实验11 函数递归
递归算法及经典例题详解
递归算法及经典例题详解
1.什么是递归
递归简单来说就是在运行过程中不断调用自己，直到碰到终止条件，返回结果的过程。
递归可以看作两个过程，分别是递和归。
递就是原问题把要计算的结果传给子问题；归则是子问题求出结果后，把结果层层返回原问题的过程。
下面设一个需要经过三次递归的问题，为大家详细看一下递归的过程：当然，现实中我们遇到递归问题是不会按照图中一样一步一步想下来，主要还是要掌握递归的思想，找到每个问题中的规律。
2.什么时候使用递归
递归算法无外乎就是以下三点：1.大问题可以拆分为若干小问题2.原问题与子问题除数据规模不同，求解思路完全相同3.存在递归终止条件
而在实际面对递归问题时，我们还需要考虑第四点：
当不满足终止条件时，要如何缩小函数值并让其进入
下一层循环中
3.递归的实际运用（阶层计算）
了解了大概的思路，现在就要开始实战了。
下面我们来看一道经典例题：
求N的阶层。
首先按照思路分析是否可以使用递归算法：
1.N！可以拆分为（N-1）！*N
2.（N-1）！与N！只有数字规模不同，求解思路相同
3.当N=1时，结果为1，递归终止
满足条件，可以递归：
publicstaticintFactorial(int num){if(num==1){return num;}return num*Factorial(num-1);}
而最后的return，便是第四步，缩小参数num的值，让递归进入下一层。
一般来说，第四步往往是最难的，需要弄清该如何缩
小范围，如何操作返回的数值，这一步只能通过不断
地练习提高了（当然如果你知道问题的数学规律也是
可以试出来的）。
递归函数的程序结构
递归函数的程序结构一、引言递归函数是一种非常重要的算法工具，它在许多编程问题中发挥着关键作用。
递归函数能够将复杂问题分解为更小的子问题，并逐个解决，最终完成整个问题的求解。
本文将详细介绍递归函数的程序结构，包括其基本概念、特点、实现方式以及在编程中的应用。
二、递归函数的基本概念递归函数是指一个函数直接或间接地调用自身来解决问题的方法。
在编程中，递归函数通常用于处理分治策略，即将一个大问题分解为若干个小问题，每个小问题又可能进一步分解，直到问题规模足够小或得以解决。
递归函数的输入参数可以是常数或变量，而输出则是解决问题的结果。
三、递归函数的特点1. 分治思想：递归函数利用分治策略将大问题分解为更小的子问题，通过逐个解决子问题来求解原问题。
2. 自我调用：递归函数的核心在于自我调用，即函数自身调用自身来处理更小的子问题。
3. 边界条件：递归函数的边界条件是指当问题规模足够小时停止递归，通常表示问题已得到完全解决。
4. 递归树：在递归过程中，函数调用顺序形成了一棵递归树，可以帮助我们理解问题的分解过程。
四、递归函数的实现方式1. 显式递归：在代码中明确写出递归调用的语句，适用于简单的问题。
2. 隐式递归：通过返回值或中间结果来实现递归，适用于复杂的问题。
3. 尾递归优化：在某些情况下，可以将递归转化为列表或其他数据结构的遍历，以减少内存占用和提高效率。
五、递归函数的应用递归函数在编程中应用广泛，例如排序算法（如快速排序、堆排序）、分治算法（如动态规划）、搜索算法（如二分搜索）等。
通过使用递归函数，我们可以将复杂问题分解为更小的子问题，逐个解决，最终得到问题的解。
此外，递归函数还可以用于处理树形结构、表达式求值、图遍历等问题。
六、程序示例以下是一个简单的递归函数示例，用于计算一个整数的阶乘：```pythondef factorial(n):if n == 0: # 边界条件return 1else:return n * factorial(n-1) # 自我调用```七、总结递归函数是一种非常重要的算法工具，它能够将复杂问题分解为更小的子问题，并通过逐个解决子问题来求解原问题。
实验11 函数递归
实验11 函数递归一．实验目的1．掌握函数的嵌套调用方法。
2．掌握函数的递归调用方法。
二．实验要求1．实验前复习函数的定义以及函数的嵌套、递归调用方式。
2．能够用程序流程图描述实验题目的算法。
3．能够独立调试运行实验题目。
4．本实验要求2学时完成。
三．实验内容和步骤题目1：编写两个函数，分别求两个正整数的最大公约数和最小公倍数，用主函数调用这两个函数并输出结果，两个正整数由键盘输入。
有好多方法解决最大公约数问题，如：辗转相除法、递归等。
