2004级《离散数学I》试题(B)答案

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离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学(B)答案

杭州师范大学钱江学院2013 —2014 学年第二学期期末试卷_ 班_《离散数学》(B)卷命题教师_田正平_一、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共20分）1、 “如果地球比太阳大，那么月球就比地球大。

”是假命题。

（ ⨯ ）2、 “‘请勿吸烟!’,不是命题。

”是命题。

（ ∨ ）3、命题)(p q p →⌝→是重言式。

（ ∨ ）4、设集合},,{c b a X =上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100111R M ，则关系R 是传递关系。

（ ∨ ）5、在复数集合C 上关系}0),{(<++=ac di c bi a R 是等价关系。

（ ⨯ ）6、有限偏序集),(≤X 必定存最大元。

（ ⨯ ）7、集合},{b a A =到集合}3,2,1{=B 共有6个不同的关系。

（ ⨯ ） 8、完全图n K 的色数n K n =)(χ。

（ ∨ ）9、若图有欧拉通路，则图的所有顶点的度数都是偶数。

（ ⨯ ） 10、连通偶图一定是哈密顿图。

（ ⨯ ）二、填空题（每空4分，共20分）1、哈密顿图),(E V G =。

解：包含),(E V G =的每一个顶点的基本回路称为G 的哈密顿回路。

具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。

2、将命题：“我今天出差，除非我病倒。

”符号化。

解：设命题P ：我今天出差，命题Q ：我生病。

则命题：“我今天出差，除非我病倒。

”可以符号化为：Q P ⌝↔。

3、全序集),(≤X 。

解：设),(≤X 是偏序集，且对X 中任意两个元素y x ,，关系x y y x ≤≤,总有一个成立，则称),(≤X 是全序集。

4、轮图n W 的色数4)(5=W χ。

5、设顶点v 是图),(E V G 的割点，则)()(G v G ωω>-三、选择题（每题4分，共20分）1、下面命题公式中，重言式是（ AB D ）（A ）)(Q P P ∨→ (B ) P P P ⌝→⌝→)((C) )()(R Q Q P P ∧⌝∧→⌝∨ (D) )()(Q P Q P ⌝↔⌝→↔2、设集合}10,6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系，则关系R （ D ）（A ）有最大元，有最小元 (B)有最大元，无最小元(C) 无最大元，有最小元 (D) 无最大元，无最小元3、下图（ A ）（A ）有欧拉通路，有哈密顿回路 (B)有欧拉回路，无哈密顿通路(C) 无欧拉通路，无哈密顿回路 (D) 无欧拉回路，有哈密顿通路4、)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀↔∨∀是（ C ）（A ）永真式 (B) 矛盾式 (C) 可满足式 (D) 以上都不是5、集合A={1,2,3}上的五个关系（1）)}3,3(),3,1(),2,1(),1,1{(1=R （2）)}3,3(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(2=R （3）)}3,2(),3,1(),2,1(),1,1{(3=R （4）∅=4R （5）A A R ⨯=5中同时是对称关系和传递关系的是（ B ）（A ）431,,R R R (B) 542,,R R R(C ) 532,,R R R (D) 321,,R R R四、计算题（每题4分，共20分）1、设集合}6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系, 写出关系R 的关系矩阵。

离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。

B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。

C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。

D. 无向图和有向图都只由边组成。

答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。

B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。

C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。

D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。

答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。

答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。

答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。

答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。

答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。

答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。

证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。

设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。

同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试试题(有几套带答案)

离散试卷及答案离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1)(P ∧(Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∧Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ((P ∨Q)∨(P ∨Q))∧RT ∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))（P ∧(Q ∨R)）∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q)∨(P ∧R))∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分） 1）C ∨D, (C ∨D) E, E (A ∧B), (A ∧B)(R ∨S)R ∨S证明：(1) (C ∨D) E(2) E (A ∧B) (3) (C ∨D)(A ∧B)(4) (A ∧B)(R ∨S)(5) (C ∨D)(R ∨S)(6) C ∨D (7) R ∨S 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明（1）xP(x)(2)P(a) (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。

