2006年中考数学第一轮复习专题训练_4

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中考数学专题复习资料数与式

第一轮中考复习——数及式知识梳理：一．实数和代数式的有关概念 1.实数分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上所有的点及全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且及原点的距离相等。

4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。

一般地，实数a 的倒数为a1。

0没有倒数。

两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。

5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。

a =，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。

6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（1）正数大于零，零大于负数。

（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。

（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。

（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a<b,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。

7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

8.整式：单项式及多项式统称为整式。

单项式：只含有数及字母乘积形式的代数式叫做单项式。

一个数或一个字母也是单项式。

单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式：几个单项式的代数和多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

中考数学一轮总复习第4课时分式(无答案) 苏科版

第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为（） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】班级姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭；（2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________；（2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示）（3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。

2022-2023年数学中考第一轮复习-专题四因式分解

故选：．
2．（2022秋•高昌区校级期中）下列属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
2．（2022春•细河区期末）下列分解因式正确的是
A． B．
C． D．
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式不能分解，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
3．（2022秋•绿园区校级期中）分解因式：．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：．
2．（2021•兴安盟）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：．，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
3．（2022秋•仁寿县校级月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解：．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，没有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

河北省中考数学一轮复习专题4——二次根式

河北省中考数学一轮复习专题 4——二次根式姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 13 题；共 52 分)1. （4 分） (2021 八下·乐清期末) 下列各式中，能与合并的是（）A.B.C.D. 2. （4 分） (2020 八下·八步期末) 下列根式是最简二次根式的是（）A.B.C.D.3. （4 分） (2017 八下·通辽期末) 化简： A.8 B . ﹣8 C . ﹣4 D.4=（）4. （4 分）若|x+2|+ =0，则 xy 的值为（） A . －8 B . －6 C.5 D.6 5. （4 分）在实数范围内，下列各式一定不成立的有（）① A . 1个 B . 2个 C . 3个；②；③；④．第 1 页共 18 页D . 4个6. （4 分） (2019 八下·谢家集期末) 下列二次根式中，化简后能与合并的是A.B.C.D. 7. （4 分） (2020 九下·重庆月考) 已知二次函数 y＝﹣x2+（a﹣2）x+3，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，并且关于 x 的方程 ax2﹣2x+1＝0 无实数解.那么符合条件的所有整数 a 的和是（） A . 120 B . 20 C.0 D . 无法确定 8. （4 分） (2019 九上·官渡期末) 二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表给出了以下结论： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …①二次函数 y＝ax2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；②当﹣ ＜x＜2 时，y＜0；③二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴的两侧；④当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小．则其中正确结论有（）A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 9. （4 分）下列计算错误的是（）A. + =B. · =C.D. 10. （4 分）下列说法中正确的是（ A . 实数-a2 是负数）第 2 页共 18 页B . ＝|a| C . |-a|一定是正数 D . 实数-a 的绝对值是 a11. （4 分） (2020 八上·浙江月考) 如图，在平面直角坐标系中，平行于轴，点坐标为，在点的左侧，，若点在第二象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. （4 分） (2017 八下·湖州期中) 若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（）A . x≥﹣1B . x≥﹣1 且 x≠3C . x＞﹣1D . x＞﹣1 且 x≠313. （4 分） (2019 八上·罗湖期中) 下列各式的计算中，正确的是（）A.B.C.D.二、填空题 (共 8 题；共 32 分)14. （4 分） (2020 八上·松江期末) 计算：________．15. （4 分）当 a=2，b=﹣8，c=5 时，代数式的值为________．第 3 页共 18 页16. （4 分） (2020 八上·遵化月考) 当 a=________时，最简二次根式 17. （4 分）若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|= ________和可以合并．18. （4 分） (2019 八下·沙雅期中) 已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是________.19. （4 分） (2020 七上·呼和浩特月考) 关于的一元二次方程的一个根为 0，则 ________． 20. （4 分） (2020 八下·长兴期末) 如图，以正方形 ABCD 的一边 AD 为边向外作等边△ADE，则∠BED 的度数是________。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题练习课件

第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题 1. 如图，△ABC为等边三角形，D是BC上一点，连接AD，点P，Q在AD 上，连接BP，CQ，且∠BPD＝∠CQD＝60°，若BP＝3，CQ＝5，则PQ 的长为_______2_．
第1题图
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题 2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，连接 DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则 BBCE的值为____45____．
角，保留作图痕迹；
图①
第5题图
图②
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5 第5题解图①
方法6
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
方法7
方法8 第5题解图①
方法9
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC >AP，延长AP至点B，使AB
＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落
在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长
交PD的延长线于F，连接BF.
N
①确定△PCF的形状，并说明理由；
(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.
图③ 第5题图
第5题解图②
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
∴ QE QF ，而QE＝BN－NE－BQ＝3k－NE－k＝2k－NE，
NE NC
即 2k NE k 1 ，

2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第二章方程(组)与不等式(组)第6讲一元二次方程及其应用

×100%;总利润
进价(成本)
利润问题 =总售价－总进价(总成本)=单个利润×总销售量.
“每每问题”:若单价每涨a元,少卖b件,则涨价x元,少卖的数量
为

·

件
常见
等量关系
类型
面积
问题
S阴影=(a－2x)
S阴影=(a－x)(b－x)
·(b－2x)
循环握手问题:总次数=(－1)(x为人数)
2
D.6
答案
(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2=0的一个根为
－1
x=－1,则m的值为_______,另一个根为x=_____.
2
变式2－2
变式2－3
(2023·常德)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a=0有两个不相等
a＜1
的实数根,则实数a的取值范围是________.
考点3
答案
1.(2024·贵州)一元二次方程x2－2x=0的解是( B )
A.x1=3,x2=1
B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=－2
D.x1=－2,x2=－1
2.[易错题](2024·龙东地区)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2=0有两个
实数根,则m的取值范围是( D )
A.m≤4
B.m≥4
解:设这款文创产品每件应降价x元.
根据题意,得(30－x)(100＋10x)=3 640,
即x2－20x＋64=0,
解得x=4或x=16.
当x=4时,100＋10x=140;
当x=16时,100＋10x=260.
∵要尽快减少库存,
∴x=16.
答:这款文创产品每件应降价16元.

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

中考数学一轮复习第4单元小专题3中点问题的六种方法课件(可编辑图片版、共18张PPT)

3．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，CD⊥AB 于点 D，∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点 E，F 为边 AC 的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝( C )
A.125° B.145° C.175° D.190°
4．如图，△ABC 中，AB＝AC＝4，以 AC 为斜边作 Rt△ADC，使∠ADC ＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E，F 分别是 BC，AC 的中点，则 ED＝
A.10
B.5
C.4
D.3
6．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若 BD＝1，BC＝3，则 AC 的长为( A )
A.5
B.4
C.3
D.2
方法四中线等分三角形的面积
AD 是△ ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC，即△ ABD 与△ ACD 是等底等高的两个三角形．
方法六遇到三角形一边上的中点，倍长中线，构造全等三角形
如形，证明线段间的数量关系，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．
12．如图，已知 AB＝12，AB⊥BC，垂足为点 B，AB⊥AD，垂足为点 A， AD＝5，BC＝10，点 E 是 CD 的中点，求 AE 的长．
解：延长 AE 交 BC 于点 F. ∵点 E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠BCE.
∠ADE＝∠FCE，
在△AED 和△FEC 中，DE＝CE， ∠AED＝∠FEC，
A. 13
B.5 2 2
C.
41 2
D.4
方法二遇到直角三角形斜边的中点，构造斜边中线
直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半，即 CD＝AD＝BD＝21AB”来证明线段间的数量关系，且可以得到两个等腰三角形：△ ACD，△BCD，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．

德州市中考数学一轮复习课件专题四：几何变换压轴题

几何变换是德州市中考的常考点，多与三角形、四边形、圆相结合，考查形式多样化．德州市近五年中考对此问题的考查：2017年中考试题第11题考查了旋转变换，第 23题考查了翻折变换；2016年中考试题第12题考查了旋转
变换，第23题考查了类比变换；2015年中考试题第6题考查了旋转变换，第23题考查了类比变换；2014年中考试题第 12题考查了翻折变换，第23题考查了类比变换；2013年中考试题第23题考查了类比变换．
(3)
6．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝ a，AC＝b，AB＝c. 【特例探索】 (1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝2 2 时，a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；
类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与
三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．
例1 如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，
将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
4．(2017·淄博)如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合(点P不与点C，D重合)，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上．连接MB，MP，BP，BP与 MN相交于点F. (1)求证：△BFN∽△BCP； (2)①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O(要求保留作图痕迹，不写作法)；
【分析】作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，由∠B＝ 60°，BD＝BE，得到△BDE是等边三角形，由对称的性质得到△B′DE也是等边三角形，从而GD＝B′F，然后利用勾股定理求解．【自主解答】如图，作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G， ∵∠B＝60°，BD＝BE＝4， ∴△BDE是边长为4的等边三角形．