本题是用辗转相除法，很容易理解，关键是解题的思路：输入两个正整数m和n，求其最大公约数a和最小公倍数b，计算最大公约数a的方法如下：先算出m/n的余数r,若r等于0，则n为最大公约数；若r 不为0，则把原来的n值作为新的m值，把原来的r值作为新的n值，继续运算。
这样辗转相除，直到r为0，此时的n值为最大公约数a,最小公倍数则可用原始m与n值的积除以最大公约数求得。
要求：程序填空并测试运行结果。
01#include <stdio.h>02#include <conio.h>0304int largedivisor(int m,int n)05{06int r;07if(m<n)08{09m=m+n;10n=m-n;11m=m-n;12}13while(n!=0)14{15r= 【1】;17n=r;18}19return m;20}2122int smallmultiple(int m,int n)23{24return m*n/ largedivisor(m,n);25}2627main( )28{29int largedivisor(int m,int n);30int smallmultiple(int m,int n);31int m,n;32printf("\nInput 2 positive integer:\n");33scanf("%d%d", 【2】);3435printf("The largest divisor is : %d\n", 【3】); /*输出最大公约数*/36printf("The smallest common multiple is:%d\n",【4】);/*输出最小公倍数*/ 3738getch();39}题目2：编一递归函数求n!。
递归实验报告心得
递归实验报告心得递归实验报告心得在进行递归实验的过程中，我深刻体会到了递归算法的独特魅力和应用价值。
递归算法是一种通过调用自身来解决问题的方法，它能够将复杂的问题简化为基本情况的解决方案。
通过实验，我进一步理解了递归算法的原理，并学会了如何正确地设计和实现递归函数。
首先，我学习了递归算法的基本思想。
递归算法的核心思想是将大问题分解为相同的小问题，并通过调用自身来解决这些小问题。
在编写递归函数时，我们需要明确两个重要的要素：递归终止条件和递归调用。
递归终止条件是指在什么情况下停止递归，而递归调用则是指在解决小问题后如何调用自身来解决大问题。
正确地确定这两个要素非常关键，它们直接影响到递归函数的正确性和效率。
其次，我学习了递归算法的应用场景。
递归算法在解决一些具有重复性质的问题时非常有效。
例如，在计算斐波那契数列、阶乘等数学问题时，递归算法可以提供简洁、直观的解决方案。
此外，递归算法还可以用于树和图的遍历、排列组合等问题的求解。
通过实验，我发现递归算法在这些场景下能够提供清晰、简洁的代码实现，并且具有较高的可读性和可维护性。
然而，递归算法也存在一些潜在的问题和注意事项。
首先，递归算法的效率较低。
由于递归函数的调用过程需要频繁地压栈和出栈，所以递归算法的时间和空间复杂度较高。
在处理大规模问题时，递归算法可能会导致栈溢出等问题。
其次，递归算法的正确性需要保证递归终止条件的准确性和递归调用的合理性。
如果递归终止条件不准确或递归调用不合理，就可能导致无限递归或错误的结果。
为了克服递归算法的缺点，我们可以采取一些优化措施。
首先，可以尽量减少递归调用的次数，避免不必要的重复计算。
可以通过使用缓存、剪枝等技巧来提高递归算法的效率。
其次，可以考虑使用迭代算法来替代递归算法。
迭代算法通常具有更高的效率和更低的空间复杂度，但可能会牺牲一部分代码的可读性和可维护性。
通过这次递归实验，我不仅学会了递归算法的基本原理和应用技巧，还深刻体会到了递归算法在解决问题中的重要作用。
递归函数python经典例子
递归函数python经典例子递归函数是一种在函数内部调用自身的方法。
它是编程中常见的一种技巧，用于解决需要重复执行相同或相似任务的问题。
在本文中，我们将介绍十个经典的递归函数例子，并详细解释每个例子的实现原理和使用场景。
1. 阶乘函数阶乘函数是递归函数的经典例子之一。
它用于计算一个非负整数的阶乘，表示为n!。
阶乘的定义是从1到n的所有正整数的乘积。
阶乘函数的递归实现如下：```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```这个函数首先检查输入的参数n是否为0。
如果是0，则返回1（因为0的阶乘定义为1）。
