必修五--不等式的知识点归纳和习题训练

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人教版数学高二必修五第三章《不等式》知识总结

人教版数学高二必修五第三章《不等式》知识总结

一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系.不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质,如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、基本不等式等.不等式是永恒的吗?显然不是,由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件,不同类型的不等式又有不同的解法.不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法;探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题,常采用观察—归纳—猜想—证明的思路,以数学归纳法完成证明.另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,这些问题无一不与不等式有着密切的联系.不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题,许多问题最终归结为不等式的求解或证明.解决这类综合问题的一般思维方法是:引参,建立不等关系,解某一主元的不等式(实为分离变元),适时活用基本不等式.其中建立不等关系的常用途径是:①根据题设条件;②判别式法;③基本不等式法;④依据某些变量(如sin x,cos x)的有界性等.二、主干知识1.不等式与不等关系.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系.不等式的性质包括“单向性”和“双向性”.单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的基础.因为解不等式要求的是同解变形.要正确理解不等式的性质,必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.双向性主要有:(1)不等式的基本性质:⎩⎪⎨⎪⎧a >b ⇔a -b >0,a =b ⇔a -b =0,a <b ⇔a -b <0,这是比较两个实数的大小的依据;(2)a >b ⇔b <a ;(3)a >b ⇔a +c >b +c .单向性主要有:(1)a >b ,b >c ⇒a >c ;(2)a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ;(3)a >b ,c >0(c <0)⇒ac >bc (ac <bc );(4)a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ;(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d; (6)a >b >0,m ∈N *⇒a m >b m ;(7)a >b >0,n ∈N *,n >1⇒n a >n b .特别提醒:(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.即:若a >b ,c >d ,则a +c >b +d ;若a >b ,c <d ,则a -c >b -d .但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.(2)左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.即:若a >b >0,c >d >0,则ac >bd ;若a >b >0,0<c <d ,则a c >b d. (3)左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方.即:若a >b >0,n ∈N *,n >1,则a n >b n 或n a >n b .(4)若ab >0,a >b ,则1a <1b ;若ab <0,a >b ,则1a >1b. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.一元二次不等式及其解法.解一元二次不等式常用数形结合法,基本步骤如下:①将一元二次不等式化成ax 2+bx +c >0的形式;②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解;③画出相应的二次函数的图象;④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集.设相应二次函数的图象开口向上,并与x 轴相交,则有口诀:大于取两边,小于取中间.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键”.要注意对字母参数的讨论,如果遇到下述情况则一般需要讨论:(1)在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ),比较两个根的大小,设根为x 1,x 2,要分x 1>x 2、x 1=x 2、x 1<x 2讨论.(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正负.(3)求解过程中,需用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.若按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论,最后应求并集.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集:设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x1、x2且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式的解的各种情况如下表所示:特别提醒:(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义,准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系.(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性.简单分式不等式可化为整式不等式求解:先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式,然后通过符号法则转化为整式不等式求解.转化为求不等式组的解时,应注意区别“且”、“或”,涉及最后几个不等式的解集是“交”,还是“并”.注意:不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(3)在解决实际问题时,先要从实际问题中抽象出数学模型,并寻找出该数学模型中已知量与未知量,再建立数学关系式,然后用适当的方法解决问题.(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型,解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类.分类相当于增加了题设条件,便于将问题分而治之.在解题过程中,经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象.强化分类意识,选择恰当的解题切入点,掌握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤:①在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.②在直线的一侧任取一点P(x0,y0),当C≠0时,常把原点作为特殊点.③将P(x0,y0)代入Ax+By+C求值,若Ax0+By0+C>0,则包含点P 的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域.也可把二元一次不等式改写成y>kx+b或y<kx+b的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域.(2)线性规划的有关概念:①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件;②关于变量x,y的解析式叫目标函数,关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数;③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;④满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.特别提醒:(1)画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,区域包括边界线,因此,将边界直线画成实线;无等号时区域不包括边界线,用虚线表示不包含直线l.(2)Ax +By +C >0表示在直线Ax +By +C =0(B >0)的上方,Ax +By +C <0表示在直线Ax +By +C =0(B >0)的下方.(3)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线l :Ax +By +C =0,若Ax 1+By 1+C 与Ax 2+By 2+C 同号,则P ,Q 在直线l 的同侧,异号则在直线l 的异侧.(4)在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时注意作图规范.4.基本不等式ab ≤a +b 2. (1)基本不等式:设a ,b 是任意两个正数,那么ab ≤a +b 2.当且仅当a =b 时,等号成立.①基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.②如果把a +b 2看做是正数a ,b 的等差中项,ab 看做是正数a ,b 的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. ③基本不等式ab ≤a +b 2几何意义是“半径不小于半弦”. (2)对基本不等式的理解:①基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数a ,b 的和与两正数a ,b 的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换.②“当且仅当a =b 时,等号成立”的含义:a.当a=b时等号成立的含意是:a=b⇒a+b2=ab;b.仅当a=b时等号成立的含意是:a+b2=ab⇒a=b;综合起来,其含意是:a+b2=ab⇔a=b.(3)设a,b∈R,不等式a2+b2≥2ab⇔ab≤a2+b22⇔ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a+b22.(4)基本不等式的几种变式:设a>0,b>0,则a+1a≥2,ba+ab≥2,a2b≥2a-b.(5)常用的几个不等式:①a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(根据目标不等式左右的运算结构选用);②设a,b,c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时,取等号);③真分数的性质:若a>b>0,m>0,则ba<b+ma+m(糖水的浓度问题).特别提醒:(1)用基本不等式求函数的最值时,要特别注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针.常用的方法为:拆、凑、平方.(2)用基本不等式证明不等式时,应重视对所证不等式的分析和化归,应观察不等式左右两边的结构,注意识别轮换对称式,此时可先证一部分,其他同理可证,然后再累加或累乘.