数列专题(上)
数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).
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,已知 S n 求 an ,应分n 1 时a1
S1
;
n 2时, an = Sn Sn1
两步,最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中,已知 a1,d,m,n,则 d=ann- -a11=ann--mam(n>1,m≠n), 从而有 an=am+(n-m)d. ②若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式:
①等差数列:
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列: Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系:
Sn
与
an
的关系:an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S9 =72,则 a2 +a4 +a9= ________. 7.解析:∵{an}是等差数列,由 S9=72,得 S9=9a5,a5=8, ∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.
8.已知数列的通项公式 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn=________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A:由题可知:当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n
高二数学数列专题练习题(含答案)
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高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为:a_n=S_n-S_{n-1} (n>1),当n=1时,a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列,有通项公式a_n=a_1+(n-1)d,其中d为公差。
对于等比数列,有通项公式a_n=a_1*q^{n-1},其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列,那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列,前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列,前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q),其中q不等于1.另外,对于等差数列,S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列;对于等比数列,S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数,通常有以下几种形式:a_n=dn+(a_1-d),a_n=An^2+Bn+C,a_n=a_1q^n,a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项,可以使用定义法证明;对于等差中项,可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1};对于等比中项,可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后,对于数列的通项公式,可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数,通常用{ }表示。
其中,第n项表示为an,公差为d,公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1),其中a1为首项,q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高三一轮复习数列专题
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欢迎阅读数列专题复习第一节 等差数列n n n -1122080,则x 5+x 16=________.7.数列中,若11a =,1223(1)n n a a n +=+≥,则该数列的通项n a = . 8.(2013年重庆)若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________. 9.(2013年上海)在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=____.}{n a10.(2013年大纲)等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == 则该数列的通项n a = .11.(2015陕西)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________。
12.若lg2,lg(2x -1),lg(2x+3)成等差数列,则x 等于________考点二 等差数列的性质11a 19a +=________.3. 在等差数列n 中,若25,求数列32}n -的前n 项和n 。
考点三 等差数列的前n 项和公式公式1:1()2n n n a a S +=公式2:1(1)2n n n d S na -=+ 变形:1.(2015高考新课标)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) A.172 B.192C.10D.12 2.(2015高考安徽)已知数列}{n a 中,11=a ,211+=-n n a a (2≥n ),则数列}{n a 的前9, A. 18 B. 24 C. 60 D. 909.在等差数列中,2238380,29n a a a a a <++=,那么10S 等于_______.考点四 等差数列的前n 项和的性质性质1:设S n 是公差为d 等差数列{a n }的前n 项和,则数列232,,,m m m m m S S S S S --构成公差为__________的等差数列.1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若369,36S S ==则789a a a ++={}n aA.18B.27C.36D.452.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8=13,则S 8S 16=( )A.18B.13C.19D.3103.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1=1,S 4S 2=4,则S 6S 4的值为( )}n2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=10,S 5=55,则n S = ________. 3. 已知等差数列{a n }的前三项为1,4,2a a -,记前n 项和为S n ,(1)若420k S =,求a 和k 的值。
数列大题专题(含解析)
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{ n} 1 1数列大题训练一、解答题1.设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2 =4, a n +1 =2 S n +1, n ∈ N ∗ . (1)求通项公式 a n ;(2)求数列{| a n − n − 2 |}的前 n 项和.2.已知 a , a , a ,⋅⋅⋅, a为正整数且 a > a > a>⋅⋅⋅> a > 1 ,将等式 (1 − 1 ) + (1 − 1 ) + (1 − 1) +⋅⋅0 12n12na 1a 2a 3⋅ +(1 − 1 ) = 2(1 − 1) 记为 (∗) 式.a na 0(1)求函数 f (x ) = 1 − 1x, x ∈ [2, +∞) 的值域;(2)试判断当 n = 1 时(或 2 时),是否存在 a 0 , a 1 (或 a 0 , a 1 , a 2 )使 (∗) 式成立,若存在,写出对应 a 0 , a 1 (或 a 0 , a 1 , a 2 ),若不存在,说明理由;(3)求所有能使 (∗) 式成立的 a i ( 0 ≤ i ≤ n )所组成的有序实数对 (a 0, a 1, a 2,⋅⋅⋅, a n ) . 3.已知函数 f (x ) = log 3(x +1)(x > 0) 的图象上有一点列 P (x, y )(n ∈ N ∗),点P在 x 轴上的射影是x +1n n nnQ n (x n , 0) , 且 x n = 3x n−1 + 2 ( n ≥ 2 且 n ∈ N ∗ ),x 1 = 2 .(1)求证: {x n + 1} 是等比数列,并求出数列 {x n } 的通项公式;21 (2)对任意的正整数 n ,当 m ∈ [−1,1] 时,不等式 3t − 6mt + > y n 恒成立,求实数 t 的取值范3围.(3)设四边形 P Q QP1 1 的面积是 S ,求证: ++ ⋯ +1< 3 . n n n +1 n +1nS 1 2S 2nS n4.已知 n 为正整数,数列{a }满足 a >0, 4(n + 1)a2− na2= 0 ,设数列{b }满足 b= a n 2nnnn +1nnt na n (1)求证:数列 为等比数列;√(2)若数列{b n }是等差数列,求实数 t 的值;(3)若数列{b n }是等差数列,前 n 项和为 S n , 对任意的 n ∈N * , 均存在 m ∈N * , 使得 8a 2S n ﹣ a 4n 2=16b m 成立,求满足条件的所有整数 a 1 的值. a 2n5.已知数列 {a n } 和 {b n } 满足: a 1 = λ ,数, n 为正整数.n +1 = 3 a n + n − 4, b n = (−1)(a n − 3n + 21) 其中 λ 为实(1)对任意实数 λ ,证明数列 {a n } 不是等比数列; (2)对于给定的实数 λ ,试求数列 {b n } 的前 n 项和 S n ;(3)设 0 < a < b ,是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n ,都有 a < S n < b 成立?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.6.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1,a n +1 = 1 − 14a n,其中 n ∈ N ∗ .1 1+a +1Ⅲ 3) (1)设 b n = 22an −1,求证:数列 {b n } 是等差数列,并求出 [a n } 的通项公式 ;(2)设 c n = 4a n n +1 ,数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n ,且存在正整数 m ,使得 T n < 1 c m +1 对 于 n ∈ N ∗ 恒成立,求 m 的最小值.7.设各项均为正数的等比数列 {a n } 中, a 1 + a 3 = 10 , a 3 + a 5 = 40 ,数列 {b n } 的前 n 和 S n =n 2+7n .2(1)求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式;(2)若 c 1 = 1 , c n +1 = c n + b n −3a n,求证: c n< 3 .1(3)是否存在整数 k ,使得 a −b的最大值,若不存在,说明理由.+1a 2−b 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +1a n −b n>k 10对任意正整数 n 均成立?若存在,求出 k8.已知数列 {a } 的各项均为非零实数,其前 n 项和为 S,且S n a n .n(1)若 S 3=3 ,求 a 3 的值;nS n 1 = a n +2(2)若 a 2021=2021a 1 ,求证:数列 {a n } 是等差数列;(3)若 a 1=1 , a 2=2 ,是否存在实数 λ ,使得 |2a n − 2a m | ≤ λ|a 2 − a 2 | 对任意正整数 m ,n 恒成立,若存在,求实数 λ 的取值范围,若不存在,说明理由. a 2 −a+2anm9.已知数列 {a n } 和 {b n } , a 1 = 1, a 2 = 3 , a n +1= nn−1nn−1 ,( n ∈ N ∗且n ≥ 2 ), b n =1og 2(a n +1)2−5a n +1(I) 求 a 3, a 4 ;, (n ∈ N ∗) .(Ⅱ)猜想数列 {a n } 的通项公式,并证明;( )设函数 f (x ) = x + 1 x +2, 若 |f (b n ) − t | ≤ 16 35 对任意 n ∈ N ∗恒成立,求 t 的取值范围.210.已知数列 {a n } 满足: a 1 = − 3 , a n +1 =−2a n −3 (n ∈ N ∗ ).3a n+4(1)证明:数列 { 1} 是等差数列,并求 {a} 的通项公式;a n +1n(2)若数列 {b n } 满足: b n = 2 (a n + 1)(n ∈ N ),若对一切 n ∈ N ∗ ,都有 (1 − b 1)(1 − b 2). . . (1 −b n ) ≤λ√2n +1 成立,求实数 λ 的最小值.11.已知数列 {x n } ,如果存在常数 p ,使得对任意正整数 n ,总有 (x n +1 − p )(x n − p ) < 0 成立,那么我们称数列 {x n } 为“p -摆动数列”.(Ⅰ) 设 a n = 2n − 1 , b n = (− 由;1 n2, n ∈ N ∗ ,判断 {a n } 、 {b n } 是否为“p -摆动数列”,并说明理 (Ⅱ)已知“p -摆动数列” {c n} 满足 c n +1 = 1cn +1, c 1= 1 ,求常数 p 的值;∗} 1 2 (Ⅲ)设 d n = (−1)n ⋅ (2n − 1) ,且数列 {d n } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 {S n } 是“p -摆动数列”, 并求出常数 p 的取值范围.12.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .(1)求证:数列S n{ n }是等差数列;(2)若 a 1= 1, {√S n 是公差为 的等差数列,求使 S k +1⋅S k +2S k 2为整数的正整数 k 的取值集合;(3)记 b = t a n ( t 为大于 0 的常数),求证:b 1+b 2+⋯…+b n≤b 1+b 2.nn213.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 2a n − 2 . (1)求 {a n } 的通项公式;(2)在 a n 与 a n +1 之间插入 n 个数,使这 n + 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列,在数列 {d n } 中是否存在 3 项 d m , d k , d p (其中 m , k , p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的 3 项;若不存在,请说明理由.14.已知递增的等比数列 {a n } 满足 a 2 + a 3 + a 4 = 28 ,且 a 3 + 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (1)求 {a n } 的通项公式;(2)若 b n = a n log 1a n , S n =b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n 求使 S n + n ⋅ 2n +1 > 30 成立的 n 的最小值. 15.已知数列 {a n } 中,已知 a 1 = 1 , a 2 = a , a n +1 = k (a n + a n +2) 对任意 n ∈ N ∗ 都成立,数列{a n }的前 n 项和为 S n .(1)若 {a n } 是等差数列,求 k 的值; (2) 若 a = 1 , k = − 12 , 求 S n ;(3)是否存在实数 k ,使数列 {a n } 是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项 a m , a m +1 , a m +2 按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,请说明理由.16.一列火车从重庆驶往北京,沿途有 n 个车站(包括起点站重庆和终点站北京).车上有一邮政车厢,每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各 1 个,同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各 1 个,设从第 k 站出发时,邮政车厢内共有邮袋 a k 个(k=1,2,…,n ).(1)求数列{a k }的通项公式;(2)当 k 为何值时,a k 的值最大,求出 a k 的最大值.17.已知等比数列 {a n } 的公比 q > 1 , a 2 , a 3 是方程 x 2 − 6x + 8 = 0 的两根. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {2n ⋅ a n } 的前 n 项和 S n .18.设数列 {a n } 满足 a n 2 = a n +1a n−1 + λ(a 2 − a 1)2 ,其中 n ⩾ 2 ,且 n ∈ N , λ 为常数. (1)若 {a n } 是等差数列,且公差 d ≠ 0 ,求 λ 的值;(2)若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4 ,且存在 r ∈ [3,7] ,使得 m ⋅ a n ≥ n − r 对任意的 n ∈ N ∗ 都成立,求m 的最小值;(3)若 λ ≠ 0 ,且数列 {a n } 不是常数列,如果存在正整数 T ,使得 a n +T = a n 对任意的 n ∈ N ∗均成立.求所有满足条件的数列{an } 中 T 的最小值.19.已知等差数列 {a n } 满足 a 2 = 5 , a 4 + a 5 = a 3 + 13 .设正项等比数列 {b n } 的前 n 项和为 S n , 且 b 2b 4 = 81 , S 3 = 13 .(1)求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式;(2)设 c n = a n b n ,数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ,求 T n .20.公差不为零的等差数列 {a n } 中, a 1 , a 2 , a 5 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100,数列{b n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n = 2b n − 1, n ∈ N ∗ .( Ⅰ ) 求数列 {a n } , {b n } 的通项公式;( Ⅱ ) 令 c n = 1+a n4b n,数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ,求 T n 的取值范围.21.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且 S n +a n =4,n ∈N * . (1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知 c n =2n+3(n ∈N *),记 d n =c n +log C a n (C >0 且 C≠1),是否存在这样的常数 C ,使得数列{d n }是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列{b },对于任意的正整数 n ,均有 b a +b a +b a+…+b a =()n ﹣ n +2成立,求证:数n列{b n }是等差数列.1 n2 n ﹣13 n ﹣2n 1 2 222.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 = 1 −14a n,其中 n ∈ N ∗ .(1)设 b n = 22an −1,求证:数列 {b n } 是等差数列,并求出 {a n } 的通项公式;(2)设 c n = 4a nn +1 ,数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n .23.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且满足 12S n ﹣36=3n 2+8n ,数列{log 3b n }为等差数列,且 b 1=3,b 3=27. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(Ⅱ)令c =(﹣1)n (a − 5) + b ,求数列{c }的前 n 项和 T . nn12n n n24.已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合 M ={0,1,2,…,q -1},集合 A ={x|x =x 1+x 2q +…+x n q n -1 , x i ∈M ,i =1,2,…,n}.(1)当 q =2,n =3 时,用列举法表示集合 A.(2)设s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1, t =b 1+b 2q +…+b n q n-1, 其中a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n.证明:若 a n <b n , 则 s <t. ∗25.已知数列 {a n } 的首项 a 1 = a (a > 0) ,其前 n 项和为 S n ,设 b n = a n + a n +1(n ∈ N ) . (1)若 a 2 = a + 1 , a 3 = 2a 2 ,且数列 {b n } 是公差为 3 的等差数列,求 S 2n ; (2)设数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ,满足 T n = n 2 . ①求数列 {a n } 的通项公式; ②若对 ∀n ∈ N ∗,且n ≥ 2 ,不等式 (a n−1 − 1)(a n +1 − 1) ≥ 2(1 − n ) 恒成立,求 a 的取值范围.12 Ⅱ26.是否存在一个等比数列{a }同时满足下列三个条件:①a +a =11 且 a a =;②a >a (n ∈N *);n163 49 n+1n③至少存在一个 m (m ∈N *且 m >4),使得 2a, a 2 , a + 4依次构成等差数列?若存在,求出通项公式;若不存在,说明理由.3m ﹣1mm+1927.设 {a n } 是等差数列, a 1 = −8 ,且 a 2 + 8 , a 3 + 6 , a 4 + 4 成等比数列. (1)求 {a n } 的通项公式;(2)求 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值;(3)若 {b n } 是等差数列, {b n } 与 {a n } 的公差不相等,且 b 5 = a 5 ,问: {a n } 和 {b n } 中除第 5 项外,还有序号相同且数值相等的项吗?(直接写出结论即可) 28.已知数列 {a } 满足 1a ≤ a≤ 3a , n ∈ N ∗ , a= 1 .n3 n n +1n1(1)若 a 2 = 3 , a 3 = x , a 4 = 6 ,求 x 的取值范围;(2)若 {a } 是公比为 q 的等比数列, S= a + a+ ⋯ + a , 1S ≤ S≤ 3S , n ∈ N ∗ , 求 qn的取值范围;n12n3 nn +1(3)若 a 1, a 2, ⋯ , a k 成等差数列,且 a 1 + a 2 + ⋯ + a k = 2020 ,求正整数 k 的最大值. 29.若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列,数列 {b n } 满足 b 1=1,b 2=2,且 a n b n +b n =nb n +1. (1)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式;(2)设数列 {c n} 满足 c n= a n +1 b n +1,数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ,若不等式 (-1)n λ < T n+ n 2n−1对一切 n ∈N *恒成立,求实数 λ 的取值范围.30.