山东省济南市中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形检测卷(new)

第四章单元检测卷(考试时间：120分钟满分:100分)一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是（ )A．14 B．10 C．3 D．22．如图，已知直线a∥b，AC⊥AB,AC与直线a，b分别交于A,C两点,若∠1＝60°,则∠2的度数为( )A．30° B．35° C．45° D．50°3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．则对应作法错误的是( )A．① B．② C．③ D．④4．如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°,如图2。

则下列说法正确的是( )A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近,距点B较远5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( ）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°6．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°）,其中A，B两点分别落在直线m,n上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．45° D．50°7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c,若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．6 C．16 D．558．如图,C，E是直线l两侧的点，以C为圆心,CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以AB为圆心,大于错误!AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A．CD⊥lB．点A，B关于直线CD对称C．点C，D关于直线l对称D．CD平分∠ACB9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC,点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD,则tan∠DBC的值为（）A。

2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第二章方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用

x＜3
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b

C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______

中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

平面直角坐标系与函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元函数及其图象专题3.1 平面直角坐标系与函数知识点点的坐标特征01坐标系的几何意义02函数及其图象03拓展训练04【例1】已知点M(1-2m,m-1)关于x轴的对称点在第一象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )知识点一典例精讲点的坐标特征A 0.51A0.51B 0.501C0.51D名师点拨象限点:第一象限_____,第二象限_____,第三象限_____,第四象限_____,特殊位置点:x轴上_____, y轴上______. 平行x轴:______相同,_______为不相等的实数；平行y轴:_______相同,_______为不相等的实数.P(x,y)在一、三象限角的平分线上,则____, P(x,y)在二、四象限角的平分线上,则______.(+,+) (-,+)(+,-) (-,-)(x,0)(0,y)横坐标纵坐标横坐标纵坐标x=yx=-y1.在平面直角坐标系中,若点P(m-2,m+1)在第二象限,则m的取值范围是( ) A.m＜-1 B.m＞2 C.-1＜m＜2 D.m＞-12.已知a+b＞0,ab＞0,则在如图所示的平面直角坐标系中,污渍盖住的点的坐标可能是( ) A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b)3.在平面直角坐标系中,点P(m-3,4-2m)不可能在第_____象限.4.已知点A(m,-2),B(3,m-1),且直线AB∥x轴，则m的值是_____.一-1知识点一强化训练点的坐标特征C B yxO知识点点的坐标特征01坐标系的几何意义02函数及其图象03拓展训练04【例2】如图,直线m⊥n,在某直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为(-4,2),点B的坐标为(2,-4),则坐标原点为( ) A.O 1B.O 2C.O 3D.O4A O 3O 4mnO 1BO 2A知识点二典例精讲坐标的几何意义考点聚集1.P(a,b)到x轴的距离____,到y轴的距离____,到原点的距离________.2.A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为坐标系中的点,则AB=_____________________.3.表示地理位置的方法|b ||a |①平面直角坐标系法②方位角＋距离③经纬度1.在如图的方格纸中,每个小正方形的边长为1,如果以MN所在的直线为y 轴,以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系,使A点与B点关于原点对称,则这时C点的坐标可能是( ) A.(1,3) B.(2,-1) C.(2,1) D.(3,1)2.在平面直角坐标系中,A,B,C,D,M,N的位置如图所示,若点M、N的坐标分别为(-2,0),(2,0)则在第二象限内的点时_____.BA ADNCBMO知识点二强化训练坐标的几何意义BCAN知识点点的坐标特征01坐标系的几何意义02函数及其图象03拓展训练04【例3-1】(1)下列各式中y是x的函数关系的是( ) A .y 2=x+1 B .x 2+y 2=4 C .|y|=x D .y=|x| (2)在函数y＝中,自变量x的取值范围是( ) A.x＜4 B. x≥4且x≠-3 C. x＞4 D.x≤4且x≠-3DD【例3-2】新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后,兔子很快把乌龟远远甩在后头,骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先,就躺在路边呼呼大睡起来,当它一觉醒来,发现乌龟已经超过它,于是奋力直追,最后同时到达终点.用S 1,S 2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程,t为赛跑时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( ) C OStBOStCOStDS 1S 1S 1OStAS 1S 2S 2S 2S 2【例3-3】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8.点P从点B出发,沿BC方向运动，到点C停止,速度为1单位/秒；点Q同时从点C出发,沿CD-DA-AB的路线运动,到点B停止,速度为2单位/秒.连接BQ,PQ,设△QBP的面积为y平方单位,运动时间为x秒,则表示y与x的函数关系的大致图象为( )DA C D QB P Oyx A O y x D O y x C O y x B 268268268268知识点三典例精讲函数及其图象1.凡凡和可可在才子大桥两端同时出发,相向而行,凡凡的速度是可可的1.5倍,下图是两人之间的距离S(单位：m)与可可行走的时间x(单位：min)的函数图象,根据这些信息判断,下列说法正确的是( ) A.凡凡的速度是60 m/min B.才子大桥长400 mC.点M表示的意义是两人相遇D.a=10/3D yO x200a b 4/3M2.如图①,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚.在这个过程中,小球的运动速度v 与运动时间t 的函数图象如图②,则该小球的运动路程y 与运动时间t 之间的函数图象大致是( )C 图①O vt 图②O y t A O y t B O y t C O y t D 3.如图,全等的等腰直角△ABC和△DEF,∠B=∠DEF=90º,点B,C,E,F在直线l上.△ABC从左图的位置出发向右作匀速运动,而△DEF不动.设两个三角形重合部分的面积为y,运动的距离为x.下面表示y与x的函数图象大致是( )C O y x A O y x B O y x C O y xD A F D C(E)B l知识点点的坐标特征01坐标系的几何意义02函数及其图象03拓展训练041.著名画家达·芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家,发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为____cm.2.如图1,长2米的梯子AB竖直放在墙角,在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中,梯子AB的中点P的移动轨迹长度为_______.10 APB OA P B0.5π3.一电工沿着如图的梯子NL往上爬,当他爬到中点M处时,由于地面太滑,梯子沿墙面与地面滑下,以地面为x轴,墙面为y轴建立平面直角坐标系,设点M 的坐标为(x,y)(x＞0),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是( )CLMN LMNyO xAyO xByO xCyO xD4.如图,AC经过圆心O,交⊙O于点的D,AB与⊙O相切于点B.若∠A=x(0º＜x ＜90º),∠C=y,则y与x之间的函数关系图象是( )AABCD O OyxA45º90ºOyxB90º90ºOyxC45º45ºOyxD90º45º5.如图,在边长为6厘米的正方形ABCD中,点M,N同时从点A出发,均以1厘米/秒的速度分别沿折线A-D-C与折线A-B-C运动至点C.设阴影部分△AMN的面积为S,运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为( )DAMN B C D O yx D O y x C O y x A O y x B 6.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是()B7.如图,在菱形ABCD中,∠B=60º,AB=2cm,动点P从点B出发,以1cm/秒的速度沿折线BA→AC运动,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间B为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为AB中点,动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止,动点Q从点C开始沿CD-DA方向运动,与点P同时出发,同时停止.这两点的运动速度均为每秒1个单位.若设他们的运动时间为x(秒),△EPQ 的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是( )A9.如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A 匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是_____.12提升能力拓展训练平面直角坐标系与函数10.如图,等边△ABC中,边长AB=3,点D在线段BC上,点E在射线AC上,点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动,点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动,当D点停止时E点也停止运动,设运动时间为t秒,若D、E、C三点围成的图形的面积用S来表示,则S与t的图象是( )C A E D C B O S t A 1234321O S t D 1234321O S t C 1234321O S t B123432111.如图,爸爸从家(点O)出发,沿着扇形AOB上OA→AB→BO的路径去匀速散步,设爸爸距家(点O)的距离为S,散步的时间为t,则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是( )C 提升能力拓展训练平面直角坐标系与函数12.如图甲,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是( ) A.①B.④C.②或④D.①或③D13.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示的方向,每次移动1个单位,依次得到点1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,-1),P5(2,-1)，P 6(2,0),…,则点P2017的坐标是_________.14.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△OAA1的直角边OA在x轴上,点A1在第一象限,且OA=1,以点A1为直角顶点,OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2,再以点A2为直角顶点,OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律,则点A2021的坐标是__________.(672,1)yxOP1P13P11P10P8P7P5P4P2P12P9P6P3yxOA2A1AA7A6A5A4A3(21010,21010)16.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,现要建立平面直角坐标系，使点A,B分别在x的正半轴、y的正半轴上,且点C,D,E,F第一象限或坐标轴上.当OA=OB时,点E的坐标为____________.A F EDCBOH。

