对福建高考数学解析几何试题的评析与思考

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福建省2019届高三数学学科研讨会：解析几何复习建议

3.最新《考试大纲》说明
关于解析几何部分的考查，《考试大纲》明确指出：解析几何是高数学的重要内容，高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单几何性质。其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。运动与变化是研究几何问题的基本观点。利用代数方法研究几何问题是基本方法。试题强调综合性，综合考查数形结合的思想、函数与方程思想、特殊与一般的思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
常见重要考点及求解策略分析
02
平面解析几何的本质是用代数方法来研究平面几何问题，在平面直角坐标系中，将平面上的点与有序实数对之间建立一一对应关系，进而将直线、曲线与方程之间建立起对应关系，从而将“数”与“形”结合起来。所以，平面解析几何体现了代数和几何两个特征，这也为解决解析几何问题提供了代数与几何两种解题路径。在此，我将近年来高考中最常见也最重要的考点和相应的解题策略归纳为以下几个方面。
解析几何复习建议
近六年试题命题特点
目录
常见重要考点分析备考策略和建议
从近几年全国Ⅰ卷的试题来看，对解析几何的考查，始终注重数学运算、逻辑推理、数学抽象和直观想象等核心素养的考查。分值始终保持5+5+12=22分，约占总分值的14.7%，与该部分内容在整个高中数学中所占的地位相吻合。对这部分知识的考查，强调基础、着力创新，试题稳定、平和，特别注重解析几何的学习目的和任务的考查，并在知识的交汇点处设计试题。全面考查高中数学的基本思想方法，重点考查直线、圆与圆锥曲线的有关概念、方程、性质，直线与直线、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系等。为更科学、更精准、更高效地备考，本人结合近六年全国高考中的解析几何试题，从高考试题命题特点、常考重要考点、复习建议三个方面进行分析。

高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议

高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。

高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。

其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。

试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。

一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

2．会简单应用空间两点间的距离公式。

四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。

5．理解数形结合思想。

了解圆锥曲线的简单应用。

四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。

福建省高考数学立体几何试题(课标卷)分析

离嚣舅聪中。？擞’？高中版
万方数据
２０１４年１月
考卷解析
其中值得特别关注的是角度问题的考查：理科试题中各类角多次以已知条件出现在题干中，如２０１１年给出线面角大小，２０１２年直接给出二面角大小；文科试题则没有出现此类问题．解法方面，课改初期引入的向量方法饱受争议，其后逐步被接受，及至被宠爱，甚至过于强调向量法，到如今方能比较辨证地看待两种方法的运用．文科试题仍延续传统的综合几何法求解，但相对
向．
（２０１０年福建理科６）．如
Ａ
图５，若Ｑ是长方体ＡＢｃＤ４．曰。Ｃ。Ｄｌ
被平面Ｅ嬲Ｈ截去几何体Ｅ彤日Ｂ。Ｃ。
后得到的几何体，其中Ｅ为线黝。Ｂ。
上异于Ｂ。的点，Ｆ为线段船。上异于Ｂ。的点，且删∥Ａ，Ｄ．，则下列结论
中不正确的是（
）．
覃Ｂ傅一
图５
例８如图６，在四棱椎脚曰ＣＤ
中，只Ｄ上平面ＡＢｃＤ，ＡＢ∥ＤＧ，
点评：本题通过平面图形折叠构造几何体．主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．考查数形结合思想、化归与转化思想．解决本题的关键在于抓住“变中不变量”．
例７
（ＩＩ）设ＡＢ＿Ａ』４。，在圆柱ＤＯ内随机选取一点，记该点
取自于三棱枇Ｂｃ卅。曰。ｃ内的概率为Ｐ
的条件．
（２０１３年福建理科１９）在四棱柱ＡＢＧＤ—
ＡＩＢｌｃｌＤｌ中，倾４棱ＡＡｌ上Ｊ『芪面ＡＢｃＤ，ＡＢ∥Ｄｃ，ＡＡｌ＝１，ＡＢ＝
３｜｜｝，ＡＤ＝４后，ＢＣ＝５后．ＤＣ＝６后（．ｊ｝＞Ｏ）．
（Ｉ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）现将与四棱柱ＡＢＣＤ＿Ａ。Ｂ。Ｃ。Ｄ。形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新