设 T n 是数列 {a n } 的前 n 项之积,且满足 T n = 3 − a n , n ∈ N ∗ .(1)求证:数列 { 13−a n1− } 是等比数列,并写出数列 {a n } 的通项公式;(2)设 S 是数列 {a } 是前 n 项之和,证明: n + 1 − 1< S< n + 2 − 2.nnT nnT n31.已知数列{a n }满足 a n+1+a n =4n ﹣3,n ∈N * (1)若数列{a n }是等差数列,求 a 1 的值; (2)当 a 1=﹣3 时,求数列{a n }的前 n 项和 S n ; (3)若对任意的n ∈N *, 都 有a n 2+a n +1 2a n +a n +1≥5 成立,求 a 1的取值范围.32.ΔABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 a , b , c 成等比数列,且B = 3.(Ⅰ)求1tan A+1tan B的值;cos 4( )设 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A ⃗⃗⃗ ⋅ B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ⃗⃗⃗ = 3 2,求 a + c 的值. 33.已知数列 {a n } 的前 n 和为 S n ,且满足 λS n = a n − 1 ,其中 λ ≠ 0 且 λ ≠ 1 . (1)证明:数列 {a n } 是等比数列;(2)当 λ = 12,令 c n= (n + 1)a n ,数列 {a n } 的前 n 项和为 T n ,若需 Tn> 2019 恒成立,求正整n数 n 的最小值.321+a 2 n a 2 n)34.已知数列 {a n} 满足 a 1 = 1 , a n +1=a n n, n ∈ N ∗, 记Sn, T n分别是数列 {a n} , {a 2} 的前 n 项和,证明:当 n ∈ N ∗ 时,(1)a n +1 < a n ;(2)T n = 1n +1− 2n − 1 ;(3)√2n − 1 < S n < √2n .35.设 q 为不等于 1 的正常数, {a n } 各项均为正,首项为 1 ,且 {a n } 前 n 项和为 S n ,已知对任意的正整数 n , m ,当时 n > m , S n − S m = q m · S n−m 恒成立. (1)求数列 {a n } 的通项公式;(2)若数列 {t n } 是首项为 1 ,公差为 3 的等差数列,存在一列数 k 1, k 2, ⋯ , k n , ⋯ :恰好使得 t k 1 = a 1, t k 2 = a 2, ⋯ , t k n = a n , ⋯, 且 k 1 = 1, k 2 = 2 ,求数列 {k n } 的通项公式;(3)当 q = 3 时,设 b n = na n ,问数列 {b n} 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在,求出所 有这样的三项,若不存在,请说明理由36.已知数列 {a} 满足aa− 3 ( n ≥ 2 , 且 n ∈ N ∗), 且 a= − 3, 设 b n + 2 = 3log 1(a n +n4 n = n−1 1441) , n ∈ N ∗,数列{c n } 满足 c n = (a n + 1)b n .(1)求证:数列 {a n + 1} 是等比数列并求出数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ; (3)对于任意 n ∈ N ∗,t ∈ [0,1], cn⩽ tm 2 − m − 12恒成立,求实数 m 的取值范围.37.已知 {a n } 是递增的等差数列, a 2 , a 4 是方程 x 2-5x +6=0 的根. (1)求 {a n } 的通项公式; a(2)求数列 {2n } 的前 n 项和.38.已知数列 {a } 的满足 a = 1 ,前 n 项的和为 S,且 a n +1−a n = 2 (n ∈ N *) .n1(1)求 a 2 的值;na n an +1 4S n−1(2)设 b n = a na n +1−a n ,证明:数列 {b n} 是等差数列;(3)设 c n = 2b n ⋅ a n ,若 1 ≤ λ ≤ √2 ,求对所有的正整数 n 都有 2λ2 − kλ + 3√2 < c n 成立的 k 的取值范围.39.数列 {a n } 是首项与公比均为 a 的等比数列( a > 0 ,且 a ≠ 1 ),数列 {b n } 满足 b n = a n ⋅ lg a n . (1)求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ; (2)若对一切 n ∈ N ∗都有b n < b n +1 ,求 a 的取值范围.40.等差数列{a n }中,其前 n 项和为 S n , 且S n = (a n +1)22,等比数列{b n }中,其前 n 项和为 T n , 且 T n =(b n +1 2 ,(n ∈N *)2(1)求a n ,b n ; (2)求{a n b n }的前 n 项和 M n .n +1 41.已知函数 f (x ) = log 3(ax + b ) 的图象过点 A (2,1) 和 B (5,2 )记 a n = 3f (n ) , n ∈ N * .(1)求数列{ a n }的通项公式.(2)设 b n = a n2n , T n = b 1 + b 2 + ⋯ b n , T n< m ( m ∈ Z ),求 m 的最小值.42.已知公比 q > 0 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 1 = 1, S 3 = 13 ,数列 {b n } 中, b 1 = 1, b 3 = 3 .(1)若数列 {a n + b n } 是等差数列,求 a n , b n ; (2)在(1)的条件下,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n .43.已知数列{b n }是首项 b 1=1,b 4=10 的等差数列,设 b n +2=3 log 1 4a n (n ∈n *).(1)求证:{a n }是等比数列;(2)记 c n =1 b n b n +1,求数列{c n }的前 n 项和 S n ;(3)记 d n =(3n+1)•S n , 若对任意正整数 n ,不等式的最大值.1n +d 1 1+ n +d 2 +…+ 1n +d nm> 24 恒成立,求整数 m 44.已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前五项和 S 5 = 20 ,且 a 1, a 3, a 7 成等比数列;(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 T n 为数列 { 1a n a n +1} 的前 n 项和,且存在 n ∈ N ∗,使得T n− λa n≥ 0 成立,求实数 λ 的取值范围。
高中数学 数列专题
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高中数学-数列专题第1讲数列的概念及其表示 (1)第2讲等差数列及前n项和 (16)第3讲等比数列及前n项和 (31)第4讲数列求和、数列的综合应用 (46)第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第一项,也叫首项.(2)数列与函数的关系从函数观点看,数列可以看成:以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数a n=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2数列的表示方法3数列的分类注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数,由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集,所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1.思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1,a2,a3,…,a n}表达的意义相同.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n=1+(-1)n+12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.数列13,18,115,124,…的一个通项公式为()A.a n=12n+1B.a n=1n+2C.a n=1n(n+2)D.a n=12n-1答案 C解析观察知a n=1(n+1)2-1=1n(n+2).3.若数列{a n}中,a1=3,a n+a n-1=4(n≥2),则a2015的值为()A.1 B.2C.3 D.4答案 C解析因为a1=3,a n+a n-1=4(n≥2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,…,显然当n是奇数时,a n=3,所以a2015=3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式,或给出递推关系式求数列中的项,并研究数列的简单性质.命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-2λn(n∈N*),则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式:①3,5,7,9,…; ②1,3,6,10,15,…;③-1,32,-13,34,-15,36,…;④3,33,333,3333,….[解析] (1)若数列{a n }为递增数列,则有a n +1-a n >0,即2n +1>2λ对任意的n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32.由λ<1可得λ<32,但反过来,由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件,故选A.(2)①各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1. ②将数列改写为1×22,2×32,3×42,4×52,5×62,…因而有a n =n (n +1)2,也可逐差法a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,…,a n -a n -1=n ,各式累加得a n =n (n +1)2.③奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1, 所以a n =(-1)n·2+(-1)nn.④将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n =13(10n -1).[答案] (1)A (2)见解析【解题法】 归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系,常用技巧有:①借助于(-1)n 或(-1)n +1来解决项的符号问题.②项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系.③对较复杂的数列的通项公式的探求,可采用添项、还原、分割等方法,转化为熟知的数列,如等差数列、等比数列等来解决.④根据图形特征写出数列的通项公式,首先,要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化;其次,要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律;最后,归纳猜想出通项公式.(2)数列单调性的判断方法①作差比较法:a n +1-a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1-a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1-a n =0⇔数列{a n }是常数列.②作商比较法:当a n >0时,则a n +1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1a n=1⇔数列{a n }是常数列. 当a n <0时,则a n +1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列;a n +1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列;a n +1a n=1⇔数列{a n }是常数列.③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性.对点练1.设等差数列{a n }的公差为d ,若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0 B .d >0 C .a 1d <0 D .a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列,∴2 a 1a n >2 a 1a n +1,n ∈N *,∴a 1a n >a 1a n +1,∴a 1(a n +1-a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列,∴a 1d <0.故选C.2.下列可以作为数列{a n }:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A .a n =1B .a n =(-1)n +12C .a n =2-⎪⎪⎪⎪sin n π2D .a n =(-1)n -1+32答案 C解析 A 项显然不成立;n =1时,a 1=-1+12=0,故B 项不正确;n =2时,a 2=(-1)2-1+32=1,故D 项不正确.由a n =2-⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1=1,a 2=2,a 3=1,a 4=2,…,故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A .a n =n 2-n +1B .a n =n (n -1)2C .a n =n (n +1)2D .a n =n (n +2)2答案 C解析 解法一:令n =1,2,3,4,验证选项知选C.解法二:a 1=1,a 2=a 1+2,a 3=a 2+3,a 4=a 3+4,…,a n =a n -1+n . ∴(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=n +(n -1)+…+3+2.因此a n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.考点二 数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.注意点 已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用,分n =1和n ≥2两种情况讨论,特别注意a n =S n -S n -1中需n ≥2.(2)由S n -S n -1=a n 推得a n ,当n =1时,a 1也适合“a n 式”,则需统一“合写”. (3)由S n -S n -1=a n 推得a n ,当n =1时,a 1不适合“a n 式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).入门测1.思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对∀n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) (2)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=12a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2.数列{a n }中,a 1=1,a n =1a n -1+1,则a 4等于( )A.53B.43 C .1 D.23答案 A解析 由a 1=1,a n =1a n -1+1得,a 2=1a 1+1=2,a 3=1a 2+1=12+1=32,a 4=1a 3+1=23+1=53.故选A.3.在正项数列{a n }中,若a 1=1,且对所有n ∈N *满足na n +1-(n +1)a n =0,则a 2015=( ) A .1011 B .1012 C .2014 D .2015答案 D解析 由a 1=1,na n +1-(n +1)a n =0可得a n +1a n =n +1n ,得到a 2a 1=21,a 3a 2=32,a 4a 3=43,…,a n +1a n=n +1n ,上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n +1a n =a n +1=21×32×43×…×n +1n =n +1,故a n =n ,所以a 2015=2015,故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式,特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点.命题法 由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+3n ,则此数列的通项公式为a n =________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N *),a 1=12,求S n .[解析] (1)当n =1时, a 1=S 1=2×12+3×1=5;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2+3n )-[2(n -1)2+3(n -1)]=4n +1.当n =1时,4×1+1=5=a 1,∴a n =4n +1.(2)∵当n ≥2,n ∈N *时,a n =S n -S n -1, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0,即1S n -1S n -1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列,又S 1=a 1=12,∴1S 1=2,∴1S n =2+(n -1)·2=2n , ∴S n =12n.[答案] (1)4n +1 (2)见解析 【解题法】 求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1=S 1求出a 1.②用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式.③对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写.(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n +1=a n +f (n ),常用累加法.即利用恒等式a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)求通项公式.②形如a n +1=a n f (n ),常用累乘法,即利用恒等式a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n -1求通项公式.③形如a n +1=ba n +d (其中b ,d 为常数,b ≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造a n +1+x =b (a n +x )⎝⎛⎭⎫其中x =db -1,则{a n +x }是公比为b 的等比数列,利用它即可求出a n .④形如a n +1=pa n qa n +r (p ,q ,r 是常数)的数列,将其变形为1a n +1=r p ·1a n +qp .若p =r ,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且公差为q p ,可用公式求通项;若p ≠r ,则采用③的办法来求.⑤形如a n +2=pa n +1+qa n (p ,q 是常数,且p +q =1)的数列,构造等比数列.将其变形为a n +2-a n +1=(-q )·(a n +1-a n ),则{a n -a n -1}(n ≥2,n ∈N *)是等比数列,且公比为-q ,可以求得a n-a n -1=f (n ),然后用累加法求得通项.⑥形如a 1+2a 2+3a 3+…+na n =f (n )的式子, 由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =f (n ),①得a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=f (n -1),② 再由①-②可得a n .对点练1.设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.答案2011解析 由a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *)得,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+2+3+…+n =n (n +1)2, 则1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10=2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+110-111=2⎝⎛⎭⎫1-111=2011. 2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n =2·3n -1-1解析 ∵a n +1=3a n +2,∴a n +1+1=3(a n +1). ∴a n +1+1a n +1=3,∴数列{a n +1}是等比数列,公比q =3.又a 1+1=2,∴a n +1=2·3n -1, ∴a n =2·3n -1-1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为________.答案 a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,2n -1,n ≥2解析 当n =1时,a 1=S 1=-1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =1,2n -1,n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2n +2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n +2a n =4S n +3,可知a 2n +1+2a n +1=4S n +1+3. 可得a 2n +1-a 2n +2(a n +1-a n )=4a n +1,即 2(a n +1+a n )=a 2n +1-a 2n =(a n +1+a n )(a n +1-a n ).由于a n >0,可得a n +1-a n =2.又a 21+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n +1. (2)由a n =2n +1可知 b n =1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n =12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13-15+⎝⎛⎭⎫15-17+…+⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3 =n3(2n +3).5.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn ,k ∈N *,且S n 的最大值为8.试确定常数k ,并求数列{a n }的通项公式.解 因为S n =-12n 2+kn =-12(n -k )2+12k 2,其中k 是常数,且k ∈N *,所以当n =k 时,S n取最大值12k 2,故12k 2=8,k 2=16,因此k =4,从而S n =-12n 2+4n .当n =1时,a 1=S 1=-12+4=72;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=⎝⎛⎭⎫-12n 2+4n -⎣⎡⎦⎤-12(n -1)2+4(n -1)=92-n .当n=1时,92-1=72=a1,所以a n=92-n.微型专题数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.