中考数学一轮复习《命题、定理与证明》知识要点及专题练习

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：命题、定理与证明（含答案）一、知识要点：1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。

其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。

如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。

2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

二、课标要求：1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。

2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。

会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。

4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

三、常见考点：1、命题及命题真伪的判断。

2、命题的条件和结论的区分。

3、写出命题的逆命题。

四、专题训练：1．下列说法正确的是（）A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题D．三角形的外角大于任何一个内角2．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法中，不正确的个数是（）①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．写出“对顶角相等”的逆命题．8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为．（按一、二、三、四的名次排序）9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为．11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为．14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为．17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．18．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF 的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC 的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；故选：A．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；②∵（﹣4）2的平方根是±4，∴本小题说法是假命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；④∵两直线平行，同旁内角互补，∴本小题说法是假命题；故选：C．4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，∴a2＞b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；故选：D．5．解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．8．解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．9．解：连接OP．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（02），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∴MN＝OP，∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，故答案为．10．解：如图，连接AC，AC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝，∵cos∠DAB′＝，∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．14．解：如图，连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠K＝45°，∴△AKB是等腰直角三角形．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，∴∠KAD＝∠BAE，在△ADK和△AEB中，∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵M为AB中点，∴BM＝2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．故答案为2．15．解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度所以弧AA1的长＝＝π，第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，所以弧A′A″的长＝＝π，所以总长为π．故答案为π．17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷2＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：0＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝2时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，故＝4不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，14＝10+2+2，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，故n＝1，3，5，7时，可以．18．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．19．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．20．解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，。

山东省中考数学科一轮复习教案之数与式1--4

第一篇数与式专题一实数一、中考要求：1．在经历数系扩X 、探某某数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力． 2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．二、中考热点：本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题．三、考点扫描 1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab（a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()m m mmn nmn m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0）负整指数幂的性质：pp pa a a⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）8、实数的开方运算：()aa a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序*10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2）；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位*11、实数的大小比较： (1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较 (4).倒数法: 如6756--与(5).平方法四、考点训练1有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2那么x 取值X 围是（）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 3、－8）A ．2B ．0C ．2或一4D ．0或－44、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 为（） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．－15、若实数a 和 b 满足 b=a+5+-a-5 ,则ab 的值等于_______6、在3－2的相反数是________，绝对值是______.7、81的平方根是（）A ．9B ．9C ．±9D ．±3 8、若实数满足|x|+x=0, 则x 是（）五、例题剖析1、设a=3－ 2 ，b=2－3，c =5－1,则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD b ＞c ＞a化简|1－x|－2x -8x+162x-5的结果是，则x 的取值X 围是（）2、若A ．X 为任意实数B ．1≤X ≤4C ．x ≥1D ．x ＜43、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a 其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式=a+21-2a+a = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： ________ 4、计算：20012002(2-3)(2+3)5、我国1990年的人口出生数为23784659人。

