和差倍半

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数学人教六年级上册《第三单元_第07课时分数除法中的和倍(差倍)问题》(教案)

数学人教六年级上册《第三单元_第07课时分数除法中的和倍（差倍）问题》（教案）一. 教材分析人教六年级上册《第三单元_第07课时分数除法中的和倍（差倍）问题》这一课时，是在学生已经掌握了分数除法的计算方法的基础上进行教学的。

本课时主要让学生理解和掌握分数除法中的和倍（差倍）问题的解题方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教材通过具体的例题和练习，让学生在实际问题中运用分数除法中的和倍（差倍）问题，从而加深对分数除法的理解和运用。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分数除法的计算方法有一定的了解。

但是，学生在解决和倍（差倍）问题时，还存在着一定的困难，需要通过本课时的学习，进一步理解和掌握解题方法。

此外，学生对于实际问题中的数学建模能力还需要进一步提高。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握分数除法中的和倍（差倍）问题的解题方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生对于实际问题中的数学建模能力。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握分数除法中的和倍（差倍）问题的解题方法。

2.难点：解决实际问题中的和倍（差倍）问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，从而理解和掌握分数除法中的和倍（差倍）问题的解题方法。

六. 教学准备1.教材和人教版六年级上册《数学》。

2.教学PPT或者黑板。

3.练习题和答案。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本课时的学习，例如：“小明有2/3千克苹果，小华有3/4千克苹果，小明比小华多多少千克的苹果？”让学生尝试用已知的分数除法知识解决问题，激发学生的学习兴趣。

呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现本课时的问题，例如：“已知一个数的1/3是6，求这个数。

”教师引导学生思考，如何利用已知的分数除法知识来解决这个问题。

操练（10分钟）教师让学生独立完成教材中的例题，例如：“已知一个数的1/4是8，求这个数。

和差问题应用题

和差问题应用题和差问题又叫和差倍问题，是小学奥数中的一种比较常见的问题。

和差问题从本质上来说，是涉及到两个或多个数量的关系的问题。

这类问题通常是通过找出两个或多个数量的和、差、倍数等关系，来解决其间的数量关系。

和差问题的基本形式是：两个数之和是一个定值，而两个数之差也是一个定值，我们需要找出这两个数分别是多少。

通常我们可以设这两个数分别为a和b，那么就有a+b=和，a-b=差。

解决和差问题的基本思路是：根据题目给出的和差关系，设出未知数；然后，利用等式的关系，列出方程；解方程得到答案。

在这个过程中，需要灵活运用基本的数学知识和技巧，比如代数式变形、分类讨论、方程的思想等。

和差问题不仅在数学中有着广泛的应用，在实际生活中也有着广泛的应用。

比如在商业、工程、医学等领域中，都有涉及和差问题的应用题。

例如，在商业中，我们可以利用和差问题的思路来解决库存管理、销售统计等问题；在工程中，我们可以利用和差问题的思路来解决资源分配、时间安排等问题；在医学中，我们可以利用和差问题的思路来解决药品配比、病人护理等问题。

解决和差问题的能力需要不断的学习和实践来提高。

以下是一些提高解决和差问题能力的建议：掌握基本概念：熟练掌握和差问题的基本概念，包括和、差、倍数等关系，以及设未知数、列方程、解方程等基本方法。

做题实践：通过大量的练习题来提高解决和差问题的能力，在做题过程中要注意理解题意、找准关系、正确设未知数、列方程、解方程等步骤。

总结规律：在解题过程中要不断总结规律，找出不同类型的题目之间的和区别，从而更好地掌握解题方法。

借助工具：可以借助一些工具来帮助解题，比如画图、表格等，这些工具可以帮助我们更直观地理解题意，找准关系。

思维拓展：在解决和差问题的过程中，要注意拓展自己的思维，尝试用不同的方法来解决题目，这样可以更好地提高自己的解题能力。

解决和差问题需要我们熟练掌握基本概念和方法，通过大量的做题实践来提高自己的解题能力，同时也要注意总结规律和拓展自己的思维。

和倍差倍和差问题

和倍、差倍、和差问题一、熟练掌握线段图画法二、熟练掌握解答倍数问题※线段图画法画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。

画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说，会不会画图决定着你的解题能力，决定分数！!※和倍、差倍、和差问题公式和倍问题：两数之和÷（倍数+ 1）=小数差倍问题：两数之差÷（倍数- 1）=小数和差问题：（和+ 差）÷ 2 =大数（和- 差）÷ 2 =小数稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。

和倍问题线段图1.甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）~2.甲班和乙班共有图书210本。

甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）( 3.甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）4.甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本（和倍），差倍问题线段图1.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）2.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）—3.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）\和差问题线段图甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本（和差）和倍问题习题（一）1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红和妈妈各几岁"2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁,小红和妈妈各几岁3．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍少1岁,小红和妈妈各几岁*4．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍多4本,大书的本数有几本,小单线的书有几本5．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍少5本,大书的本数有几本,小单线的书有几本&6．师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产几个\7．一块长方形木板,长是宽的2倍,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米8．一块长方形木板,长是宽的3倍少1厘米,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米：9．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出28吨后,乙库存肉比甲库的4倍少6吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨-10．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出10吨给乙后,乙库存肉比甲库的4倍少3吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨11．小红有30支铅笔,小兰有45支铅笔,小兰给小红几支后,小红的支数是小兰的2倍12．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟给姐姐多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍&13．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟花掉多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍14．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,姐姐再得到多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍—15．三个饲养场共养140头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍,三个饲养场各养牛多少头16．;17．三个饲养场共养160头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍多6头,三个饲养场各养牛多少头18．三个饲养场共养180头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第一饲养场的3倍,三个饲养场各养牛多少头19．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量和乙筐相等，求两筐原来各有多少千克】20．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量比乙筐的2倍少12千克，求两筐原来各有多少千克21．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍'22．已知甲、乙、丙三个数的和是135，乙是甲的2倍，丙是乙的3倍，求甲、乙、丙三个数分别是多少23．甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨!24．甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少和倍问题习题（二）25．两个数相除商是8，被除数、除数与商的和是170，求被除数、除数是多少《26．两个数相除商是6余数是7，被除数、除数、商与余数的和是125，求被除数、除数是多少27．两数相除，商是3，余数是1，被除数、除数、商与余数的和是89。

两角和、差,倍半角公式综合运用15

15、和、差、倍角的习题课1．观察已知条件和待求(证)问题中的角的构成特点，合理地进行角的变换是进行三角函数恒等变形、化简、求值、证明的一个关键环节，要在练习中体会总结其规律．2．应用诱导公式π2±α，3π2±α变换三角函数的名称是常用技巧，审题时要注意发现角之间的“互余”关系．3．a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )是三角变换中常用的工具，要注意观察其系数a ，b 是否能构成特殊角的三角函数值．4．在三角函数的化简、求值、证明中，常将某个关系式看作方程，通过解方程(组)达到目标．要注意体会方程思想在三角函数中的应用．5．化简求值问题是三角函数中常见命题形式，包括给角求值、给值求值、给值求角等．给角求值问题，要注意诱导公式的运用和角的配凑．给值求值(角)问题，要注意依据三角函数值讨论角所在的象限(或范围)．[例1]1、已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，求证tan(α＋β)＝2tan α.2、已知x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，求证x 2＋y 2＝1. [例2]1、 (2010·浙江质检)如图，A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．若A 点的坐标为(x ，y )，设∠COA ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫513，1213，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．2、 (2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m ，则cos7°＝________. [例3]1、已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 2．(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．(2010·北京东城区)函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数4．求值cos20°＋cos100°＋cos140°＝________. 5．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αcot β的值是________．7、已知α为锐角，－π2<β<0，且tan α＝17，tan β＝－13，求α－2β的值．[例4] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求角β.[例5]已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a ·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．[例6] 已知函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求它的最大值和最小值；(2)求它的单调减区间．[例7] (2010·山东文，17)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．一、选择题1．已知角α的终边落在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－42．已知α是第二象限角，sin α＝513，则tan α2＝( )A ．5B.15 C ．5或15D ．5或－5 3．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．、4．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数5.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．46．(2010·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°7．(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 8．(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－279．(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．210．(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.82511．(2010·盐城调研)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π612．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45 C.45 D.6513．(2010·重庆南开中学)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.12二、填空题14．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. 15．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________16．求值：3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.三、解答题17．(2010·北京理，15)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．19．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．20．(2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示(1)求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式；(2)求方程f (x )＝22的解．答案 [例1] 1、[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[α＋(α＋β)] ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)，移项整理得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴cos α≠0，cos(α＋β)≠0，∴sin(α＋β)cos(α＋β)＝2sin αcos α，即tan(α＋β)＝2tan α.2、[证明] ：⎩⎨⎧x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θ＋cos θx －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θ－cos θ，解得x ＝sin θ，y ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1 [例2]1、(1)因为A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫513，1213，且点A 在单位圆上，根据三角函数的定义可知，sin α＝1213，cos α＝513，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝－13247. (2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝π3，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋π3)＝cos(α＋π3)，所以|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC ||OB |cos ∠BOC ＝2－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3. ∵B 点在第二象限，△AOB 为正三角形，∴π6<α<π2，∴π2<α＋π3<56π，∴cos 56π<cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3<cos π2，即－32<cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3<0，∴2<|BC |2<3＋2，即|BC |2的取值范围为(2，3＋2)． 2、[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m2. [例3] 1、[解析] (1)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)由(1)知，sin x ＝45且x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，∴cos x ＝－35.∴sin2x ＝2sin x ·cos x ＝－2425， cos2x ＝1－2sin 2x ＝－725. 2、答案 [解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.3、[解析] y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos2⎝⎛⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数且周期T ＝π. 4、[答案] 0 [解析] 原式＝cos20°＋cos(120°－20°)＋cos(120°＋20°)＝cos20°＋cos120°cos20°＋sin120°sin20°＋cos120°cos20°－sin120°sin20°＝cos20°＋2cos120°cos20°＝cos20°－cos20°＝0.5、[答案] －5665 [解析] 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以(α＋β)∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)＝45. 因为⎝⎛⎭⎫β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－5665. 6、[答案]1377、[解析] ∵α为锐角，tan α＝17<33，∴0<α<π6，又∵－π2<β<0，tan β＝－13，－13>－33，∴－π6<β<0，∴－π3<2β<0，∴0<α－2β<π2，∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34， ∴tan(α－2β)＝tan α－tan2β1＋tan α·tan2β＝17－⎝⎛⎭⎫－341＋17×⎝⎛⎭⎫－34＝1，∴α－2β＝π4. [例4] [解析] (1)由cos α＝17，0<α<π2得，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.[例5] [解析] 因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π. 因a ·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ，故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2. 由于0<α<π4，所以 2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ＋4. [例6] [解析] f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x＝53×1＋cos2x 2＋3×1－cos2x2－2·sin2x ＝33＋23cos2x －2sin2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫32cos2x －12sin2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫sin π3cos2x －cos π3sin2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x . (1)f (x )的最大值为33＋4，最小值为33－4.(2)∵f (x )＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋33， ∴f (x )的单调减区间即为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得2k π－π6≤2x ≤5π6＋2k π，∴k π－π12≤x ≤5π12＋k π.∴f (x )的单调减区间为[k π－π12，5π12＋k π]，k ∈Z .[例7] [解析] (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. ∵ω>0，∴2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， ∴g (x )＝f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.∴1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1. 练习 1、[答案] A 2、 [答案] A3、[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15① 两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75② 联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34， ∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.4、[答案] D [解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，故选D.5、[答案] C [解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.6、[答案] A [解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.7、[答案] B [解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π 8、[答案] B [解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 9、[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15° ＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.10、[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 11、[答案] C [解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴m ＝k π－π3，∵k ∈Z ，且k >0，∴m 的最小值为2π3.12、[答案] D [解析] cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65.13、[答案] A [解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即2(1－cos 2α)cos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0. 14、[答案] 78 [解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 15、[答案] －17 [解析] 因为α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 16、[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos 212°－1)·sin12°＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12°＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24°＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3.17、[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73.18、[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α① 由4tan α2＝1－tan 2α2得 tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12② 由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4.19、[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎫－31010＝－1010.20、[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1. 又f (x )＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sin x 而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f (x )＝－sin x ，－π≤x <－π6，∴f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sin x x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22，∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x <－π6时，∵f (x )＝－sin x ＝22，∴sin x ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。

