩阵来表示物体的变换和投影。

例如，在建筑设计中，我们可以使用矩阵来表示一个建筑物的旋转、平移和缩放。

在动画制作中，我们可以使用矩阵来表示一个角色的骨骼和动作。

因此，在复习矩阵时，我们应该重点关注矩阵的定义、运算和应用。

除了几何、向量和矩阵，数学在三维设计中还有许多其他的应用。

例如，在光线追踪中，我们需要使用数学模型来模拟光线的传播和反射。

在纹理映射中，我们需要使用数学模型来将二维图像映射到三维物体上。

在碰撞检测中，我们需要使用数学模型来判断物体是否相交。

因此，在复习数学时，我们还应该关注这些具体的应用。

总结起来，数学在三维设计中起着至关重要的作用。

几何、向量和矩阵是三维设计中最基础的数学概念，我们应该重点复习它们的性质、运算和应用。

2020年高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学

2020年高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语全国卷5年考情图解高考命题规律把握说明:“Ⅰ1”指全国Ⅰ卷第1题,“Ⅱ1”指全国Ⅱ卷第1题,“Ⅲ1”指全国Ⅲ卷第1题.1.本章在高考中一般考查1个小题,以选择题为主,很少以填空题的形式出现．2.从考查内容来看,集合主要从两方面考查:一是集合间的关系；二是集合的运算,包含集合的交、并、补集运算．对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注．3.本章一般不涉及解答题,在知识的交汇上,集合往往以函数的定义域、值域,不等式的解集,曲线的点集为载体进行考查．常用逻辑用语常以函数、平面向量、不等式等为载体进行考查.第一节集__合一、基础知识批注——理解深一点1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性．元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈；不属于,记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N＋表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等:如果A ⊆B ,并且B ⊆A ,则A ＝B .两集合相等:A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集:不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集．记作∅.0,{0},∅,{∅}之间的关系:∅≠{∅},∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ＝{x |x ∈A ,且x ∈B }．(2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }．(3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作∁U A ,即∁U A ＝{x |x ∈U ,且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论汇总——规律多一点(1)子集的性质:A ⊆A ,∅⊆A ,A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆B . (2)交集的性质:A ∩A ＝A ,A ∩∅＝∅,A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质:A ∪B ＝B ∪A ,A ∪B ⊇A ,A ∪B ⊇B ,A ∪A ＝A ,A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质:A ∪∁U A ＝U ,A ∩∁U A ＝∅,∁U (∁U A )＝A ,∁A A ＝∅,∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n －1个真子集,2n －1个非空子集． (6)等价关系:A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x,y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若A B,则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C,则B＝C.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×(二)选一选1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2},B＝{x∈R|0≤x≤2},则A∪B＝()A．[0,3]B．[1,2]C．[0,3) D．[1,3]解析:选C因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3},所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合A＝{x∈N|x≤10},a＝22,则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析:选D因为22不是自然数,所以a∉A.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为() A．9 B．8C．5 D．4解析:选A法一:将满足x2＋y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共有9个．故选A.法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.(三)填一填4．若集合A＝{x|－2<x<1},B＝{x|x<－1或x>3},则A∩B＝________.解析:由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案:{x|－2<x<－1}5．已知集合U＝{－1,0,1},A＝{x|x＝m2,m∈U},则∁U A＝________.解析:∵A＝{x|x＝m2,m∈U}＝{0,1},∴∁U A＝{－1}．答案:{－1}考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2＝1},B ＝{(x ,y )|y ＝x },则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知a ,b ∈R,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2,a ＋b,0},则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合,B 表示直线y ＝x 上的点的集合,直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0,则ba ＝0,所以b ＝0,于是a 2＝1,即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去,因此a ＝－1,故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意． [题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3},B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A },则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析:选A 若x ∈B ,则－x ∈A ,故x 只可能是0,－1,－2,－3,当0∈B 时,1－0＝1∈A ；当－1∈B 时,1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时,1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时,1－(－3)＝4∉A ,所以B ＝{－3},故集合B 中元素的个数为2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92B.98C ．0D ．0或98解析:选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时,x ＝23,符合题意．当a ≠0时,由Δ＝(－3)2－8a ＝0,得a ＝98,所以a 的值为0或98.3.(2018·厦门模拟)已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为 .解析:因为P 中恰有3个元素,所以P =｛3,4,5｝,故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案:(5,6］考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0,x ∈R},B ＝{x |0<x <5,x ∈N},则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0},则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3},B ＝{x |－m <x <m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________． [解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2,∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4},比较A ,B 中的元素可知A B ,故选C.(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2},又B ⊆A ,∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4,故选C.(3)当m ≤0时,B ＝∅,显然B ⊆A . 当m >0时,因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ,在数轴上标出两集合,如图,所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述,m 的取值范围为(－∞,1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞,1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变,C ＝{x |0<x <5,x ∈N},则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选D 因为A ＝{1,2},由题意知C ＝{1,2,3,4},所以满足条件的B 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中,把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”,其他条件不变,则m 的取值范围为________．