2023中考数学一轮复习专题4

专题4.27 圆中的相似压轴题专题训练（专项练习） 1．已知，在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，以AB 为直径的△O 与BC 相交于点E ，在AC 上取一点D ，使得DE ＝AD ，(1)求证：DE 是△O 的切线．(2)当BC ＝10，AD ＝4时，求△O 的半径．2．如图，在BCD △中，BD CD =，以BC 为直径作△O ，交BD 于点E ，交CD 于点F ，连接EF ，BG 平分FBC ∠，交△O 于点G ，GH 为△O 的切线，交BC 的延长线于点H ．(1)求证：DE DF =．(2)若△O 的直径为10，1CH =，求BE 的长．3．如图，AB 是△O 的直径，AD 是△O 的切线，点C 在△O 上，OD △BC 交AC 相交于点E ．(1)若AC=2CB，求证：△ABC△△DAE；(2)若AB=6，OD=8，求BC的长．4．如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD△AB，且交AO的延长线于点D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圆O的半径．5．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，△B＝30°，M是AB上一点，以点M为圆心，MB为半径作△M交BC于点D．(1)如图1，若△M恰好与AC相切，求△M的半径．(2)如图2，若AM＝2MB，连接AD，求证：AD是△M的切线．6．如图，在△O中，AB为直径，OC△AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED．(1)求证：DE是△O的切线；(2)若tan A=1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在（2）的条件下，若OF=1，求△O的半径和CD的长．7．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，以BC为直径的△O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．(1)若△BCD=30°，BC=10，求BD的长；(2)判断直线DE与△O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2=⋅．2CE AB EF∠的外角的平分线，F为AD上一点，8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA=，延长DF与BA的延长线交于E．BC AF(1)求证：ABD △为等腰三角形．(2)求证：AC AF DF FE ⋅=⋅．9．如图，已知点C 在以AB 为直径的半圆O 上，点D 为弧BC 中点，连结AC 并延长交BD的延长线于点E ，过点E 作EG AB ⊥，垂足为点F ，交AD 于点G ，连结OG ，1DG =，2DB =．(1)求证：AE AB =．(2)求FB 的长．(3)求OG 的长．10．如图，已知AB 是△P 的直径，点C 在△P 上，D 为△P 外一点，且△ADC =90°，2△B +△DAB =180°．(1)证明：直线CD 为△P 的切线；(2)在“△DC；△AD=4；△AP=5”中选择两个．．作为结论组成一个．．作为条件，剩余的一个真命题，并完成解答过程．．．．．．．．．条件结论（只要填写序号）．11．如图，四边形ABCD内接于△O，AB＝AC，BD△AC，垂足为E．(1)若△BAC＝40°，则△ADC＝°；△DAC＝°(2)求证：△BAC＝2△DAC；(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．12．如图，点C是以AB为直径的半圆O上一动点，作半径OA的垂直平分线交OA于点F，交AC于点E，交切线CD于点D．△的形状，并说明理由；(1)判断CDE(2)若O 的半径是2，1cos 4B =，求CE 的长．13．如图，在Rt ABC △中，90,B D ∠=︒为AC 上一点，以DC 为直径的O 与边AB 交于点F ，与边BC 交于点E ，且弧DF 等于弧EF ．(1)证明：AB 与O 相切；(2)若18,10CE AD ==，求BF 长．14．如图，以BC 为直径的△O 交△ABC 的边AB 于点D ，过点D 作△O 的切线交AC 于点E ，且AC ＝BC ．(1)求证：DE △AC ；(2)若BC ＝4cm ，AD ＝3cm ，求AE 的长．15．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF △AC ，垂足为点F ．(1)求证：直线DF 是△O 的切线；(2)求证：BC2＝4CF•AC．16．如图，点C在以AB为直径的△O上，BD平分△ABC交△O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.(1)求证：DE与△O相切；(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．17．如图，AC是△O的直径，B在△O上，BD平分△ABC交△O于点D，过点D作DE△AC 交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是△O的切线．(2)若AB＝4，BC＝2，求BE的长．18．如图，AB是O的直径，点C在O上，ABC∠的平分线与AC相交于点D，交AC于点F，且经过圆外一点E，连EA，测得EA AD=．(1)求证：EA是O的切线．319．如图，直线33y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，以A 为圆心，AB 为半径作半圆，AC AB ⊥交半圆弧于点C ，弦CD x ∥轴，交y 轴正半轴于点E ，连结,OD BD ．(1)求A 的半径长及直线BC 的函数表达式．(2)求tan ABD ∠的值．(3)P 为x 轴上一点．△当PC 平行于四边形OABD 的一边时，求出所有符合条件的AP 的长．△若直线EP 恰好平分五边形OACBD 的面积，求点P 的横坐标．（直接写出答案即可）20．如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，且CD AB ⊥垂足为M ，CAB ∠的平分线AE 交O 于点E ，过点E 作EF AC ⊥交AC 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；9BM21．定义：有两边之比为1(1)如图1，在智慧三角形△ABC中，AB＝2，BC＝AD为BC边上的中线，求AD AC的值；(2)如图2，△ABC是△O的内接三角形，AC为直径，过AB的中点D作DE△OA，交线段OA 于点F，交△O于点E，连接BE交AC于点G．△求证：△ABE是智慧三角形；△设sin△ABE＝x，OF＝y，若△O的半径为2，求y关于x的函数表达式；(3)如图3，在（2）的条件下，当AF：FG＝5：3时，求△BED的余弦值．22．如图，AC为△O的直径，CF切△O于点C，AF交△O于点D，点B在DF上，BC交△O 于点E，且∠CAF=2∠BCF，BG△CF于点G，连接AE．(1)求∠AEB的度数；(2)求证：△CBG△△ABE；(3)若∠F=60°，GF=2，求△O的半径长．23．如图，AB是△O的直径，点F在△O上，BAF∠的平分线AE交△O于点E，过点E作ED AF⊥，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．(1)求证：CD是△O的切线；(2)若△O的半径为5，1tan2EAD∠=，求BC的长．24．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F，△O过点M、C、P．(1)求证：AFN ADP ∽△△； (2)若AB CM =，求证：△AMP 为等腰直角三角形；(3)随着点P 的运动，若△O 与AM 相切于点M ，又与AD 相切于点H ，且4AB =，求△O 的直径．25．已知△O 是边长为3的正∆ABC 的外接圆，点P 为弧AC 上一点． (1)如图1，当BP 恰为△O 的直径时，求BP 的长；(2)如图2，点M 在线段BP 上，点N 在线段CP 上，且BM ＝CN ，连接CM ，MN ，若△CMN ＝30°，求CM 2＋MN 2的值；(3)如图3，延长CP 交BA 延长线于点E ，连接AP 并延长交BC 延长线于点F ．请判断PE ·PF 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．26．如图△，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点(不与点A ，C 重合)，以A 为圆心，AD 长为半径作A 交AB 于点E ，连结BD 并延长交A 于点F ，连结ED ，EF ，AF ．(1)求证：2EAF BDE ∠=∠；(2)如图△，若2EBD EFD ∠=∠，求证：2DF CD =； (3)如图△，6BC =，8AC =． △若90EAF ∠=︒，求A 的半径长；△求BE DE ⋅的最大值．参考答案1．(1)见解析；(2)3【解析】【分析】（1）连接OE ，OD ，只需要△OAD △△OED 得到△OED =△OAD =90°即可；（2）证明△BEO =△EOD ，得到∥OD BC ，则△AOD △△ABC ，求出152OD BC ==，则3OA ==．(1)解：如图所示，连接OE ，OD ，在△OAD 和△OED 中， OA OE OD OD AD ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△OAD △△OED （SSS ）， △△OED =△OAD =90°， △ED 是圆O 的切线；(2)解：△△OAD △△OED ， △△AOD =△EOD ， △OB =OE ， △△B =△OEB ， △△AOE =△B +△BEO ， △△BEO =△EOD ， △∥OD BC ， △△AOD △△ABC ，12OD OA BC AB ==， △152OD BC ==，△3OA =，△圆O的半径为3．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）圆的内接四边形的性质可得△DEF=△DCB，△DFE=△DBC，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接OG，根据圆周角定理得到△BFC=90°，根据切线的性质得到OG△GH，根据相似三角形的性质得到BF的值，再根据勾股定理即可得到结论．(1)证明：△△DEF+△BEF=△BEF+△BCD=180°，△△DEF=△DCB，同理△DFE=△DBC，△ BD=CD，△△DBC=△DCB，△△DEF=△DFE，△DE=DF；(2)解：连接OG，△△O的直径为10，△BC=10，OG=5，△CH=1，△OH=6，△BC是△O的直径，△△BFC=90°，△GH为△O的切线，△BG平分△FBC，△△FBG=△CBG，△FG CG=，△．OG△CF，△CF△HG，△△H=△BCF，△△BCF△△OHG，△BC BF CH OG=，△1065BF=，△253 BF=，△CF==△BD=CD，DE=DF，△BD-DE=DC-DF，即BE CF==【点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．3．(1)见解析；(2)94 BC=【解析】【分析】（1）根据圆的切线的性质，平行线的性质，即可证三角形的全等．（2）由（1）的全等可得到证相似三角形的条件，通过相似的性质，即可求得BC的值．(1)证明：△AB是△O的直径，△△ACB=90°，△△B+△BAC=90°．△AD是△O的切线，△△CAD+△BAC=90°．△BC//OD，△△AED=△BCA=90°．△OD△AC，△AE=CE．△AC=2CB，△AE=BC．△△ABC△△DAE；(2)△△B=△AOD，△C=△OAD △△ABC△△DOA，△::BC OA AB OD=，△:36:8BC=，△94 BC=．【点拨】本题主要考查圆的切线的性质，掌握圆的切线的性质并结合全等三角形、相似三角形的性质进行求解是解题的关键．4【解析】【分析】根据E为AB的中点，则OE ⊥AB，根据CD ∥AB，可以得到△AEO △△DCO，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理，就得到半径．【详解】解：△E是AB的中点，△OE△AB，即△3＝90°，△AB△CD，△△4＝90°，△△1＝△2，△△AOE△△DOC，△AE：DC＝OE：OC＝1：2，△AE1=CD＝2，2又△OA＝OC＝2OE，而AE2+OE2＝OA2，△OE2+4＝（2OE）2，△OE=△圆O的半径OA＝2OE=2=【点拨】本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．5．36(2)见解析【解析】【分析】（1）过点M作MN△AC于N，根据切线的性质得到MB＝MN，根据直角三角形的性质分别求出AB、BC，证明△ANM△△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（2）证明△AMD△△BAC，根据相似三角形的对应角相等得到△A DM＝△BCA＝90°，根据切线的判定定理证明结论．(1)解：如图1，过点M作MN△AC于N，则MN△BC，△△M恰好与AC相切，△MB＝MN，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，△B ＝30°， △AB ＝2AC ＝12，BC ACtanB== △MN △BC ， △△ANM △△ACB ， △MN AMBC AB= 1212MN -=解得：MN ＝36，即△M 的半径为36； (2)证明：△MB ＝MD ，△B ＝30°， △△MDB ＝△B ＝30°， △△AMD ＝60°， △△AMD ＝△BAC ， △AM ＝2MB ，MB ＝MD ， △12MD AM =， △12AC AB =， △12MD AC AM AB == ， △△AMD △△BAC ，△△A DM ＝△BCA ＝90°，即MD △AD ， △MD 为△M 的半径， △AD 是△M 的切线．【点拨】本题考查了圆的相关知识，掌握切线的判定以及相似是解题的关键． 6．(1)见解析(2)3AB BE =，证明见解析(3)△O 的半径为3，CD =【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得34∠=∠，2EDF ∠=∠，根据OC △AB ，可得1390∠+∠=︒，进而根据等量代换可得490EDF ∠+∠=︒，根据切线的判定定理即可证明DE 是△O 的切线；（2）证明ADE DBE △∽△，在Rt ABD △中，1tan 2BD A AD ==，可得DE BE AE DE =12=，设DE a =，分别表示出AB BE ,即可得到3AB BE =；（3）过点F 作FG BC ⊥于点G ，设FG m =，则,GB m FB ==，22CG FG m ==，在Rt OBC 中，BC =，求得m 进而求得3OC OB ==，过点O 作OH CD ⊥，根据1tan tan 3OH OF OCH OCF CH OC ∠====，解直角三角形即可求得CH 的长，进而求得CD 的长．