文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。

【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc

高考解析几何解答题题型分析及解答策略。

©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。

对福建高考数学解析几何试题的评析与思考

对福建高考数学解析几何试题的评析与思考⁭邹黎华（福州十一中，福建福州350001）摘要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，考点统计，揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而反思教师在解析几何的教学与高三复习，反思高考这一专题的命题．关键词：课程标准；数学高考；解析几何；评析与反思前言福建省从2006年开始实施高中新课程，从2009年开始在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科的新课程卷也呈现其崭新的一面．其中解析几何与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，出现了不少的精彩试题．不论在试题评价、试题研究还是高考复习，解析几何成为专家、教师探讨的重点、热点，解析几何试题成为高考命题改革的一块试验田．本文通过对2009年到2012年的福建省高考数学理科解析几何试题的评析，希望能够为一线教师的教学、高考复习和命题专家提供有益的思考．1.解析几何考查综述1.1《考试说明》对解析几何考点的解读1.1.1解析几何的考点与要求（A：了解；B：理解；C：掌握）1.1.2解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想．利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，运用代数的方法研究曲线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题．用代数方法研究几何图形是解析几何的核心．在解题的过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求．因此，首先应强调确定几何图形的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画几何图形，推导出几何图形的方程．其次，强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算，不要把解析几何变成纯粹的形式推导．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行（共线）、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何试题适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．1.2 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题考点分布统计新课程背景下的解析几何的考查，最核心的思想是注重考查学生在数形结合思想基础上的图形探究能力，强化自主探究，淡化数值推理运算．形式上按照新课标的要求，对圆锥曲线部分突出了定义和图形、几何性质的研究，强调多曲线的综合，显化了直线和圆的位置关系． 1.3考点分析 ①试题结构平稳，题量均匀．每份试卷基本上是1道小题（2010年2道）1道大题，平均分值19分，理科考查权重181212%250+=，应考分值18分，实际情况与理论权重基本吻合； ②涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；③涉及曲线类型较全．每份试卷至少涉及三种以上的曲线，2011年涉及到四种曲线；④注重与其他内容的交汇：四份试卷解析几何试题中，有三份试题与向量的内容交汇，有一份试题内容与导数交汇．2. 2009——2012福建省高考数学（理科）解析几何试题评析 2.1客观题评析例1：（2009年）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________．【试题评析】要求抛物线标准方程中的一个参数p 的值，只要构造一个与p 有关的方程即可．根据已知条件，可根据弦长8AB =列出方程．具体操作时，可根据弦长公式列方程，亦可根据抛物线的定义列方程，但计算量是有差别的．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 例2：（2010年）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) .A.22x +y +2x=0B. 22x +y +x=0C. 22x +y -x=0D. 22x +y -2x=0【试题评析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D ．本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法．例3：（2010年）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( ) ．