题型1 恒成立问题(1)若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上f(x)min >A ;(2)若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上f(x)max <B.例 1 设函数f(x)=x ,g(x) =x +a(a>0),若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-ag (x )f (x )≤1恒成立,求a 的取值范围. 解析:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-ag (x )f (x )≤1⇔-1≤f (x )-ag (x )f (x )≤1,得0≤ag (x )f (x )≤2, 即ax +a 2x≤2在x ∈[1,4]上恒成立,也就是ax +a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立.令t =x ,则t ≥0,且x =t 2,由此可得 at 2-2t +a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立,设g(t) = at 2-2t +a 2,则只需⎩⎨⎧g (1)≤0,g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a -2+a 2≤0,4a -4+a 2≤0,解得 0<a ≤22-2,即满足题意的a 的取值范围是(0,22-2].题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立,则等价于在区间D 上的f(x)max >A ;(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立,则等价于在区间D 上的f(x)min <B.例2 若存在x ∈R ,使不等式|x -4|+|x -3|<a 成立,求实数a 的取值范围.解析:设f (x )=|x -4|+|x -3|,依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )=|x -4|+|x -3|≥|(x -4)-(x -3)|=1(等号成立的条件是3≤x ≤4).故f (x )的最小值为1,∴a >1.即实数a 的取值范围是(1,+∞).题型3 恰成立问题(1)若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立,则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ;(2)若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立,则等价于不等式f(x)<B 的解集为D.例4 已知函数y =2x 2-ax +10x 2+4x +6的最小值为1,求实数a 的取值集合. 解析:由y ≥1即2x 2-ax +10x 2+4x +6≥1⇒x 2-(a +4)x +4≥0恒成立,∴Δ=(a +4)2-16≤0,解得-8≤a ≤0(必要条件).再由y =1有解,即2x 2-ax +10x 2+4x +6=1有解,即x 2-(a +4)x +4=0有解,∴Δ=(a +4)2-16≥0,解得a ≤-8或a ≥0.综上即知a =-8或a =0时,y min =1,故所求实数a 的取值集合是{-8,0}.题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题:一般用a +b ≥2ab(a >0,b >0)解“定积求和,和最小”问题,用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b 22求“定和求积,积最大”问题,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法,构造定值条件的方法,和对等号能否成立的验证.若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用基本不等式解决实际问题.例5 已知0<x <2,求函数y =x(8-3x)的最大值.解析:∵0<x <2,∴0<3x <6,8-3x >0,∴y =x(8-3x)=13·3x ·(8-3x) ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x +8-3x 22=163, 当且仅当3x =8-3x ,即x =43时,取等号, ∴当x =43时,y =x(8-3x)有最大值为163. 设函数f(x)=x +2x +1,x ∈[0,+∞). 求函数f(x)的最小值.解析:f(x)=x +2x +1=(x +1)+2x +1-1, ∵x ∈[0,+∞),∴x +1>0,2x +1>0,∴x +1+2x +1≥2 2.当且仅当x +1=2x +1, 即x =2-1时,f(x)取最小值.此时f(x)min =22-1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解,一般步骤为:一是寻求约束条件和目标函数,二是作出可行域,三是在可行域内求目标函数的最优解,特别注意目标函数z =ax +by +c 在直线ax +by =0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系.简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点.例6若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分,则k 的值是( )A .73B .37C .43D .34解析:不等式组表示的平面区域如图所示:由于直线y =kx +43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0,43,因此只有直线过AB 中点时,直线y=kx +43能平分平面区域,因为A(1,1),B(0,4),所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,52.当y =kx +43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,52时,52=k 2+43,所以k =73. 答案:A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系.将二次函数看作主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况,一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论,而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征.例7 当m 为何值时,方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个负根?解析:方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个负根,则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=(4m )2-4×2×(3m -1)≥0,-b a =-4m 2=-2m <0,c a =3m -12>0,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1,m >0,m >13. ∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|13<m ≤12或m ≥1时,原方程有两个负根. 题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求实数 a 的取值范围.解析:∵f(x)的定义域为(-1,1),∴⎩⎨⎧-1<1-a <1,-1<1-a 2<1,∴⎩⎨⎧0<a <2,-2<a <2且a ≠0,∴0<a <2,①原不等式变形为f(1-a)<-f(1-a 2).由于f(x)为奇函数,有-f(1-a 2)=f(a 2-1),∴f(1-a)<f(a 2-1).又f(x)在(-1,1)上是减函数,∴1-a >a 2-1,解得-2<a <1.②由①②可得0<a <1,∴a 的取值范围是(0,1).题型8 求分式函数的最值例9 求函数y =x 4+3x 2+3x 2+1的最小值. 解析:y =(x 4+2x 2+1)+(x 2+1)+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1+1≥2(x 2+1)·1x 2+1+1=3,当且仅当x 2+1=1x 2+1,即x 2+1=1,即x =0时等号成立.题型9 数轴标根法(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积.(2)求出各因式为0的实数根,并在数轴上标出.(3)自最右端上方起,用曲线自右至左,依次由各根穿过数轴,遇奇次重根一次穿过,遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过).(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.例10解不等式(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)≤0.分析:本题考查高次不等式的解法,应用等价转化的方法显得较繁琐,可利用数轴标根法来解.解析:设y=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2),则y=0的根分别是-2,-1,1,2,将其分别标在数轴上,并画出示意图如下:∴不等式的解集是{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}.点评:利用数轴标根法解不等式,需注意:(1)要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围,可取特殊值检验,以防不慎造成失误.(2)有些点是否要舍掉,要仔细检验.题型10变换主元法例11设f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;分析:根据题意,f(x)可看作是m 的一次函数,也可以看作是x 的二次函数来解.解析:(1)依题意,设g(m)=(x 2-x +1)m -6,则g(m)是关于m 的一次函数且一次项系数x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34>0,∴g(m)在[-2,2]上递增. ∴欲使f(x)<0恒成立.需g(m)max =g(2)=2(x 2-x +1)-6<0,解得-1<x <2.∴实数x 取值范围是(-1,2).(2)方法一 ∵f(x)=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34m -6<0, 在x ∈[1,3]上恒成立.∴⎩⎨⎧m >0,f (x )max =f (3)=7m -6<0或⎩⎨⎧m =0,f (x )=-6<0或 ⎩⎨⎧m <0,f (x )max =f (1)=m -6<0.解得m <67. 方法二 要使f(x)=m(x 2-x +1)-6<0在[1,3]上恒成立,则有m <6x 2-x +1在x ∈[1,3]上恒成立. 而当x ∈[1,3]时,6x 2-x +1=6⎝⎛⎭⎪⎫x -122+34≥69-3+1=67.∴6x2-x+1的最小值为67.∴m<67.点评:若给出m的取值范围,则看作是m的一次函数,若给出x的取值范围,则看作是x的二次函数.。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.4知识点总结含同步练习及答案