小升初讲座和倍差倍问题

风雨数学小升初讲座5和差倍问题做应用题是一种很好的思维锻炼;做应用题不但要会算,而且要多思考,善于发现题目中的数量关系,可以说做应用题是运用数学的开始;加、减、乘是最基本的运算,和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练,就从这里开始;一和差问题聪明的你早已经知道,已知大小两个数的和及它们的差,求这两个数各是多少,这类问题我们称为和差问题;解答和差问题通常用假设法,同时结合线段图进行分析;可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数,再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数,再求大数;用数量关系表示：和＋差÷2=大数,和－差÷2=小数;有些题我们一眼就能看出来是和差问题,例如：题目1期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分,李杨比王平少4分;两人各考了多少分你肯定能很快的解答出来,对,我们已知两人成绩的和是188分,两人相差4分,刚好具有和差问题的特点;我们通常采用画图的办法来解答;188我们可以用假设法来分析;假设李杨的分数和王平一样多,则总分就增加4分,变为188+4=192分,这就表示王平的2倍,所以王平考了：192÷2=96分,李杨考了96－4=92分;真不错,相信你能很快的解答出下面的问题;练一练1两筐水果共重124千克,第一筐比第二筐多8千克;两筐水果各重多少千克2小宁与小慧的身高总和是264厘米,又已知小宁比小慧矮8厘米;两人分别高多少厘米有些题目就不像我们想象的那么容易看出来了,不信看看下面这题;题目2哥弟俩共有邮票70张,如果哥哥给弟弟4张邮票,这时哥哥还比弟弟多2张;哥哥和弟弟原来各有邮票多少张对,这题告诉了我们哥弟俩邮票的张数和,可张数差没有告诉我们;怎样找张数差呢画图看看,“哥哥给弟弟4张后,还比弟弟多2张”看看哥哥比弟弟多几张嗯,通过画图,我们清楚的看到,哥哥比弟弟多4×2＋2＝10张,这样就能解答出来了：弟弟有邮票：70－10÷2=30张,哥哥有邮票30+10=40张;马上就要升初中的你,这样的题肯定难不住你,好,请你试试下面三个题,相信你一会儿就做出来了;练一练1一只两层书架共放书72本,若从上层中拿出9本给下层,上层比下层多4本;上、下层各放书多少本2姐姐和妹妹共有糖果39块,如果姐姐给妹妹7块,就比妹妹少3块;那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块当然,只会这样的几个题,还不算真正掌握了和差问题的解答,有些和差问题的思想,还隐藏在题目的条件中,或者隐藏在解答问题的过程中;请看下面这个题：题目3如图,甲在十字路口南面1500米的A地向北的B地走去,乙同时从十字路口向东向C地走去,B、C两地到十字路口的距离相等;当出发5分钟后,两人距离十字路口的路程相等；又走45分钟后,甲、乙两人同时分别到达B地和C地;你会算出每分钟各走多少米吗很不错,出发5分钟,两人距离十字路口相等,说明两人5分钟共行1500米,可以算出两人的每分钟共行1500÷5＝300米；又行45分钟到达B、C两地,由于B、C两地距离十字路口路程相等,说明50分钟甲比乙多行1500米,可以算出每分钟甲比乙多行1500÷50＝30米这样知道了两人速度和与速度差,满足和差问题的特点,就能算出他们各自的速度了;甲的速度是300＋30÷2＝165米/分,乙的速度是165－30＝135米/分;当然,我们会遇到许许多多这样的问题,一眼看不出来可以用和差问题的方法来计算,可在解题过程中,仔细分析后,会发现题目中隐含了这样的解题思想;相信聪明的你,能发现隐含在题目中的和差问题,轻松的解决问题;二和倍问题和倍问题,就是知道两个量的和以及它们的倍数关系,求这两个量各是多少;要想顺利地解答和倍应用题,最好的方法就是根据题意,画出线段图,使数量关系一目了然,从而正确列式解答;解答和倍应用题,关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和,从而先求出1倍数,再求出几倍数;数量关系可以这样表示：两数和÷倍数＋1=小数1倍数小数×倍数=大数或两数和－小数=大数好的,我们来看看下面这个题目;题目1学校将360本图书分给二、三两个年级,已知三年级所分得的本数是二年级的2倍,问二、三两个年级各分得多少本图书分析根据条件可以知道,将二年级所得图书的本数看作1倍数,则三年级所得本数是这样的2倍;如图所示：1360由图可知,二三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的1＋2 