命题形式:常见的有新定义、新规则等.创新例题把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()A.27 B.28C.29 D.30答案 B解析由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.创新练习1.将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2014项与5的差,即a2014-5=()A.2018×2012 B.2020×2013C.1009×2012 D.1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得:a2-a1=4,a3-a2=5,a4-a3=6…a2014-a2013=2016,累加得:a2014-a1=4+5+6+…+2016=2013×20202=2013×1010,即a2014-5=2013×1010.2.在一个数列中,如果∀n∈N*,都有a n a n+1a n+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{a n}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.3.对于E={a1,a2,...,a100}的子集X={a i1,a i2,...,a ik},定义X的“特征数列”为x1,x2,...,x100,其中x i1=x i2=...=x ik=1,其余项均为0,例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________.(2)若E的子集P的“特征数列”为p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,故其前三项和为2.(2)由定义知p1=1,p2=0,p3=1,p4=0…故集合P={a1,a3,a5,…,a99}={a i|i=2k+1,k∈N且k≤49},又q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,…,∴集合Q={a1,a4,a7,a10…}={a i|i=3k+1,k∈N且k≤33}.若a k∈P∩Q,则k=2k1+1=3k2+1,k1,k2∈N,k1≤49,k2≤33.即2k1=3k2,不妨设6k3=2k1=3k2,所以k1=3k3,k2=2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33,k3∈N,得k3∈{0,1,2,3,…,16},k =6k3+1,共有17个,P∩Q中元素个数为17.创新指导1.准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.已知数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N*),且{a n}单调递增,则k的取值范围是________.[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集,但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性.因为数列的图象不是连续的,而是离散的点.[正解]由题意得a n+1-a n=2n+1-k,又{a n}单调递增,故2n+1-k>0恒成立,即k<2n +1(n∈N*)恒成立,解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n=nn2+90,则数列{a n}中的最大值是()A.310 B.19C.119 D.1060答案 C解析因为a n=1n+90n,运用基本不等式得,1n+90n≤1290,由于n∈N*,不难发现当n=9或10时,a n=119最大,故选C.2.数列{a n}的前n项积为n2,那么当n≥2时,{a n}的通项公式为() A.a n=2n-1 B.a n=n2C.a n=(n+1)2n2D.a n=n2(n-1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n,则T n=n2,当n≥2时,a n=T nT n-1=n2 (n-1)2.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n+S m=S n+m,且a1=1,那么a10等于() A.1 B.9C.10 D.55答案 A解析∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1.即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5等于()A.-16 B.16C.31 D.32答案 B解析当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1.当n ≥2时,S n -1=2a n -1-1, ∴a n =2a n -2a n -1, ∴a n =2a n -1.∴{a n }是等比数列且a 1=1,q =2, 故a 5=a 1×q 4=24=16.5.已知数列{a n }满足a 0=1,a n =a 0+a 1+…+a n -1(n ≥1),则当n ≥1时,a n 等于( ) A .2n B.12n (n +1) C .2n -1 D .2n -1答案 C解析 由题设可知a 1=a 0=1,a 2=a 0+a 1=2. 代入四个选项检验可知a n =2n -1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)⎝⎛⎭⎫78n,则当a n 取得最大值时,n 等于( ) A .5 B .6 C .5或6 D .7答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n -1,a n ≥a n +1,∴⎩⎨⎧(n +2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n +1)⎝⎛⎭⎫78n -1,(n +2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n +3)⎝⎛⎭⎫78n +1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6,n ≥5.∴n =5或6. 7.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1-a n =2n +1,则数列的通项a n =________. 答案 n 2解析 ∵a n +1-a n =2n +1.∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=(2n -1)+(2n -3)+…+5+3+1=n 2(n ≥2).当n =1时,也适用a n =n 2.8.已知数列{a n }的首项a 1=2,其前n 项和为S n .若S n +1=2S n +1,则a n =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,3·2n -2,n ≥2解析 由S n +1=2S n +1,则有S n =2S n -1+1(n ≥2),两式相减得a n +1=2a n ,又S 2=a 1+a 2=2a 1+1,a 2=3,所以数列{a n }从第二项开始成等比数列,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,3·2n -2,n ≥2.9.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,设S n 为数列{a n }的前n 项和,对于任意的n >1,n ∈N *,S n +1+S n -1=2(S n +1)都成立,则S 10=________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n +1+S n -1=2S n +2,S n +2+S n =2S n +1+2,两式相减得a n +2+a n =2a n +1(n ≥2),∴数列{a n }从第二项开始为等差数列,当n =2时,S 3+S 1=2S 2+2,∴a 3=a 2+2=4,∴S 10=1+2+4+6+…+18=1+9(2+18)2=91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是________.答案n (n +1)2解析 由已知,有a 1=1,a 2=3,a 3=6,a 4=10, ∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n -1=n , 各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n , 即a n =1+2+…+n =n (n +1)2,故第n 个图形中小正方形的个数是n (n +1)2. 11.已知数列{a n }满足:a 1=1,2n -1a n =a n -1(n ∈N *,n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000? 解 (1)n ≥2时,a n a n -1=⎝⎛⎭⎫12n -1, 故a n =a n a n -1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1=⎝⎛⎭⎫12n -1·⎝⎛⎭⎫12n -2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 =⎝⎛⎭⎫121+2+…+(n -1)=⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2,当n =1时,a 1=⎝⎛⎭⎫120=1,即n =1时也成立. ∴a n =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2.(2)∵y =(n -1)n 在[1,+∞)上单调递增, ∴y =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2在[1,+∞)上单调递减. 当n ≥5时,(n -1)n 2≥10,a n =⎝⎛⎭⎫12(n -1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000. 12.已知数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n ,0<a n≤12,2a n-1,12<a n<1,且a 1=67,求a 2015.解 ∵a 1=67∈⎝⎛⎭⎫12,1,∴a 2=2a 1-1=57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12,1,∴a 3=2a 2-1=37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0,12,∴a 4=2a 3=67=a 1, ∴{a n }是周期数列,T =3,∴a 2015=a 3×671+2=a 2=57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +5,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =2n +1B .a n =⎩⎪⎨⎪⎧14(n =1)2n +1(n ≥2)C .a n =2nD .a n =2n +2答案 B解析 由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +5,则12a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n -1 =2(n -1)+5,n >1,两式相减可得:a n2n =2n +5-2(n -1)-5=2,∴a n =2n +1,n >1,n ∈N *. 当n =1时,a 12=7,∴a 1=14,综上可知,数列{a n }的通项公式为:a n =⎩⎪⎨⎪⎧14(n =1),2n +1(n ≥2).故选B.14.在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为________.答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{a n },由题意知a 2=3,a 3=6,a 4=11,a 5=18,则a 3-a 2=3,a 4-a 3=5,a 5-a 4=7,…,a n -a n -1=2(n -1)-1=2n -3,各式两边同时相加,得 a n -a 2=(2n -3+3)×(n -2)2=n 2-2n ,即a n =n 2-2n +a 2=n 2-2n +3(n ≥2),故a 9=92-2×9+3=66. 15.已知数列{a n }满足前n 项和S n =n 2+1,数列{b n }满足b n =2a n +1,且前n 项和为T n ,设c n =T 2n +1-T n .(1)求数列{b n }的通项公式; (2)判断数列{c n }的增减性.解 (1)a 1=2,a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2).∴b n=⎩⎨⎧23(n =1)1n (n ≥2).(2)∵c n =b n +1+b n +2+…+b 2n +1 =1n +1+1n +2+…+12n +1, ∴c n +1-c n =12n +2+12n +3-1n +1=12n +3-12n +2=-1(2n +3)(2n +2)<0, ∴{c n }是递减数列.16.已知数列{a n }中,a 1=12,a n +1=3a na n +3.(1)求a n ;(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ,且b n ·n (3-4a n )a n =1,求证:12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n +1=3a n a n +3,得1a n +1=a n +33a n ,即1a n +1-1a n =13,而1a 1=2,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项,以13为公差的等差数列.∴1a n =2+13(n -1)=n +53,∴a n =3n +5. (2)证明:∵b n ·n (3-4a n )a n =1,由(1)知a n =3n +5,∴b n =a n n (3-4a n )=1n (n +1)=1n -1n +1,∴S n =b 1+b 2+…+b n =⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1=1-1n +1, 又∵n ≥1,∴n +1≥2,∴0<1n +1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲 等差数列及前n 项和 考点一 等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示,定义的表达式为a n +1-a n =d ,d 为常数.2 等差中项如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,且A =a +b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式:a n =a 1+(n -1)d ,其中a 1是首项,d 是公差.通项公式的变形:a n =a m +(n -m )d ,m ,n ∈N *.4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时,数列{a n }为递增数列; 当d <0时,数列{a n }为递减数列; 当d =0时,数列{a n }为常数列.注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时,切忌只通过计算数列的a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3等有限的几个项的差后,发现它们都等于同一个常数,就断言数列{a n }为等差数列.(2)用定义法证明等差数列时,常采用a n +1-a n =d ,若采用a n -a n -1=d ,则n ≥2,否则n =1时无意义.入门测1.思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( ) A .1 B.53 C .2 D .3答案 C 解析 因为S 3=(a 1+a 3)×32=6,而a 3=4.所以a 1=0,所以d =a 3-a 12=2. 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14答案 C解析 ∵S 3=3(a 1+a 3)2=3a 2=12,∴a 2=4.∵a 1=2,∴d =a 2-a 1=4-2=2. ∴a 6=a 1+5d =12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义,通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容,用定义判断或证明等差数列,由n ,a n ,S n ,a 1,d 五个量之间的关系考查基本运算能力.命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项a n ; (2)若S n =242,求n .[解] (1)由a n =a 1+(n -1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =30,a 1+19d =50.解得a 1=12,d =2.所以a n =2n +10; (2)由S n =na 1+n (n -1)2d ,S n =242, 得方程12n +n (n -1)2×2=242, 解得n =11或n =-22(舍去).【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.[解] (1)证明:∵a n +2=2a n +1-a n +2, ∴b n +1-b n =a n +2-a n +1-(a n +1-a n ) =2a n +1-a n +2-2a n +1+a n =2.∴{b n }是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)得b n =1+2(n -1),即a n +1-a n =2n -1, ∴a 2-a 1=1,a 3-a 2=3,a 4-a 3=5, …,a n -a n -1=2n -3,累加法可得 a n -a 1=1+3+5+…+(2n -3)=(n -1)2, ∴a n =n 2-2n +2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数. (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立. (3)通项公式法:验证a n =pn +q . (4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( ) A .-1 B .0 C .1D .6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ,由a 4=a 2+2d ,a 2=4,a 4=2,得2=4+2d ,d =-1,∴a 6=a 4+2d =0.故选B.2.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n .若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A .a 1d >0,dS 4>0 B .a 1d <0,dS 4<0 C .a 1d >0,dS 4<0 D .a 1d <0,dS 4>0 答案 B解析 由a 24=a 3a 8,得(a 1+2d )(a 1+7d )=(a 1+3d )2,整理得d (5d +3a 1)=0,又d ≠0,∴a 1=-53d ,则a 1d =-53d 2<0,又∵S 4=4a 1+6d =-23d ,∴dS 4=-23d 2<0,故选B.3.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.答案 -12解析 由已知得S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,而S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),整理得2a 1+1=0,解得a 1=-12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n +2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由. 解 (1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1. 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 由于a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得a 2=λ-1. 由(1)知,a 3=λ+1. 令2a 2=a 1+a 3,解得λ=4. 故a n +2-a n =4,由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列,a 2n -1=4n -3; {a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列.考点二 等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列,d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等,即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=…=a k +a n -k +1=….(2)等差数列{a n }中,当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). 特别地,若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *).(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等差数列,公差为md (k ,m ∈N *).(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…也成等差数列,公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中,①若项数为偶数2n ,则S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a na n +1.②若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=(2n -1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=nn -1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列,且前n 项和分别是S n 和T n ,则S 2m -1T 2m -1=a mb m. (8)若数列{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,则数列{pa n },{a n +p },{pa n +qb n }都是等差数列(p ,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1,pd 1+qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中,设前n 项和为S n ,则S n ,S 2n ,S 3n 的关系为2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n )不要理解为2S 2n =S n +S 3n .入门测1.思维辨析(1)等差数列{a n }中,有a 1+a 7=a 2+a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列,则这四个数可设为a -2d ,a -d ,a +d ,a +2d .( ) (3)若三个数成等差数列,则这三个数可设为:a -d ,a ,a +d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时,只需将它的前n 项和进行配方,即得顶点为其最值处.