(1)证明：连接OD ，如图，OC OD = 3=4∴∠∠ EF ED =2EDF ∴∠=∠12∠=∠1EDF ∴∠=∠OC △AB ，∴1390∠+∠=︒41490EDF ∴∠+∠=∠+∠=︒即90ODE ∠=︒OD 是O 的半径DE ∴是O 的切线 (2)3AB BE =，理由如下，如图，连接OD ，OA OD =OAD ODA ∠=∠∴AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒即ADO ODB 90∠+∠=︒DE ∴是O 的切线90ODE ∴∠=︒即90EDB ODB ∠+∠=︒AOD BDE ∴∠=∠ E E ∠=∠ADE DBE ∴∽DB DE BEDA AE DE∴== 在Rt ABD △中，1tan 2BD A AD == ∴DE BE AE DE =12= 设DE a =1122,22AE DE a BE DE a ∴==== 32AB AE BE a ∴=-=3AB BE ∴= (3)如图，过点F 作FG BC ⊥于点G ，OC AB ⊥，AC AC =1452ABC AOC ∴∠=∠=︒BFG ∴△是等腰直角三角形，DB DB =FCG A ∴∠=∠1tan 2A =1tan 2GCF ∴∠=∴12FG CG =设FG m =，则,GB m FB ==，22CG FG m == 3BC m ∴=在Rt OBC 中，OC =1OB OF FB =+=BC =即(13m解得m 2FB ∴=123OC OB OF FB ∴==+=+=过点O 作OH CD ⊥，OC OD = 2CD CH ∴=在Rt OCF 中，CF ，OF OC OH CF ⨯=== 在Rt OCH 中，1tan 3OH OF OCH CH OC ∠===∴3CH OH ==2CD CH ∴==【点拨】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．7．(1)BD =5(2)DE 是△O 的切线，理由见解析 (3)见解析【解析】【分析】（1）先推出△BDC =90°，即可利用含30度角的直角三角形的性质求解；（2）如图，连接OD ，先证OE 是△ABC 的中位线，得到OE AB ∥，推出OE △CD ，得到△DOE =△COE ，证明ΔEOD △△EOC (SAS)，得到△EDO =△ECO =90°则DE 是OO 的切线（3）先证EF 是△ACD 的中位线，得到AD =2EF ．再证△ABC △△ACD ，得到2AC AD AB =⋅，由此即可证明．(1)解：△BC 是直径． △△BDC =90°，在 Rt △BCD 中，△BC =10，△BCD =30°， △BD =12BC =5； (2)解：DE 是圆O 的切线理由：如图，连接OD ．△E 是AC 的中点，O 是BC 的中点， △OE 是△ABC 的中位线， △OE AB ∥， △CD △AB ， △OE △CD ， △OD =OC ， △△DOE =△COE ，在△EOD 和△EOC 中=OD OC DOE COE OE OE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， △ΔEOD △△EOC (SAS)， △△EDO =△ECO =90° △OD △DE ， △DE 是OO 的切线 (3)解：△OE △CD △DF =CF ， △F 是CD 的中点， △EF 是△ACD 的中位线， △AD =2EF ．△△CAD=△CAB，△ADC=△ACB=90°，△△ABC△△ACD，AD AC∴=AC AB△2=⋅AC AD AB△AC=2CE，△242=⋅=⋅CE AD AB AB EF△2=⋅2CE AB EF【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆与三角形综合，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线等等，熟知相关知识是解题的关键．8．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先由圆内接四边形的性质，得出△MCD=△BAD，又由角平分线可得△MCD=△ACD，又由圆周角定理知△ACD=△ABD，即可证得△ABD=△BAD，利用等角对等边即可得出结论；（2）证先CD=DF，再证△ADC△△EF A，利用相似三角形的性质即可得出结论．(1)证明：△四边形ABCD内接于圆，△△MCD=△BAD，∠的外角的平分线，△CD为BCA△△MCD=△ACD，△△ACD=△ABD，△△ABD=△BAD，△AD=BD，△为等腰三角形．即ABD(2)证明：由（1）知：AD=BD，△AD BD=，△BC=AF，△AF BC=，△AD AF BD BC-=-，AB AF AB BC+=+，△=DF CD，△CD=DF，△ABC BAF=，△△ADC=△BDF，△四边形ABDF内接于圆，△△EAF=△BDF，△EF A=△DBA，△△DBA=△DCA，△△DCA=△EF A，△△ADC△△EF A，△CD AC AF EF=，△DF AC AF EF=，△AC AF DF FE⋅=⋅．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的判定，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证CD=DF，△ADC△△EF A．9．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据点D为弧BC中点得到CD＝BD，又根据AB是直径得到△ECB＝90°，再根据等角的余角相等可以推导出△ECD＝△DEC，从而有ED＝CD，得到ED＝BD，由AD是BE的垂直平分线得到AE＝AB；（2）根据△DEG△△FEB，写出比例式，可以求出BF；（3）先由△ABD△△EBF，写出比例式求出AB，接着在直角三角形BFG和直角三角形FOG中，由勾股定理求出OG.(1)如图，连接CB，连接CD，△D是BC的中点，△CD＝BD.△AB是圆O的直径，C、D在圆O上，△△ACB＝90°，△ADB＝90°.在Rt△ECB中，△ECB＝90°，△CD＝BD，△△DCB＝△DBC.又△DCB＋△ECD＝90°，△DBC＋△DEC＝90°，△△ECD＝△DEC.△ED＝CD.又CD＝BD，△ED＝BD.△AD△EB，ED＝BD，△AD是EB的垂直平分线，△AE＝AB.(2)△D是BE中点，△BE＝2BD＝4.在Rt△EGD中，根据勾股定理得：EG△△DEG＝△FEB，△GDE＝△EFB＝90°，△△DEG△△FEB.△DG EGFB EB =，即1FB =△FB(3)△△ABD ＝△EBF ，△ADB ＝△EFB ， △△ABD △△EBF . △AB BDEB BF=，即4AB =△AB ＝△OB△OF ＝OB －BF在Rt△GFB 中，根据勾股定理得FG=在Rt△GOF中，根据勾股定理得OG == 【点拨】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定定理和性质定理、勾股定理，熟练掌握相似形和勾股定理求线段长度是解题关键.10．(1)见解析(2)△DC △AD =4为条件，△AP =5为结论；解答见解析【解析】【分析】（1）连接PC ，则△APC =2△B ，可证PC △DA ，证得PC △CD，则结论得证；（2）△DC △AD =4为条件，△AP =5为结论；连接AC ，先求出AC 长，可证△ADC △△ACB ，可求出AB 长．(1)证明：连接PC ，△PC=PB，△△B=△PCB，△△APC=2△B，△2△B+△DAB=180°，△△DAP+△APC=180°，△PC△DA，△△ADC=90°，△△DCP=90°，即DC△CP，△直线CD为△P的切线；(2)解：△DC，△AD=4为条件，△AP=5为结论；连接AC，△DC，AD=4，△ADC=90°，△AC=△AP=CP，△△P AC=△ACP，△AD△PC，△△DAC=△ACP，△△P AC=△DAC，△AB是△P的直径，△△BCA=90°，△△BCA=△ADC，△AB AC AC AD=，△AB=10，△AP=5．【点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．11．(1)110；20；(2)见解析；(3)BC=【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求△ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求△DAC；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；（3）过A作AH△BC于H，根据等腰三角形的性质得到12BAH CAH CAB∠∠∠＝＝，CH＝BH，过C作CG△AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据形似三角形的性质得到12BHAH=，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．(1)△AB＝AC，△BAC＝40°，△△ABC＝△ACB＝70°，△四边形ABCD内接于△O，△△ADC＝180°﹣△ABC＝110°，△BD△AC，△△AED＝90°，△△ADB＝△ACB＝70°，△△DAC＝180°﹣△ADB﹣△AED＝20°，故答案为：110；20△△AEB＝△BEC＝90°，△△ACB＝90°﹣△CBD，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB＝90°﹣△CBD，△△BAC＝180°﹣2△ABC＝2△CBD，△△DAC＝△CBD，△△BAC＝2△DAC；(3)过A作AH△BC于H，过C作CG△AD交AD的延长线于G，△AB＝AC，△12BAH CAH CAB∠∠∠＝＝，CH＝BH，△△BAC＝2△DAC，△△CAG＝△CAH，△△G＝△AHC＝90°，△AC＝AC，△△AGC△△AHC（AAS），△AG＝AH，CG＝CH，△△CDG＝△ABC，△△CDG△△ABH，△51102 CG CDAH AB=＝＝，△12 BHAH=，设BH＝k，AH＝2k，△10 AB===△k＝△BC＝2k＝【点拨】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、形似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．(1)等腰三角形，见解析【解析】【分析】（1）根据线段的中垂线的定义，切线的性质以及等腰三角形的性质和判定，证出△DEC =△DCE 即可；（2）在Rt △ABC 中，根据锐角三角函数和勾股定理求出BC 、AC ，然后证明AEF ABC∽求出AE 即可．(1)CDE △是等腰三角形理由：连接OC ，如图：△CD 是O 的切线，△OC CD ⊥，△90OCD ∠=︒，即90DCE OCA ∠+∠=︒，△OA OC =，△A OCA ∠=∠，△90DCE A ∠+∠=︒，△DF OA ⊥，△90AEF A ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△DEC AEF ∠=∠，△DCE DEC ∠=∠，△DC DE =，即CDE △是等腰三角形；(2)△O 的半径是2，△4AB =，△AB 为O 的直径，△90ACB ∠=︒， △1cos 414BC AB B =⋅=⨯=，△AC =△DF 垂直平分OA ， △112AF OA ==， △AFE ACB ，EAF BAC ∠=∠，△AEF ABC ∽， △AE AFAB AC=，即4AE =，△AE =△CE AC AE =-==．【点拨】本题考查切线的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握相关性质定理是正确解答的前提．13．(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接DF ，EF ，OF ，根据圆周角定理得到△DOF ＝12△DOE ，得到△DOF ＝△C ，根据平行线的性质得到△OF A ＝△B ＝90°，于是得到AB 与△O 相切；（2）过O作OH△NC于H，则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝12CE＝9，求得BH＝OF，设△O的半径为r，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．(1)连接DF，EF，OF，OE，如图所示：△DF EF=，△△DOF＝12△DOE，△△C＝12△DOE，△△DOF＝△C，△OF∠BC，△△OF A＝△B＝90°，△AB与△O相切；(2)过O作OH△CB于H，△△OHB=90°，△△OFA＝△B＝90°，则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝12CE＝9，△BH＝OF，设△O的半径为r，△OC＝OF＝BH＝r，AC＝2r＋10，BC＝9＋r，△OH∠AB，△△COH△△CAB，△OC CH AC BC=，△9 2109rr r=++，解得：r＝15或6r=-，经检验r＝15或r=-6都是方程的根，但r=-6不合题意舍去△BF＝OH12=．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分式方程，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键．14．(1)见解析(2)9 cm 4【解析】【分析】（1）如图所示，连接OD，证明△A=△ODB，得到OD AC∥，再由DE是圆O的切线，即可得到△DEA=△ODE=90°，即DE△AC；（2）如图所示，连接OD，CD，由BC是圆O的直径，推出△AED=△ADC，即可证明△ADE△△ACD，得到AE ADAD AC=由此求解即可，(1)解：如图所示，连接OD，△OD=OB，△△B=△ODB，△AC=BC，△△A=△B，△△A=△ODB，△OD AC∥，△DE是圆O的切线，△△ODE=90°，△△DEA=△ODE=90°，即DE△AC；(2)解：如图所示，连接OD，CD，△BC是圆O的直径，△△BDC=90°，△△ADC=90°△△AED=△ADC，又△△A=△A，△△ADE△△ACD，△AE ADAD AC=，即334AE=，△9cm4AE=．【点拨】本题主要考查圆切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD、AD，由AB为圆的直径得到△ADB=90°，由等腰△ABC的“三线合一”得到D为BC的中点，进而得到OD为△ABC的中位线，由此得到OD∠AC，即可得到△ODF=△DFC=90°进而证明；(2)连接AD，证明△CDF△△CAD，进而得到CD²=CF·CA，再由BC=2CD代入即可证明．