解析:若A ⊆B ,由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3,∴m 的取值范围为[3,＋∞)． 答案:[3,＋∞)3．已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0,x ∈R},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________．解析:①若B ＝∅,则Δ＝m 2－4<0,解得－2<m <2； ②若1∈B ,则12＋m ＋1＝0,解得m ＝－2,此时B ＝{1},符合题意； ③若2∈B ,则22＋2m ＋1＝0,解得m ＝－52,此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12,不合题意．综上所述,实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案:[－2,2) [解题技法]判定集合间基本关系的两种方法和一个关键 两种 方法 ①化简集合,从表达式中寻找两集合的关系；②用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系 一个 关键关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4},B ＝{－1,0,2,3},C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2},则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R,集合A＝{x|x2－3x－4>0},B＝{x|－2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2},∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4},因此∁R A＝{x|－1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D[解题技法]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn 图运算．(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解．对于端点处的取舍,可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A且属于B；并集元素勿遗漏,切记重复仅取一；全集U是大范围,去掉U中a元素,剩余元素成补集．考法(二)根据集合运算结果求参数[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0},B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4},则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞,4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4},B＝{a＋1,2a},若A∩B＝{4},则a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1[解析](1)集合A＝{x|x<－3或x>4},∵A∩B＝{x|x>4},∴－3≤m≤4,故选B.(2)∵A ∩B ＝{4},∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4,则a ＝3,此时B ＝{4,6},符合题意；若2a ＝4,则a ＝2,此时B ＝{3,4},不符合题意．综上,a ＝3,故选A.[答案] (1)B (2)A [解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0,x ∈Z},则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析:选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2,x ∈Z}＝{0,1},而A ＝{1,2,3},所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0},B ＝{x |lg x <2},则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析:选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12,B ＝(0,100),则∁R A ＝(－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞,所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1,＋∞),B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1,若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．(1,＋∞)解析:选A 因为A ∩B ≠∅, 所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈Z},B ＝{x |－1<x ≤4},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选B 依题意,集合A 是由所有的奇数组成的集合,故A ∩B ＝{1,3},所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析:选A 因为A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6},所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析:选B ∵全集为R,B ＝{x |x ≥1}, ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}, ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4},集合N ＝{x |x 2－2x <0},则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析:选D 由题意可得,N ＝(0,2),M ＝(－∞,4),所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2,B ＝{x |ln x ≤0},则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析:选A ∵12≤2x <2,即2－1≤2x <212,∴－1≤x <12,∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0,即ln x ≤ln 1,∴0<x ≤1,∴B ＝{x |0<x ≤1},∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },若A ∩B ＝A ,则a 的取值范围是( )A ．(－∞,2]B ．(－∞,1]C ．[1,＋∞)D ．[2,＋∞)解析:选D 由A ∩B ＝A ,可得A ⊆B ,又因为A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },所以a ≥2. 7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析:选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素,如图中阴影部分所示,又U ＝A ∪B 中有m 个元素,故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ,已知集合A ＝{2,4,6},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ,则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析:选B 由题意知,B ＝{0,1,2},B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13,则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2,共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x <1,且x ∈Z},则A ∩B ＝________.解析:依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1,x ∈Z}＝{－1,0}．答案:{－1,0}10．已知集合U ＝R,集合A ＝[－5,2],B ＝(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．解析:∵A ＝[－5,2],B ＝(1,4),∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案:{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ,y )|y ＝3x 2－3x ＋1},B ＝{(x ,y )|y ＝x },则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析:法一:由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1),所以A ∩B 中含有2个元素． 法二:由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0,所以该方程有两个不相等的实根,所以A ∩B 中含有2个元素．答案:212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2},B ＝{x |x ＜a },若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是__________． 解析:由log 2x ≤2,得0＜x ≤4,即A ＝{x |0＜x ≤4},而B ＝{x |x ＜a },由于A ⊆B ,在数轴上标出集合A ,B ,如图所示,则a ＞4.