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描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 ();能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题);能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题).二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ,,那么 .当且仅当 时,等号成立.对任意两个正实数,,数 叫做 , 的算术平均值,数 叫做 , 的几何平均值.均值不等式可以表达为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.均值不等式也称为基本不等式 .两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ,,下列不等式中不成立的是( )A. B.C. D.解:D,故 A 中不等式成立;,所以,所以 B 中不等式成立;,, ,所以不等式两边同时平方可得 ,故 C 中不等式成立.因为 的符号不确定,当时,不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ,,且 ,求 的最大值.解:由均值不等式可得 ,当且仅当 时等号成立,所以 ,当且仅当 , 时等号成立,所以 的最大值为 .x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述:例题:2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛,如求函数最值,证明不等式,比较大小,求取值范围,解决实际问题等.其中,求最值是其最重要的应用 .利用均值不等式求最值时应注意“一正,二定,三相等”,三者缺一不可.求函数 (x>3)\) 的最小值.解:因为 ,所以,所以当且仅当,即 时,取 “” 号,所以 .y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min (1)求函数的最小值;(2)求函数 的最大值.解:(1)当,所以,,所以当且仅当 ,即 时, 取得最小值 .(2)当,所以 ,,所以当且仅当 ,即 时, 取得最大值 .f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值.解:因为 ,所以 ,所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述:例题:3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤:①正确理解题意,设出变量,一般可以把要求最大(小)值的变量定为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;③在定义域内,求出函数的最大值或最小值;④正确写出答案.当且仅当 ,即 时, 取得最大值 .f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ,求证:.证明:因为 ,,,所以当且仅当 时,等号成立,所以 .a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ,深为 的长方形无盖水池,如果池底的造价是每平方米 元,池壁的造价是每平方米 元,求这个水池的最低造价.解:设水池的造价为 元,池底的长为 ,则宽为.所以当且仅当 ,即 时,等号成立.所以当 时,.答:水池的最低造价为元.8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车,购车费用是 万元,每年使用的保险费、汽油费约为 万元,年维修费第一年是 万元,以后逐年递增 万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?解:设使用 年时,年平均费用 最少.由于“年维修费第一年是 万元,以后逐年递增 万元”,可知汽车每年维修费构成以 万元为首项, 万元为公差的等差数列.因此汽车使用 年的总维修费用为万元,所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 (查看更多本章节同步练习题,请到快乐学)当且仅当 ,即 时, 取得最小值.答:汽车使用 年时年平均费用最少.y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案:1. 若 ,下列不等式中总能成立的是 A .B .C .D .Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案:2. 下列各式中最小值是 的是 A .B .C .D .D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案:解析:3. 已知 ,则函数 的最大值是A .B .C .D .C ,由 可得 ,根据基本不等式可得,当且仅当 即 时取等号,则 .x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案:4. 如果正数 满足 ,那么 A . ,且等号成立时 的取值唯一B . ,且等号成立时 的取值唯一C . ,且等号成立时 的取值不唯一D . ,且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。