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 10=4,则S 11的值为( ) A .12 B .18 C .22 D .44答案 C解析 由题可知S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 2+a 10)2=11×42=22,故选C.3.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( )A .12B .14C .16D .18答案 A解析 由题意知5a 8=90,a 8=18,a 10-13a 14=a 1+9d -13(a 1+13d )=23a 8=12,选A 项.[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容,灵活应用由概念推导出的重要性质,在解题过程中可以达到避繁就简的目的.命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中,如果a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }前9项的和为( )A .297B .144C .99D .66[解析] 由a 1+a 4+a 7=39,得3a 4=39,a 4=13. 由a 3+a 6+a 9=27,得3a 6=27,a 6=9. 所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×(13+9)2=9×11=99,故选C. [答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,d =a n -a mn -m,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n (a 1+a n )2=n (a 2+a n -1)2(n ,m ∈N *)等.(2)如果{a n }为等差数列,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ( m ,n ,p ,q ∈N *).一般地,a m+a n ≠a m +n ,必须是两项相加,当然也可以是a m -n +a m +n =2a m .因此,若出现a m -n ,a m ,a m +n 等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件.命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n最大?[解] 解法一:由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1.从而S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1,又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大.解法二:由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由解法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.解法三:由解法一可知,d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0, 即⎩⎨⎧a 1+(n -1)⎝⎛⎭⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝⎛⎭⎫-213a 1≤0,解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大. 解法四:由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0, 即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0, 所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大. 【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *. (2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n +1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1 ≥0的项数n ,使S n 取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.1.设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是( ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3 D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列,则选项A 、B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>a 1a 3,所以C 正确. 2.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A .4025B .4024C .4023D .4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0,a 2012+a 2013>0,a 2012·a 2013<0,假设a 2012<0<a 2013,则d >0,而a 1>0,可得a 2012=a 1+2011d >0,矛盾,故不可能. ∴a 2012>0,a 2013<0. 再根据S 4024=4024(a 1+a 4024)2=2012(a 2012+a 2013)>0,而S 4025=4025a 2013<0,因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n =2n 3n +1,则a nb n =( )A.23 B.2n -13n -1 C.2n +13n +1D.2n -13n +4答案 B解析 a n b n =2a n2b n =2n -12(a 1+a 2n -1)2n -12(b 1+b 2n -1)=S 2n -1T 2n -1=2(2n -1)3(2n -1)+1=2n -13n -1.故选B.4.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. 答案 10解析 由a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,得5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.5.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________. 答案 5解析 设等差数列的首项为a 1,根据等差数列的性质可得,a 1+2015=2×1010,解得a 1=5.6.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫-1,-78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.7.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 根据题意知a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0.又a 8+a 9=a 7+a 10<0,∴a 9<0,∴当n =8时,{a n }的前n 项和最大.8.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. (1)求通项a n ; (2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c,求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22. 又a 3·a 4=117,所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3. (2)由(1)知a 1=1,d =4. 所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2⎝⎛⎭⎫n -142-18. 所以当n =1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1. (3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S nn +c =2n 2-n n +c,所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3, 即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去),故c =-12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=9,S 5=15,则使其前n 项和S n 取得最小值时的n =________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题,可以通过找对称轴来确定,本题只关注到n ∈N *,并未关注到n =1与n =2时,S 1=S 2,导致错误.[正解] ∵a 5=9,S 5=15,∴a 1=-3,d =3. ∴a n =3n -6,S n =32n 2-92n .把S n 看作是关于n 的二次函数,其对称轴为n =32.∴当n =1或n =2时,S 1=S 2且最小. [心得体会]课时练 基础组1.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,S 11=992,则a 12的值是( )A .15B .30C .31D .64答案 A解析 由题意可知2a 8=a 7+a 9=16⇒a 8=8,S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=992,a 6=92,则d =a 8-a 62=74,所以a 12=a 8+4d =15,故选A. 2.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和,若对任意的n ∈N *满足a n +1=a n +a 2,且a 3=2,则S 2014=( )A .1006×2013B .1006×2014C .1007×2013D .1007×2014答案 C解析 在a n +1=a n +a 2中,令n =1,则a 2=a 1+a 2,a 1=0,令n =2,则a 3=2=2a 2,a 2=1,于是a n +1-a n =1,故数列{a n }是首项为0,公差为1的等差数列,S 2014=2014×20132=1007×2013.故选C.3.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A解析由已知式2a n+1=1a n+1a n+2可得1a n+1-1a n=1a n+2-1a n+1,知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1=1,公差为1a2-1a1=2-1=1的等差数列,所以1a n=n,即a n=1n.4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.45C.36 D.27答案 B解析S3=9,S6-S3=36-9=27,根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,S9-S6=45,S9-S6=a7+a8+a9=45,故选B.5.已知等差数列{a n}中,前四项和为60,最后四项和为260,且S n=520,则a7=() A.20 B.40C.60 D.80答案 B解析前四项的和是60,后四项的和是260,若有偶数项,则中间两项的和是(60+260)÷4=80.S n=520,520÷80不能整除,说明没有偶数项,有奇数项,则中间项是(60+260)÷8=40.所以共有520÷40=13项,因此a7是中间项,所以a7=40.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4S2=4,则S6S4=()A.94 B.32C.53D.4答案 A解析由S4S2=4,可设S2=x,S4=4x.∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴2(S4-S2)=S2+(S6-S4).则S6=3S4-3S2=12x-3x=9x,因此,S6S4=9x4x=94.7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-3,a k+1=32,S k=-12,则正整数k=______.答案13解析由S k+1=S k+a k+1=-12+32=-212,又S k+1=(k+1)(a1+a k+1)2=(k+1)⎝⎛⎭⎫-3+322=-212,解得k=13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 1=________.答案14解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =d 2n 2+(a 1-d2)n ,∴S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ,数列{S n }是等差数列,则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数),则a 1-d2=0,S n =d2n ,从而数列{S n }的公差是d2,那么有d 2=d ,d =0(舍去)或d =12,故a 1=14.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=10,S 5=55,则a 10=________. 答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(a 1+d )=10,5a 1+5×42d =55,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =10,a 1+2d =11,解得a 1=3,d =4,a 10=a 1+(10-1)d =39. 10设数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列.若a 1<a 2,b 1<b 2,且b i =a 2i (i =1,2,3),则数列{b n }的公比为________.答案 3+2 2解析 设a 1,a 2,a 3分别为a -d ,a ,a +d ,因为a 1<a 2,所以d >0,又b 22=b 1b 3,所以a 4=(a -d )2(a +d )2=(a 2-d 2)2,则a 2=d 2-a 2或a 2=a 2-d 2(舍),则d =±2a .若d =-2a ,则q =b 2b 1=⎝⎛⎭⎫a 2a 12=(1-2)2=3-22<1,舍去;若d =2a ,则q =⎝⎛⎭⎫a 2a 12=3+2 2. 11.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数,又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0,于是10+3d ≥0,10+4d ≤0.解得-103≤d ≤-52. 因此d =-3.数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17-110+⎝⎛⎭⎫14-17+…+⎝⎛ 110-3n -⎭⎫113-3n=13⎝⎛⎭⎫110-3n -110=n10(10-3n ).12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N *),a 1=12,判断{a n }是否为等差数列,并说明你的理由.解 数列{a n }不是等差数列,a n =S n -S n -1(n ≥2),a n +2S n S n -1=0, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n ≥2),又S 1=a 1=12, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列. ∴1S n =2+(n -1)×2=2n ,故S n =12n. ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=-12n (n -1),∴a n +1=-12n (n +1),而a n +1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n ⎝⎛⎭⎫1n +1-1n -1=1n (n -1)(n +1).∴当n ≥2时,a n +1-a n 的值不是一个与n 无关的常数,故数列{a n }不是一个等差数列.能力组13.已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2),则a 6等于( )A .16B .8C .2 2D .4答案 D解析 由2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ≥2)可得,数列{a 2n }是首项为a 21=1,公差为a 22-a 21=3的等差数列,由此可得a 2n =1+3(n -1)=3n -2,即得a n =3n -2,∴a 6=3×6-2=4,故应选D.14.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为( )A .11B .19C .20D .21答案 B 解析 ∵a 11a 10<-1,且S n 有最大值, ∴a 10>0,a 11<0,且a 10+a 11<0, ∴S 19=19(a 1+a 19)2=19·a 10>0, S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0, 故使得S n >0的n 的最大值为19.。
高中数学《数列》复习专题
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1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解:
专题2:求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解: 设 为待定系数, an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则 令 , 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项, 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和: 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和: + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2:求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾:求等差数列的通 项公式:— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知, a2 a1 d 当n 2时, a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
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求数列通项专题题型一:定义法(也叫公式法)直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目例:等差数列}a {n 是递增数列,前n 项和为n S ,且931a ,a ,a 成等比数列,255a S =.求数列}a {n 的通项。
解:设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列,∴9123a a a =,即)d 8a (a )d 2a (1121+=+,得d a d 12= ∵0d ≠,∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得:53a 1=,53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二:已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例:(1)已知数列的前项和,求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解:当时,;1=n 311==S a 当时,; 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n (2)已知数列的前项和满足,求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解:由,得,1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习:1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为,,,求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三:形如用累加法(也叫逐差求和法):)(1n f a a n n +=+(1)若f(n)为常数,即:,此时数列为等差数列,则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+(2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 得:)(1n f a a n n =-+时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ,)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即:.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便,也可用横式来写:时,,2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1:已知数列{a n }中,a 1=1,对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++,求n a .解:由已知得11(1)n n a a n n --=+,121(1)n n a a n n ---=-,……,32134a a -=⨯,21123a a -=⨯,以上式子累加,利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+, 3121n a n ∴=-+例2:已知数列满足,求数列的通项公式。
高中数学《求数列的通项习题课一》专题突破含解析