答案:(4,＋∞)13．设全集U ＝R,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2<x <4},C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ,A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ,求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知,A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4},所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ,可知C ⊆B ,画出数轴(图略),易知2<a <a ＋1<4,解得2<a <3.故实数a 的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注——1．命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误．(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件．②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件．③若A＝B,则p是q的充要条件．二、常用结论汇总——规律多一点1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”．()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×(二)选一选1．“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选C 由x 2＋3x ＝0,解得x ＝－3或x ＝0,则当“x ＝－3”时一定有“x 2＋3x ＝0”,反之不一定成立,所以“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的充分不必要条件．2．命题“若a >b ,则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ,则a >bD ．若a >b ,则a ＋c ≤b ＋c解析:选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(2018·唐山一模)若x ∈R,则“x >1”是“1x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选A 当x >1时,1x <1成立,而当1x <1时,x >1或x <0,所以“x >1”是“1x <1”的充分不必要条件．(三)填一填4．“若a ,b 都是偶数,则ab 是偶数”的逆否命题为________．解析:“a ,b 都是偶数”的否定为“a ,b 不都是偶数”,“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”,故其逆否命题为“若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数”．答案:若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数5．设向量a ＝(x －1,x ),b ＝(x ＋2,x －4),则“a ⊥b ”是“x ＝2”的____________条件． 解析:a ＝(x －1,x ),b ＝(x ＋2,x －4),若a ⊥b ,则a·b ＝0,即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0,解得x ＝2或x ＝－12, ∴x ＝2⇒a ⊥b ,反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12, ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案:必要不充分考点一 四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题:①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1,则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B,则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy＝1”,是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题；③若m≤1,Δ＝4－4m≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B,得B⊆A,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题,故①②③正确．[答案] D[解题技法]1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．判断命题真假的2种方法[提醒](1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；(2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提．[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1,则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1,则x2<1C．若x>1或x<－1,则x2>1D ．若x ≥1或x ≤－1,则x 2≥1解析:选D 命题的形式是“若p ,则q ”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若綈q,则綈p ”的形式,所以“若x 2<1,则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1,则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ,记原命题:“x ∈P ,则x ∈Q ”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析:选C 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z , 所以P Q ,所以原命题“x ∈P ,则x ∈Q ”为真命题,则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ,则x ∈P ”为假命题,则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法.[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ,b ,c ,d ∈R,则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p :x ＋y ≠－2,q:x ,y 不都是－1,则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1,b ＝0,c ＝3,d ＝4时,a ＋d ＝b ＋c ,但此时a ,b ,c ,d 不成等差数列；而当a ,b ,c ,d 依次成等差数列时,由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的必要不充分条件,故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12,得0＜x ＜1,则0＜x 3＜1,即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1,得x ＜1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x －12≥12, 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p :x ＋y ≠－2,q:x ≠－1或y ≠－1,所以綈p :x ＋y ＝－2,綈q:x ＝－1且y ＝－1,因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法利用定义判断 直接判断“若p ,则q ”“若q,则p ”的真假．在判断时,确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假 [提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别,要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R,则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 若x 2<1,则－1<x <1,∵(－∞,1)⊇(－1,1),∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ,n 为两个非零向量,则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 设m ,n 的夹角为θ,若m ,n 的夹角为钝角,则π2<θ<π,则cos θ<0,则m·n <0成立；当θ＝π时,m·n ＝－|m |·|n |<0成立,但m ,n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选A 设p :xy ≠1,q:x ≠1或y ≠1,则綈p :xy ＝1,綈q:x ＝1且y ＝1.可知綈q ⇒綈p ,綈p 綈q,即綈q 是綈p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件,即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0,得－2≤x ≤10,所以P ＝{x |－2≤x ≤10},由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P ＝S ,所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若綈P 是綈S 的必要不充分条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围．解:由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10},∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴S 是P 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且SP . