数值模拟原理
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-4-
2.单相渗流基本微分方程
单相渗流黑油模型基本微分方程
黑油模型基本微分方程主要是由运动方程(达西 定律)和连续性方程(物质守恒定律)所构成 一维单相渗流的Darcy公式为：
U = Q = - K dP
A dx
三维单相渗流的Darcy公式为：
UK(PgZ)
-5-
2. 单相渗流基本微分方程
渗流速度是一个空间向量，用分量表示为：
-3-
1 、黑油模型基本假设
（1） 油藏中的渗流是等温渗流。 （2） 油藏中最多只有油、气、水三相，每一相均遵守达
西定律。 （3）油藏烃类只含有油、气两个组分。在油藏状态下，
油气两组分可能形成油气两相，油组分完全存在于油 相内，气组分则可以以自由气的方式存在于气相中， 也可以以溶解气的方式存在于油相中，所以地层内油 相为油组分和气组分的某种组合。在常规油田中，一 般不考虑油组分向气组分挥发的现象。 （4）油藏中气体的溶解和逸出是瞬间完成的，即认为油 藏中油气两相瞬时达到相平衡状态。 （5）油水之间不互溶；天然气也假定不溶于水。
Reservoir Divided into Blocks
Gringarten, 2019
Data from all sources
Inflow - Outflow = Accumulation Flow Rate=Transmissibility (Driving Force)
Pore Volume = Fluid Volume
- 14 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
对油、水、气三相，每一相运用物质守恒定律 ，可以建立以下连续性方程
(wUw)qw
(wSw)
t
(ooUo)qoo
(ooSo)
t
(ogUo)(gUg)qog
qg
(ogSo)
t
(gSg)
t
- 15 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
把达西公式代入连续性方程，得到 三维三相渗流基本微分方程
-7-
2.单相渗流基本微分方程
根据物质守恒原理，在单位时间内 流入单元内的流体质量-流出单元的流体质量 =单元内流体质量的变化 取渗流场中一个微小六面体体积单元来研究
-8-
2.单相渗流基本微分方程
该六面体单元的中心点坐标为（x，y，z），其
每一侧面的质量流速均以其侧面的中心点的质量
来代替。
x 方向流入质量= yz( u) x (xx,y,z)
q0 q0
q0
源汇项
累积 项
- 12 -
2.单相渗流基本微分方程
这就是地下流体所遵循的渗流规律。 总之，渗流基本微分方程包含三部分内容:
流动项、源汇项以及累积项 渗流基本微分方程由两个定律控制：
达西定律与物质守恒定律 压力场和饱和度场的分布是流体流动的结果，流 动规律由达西定律来确定，流量由物质守恒来确 定，这两个规律是数值模拟的关键所在。
- 13 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
将单相渗流达西定律推广到多相渗流中，得到 三相流动达西公式：
Uw
K Krw
w
(Pw
g
w
Z)
K Krw
w
w
Uo
K Kro
o
(Po
g
o
Z)
K Kro
o
o
Ug
K Krg
g
(Pg
g g
Z) K Krg
g
g
式中，w，o，g——水、油、气诸相下标。 K r ── 相对渗透率；
t
-9-
2.单相渗流基本微分方程
根据物质守恒定律：
yz(ux)(xx,y,z) yz(ux)(xx,y,z)
2
2
xz(uy)(x,yy,z) xz(uy)(x,yy,z)
2
2
xy(uz)(x,y,zz) 2
xy(uz)(x,y,zz) 2
xyz()
t
将上式两边同除以 xyz ，
( u )x ( x x , y , z ) ( u )x ( x x , y , z )
U x
K
(P g Z )
x
K
x
K (P g Z ) K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱU y
y
y
K (P g Z ) K
U z
z
z
U ── 渗流速度矢量； P ──压力； ─ ─势函数
K ── 绝对渗透率； ─g ─重力加速度常数；
──粘度； Z── 垂向坐标； ─ ─ 密度；
-6-
Reservoir Simulation III