(1)证明：连接OD、AD，如下图所示：△AB为圆O的直径，△△ADB=90°，△AB=AC，由等腰三角形的“三线合一”可知，△D为BC的中点，又O为AB的中点，△OD为△ABC的中位线，△OD∠AC，△△ODF=△DFC，由已知DF△AC，△△ODF=△DFC=90°，△DF为△O的切线．(2)证明：连接AD，如下图所示：由(1)中可知：△ADC=△ADB=90°=△DFC，又△C=△C，△△CDF△△CAD，△CD CF CA CD，整理得到：CD²=CF·CA，又CD =12BC ，代入上式，14BC ²=CF •AC ， △BC 2＝4CF •AC ．【点拨】本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握等腰三角形的性质、圆的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键．16．(1)见解析(2)(3)CE =AB -BE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OD ，先证OD BE ∥，再根据BE DE ⊥，可得OD DE ⊥，即可得证结论；（2）证△ABD △△DBE ，根据线段比例关系即可求出BD 的长度；（3）过点D 作DH △AB 于H ，根据HL 证Rt △BED △Rt △BHD ，再根据AAS 证△ADH △△CDE ，再利用等量代换即可得出CE =AB −BE ．(1)证明△如图：连接OD ，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，OD BE ∴∥，BE DE ⊥，OD DE ∴⊥， OD 是△O 的半径，∴DE 与△O 相切；(2)解：AB 为△O 的直径，∠=90ADB ∴︒，BE DE ⊥，==90ADB BED ∴∠∠︒， BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ABD DBE ∴△∽△，=AB BD BD BE ∴， 5=4BD BD ∴，BD ∴(3)解：CE =AB -BE ；理由如下如图：过点D 作DH AB ⊥于点H ，则=90DHA ∠︒，BD 平分ABC ∠，BE DE ⊥，DH AB ⊥，=DH DE ∴，=90DEC ∠︒，在Rt BED △与Rt BHD △中，==BD BD DE DH ⎧⎨⎩()Rt BED Rt BHD HL ∴△≌△，=BE BH ∴，四边形ABCD 内接于△O ，A DCE ∠=∠∴，在ADH △与CDE △中===90=A DCE DHA DEC DH DE ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩()ADH CDE AAS ∴△≌△，=AH CE ∴，=AB AH BH +，AB CE BE ∴=+，=CE AB BE ∴-．【点拨】本题主要考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．17．(1)见解析 (2)92【解析】【分析】（1）连接OD ，得到△DOC ＝90°，再利用平行线的性质得到△ODE ＝90°，证明得到结论．（2）利用勾股定理得到AC ＝ODFC 得到FC ＝O CΔCEF △ΔACB 得出结果．(1)证明：连接OD ，△AC 是△O 的直径，△△ABC ＝90°，△BD 平分△ABC△△DBE ＝45°，△△DOC ＝90°，△DE△AC，△△ODE＝90°，△DE是△O的切线(2)作CF△DE，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，△AC＝△△COD＝△ODF＝△CFD＝90°，△四边形ODFC是矩形，△OC＝OD，△四边形ODFC是正方形，△FC＝O C△DE△AC，△△ACB＝△E，△ΔCEF△ΔACB，△CFCE ＝ABAC，△CE＝52．△BE＝92．【点拨】本题考查圆中切线的判定，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是在圆中利用弧确定角的度数．18．(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)首先由圆周角定理可得90C ∠=︒，2390=+︒∠∠，再由=AE AD 及对顶角的性质，可得=3E ∠∠，可得2=90E ∠+∠︒，由角平分线的定义可得1=2∠∠，可得1=90E ∠+∠︒，据此即可证得结论；(2)首先由2cos cos 33CD E BD =∠==，可求得4=3CD ，BC D 作DG AB ⊥于点G ，可证得BGD BCD △≌△，可得=BG BC 4==3GD CD ，再证得ADG ABC △∽△，222416===39AD AD AG GD --，可得43AD AG -，据此可求得AG ，OA 的长，即可求得．(1)证明：AB 是O 的直径，90C ∴∠=︒，23=90∴∠+∠︒，=AE AD ，=4E ∴∠∠，又4=3∠∠，=3E ∴∠∠，2=90E ∴∠+∠︒， BE 平分ABC ∠，1=2∴∠∠，1=90E ∴∠+∠︒，=90EAB ∴∠︒，即AB AE ⊥，又OA 是O 的半径，EA ∴是O 的切线；(2)解：=3E ∠∠，90C ∠=︒，2cos 3E =， 2cos cos 33CD E BD =∠==， =2BD ，224==2=333CD BD ∴⨯，BC ∴如图：过点D 作DG AB ⊥于点G ，==90BGD C ∴∠∠︒，在BGD △与BCD △中，1=2==BGD C BD BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩()BGD BCD AAS ∴△≌△，=BG BC ∴4==3GD CD =DAG BAC ∠∠，==90AGD C ∠∠︒，ADG ABC ∴△∽△，=AD AG AB AC∴， =AD AC AG AB ∴⋅⋅，4=3AD AD AG AG ⎛⎛⎫∴+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，224=3AD AD AG AG ∴+，22224416====339AG AD AD AG GD ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，43AD AG ∴-，把43AD AG -代入2216=9AD AG -，得22416=39AG AG ⎫--⎪⎪⎝⎭，解得AG AG =0(舍去)，=AB AG BG ∴+ 1=2OA AB ∴O ∴的半径为【点拨】本题考查了圆周角定理，等边对等角，角平分线的定义，切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解决本题的关键．19．，132y x =-+ (2)2 (3)△102,53，，△1405⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）根据直线33y x =-+与坐标轴的交点，求得,A B 的坐标，进而勾股定理求解即可得圆的半径，过点C 作CF x ⊥轴，证明OAB FCA ≌，进而求得C 的坐标，待定系数法求解解析式即可；（2）证明CBE ABD ∠=∠，进而在Rt BEC △中即可求得CBE ∠的正切值，从而求解；（3）△过点D 作DG x ⊥轴，分别求得直线,,DO BD AB ，△根据题意分PC 行与平,,DB OD AB 三种情形讨论，分别求得直线解析式，进而求得直线PC 与x 轴的交点坐标即可；△设EP 与BC ，DO 分别交于,M N ，过点M 作MT x ⊥，根据题意求得 BEM △与DEN 的面积和为114，进而求得MS 的长，根据（2）的结论即可求得BS 的长，进而求得M 的坐标，根据E 的坐标，待定系数法求解析式，进而求得与x 轴的交点坐标即为所求(1)如图，过点C 作CF x ⊥轴，33y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，令0x =，则3y =，令0y =，则1x =，()()1,0,0,3A B ∴13OA OB ∴==,，AB AC AB ⊥，90OAB CAF ∴∠+∠=︒90OAB OBA ∠+∠=︒OBA FAC ∴∠=∠又AC AB =，90AOB CFA ∠=∠=︒∴OAB FCA ≌1,3CF OA AF OB ∴====()4,1C ∴设过点()()0,3,4,1B C 的直线为y kx b =+，则143k b b =+⎧⎨=⎩解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为132y x =-+(2)如图，连接AD ，过点D 作DG x ⊥轴，AC AD ==CD x ∥1OE ∴=3AG ∴=()2,1D ∴-2,2DE BE BO EO ∴==-=DEB ∴是等腰直角三角形45DBE ∴∠=︒,AB AC BA AC =⊥∴ABC 是等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒DBE ABC ∴∠=∠ABD ABO EBD ABO ABC EBC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠在Rt EBC 中，2,4BE CE ==4tan tan 22EC ABD EBC BE ∴∠=∠=== tan 2ABD ∴∠=(3) △()2,1D -tan 2DE EOD EO ∴∠== 由（2）可知tan 2EBC ∠=EOD EBC ∴∠=∠BC DO ∴∥i )当PC OD ∥时，BC DO ∥，132BC y x =-+ 令0y =，得6x =∴()6,0P∴当PC OD ∥时，()6,0P()()6,0,1,0P A5PA ∴=i i )当PC BD ∥时，()()0,3,2,1B D -∴3BD y x =+设PC y x s =+，过点()4,1C解得3s =-∴3PC y x =-令0y =，得3x =∴()3,0P()()3,0,1,0P A2PA ∴=i i i )当PC AB ∥时，设直线PC 的解析式为3y x t =-+()4,1C13t ∴=313y x ∴=-+令0x =，得133y =， 13,03P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 103AP ∴= 综上所述，AP 的长为：102,53， △如图，设EP 与BC ，DO 分别交于,M N ，过点M 作MS x ⊥轴， 11123133 1.559.5222BDO ABO ABC ACBDO S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯+++=五边形EP 平分五边形ACBDO ，BDNM S ∴四边形19.5 4.752=⨯= 122BDE SBE ED =⨯⨯=112.754BEM DEN S S ∴+==，1124422BEC S BE CE =⨯⨯=⨯⨯= 设12,BEM EMC S S S S== 124S S ∴+=△由△可知BC DO ∥，∴EMC END ∽，24EMC END SEC S DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 214END S S ∴= 2111144S S ∴+=△ 联立△△得1221411144S S S S +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得173S = 1723MS BE ∴⨯= 73MS ∴= tan tan 2MBS CBE ∴∠=∠=7tan 6MS BS MBS ∴==∠ 711366OS OB BS ∴=-=-= 711,36M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()0,1E设直线EP 解析式为y mx n =+711361m n n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 5141m n ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 5114y x ∴=+令0y =，得 145x =- 14,05P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭【点拨】本题考查了圆的基本概念，坐标与图形，求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，求正切值，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．20．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线的性质，求得△CAE =△AEO ，再根据平行线的判定和性质即可证明；（2）由矩形的判定得出四边形CGEF 是矩形；再由垂径定理可得EF =CG =BG =12BC ，CM =12CD =12；由△AMC △△CMB ，49AM BM =，设AM =4x 列方程求出BM 的长；再由勾股定理求得BC 的长即可解答．(1)解：如图，连接OE 交BC 于点G ，△OA=OE，△△AEO=△EAO，△AE平分△BAC，△△CAE=△EAO，△△CAE=△AEO，△AF△OE，△△F=90°，△△OEF=90°，△EF是圆的切线．(2)解：由（1）问图；△AB为圆的直径，△△ACB=90°，△△F=△FEO=90°，△四边形CGEF是矩形，△OE△BC，△EF=CG=BG=12BC，△AB△CD，△CM=12CD=12，Rt△ABC中，CM△AB，△△AMC△△CMB，△AM MC CM MB=，△49AMBM=，设AM=4x，则BM=9x，△4x×9x=122，解得x=2或x=-2（舍去），△BM=18，BC△EF=12BC=．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关定理和性质是解题关键．21．(1)2(2)△见解析；△y =2－4x 2(3)cos BED ∠=【解析】【分析】（1）根据中线的定义及相似三角形的判定与性质可得答案；（2）△连接OE ，设△ABE =α，由圆周角定理及垂直定义可得△AED =△ABE =a ，然后根据相似三角形的判定与性质可得结论；△过点O 作OH △AE 交于点H ，由圆周角定理及三角函数可得答案；（3）过点G 作GI △AB 交DE 于点I ，设EG =3a ，则BE =5a ，根据相似三角形的性质可得答案．(1)△AD 是BC 的中线△12BD BC ==△BD AB AB BC ==△△B =△B△△ABD △△CBA △22ADBD AC AB (2)△如图，连接OE ，设△ABE =α，△△AOE =2△ABE =2α，△OA =OE ，△△OAE =90°-α，△DE △OA ，。