高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细 )

高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细 )

第一部分必修五不等式知识点整理第三章 不等式1.不等式的性质:① c a c b b a >⇒>>,② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>③ 000;0;0>>⇒⎭⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a2.一元二次不等式及其解法:①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。

如:2ax bx c ++>0的解为:α<x <β, 则2ax bx c ++=0的解为12,x x αβ==; 函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下,且与x 轴交于点(),0α,(),0β。

对于函数()c bx ax x f ++=2,一看开口方向,二看对称轴,从而确定其单调区间等。

②.注意二次函数根的分布及其应用.如:若方程2280x ax -+=的一个根在(0,1)上,另一个根在(4,5)上,则有(0)f >0且(1)f <0且(4)f <0且(5)f >03.不等式的应用: ①基本不等式:当a >0,b >0且ab 是定值时,a+b 有最小值; 当a >0,b >0且a+b 为定值时,ab 有最大值。

②简单的线性规划:()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域.()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题

高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题

一对一个性化辅导教案例1:解下列不等式题型2:简单的无理不等式的解法例1 :解下列不等式(2) x 2x 2 1题型3 :指数、对数不等式2例1 :若log a 1,则a 的取值范围是()3A. a 1B . 0 a —C - — a 133练习:1 2x 1 .x 1 ;(1) x 3 4x 0 ;2 2(2) (x 1) (x 5x 6) 0 ;(3)2x 2 x 1 2x 1练习: 解不等式(1)3x 5 x 2 2x 3(2) (2x 1)2(x 7)3(3 2x)(x 4)6D. 0 a -或 a 131、不等式2x 3 4x的解集是__________________ 。

2、不等式log1(x 2) 0的解集是_____________ 。

22e x 1x 23、设f(x)=‘1则不等式f(x) 2的解集为( )log3(x2 1),x 2,A. (1,2) (3, ) B . (710, ) C. (1,2) ) D . (1,2)题型4 :不等式恒成立问题1 2例1:若关于x的不等式一X 2x mx的解集是{x |0 x 2},则m的值是2练习:2 1 1一元二次不等式ax bx 2 0的解集是(一,—),贝U a b的值是( )2 3A. 10 B . 10 C. 14 D . 14例2:已知不等式x2 (a 1)x a 0,(1)若不等式的解集为(1,3),则实数a的值是_________________ 。

(2) __________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解,则实数a 的取值范围是 _______________________________________________________ 。

(3) ____________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上恒成立,则实数a的取值范围是 _____________________________________________________ 。

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结

必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下:1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式,将所有的不等式相加得到不等式。

2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an,则有:(1)算术平均值和几何平均值:(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)(2)加权平均值和几何平均值:(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中,w1、w2、…、wn是正实数,满足w1+w2+…+wn=1。

3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an,m和p同为实数且m < p,则有:(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。

4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn,则有:(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时,等号成立。

其中,k1和k2是实数。

5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn,满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn,则有:a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn,其中,k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。

6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an,如果a1 <= a2 <= … <= an,则有:(1)(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)(2)(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中,等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

不等式知识点总结及题型归纳

不等式知识点总结及题型归纳

不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集:设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各种情况如下表: 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2(0>a )的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是:1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。

()()()如:x x x +--<1120233、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。

解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数:关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x ,y )叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: 1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数; 2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;3)依据线性目标函数作参照直线a x +b y =0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形: 有:a+b ≥ab 2;ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注:1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. 2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 4、常用不等式有:12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2)a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); 3)若0,0a b m >>>,则b b ma a m+<+(糖水的浓度问题)。

必修五不等式知识点

必修五不等式知识点

必修五不等式知识点引言不等式是数学中一个非常重要的概念,它描述了数值之间的关系。

在高中数学中,必修五的学习内容中涉及了不等式的基本知识点。

本文将介绍必修五不等式的几个重要知识点,帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、不等式的基本概念不等式是指两个或多个数之间的大小关系。

在数学中,我们用不等号(>、<、≥、≤)来表示不等式。

其中,大于号(>)表示“大于”,小于号(<)表示“小于”,大于等于号(≥)表示“大于等于”,小于等于号(≤)表示“小于等于”。

例如,对于两个实数a和b,我们可以写出如下的不等式:a >b (a大于b)a <b (a小于b)a ≥b (a大于等于b)a ≤b (a小于等于b)二、不等式的性质1.传递性如果a > b,b > c,那么可以得出a > c的结论。