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．[解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．[课时跟踪检测]1．已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q:“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析:选B 命题p :“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0,则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4,则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4,则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4,则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4,则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析:选C 根据逆否命题的定义可以排除A 、D,因为x 2＋3x －4＝0,所以x ＝－4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|＝|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A ．真,假,真B ．假,假,真C ．真,真,假D ．假,假,假解析:选B 当z 1,z 2互为共轭复数时,设z 1＝a ＋b i(a ,b ∈R),则z 2＝a －b i,则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2,所以原命题为真,故其逆否命题为真．取z 1＝1,z 2＝i,满足|z 1|＝|z 2|,但是z 1,z 2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad＝bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B a,b,c,d是非零实数,若a<0,d<0,b>0,c>0,且ad＝bc,则a,b,c,d不成等比数列(可以假设a＝－2,d＝－3,b＝2,c＝3)．若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α:如果x<3,那么x<5；命题β:如果x≥3,那么x≥5；命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析:选A本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确．6．(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:选C由|a－3b|＝|3a＋b|,得(a－3b)2＝(3a＋b)2,即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因为a,b均为单位向量,所以a2＝b2＝1,所以a·b＝0,能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10,|3a＋b|＝10,能推出|a－3b|＝|3a＋b|,所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．7．如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析:选C设集合A＝{(x,y)|x≠y},B＝{(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C＝{(x,y)|x＝y},B 的补集D＝{(x,y)|cos x＝cos y},显然C D,所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析:选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立,则Δ＝(－1)2－4m <0,解得m >14,因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时,必有m >0,但当m >0时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中,“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析:由A ＝B ,得tan A ＝tan B ,反之,若tan A ＝tan B ,则A ＝B ＋k π,k ∈Z.∵0＜A ＜π,0<B <π,∴A ＝B ,故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案:充要10．在命题“若m ＞－n ,则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________．解析:若m ＝2,n ＝3,则2>－3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m ＝－3,n ＝－2,则(－3)2>(－2)2,但－3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案:311．已知p (x ):x 2＋2x －m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________．解析:因为p (1)是假命题,所以1＋2－m ≤0,解得m ≥3.又p (2)是真命题,所以4＋4－m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案:[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法:①“若x ＋y ＝π2,则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题； ②“在△ABC 中,sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1,则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1,则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析:对于①,“若x ＋y ＝π2,则sin x “若sin x ＝cos y ,则x ＋y ＝π2”,当x ＝0,y ＝3π2时,有sin x ＝cos y 成立,,①正确；对于②,在△ABC中,由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C,②正确；对于③,“a＝±1”是“直线x－ay ＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件,故③错误；对于④,根据否命题的定义知④正确．答案:①②④13．写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假．解:(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,为真命题．(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题．(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识批注——理解深一点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q；③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作綈p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系．命题真假的判断口诀p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论汇总——规律多一点含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若命题p ∧q 为假命题,则命题p ,q 都是假命题．( ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p ,q 至少有一个是真命题,则p ∨q 是真命题．( )(4)若命题綈(p ∧q)是假命题,则命题p ,q 中至多有一个是真命题．( ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×(二)选一选1．命题∀x ∈R,x 2＋x ≥0的否定是( ) A ．∃x 0∈R,x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R,x 20＋x 0<0 C ．∀x ∈R,x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R,x 2＋x <0解析:选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．2．已知命题p :若x >y ,则－x <－y ；命题q:若1x >1y ,则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p )∨q 中,真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析:选C 由不等式的性质可知,命题p 是真命题,命题q 为假命题,故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题,则p ∧(綈q)为真命题；④綈p 为假命题,则(綈p )∨q 为假命题,故真命题为②③.3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R,x 2－1＝0D ．∀x ∈R,x 2＋x ＋2>0解析:选D 选项A 中,14<x 0<34,与x 0∈Z 矛盾,不成立；选项B 中,x 0＝－15,与x 0∈Z 矛盾；选项C 中,x ≠±1时,x 2－1≠0；选项D 正确．(三)填一填4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．答案:5．若命题p :不等式ax ＋b >0,命题q:关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b },则“p ∧q ”“p p ”形式的复合命题中的真命题是。