倍,则二年级所得图书本数的360÷1＋2=120本,三年级为120× 2=240本;相信下面几个题,你能很快的解决下面的问题：练一练1小红和小明共有压岁钱800元,小红的钱数是小明的3倍;小红和小明各有压岁钱多少元2甲桶有油25千克,乙桶有油17千克,乙桶倒入多少千克油给甲桶后,甲桶油是乙桶的5倍题目2两数相除商为17余6,被除数、除数、商和余数的和是479;被除数和除数分别为多少分析被除数、除数、商和余数的和是479,减去商17和余数6,得到被除数与除数的和为479－17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6,所以456－6=450就相当于除数的17＋1倍,因此除数为450÷17＋1=25,被除数为25×17＋6=431;练一练1学校买来83本书,其中科技书是故事书的2倍,故事书比文艺书多5本,这三种书各多少本2甲、乙两数的和是209,甲数缩小10倍就和乙数同样大,甲、乙两数分别是多少题目3甲乙两人一共带了80元钱去商店买东西,甲用自己的一半的钱买了一本漫画书,乙花了10元钱买了一盘光碟;这时甲剩下的钱恰好是乙剩下的钱的3倍;那么甲乙两人各带了多少钱分析如果甲不用,乙用去10元,那么甲就是乙的2×3＝6倍,两人钱数的和是80－10＝70元,则乙剩下70÷6＋1＝10元,乙带了10＋10＝20元,甲带了80－20＝60元;三差倍问题如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系,要求两个数各是多少,这一类题,我们则把它称为“差倍问题”;解答差倍问题与解答和倍问题相类似,要先找出差所对应的倍数,先求1倍数,再求出几倍数;此外,还要充分利用线段图帮助分析数量关系;用关系式可以这样表示：两数差÷倍数－1=较小的数1倍数较小的数×倍数=较大的数几倍数题目1小明到市场去买水果,他买的苹果个数是梨的3倍,苹果比梨多18个;小明买苹果和梨各多少个将梨的个数看作1倍数,则苹果的个数是这样的3倍;如下图：118从线段图上可以看出,苹果的个数比梨多了3－1=2倍,梨的2倍是18个,所以梨有18÷2=9个,苹果有：9×3=27个;练一练1一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍,又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元;皮衣与羽绒服各多少元2甲筐苹果是乙筐苹果的3倍,如果从甲筐取出60千克放入乙筐,那么两筐苹果重量就相等;两筐原来各有苹果多少千克题目2水果店有两筐橘子,第一筐橘子的重量是第二筐的5倍,如果从第一筐中取出300个放入第二筐,那么第一筐橘子还比第二筐多60个;原来两筐橘子各有多少个分析根据“如果从第一筐中取出300个放入第二筐,那么第一筐橘子还比第二筐多60个”,说明原来第一筐比第二筐橘子多300×2＋60=660个;把第二筐的橘子重量看作1倍数,第一筐橘子是这样的5倍,比第二筐多4倍,第二筐橘子的4倍正好是660个,所以第二筐原有橘子：660÷4=165个,第一筐橘子原来有：165×5=825个;练一练1人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍,如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放入长春园,则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆;原来两个公园各有杜鹃花多少盆2两堆煤重量相等,现从甲堆中运走24吨到乙堆,而乙堆煤中又运入8吨,这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍;问两堆煤原来各有多少吨题目3小悦、东东和阿贵三人各有一些钱,其中小悦的钱数是东东的两倍,小悦和东东的钱数总和是阿贵的6倍;老师给了小悦一些钱,现在小悦一共有56元,然后小悦把老师给的钱全部分给了东东和阿贵,这时东东有36元,阿贵有16元;那么老师一共给了多少元钱给小悦;分析设阿贵的钱是1份,小悦和东东共6份,东东有6÷1＋2＝２份,小悦就是４份;小悦的钱比东东与阿贵的钱数和多56－36＋16＝4元,小悦的份数比东东与阿贵的钱数和多４－２－１＝１份,说明１份就是４元;那么小悦原来有４×４＝１６元,老师一共给了56－16＝40元;。