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习题课一 求数列的通项题型一 利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】 (1)数列{a n }满足a 1=1,对任意的n ∈N *都有a n +1=a 1+a n +n ,求数列{a n }的通项公式;(2)已知数列{a n }满足a 1=23,a n +1=nn +1a n ,求a n .解 (1)∵a n +1=a n +n +1,∴a n +1-a n =n +1,即a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n (n ≥2).等式两边同时相加得a n -a 1=2+3+4+…+n (n ≥2),即a n =a 1+2+3+4+…+n =1+2+3+4+…+n =n (n +1)2,n ≥2.又a 1=1也适合上式,∴a n =n (n +1)2,n ∈N *.(2)由条件知a n +1a n =nn +1,分别令n =1,2,3,…,n -1,代入上式得(n -1)个等式,累乘,即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=12×23×34×…·n -1n (n ≥2).∴a na 1=1n ,又∵a 1=23,∴a n =23n ,n ≥2.又a 1=23也适合上式,∴a n =23n ,n ∈N *.规律方法 (1)求形如a n +1=a n +f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n +1-a n =f (n ),再用累加法(逐差相加法)求解,即a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n -1).(2)求形如a n +1=f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n +1a n=f (n ),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由a 2a 1=f (1),a 3a2=f (2),…,a na n -1=f (n -1),累乘可得a na1=f (1)f (2)…f (n -1).【训练1】 数列{a n }中,a 1=2,a n +1-a n =2n ,求{a n }的通项公式.解 因为a 1=2,a n +1-a n =2n ,所以a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,a 4-a 3=23,…,a n -a n -1=2n -1,n ≥2,以上各式累加得,a n -a 1=2+22+23+…+2n -1,故a n=2(1-2n-1)1-2+2=2n,当n=1时,a1也符合上式,所以a n=2n.题型二 构造等差(比)数列求通项公式【例2】 (1)在数列{a n}中,a1=13,6a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2,n∈N*).①证明:数列{1a n}是等差数列;②求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n-3,求a n.(1)①证明 由6a n a n-1+a n-a n+1=0,整理得1a n-1a n-1=6(n≥2),故数列{1a n}是以3为首项,6为公差的等差数列.②解 由①可得1a n=3+(n-1)×6=6n-3,所以a n=16n-3,n∈N*.(2)解 由a n+1=2a n-3得a n+1-3=2(a n-3),所以数列{a n-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则a n-3=(-1)·2n-1,即a n=-2n-1+3.规律方法 (1)课程标准对递推公式要求不高,故对递推公式的考查也比较简单,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如a n+1=pa n+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步 假设递推公式可改写为a n+1+t=p(a n+t);第二步 由待定系数法,解得t=qp-1;第三步 写出数列{a n+q p-1}的通项公式;第四步 写出数列{a n}的通项公式.【训练2】 已知各项均为正数的数列{b n}的首项为1,且前n项和S n满足S n-S n-1=S n+S n-1(n≥2).试求数列{b n}的通项公式.解 ∵S n-S n-1=S n+S n-1(n≥2),∴(S n+S n-1)(S n-S n-1)=S n+S n-1(n≥2).又S n >0,∴S n -S n -1=1.又S 1=1,∴数列{S n }是首项为1,公差为1 的等差数列,∴S n =1+(n -1)×1=n ,故S n =n 2.当n ≥2时,b n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1.当n =1时,b 1=1符合上式.∴b n =2n -1.题型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4,n ∈N *,则a n 等于( )A.2n +1 B.2n C.2n -1D.2n -2(2)已知数列{a n }中,前n 项和为S n ,且S n =n +23·a n ,则a n a n -1的最大值为( )A.-3B.-1C.3D.1解析 (1)因为S n =2a n -4,所以n ≥2时,S n -1=2a n -1-4,两式相减可得S n -S n -1=2a n -2a n -1,即a n =2a n -2a n -1,整理得a n =2a n -1,所以a n a n -1=2.因为S 1=a 1=2a 1-4,即a 1=4,所以数列{a n }是首项为4,公比为2的等比数列,则a n =4×2n -1=2n +1,故选A.(2)由S n =n +23a n 得,当n ≥2时,S n -1=n +13a n -1,两式作差可得:a n =S n -S n -1=n +23a n -n +13a n -1,整理得a n a n -1=n +1n -1=1+2n -1,由此可得,当n =2时,a n a n -1取得最大值,其最大值为3.答案 (1)A (2)C规律方法 已知S n =f (a n )或S n =f (n )的解题步骤:第一步 利用S n 满足条件p ,写出当n ≥2时,S n -1的表达式;第二步 利用a n =S n -S n -1(n ≥2),求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式;第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式,则根据a 1=S 1求出a 1,并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式,则问题化归为例2形式的问题.【训练3】 在数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n +12a n +1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式a n .解 由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n +12a n +1,得当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=n2a n ,两式作差得na n =n +12a n +1-n 2a n ,得(n +1)a n +1=3na n (n ≥2),即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列,且a 1=1,a 2=1,于是2a 2=2,故当n ≥2时,na n =2×3n -2.于是a n ={1,n =1,2×3n -2n,n ≥2,n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法,提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有:(1)公式法,(2)累加、累乘法,(3)构造法等,但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是( )A.a n ={1(n =1)a n +1+n -1(n ∈N *,n ≥2)B.a n={1(n =1)a n -1+n (n ∈N *,n ≥2)C.a n={1(n =1)a n -1+n -1(n ∈N *,n ≥2)D.a n={1(n =1)a n -1+n +1(n ∈N *,n ≥2)解析 由题意可得,a 1=1,a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5,……∴a n -a n -1=n (n ≥2),故数列的递推公式为a n ={1(n =1)a n -1+n (n ∈N *,n ≥2)故选B.答案 B2.数列{a n }中,a 1=1,且a n +1=a n +2n ,则a 9=( )A.1 024B.1 023C.510D.511解析 由题意可得a n +1-a n =2n ,则a 9=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 9-a 8)=1+21+22+…+28=29-1=511.故选D.答案 D3.已知数列{a n }的各项均为正数,且a 2n -a n -n 2-n =0,则a n=________.解析 由a 2n -a n -n (n +1)=0,得[a n -(n +1)](a n +n )=0.又a n >0,所以a n=n +1.答案 n +14.已知数列{a n }中,a 1=1,对于任意的n ≥2,n ∈N *,都有a 1a 2a 3…a n =n 2,则a 10=________.解析 由a 1a 2a 3…a n =n 2,得a 1a 2a 3…a n -1=(n -1)2(n ≥2),所以a n =n 2(n -1)2(n ≥2),所以a 10=10081.答案 100815.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=a n a n +2(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.解 由a n +1=a n a n +2,得1a n +1=2an +1,所以1an +1+1=2(1a n+1).又a 1=1,所以1a 1+1=2,所以数列{1a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以1a n +1=2×2n -1=2n ,所以a n =12n -1.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +2n (n ∈N *),则a 100的值是( )A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000解析 a 100=(a 100-a 99)+(a 99-a 98)+…+(a 2-a 1)+a 1=2(99+98+…+2+1)+2=2×99×(99+1)2+2=9 902.答案 B2.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n1+2a n,则这个数列的第n 项为( )A.2n -1B.2n +1C.12n -1D.12n +1解析 ∵a n +1=a n 1+2an,a 1=1,∴1a n +1-1a n =2.∴{1a n}为等差数列,公差为2,首项1a1=1.∴1a n =1+(n -1)×2=2n -1,∴a n =12n -1.答案 C3.若数列{a n }中,a 1=3,a n +a n -1=4(n ≥2),则a 2 021的值为( )A.1 B.2 C.3D.4解析 ∵a 1=3,a n +a n -1=4(n ≥2),∴a n +1+a n =4,∴a n +1=a n -1,∴a n =a n +2,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又∵a 1=3,∴a 2 021=3.答案 C4.已知数列{a n }的首项为a 1=1,且满足a n +1=12a n +12n ,则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n +1)C.n2n -1D.n (n +1)2n解析 ∵a n +1=12a n +12n ,∴2n +1a n +1=2n a n +2,即2n +1a n +1-2n a n =2.又21a 1=2,∴数列{2n a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,∴2n a n =2+(n -1)×2=2n ,∴a n =n 2n -1.答案 C5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,S n +1=4a n +2,则a 12=( )A.20 480B.49 152C.60 152D.89 150解析 由题意得S 2=4a 1+2,所以a 1+a 2=4a 1+2,解得a 2=8,故a 2-2a 1=4,又a n +2=S n +2-S n +1=4a n +1-4a n ,于是a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n ),因此数列{a n +1-2a n }是以a 2-2a 1=4为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-2a n =4×2n -1=2n +1,于是a n +12n +1-a n2n =1,因此数列{a n2n}是以1为首项,1为公差的等差数列,得a n2n =1+(n -1)=n ,即a n =n ·2n .所以a 12=12×212=49 152,故选B.答案 B 二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列{a n }的通项公式为________.解析 当a 1=3时,不合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时,符合题意;当a 1=10时,不合题意.因此a 1=2,a 2=6,a 3=18,所以公比q =3,故a n =2×3n -1.答案 a n =2×3n -17.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=n +1na n ,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析 当n ≥2时,a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1=nn -1·n -1n -2·…·32·21=n ,当n =1时,a 1=1也符合此式,∴a n =n .答案 n8.已知数列{a n }满足ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n =3n 2(n ∈N *),则a 10=________.解析 ∵ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n =3n2(n ∈N *),∴ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n -13(n -1)=3(n -1)2(n ≥2),∴ln a n =3n 2n -1(n ≥2),∴a n =e 3n 2n -1(n ≥2),∴a 10=e 1003.答案 e1003三、解答题9.设f (x )=log 2x -log x 4(0<x <1),数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )=2n ,求数列{a n }的通项公式.解 ∵f (x )=log 2x -log x 4(0<x <1),f (2an )=2n ,∴log 22an -log 2an 4=2n ,由换底公式得log 22an -log 24log 22an =2n ,即a n -2a n =2n ,∴a 2n -2na n -2=0,解得a n =n ±n 2+2.又0<x <1,∴0<2an <1,∴a n <0,∴a n =n -n 2+2,∴数列{a n }的通项公式是a n =n -n 2+2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,满足T n =2S n -n 2,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)当n =1时,T 1=2S 1-1,因为T 1=S 1=a 1,所以a 1=2a 1-1,所以a 1=1.(2)当n ≥2时,T n -1=2S n -1-(n -1)2,则S n =T n -T n -1=2S n -n 2-[2S n -1-(n -1)2]=2(S n -S n -1)-2n +1=2a n -2n +1,因为当n =1时,a 1=S 1=1也满足上式,所以S n =2a n -2n +1(n ≥1),①当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2(n -1)+1,②①-②,得a n =2a n -2a n -1-2,所以a n =2a n -1+2(n ≥2),所以a n +2=2·(a n -1+2),因为a 1+2=3≠0,所以数列{a n +2}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以a n +2=3×2n -1,所以a n =3×2n -1-2.能力提升11.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=13,若a n (a n -1+2a n +1)=3a n -1·a n +1(n ≥2,n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n =________.解析 由题意知a n a n -1+2a n a n +1=3a n -1a n +1,∴1a n +1+2a n -1=3a n ,∴1a n +1-1a n =2(1a n -1a n -1),即1a n +1-1a n1a n -1a n -1=2,∴数列{1an +1-1a n}是首项为2,公比为2的等比数列,∴1a n +1-1a n =2×2n -1=2n .利用累加法,得1a 1+(1a 2-1a 1)+(1a 3-1a 2)+…+(1a n -1a n -1)=1+2+22+…+2n -1,即1a n =2n -12-1=2n -1,∴a n =12n -1.答案 12n -112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,nS n +1-(n +1)S n =n (n +1)2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在正整数k ,使a k ,S 2k ,a 4k 成等比数列?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)法一 由nS n +1-(n +1)S n =n (n +1)2,得S n +1n +1-S nn =12,∴数列{S nn}是首项为S 11=1,公差为12的等差数列,∴S nn =1+12(n -1)=12(n +1),∴S n =n (n +1)2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n (n +1)2-(n -1)n2=n .而a 1=1适合上式,∴a n =n .法二 由nS n +1-(n +1)S n =n (n +1)2,得n (S n +1-S n )-S n =n (n +1)2,∴na n +1-S n =n (n +1)2.①当n ≥2时,(n -1)a n -S n -1=n (n -1)2,②①-②,得na n +1-(n -1)a n -a n =n (n +1)2-n (n -1)2,∴na n +1-na n =n ,∴a n +1-a n =1,∴数列{a n }是从第2项起的等差数列,且首项为a 2=2,公差为1,∴a n =2+(n -2)×1=n (n ≥2).而a 1=1适合上式,∴a n =n .(2)由(1),知a n =n ,S n =n (n +1)2.假设存在正整数k ,使a k ,S 2k ,a 4k 成等比数列,则S 22k =a k ·a 4k ,即[2k (2k +1)2]2=k ·4k .∵k 为正整数,∴(2k +1)2=4.得2k +1=2或2k +1=-2,解得k =12或k =-32,与k 为正整数矛盾.∴不存在正整数k ,使a k ,S 2k ,a 4k 成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,且对于任意n >1,n ∈N *,满足S n +1+S n -1=2(S n +1),则( )A.a 9=17 B.a 10=18C.S 9=81D.S 10=91解析 ∵对于任意n >1,n ∈N *,满足S n +1+S n -1=2(S n +1),∴S n +1-S n =S n -S n -1+2,∴a n +1-a n =2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列,公差为2.又a 1=1,a 2=2,则a 9=2+7×2=16,a 10=2+8×2=18,S 9=1+8×2+8×72×2=73,S 10=1+9×2+9×82×2=91.故选BD.答案 BD14.(多空题)设S n是数列{a n}的前n项和,且满足a2n+1=2a n S n,且a n>0,则S n=________,a100=________.解析 由S n是数列{a n}的前n项和,且满足a2n+1=2a n S n,则当n=1时,a21+1=2a1S1,即S21=1;当n≥2时,(S n-S n-1)2+1=2(S n-S n-1)S n,整理得S 2n-S2n-1=1.所以数列{S2n}是以1为首项,1为公差的等差数列,则S2n=n.由于a n>0,所以S n=n,故a100=S100-S99=100-99=10-311.答案 n 10-311。
第六讲-数列专题训练一
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第六讲:数列专题训练一1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+.(1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ,求函数)(n f 最小值. 3 .已知函数xab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,81)和Q (4,8)(1) 求函数)(x f 的解析式;(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。
4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15.求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式.5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数.(1)求证: {}n a 为等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线,且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15,求数列{a n }中的最小项.7 .已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立,数列1{}n n b b +-是等差数列.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)问是否存在k ∈N *,使得(0,1)k k b a -∈?请说明理由.8 .已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中(I )试求a 2,a 3的值; (II )若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列,试求λ的值.9 .已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ,(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令n nn S T 2=,①当n 为何正整数值时,1+>n n T T :②若对一切正整数n ,总有m T n ≤,求m 的取值范围。
数列专题 第1讲