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练-统计、统计案例及算法初步1

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练-统计、统计案例及算法初步1

2022高考数学一轮复习三维设计我来演练－统计、统计案例及算法初步1第1节抽样方法一、选择题1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号．答案：C2．(2011·广州期末)具有A 、B 、C 三种性质的总体，其容量为63，将A 、B 、C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，假如抽取的样本容量为21，则A 、B 、C 三种元素分别抽取( )A ．12,6,3B ．12,3,6C ．3,6,12D ．3,12,6解析：A ：21×17＝3；B ：21×27＝6；C ：21×47＝12. 答案：C3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校某方面的情形，打算采纳分层抽样法抽取一个容量为90的样本，则应该在这三所学校分别抽取学生( )A ．30人 30人 30人B ．30人 45人 15人C ．20人 30人 10人D ．30人 50人 10人解析：抽取比例为9010 800＝1120，故甲、乙、丙分别抽取的人数有3 600×1120＝30； 5 400×1120＝45；1 800×1120＝15. 答案：B4．某中学采纳系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，因此第1小组中抽取的数值为7.答案：B5．(2020·武威模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采纳随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采纳系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采纳分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )A ．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率差不多上15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率差不多上15，③并非如此 C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率差不多上15，②并非如此 D ．采纳不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同解析：由抽样方法的性质知，抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，那个比例只与样本容量和总体有关．答案：A 二、填空题6．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人．为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数________人．解析：由已知条件可得，每一个个体被抽入样的概率为P ＝25200＝18，则女生应当抽取80×18＝10(人)．答案：107．(2011·乌鲁木齐模拟)某高中共有学生2 000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：则x ＝________.解析：可得b ＝200，设在全校抽取n 名学生参加社区服务，则有n 2 000＝10200＋200. ∴n ＝50.∴x ＝50－15－10＝25.答案：25 三、解答题8．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采纳哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？解：由于中、青、老年职工有明显的差异，采纳分层抽样更合理． 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80，因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人，120人，80人．9．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．假如采纳系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；假如样本容量增加一个，则在采纳系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n 6(人)，抽取技术员n 36×12＝n 3，抽取技工n36×18＝n2.因此n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，因此n 只能取6，即样本容量n ＝6.10．(2011·东北三校模拟)一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠推测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情形统计表：得分(分) 40 45 50 55 60 百分率15%10%25%40%10%现采纳分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：得60分的人数40×10%＝4.(1)设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ， ∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，∴小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.第2节 用样本估量总体一、选择题1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数，中位数，众数的大小关系是( )A ．平均数>中位数＝众数B ．平均数<中位数＝众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数＝中位数＝平均数 解析：由所给数据可知平均数为：20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋808＝50，中位数为50，众数为50. 答案：D2.一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)如茎叶图所示，记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清晰，其末位数记为x ，那么x 的值为( )17 0 3 x 8 9 18 01A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意可知，180＋181＋170＋173＋170＋x ＋178＋1797＝177，解得x ＝8. 答案：D3．为了了解某地区10 000名高三男生的躯体发育情形，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．依照图示，请你估量该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )A ．40B ．400C ．4 000D ．4 400解析：依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.答案：C4．(2011·西安模拟)某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2，则s 2＝( ) A.25 B.425 C.35D ．4解析：甲班的平均数为x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，甲班的方差为s 2甲＝(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)25＝25；乙班的平均数为x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，乙班的方差为s 2乙＝(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)25＝65；∵65＞25，∴s 2＝25. 答案：A5.(2011·江西高考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜ xC ．m e ＜m 0＜ xD ．m 0＜m e ＜ x解析：由图可知，30名学生的得分情形依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5显现次数最多，故m 0＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.