和差倍半公式

ta （1）求证： n
2

2 sin

3 4

3 ta n

6
（2）求最大值.
m ax
Ex：水渠横截面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使水渠渗水量最小，应使两腰与下面底边长之和最小，当腰与下底夹角多大时，水渠的渗水量最小，求此时的腰长。
co s co s 2 co s

2
co s sin

2
co s co s 2 sin sin sin 2 sin sin sin 2 co s

2

2

2
co s sin

2

2

2

s in 1 co s

1 cos sin
万能置换公式
2 ta n ta n 1 Hale Waihona Puke ta n22
2 ta n s in 1 ta n

2
2
1 ta n cos 1 ta n
2

2 2

2

2
2
作用：可用半角正切表示角的任意三角比，起到减少变量的效果

2
升次角变半
2
降次：
sin
sin
2
.
1 co s 2 2
co s
2
1 co s 2
co s

2

.
1 sin 2

2
降次角变倍
, co s
半角公式
ta n

高考数学大题解题步骤与答题思路

高考数学大题解题步骤与答题思路高考数学大题解题步骤是怎样的，答题要分步骤给分吗，跳步会不会扣分？数学大题答题思路是怎样的，如果卡壳了怎么办？高中数学必修一知识结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招：如何提高高三数学成绩高中文科数学公式大全1.第一道大题：三角函数总共两种考法：10%~20%是解三角形，80%~90%是考三角函数本身。

解三角形不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式：正弦定理、余弦定理和面积公式。

所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。

至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试未尝不可。

三角函数套路：给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期频率、单调性等问题。

解决方法：首先利用“和差倍半”对式子进行化简。

化简成形式，然后求解需要求的。

掌握以上公式，足够了。

关于题型见下图。

2.第二大题：概率统计我总感觉，这块没啥可说的。

因为考的不多而且非常容易。

详细内容翻看一下小数老师历史推送的文章就够用了。

3.第三道大题：立体几何这个题，相比于前面两个给分的题，要稍微复杂一些，可能会卡住某些人。

这题有2-3问。

第一问：某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直；最后一问是求二面角。

这类题解题方法有两种，传统法和空间向量法，各有利弊。

向量法优点：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。

缺点：计算量大，且容易出错。

应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。

建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。

其形式为。

然后进行后续证明与求解。

传统法你们在学立体几何的时候，讲了很多性质定理和判定定理。

但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。

所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

另外，还有一类题，是求点到平面距离的。

这类题百分之百用等体积法求解。

4.第四道大题：数列从这里开始，就明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，这题并不困难。

和差倍问题(四年级)

和差倍问题(四年级) work Information Technology Company.2020YEAR和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。

包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。

这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。

教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：①和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。

和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。

②差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。

③和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。

在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题，本册教材《奥赛天天练》用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：第7讲《和倍问题》、第8讲《差倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习1【题目】：一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米【解析】：先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；长是：6×2=12（厘米）；这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。