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第1讲 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的□02项.2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种常见表示法,它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与□10序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.1.若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n , 则a n =⎩⎨⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.2.在数列{a n }中,若a n 最大,则⎩⎨⎧ a n ≥a n -1,a n ≥a n +1.若a n 最小,则⎩⎨⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1. 3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.1.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n -1=a n -1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.382.(2019·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a 1(4n -1)3,若a 4=32,则a 1的值为( )A.12B.14C.18D.1163.在数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=( )A.6116B.259C.2516D.31154.在数列{a n }中,若a 1=2,a n =11-a n -1(n ≥2,n ∈N *),则a 8=( )A .-1B .1 C.12 D .25.已知数列32,54,76,9m -n ,m +n 10,…,根据前3项给出的规律,实数对(m ,n )为________.6.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +1n (n +1),则数列a n =________.核心考向突破考向一 利用a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n +1,则a n =________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n =2a n +1,则S 6=________.触类旁通S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. ①利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解. ②利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解.即时训练 1.(2019·宁夏模拟)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=________.2.(2018·石家庄质检)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式.(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1) (n∈N*);(2)a1=1,a n=nn-1a n-1 (n≥2,n∈N*);(3)a1=-2,a n+1=3a n+6 (n∈N*).(4)a1=-2,a n+1=3a n+6n(n∈N*).触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n-a n-1=f(n),可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a na n-1=f(n),可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n+1=qa n+b,则a n+1+k=q(a n+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{a n+k}.(4)形如a n+1=Aa nBa n+C(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练 3.在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a na n+2(n∈N*),则14是这个数列的()A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项4.若数列{a n}满足:a1=1,a n+1=a n+2n,则数列a n=________.5.在数列{a n}中,a1=4,na n+1=(n+2)a n,则数列a n=________.考向三 数列的性质 角度1 数列的单调性例3 (2019·吉林模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-2λn (n ∈N *),若数列{a n }为递增数列,则λ取值范围为________.角度2 数列的周期性例4 在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=-1a n +1,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2018=( )A .20152B .-20152C .20172D .-20172 角度3 数列的最值例5 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n (n ∈N *),则数列{na n }中数值最小的项是( )A .第2项B .第3项C .第4项D .第5项 (2)已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ,则当a n 取得最大值时,n =________.即时训练 6.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n1-a n(n ∈N *),则a 1·a 2·a 3·…·a 2019=( )A .-6B .6C .-3D .37.已知数列{a n }满足a n =⎩⎨⎧(1-3a )·n +10a ,n ≤6,a n -7,n >6(n ∈N *),若对任意的n∈N *,均有a n >a n +1,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13,58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13,12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,58。
数列专题一
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数列一.数列通项公式求法1.观察法(已知数列前若干项)(1) 已知数列 ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式:__________(2)已知数列....,6461,3229,1613,85,41,21--此数列一个通项公式是_____________(3),,,,8888,888,888………此数列一个通项公式是_____________ (4)-1, 1, -1, 1,………此数列一个通项公式是_____________2.公式法(1)等差数列{}n a 是递增数列, 前n 项和为n S , 且931,,a a a 成等比数列, 255a S =,求数列{}n a 通项公式(2)数列{a n }满足:log 2a n +1=1+log 2a n ,若a 3=10,则a 8=________.(3)在函数y =f (x )的图象上有点列(x n ,y n ),若数列{x n }是等差数列,数列{y n }是等比数列,则函数y =f (x )的解析式可能为( )A .f (x )=2x +1B .f (x )=4x 2C .f (x )=log 3xD .f (x )=⎝⎛⎭⎫34x(4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =nS 1,且a 3b 3=21,S 5+S 3=21,求b n(5)设正项数列满足,(n ≥2).求数列的通项公式.3.n S 法, 已知)(...21n f a a a n =+++求n a 用作差⎩⎨⎧≥-==-2n 1 11n n n S S n S a注意: 用n S 法 1--=n n n S S a 的条件2≥n , 当1=n 时, 11S a =需检验(1)设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =, {}n b 为等比数列, 且a 1=b 1, b 2 (a 2-a 1)=b 1 ,求{}n a 和{}n b 的通项公式(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+2n+1,数列{b n }的前n 项和T n =2-b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式;(3)已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a n 2+n -4.求{a n }的通项公式.(4)数列{a n }中,S n 是前n 项和,若a 1=1,3S n =4S n -1,则a n =________.4. 作商法:已知)(321n f a a a a n = 求n a ,用(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩(1) 数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a ______5. 累加法: 已知)(1n f a a n n =-+, 则)2( )(...)()(112211≥+-++-+-=---n a a a a a a a a n n n n n(1)已知数列{}n a 中, 1a =1, 对2≥n 都有)1(11++=-n n a a n n , 求n a(2)已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=a n +2n ,那么a 2011的值是( )A .2008×2009B .2009×2010C .2010×2011D .2011×20126. 累乘法: 已知)(1n f a a nn =+则)2( (11)2211≥⋅⋅⋅⋅=---n a a a a a a a a n n n n n(1)已知数列{}n a 中, 1a =1,n nn a a ⋅=+21,求n a(2)已知数列{}n a 中, 1a =2, 前n 项和n S , 若n n a n S 2=, 求n a7.构造辅助数列法:(1) 形如b ka a n n +=-1, ),( 1为常数b k b ka a nn n +=-的递推关系可用待定系法转化为求公比为k 的等比数列后再求n a(1)已知11=a , 221+=-n n a a , 求n a (2) 已知11=a , nn n a a 221+=- 求n a变式(1)已知11=a , 1122+-+=n n n a a , 求n a 变式(2) 已知11=a , nn n a a 231+=- 求n a(2)形如11n n n a a ka b--=+的递推数列可以用倒数法求通项。
数列专题练习答案
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《数列专题练习》答案详解1.[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则S n =na 1+n n -12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10×92d =100, ①100a 1+100×992d =10. ②①×10-②整理得d =-1150,代入①得,a 1=1 099100,∴S 110=110a 1+110×1092d=110×1 099100+110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1150=110⎝⎛⎭⎪⎫1 099-109×11100 =-110.2.[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+12n (n -1)d .∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎨⎧7a 1+21d =715a 1+105d =75,即⎩⎨⎧a 1+3d =1a 1+7d =5,解得a 1=-2,d =1.∴S n n =a 1+12(n -1)d =-2+12(n -1), ∵S n +1n +1-S n n =12, ∴数列{S n n }是等差数列,其首项为-2,公差为12,∴T n =14n 2-94n .3.[解析] (1)设公差为d ,由已知得⎩⎨⎧a 1+2d =5a 1+9d =-9,解得⎩⎨⎧a 1=9d =-2.∴a n =a 1+(n -1)d =-2n +11.(2)由(1)知S n=na1+n n-12d=10n-n2=-(n-5)2+25,∴当n=5时,S n取得最大值.4.[解析] (1)设等差数列{a n}的首项为a,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.∴a n=2n+1,S n=n(n+2).(2)∵a n=2n+1,∴a2n-1=4n(n+1),∴b n=14n n+1=14(1n-1n+1).故T n=b1+b2+…+b n=14(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4n+1,∴数列{b n}的前n项和T n=n4n+1.5.[解析] (1)由题意得a1·5a3=(2a2+2)2,a1=10,即d2-3d-4=0.故d=1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-12n2+212n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n|=⎩⎪⎨⎪⎧-12n 2+212n , n ≤11,12n 2-212n +110, n ≥12.6.[解析] (1)由已知得S n =-n 2+4n , ∵当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-2n +5, 又当n =1时,a 1=S 1=3,符合上式. ∴a n =-2n +5.(2)由已知得b n =2n ,a n b n =(-2n +5)·2n .T n =3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n +5)×2n , 2T n =3×22+1×23+…+(-2n +7)×2n +(-2n +5)×2n +1. 两式相减得T n =-6+(23+24+…+2n +1)+(-2n +5)×2n +1 =231-2n -11-2+(-2n +5)×2n +1-6=(7-2n )·2n +1-14.7.[解析] (1)∵S 1,S 3,S 2成等差数列,2S 3=S 1+S 2, ∴q =1不满足题意. ∴2a 11-q 31-q=a 1+a 11-q 21-q,解得q =-12.(2)由(1)知q =12,又a 1-a 3=a 1-a 1q 2=34a 1=3,∴a 1=4.∴S n =4[112n]1+12=83[1-(-12)n].8.[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得d =a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n -1)d =3n (n =1,2,…). 设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得q 3=b 4-a 4b 1-a 1=20-124-3=8, 解得q =2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n -1=2n -1, 从而b n =3n +2n -1(n =1,2,…). (2)由(1)知b n =3n +2n -1(n =1,2,…).数列{3n }的前n 项和为32n (n +1),数列{2n -1}的前n 项和为1×1-2n 1-2=2n -1.所以,数列{b n }的前n 项和为32n (n +1)+2n -1.9.【答案】(1)12n n a -=;(2)314n T ≤< 试题分析:(1)利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出结果;(2)由(1)知12n n a -=,所以n n 1n+1n n n nb ==4a 422-=⋅, 利用错位相减,可得nn+1n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11nT 122=--,根据单调性即可求出结果.试题解析:解:(1)当1n =时,211112a S a =+=+=; 当2n ≥时,11()n n S a n N *++=∈11()n n S a n N *-+=∈,两式相减得,12(2)n n a a n +=≥, 又212a a =,所以{}n a 是首项为,公比为2的等比数列,所以12n n a -=. (2)由(1)知12n n a -=,所以n n 1n+1n n n nb ==4a 422-=⋅,所以n 234n+1123n T = (2222)++++, n 345n+1n+21123n 1nT = (222222)-+++++, 两式相减得,n 234n+1n+211111n T =...222222++++-2n n+2n+211(1)n 1n +222=122212--=-- 所以n n+2n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11nT 122=--132********(1)(1)022222n n n n n n n n n n n n T T +++++++++++-=---=-=>1n n T T +∴>n T ∴是递增的,又134T = 314n T ∴≤< 考点:1.数列的递推公式;2.错位相减求和.10. 【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11646n -+试题分析:(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析:(Ⅰ)当1n =时,211112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3,当2n ≥时,2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ,即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++,所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+. 考点:数列前n 项和与第n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法。
专题01 数列大题拔高练(原卷版)
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【一专三练】 专题01 数列大题拔高练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测)数列{}n a 满足11a =,1113n n a a n +=+.(1)设27n nn n b a -=,求{}n b 的最大项;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .2.(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列{}n a 满足11a =,2121n n a a +=+,2212n n a a -=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设12111n nT a a a =+++ ,求证:23n T <.3.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知数列{}n a 满足11a =,1,,,;n n na n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列nb 满足2n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .4.(2023·广东广州·统考一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且221n n n S a +=+(1)求1a ,并证明数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列:(2)若222k k a S <,求正整数k 的所有取值.5.(2023·湖南岳阳·统考二模)已知数列{}n a 的前n 项和为111,1,22n n n n S a S S ++==+(1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)设3n n n b S =,若对任意正整数n ,不等式21827n m m b -+<恒成立,求实数m 的取值范围.6.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)在数列{}n a 中,149a =,()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的前n 项和为n S ,证明:525443n nn S +<-⋅.7.(2023·山西·校联考模拟预测)在①n b =②11n n n b a a +=;③2n n n b a =,这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并解答问题.已知数列{}n a 的前n 项和23322n n S na n n =-+.(1)证明:数列{}n a 是等差数列;(2)若12a =,设___________,求数列{}n b 的前n 项和n T .8.(2023·吉林长春·校联考一模)已知等差数列{}n a 的首项11a =,记{}n a 的前n 项和为n S ,4232140S a a -+=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n a 公差1d >,令212n n nn n a c a a ++=⋅⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T .9.(2023·浙江·校联考三模)已知数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,0,n d S ≠为{}n a 的前n 项和.(1)若6336,1S S a -==,求数列{}n a 的通项公式;(2)若{}n a 中的部分项组成的数列{}n m a 是以1a 为首项,4为公比的等比数列,且214a a =,求数列{}n m 的前n 项和n T .10.(2023·山西·统考模拟预测)已知数列{}n a 是正项等比数列,且417a a -=,238a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件,求数列{}n b 的前n 项和n S .①()21n n b n a =-;②()22121log n n b n a =+.11.(2023·辽宁沈阳·统考一模)设*n ∈N ,向量()1,1AB n =- ,()1,41AC n n =-- ,n a AB AC =⋅ .(1)令1n n n b a a +=-,求证:数列{}n b 为等差数列;(2)求证:1211134n a a a ++⋅⋅⋅+<.12.(2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,222n n na S n n -=-,*N n ∈.(1)求证:数列{}n a 是等差数列;(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且21nn T =-,令2n n n a c b =,求数列{}n c 的前n 项和n R .13.(2023·山东潍坊·统考一模)已知数列{}n a 为等比数列,其前n 项和为n S ,且满足()2n n S m m R =+∈.(1)求m 的值及数列{}n a 的通项公式;(2)设2log 5n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .14.(2023·辽宁抚顺·统考模拟预测)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,n T 是等比数列{}n b 的前n 项和,且10a =,11b =,223344S T S T S T +=+=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设211nn n i c a n ==⋅∑,求数列的前n 项和n P .15.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知数列{}n a 满足()112,(1)02,N n n a n a na n n *-=-+=≥∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求2023S .16.(2023·安徽合肥·校考一模)已知数列{}n a 满足221n n n a a a ++=,13a =,23243a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若3log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求12111nS S S ++⋯+.17.