x 方向流出质量=yz(ux)(x 2x,y,z)
y 方向流入质量= y 方向流出质量=
xz(
u) 2 y (x,yy,z)
xz(
u) 2 y (x,yy,z)
z z
方向流入质量= 方向流出质量=
xy(
2
u) z (x,y,zz)
xy(
u) 2 z (x,y,zz)
2
单元体内流体质量的变化= xyz ()
2
2
x
( u )y ( x , y y , z ) ( u )y ( x , y y , z )
2
2
y
- 10 -
( u )z ( x , y , z z ) ( u )z ( x , y , z z )
2
2
( )
z
t
2.单相渗流基本微分方程
并令 x 0，y 0 ，z 0
油藏数值模拟基本原理
黑油模型
-1-
黑油模型简介
黑油模型是指油质较重性质的油藏类型。
黑油模型是最完善、最成熟，也是应用最 为广泛的模型。
是油藏数值模拟的基础，其它模型大都是黑油模 型的扩展。 目的：软件这样一个“黑箱”是如何操作的，以 便指导我们更好地去应用软件。
-2-
黑油模型简介
1. 黑油模型的基本假设 2. 单相渗流黑油模型基本微分方程 3. 三维三相黑油模型基本微分方程 4. 初边值条件 5. 网格系统 6. 黑油模型的差分方程 7. 差分方程的线性化 8. 线性代数方程组的求解 9. 黑油模型的主要数据流
(
K
Krw
w
w
w )
qw
(wSw )
t
(
K
K
o
ro
oo
o )
qoo
(ooSo )
t
(
K
Kro
o
og
o
)
(
K
Krg
g
g
g
)
qog
qg
(og
t
So
)
(g
t
Sg
)
相对渗透率、毛管力是饱和度函数,而粘度、体积系数 孔隙度与密度均是压力的函数
- 16 -
(ux)(uy)(uz)()
x y z t
把源汇项（井）加入到方程中，得到 单相渗流连续性方程 ：
(ux)(uy)(uz)q()
x y z
t
- 11 -
2.单相渗流基本微分方程
用Hamilton算子 表示，并将达西公式代入，得 到，单相渗流微分方程（流动方程）：
流动项 (K)q(t)
生产井 注入井 关井
2.单相渗流基本微分方程
单相渗流黑油模型基本微分方程
黑油模型基本微分方程主要是由运动方程(达西 定律)和连续性方程(物质守恒定律)所构成 一维单相渗流的Darcy公式为：
U = Q = - K dP
A dx
三维单相渗流的Darcy公式为：
UK(PgZ)
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2. 单相渗流基本微分方程
渗流速度是一个空间向量，用分量表示为：
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1 、黑油模型基本假设
（1） 油藏中的渗流是等温渗流。 （2） 油藏中最多只有油、气、水三相，每一相均遵守达
西定律。 （3）油藏烃类只含有油、气两个组分。在油藏状态下，
油气两组分可能形成油气两相，油组分完全存在于油 相内，气组分则可以以自由气的方式存在于气相中， 也可以以溶解气的方式存在于油相中，所以地层内油 相为油组分和气组分的某种组合。在常规油田中，一 般不考虑油组分向气组分挥发的现象。 （4）油藏中气体的溶解和逸出是瞬间完成的，即认为油 藏中油气两相瞬时达到相平衡状态。 （5）油水之间不互溶；天然气也假定不溶于水。
Reservoir Divided into Blocks
Gringarten, 2019
Data from all sources
Inflow - Outflow = Accumulation Flow Rate=Transmissibility (Driving Force)
Pore Volume = Fluid Volume
- 14 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
对油、水、气三相，每一相运用物质守恒定律 ，可以建立以下连续性方程
(wUw)qw
(wSw)
t
(ooUo)qoo
(ooSo)
t
(ogUo)(gUg)qog
qg
(ogSo)
t
(gSg)
t
- 15 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
把达西公式代入连续性方程，得到 三维三相渗流基本微分方程
-7-
2.单相渗流基本微分方程