如果a < b,b< c,那么可以得出a < c的结论。

这就是不等式的传递性。

例如,如果4 > 2,2 > 0,那么可以得出4 > 0的结论。

2.加法性如果a > b,那么a + c > b + c。

如果a < b,那么a + c < b + c。

这就是不等式的加法性。

例如,如果3 > 1,那么3 + 2 > 1 + 2。

3.乘法性如果a > b,且c > 0,那么ac > bc。

如果a > b,且c < 0,那么ac < bc。

这就是不等式的乘法性。

例如,如果2 > 1,且3 > 0,那么2 × 3 > 1 × 3。

三、一元二次不等式。

(完整版)高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结,推荐文档

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△>0
Байду номын сангаас
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
的图象
(a>0)
x1 O
x2x
y
O x1
x
y x
O
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ b }
一.不等式知识要点
1.两实数大小的比较
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
2.不等式的性质:8条性质.
3.基 本不 等式 定理
且且且且 且且且且 且且且且 且且且且
a 2 b 2 2ab
a2
b2
1 (a b)2 2
值。
z ax by z x2 y2
z y x
6
练习:1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点(横、纵坐标为整数)的
个数。
2.且且且且且且且f
(x)
2
log2
x
1 log2
x
(0
x
1)
34.f(x)=x+ 1 且x4且且且且且 x1
4.求函数 f ( x) ( x 1)2 4 ( x 1) 的最小值.
(5)一元二次方程根的分布问题: 方法:依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称 轴、

必修五不等式知识点

必修五不等式知识点

必修五不等式知识点在高中数学中,不等式是一个重要的数学概念,尤其是在必修五的数学课程中更是如此。

不等式是用来比较两个数的关系的数学表达式。

在必修五中,我们将学习不等式的基本概念和性质,以及如何解决一元一次不等式和一元二次不等式等问题。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的数学符号。

常见的不等式符号包括小于(<)、大于(>)、小于等于(≤)和大于等于(≥)等。

例如,对于任意的实数a和b,我们可以表示如下的不等式:① a < b: 表示a小于b,即a比b更小。

② a > b: 表示a大于b,即a比b更大。

③ a ≤ b: 表示a小于等于b,即a不大于b。

④ a ≥ b: 表示a大于等于b,即a不小于b。

我们可以用不等式来描述很多实际问题,如数轴上的有理数大小关系、函数图像的区间等等。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为一次的不等式。

例如,下面是一些一元一次不等式的例子:① 2x - 3 < 7: 这个不等式表示2x减去3小于7。

② 3x + 5 > -2: 这个不等式表示3x加5大于-2。

③ 4x ≤ 6: 这个不等式表示4x小于等于6。

要解决一元一次不等式,我们可以使用类似方程的方法,通过变量的加减乘除等运算来求解未知数的范围。

对于一元一次不等式,解决方法如下:步骤一:将不等式转化为等价的不等式,即保持不等式的不等性质不变,同时对两边进行加减乘除等运算。

步骤二:对于含有未知数的项,将它们移到一个侧边,将常数项移到另一个侧边。

步骤三:确定未知数的范围,即使得不等式成立的所有解。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式。

例如,下面是一些一元二次不等式的例子:① x^2 - 4x + 3 < 0: 这个不等式表示二次函数y = x^2 - 4x + 3的函数值小于0。

新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)

新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)

基本不等式 知识点:1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)4.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注意:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2(2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x 2≥23x 2·12x 2= 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x ≥2x ·1x=2;当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

必修五不等式知识点总结

必修五不等式知识点总结

必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一,主要用来描述数之间的大小关系。

在必修五的数学学习中,我们学习了不少与不等式相关的知识点。

下面就我所掌握的知识,对必修五不等式的相关内容进行总结。

1.数轴与不等式:在学习不等式之前,我们首先要了解数轴的概念。

数轴是一条直线,用来表示实数的位置。

有了数轴,我们可以很直观地表示不等关系。

对于不等式x<a,我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。

2.不等式的基本性质:不等式具有一些基本的性质,可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。

这些性质包括:-两边相等的不等式,若左边大于右边,则右边小于左边。

-不等式两边同时加上(或减去)相同的数,不等号方向不变。

-不等式两边同时乘(或除以)相同的正数,不等号方向不变。

-不等式两边同时乘(或除以)相同的负数,不等号方向改变。

3.一元二次不等式:一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0(或 < 0)的不等式。

其中 a、b、c 是给定的实数,a ≠ 0。

解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点,并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。

4.绝对值不等式:绝对值不等式是指形如x-a,>b(或<b)的不等式。

解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义,对不等式进行拆分,从而得到不等式的解集。

5.一次不等式与二次不等式的综合:在实际问题中,经常会同时用到一次不等式和二次不等式。

这时,我们需要综合运用前面所学的不等式知识,用代数方法来解决问题。

6.不等式的应用:不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。

在数学中,不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面;在实际生活中,不等式用于描述其中一种数量的上限和下限,如商品折扣、房租优惠等。

7.不等式证明:不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质,我们可以对不等式进行严谨的证明,从而得到数学上的结论。

整理高中数学必修五第三章不等式复习(知识点与例题)

整理高中数学必修五第三章不等式复习(知识点与例题)

课题一元二次不等式及其解法20 年月日A4打印/ 可编辑1.一元一次不等式与函数关系首先,我们来回忆两个知识点:其一,是对平面直角坐标系的认识同学们看一下坐标图,在x轴上方的y值及x轴下方的y值有什么特点。