因此得m 0＜m e ＜ x . 答案：D 二、填空题6．甲、乙两名同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，请你依照茎叶图判定谁的平均分高________．(填“甲”或“乙”)甲 乙 8 6 9 88327258291解析：由茎叶图能够看出， x 甲＝19(92＋81＋89×2＋72＋73＋78×2＋68)＝80, x 乙＝19(91＋83＋86＋88＋89＋72＋75＋78＋69)≈81.2, x 乙＞x 甲，故乙的平均数大于甲的平均数．答案：乙7.(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情形，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依照频率分布直方图估量，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3 000×0.2＝600.答案：600 三、解答题8．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观看图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全那个频率分布直方图；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105)作为这组数据的平均分，据此，估量本次考试的平均分.解：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，频率组距＝0.310＝0.03，补全后的频率分布直方图如下．(2)平均分为x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.9．(2011·开封模拟)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图(中间的数字表示身高的百位、十位数，旁边的数字分别表示身高的个位数)如图所示．甲乙81578842163599 81017256 6 9218 1(1)依照茎叶图判定哪个班的平均身高较高；(2)运算甲班的样本方差．解：(1)由茎叶图可知乙班身高比较集中在170～181之间，因此乙班的平均身高较高．(2)甲班的方差为：110[(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(164－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2.10.从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后边一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)样本的容量是多少？(2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范畴内的人数最多？并求该小组的频数、频率； (4)估量这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．解：(1)由于各组的组距相等，因此各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为116，316，616，416，216.设该样本容量为n ，则6n ＝216，因此样本容量为n ＝48.(2)由以上得频率分布表如下：成绩 频数(n i ) 频率(f i ) f i Δx i [50.5,60.5) 3 116 1160 [60.5,70.5) 9 316 3160 [70.5,80.5) 18 616 380 [80.5,90.5) 12 416 140 [90.5,100.5]6216180(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和38. (4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为(1－116)×100%＝93.75%.第3节 相关性、统计案例一、选择题1．最小二乘法的原理是( )A ．使得 i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]最小B ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )2]最小C ．使得∑i ＝1n[y 2i －(a ＋bx i )2]最小D ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小解析：依照线性回来方程表示到各点距离的平方和最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )] 2最小．答案：D2．(2011·陕西高考)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回来直线(如图)，以下结论正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，y )解析：回来直线恒过定点(x ，y )． 答案：D3．(2011·山东高考)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954依照上表可得线性回来方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：样本中心点是(3.5,42)，则a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 因此回来直线方程是y ＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ＝65.5. 答案：B4．(2020·东北三校联考)下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回来方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③回来方程y ＝bx ＋a 必过(x ，y )；④有一个2×2列联表中，由运算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；线性回来方程中x 的系数具备直线斜率的功能，关于回来方程y ＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回来方程的定义知，线性回来方程y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )，③正确；因为χ2＝13.079＞6.635，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确．答案：B5．(2020·烟台模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：依照上表提供的数据，求出y 对x 的线性回来方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5解析：样本中心点是(x ，y )，即(4.5，11＋t 4)．因为回来直线过该点，因此11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.答案：A 二、填空题6．(2020·嘉兴联考)为了判定高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：合计20 30 50已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ2≥5.024)≈0.025.依照表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．解析：由χ2＝4.844＞3.841.故有95%的把握认为选修文科与性别有关． 答案：95%7．某市民2006～2010年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如下表所示：年份 2006 2007 2008 2009 2010 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出y6.88.89.81012依照统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出________线性相关关系．(填“有”、“无”)解析：五个数据最中间的数为13，故中位数是13，观看可知y 与x 有相关关系，且y 与x 正相关．答案：13万元 有8．(2020·珠海模拟)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．(2)求线性回来方程．