CFD数值模拟原理-4

迭代 指代数方程本身的迭代 非线性方程的迭代（解非线性问题的唯一方法）
收敛，如: | i | i
n 1
| i
n 1
i |max
n n 1 n i

n
i
n i
n
|max | i |max


i
n
|max
n 1

i
(1+ at at at at ( n1/ 2) ( n 1) ( n 1) ( n 1) ( n 1) ( n 1) ) T ( )( T T ) ( )( T T ) (1 )Ti , j i, j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i 1, j 2 2 2 2 y y x x
2. Gauss－Seidel迭代
Tk
(n)
用相邻点的最新值
L1 K1 i k 1
( akiTi
i 1
k 1
(n)


akiTi ( n1) bk ) akk
迭代计算方向会影响到收敛速度。 3. SOR/SUR（逐次超松弛/逐次亚松弛）迭代 第n轮迭代中，节点k的值：
T T
3.迎风差分格式 为使对流问题的差分格式符合迁移性，最早的 方法是引入上风格式（迎风）
i 1 i x = i x i 1 i x 如果u 0 u<0 u>0 (前差) (后差)

n 1 i 1

n 1 i 1
n i 1
n i 1
X+Δx
x+2 来自百度文库x
(i)
n i 1
(i+1)

n 1 i

n i
t
＝
2
n
x
i 2
t某一时刻在节点i上有一个扰动。
对于(n+1) 层(t+Δ t时刻) ＝> 对节点i

i－1
n 1 i

n i
t
＝
n i 1
2
n
n i 1
W
w
s
L1 × M1 i 1 ik
a T b
ki i
k
k=1,2, ,L1 M 1
N
n
P S
e
E
Y Z X
j
i
i+1
1. Jacobi迭代
Tk ( n ) ( akiTi ( n 1) bk ) akk
i 1 ik L1 × M1
k=1,2,,L1 M 1
收敛慢，易于发散
t
u
u t x
n i 1

n i
x
(对i 1点)
n 1层时
而对i-1

n 1 i 1

n 1 i 1
n i 1
t 0
u
n i 1

n i2
x
(
n i 1
n i 2
0)
表示Ф 值仅向u正方向传递，符合物理意义，也即 upwind格式时具有迁移性的。 结论：中心差分从数学上讲是二阶精度，但对物理特 性来讲不合理，而upwind数学上一阶精度，但符合物 理现象。 背风差分更不合理，传递会逆流而上。
速度方向
Ф
采用类似的分析方法（n时间层 上有扰动），对节点(i+1)在(n+1) 时间层 0 0
=
n i


n＋1 i 1
n＋1 i 1

n i＋1
u t i u t ( ) x 2 x 2
n
t
u
n i2

n i
2x
(中心差分)
i-2 i-1 i
i+1 i+2
a T
(n1) S S
(a T
( n1/ 2) E E
a T
( n1/ 2) W W
b)
强隐迭代法（SIP），变化急剧易用SIP方法
i点上存在扰动ε
而i-1点则有：

n＋1 i 1

n i -1
t
u
n i
n i 2
2x
n

n i -1

n i2
0

n＋1 i 1
u t i u t ( ) x 2 x 2
可见，i点的扰动同时向两个方向传递 迁移特性：如果对流项的某种差分格式能使扰动仅沿 流动方向上传递——称此格式具有迁移性。 显然，对流项采用中心差分时，该格式不符合迁移性 结论：中心差分格式处理对流问题就不合理。（虽然是二阶 精度） 简单地将方程用差分法变成差分格式，有可能违背物 理问题（物理上不合理） 离散扰动分析法
n
i max
§5－2 求解代数方程的迭代法
显式 二维 a pTp aETE aW TW aN TN aS TS b 隐式 一般：akk Tk
一、 点迭代法
每一计算步只能改进求解 区域中一个节点上的值，且该点 的值是用一个显函数形式由其余 各点的已知值来确定—显式迭代。
N n w s S 第一步 e
W
P
E
第二步
先逐行，再逐列扫描——交替方向隐式迭代法 （ADI方法） 如Jacobi
( n1/ 2) ( n) apTp(n1/ 2) aETE( n1/ 2) aW TW (aNTN aSTS(n) b)
aT
( n1) p p
a T
( n1) N N
ap
三、交替方向块迭代法（ADI法） 例：非稳态传热问题
1/ 2) (n) ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) ( n) ( n) ( n) Ti ,( n T T 2 T T T 2 T T j i, j i 1, j i, j i 1, j i , j 1 i, j i , j 1 第一步： a[( ) ( )] 2 2 t / 2 x y
当已知值处理
( n) n1 (n-1)轮后 TEn1、 已知，并入b中 Tp( n) , TN , TS( n) TW
采用TDMA算法求解（三角追赶法），逐列向前推进
2.Gauss－Seidel迭代
(n) (n ) apTp(n) aNTN aSTS(n) aETE(n1) aWTW b
2－4 离散方程的迁移性
1.扩散与对流的区别
扩散没有方向性，在各方向上表示出类似的性质。 对流是流体微团的定向流动，在对流的作用，发 生在某点的扰动只能在向下游方向传递，而不会 逆向传递。
ε
t0 ε t0 t1 t2
t1 t2 扩散作用 x 对流作用 x
Φ(x) Φ(x+ Δx) Φ(x+2 Δx) 2.对流：扩散在差分格式中的反映 ①扩散 2 如 2 (扩散) t x FTCS格式: x (i-1)
第五章 代数方程的求解方法（p.137）
——代数方程的迭代求解方法，多重网格方法
§5－1 引言 1.数值计算，采用差分方程 大型稀疏代数方程 如：空间一维 3对角矩阵 空间二维 5对角矩阵 空间三维 7对角矩阵 2. 矩阵十分巨大 如：有10万个内节点 10万个代数方程（一个方程） ——一般情况下：采用直接解矩阵的方法去求解困难 3.结论：代数方程的迭代求解
3.SOR/SUR迭代
T
(n) p
T
( n 1) p
(n) (n ) aN TN aS TS( n ) aETE( n 1) aW TW b Tp( n 1) ap (n) (aETE( n 1) aW TW b)