离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ∩答案：A2. 对于命题逻辑，下列哪个是真值表的表示方法？A. 真值表B. 逻辑图C. 布尔代数D. 集合论答案：A3. 以下哪个是图论中的基本单位？A. 点B. 线C. 面D. 体答案：A4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x=-1处的值是：A. 0C. 4D. 6答案：C5. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的记录？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D6. 以下哪个是离散数学中的归纳法证明方法？A. 直接证明法B. 反证法C. 归纳法D. 构造性证明法答案：C7. 在逻辑中，以下哪个是析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. ¬PD. P → Q答案：B8. 以下哪个是图的遍历算法？B. BFSC. Dijkstra算法D. Floyd算法答案：B9. 在集合{1, 2, 3}上，以下哪个是幂集？A. {∅, {1}}B. {1, 2}C. {1, 2, 3}D. 所有选项答案：D10. 以下哪个是递归算法的特点？A. 不能自我调用B. 必须有一个终止条件C. 必须有一个基本情况D. 所有选项答案：D二、填空题（每空2分，共20分）1. 在离散数学中，_________ 表示一个命题的否定。

答案：¬P2. 如果集合A和集合B的交集为空集，那么A和B被称为_________。

答案：不相交3. 一个函数f: A → B是_________，如果对于集合B中的每个元素b，集合A中至少有一个元素a与之对应。

答案：满射4. 在图论中，一个没有环的连通图被称为_________。

答案：树5. 一个命题逻辑公式是_________，如果它在所有可能的真值分配下都是真的。

答案：重言式6. 一个关系R在集合A上是_________，如果对于A中的任意两个元素a和b，如果(a, b)属于R，则(b, a)也属于R。

离散数学习题与参考答案

习题六格与布尔代数
一、填空题
1、设是偏序集,如果_________, 则称<A, ≤>是(偏序)格.
2、设〈B,∧,∨,′，0，1〉是布尔代数，对任意的a∈B,有a∨a′=____,a∧a′=______.
3、一个格称为布尔代数，如果它是______格和______格.
4、设<>是有界格，a,b L,若a b=0,则a=b=_____；若a b=1,则a=b=____.
二、证明题
1、设<L, ≤>是格，a,b,c,d∈L。

试证：若a≤b且c≤d，则
a∧c≤b∧d
2、证明：在有补分配格中，每个元素的补元一定唯一。

3、设<S,⊕,⊙,′,0,1>是一布尔代数，则
R={<a,b> | a⊕b=b}是S上的偏序关系
4、若<A，≤>是一个格，则对任意a、b 、c∈A，有若a≤c且b≤c，则a∨b ≤c。

5、若<A，≤>是一个格，则对于任意a，b∈A，证明以下两个公式等价；（1）a≤b
（2）a∨b =b
6、证明：如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配的，反之亦然。

7、如果<A,≤>是有界格，全上界和全下界分别是1和0，则对任意元素a∈A，证明：
a∨1=1∨a=1 ，a∨0=0∨a=a。

离散数学试题及答案

离散数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个是由离散数学的基本概念组成的？A. 集合论和函数论B. 图论和逻辑C. 运算符和关系D. 全数论和数论答案：B2. 下列哪个是离散数学的一个应用领域？A. 数据结构和算法分析B. 微积分和线性代数C. 概率论和统计学D. 数值分析和微分方程答案：A3. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A交B的结果是：A. {1, 2, 3, 4}B. {2, 3}C. {2}D. {1}答案：B4. 下列哪个是对于集合的补集运算的正确描述？A. A∪A' = ∅B. A∩A' = ∅C. A - A' = AD. A'∩B' = (A∪B)'答案：B5. 若命题p为真，命题q为假，则命题p→q的真值为：A. 真B. 假C. 不确定D. 无法确定答案：B二、填空题1. 对于命题“如果x是偶数，则x能被2整除”，其逆命题为________________。