根据物质守恒原理，在单位时间内 流入单元内的流体质量-流出单元的流体质量 =单元内流体质量的变化 取渗流场中一个微小六面体体积单元来研究
-8-
2.单相渗流基本微分方程
该六面体单元的中心点坐标为（x，y，z），其
每一侧面的质量流速均以其侧面的中心点的质量
来代替。
x 方向流入质量= yz( u) x (xx,y,z)
q0 q0
q0
源汇项
累积 项
- 12 -
2.单相渗流基本微分方程
这就是地下流体所遵循的渗流规律。 总之，渗流基本微分方程包含三部分内容:
流动项、源汇项以及累积项 渗流基本微分方程由两个定律控制：
达西定律与物质守恒定律 压力场和饱和度场的分布是流体流动的结果，流 动规律由达西定律来确定，流量由物质守恒来确 定，这两个规律是数值模拟的关键所在。
- 13 -
3. 三维三相渗流基本微分方程
将单相渗流达西定律推广到多相渗流中，得到 三相流动达西公式：
Uw
K Krw
w
(Pw
g
w
Z)
K Krw
w
w
Uo
K Kro
o
(Po
g
o
Z)
K Kro
o
o
Ug
K Krg
g
(Pg
g g
Z) K Krg
g
g
式中，w，o，g——水、油、气诸相下标。 K r ── 相对渗透率；
t
-9-
2.单相渗流基本微分方程
根据物质守恒定律：
yz(ux)(xx,y,z) yz(ux)(xx,y,z)
2
2
xz(uy)(x,yy,z) xz(uy)(x,yy,z)
2
2
xy(uz)(x,y,zz) 2
xy(uz)(x,y,zz) 2
xyz()
t
将上式两边同除以 xyz ，
( u )x ( x x , y , z ) ( u )x ( x x , y , z )
U x
K
(P g Z )
x
K
x
K (P g Z ) K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱU y
y
y
K (P g Z ) K
U z
z
z
U ── 渗流速度矢量； P ──压力； ─ ─势函数
K ── 绝对渗透率； ─g ─重力加速度常数；
──粘度； Z── 垂向坐标； ─ ─ 密度；
-6-
Reservoir Simulation III
x 方向流出质量=yz(ux)(x 2x,y,z)
y 方向流入质量= y 方向流出质量=
xz(
u) 2 y (x,yy,z)
xz(
u) 2 y (x,yy,z)
z z
方向流入质量= 方向流出质量=
xy(
2
u) z (x,y,zz)
xy(
u) 2 z (x,y,zz)
2
单元体内流体质量的变化= xyz ()
2
2
x
( u )y ( x , y y , z ) ( u )y ( x , y y , z )
2
2
y
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( u )z ( x , y , z z ) ( u )z ( x , y , z z )
2
2
( )
z
t
2.单相渗流基本微分方程
并令 x 0，y 0 ，z 0
油藏数值模拟基本原理
黑油模型
-1-
黑油模型简介
黑油模型是指油质较重性质的油藏类型。
黑油模型是最完善、最成熟，也是应用最 为广泛的模型。
是油藏数值模拟的基础，其它模型大都是黑油模 型的扩展。 目的：软件这样一个“黑箱”是如何操作的，以 便指导我们更好地去应用软件。
-2-
黑油模型简介
1. 黑油模型的基本假设 2. 单相渗流黑油模型基本微分方程 3. 三维三相黑油模型基本微分方程 4. 初边值条件 5. 网格系统 6. 黑油模型的差分方程 7. 差分方程的线性化 8. 线性代数方程组的求解 9. 黑油模型的主要数据流
(
K
Krw
w
w
w )
qw
(wSw )
t
(
K
K
o
ro
oo
o )
qoo
(ooSo )
t
(
K
Kro
o
og
o
)
(
K
Krg
g
g
g
)
qog
qg
(og
t
So
)
(g
t
Sg
)
相对渗透率、毛管力是饱和度函数,而粘度、体积系数 孔隙度与密度均是压力的函数
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(ux)(uy)(uz)()
x y z t
把源汇项（井）加入到方程中，得到 单相渗流连续性方程 ：
(ux)(uy)(uz)q()
x y z
t
- 11 -
2.单相渗流基本微分方程
用Hamilton算子 表示，并将达西公式代入，得 到，单相渗流微分方程（流动方程）：
流动项 (K)q(t)
生产井 注入井 关井