A ．)+∞B ．[3)++∞C ． 7[-,)4+∞ D ． 7[,)4+∞ 【试题评析】OP FP ⋅ 中涉及三个点，其中,O F 是定点，P 是双曲线右支上的动点，所以，可以考虑建立OP FP ⋅与P 点坐标之间的函数关系．根据已知双曲线的焦点坐标可以求出待定系数a ，再由P 是双曲线右支上的动点可以用P 的横坐标x来表示P 的纵坐标y ，从而建立OP FP ⋅与P 点横坐标x 之间的函数关系，通过求函数的值域求出取值范围．本题主要考查运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．例4：（2011年）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF FF PF =，则曲线Γ的离心率等于（）.A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或【试题评析】要求圆锥曲线的离心率，可以转化为求圆锥曲线中,a c 之间的关系，由于题干中没有指出具体是何种圆锥曲线，故要分类讨论，在不同曲线背景下，根据已知1122::4:3:2PF F F PF =即可得到,a c 之间的关系，从而求出离心率．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.例5：（2012年）双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）．A ．5B ．24C ．3D ．5【试题评析】根据抛物线的标准方程即可求出其焦点坐标，亦为双曲线的焦点，从而求出其标准方程中的待定系数b 的值，进而求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出答案．本题主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想．从以上试题的分析可以看出：我省解析几何的客观题重点考查直线方程、圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质，计算量不大，但突出对解析几何本质的理解，强调运算求解能力与推理论证能力，重视函数与方程思想、数形结合思想的应用，题目难度不大，属于基础题或中档题． 2.2主观题评析例1（2009年）已知,A B 分别为曲线222:1(0,0)x C y y aa+=≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T ．(Ⅰ)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问只要抓住Rt ABS ∆，利用已知条件，即可求解．要注意的是对T 点的位置分两种情况讨论．第二问是一个开放性的问题，判断参数a 的存在性．这类问题的逻辑思路是假设a 存在，根据满足的条件,,O M S 三点共线建立与a 有关的方程，由方程解的存在情况确定a 的存在与值．本题考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化的思想以及分类与整合的思想．本题的亮点是根据,,O M S 三点共线的不同处理方式，可以有建立方程不同的方法，就有了不同的解法，此法在具体解题中，要利用直线与曲线的位置关系求出相关点的坐标，这与学生平时习惯用韦达定理，“设而不求” 的训练不同，规避了解题模式，突出对解析几何基本方法的考查．例2（2010年）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【试题评析】第一问可以有两种方法：一是用待定系数法，根据已知两个条件，列出两个方程，从而求解；二是利用椭圆的定义和已知条件求出2a ，再由已知c 的值求出b ，从而求得椭圆方程；第二问是开放性问题，判断满足题设的直线是否存在．从逻辑思维的角度考虑，假设直线l 存在，则l 应满足三个条件①//l OA （可求k ）；②l 与椭圆有公共点（可建立k 与b 的不等关系）；③l 与OA 的距离等于4（可建立k 与b 的相等关系），而确定一条直线只需两个条件即可．因此，可利用l 满足其中两个条件求出，再检验是否满足第三个条件，从而得出l 是否存在．这样，本题有多种不同的解法．本题主要考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．本题的亮点是，背景学生熟悉，试题入口宽，可以用不同的想法和解法解决，使不同思维方式的学生都能做题，提供给学生充分展示自己的平台．例3（2011年）已知直线:,l y x m x R =+∈．（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【试题评析】第一问可以有两种解法：一是利用l 与圆相切于y 轴上一点，求出切点，进而求出圆的半径，从而确定出圆的方程；二是利用待定系数法，由已知条件列出两个方程，从而确定出圆的方程．第二问是一个开放性问题，判断直线'l 与已知抛物线是否相切．在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立方程，根据m 取不同的值情况判断判别式的符号，从而确定直线'l 是否与已知抛物线相切．本题主要考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．