否则，函数将调用自身来计算n的阶乘，并将结果乘以n。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归问题。
它是一个无限数列，其中每个数字是前两个数字的和。
斐波那契数列的递归实现如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```这个函数首先检查输入的参数n是否小于等于1。
如果是，则返回n（斐波那契数列的前两个数字是0和1）。
否则，函数将调用自身来计算n-1和n-2的斐波那契数，并将结果相加。
3. 二叉树遍历二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
二叉树遍历是一种递归问题，它可以按照不同的顺序访问二叉树的节点。
以下是二叉树的中序遍历的递归实现：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef inorderTraversal(root):result = []if root:result += inorderTraversal(root.left)result.append(root.val)result += inorderTraversal(root.right)return result```这个函数首先检查输入的参数root是否为空。
函数的递归
函数的递归函数的递归是一种重要的编程技术，它可以帮助我们解决很多复杂的问题。
在本篇文档中，我将介绍什么是函数的递归，为什么使用递归，如何使用递归以及递归的一些注意事项。
什么是函数的递归？在编程中，函数的递归是指一个函数调用自己的过程。
换句话说，递归是指将问题分解成较小的、更易解决的子问题，并且通过递归调用函数来解决这些子问题，最终将所有子问题组合在一起得到问题的解。
为什么使用递归？递归的一个优点是它可以让我们解决一些非常复杂的问题。
在递归中，我们可以将一个复杂的问题转化成一系列相对简单的问题，而这些简单问题又可以通过递归进行解决。
递归也可以使代码更加简洁和整洁。
当我们使用递归时，代码中通常会出现相同的模式，而这些模式可以被归纳为递归函数。
这减少了代码的复杂性，并使代码更易于维护。
如何使用递归？当我们使用递归时，我们需要考虑以下几个方面：1. 定义递归基递归基是指问题的最小规模的子问题。
例如，如果我们要计算一个数字的阶乘，那么递归基就是当数字为 1 时，阶乘就是 1。
在递归函数中，我们需要考虑什么时候到达递归基的情况，以及如何处理这种情况。
2. 缩小问题的规模在递归函数中，我们需要将问题分解成较小的子问题。
例如，如果我们要计算一个数字的阶乘，我们可以将问题分解成计算该数字减 1 的阶乘的问题。
3. 组合解在递归函数中，我们需要将子问题的解组合在一起得到问题的解。
例如，如果我们要计算一个数字的阶乘，我们可以将数字乘以计算出的一个较小数字的阶乘。
下面是一个计算阶乘的递归函数的示例：``` def factorial(n): if n == 1: # 递归基return 1 else: return n * factorial(n - 1) # 缩小问题的规模和组合解 ```在这个函数中，当 n 为 1 时，我们已经到达了递归基。
否则，我们将问题缩小到计算 n - 1 的阶乘，并将 n 与 n - 1 的阶乘相乘来组合解。
函数递归实验报告
一、实验目的1. 理解递归函数的概念和基本原理；2. 掌握递归函数的设计方法；3. 通过实验加深对递归函数在实际问题中的应用理解。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 10；2. 编程语言：C语言；3. 开发环境：Visual Studio 2019。
三、实验内容1. 设计一个递归函数，计算斐波那契数列的第n项；2. 设计一个递归函数，判断一个整数是否为素数；3. 设计一个递归函数，计算n的阶乘；4. 分析递归函数的性能，并讨论递归算法的优缺点。