多边形与平行四边形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第五单元四边形专题5.1 多边形与平行四边形知识点多边形01平行四边形02拓展训练03【例1-1】如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC=____º.AC B30 1.n边形的内角和___________,外角和_____.2.n边形的对角线__________.考点聚焦(n-2)·180º360ºn(n-3)/2知识点一典例精讲多边形1.将一个矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和不可能是( ) A.360º B.540º C.720º D.900º2.若正多边形的一个外角是60º,则该正多边形的内角和为______.3.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为____,有____条对角线.4.用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1),然后轻轻拉紧,压平就可以得到如图(2)的正五边形ABCDE,其中∠BAC=____度D 720º 6 9 365.如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE，∠E=115º,则∠BAE的度数为______.6.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300º,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是______.7.如图,∠A+∠B+∠C+∠D=_____º.8.如图,A,B,C,D,为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18º,则这个正多边形的边数为____.125º60º 26810知识点多边形01平行四边形02拓展训练03【例2-1】如图,在□ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.(1)求证：△AOF≌△COE；(2)连接AE,CF,判断四边形AECF的形状,并说明理由.A DCBOEF考点聚焦证明四边形ABCD是平行四边形的方法(五种)边：①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等角：④两组对角分别相等；对角线：⑤对角线互相平分.【例2-2】如图,□ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( ) A.15 B.18C.21D.24A ADCB1E O 考点聚焦平行四边形的性质(1)边：对边相等，对边平行；(2)角：对角相等；(3)对角线：对角线互相平分。