小学四年级奥数思维问题之和差倍问题

和差倍问题教学目标：①知识与技能目标:理解“和差、和倍与差倍问题”的特点，并会利用画图的方法解和差与和倍问题的题目②过程与方法目标:掌握对应思路及转化思路，抓住不变量③情感态度与价值观目标:通过探索、交流、反思，培养学生与他人交流、合做的意识，提高解决问题的能力教学重点：用画图的方法解和差与和倍问题的题目教学难点：能找到两个数的和与两个数的倍数的和对应的关系[知识引领与方法]一、和差问题二、和倍问题三、差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围两个数之间的和、差，倍数关系公式(和-差)÷2=较小数(和+差)÷2=较大数和÷(倍数+1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数[例题精选及训练]【例1】两箱茶叶共96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。

两箱原来各有茶叶多少千克？练习：1.甲、乙两班共有图书150册，如果甲班送20册图书给乙班，那么甲班拥有图书的册数正好是乙班的2倍。

甲、乙两班原来各有图书多少册?2.甲、乙两人共储蓄2000元,甲取出160元,乙又存人240元，这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。

甲、乙两人原来各储蓄多少元?3.某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖出60只绵羊，又买来山羊100只,现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。

原来绵羊和山羊各有多少只?【例2】甲乙丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。

他们一共做了多少道数学题？练习：1.某厂季度的产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元。

问三个季度的产值是多少万元?2.甲、乙、丙三个人合做批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个。

问这批零件共有多少个?3.果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树喷农药;几天后,当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷药。

第3讲和差倍半角公式

2⋅ sin50° + sin80°⋅ 1+ 3 ⋅ tan10° 求值：例1.求值：求值 1+ cos10°
第2课时课时
(
)
化简：化简： )3 15 sin x + 3 5 cos x. 1
2 π 6 π 2) sin( − x) + cos( − x) 4 4 4 4
小结】关健在于1+3·tan10°，通过 “ 切化弦 ” 及 “ 【小结】关健在于 ° 通过“ 切化弦” 辅助角公式”使其得到化简．辅助角公式”使其得到化简． a ⋅ cosα + b⋅ sinα a 一般地，一般地， + btanα = cosα 而 a ⋅ cosα + b⋅ sinα 又可以化为一个角的一个三角函形如1± 的式子的化简应熟练掌握. 数. 形如 ±cosα、1±sinα的式子的化简应熟练掌握、 ± 的式子的化简应熟练掌握
作业：导与练》P49第作业：一.《导与练》P49第5、6、7、8、9题
二、1.在△ABC中，若sinA=3/5，cosB=5/13，求cosC 在中，，
3 2.已知 cos ( + x) + 3 cos ( − x) = ，求cotx的值的值. 已知的值 4 4 2
2 2
π
π
自测题：导与练》自测题：《导与练》P48第1、2、3、4题第、、、题
已知α∈ 例2.已知 ∈(0,π/2), β∈(π/2,π), 已知 ∈
1 5 3 cos α = , sin β = 7 14
的值. 求β-α的值的值
小结】求角，先求其某一个三角函数值，【小结】求角，先求其某一个三角函数值，再根据三角函数的值角的范围得出角得出角。根据三角函数的值及角的范围得出角。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。

高考一轮复习课件：和角,差角,倍半角公式

例4、活页例2、
（二）知值求角
例5、活页例3、
小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题．小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题．着眼于
和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、升降幂、转换为特殊角等技巧．、升降幂、转换为特殊角等技巧．
2、辅助角公式、
( a > 0, b > 0 )
2 2
a sin α ± b cos α = a + b sin (α ± ϕ )
b 其中tanϕ = a
3.倍角公式倍角公式
cos 2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 2 = 1 − 2sin α
π
思维点拨:注意观察角与角之间的关系,
三.公式应用: 公式应用求值：和角.差角公式的应用（一）求值： 1. 和角差角公式的应用例1 已知 cos π − α = 3 , sin 3π + β = 5 . 其中 π < α < 3π , 0 < β < π ,
求 sin (α + β )的值.
4 5
4
13
4
4
4
小结：本题是给值求值问题，小结：本题是给值求值问题，解这类题时应认真
分析已知式子中的角与未知式子中的角的关系 .函数名称和式子结构的函数名称和式子结构的再决定如何利用以知条件,采用哪些公式考虑角的整体运用再决定如何利用以知条件采用哪些公式,考虑角的整体运用．常用角的采用哪些公式考虑角的整体运用．变换，变换，如：
sin 2 α − cos2 α = − cos 2α + sin α cos α

较复杂的和差倍问题

二块的3倍。

两块试验田各是多少公顷？例2 :仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。

仓库有大米和面粉各多少千克？分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍，3900 - 100=3800千克，就是大米的2 - 1=1倍。