四、实验步骤1. 设计斐波那契数列的递归函数斐波那契数列的定义如下：F(1) = 1, F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)下面是斐波那契数列的递归函数实现：```cint fibonacci(int n) {if (n <= 0) {return 0;} else if (n == 1 || n == 2) {return 1;} else {return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); }}```2. 设计素数的递归函数判断一个整数是否为素数的递归函数实现如下：```cint is_prime(int n) {if (n <= 1) {return 0;} else if (n == 2) {return 1;} else {return is_prime(n - 1) && n % (n - 1) != 0; }}```3. 设计阶乘的递归函数计算n的阶乘的递归函数实现如下：```cint factorial(int n) {if (n <= 1) {return 1;} else {return n factorial(n - 1);}}```4. 分析递归函数的性能递归函数的性能分析如下：（1）斐波那契数列的递归函数存在大量重复计算，时间复杂度为O(2^n)，效率较低；（2）素数的递归函数也存在重复计算，时间复杂度为O(n)，相对较高；（3）阶乘的递归函数同样存在重复计算，时间复杂度为O(n)，相对较高。
递归函数实验报告心得
一、实验背景在本次实验中，我们学习了递归函数的概念、原理以及应用。
递归函数是一种在函数内部调用自身的方法，它能够解决许多复杂的问题，具有简洁、直观的特点。
通过本次实验，我对递归函数有了更深入的了解，以下是我对实验的心得体会。
二、实验内容1. 实验目的通过本次实验，掌握递归函数的定义、原理和应用，能够运用递归函数解决实际问题。
2. 实验原理递归函数是一种在函数内部调用自身的方法，其特点是函数自身作为子问题解决者。
递归函数由两部分组成：递归基准和递归步骤。
（1）递归基准：当问题规模足够小，可以直接求解时，递归基准给出了问题的直接解。
（2）递归步骤：将原问题转化为一个规模较小的子问题，然后递归调用自身来求解。
3. 实验内容本次实验主要涉及以下几个递归函数的编写和测试：（1）计算阶乘（2）打印整数各位数（3）计算斐波那契数列（4）逆序输出字符串（5）汉诺塔问题三、实验过程及心得1. 阶乘函数在编写阶乘函数时，我首先确定了递归基准，即当n=1时，阶乘为1。
然后根据递归步骤，将原问题转化为计算n-1的阶乘，并将结果乘以n。
通过不断递归调用自身，最终得到n的阶乘。
心得：在编写递归函数时，要注意递归基准和递归步骤的确定，确保函数能够正确收敛。
2. 打印整数各位数该函数通过不断取余和整除操作，将整数拆分为各个位数，并逆序打印。
心得：在编写递归函数时，要注意处理好输入参数和返回值，确保函数逻辑正确。
3. 计算斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归问题，通过递归调用自身，可以得到数列的任意项。
心得：在编写递归函数时，要注意优化递归过程，避免重复计算。
4. 逆序输出字符串该函数通过递归调用自身，将字符串的第一个字符输出，然后对剩余的字符串进行递归处理。
心得：在编写递归函数时，要注意处理边界条件，确保函数能够正确执行。
5. 汉诺塔问题汉诺塔问题是一个经典的递归问题，通过递归调用自身，将n-1个盘子移动到目标位置，然后将剩余的盘子移动到目标位置。
python 函数递归
python 函数递归Python函数递归在Python中，函数递归是一种常见的编程技巧。
递归是指函数调用自身的过程，它可以解决一些复杂问题，也可以使代码更加简洁。
本文将介绍Python函数递归的基本概念、实现方法以及注意事项。
1. 什么是函数递归？函数递归是指函数在执行过程中调用自身的过程。
在递归过程中，函数会不断地调用自身，直到满足某个条件才停止。
递归函数通常包含两部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指递归过程中满足某个条件时，函数不再调用自身，而是返回一个结果。
递归情况是指函数在递归过程中继续调用自身，直到满足基本情况。
2. 如何实现函数递归？实现函数递归的关键是要理解递归的基本原理。
在Python中，我们可以通过以下方式实现递归函数：def recursive_function(parameters):if base_case(parameters): # 基本情况return base_case_valueelse: # 递归情况new_parameters = modify_parameters(parameters)return recursive_function(new_parameters)在递归函数中，我们首先判断当前参数是否满足基本情况，如果满足则返回基本情况的结果，否则继续调用递归函数，直到满足基本情况为止。