答案：如果x不能被2整除，则x不是偶数。

2. 在一个完全图中，如果有12条边，则这个图有__________个顶点。

答案：6个顶点。

3. 设集合A={1, 2, 3, 4}，则A的幂集的元素个数是__________。

答案：2^4=16个元素。

4. 设关系R={(-1, 0), (0, 1), (1, 0)}，则R的逆关系是__________。

答案：R^(-1)={(0, -1), (1, 0), (0, 1)}。

5. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A的笛卡尔积B是__________。

答案：A×B={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。

三、计算题1. 求集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集。

《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）及答案

《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟⼀、选择题（每题2分，共20分）1. 下述命题公式中，是重⾔式的为( )（A ）)()(q p q p ∨→∧（B ）q p ∨))()((p q q p →∨→?（C ）q q p ∧→?)(（D ）q q p →?∧)(2. 对任意集合A,B,C,下列结论正确的是（）（A ）若A ?B,B ∈C,则A ?C ；（B ）若A ∈B,BC,则A ?C ；（C ）若A ?B,B ∈C,则A ∈C ；（D ）若A ∈B,B ?C,则A ∈C ； 3. 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系, ,则由R 产⽣的S S ?上⼀个划分共有( )个分块。

（A ）4（B ）5（C ）6（D ）94. 下列偏序集( )能构成格5. 连通图G 是⼀棵树当且仅当G 中( )（A ）有些边是割边（B ）每条边都是割边（C ）所有边都不是割边（D ）图中存在⼀条欧拉路径6. 有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平⾯图的必要条件( )（A ） 63-≤n m（B ）63-≤m n （C ）63-≥n m （D ） 63-≥m n7. 设P,Q 的真值为0,R,S 的真值为1,则下⾯命题公式中真值为1的是（）（A ）R →P （B ）Q ∧S （C ）P S （D ）Q ∨R 8. 在图G=中,结点总度数与边数的关系是（）（A ）deg()2||i v E =（B ）deg()||i v E =（C ）deg()2||iv Vv E ∈=∑（D ）deg()||iv Vv E ∈=∑9. 设有33盏灯,拟公⽤⼀个电源,则⾄少需有五插头的接线板数（）（A ）７（B ）８（C ）９（D ）１４ 10. 设集合A 上有四个元素,则A 上的不同的等价关系的个数为（）（A ）11 （B ）14 （C ）17（D ）15⼆、填空题（每题2分，共20分）1. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则R= 。

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。

答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。

答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。

答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。

答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。

答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。

2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。

答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。

例如，小于关系就是一个二元关系。

3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。

答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。

例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。

四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。

2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。

答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。

《离散数学》试卷及答案精选全文完整版

解设谓词Q(x)：x是勤奋的；
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}

离散数学习题一二参考答案

离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9-7cb59b590d7d离散数学习题一二参考答案离散数学练习1的参考答案第一节集合的基数1.证明两个可数集的并是可数的。

证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}，b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。

⎧b2jj⎧2．证明有限可数集的并是可数集证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，Kk⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。

f:⎧i=1i=1⎧aijj（k-1）+i⎧3.证明可数个可数集的并是可数集。

证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3，∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞04.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。

证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z}那么整系数为a=an的多项式集；由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。

5.证明不存在等于其真子集的有限集证明：设集合a是有限集，则|a|=n，若b是a的真子集，则|b|≤|a|=n，a-b≠φ，即|a-b|=|a|-|ab|＞0；又a=（a-b）∪b，（a-b）b=φ，所以，，就是|a|＞|b|，即得结论。

6.证明正有理数集是可数的，从而证明有理数集是可数的。

m证明：因为q+={|m,n∈n}，是正分数集，n∞ n+让AI={|n∈ n} ，I=1,2,3,4,m}，AI是可数集，q=AIII=1由可数集性质4“可数个可数集的并仍然是可数集”，所以正有理数集合是可数集。

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案离散数学是一门涉及离散结构和逻辑推理的数学学科。

它在计算机科学、信息技术和其他领域中具有重要的应用价值。

离散数学考试试题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、图论、逻辑、代数结构等。

本文将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握这门学科。

一、集合论1. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。

答案：A与B的交集为{3,4,5}，并集为{1,2,3,4,5,6,7}，A与B的差集为{1,2}。

2. 设集合A={x|x是正整数，1≤x≤10}，B={x|x是偶数，2≤x≤8}，求A与B的笛卡尔积。

答案：A与B的笛卡尔积为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),...,(10,2),(10,4),(10,6),(10,8)}。

二、图论1. 给定图G，其邻接矩阵如下：| 0 1 1 0 || 1 0 0 1 || 1 0 0 1 || 0 1 1 0 |判断图G是否是连通图，并给出其连通分量。