所以，大米有3800:1=3800千克，面粉有3800 + 3900=7700 千克。

练习二1，三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。

今年有多少人参加？3 ,果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵。

苹果树和桃树各种了多少棵？例3 :育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。

足球、排球和篮球各买了多少只？分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只，它是篮球的3 - 1=2倍。

所以，买篮球18:2=9只，买排球9+11=20只，买足球20+7=27只。

练习三1，玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。

每个月各生产多少个？2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。

第三季度生产的是第一季度的3倍。

求每季度各生产多少？3，三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍。

三个人各折纸飞机多少架？例4 :商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。

商店原有红糖和白商各多少千克？分析与解答：由“红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等” 可知原来红糖比白糖多380 - 110=270千克，它是白糖的3 - 1=2倍。

倍角、半角、和差化积公式

倍角、半角、和差化积公式一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进展简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进展求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

三. 教学重点、难点重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进展求值、化简、证明。

难点：能够正确利用上述公式进展求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。

四. 知识分析〔一〕两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式推导方法1：向量法把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。

如图1，设的终边分别与单位圆交于点P l (，)，P2 (，)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。

图1设向量则。

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有于是，对于任意的，都有上述式子成立。

推导方法2：三角函数线法设、都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为P l，∠POP1＝，则∠Po*＝。

过点P作MN⊥* 轴于M，则OM即为的余弦线。

在这里，我们想法用的三角函数线来表示OM。

图2过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥*轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示，AP表示，并且∠PAC＝∠P1O*＝，于是即要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进展研究了。

2. 两角和的余弦公式比较与，并且注意到与之间的联系：则由两角差的余弦公式得：即3. 对公式的理解和记忆〔1〕上述公式中的都是任意角。

〔2〕公式右端的两局部为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。

六年级上册《“和倍”“差倍”问题》教案

六年级上册《“和倍”“差倍”问题》教案六年级上册《“和倍”“差倍”问题》教案教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第41～42页例6及相关练习。

2．从解题过程中切实理解用方程解应用题的优越性，提高学生列方程解决问题的自觉性与积极性。

教学重点：列方程解答稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题，理解解题思路，掌握解题方法。

教学难点：正确分析题目中的数量关系，会设未知数。

教学过程：一、复习旧知，引入问题1．根据题意，写出关系式。

（1）白兔的只数是灰兔的；（2）美术小组的人数是航模小组的；（3）小明的体重是爸爸的；（4）男生人数是女生的一半。

【设计意图】准备题的设置，是从学生已有知识经验出发的。

一方面复习了找单位“1”、分析数量关系和如何列方程，分解了本课的重难点；另一方面，为后面环节的对比分析、沟通联系做好铺垫。

二、探索交流，解决问题（一）出示例61．课件出示例6图片。

2．提问，你从图中获得了哪些信息？（1）知道了我们班全场的总得分；（2）知道了下半场得分是上半场的。

3．想一想，根据已有的信息，你能提出哪些数学问题？引导学生提出：上半场和下半场各得多少分？4．请学生概括图片信息，编出完整的应用题。

引导学生概括：六（1）班参加篮球比赛，全场得分为42分，下半场得分只有上半场的一半。

人教版数学六年级上册第7课时分数除法之和倍、差倍问题

归纳总结：
一设：如果设其中一个数是x，根据两个数的 “倍分” (倍数和分数)关系用含有x的式子表示另一个数；
二列：根据“两个数的和（或差）等于已知量” 列方程；
三解：解方程求出x的值。
小试牛刀仔细想，认真填。
一套桌椅160元，椅子价钱是桌子价钱
的 1 ，设桌子价钱为x元，则椅子价钱为
7 （ 1 x ）元，列方程为（
补充作业
7
x
）+（x元，则桌子价钱为（ 7x ）元，列
方程为（ x ）+（ 7x ）=160。
易错辨析
学校买来篮球和排球共50个，篮球的个数比排球
多 3 。学校买来篮球和排球各多少个？
11
排球：50 (1 1 3 ) 2（2 个）篮球：22 (1 3 ) 28（个）
11
11
辨析：在计算时，要抓住”量”与”率”的对应，以排球为”
单位1”，总量应该是
1＋1＋ 3 11
。篮球量是
1＋13。1
夯实基础
1．填一填。（1）甲数是乙数的2倍，甲、乙两数的和是乙数的
( 3 )倍。（2）甲、乙两数的和是27，甲数是乙数的2倍，甲数
是( 18 )，乙数是( 9 )。
已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量的问题的解法：
有两个量都是未知的，先把谁看作单位“1” 都可以，设其中一个量为未知数x，用这个量表示另一个量，然后找出等量关系，列方程解答出一个量，再解答第二个量。
作业请完成教材第44页练习九第1题，第 2 题、第3题、第4题、第5题。
（男生人数）+（女生人数）= （总人数）
（3）根据上面的关系式列方程解答：