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第5章四边形第22讲矩形、菱形、正方形

6 ． [2023 兰州 24 题 ] 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F， G，连接DE. (1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；解：四边形OCDE是菱形，理由如下： ∵CD∥OE， ∴∠FDC＝∠FOE. ∵CE是OD的垂直平分线， ∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO， ∠DFC＝∠DFE＝90°.
A．4 C．2
B．2 3 D． 3
2．[2020省卷8题]如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝20 cm，则∠DAB的度数是( C )
A．90° C．120°
B．100° D．150°
3．[2024临夏州9题]如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( C )
命题点 2 中点四边形拓展训练
4．[2024山西]在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，
CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则
线段EG与FH一定满足的关系为( A )
A．互相垂直平分
B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等
D．互相垂直平分且相等
A．(－4，2) C．(－2，4)
B．(－ 3，4) D．(－4， 3)
4．[2022省卷14题]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝ 2 5 cm，AC＝4 cm，则BD的长为_在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB， DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝_2__3__cm.

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化(提升卷)

2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化（提升卷）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC +=D ．AB CD∥【答案】D【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为A ．10B ．6C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图所示，n 的最小值为3，故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．(2,C ．(2,-D ．(2--,或(2,【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点A 有两次落在x 轴上，当点A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，易证此时C′′与点A 重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则23tan AOE=2∠，，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 是等边三角形，当A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=C'O cos ∠，C′F=C'Osin C'OF=2∠，∴C′（2,--），当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A 重合，C C′′(2,，综上，点C 的对应点的坐标为(2--,或(2,，故答案为：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A 的运动情况，分情况讨论．8.如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=25 4，∴CE=2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．9.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10.如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=α∠，根据AC 平分''B AC ∠可得∠B′AC=∠CAC=α∠，即可得出4180αβ∠+∠=︒，可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，B β∠=∠，∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠=1(180)2β︒-∠，∵将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，∴∠CAC′=∠BAB′=α∠，∵AC 平分''B AC ∠，∴∠B′AC=∠CAC=α∠，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2α∠=1(180)2β︒-∠，∴4180αβ∠+∠=︒，故选；C ．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．12.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D 的位置，则阴影部分的面积是______________；【答案】2323-【分析】CD 交11B C 于点E ，连接AE ；根据全等三角形性质，通过证明1AB E ADE △≌△，得1EAB EAD ∠=∠；结合旋转的性质，得130EAB EAD ∠=∠=︒；根据三角函数的性质计算，得1EB ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：如图，CD 交11B C 于点E ，连接AE根据题意，得：190AB E ADE ∠=∠=︒，11AB AD ==∵AE AE=∴1AB E ADE△≌△∴1EAB EAD∠=∠∵正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D ∴130BAB ∠=︒，90BAD ∠=︒∴119060B AD BAB ∠=︒-∠=︒∴130EAB EAD ∠=∠=︒∴111tan 3EB EAB AB =∠=∴13EB =∴111112236AB E ADE S S AB EB ==⨯=⨯=△△∴阴影部分的面积()()122AB E ADE AB BC S S =⨯-+△△23=-故答案为：23-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．13.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____．【答案】2【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝，∵BD，∴AD＝AB﹣BD＝，∵∠AHD＝90°，∴DH＝12AD＝332，∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB ∴B′J≥DH﹣DB′，∴B′J≥3 2，∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3 2；故答案为2．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．14.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==2222543BC OB OC =--∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．15.如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连接EF ．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF=__________．【答案】13【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B ，∴∠BAC+α+β=90°，∴∠EAF=90°，∴22AE AF +1313【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．16.如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM=1，再由CM//C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB'=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM''∴//AB CM'∴∠AB C B MC'''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D'∴△CME DC E'∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ====故答案为：98．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．17.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C的距离分别为4则正方形ABCD 的面积为________【答案】314【解析】【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵2，∠PBM=90°，∴2PB=2，∵PC=4，3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH=HM ，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=（）2+12，∴正方形ABCD 的面积为14+4．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18.如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．【答案】5【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF=AE ，DF=DE ，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x ，DN=5x ，则BE=1-2x ，CN=1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x -=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=．∴103DE ===．过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP=y ，则2BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222210233y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得，223y =．∴222210222333EP E D DP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴在Rt △DEP 中，253sin 5103EP EDP ED ∠==．即5sin 5EDM ∠=．故答案为：55【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB=3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x=-4，即A （-4，3），∴OB=3，AB=4，，由旋转可知：OB=O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA=O 1A=O 2A 1=…=5，AB=AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA+AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：387 5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解析】（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A（4，1），∴=∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：290(17)360⨯π⨯=174π．【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，4AC ==．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD 中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．23.已知在 ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将 AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC ＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．【答案】（1）AE CF =；（2）成立，证明见解析；（3）5113【分析】（1）结论AE CF =．证明()AOE COF SAS ∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明90AED ∠=︒，再利用相似三角形的性质求出AE ，利用勾股定理求出DE 即可．【详解】解：（1）结论：AE CF =．理由：如图1中，∠=︒，OC OB=，BAC，90=AB AC⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，90AOC EOF∴∠=∠，AOE COF，OE OFOA OC==，∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，，OC OB=，BAC∠=︒90∴==，OA OC OB，AOC EOF∠=∠∴∠=∠，AOE COFOA OC=，OE OF=，()AOE COF SAS∴∆≅∆，AE CF∴=．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OE OC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OA CF OC=，5CF OA== ，∴5 53 AE=，253 AE∴=，5113 DE∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）②求证：AF DM ⊥；③若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）【答案】（1）AF=2DM （2）①成立，理由见解析②见解析③622+【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；=，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明（2）①延长DM到点N，使MN DM△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．【详解】（1）猜想AF与DM的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，=，连接CN，理由如下：延长DM到点N，使MN DM∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF ⊥DM③∵45α=︒，∴∠EDC=90°-45°=45°∵2EDM MDC ∠=∠，∴∠EDM=23∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A 点作AG ⊥FD 的延长线于G 点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG 是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k ，k ，k ，∴故ADED 622+=．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．25.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF =【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB=60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF=1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1，∴13,22FH EH ==，∴CH=13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形；（2）如图2，当点Q 和点D 重合时．①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3）125-【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论；（2）①证明''CGB CDF ≅ 即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到5B C '=，5B K '=，根据B KC ' ∽△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅ ，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF H S S x == ，由'~'GB C GE H，求出)21GB x =-，利用~'GBM CRF ，求出'6255GMB CF R S S -= ，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，证明~'GBN GCB，求出55GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，根据12GBN S BG BN =⨯⨯ ，求出答案．【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，∵EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒，∴四边形BEFC 是矩形．∵BE BC =，∴矩形BEFC 是正方形．（2）①如图1，∵90GCK DCH ∠=∠=︒，∴'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒，∴'KGC CDF ∠=∠，又∵''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠，∴''CGB CDF ≅ ，∴CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，∵PG ∥CF '，∴'~'B KO F CO ，∴'1'2B K OK CF CO ==，∴11''22B K BC a ==，∴在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，∴222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴5a =．∴5B C '=，5B K '=，∵90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠，∴B KC ' ∽△CKG ，∴2CK B K KG '=⋅,∴KG =∵1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠，∴△B’CK ≌△E’KD ，∴DK=KC ，又∵∠DKP=∠GKC ，∠P=∠G ，∴PKD GKC ≅ ，∴PG=KG ，∴PG =；方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ，由''CGB CDF ≅ ，可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =，∴6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =．（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ，∴~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠，∴'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，∴''''''2CB CF E F B E BC x =====，∵'//'CB HE ，∴'~'RB C RF H ，∴''1''2F H RH RF B C RC RB ===，∴CH RH =，'''B F RF =，∴2CR CH ==，2'''22CF R CF H S S x == ，∵'//'CB HE ，∴'~'GB C GE H ，∴'22'33GC B C x GH E H x ===，'2'3B C E H ==，∴)21GB x =，∵~'GBM CRF ，∴22'216255GMBCF Rx S GB S CR ⎡⎤-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵'''2CF R CF H S S =，∴'125GMB CF HS S -= ．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ，∴~'GBN CHF ，∴2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵'//CF GP ，∴'NGB F CH ∠=∠，∴'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===，设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，∴CH =，CG =，则)21GB x =，∴(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∵2'1'2CF H S CF FH x =⋅= ，∴(2465GBNSx -=，∵'//HE BN ，∴~'GBN GCB，∴55'5GB GC CB BN -===，∵'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ，∴~''MBN B F C ，∴22''55625'55MBN B F C S BN S CB ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2''26655MBNB FC SS x --==，∴(((222462626555MBGNBG MBN SS S xxx ---=-=-=，∴'12455GMB CF H S S -= ．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ，∴~'MBN F OC ，∴2'MBN F OC S BN S CO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由方法（2）可知，)251GB x =，所以)51BN x =-，又∵22533CO CK x ==，∴(2'96520MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，∴((229625362542035BMNSxx --=⨯=，∵)(222151652GBN S BG BN x x =⨯⨯==- ，∴(((2223625262562555GBMGBN NBM SS S x xx --=-=--=，∴2'1''2CF H S CF F H x =⨯⨯= ，∴'12455GMB CF H S S -= ．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．。

中考数学第一轮复习坐标系专题训练

中考数学第一轮复习专题训练一、填空题：（每题3分，共36分）１、点A （3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。

２、P （2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。

３、P （－2，3）到轴的距离是＿＿＿＿＿。

４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿＿号。

５、以坐标平面内点A （2，4），B （1，0），C （－2，0）为顶点的三角形的面积是＿＿。

６、如图１，△AOB 的顶点A 的坐标为＿＿＿＿＿。

７、如图１，△AOB 沿x 轴向右平移1个单位后，得到△A'O'B'，则点A'的坐标为＿＿＿＿。

８、如图２，矩形ABOC 的长OB ＝3，宽AB ＝2，则点A＿＿＿。

９、如图３，正方形的边为2，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。

10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD 。

则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿＿＿。

11、小东要在电话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描述。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、如图６，一个机器人从O 点出以，向正东方走3米到达A 点，再向正北方走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，n)，在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三名象限D 、第四象限２、若P （m ，2）与点Q （3，n ）关于轴的对称，则m 、n 的值是（） A 、－3，2 B 、3，－2 C 、－3，－2 D 、3，2 ３、A 在B 的北偏东30°方向，则B 在A 的（）A 、北偏东30°B 、北偏东60°C 、南偏西30°D 、南偏西60°４、下列说法正确的是（）A 、两个等腰三角形必是位似图形B 、位似图形必是全等图形C 、两个位似图形对应点连线可能无交点D 、两个位似形对应点连线只有一个交点５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）yy x 东（6）x ）A 、关于 x 轴对称B 、关于轴对称C 、关于原点对称D 、原图形向轴负方向平移1个单位６、如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A 、B 的位置，下列说法错误的是（）A 、B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合B 、A 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 B 重合C 、B 在 A 的东北方向且相距 22 个单位D 、若点 B 的坐标为（0，0），则点 A 的坐标为（－2，－2）三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只子的位置分别是A （b ，3），B （d ，5），C （f ，7），D （h ，2），请在图中描出它们的位置。