(2023·辽宁葫芦岛·统考一模)设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知1239a a a ++=,2421a a ⋅=,等比数列{}n b 满足2334b b +=,234164b b b =.(1)求n S ;(2)设n n c =,求证:1234n c c c c ++++< .18.(2023·山东枣庄·统考二模)已知数列{}n a 的首项13a =,且满足2122n n n a a +++=.(1)证明:{}2n n a -为等比数列;(2)已知2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,n T 为{}n b 的前n 项和,求10T .19.(2023·山东聊城·统考一模)已知数列{}n a 满足1322a a a +=,13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数,数列{}n c 满足21n n c a -=.(1)求数列{}n c 和{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .20.(2023·江苏·二模)已知数列{}n a 满足112a =-,()1120n n n a na +++=.数列{}nb 满足11b =,1n n n b k b a +=⋅+ .(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明:当1k ≤时,1132n n n b -+≤- .21.(2023·江苏·统考一模)在数列}n a 中,若()*1123N n n a a a a a d n +-⋅⋅⋅=∈,则称数列{}n a 为“泛等差数列”,常数d 称为“泛差”.已知数列{}n a 是一个“泛等差数列”,数列{}n b 满足22212123n n n a a a a a a a b =⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅+.(1)若数列{}n a 的“泛差”1d =,且1a ,2a ,3a 成等差数列,求1a ;(2)若数列{}n a 的“泛差”1d =-,且112a =,求数列{}nb 的通项n b .22.(2023·辽宁辽阳·统考一模)某体育馆将要举办一场文艺演出,以演出舞台为中心,观众座位依次向外展开共有10排,从第2排起每排座位数比前一排多4个,且第三排共有49个座位.(1)设第n 排座位数为()1,2,,10n a n =L ,求n a 及观众座位的总个数;(2)已知距离演出舞台最远的第10排的演出门票的价格为500元/张,每往前推一排,门票单价为其后一排的1.1倍,若门票售罄,试问该场文艺演出的门票总收入为多少元?(取101.1 2.594=)23.(2023·浙江温州·统考二模)已知{}n a 是首项为1的等差数列,公差{}0,n d b >是首项为2的等比数列,4283,a b a b ==.(1)求{}{},n n a b 的通项公式;(2)若数列{}n b 的第m 项m b ,满足__________(在①②中任选一个条件),*N k ∈,则将其去掉,数列{}n b 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{}n c ,求{}n c 的前20项和20S .①4log m k b a =②31m k b a =+.24.(2023·山西太原·统考一模)已知等差数列{}n a 中,11a =,n S 为{}n a 的前n 项和,且也是等差数列.(1)求n a ;(2)设()*1n n n n S b n a a +=∈N ,求数列{}n b 的前n 项和n T .25.(2023·云南红河·统考二模)已知等差数列{}n a 的公差0d >,12a =,其前n 项和为n S ,且______.在①1a ,3a ,11a 成等比数列;333S =;③221133n n n n a a a a ++-=+这三个条件中任选一个,补充在横线上,并回答下列问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足()11nn n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.26.(2023·辽宁大连·校联考模拟预测)已知数列{}n a 的前n 项之积为()(1)22N n n n S n -*=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中,11b =,___________,求数列{}2log 2n b n a +的前n 项和n T .请从①224b b =;②358b b +=这两个条件中选择一个条件,补充在上面的问题中并作答.注:如果选择多个条件分别作答,则按照第一个解答计分.27.(2023·山东·烟台二中校联考模拟预测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且413a =,672S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且344n n T b =-.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式.(2)记()152n n n n a b c +-⋅=,若数列{}n c 的前n 项和为n Q ,数列的前n 项和为n R ,探究:n n nQ R c +是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.28.(2023·湖南常德·统考一模)已知数列{}n a 满足1224444n n n a a a n +++=L (*n ∈N ).(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=,求{}n b 的前n 项和n S .29.(2023·山东济宁·统考一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足:*111,2(N )n n a na S n n +==+∈. (1)求证:数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列;(2)设3123123333n n n a a a a a a a a T =++++ ,求n T .30.(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模)如图,已知曲线12:(0)1x C y x x =>+及曲线21:(0)3C y x x=>.从1C 上的点)n P n +∈N 作直线平行于x 轴,交曲线2C 于点n Q ,再从点n Q 作直线平行于y 轴,交曲线1C 于点1n P +,点n P 的横坐标构成数列{}1102n a a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)试求1n a +与n a 之间的关系,并证明:()21212n n a a n -+<<∈N ;(2)若113a =,求n a的通项公式.。
数列专题一参考答案
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数列专题1:数列的概念与简单表示法一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.解析:选B 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n 2n -1.2.解析:选C 当n =1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3,由于n =1时a 1的值不适合n ≥2的解析式,故通项公式为选项C .3.解析:选C 由a 1=12,a n =4a n -1+1(n ≥2)得,a 2=4a 1+1=4×12+1=3,a 3=4a 2+1=4×3+1=13,a 4=4a 3+1=4×13+1=53,a 5=4a 4+1=4×53+1=213>100.4.解析:由a n -a n -1=n 得a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n -1=n , 上面(n -1)个式子相加得a n =1+2+3+…+n =12n (n +1).又n =1时也满足此式,所以a n =12n (n +1).答案:12n (n +1)5.解析:∵S n +S n -1=2n -1(n ≥2),令n =2,得S 2+S 1=3,由S 2=3得a 1=S 1=0,令n =3,得S 3+S 2=5,所以S 3=2,则a 3=S 3-S 2=-1,所以a 1+a 3=0+(-1)=-1.答案:-1二保高考,全练题型做到高考达标1.解析:选D 令n =1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确.2.解析:选A ∵a 1=1,∴a 2=(a 1-1)2=0,a 3=(a 2-1)2=1,a 4=(a 3-1)2=0,…,可知数列{a n }是以2为周期的数列,∴a 2 017=a 1=1.3.解析:选C 当n =1时,a 1=S 1=2(a 1-1),可得a 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1,∴a n =2a n -1,∴数列{a n }为等比数列,公比为2,首项为2,所以a n =2n .4.解析:选D 由f (x )=x n +1得f ′(x )=(n +1)x n ,切线方程为y -1=(n +1)(x -1),令y =0得x n =n n +1,故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017=12×23×…×2 0172 018=12 018.5.解析:选B ∵a 1=19,a n +1-a n =-3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列, ∴a n =19+(n -1)×(-3)=22-3n .设{a n }的前k 项和数值最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0,a k +1≤0k ∈N *,∴⎩⎪⎨⎪⎧22-3k ≥0,22-3(k +1)≤0,∴193≤k ≤223,∵k ∈N *,∴k =7.∴满足条件的n 的值为7.6.解析:令n -2n 2=0.08,得2n 2-25n +50=0,即(2n -5)(n -10)=0.解得n =10或n =52(舍去).答案:107.解析:由a 1=1,a n =a 2n -1-1(n >1),得a 2=a 21-1=12-1=0,a 3=a 22-1=02-1=-1, a 4=a 23-1=(-1)2-1=0,a 5=a 24-1=02-1=-1,由此可猜想当n >1,n 为奇数时a n =-1,n为偶数时a n =0,∴a 2 017=-1,|a n +a n +1|=1.答案:-1 18.解析:依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1=1,a 2=2,a 3=4,因此a 1+a 2+a 3+…+a 12=4(a 1+a 2+a 3)=4×(1+2+4)=28.答案:289.解:(1)由S n =12a 2n +12a n (n ∈N *),可得a 1=12a 21+12a 1,解得a 1=1;S 2=a 1+a 2=12a 22+12a 2,解得a 2=2;同理,a 3=3,a 4=4. (2)S n =12a 2n +12a n ,①当n ≥2时,S n -1=12a 2n -1+12a n -1,② ①-②得(a n -a n -1-1)(a n +a n -1)=0.由于a n +a n -1≠0,所以a n -a n -1=1, 又由(1)知a 1=1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故a n =n . 10.解:(1)由n 2-5n +4<0,解得1<n <4.因为n ∈N *,所以n =2,3, 所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n =n 2-5n +4=⎝⎛⎭⎫n -522-94, 由二次函数性质,得当n =2或n =3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.(2)由a n +1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,即得k >-3.所以实数k 的取值范围为(-3,+∞).三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.解析:由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1+2+3+…+9+3=9×102+3=48项,而a 48=(-1)48×96+1=97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案:972.证明:(1)由a n +1=10a n +1,得a n +1+19=10a n +109=10⎝⎛⎭⎫a n +19,即a n +1+19a n +19=10. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +19是等比数列,其中首项为a 1+19=100,公比为10,所以a n +19=100×10n -1=10n +1,即a n =10n +1-19.(2)由(1)知b n =lg ⎝⎛⎭⎫a n +19=lg 10n +1=n +1,即1b n b n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2. 所以T n =12-13+13-14+…+1n +1-1n +2=12-1n +2<12.数列专题2:等差数列及其前n 项和一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.解析:选A 由a 4+a 8=2a 6=10,得a 6=5,所以4d =a 10-a 6=1,解得d =14,故选A .2.解析:选B 法一:∵S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9×6=54.故选B . 法二:由a 5=6,得a 1+4d =6,∴S 9=9a 1+9×82d =9(a 1+4d )=9×6=54,故选B . 3.解析:选C 3a n +1=3a n -2⇒a n +1=a n -23⇒{a n }是等差数列,则a n =473-23n .∵a k +1·a k <0,∴⎝⎛⎭⎫473-23k ⎝⎛⎭⎫453-23k <0,∴452<k <472,又∵k ∈N *,∴k =23. 4.解析:∵a 3+a 5=2a 4,∴a 4=0.∵a 1=6,a 4=a 1+3d ,∴d =-2. ∴S 6=6a 1+6×(6-1)2d =6.答案:65.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.答案:S 5二保高考,全练题型做到高考达标1.解析:选B 由题知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32.∴公差d =a 4-a 22=12.∴a 1=a 2-d =0.2.解析:选D 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2+3n -[2(n -1)2+3(n -1)]=4n +1, 当n =1时,a 1=S 1=5,符合上式,∴a n =4n +1,a p -a q =4(p -q )=20. 3.解析:选A 设{a n }的公差为d ,由题意得,S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n ,又{a n }和{S n}都是等差数列,且公差相同,∴⎩⎨⎧d =d2,a 1-d2=0,解得⎩⎨⎧d =12,a 1=14,a 6=a 1+5d =14+52=114.4.解析:选A 由题可得{a n }的公差d =3-74-2=-2,a 1=9,所以a n =-2n +11,则{a n }是递减数列,且a 5>0>a 6,a 5+a 6=0,于是S 9=2a 52·9>0,S 10=a 5+a 62·10=0,S 11=2a 62·11<0,故选A .5.解析:选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S n S 2n =k ,因为b 1=1,则n +12n (n -1)d =k ⎣⎡⎦⎤2n +12×2n (2n -1)d ,即2+(n -1)d =4k +2k (2n -1)d ,整理得(4k -1)dn +(2k -1)(2-d )=0. 因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k -1)d =0,(2k -1)(2-d )=0, 解得d =2,k =14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n -1.6.解析:因为S 100=1002(a 1+a 100)=45,所以a 1+a 100=910,a 1+a 99=a 1+a 100-d =25, 则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×25=10.答案:10 7.解析:由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.答案:⎝⎛⎭⎫-1,-78 8.解析:因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,所以a m =S m -S m -1=2,a m +1=S m +1-S m =3,数列的公差d =1,a m +a m +1=S m +1-S m -1=5, 即2a 1+2m -1=5,所以a 1=3-m .由S m =(3-m )m +m (m -1)2×1=0, 解得正整数m 的值为5.答案:59.解:(1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a , 由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2, 所以S k =ka 1+k (k -1)2·d =2k +k (k -1)2×2=k 2+k .由S k =110,得k 2+k -110=0, 解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10. (2)证明:由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1),则b n =S nn =n +1,故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2.10.解:(1)证明:由4S n =a 2n +2a n -3,4S n +1=a 2n +1+2a n +1-3, 得4a n +1=a 2n +1-a 2n +2a n +1-2a n ,即(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0.当n ≥5时,a n >0,所以a n +1-a n =2,所以当n ≥5时,{a n }成等差数列. (2)由4a 1=a 21+2a 1-3,得a 1=3或a 1=-1,又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列, 所以由(1)得a n +1+a n =0(n ≤5),q =-1,而a 5>0,所以a 1>0,从而a 1=3,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧3(-1)n -1,1≤n ≤4,2n -7,n ≥5,所以S n =⎩⎪⎨⎪⎧32[1-(-1)n ],1≤n ≤4,n 2-6n +8,n ≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.解析:a n =S 2n -1⇒a n =(2n -1)(a 1+a 2n -1)2=(2n -1)a n ⇒a 2n =(2n -1)a n ⇒a n =2n -1,n ∈N *.λa n ≤n +8n 就是λ≤(n +8)(2n -1)n ⇒λ≤2n -8n +15,f (n )=2n -8n +15在n ≥1时单调递增,其最小值为f (1)=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9.答案:92.解:(1)法一:∵数列{a n }是等差数列,∴a n =a 1+(n -1)d ,a n +1=a 1+nd . 由a n +1+a n =4n -3,得(a 1+nd )+[a 1+(n -1)d ]=4n -3,∴2dn +(2a 1-d )=4n -3,即2d =4,2a 1-d =-3,解得d =2,a 1=-12.法二:在等差数列{a n }中,由a n +1+a n =4n -3,得a n +2+a n +1=4(n +1)-3=4n +1, ∴2d =a n +2-a n =(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=4n +1-(4n -3)=4,∴d =2. 又∵a 1+a 2=2a 1+d =2a 1+2=4×1-3=1,∴a 1=-12.(2)由题意,①当n 为奇数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n -1+a n ) =2+4[2+4+…+(n -1)]-3×n -12=2n 2-3n +52.②当n 为偶数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n ) =1+9+…+(4n -7)=2n 2-3n 2. 数列专题3:等比数列及其前n 项和一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.解析:选D 由等比数列的性质得,a 3·a 9=a 26≠0,因此a 3,a 6,a 9一定成等比数列,选D .2.解析:选C 设{a n }的公比为q ,则2a 2=a 4-a 3,又a 1=1,∴2q =q 3-q 2,解得q =2或q =-1,∵a n >0,∴q >0,∴q =2,∴S 7=1-271-2=127.3.解析:选A 依题意,a n +1=S n +1-S n =2a n +1-4-(2a n -4),则a n +1=2a n ,令n =1,则S 1=2a 1-4,即a 1=4,∴数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,∴a n =4×2n -1=2n +1,故选A .4.解析:由题意得,a 2·a 4=a 1·a 5=16,∴a 2=2,∴q 2=a 4a 2=4,∴a 6=a 4q 2=32.答案:325.解析:∵a 5-a 1=15,a 4-a 2=6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4-a 1=15,a 1q 3-a 1q =6(q ≠1)两式相除得(q 2+1)(q 2-1)q ·(q 2-1)=156,即2q 2-5q +2=0,∴q =2或q =12, 当q =2时,a 1=1;当q =12时,a 1=-16(舍去).∴a 3=1×22=4.答案:4二保高考,全练题型做到高考达标1.解析:选C a 7(a 1+2a 3)+a 3a 9=a 7a 1+2a 7a 3+a 3a 9=a 24+2a 4a 6+a 26=(a 4+a 6)2=102=100.2.解析:选A 因为a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,且S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即8,-1,S 9-S 6成等比数列,所以8(S 9-S 6)=1,即S 9-S 6=18.所以a 7+a 8+a 9=18.3.解析:选A ∵log 3a n +1=log 3a n +1,∴a n +1=3a n .∴数列{a n }是以公比q =3的等比数列. ∵a 5+a 7+a 9=q 3(a 2+a 4+a 6),∴log 13(a 5+a 7+a 9)=log 13(9×33)=log 1335=-5.4.解析:选B 设该女子第一天织布x 尺,则x (1-25)1-2=5,得x =531,∴前n 天所织布的尺数为531(2n -1).由531(2n -1)≥30,得2n ≥187,则n 的最小值为8. 5.解析:选B 设公比为q ,若q =1,则S 2m S m =2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2mS m =a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q =q m +1=9,∴q m =8.