和差倍半与动点问题训练

和差倍半与动点问题训练24. 如图，在四边形ABCD中，AD II BC, E为CD的中点，连接AE、BE,延长AE交BC的延长线于点F.（1）△ DAE和厶CFE全等吗？说明理由；（2）若AB=BC+AD，说明BE 丄AF;（3）在（2）的条件下，若EF=6, CE=5，/ D=90°你能否求出E到AB的距离？如果能请直接写出结果。

【答案】证明：（1）△ DAE也厶CFE理由如下：••• AD II BC （已知），•••/ ADC = Z ECF （两直线平行，内错角相等）••• E是CD的中点（已知），• DE = EC （中点的定义）.•••在△ ADE与厶FCE中2ADC= / ECF（已证）DE = EC（已证）.AED= CEF（对顶角相等）•••△ADE◎△ FCE （ASA）（2）由（1 ）得厶 ADE ◎△ FCE ,•AD=CF , AE=EF （全等三角形的对应边相等）•E为AF中点，即BE是厶ABF中AF边上的中线•/ AB=BC+AD•AB=BC+CF=BF•BE丄AF （三线合一）（3）5【考点】全等三角形的性质与判定；等腰三角形三线合一25. 如图，已知△ ABC中，AB = AC= 6cm, BC = 4cm,点D为AB的中点。

如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上有C点向A点运动。

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；（2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与厶CQP全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发, 都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在厶ABC的哪条边上相遇？【答案】证明：(1)依题意•/ t= 1s•BP= CQ = 1 >1 = 1 cm,••• AB= 6cm,点D为AB的中点，•BD = 3cm.又••• PC = BC —BP, BC = 4cm,•PC= 4 —1= 3cm,•PC=BD.又T AB= AC,•/ B=Z C,在厶BPD 和厶CQP中，PC =BD■ B =■ C ,BP =CQ•△ BPD 也厶CQP ( SAS(2)依题意：T V P#V Q,• BP ,•••/ B =Z C,要使得△ BPD与厶CPQ 全等,则BP= PC= 2cm, CQ= BD = 3cm,•••点P,点Q运动的时间t=2s ,CQ 3…V Q =t =2 cm / s(3)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，3由题意，得2 x =1 x 2 6解得x=24 .•••点P 共运动了24X1 = 24cm.△ ABC 周长为：6+ 6+ 4 = 16cm,24岀6=1 (8)• p点运动完一圈，且第二圈运动了8cm•••点P在线段BC上由B点向C点运动，BC=4cm, AC=6cm•••点P、点Q 在AC边上相遇，•经过24s点P与点Q第一次在边AC上相遇.27 .在△ ABC中，AB= AC, D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作厶ADE，使AE = AD，/ DAE = Z BAC,连接CE.设/ BAC= a, / DCE = B(1) 如图①，点D在线段BC上移动时，角a与B之间的数量关系是_________________ ，请说明理由；(2) 如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角a与B之间的数量关系是________________ ,请说明理由；(3) 当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角a与B之间的数量关系是______________________ .A>*AA B C D B C①27.解：(1) a+ 3= 180 °理由：因为/ DAE = / BAC,所以/ DAE-Z CAD = / BAC-Z CAD，即/ BAD = Z CAE.又因为AB = AC, AD = AE,所以△ ABD ◎△ ACE(SAS).所以Z ABC = Z ACE.在厶ABC 中，Z BAC +Z ABC +Z ACB = 180°,Z ABC = Z ACE,所以Z BAC + Z ACB + Z ACE= 180°因为/ ACB + Z ACE = Z DCE = 3,所以a+ 3= 180°.⑵a= 3理由：因为/ DAE = Z BAC,所以/ BAD = Z CAE.又因为AB = AC, AD = AE,所以△ ABD ◎△ ACE(SAS).所以/ ABC = Z ACE.因为/ ABC + Z BAC + Z ACB= 180°, / ACB+Z ACD = 180°,所以/ ACD = Z ABC + Z BAC = Z ACE+Z ECD.所以/ BAC = Z ECD.所以a= 3⑶a= 3•画图略.22. (8 分)如图，△ ABC中，Z ACB=90: AC=BC, AE丄CD于E , BD丄CD于D , AE=5cm , BD=2cm ,(1) 求证：△ AEC^A CDB;(2) 求DE的长.解:( 1)vZ ACB=90°, •••Z ACEn Z DCB=90°, ••• AE丄CD于 E ,• Z ACEn Z CAE=90°,/.z CAE=Z DCB ••• BD丄CD于D,/Z D=90°°在厶人£。

和差倍半

和差倍分问题一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.求证：DM = 21AB分析：如图，因为21AB 等于△ABC 的中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。

∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。

说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。

“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。

二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE分析：本题的关键在于构造一条线段，使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。

例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90°∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。

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