本题的亮点是用方程的工具研究直线与圆锥曲线的位置关系，体现了“以数释形”的“解析”思想.本题不论是题设背景，还是问题设置都是学生所熟悉的，解题的运算量适中，但却能体现解析几何的本质思想和方法．例4（2012年）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ．过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【试题评析】第一问由已知条件，根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解．第二问难度较大，是一个探究性的开放试题，判断是否存在满足题设的定点．解决此题要突破两个关键：一是由图形的几何特征，判断出若定点存在，则必在x 轴上，二是，题设要求“以PQ 为直径的圆恒过点M ”应转化为“0MP MQ ⋅=对满足一定关系的,m k 恒成立”，这里一定关系是指l 与椭圆相切22(430)k m -+=．从逻辑的角度想，有两种做法：一是根据“0MP MQ ⋅= 对满足一定关系（即22430k m -+=）的,m k 恒成立”，得出一个关于x 的方程对于满足22430k m -+=的,m k 的恒成立．从而求出定点坐标；二是先通过两组,m k 具体值，得到两个圆方程，求出它们与x 轴的交点，从而找到定点(1,0)M ，再证明点M 满足0MP MQ ⋅=．本题主要考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般的思想．本题的亮点是体现代数方法对解决几何问题的作用，同时体现图形的几何性质对代数运算的方向和运算量的减小的作用，在推理论证上，体现不同思维方式引发不同的解题方法，对区分不同数学思维层次的学生有很好的作用．从以上试题的分析可以看出：福建省高考数学理科解析几何的解答题的考查无论从知识点、能力点、还是数学方法、数学思想都符合福建省高考数学考试说明对解析几何的要求，以学生熟悉的曲线类型为背景，以直线与圆锥曲线的位置关系为重点，以开放式的设问方式为主要形式，在解析几何与向量、函数、不等式等知识点的交汇处设计试题，以能力立意为主，着重考查学生对解析几何基础知识、核心思想和数学通法的掌握，试题有较好的区分度，对中学解析几何的教学有很好的导向作用． 3.思考3.1从教学的角度思考：通过对四年解析几何的试题分析，进一步坚定在教学中要扎扎实实地讲好直线、圆、圆锥曲线及其几何性质等基础知识．教学中要学生先通过画图，直观地理解要解决的几何问题的几何意义，再转化为代数问题求解，通过这个过程学生很容易体会数形结合的思想，体会解析几何的方法；在研究圆锥曲线时，弄清楚曲线方程和参变量的几何意义是第一位的，在此基础上，运用代数方程的方法解决几何问题，在解决几何问题之后，要回到几何意义的理解上．几何是解决问题的出发点也是问题解决之后的落脚点，要避免让学生陷入代数的恒等变形而不理解其几何含义．在分析问题、解决问题中要突出几何要素，注重几何要素的代数化，要在几何要素的引导下进行代数的恒等变形，要让几何图形帮助我们思考问题、确定恒等变形的方向、简化计算，体会几何直观给我们带来的好处． 3.2从高三复习备考的角度思考：①认真研读《考试大纲》、《考试说明》明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思想、基本方法的要求，使复习工作有的放矢；②重视解决解析几何问题通法的训练．从试题分析中可以看出，直线方程、圆的方程，圆锥曲线的方程和基本性质（基本量）是重点考查的知识点，一定要熟悉基本方法，而直线与圆锥曲线的位置关系及其引发的各类问题是主观题的考查热点，要通过典型例题的操作、讲解，帮助学生总结解题思路，思考策略和通行通法，此外，要注意解析几何与其他数学内容的交汇，加强知识整体性的认知，锻炼学生在对参数的运算处理和面对繁杂的数学式子变形时应有的沉着心理和坚强毅力；3.3从高考试题命制的角度思考：通过分析发现一些商榷的问题，例如四年解析几何的主观题的第二问都是采用开放式的设问方式，探究存在性的问题，显得“稳定有余”，“变化不足”；考查的切入点可以再丰富一些，比如解析几何中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展；试题将用代数方法研究几何问题这一解析几何的本质方法通过新定义的方式得到了精彩演绎．这些命题的思路都值得我们借鉴．总的说四年解析几何的试题命制是成功的．很好的贯彻了“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想．命题立足学科知识本质，降低试题整体难度，注重考查基础知识、基本技能和基本思想的掌握程度，努力体现对知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等目标的要求，以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向作用．参考文献：[1]中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社2003 [2福建省教育考试院编．2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明[M]．福建：福建教育出版社2012[3]王尚志．数学教学研究与案例[M]．北京：高等教育出版社2006。