∴a 2m a m=a 1q2m -1a 1q m -1=q m =8=5m +1m -1,∴m =3,∴q 3=8,∴q =2.6.解析:因为3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以4S 2=3S 1+S 3,即4(a 1+a 2)=3a 1+a 1+a 2+a 3.化简,得a 3a 2=3,即等比数列{a n }的公比q =3,故a n =1×3n -1=3n -1.答案:3n -17.解析:依题意得S 2n +3=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2n +2+a 2n +3)=1+14+116+…+14n +1=1-14n +21-14=43⎝⎛⎭⎫1-14n +2.答案:43⎝⎛⎭⎫1-14n +2 8.解析:由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016=a 2 016,故a 1a 2a 3·…·a 2 015=1,由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1>1,所以a 1 008=1,公比0<q <1,所以a 1 007>1且0<a 1 009<1,故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008. 答案:1 007或1 0089.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+7d ), 解得d =1或d =0(舍去),∴a n =1+(n -1)=n .(2)由(1)得a n =n ,∴b n =2n,∴b n +1b n=2,∴{b n }是首项为2,公比为2的等比数列,∴T n =2(1-2n)1-2=2n +1-2. 10.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,由728≠2×26得,S 6≠2S 3,∴q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3=a 1(1-q 3)1-q=26,S 6=a 1(1-q 6)1-q=728,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =3.∴a n =2×3n -1.(2)证明:由(1)可得S n =2×(1-3n )1-3=3n -1.∴S n +1=3n +1-1,S n +2=3n +2-1.∴S 2n +1-S n S n +2=(3n +1-1)2-(3n -1)(3n +2-1)=4×3n . 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.解析:选D ∵A i =a i a i +1,若{A n }为等比数列,则A n +1A n =a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n 为常数,即A 2A 1=a 3a 1,A 3A 2=a 4a 2,….∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…成等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q ,则A n +1A n =a n +2a n=q ,从而{A n }为等比数列.2.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2), ∴a n +1+2a n =3a n +6a n -1=3(a n +2a n -1)(n ≥2). ∵a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15, ∴a n +2a n -1≠0(n ≥2),∴a n +1+2a na n +2a n -1=3(n ≥2),∴数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得a n +1+2a n =15×3n -1=5×3n ,则a n +1=-2a n +5×3n ,∴a n +1-3n +1=-2(a n -3n ).又∵a 1-3=2,∴a n -3n ≠0,∴{a n -3n }是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴a n -3n =2×(-2)n -1,即a n =2×(-2)n -1+3n .。
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(完整)高考数列大题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考中的数列—最后一讲(内部资料勿外传)1.已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;(2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k;(3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式.2.设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n.3.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为S n,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n;(Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小.4.已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10(I)求数列{a n}的通项公式;(II)求数列{}的前n项和.5.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(I)求数列{b n}的通项公式;(II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列.6.在数1 和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n,n≥1.(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=tana n?tana n+1,求数列{b n}的前n项和S n.7.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(Ⅰ)若S 5=5,求S 6及a 1;(Ⅱ)求d 的取值范围.8.已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为﹣4.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =(4﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=2,且对任意m 、n ∈N *都有a 2m ﹣1+a 2n ﹣1=2a m+n ﹣1+2(m ﹣n )2(1)求a 3,a 5;(2)设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1(n ∈N *),证明:{b n }是等差数列;(3)设c n =(a n+1﹣a n )q n ﹣1(q ≠0,n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和S n .10.已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n .11.已知数列{a n }满足,,n ∈N ×.(1)令b n =a n+1﹣a n ,证明:{b n }是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n ,S n ),均在函数y=b x +r (b >0)且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上.(1)求r 的值;(2)当b=2时,记b n =n ∈N *求数列{b n }的前n 项和T n .13.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .14.已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a2a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.15.设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q(n∈N*,P>0).数列{b n}定义如下:对于正整数m,b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若,求b3;(Ⅱ)若p=2,q=﹣1,求数列{b m}的前2m项和公式;16.已知数列{x n}的首项x1=3,通项x n=2n p+np(n∈N*,p,q为常数),且成等差数列.求:(Ⅰ)p,q的值;(Ⅱ)数列{x n}前n项和S n的公式.17.设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n,(Ⅰ)求a1,a4(Ⅱ)证明:{a n+1﹣2a n}是等比数列;(Ⅲ)求{a n}的通项公式.18.在数列{a n}中,a1=1,.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)令,求数列{b n}的前n项和S n;(Ⅲ)求数列{a n}的前n项和T n.19.已知数列{a n}的首项,,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明:数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.20.在数列{}n a 中,10a =,且对任意*k N ∈k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等差数列,其公差为k d 。
数列专题(精品)
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数列专题一、数列知识的梳理1.等差数列的通项公式和前n 项和公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,那么它的通项公式是:)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=如果等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,那么它的前n 项和公式是:n da n d d n n na n a a S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2.等差数列的性质(1)通项公式的推广:),()(*N m n d m n a a m n ∈-+=.(2)若{}n a 为等差数列,且),,,(*N n m l k nm l k ∈+=+,则n m l k a a a a +=+.(3)若{}n a 是等差数列,公差为d ,则{}n a 2也是等差数列,公差为d 2. (4)若{}n a ,{}n b 是等差数列,则{}n n qb pa +也是等差数列. (5)若{}n a 是等差数列,公差为d ,则),(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++ ,是公差为md 的等差数列.(6)数列 ,,,232m m m m m S S S --构成等差数列.3.等比数列的通项公式和前n 项和公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,那么它的通项公式是:)0(11≠⋅=-q q a a n n如果等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,那么它的前n 项和公式是:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==.111)1(;1111q q qa a qq a q na S n n n4.等比数列的性质(1)通项公式的推广:),(*N m n qa a mn m n ∈⋅=-.(2)若{}n a 为等比数列,且),,,(*N n m l k nm l k ∈+=+,则n m l k a a a a ⋅=⋅.(3)若{}n a ,{}n b (项数相同)是等比数列,则{}{}{}}{,,},1{),0(2nn nn n n b a b a a a a n ⋅≠λλ仍是等比数列.(4)公比不为-1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 ,,,232n n n n n S S S --仍成等比数列,其公比为nq .(5)若{}n a 是公比不为1的等比数列,)1,0,0,0(≠≠≠=++=⇔q q A B A B Aq S n n 且.二、数列通项的几种求法 1.累加法:数列的基本形式为:)()(*1N n n f a a n n ∈=-+.等式左边)()()()()(11223211a a a a a a a a a a n n n n n -=-+-++-+-=--- 等式左边)1()2()2()1(f f n f n f +++-+-= 所以:1)1()2()2()1(a f f n f n f a n ++++-+-= .例1 已知{}n a 的首项)(,2,1*11N n n a a a n n ∈+==+,求{}n a 的通项公式.2.累乘法:数列的基本形式为:)()(*1N n n f a a nn ∈=+. 等式左边11223211a a a a a a a a a a n n n n n =+⋅⋅⋅=--- 等式左边)1()2()2()1(f f n f n f ⋅⋅⋅-⋅-= 所以:1)]1()2()2()1([a f f n f n f a n ⋅⋅⋅⋅-⋅-= . 例2 已知{}n a 的首项)(,2,2*11N n a n na a n n ∈+==+,求{}n a 的通项公式.2.公式法:若n S 为数列{}n a 的前n 项和,即:n n a a a a S ++++= 321,则⎩⎨⎧≥-==-.2;111n S S n S a n nn例3 数列{}n a 中,n S 是前n 项和,若)2(,31,211≥==+n S a a n n ,求{}n a 的通项公式.4.待定系数法:数列{}n a 有形如)1(1≠+=+k b ka a n n 的关系时,可用待定系数法求得{}t a n +为等比数列,进而求得n a .即:)(1t a k t a n n +=++展开可得:t k ka a n n )1(1-+=+,其中1-=k b t .例4 已知数列{}n a 满足关系,231+=+n n a a 且11=a ,求{}n a 的通项公式.5.倒数法:数列{}n a 有形如n n n a k a a =++)(1的关系时,可先用倒数法,再用待定系数法求n a . 即:n n n n a ka a a =+⋅++11 两边同时除以n n a a ⋅+1,可得:111+=+n n a a k 将na 1看成一个整体运用待定系数法,从而得出n a .例5已知数列{}na满足关系,31+=+nnn aaa且)(2*1Nna∈=,求{}n a的通项公式.课堂练习:1.已知等差数列{}na中,51,28610==Sa,求数列{}n a的通项公式.2.已知数列{}na满足,12,111++==+naaann,求数列{}na的通项公式.3.已知数列{}na满足,nnnaaa2,111==+,求数列{}na的通项公式.4.已知数列{}na的前n项和nS满足,2)1(41+=nnaS且0>na,求数列{}n a的通项公式.5.已知数列{}na满足,12,111+==+nnaaa,求数列{}n a的通项公式.6.已知数列{}na满足,22,111+==+nnn aaaa,求数列{}na的通项公式.三、数列前n 项和的求法: 1.裂项相消法:一般地,若是公差为d 的等差数列,则有:)11()1(114321321321nn n a a ·a ·a a a ·a ·a d n a a ·a ·a --=-特殊的裂项公式: (1)111)1(1+-=+=n n n n a n ;(2))121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n ;(3)n n n n a n -+=++=111.例6 已知数列{}n a 是递增的等比数列,且8,93241=⋅=+a a a a .⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11++=n n n n S S a b 求数列{}n b 的前前n 项和n T .例7 已知数列{}n a 满足)(1,1*11N n n a a a n n ∈+=-=+,求数列}1{na 的前10项和.2.错位相减法:一般地,若数列{}n a 是公差为d 的等差数列,数列{}n b 是公比为q 的等比数列,若n n n b a c ⋅=,则数列{}n c 的前n 项和n S :n n n b a b a b a b a b a S +++++= 44332211…………………………① 154433221++++++=n n n b a b a b a b a b a qS ………………………②①—②得:143211)()1(+-+++++=-n n n n b a b b b b d b a S q若1≠q 时,212111)1(1q b b d q b a b a S n n n n --⋅+--=++若1=q 时,2)(11na ab S n n ⋅+⋅=.例8 已知数列{}n a 满足n n a na a ⋅+==+211112,2)(.⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵令n n n a a b 211-=+,求数列{}n b 的前n 项和n S .课堂练习:1. 已知等比数列{}n a 中,16,241==a a .⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵令*122log log 1N n a a b n n n ∈⋅=+,求数列{}n b 的前n 项和n S .2. 已知等比数列{}n a 中,*11),1()1(,1N n n n a n na a n n ∈+++==+.⑴证明:求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列; ⑵设n nn a b ⋅=3,求数列{}n b 的前n 项和n S .四、等差、等比数列的综合应用例9 已知数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ,且数列{})*1N n a a n n ∈-+(是等差数列,{}2-n b 是等比数列,求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.五、课堂小结: 1.数列知识梳理: ①等差数列;②等比数列的通项公式; ③前n 项和公式及性质; 2.数列通项的求法: ①累加法; ②累乘法; ③公式法; ④待定系数法; ⑤倒数法.3.数列前n 项和的求法: ①裂项相消法; ②错位相减法。
高考数列必刷典型题(讲解)
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1-qn 1-q
=a11--aqnq(q≠1),Sn=na1(q=1).
■高考考法示例·
【例 1】 (1)(2018·唐山市期末)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S5=10,S8=40,
则{an}的公差为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3,S9,S6成等差数列,且 a8=3,则 a5 的值为________.
所以 a1-a3=a1(1-q2)>0,a2-a4=a1q(1-q2)<0, 所以 a1>a3,a2<a4. 故选 B.]
[方法归纳] 等差、等比数列性质问题的求解策略
1.解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的
性质进行求解.
2.运用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,
(2) a3+a15 2 b3+b9
+ a3 = b2+b10 2
2a9 b1+b11
11 + a3 = a9+a3 =a1+a11=
b1+b11 b1+b11 b1+b11 11
a1+a11 2
b1+b11 2
=S11= T11
2×11-3 19 = ,故选 A.
4×11-3 41
(3)数列{an}为等差数列,若aa76<-1,则a7+a6 a6<0,可得 d<0.∴a6>0,a7+a6<0,a7<0, ∴a1+a11=2a6>0,S11>0,a1+a12=a7+a6<0,S12<0,则当 Sn>0 时,n 的最大值为 11.故选 A.]
k1 k2 k3
k4
=64a1,
又 a =a1+(k4-1)·d=a1+(k4-1)·(3a1),
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数列专题(Ⅰ)
------数列概念、等差、等比数列
一:重要、易错知识点归纳
1.理解数列的概念、通项公式、递推公式、前n 项和,从函数角度理解数列的定义域。
数列单调性、周期性 的表述和判断与函数有什么不同?
2.请写出等差、等比数列的相关性质(注意类比记忆):
二:常用方法归纳
1.等差、等比数列的判断方法有哪些?
2.运用等差、等比数列前n 项和公式时应注意什么?
3.等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式各自是用什么方法推导出来的?(这些方法可以类比到同类型 的数列求通项和求和中来)
4.运用与前n 项和n S 相关的递推式求通项时要注意什么?
三:典型例题
1.设21 (312111)
1)(n
n n n n n f ++++++++=
,则=)2(f , )(n f 共有 项 2.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列,则x 的值为 3. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是
4.在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,
4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13
为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,判断这个三角形的形状
5.一套由宝石串联制成的工艺品,如图所示.若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗;第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示)
6.已知数列{}n a 对任意的*
p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a = 7已知等差数列n a n 的前}{项和为
m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-=
二轮专题复习讲义
8.等差数列{}n a 中,11=a ,公差0>d ,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n c 对任意自然数均有12211...+=+++n n n a b c b c b c 成立,求数列{}n nc 的前n 项和.
9.数列{}n a ,{}n b 满足611==b a ,422==b a ,333==b a 且数列{}n n a a -+1是等差数列,数列{}
2-n b 是等比数列.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)是否存在*∈N k ,使∈-k k b a (0,21)?若存在,求出k ;若不存在,说明理由.
10.已知: 3,2,1,)1()1(,)(221=⋅-=-+++=n n f x a x a x a x f n n n n n
(1)求
;,,321a a a (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)求证:1)3
1(<n f。