ap
(n) (aN TN aS TS( n ) ) (1 )Tp( n 1)

n n Ti n1 Ti n (1 2r ) r (Ti T 1 i 1 )
n T2n 1 1 2r rT1n T r 0 2 n 1 n 1 2r r T3 0 T3 r ＋ n n 1 r 1 2r r Ti 2 Ti 2 n 1 0 n rT n 0 r 1 2 r Ti 1 Ti 1 i
n1 n n T AT g
初始条件， T0 F
0
0 u v
直接解法： 26个未知数的代数方程 106/s的运算能力， 需要1016年才能完成
n k n k
n－1 k
(n) (T k Tk( n 1) )
(n) T T ＋ (T k Tk( n 1) ) n－1 k
0 2
(n) 其中T k 表示第n次迭代中用Jacobi迭代或Gauss迭代所得的中间值。
Jacobi 1 Gauss SOR 超松弛 1 : 超松弛因子 SUR 亚松弛 1 ： 关键参数 选取原则：利于收敛
x
i 2
其中n n 0
i 1
对于扩散，物理量空间上具有对称性
＝ (1n 1 n
2t t ) (1 2 ) 2 2 i i x x t 1 同一空间点的物 按稳定性要求 理量随时间变化， 2 x 2 Ф
n 1 i
Ф
t时刻(n层) 其余为零 i-2 i-1 i i+1 i+2
或改写: at at at at ( n ) 1/ 2) ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) (n) (n) (1+ 2 )Ti ,( n ( )( T T ) ( )( T T ) (1 )Ti , j j i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 2 2 2 x x y y
（＝
n i n 1 i 1
只能小或不变。
(表示稳定)
n i 1
t+Δ t时刻 n+1层
对节点i+1 x n n n 1 t 其中 ＝ ＝0 ＝ ) 2 i 1 i＋2 i 1 x n 1 t 类似： ＝ i－1 x 2 )

二、块迭代法
采用分块网格，同一块中各节点上 的值是由代数方程直接解法获得（块内 隐式），而从一块到另一块的推进是 采用迭代的方法。采用块迭代：获得 收敛的解的迭代次数大为减小，但每 一轮的迭代时间加长，应用最普遍的 是逐线迭代法—在一条网线上隐式解。 第n轮：
N n W
w s S e
P
E
( n) ( n1) apTp(n) aNTN aSTS(n) aETE(n1) aWTW b 1、Jacobi迭代
1) ＋1/ 2) ( n 1/ 2) 1/ 2) ( n 1/ 2) 1) ( n 1) 1) Ti ,( n Ti ,( n Ti 2Ti ,( n Ti Ti ,( n Ti ,( n j j 1, j j 1, j j 1 2Ti , j j 1 第二步： a[( )( )] 2 2 t / 2 x y

t
＝
n i2
2
n i 1 2
n i
i-2 i-1 i
i+1 i+2
扩散特性 表示在节点i的扰动能均匀地向两侧传递开去（ 扩散特性）
②对流 由 ＋u 0
t x
FTCS： i 1 i
n
n
t
u
n i 1

n i 1
2x
(中心差分)