福建省自行命题组专家点评高考数学试卷

2019 年福建省自行命题组专家点评高考数学试卷数学：重视解决实际问题能力闽南网6 月9 日讯福建数学文、理科试卷，分别取材于构成高中数学主体框架内容的函数与导数、立体几何、解析几何、概率与统计、三角函数和数列的试题，不仅考查分值占比高，而且有机融合了与之相关的知识、技能和思想方法，从而全面地检测了考生作为未来公民所必需的数学基础。

试题适度创新命题追求稳中求新，适度考查将已有的知识与方法迁移到新情境中解决问题的能力。

如理8(文16)以等差数列和等比数列的定义为载体综合考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识；理10、文21( n )( ii)分别以导数的几何意义和正弦函数的最小正周期为载体综合考查推理论证能力、特殊与一般思想、有限与无限思想和数形结合思想；理15 以纠错码和异或运算为载体综合考查了阅读理解、迁移运用的能力。

考查突出能力命题将考查综合运用数学的知识与方法解决问题的能力置于首要的位置。

如文12 依托“三角函数线”侧重考查推理论证能力、抽象概括能力和数形结合思想；文18、理16 分别依托“全网传播的融合指数”和“银行卡密码”侧重考查数据处理能力、应用意识和必然与或然思想；文20(川)依托“两点之间线段最短”侧重考查了空间想象能力、推理论证能力和化归与转化思想;理10依托“导数的几何意义”侧重考查推理论证能力、特殊与一般思想和数形结合思想; 理15 依托“纠错码和异或运算”侧重考查推理论证能力和创新意识;文22、理20依托“导数的综合应用”侧重考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识、数形结合思想和分类与整合思想。

命题立足选拔命题强调数学的应用，既考查了数学知识与方法在学科内的应用。

如文12、文15、文21、文22、理9、理14、理19、理20 ，也考查了数学知识在解决实际问题中的应用; 如文13、文18、理4、理15 、理16。

命题立足选拔的要求，解答题每个小题也从易到难。

如文20、21、22的第（I ）和（II）问，理19、20的第（I ）问均较易入题，余下各问则着重考查考生的自然语言、图形语言和符号语言的转换和思考的能力。

谈谈我的数学高考——福建卷第18题解答及反思

Ｉ靳高者数学
谈谈我的数学高考
福建卷第１８题解答及反思
福建省柘荣第一中学袁峰
转眼高考已过去两个月有余，这场没有
人做剑这题时想圆锥曲线炙排在第
硝烟的战争悄然逝去．回首高考，那众人奋１８题，难度应该不大，首先想到解法如下：ｙＺ笔疾书的两天，那令人难忘的两天，相信已（１）椭圆Ｅ的方程是Ｘｚ１＿一１（过程经烙印在每个高三学子的心中．还记得６月
牢记，例如此题以线段ＡＢ为直径的圆是否过点Ｇ，等价于去判断若Ｇ・Ｇ百一０ ∞点Ｇ
所以２５＋＿主＿・ｍ２＋
ｃ一而２５＋
１６（＋２２）
一
一
在圆上，若Ｇ・Ｇ百＜０ ∞ 点Ｇ在圆内，若
一
分同学都采用上述两种方法，若选择方法
，
—
＿＋ ¨
：＋
＋２。（优＋２） ’（ｍ。＋２）＋。＋２（＋２） ’
！：＋旦．不至于太简单，平时要把老师讲的基本方法１６。２
一２一３一Ｏ，因为直线ｌ恒过定点（一１，Ｏ），拿下这些中等题呢？下面以２０１５年福建卷Ｙ与椭圆一定有两个交点．设交点第１８题第（２）问为例，谈谈我解答该题的经所以直线ｚＡ（ｘ，），Ｂ（ｘｚ，２），贝０３，１￣－Ｙ２ｍ蕊２ｍ过及反思．

高考(全国卷)解析几何试题的命题特点分析及备考策略

（四）常见重要考点
• 5 最值范围问题； • L5考点5最值、范围.pdf • 6.共线问题 • L6考点6共线问题.pdf • 7 对称问题 • L7考点7对称问题.pdf • 8其他问题

L/O/G/O
高考（全国卷）解析几何试题的命题特点分析及备考策略（下）
L/O/G/O
高考（全国卷）解析几何试题的命题特点分析及备考策略
厦门双十中学赵祥枝
L/O/G/O
高考（全国卷）解析几何试题的命题特点分析及备考策略（上）
厦门双十中学赵祥枝
全国卷解析几何命题特点分析
• （一）试题回顾 • L0.1近年高考解析几何试题.pdf • 考什么？怎么考？