其二。

现在我们来看看,2x+4>0的解是什么?请从图上读出它的取值范围:(2)二次函数图像(a>0)与x轴的关系及函数值y的正负性。

当Δ>0时,图像如下:设x1,x2为函数对应方程的两根,即ax2+bx+=0两根,现在我们来看看,当y>0时,对应的x的取值和当y<0时,对应的x的取值。

你们能用一句话来总结一下:“大于零,两根之外,小于零,两根之间”。

现在(a>0)时的一元二次不等式你能求解吗?例:x2+3x+2≥0练习:(1)x2+2x>0;(2)(x+2)2−4x+8≤0;(3)9x2+24x+16<0;(4)x2−15x+56>0;下面我们来看一下Δ=0和Δ<0的情形,其图像如下,你们能说出这时候不等式的解吗?a>0,Δ=0时,函数图像于x轴只有一个交点,这时,除x=−b2a外,其余的都在x轴的上方,所以“大于零,解集为{x|x≠−b2a},小于零无解。

” a>0,Δ<0时,函数图像于x轴没有交点,图像都在x轴的上方,所以“大于或等于零,解集为R,小于零无解。

”到这里为止,我们已经解决a>0时的一元二次不等式的求解方法,那么当a<0时,我们怎么求解呢?例如:−x2+2x>0.这个问题,留给大家在课下去讨论。

下节课请同学们讲解讨论现在,我们来总结一下a>0时解一元二次不等式的一般方法:第一步:a>0,判断Δ第二步:解对应的一元二次方程;为:{x|x≤−2或x≥−1}Δ=0时,大于零,只要求x≠−b2a,小于零无解。

Δ<0时,大于零解集为R,小于零无解。

学生在老师的提示下尝试归纳总结,口述出自己归纳的结论,可以在同学间讨论,彼此补充不足。

必修五--不等式的知识点归纳和习题训练

必修五--不等式的知识点归纳和习题训练

必修五:不等式知识点一:不等式关系与不等式一、不等式的主要性质:(1)对称性:a b b a <⇔> (2)传递性:c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>; (4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,; (5)倒数法则:ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且【典型例题】1.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( )A .a 2<b 2B .a 2b <ab 2C .2a -2b <0 D.1a >1b2.如果0a <,0b >,则下列不等式中正确的是( )A .11a b< B .a b -< C .22a b < D .a b >3. 已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题:(1)若ab >0,bc -ad >0,则c a -d b >0;(2)若ab >0,c a -db >0,则bc -ad >0;(3)若bc -ad >0,c a -db>0,则ab >0,其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .34. 设a 、b 、c 、d ∈R ,且a >b ,c >d ,则下列结论中正确的是( )A. a +c >b +d B .a -c >b -d C .ac >bd D.a d >bc【习题训练】1:已知a b >,c d >,且c 、d 不为0,那么下列不等式成立的是( )A .ad bc >B .ac bc >C .a c b d ->-D .a c b d +>+ 2:下列命题中正确的是( )A .若a b >,则22ac bc > B .若a b >,c d >,则a c b d ->-C .若0ab >,a b >,则11a b < D .若a b >,c d <,则a b c d> 3. 下列命题中正确命题的个数是( )①若x y z >>,则xy yz >;②a b >,c d >,0abcd ≠,则a bc d>; ③若110a b <<,则2ab b <;④若a b >,则11b b a a ->-. A .1 B .2 C .3D .44. 如果a R ∈,且20a a +<,那么a ,2a ,a -,2a -的大小关系是( )A .22a a a a >>->- B .22a a a a ->>->C .22a a a a ->>>-D .22a a a a >->>-5.用“>”“<”号填空:如果0a b c >>>,那么c a ________cb. 6.已知a ,b ,c ,d 均为实数,且0ab >,c da b-<-,则下列不等式中成立的是( ) A .bc ad <B .bc ad >C .a bc d> D .a b c d< 7. 已知实数a 和b 均为非负数,下面表达正确的是( )A .0a >且0b >B .0a >或0b >C .0a ≥或0b ≥D .0a ≥且0b ≥8.已知1324a b a b -<+<<-<且,则2a+3b 的取值范围是( )A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22-二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-,||ax b c c ax b c +<⇔-<+<;当0c <时,||ax b c x R +>⇔∈,||ax b c x φ+<⇔∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法:①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有:(1)公式法:|| (0)x a a a x a <>⇔-<<,|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 【典型例题】1. 给出下列命题:①22a b ac bc >⇒>;②22a b a b >⇒>;③33a b a b >⇒>;④22a b a b >⇒>.其中正确的命题是( )A .①②B .②③C .③④D .①④2. 设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( )A .b -a >0B .a 3+b 3<0C .a 2-b 2<0D .b +a >03.不等式3529x ≤-<的解集为( )(运用公式法)A .[2,1)[4,7)-B .(2,1](4,7]-C .(2,1][4,7)--D .(2,1][4,7)- 4. 求解不等式:|21||2|4x x ++->.(运用零点分段发) 5.函数46y x x =-+-的最小值为( ) (零点分段法) A .2 B .2 C .4 D .6 【习题训练】1.解不等式|||1|3x x +->2.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围为______。