答案：图G是连通图，其连通分量为{1,2,3,4}。

2. 给定图G，其邻接表如下：| 1 | 2 || 3 | 2 4 || 4 | 3 |判断图G是否是树，并给出其生成树。

答案：图G是树，其生成树为{1-2, 2-3, 3-4}。

三、逻辑1. 判断命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值。

答案：命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值为真。

2. 判断命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值。

答案：命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值为假。

四、代数结构1. 设集合S={0,1,2,3,4}，定义运算*如下：a*b = (a+b)%5其中%表示取余运算。

离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项表示“属于”关系？A. ⊆B. ⊂C. ∈D. ⊇答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → q) → p答案：B3. 以下哪个选项是命题逻辑中的德摩根定律？A. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬qC. ¬(p → q) = p ∧ ¬qD. ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q答案：A4. 以下哪个选项是命题逻辑中的蕴含等价？A. p → q ≡ ¬p ∨ qB. p → q ≡ ¬q → ¬pC. p → q ≡ p ∨ ¬qD. p → q ≡ ¬p ∧ q答案：A5. 以下哪个选项是关系的性质？A. 反身性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D6. 以下哪个选项是图论中的有向图？A. 无向图中的边没有方向B. 有向图中的边有方向C. 混合图中的边既有方向也有无方向D. 所有选项都是答案：B7. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 树是无环的B. 树是连通的C. 树是无向图D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 所有选项都是答案：D9. 以下哪个选项是组合数学中的排列？A. 从n个不同元素中取出m个元素的组合B. 从n个不同元素中取出m个元素的排列C. 从n个相同元素中取出m个元素的组合D. 从n个相同元素中取出m个元素的排列答案：B10. 以下哪个选项是集合论中的幂集？A. 一个集合的所有子集的集合B. 一个集合的所有真子集的集合C. 一个集合的所有超集的集合D. 一个集合的所有子集的个数答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的等价命题是什么？答案：等价命题是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同真值的命题。

离散数学考试题及详细参考答案

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A⋃B）－C=(A-B) ⋃(A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C, B→(A∧⌝S)⇒B→Eb)∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x⌝R(x) ⇒∃x⌝P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠∅且B≠∅，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

级离散数学IA卷详细答案

北京化工大学试卷2004.6离散数学（参考答案）一、填空题（共10分，每小题2分）1.∃xF(x)→∀yG(y,z)的前束范式是∀x∀y(F(x)→∀yG(y,z) ) 。

2.(p→q)∨p是（永真/永假/可满足）永真式。

3.设全集E={1,2,3,4,5,6}，其子集A={1,4},B={1,2,5}，则A∩~B= {4} 。

4.设集合M={a,b,c,d,e}，则M上一共有52个不同的等价关系。

5.设f：N×N→N，f (<x,y>) = x+y+1，令A={<x,y> | x,y∈N且f (<x,y>)=3}，则A的列举法表示为A= {<1,1>,<2,0>,<0,2>} 。

二、判断题（共10分，每小题2分，正确的在题号前打√，错误的在题号前打×）( √) 1.设X={a,b,c,d}，Y={1,2,3}，f={<a,1>,<b,2>,<c,3>}，则f 是从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的函数。

( ×) 2.已知A和B为两个集合，且A⊆B，则A∉ B一定为假。

( √) 3.设p,q,r,s为命题公式，如果p ⇔q且r ⇒s，则p∧r ⇒ q∧s。

( ×) 4.一个谓词公式，如果量词均出现在全式的开头，则称该谓词公式为前束范式。

( √) 5.设R是A上的自反关系，且当<a,b>∈R和<a,c>∈R时，必有<b,c>∈R，则R是A上的等价关系。

三、选择题（共10分，每小题2分）1.设个体域为整数集，P(x,y)：x+y = 1，Q(x,y)：x×y > 0，下列命题为真的是（ A ）。

A、∀x∃ y P(x,y)B、∃ x∀yP(x,y)C、∀x∃ y Q(x,y)D、∃ x∀yQ(x,y)2.设R是集合A上的自反关系，则下列叙述中不成立的是（ C ）。

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