(结果保留到小数点后两位)(参考数据：∑i ＝17x i y i ＝3 245，x ＝25，y＝15.43，∑i ＝17x 2i ＝5 075，7(x )2＝4 375,7x －y －＝2 700)(3)推测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解：(1)散点图如图．(2)∵∑i ＝17x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43，∑i ＝17x 2i ＝5 075，7(x )2＝4 375,7x －y －＝2 700，∴b ＝∑i ＝17x i y i －7x ·y∑i ＝17x 2i －7(x )2≈0.78，a ＝y －b x ＝－4.07，∴线性回来方程是y ^＝0.78x －4.07.(3)进店人数80人时，商品销售的件数y ＝0.78×80－4.07≈58件．9．(2020·嘉兴模拟)某学生对其亲属30人的饮食适应进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.甲(50岁以下)乙(50岁以上) 1 2 0 1 5 6 6 7 3 2 3 6 7 9 5 3 4 2 4 5 8 5 8 6 1 8 7 6 4 7 5 8 5 3 2809(1)依照茎叶图，关心这位学生说明其亲属30人的饮食适应；(2)依照以上数据完成下列2×2的列联表：(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食适应与年龄有关，并写出简要分析附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)(3)χ2＝30×(8－128)212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，因此有99%的把握认为亲属的饮食适应与年龄有关．10．(2011·扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一时期的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩.(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估量他的数学成绩大约是多少？并请你依照物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．解：(1)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100； y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100； ∴s 2数学＝9947＝142.∴s 2物理＝2507.从而s 2数学＞s 2物理，∴物理成绩更稳固．(2)由于y 对x 有线性相关关系，依照回来系数公式得到b ＝7i ＝1x i y i －7x －y －7i ＝1x 2i －7x2＝497994＝0.5，a ＝y －b x ＝100－0.5×100＝50. ∴线性回来方程为y ＝0.5x ＋50.当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分． 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步提高．第4节算法初步一、选择题1．下面语句描述的算法，输出的结果是( )A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0解析：由语句知a ＝1＋3＝4，b ＝1. 答案：B2．(2020·南昌模拟)若如下框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判定框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k ＜8D ．k ＞8解析：据算法框图可得当k ＝9时，S ＝11； k ＝8时，S ＝11＋9＝20. ∴应填入k >8. 答案：D3．(2020·金华模拟)执行下面的算法框图，输出的S ＝( )A ．25B ．9C ．17D ．20解析：此算法框图中循环体执行了2次输出的结果为17. 答案：C4.(2020·南昌模拟)右图是运算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ≤－20，－2<x ≤32x ，x >3的值的算法框图，在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x ，y ＝0C ．y ＝0，y ＝2x ，y ＝ln(－x )D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2x解析：依题意得，当x ≤－2时，y ＝ln(－x )，因此①处应填y ＝ln(－x )；当－2<x ≤3时，y ＝0，因此③处应填y ＝0；当x >3时，y ＝2x ，因此②处应填y ＝2x .答案：B5.(2011·山东济宁一模)某算法框图如图所示，现输入如下四个函数，则能够输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x D ．f (x )＝|sin x |解析：该算法框图的功能是选择出既是奇函数又存在零点的函数．选项A 、D 不合题意； 关于选项B ，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0不存在零点，也不符合题意．关于选项C ，当x ∈R 时，f (－x )＝e －x －e xe －x ＋e x ＝－f (x )，且f (0)＝0，即该函数是奇函数且存在零点．答案：C 二、填空题6．(2020·上海模拟)依照如图所示的框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x 的取值范畴是________．解析：由框图可得输出值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ＜0，4－2x ， x ≥0，若y ∈[－1,0]，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x 2≤0，x ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤4－2x ≤0，x ≥0，解得2≤x ≤52. 答案：[2，52]7．阅读如下图所示的框图，则运行后输出的结果是________．解析：依次执行的是S ＝1，i ＝2；S ＝－1，i ＝3；S ＝2，i ＝4；S ＝－2，i ＝5；S ＝3，i ＝6；S ＝－3，i ＝7，现在满足i ＞6，故输出的结果是－3.答案：－3 三、解答题8．画出运算S ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的框图． 解：如图所示：9．对一种零件检测了8次，得到的数据如下表所示：检测次数 1 2 3 4 56 7 8 检测数据a i3940424243454647上述数据的统计分析中，一部分运算见如图所示的框图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的s的值．解：因为这8个数据的平均数a＝39＋40＋42＋42＋43＋45＋46＋478＝43，故其方差为18[(39－43)2＋(40－43)2＋(42－43)2＋(42－43)2＋(43－43)2＋(45－43)2＋(46－43)2＋(47－43)2]＝7，故输出的s的值为7.10.(2020·佛山模拟)“世界睡眠日”定在每年的3月21日.2011年的世界睡眠日主题是“关注中老年睡眠”，以唤起全社会对该群体睡眠健康的重视．为此某网站进行连续一周的在线调查，共有200名中老年人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．(1)画出频率分布直方图；(2)睡眠时刻小于8小时的频率是多少？(3)为了对数据进行分析，采纳了运算机辅助运算．分析中一部分运算见算法框图，求输出的S的值，并说明S的统计意义．序号(i)分组睡眠时刻组中值(m i)频数(人数)频率(f i) 1[4,5) 4.580.042[5,6) 5.5520.26 3[6,7) 6.5600.30 4[7,8)7.5560.285[8,9)8.5200.106[9,10)9.540.02 解：(1)频率分布直方图如图所示．(2)睡眠时刻小于8小时的频率是p＝0.04＋0.26＋0.30＋0.28＝0.88.(3)第一要明白得题中算法框图的含义，输入m1，f1的值后，由赋值语句：S＝S＋m i·f i 可知，算法框图进入一个求和状态．令a i＝m i·f i(i＝1,2，…，6)，数列{a i}的前i项和为T i，即T6＝4.5×0.04＋5.5×0.26＋6.5×0.30＋7.5×0.28＋8.5×0.10＋9.5×0.02＝6.70，则输出的S为6.70.S的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时刻．。