(完整word版)必修五不等式知识点典型例题,推荐文档

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高中数学必修5第三章不等式复习一、不等式的主要性质:(1) 对称性: a b b a (2) 传达性: a b,bca c(3) 加法法例: a b a c b c ; a b,c d a c b d (4) 乘法法例: ab,c 0ac bc ; ab,cacbcab0, c d 0ac bd(5) 倒数法例: ab,ab1 1a b(6) 乘方法例: a b 0 a nb n (nN * 且 n 1)(7) 开方法例: abnanb (n N * 且 n1)二、一元二次不等式 ax 2bxc0 和 ax 2 bx c0( a0) 及其解法y ax 2bx cy ax 2 bxc2bx ca( x x 1 )( x x 2 )y axa( x x 1 )( x x 2 )二次函数y ax 2bx c( a 0 )的图象一元二次方程有两相异实根 有两相等实根ax 2bx cb 无实根a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )x 1 x 22aax 2bx c(a 0)的解集ax 2bx c 0(a 0)的解集1 . 一元二次不等式先化标准形式( a 化正)2 . 常用 因式分解法 、求根公式法 求解一元二次不等式顺口溜: 在二次项系数为正的前提下: “大鱼”吃两边, “小鱼”吃中间三、均值不等式1. 均值不等式:假如a,b 是正数,那么a b (当且仅当时取 " " 号).abab22、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等3、均匀不等式:(a、b为正数),即 a 2 b 2 a bab2(当 a = b 时取等)2211a b四、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义:| x |是指数轴上点x 到原点的距离;| x1x2 |是指数轴上x1, x2两点间的距离a a0代数意义: | a | 0a0a a02、假如a0, 则不等式:| x | a x a或 x a| x | a x a或 x a | x | a a x a| x | a a x a4、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其余常有不等式形式总结:①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则f ( x )0 f ( x) g( x ) 0 ;f ( x )0 f ( x )g( x ) 0g( x )g( x)0g( x )②指数不等式:转变为代数不等式a f ( x ) a g ( x ) ( a 1) f ( x ) g( x ) ; a f ( x ) a g ( x ) (0 a 1) f ( x ) g( x)③对数不等式:转变为代数不等式f ( x)0 f ( x )0 log a f ( x ) log a g( x)( a1)g( x )0log a f ( x ) log a g( x )(0 a 1)g( x )0f ( x)g( x ) f ( x )g( x )④高次不等式:数轴穿根法 :奇穿,偶不穿例题:不等式( x23x2)( x4) 20 的解为()x3A.- 1< ≤1 或x≥2B.<- 3 或 1≤x≤ 2x xC.x=4 或- 3<x≤ 1 或x≥2D.x=4 或x<-3 或 1≤x≤ 2六、不等式证明的常用方法做差法、做商法七、线性规划1、二元一次不等式(组)表示的平面地区直线 l : Ax By C 0 (或0 ):直线定界,特别点定域。

高一必修五不等式的知识点

高一必修五不等式的知识点

高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号,用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。

高中数学中,不等式是一个重要的知识点,其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。

下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。

不等式中的不等号可以是小于号(<)、大于号(>)、小于等于号(≤)或大于等于号(≥)。

二、不等式的性质1. 加法性性质:对于不等式两边同时加减一个相同的数,不等式的方向不变。

例如,若a > b,则 a + c > b + c。

2. 乘法性性质:对于不等式两边同时乘除一个正数,不等式的方向不变;对于不等式两边同时乘除一个负数,不等式的方向改变。

例如,若a > b(a > 0),则 a · c > b · c。

3. 反身性:任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。

例如,a = a。

4. 传递性:若 a > b,b > c,则 a > c。

例如,若a > b,b > c,则 a > c。

5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。

例如,若a > b,则 a + c > b + c。

三、不等式的解法1. 图解法:通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形,来解读不等式的解集。

例如,对于不等式 x > 3,可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头,并在箭头右侧标记出无限大的数集。

2. 几何法:利用几何图形,如包含在坐标系上的点、线段、平面等,来求解不等式的解集。

例如,对于不等式 2x + y > 5,可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5,然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。

3. 符号法:通过变量和符号的运算来对不等式进行转化,从而求解不等式的解集。

例如,对于不等式 3x + 2 < 10,可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。

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2
D. 3
2. 已知 a b 0 , b 0 ,那么 a , b , a , b 的大小关系是(
3. 若 f x 3 x x 1 , g x 2 x x 1 ,则 f x , g x 的大小关系是( A. f x g x C. f x g x
1 1 a b
B. a
b
D. a b
3. 已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题:
c d c d (1)若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0;(2)若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b a b c d (3)若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0,其中正确命题的个数是( a b A.0 B. 1 C. 2 D . 3 4. 设 a、b、c、d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是( A. a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd ) )
2


B. x 1 2 x
2
C.
1 1 x 1
2
D. x
1 2 x
b
7. 若 a 、 b 是任意实数,且 a b ,则( A. a b
2 2
) C. lg a b 0
b B. 1 a
1 1 D. 2 2
a
8. 已知 a b 0 , c d 0 , e 0 ,求证:
x3

A.-1<x≤1 或 x≥2 B.x<-3 或 1≤x≤2 C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2 D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2
知识点二:一元二次不等式及其解法
二、一元二次不等式 ax bx c 0 和 ax bx c 0( a 0) 及其解法
2 2
0
5