需要注意的是，在函数递归的过程中，每次调用函数都会在内存中创建一个新的函数栈，如果递归深度过大，可能会导致栈溢出的问题。
3. 函数递归的应用函数递归在编程中有很多应用。
以下是一些常见的应用：(1) 阶乘函数阶乘函数是指n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
可以使用递归函数来实现阶乘的计算：def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)(2) 斐波那契数列斐波那契数列是指第n个数等于前两个数的和，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
《第11课 简单的递归》教学设计教学反思
《简单的递归》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握递归的观点和基本应用；2. 学会应用递归来解决问题；3. 培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解递归的基本观点和应用；2. 教学难点：运用递归解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学PPT，包括递归的基本观点、应用案例和练习题；2. 准备相关软件和工具，以便学生实践操作；3. 准备学生用电脑和网络环境，确保教学顺利进行。
四、教学过程：1. 导入新课：教师通过一个简单的递归问题（如斐波那契数列）引出递归的观点，激发学生的兴趣。
2. 讲解递归原理：教师详细介绍递归的定义、特点和应用，让学生了解递归在计算机科学中的重要塞位。
3. 递归函数设计：教师引导学生设计递归函数，如计算阶乘、求最大值等，让学生逐步掌握递归函数的设计方法。
4. 示例演示：教师展示一个完备的递归程序，让学生观察程序的运行过程，加深对递归的理解。
5. 学生实践：学生根据教师提供的素材和要求，自己编写递归程序。
教师进行个别指导，帮助学生解决编程过程中遇到的问题。
6. 小组讨论：学生分组讨论，分享自己在实践中的经验和收获，共同解决遇到的难题。
7. 效果展示：各小组展示自己的作品，并阐述设计思路和实现过程。
教师和其他同砚进行评判，提出改进意见。
8. 教室小结：教师对本节课的内容进行总结，强调递归的重要性和应用，鼓励学生继续探索信息技术领域的奥秘。
9. 安置作业：学生根据本节课所学知识，自行设计一个简单的递归问题，并尝试解决。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标：1. 知识与技能：理解递归的基本观点，掌握简单的递归算法，能够应用递归解决实际问题。
2. 过程与方法：通过实践操作，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对于信息技术学科的兴趣，培养其探索和创新精神。
二、教学重难点：1. 教学重点：让学生理解递归的基本观点，掌握简单的递归算法。
函数递归法求解
函数递归法求解一、课程目标知识目标：1. 理解函数递归的基本概念，掌握递归函数的定义和特点。
2. 学会运用递归法解决特定数学问题，如计算斐波那契数列、求解阶乘等。
3. 能够分析递归算法的时间复杂度和空间复杂度，理解递归算法的性能。
技能目标：1. 培养学生运用递归思想解决问题的能力，提高编程技巧。
2. 能够熟练编写递归函数，并通过实例进行验证。
3. 学会使用递归树、递归方程等方法分析递归算法的正确性和效率。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对函数递归的兴趣和好奇心，激发探究精神。
2. 培养学生团队协作意识，学会在合作中分享、交流、互助。
3. 培养学生面对复杂问题时，具有勇于挑战、积极进取的态度。
课程性质：本课程为计算机科学、数学等相关专业的高年级学生设计，旨在通过函数递归法求解实际问题，提高学生的编程能力、算法分析能力和问题解决能力。
学生特点：学生已具备基本的编程知识，熟悉函数的定义和调用，具有一定的数学基础，但对递归思想和算法分析尚不够熟练。