【三维设计】高中数学 第1部分 第三章 §11

【三维设计】高中数学 第1部分 第三章 §11
(1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果 保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量 检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？
[精解详析](1)依据频率公式计算表①中“篮球是优等 品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表②中“篮 球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.
[精解详析] ①事件是必然事件，其概率为1，正确； ②事件是随机事件，其概率不为0，不正确； ③事件是不可能事件，其概率为0，不正确； ④事件是随机事件，其概率小于1，正确． 综上，正确说法的序号是①④. 答案：①④
[一点通] 准确掌握随机事件、必然事件、不可能事 件的概念是解题的关键，应用时要特别注意，看清条件， 在给定条件下判断是一定发生，还是不一定发生，还是一 定不发生来确定属于哪一类事件．
1．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，
此事件是
()
A．必
解析：当截成的三段满足任意两段的长度和都大于第三
段的长度时才能构成三角形，故此事件为随机事件．
答案：C
2．指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件： ①如果a>b，那么a－b>0； ②某射手射击一次，击中10环； ③在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大； ④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面； ⑤从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4 号签； ⑥导体通电后，发热. 解：根据三类事件的分类标准知：①⑥是必然事件；③ 是不可能事件；②④⑤是随机事件．
把一枚质地均匀的硬币连续掷 1 000 次，其中有 498 次正 面朝上，502 次反面朝上．
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一、选择题
1．(2011·西安模拟)某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )
A.
113 B.1
9
C.1
4
D.1
2
解析：由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22
π×62＝1
9.
答案：B
2．(2012·淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2
与81 cm 2
之间的概率为( )
A.1
4 B.13 C.4
27
D.415
解析：面积为36 cm 2
时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2
时，边长AM ＝9， ∴P ＝9－612＝312＝14.
答案：A
3．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π
12 B ．1－π12
C.π
6
D ．1－π6
解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13
＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12
.
答案：B
4．(2012·临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝2有公共点的概率为( )
A.2
5
B.25
C.3
5
D.3210
解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|
2≤2，解得
－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝2
5
.
答案：B
5．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.4
5 B.15 C.1
3
D.12
解析：依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝1
5
.
答案：B 二、填空题
6． (2012·海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到．那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．
解析：据题意爆破点能被检测到所在平面区域为以各个顶点为圆心，以200米为半径的四分之一圆，故由几何概型可知所求事件的概率为π×200×2001 000×1 000＝π
25
.
答案：π25
7．在区域M ＝{(x ，y )|⎩
⎪⎨
⎪⎧
0＜x ＜2
0＜y ＜4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，
y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＜4y ＞x x ＞0
}内的概率是________．
解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．
S 阴影＝12
×4×2＝4，
故所求概率P ＝44×2＝12
. 答案：12
三、解答题
8．(2012·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；
由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，
所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a·b ＝－1的概率为336＝112
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；
满足a·b ＜0的基本事件的结果为
A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}；
画出图形如下图，
矩形的面积为S 矩形＝25，
阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a·b ＜0的概率为21
25.
9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a∥b ”为事件A ，由a∥b ，得x ＝2y .
Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，
(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；
其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P (A )＝212＝1
6
.
(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x
＋y ＜0，且x ≠2y
.
Ω＝⎩
⎨⎧
x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.
B ＝⎩
⎨⎧
x ，y
⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y .
则P (B )＝12×12＋3
2×23×2＝1
3
.
10．(2012·深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y
i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M . (1)设集合P ＝{－4，－3，－2，，0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组；
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .
∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝
212＝1
6
. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨
⎪
⎧
0≤x ≤30≤y ≤4
}内，属于几何概型．该
平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0x ≥0
y ≥0}，其图形如图中的三角形
OAD (阴影部分)．
又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，3
2)，
∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝9
4.
∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝3
16.。

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