（三）命题规律
• 1以概念为起点，考查圆锥曲线的标准方程和几何性质；
• 2以直线与圆锥曲线的的位置关系为入口，考查基本性质；
• 3以函数与方程思想为背景，考查圆锥曲线的综合运用；
• 4以函数、向量、三角、不等式和数列为素材形成交汇问题，考查综合运用知识与方法能力；
厦门双十中学赵祥枝
二、复习策略与建议
• （一）把住主线，构建架构 • 1把握两条主线 • 主线1基础知识 • 主线2 常用数学思想方法 • L8把握两条主线.pdf • （二）重点培养运算求解能力 • L9运算能力.pdf

二、复习策略与建议
• （三）注重课标和教材 • 1课程标准、考试大纲及考试说明 • 2教材研究 • L10教材研究.pdf （四）加强变式探究 L11-1探究课例（文章）.pdf L11-2变式探究.pdf

复习策略建议
• （五）解题策略归纳 • L12解题策略归纳.pdf • （六）教学建议

数学核心素养理念下解析几何的高考分析与教学思考

数学核心素养理念下解析几何的高考分析与教学思考作者：蔡开拓来源：《课程教育研究》2020年第44期【课题项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》（立项批准号：FJJKXB18-353）的研究成果之一。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）44-0013-02笔者就近几年高考考查方向及2019年的部分试题分析数学核心素养下，解析几何的考查方向，并对此提出教学思考与建议。

1.试题分析表1 2017～2019年高考数学全国卷（理）解析几何考查内容在近几年高考中，从考查内容上看，解析几何基本题型分布为两小一大，覆盖三种常见的圆锥曲线，解答题以椭圆与抛物线为主。

从考查难度身上看，基本属于中难题，主要考查定点定值，最值等问题。

2.真题再现2.1选填问题例1（2019全国I卷10）已知椭圆C的焦点为F1（-1， 0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A、B两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为_____。

解析：设AF2=2F2B=2m，则AB=BF1=3m因为A、B位于椭圆上，因此有2a=AF1+AF2=BF1+BF2=4m可得AF1=2m，又AF2=2m，由对称性可知A位于上顶点。

在△AF1F2中：小结：解析几何选填题在高考中的考查对于数学运算素养的要求较低。

更多的是对于直观想象素养的考查。

主要有以下几个方面：（1）能够根据题目画出正确的示意图;（2）掌握圆锥曲线的定义，能够利用定义转化点在曲线上的条件;（3）能够结合平面几何知识，发现几何图形中的几何关系。

常见的几何模型为焦点三角形，双曲线渐近线，抛物线准线与焦点弦以及相关垂线段构成的直角梯形等，而后利用解三角形的有关知识或者中线、角平分线等平面几何知识解题。

2.2解答题例3（2019全国III卷21）已知曲线C：y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点。

高中数学解析几何高考试题分析与教学措施探讨

高中数学解析几何高考试题分析与教学措施探讨作者：苏清艳来源：《学习周报·教与学》2020年第22期摘要：在我国高中教育教学中，数学这一学科占据越来越重要的教育教学位置。

因此为学生呈现出高效且新颖的教学方式，与高质量的数学教学课堂，可以更好地帮助学生进步与发展。

其中解析几何是数学这一学科中重要的教学内容之一，并且也是当下高考中的重点题型，且在高考试卷中占据很大的比例，因此在高中数学教学阶段，高中数学教师应重视对解析几何的教学，加大解析几何教学力度，更好地帮助学生熟悉解析几何，帮助学生正确且牢固掌握解析几何的解题技巧，提高整体数学成绩。

关键词：高中数学;解析几何;高考试题分析;教学策略高中是学生学习的黄金时期，且高考也是学生人生一次重要转折点，因此在高中教育教学中重视数学教学，对于学生未来发展来说至关重要。

对于学生来说，解析几何是数学学习中一项不可或缺的重要学习内容，并且也是较为基础的数学课程，解析几何在高考试题中也占据较大比例，所以教师应加大对解析几何的教学力度，创新数学解析几何教学方法，更好地帮助学生提高解析几何的计算解题能力，帮助学生掌握与获得解析几何解题技巧，全面提高学生的数学成绩。