教学要求：教师应注重理论与实践相结合，通过实例分析、课堂讨论、课后练习等多种方式，帮助学生掌握递归法求解问题的方法和技巧。
同时，关注学生的个体差异，提供有针对性的辅导，以提高全体学生的学习效果。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下三个方面：1. 函数递归基础理论：- 递归概念与递归函数定义- 递归的分类：直接递归与间接递归- 递归的三大要素：递归条件、递归关系和边界条件2. 递归法求解实际问题：- 斐波那契数列的递归求解- 阶乘的递归求解- 其他典型递归问题：汉诺塔、迷宫问题等3. 递归算法分析与优化：- 递归算法的时间复杂度与空间复杂度分析- 递归树方法分析递归算法- 递归方程求解方法- 递归优化策略：尾递归优化、记忆化搜索等教学内容安排与进度：1. 函数递归基础理论（2课时）2. 递归法求解实际问题（3课时）3. 递归算法分析与优化（3课时）教材章节关联：1. 函数递归基础理论：参考教材第3章第5节2. 递归法求解实际问题：参考教材第4章第2节3. 递归算法分析与优化：参考教材第4章第3节在教学过程中，将根据学生的实际水平和学习进度，适当调整教学内容和进度，确保学生能够扎实掌握递归法求解问题的方法和技巧。
函数递归的概念
函数递归的概念函数递归是指函数在定义中调用了自身的一种特殊形式。
递归可以在解决问题中提供一种更简洁、优雅的方法，因为它允许将问题分解成更小的、类似的子问题。
递归函数通常具有基本情况和递归情况。
在函数递归中，基本情况是指无需再次调用自身的情况。
递归情况是指函数需要再次调用自身以解决较小子问题的情况。
通过每次调用函数自身并向基本情况靠近，最终可以解决原始问题。
为了更好地理解函数递归的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑计算阶乘的函数。
阶乘是指将一个非负整数n 与所有小于等于n 的正整数相乘的结果。
在函数中，阶乘可以用递归的方式来计算。
首先，我们需要定义函数的基本情况。
在这种情况下，当n 等于0 或1 时，阶乘的结果是1，因为0 和1 的阶乘都是1。
接下来，我们定义递归情况。
在此示例中，阶乘的递归情况是当n 大于1 时，阶乘的结果是n 乘以(n-1) 的阶乘。
使用这个递归定义，我们可以编写一个计算阶乘的函数。
在函数中，我们首先检查基本情况，如果n 等于0 或1，则直接返回1。
否则，我们将调用函数本身来计算(n-1) 的阶乘，并将结果乘以n，最终得到n 的阶乘。
这个过程会不断重复，直到达到基本情况。
下面是一个使用递归来计算阶乘的Python 代码示例：def factorial(n):if n == 0 or n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)使用这个函数，我们可以计算任意正整数的阶乘。
例如，计算5 的阶乘可以通过调用`factorial(5)` 来实现。
函数递归不仅可以用于解决简单问题，也可以用于解决更复杂的问题。
递归的关键是将大问题划分为更小的可解决子问题。
通过调用函数本身，可以不断地解决这些子问题，最终达到解决原始问题的目的。
然而，值得注意的是，函数递归可能会导致性能上的问题。
每次递归调用都会生成一个新的函数栈帧，而函数栈帧的调用和返回会占用内存和额外的时间。
《第11课简单的递归》教学设计教学反思-2023-2024学年小学信息技术人教版三起01六年级上册
《简单的递归》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解递归的概念，了解递归在计算机编程中的运用。
2. 掌握简单的递归函数，能够进行递归函数的调用和调试。
3. 通过实践操作，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握简单的递归函数，能够进行递归函数的调用。
2. 教学难点：理解递归的概念，培养逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学准备1. 准备教学课件和相关代码示例。
2. 准备计算机设备和网络环境。
3. 安排学生进行课前预习，了解递归的基本概念。
4. 设计递归函数实践操作任务，以便学生能够动手实践，加深理解。
四、教学过程：1. 导入新课：教师通过一个简单的递归问题引入课题，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解递归概念：教师详细解释递归的基本概念，包括递归函数、递归调用等。