B. f x g x D.随 x 值的变化而变化
5 3 2 2 3
4. 已知 a 、 b R ,且 a b ,比较 a b 与 a b a b 的大小.
5
六、数轴穿跟法: 奇穿,偶不穿
2 2 例题:不等式 ( x 3x 2)( x 4) 0 的解为(
n
a n b (n N * 且n 1)
) 1 1 D. > a b
【典型例题】
1.已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<b2 B.a2b<ab2 C.2a-2b<0 ) C. a b
2 2
2.如果 a 0 , b 0 ,则下列不等式中正确的是( A.
2 2 2 2 3 3
(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
a b a 2 b 2 .其中正确的命题是(
A.①② B.②③
) C.③④ ) D.b+a>0 D.①④
2. 设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a3+b3<0
C.a2-b2<0
e e . ac bd
【习题训练】 1. 不等式① a 2 2a ,② a b 2 a b 1 ,③ a b ab 恒成立的个数是(
2 2 2 2 2

A. 0 A. a b b a C. a b b a
2
B. 1
C. 2 ) B. a b a b D. a b a b
a b D. > d c
【习题训练】
1:已知 a b , c d ,且 c 、 d 不为 0 ,那么下列不等式成立的是( )
1
A. ad bc
B. ac bc )
2
C. a c b d
D. a c b d
2:下列命题中正确的是(
2
A.若 a b ,则 ac bc
5.函数 y x 4 x 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4 D. 6
) (零点分段法)
【习题训练】 1.解不等式 | x | | x 1| 3 2.若不等式 | 3 x 2 || 2 x a | 对 x R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。
2
| ax b | c c ax b c ;
当 c 0 时, | ax b | c x R , | ax b | c x . 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式 (组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x | a ( a 0) a x a , | x | a ( a 0) x a 或 x a . (2)定义法:零点分段法; 【典型例题】 1. 给出下列命题:① a b ac bc ;② a b a b ;③ a b a b ;④
B.若 a b , c d ,则 a c b d
C.若 ab 0 , a b ,则
1 1 a b

D.若 a b , c d ,则
a b c d
3. 下列命题中正确命题的个数是(
①若 x y z ,则 xy yz ;② a b , c d , abcd 0 ,则
2 2
) C. D. )
A.
2
B.
2
2.若 x 2 或 y 1 , x y 4 x 2 y , 5 ,则 与 的大小关系是(
4
A.
B.
C.
D.
3.若 a b 0, m 0, n 0 ,则
0
y ax 2 bx c a ( x x1 )( x x 2 )
0
二次函数
y ax bx c a ( x x1 )( x x 2 )
2
y ax 2 bx c
y ax 2 bx c
( a 0 )的图象
一元二次方程
有两相异实根
a 0 的根
ax bx c 0
2
x1 , x2 ( x1 x2 )
| x | a | x | a
x a或x a x a或x a
| x | a | x | a
a x a a x a
3.当 c 0 时,
| ax b | c ax b c 或 ax b c ,
4.若 a=
a b bm an , , , 按由小到大的顺序排列为 b a am bn
ln 2 ln 3 ln 5 ,b= ,c= 则 a,b,c 按从小到大排列应是________. 2 3 5
5.设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a、b、c 之间的大小关系为________. 6.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( ) A. lg x 1 lg 2 x
3.不等式 3 5 2 x 9 的解集为( A. [2,1) [4, 7)
) (运用公式法) C. (2, 1] [4, 7) D. (2,1] [4, 7)
B. (2,1] (4, 7]
4. 求解不等式: | 2 x 1| | x 2 | 4 . (运用零点分段发)
a f ( x ) b(a 0, b 0) f ( x) lg a lg b
③对数不等式:转化为代数不等式
f ( x) 0 log a f ( x) log a g ( x)(a 1) g ( x) 0 ; f ( x) g ( x) f ( x) 0 log a f ( x) log a g ( x)(0 a 1) g ( x) 0 f ( x) g ( x)
例 1 .不等式 lg( x 1) 1 的解集是____________.
2
例 2.
解不等式 lg( x ) 0.
2 x 2 (a 1) x 3 1. x 2 ax

1 x
例 3. 解关于 x 的不等式
例 4. 不等式 5 x ≥ x 1 的解集是(
( A) {x | 4 ≤ x ≤ 1} ( B ) {x | x ≤ 1}
(C ) {x | x ≤ 1}
( D) {x | 1 ≤ x ≤ 1}
四、三角不等式:
|a |-|b||a b||a ||b|
五、不等式证明的几种常用方法 比较法(做差法、做商法) 、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。 【典型例题】
1.若 3 x x 1 , 2 x x ,则(
8.已知 1 a b 3且2 a b 4 ,则 2a+3b 的取值范围是( ) 13 17 7 11 7 13 9 13 A C D ( , ) B ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2
二、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离 2、 如果a 0, 则不等式:
c c ________ . a b

c d ,则下列不等式中成立的是( a b
C. )
a b c d
D.
a b c d
7. 已知实数 a 和 b 均为非负数,下面表达正确的是( A. a 0 且 b 0 C. a 0 或 b 0
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