因此本篇文章将重点对高中数学解析几何高考试题进行分析与研究，并提出具体解析几何解题教学策略，详见下述。

一、高中数学解析几何高考试题分析（一）高考解析几何试题考查对比经研究调查分析，全国高考试卷中关于解析几何的知识点考查分析来看，解析几何覆盖范围较宽，并且视角较高，层次性较强，因此高考试卷中重点考查的是学生对解析几何知识点的掌握程度，并且还在不同程度上对学生的数学思想进行了考查。

通过对以往数学高考试卷分析，解析几何一般是以“两小一大”的客观形式的问题出现，并且分值一般在五比五到十二左右。

即便是文科数学高考试卷中，解析几何也有较多的出现频率。

相较于文科生来讲，更考验他们的则是关于解析几何的知识点交错互补，从而对文科生的数学综合知识运用与解析几何解题能力要求较高。

高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)

福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析．（三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=；所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-，所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=．因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2．【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭．同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭，整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=，所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=；思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证．思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化．思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上．这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算；结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”，再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的．【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为．【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++．所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。

福建高考数学试题分类解析及复习启示——以圆锥曲线为例

课堂内外新课程NEW CURRICULUM一、高考试题对圆锥曲线部分的考查内容高考数学试题中对圆锥曲线部分的考查一直以来都是命题热点，其考查内容范围也较广泛，不仅考查圆锥曲线的定义和性质等基础内容，还考查圆锥曲线中的数学思想、数学推理和数学运算等能力。

从圆锥曲线考查内容来看，主要包括三方面：第一，对圆锥曲线定义、性质应用和标准方程的考查是基础，在历年的高考数学题中都有出现，多出现在选择题和填空题，是圆锥曲线考查知识中的中档题目；第二，对圆锥曲线方程的考查，主要涉及定义法、待定系数法和轨迹法等解题方法，是历年高考数学题中的常规题型，其解决关键在于在题型中各变量之间寻求等量关系，以数形结合的思想解题；第三，对圆锥曲线与函数、向量、三角函数、立体几何等内容结合的考查，以圆锥曲线和简单直线之间位置关系为载体，主要利用坐标法和数形结合思想解题，体现了数学不同知识之间的联系。

二、高考试题中圆锥曲线考查实例探究已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b 2=1（a 跃，b >0）的两条渐近线分别为l 1∶y =2x ，l 2∶y =-2x 。

（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2与A ，B 两点（A ，B 分别在第一、四象限），且△OAB 的面积恒为8。

试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

（2014年福建省数学高考理科试题）这道福建省的高考题考查了双曲线性质、双曲线方程、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识，具有较强的综合性和技巧性，综合考查了学生推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，也考查了学生函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想，是近年来高考题命题的基本思路，笔者通过分析试题给出基本解法。

解答：（Ⅰ）因为双曲线E 的渐近线分别为：y =2x ，y =-2x 所以b a =2，所以c 2-a 2a 2√=2故c =5√a ，从而双曲线E 的离心率e=c a5√。

福建省高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十一(解析几何存在问题及应对策略)

福建省2020届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十一
解析几何存在问题及应对策略
解析几何在高考的考查中，内容包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线、坐标系与参数方程（此部分在选考模块进行分析）等内容。

题型涵盖选择题、填空题、解答题（含选考），考查形式有纯粹的解析几何试题，还有蕴含在线性规划试题中考查直线方程、蕴含在函数导数试题中考查直线方程及解析几何基本思想、蕴含在立体几何试题中考查的空间直角坐标系等试题。

纯粹的解析几何试题基本保持为两道选择题和两道解答题（含选考），或者一道选择题一道填空题和两道解答题（含选考），共4道题，分值为22+10分。

表1：解析几何主要知识考点
表2：2017年——2019年全国课标Ⅰ卷解析几何试题有关要素统计表（理科）。

福建省自行命题组专家点评高考数学试卷

福建省自行命题组专家点评高考数学试卷数学：重视解决实际问题能力闽南网6月9日讯福建数学文、理科试卷，分别取材于构成高中数学主体框架内容的函数与导数、立体几何、解析几何、概率与统计、三角函数和数列的试题，不仅考查分值占比高，而且有机融合了与之相关的知识、技能和思想方法，从而全面地检测了考生作为未来公民所必需的数学基础。

试题适度创新命题追求稳中求新，适度考查将已有的知识与方法迁移到新情境中解决问题的能力。

如理8(文16)以等差数列和等比数列的定义为载体综合考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识;理10、文21(Ⅱ)(ⅱ)分别以导数的几何意义和正弦函数的最小正周期为载体综合考查推理论证能力、特殊与一般思想、有限与无限思想和数形结合思想;理15以纠错码和异或运算为载体综合考查了阅读理解、迁移运用的能力。

考查突出能力命题将考查综合运用数学的知识与方法解决问题的能力置于首要的位置。

如文12依托“三角函数线”侧重考查推理论证能力、抽象概括能力和数形结合思想;文18、理16分别依托“全网传播的融合指数”和“银行卡密码”侧重考查数据处理能力、应用意识和必然与或然思想;文20(Ⅲ)依托“两点之间线段最短”侧重考查了空间想象能力、推理论证能力和化归与转化思想;理10依托“导数的几何意义”侧重考查推理论证能力、特殊与一般思想和数形结合思想;理15依托“纠错码和异或运算”侧重考查推理论证能力和创新意识;文22、理20依托“导数的综合应用”侧重考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识、数形结合思想和分类与整合思想。

命题立足选拔命题强调数学的应用，既考查了数学知识与方法在学科内的应用。

如文12、文15、文21、文22、理9、理14、理19、理20，也考查了数学知识在解决实际问题中的应用;如文13、文18、理4、理15、理16。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

福建命题组专家点评福建高考数学试题

福建命题组专家点评福建高考数学试题1.立足学科基础，强调才干立意命题以中学数学基础知识为载体，坚持才干立意，片面考察了空间想象才干、笼统概括才干、推实际证才干、运算求解才干、数据处置才干以及应意图识和创新看法。

如理15、文16以集合言语、常用逻辑用语为载体，强调正确推理的方式和规那么，突出考察笼统概括才干和推实际证才干;理17触及的图形翻折及文19的〝割补〞或〝等积变换〞需求考生剖析图形中基本元素及其相互关系，突出考察空间想象才干;理19的解答，考生可从特殊入手，经过合情推理得出结论并加以验证，也可经过归结推理直接证明，突出考察推实际证才干;文12以椭圆的定义为载体，探求在新情境下〝椭圆〞生成的基本步骤和图形特征，重现〝轨迹〞的基本研讨方法，突出考察笼统概括才干;理10以计数原理为载体，需求考生从题干及备选项中领悟将〝选球方式〞笼统为〝颜色形式〞，考察笼统概括才干与学习潜能。

2.关注数学实质，突出教育价值命题立足数学实质，从数学各分支的中心内容、学科思想以及相关分支的教育价值入手设置试题，合理地检测先生的基本数学素养。

如统计与概率突出考察对统计量的了解与运用以及运用样本估量总体的思想，要求考生不只会计算统计量而且集合理地依据统计量对效果作出剖析与解释;函数与导数的考察突出导数的工具作用，考察考生在解题进程中对〝常量〞与〝变量〞辩证关系的了解以及综合运用导数研讨函数性质的才干;解析几何突出〝解析法〞，要求考生将几何效果代数化，并合理地运用代数手腕处置几何效果，表达解析几何的基本思想;平面几何突出对空间想象才干与推实际证才干的考察;三角突出三角变换及三角函数的图象与性质的研讨;数列关注等差数列、等比数列的基本性质与运算，突出〝基本量法〞。

3.坚持课标理念，凸显导向功用命题紧扣课标理念，充沛发扬对中学数学教学的正确导向作用。

其一，引导中学数学教学片面落实课程规范，不随意无视所谓的〝冷门知识〞，如理19、理14等。