可以通过一些简单的例子帮助学生理解。
3. 问题分析：教师提出一个具体的递归问题，引导学生进行分析，理解递归解决问题的思路和方法。
4. 代码实现：教师展示一段简单的递归代码，并逐步解释代码的每一行，帮助学生理解递归的实现过程。
学生可以在电脑上尝试编写自己的递归代码，进行实践操作。
5. 小组讨论：学生以小组形式进行讨论，分享各自的递归代码实现过程和遇到的问题，互相学习，共同进步。
6. 教师点评与反馈：教师对学生的代码进行点评，给予鼓励和支持，指出存在的问题和改进方向。
同时，教师也可以提出一些更复杂的问题，引导学生深入思考递归的应用。
7. 课堂小结：教师对本节课的内容进行总结，强调递归思想和方法的重要性，鼓励学生多加实践，提高解决问题的能力。
8. 布置作业：学生回家后尝试解决一些更复杂的递归问题，巩固所学知识。
四、课后反思教师在课后需要对本节课的教学过程进行反思，总结成功经验和需要改进的地方，为今后的教学提供参考。
同时，教师也可以与学生进行交流，了解他们对本节课的感受和收获，从而更好地指导今后的学习。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解递归的概念，了解递归在计算机编程中的用途。
函数递归实验报告
函数递归实验报告函数递归实验报告引言：函数递归是计算机科学中一种重要的概念，它可以简化问题的解决过程，使得代码更加简洁和易读。
通过递归，一个函数可以调用自身，从而实现对问题的不断分解和求解。
本实验旨在通过实际的例子，深入探究函数递归的原理和应用。
一、递归的基本原理递归的基本原理是将一个大问题分解为若干个相同或类似的子问题，通过解决子问题来解决整个问题。
在函数递归中，递归函数会调用自身，每次调用时传入不同的参数，直到达到某个终止条件，然后逐层返回结果，最终得到问题的解。
二、递归的经典应用——阶乘函数阶乘函数是函数递归的经典应用之一。
它的定义如下：```def factorial(n):if n == 0 or n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在上述代码中，当n等于0或1时，阶乘的结果为1；否则，阶乘的结果为n乘以(n-1)的阶乘。
通过递归调用，可以简洁地实现阶乘的计算。
三、递归的实际应用——斐波那契数列斐波那契数列是另一个经典的递归应用。
它的定义如下：```def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在上述代码中，当n等于0时，斐波那契数列的结果为0；当n等于1时，结果为1；否则，结果为前两个数的和。
通过递归调用，可以方便地计算出斐波那契数列的第n项。
四、递归的优缺点函数递归的优点在于可以简化问题的解决过程，使得代码更加清晰和易于理解。
递归的思想符合人类的思维方式，能够将复杂的问题分解为简单的子问题，从而降低解决问题的难度。
然而，递归也存在一些缺点，比如递归调用可能会消耗较多的内存和时间，当递归的层数过多时，可能会导致栈溢出的问题。
五、递归的应用场景函数递归在实际开发中有着广泛的应用场景。
python 函数的递归
python 函数的递归Python函数的递归在编程中，递归是一种非常重要的概念。
它可以让我们解决一些复杂的问题，同时也可以提高代码的可读性和可维护性。
在Python中，函数的递归可以实现一个函数调用自身的功能，从而解决一些需要重复执行的问题。
什么是递归？递归是指一个函数调用自身的过程。
通常，递归函数会将一个问题划分为一个或多个更小的子问题来解决。
每个子问题都是原始问题的一个规模较小的版本，并且可以通过相同的函数来解决。
递归函数会不断地调用自身，直到达到某个终止条件，然后逐层返回结果，最终解决原始问题。
递归函数的特点1. 结束条件：递归函数必须有一个或多个结束条件，也称为基准情况。
当满足结束条件时，递归函数将不再调用自身，而是返回结果。
2. 问题规模的缩小：递归函数必须能够将原始问题划分为规模较小的子问题。
每次递归调用都应该使问题的规模减小，直到满足结束条件。
3. 函数调用自身：递归函数通过调用自身来解决子问题。
在每次递归调用中，问题的规模都会减小，直到满足结束条件。
递归的应用场景递归广泛应用于许多领域，特别是在数学和计算机科学中。
下面是一些常见的递归应用场景：1. 阶乘：计算一个正整数的阶乘。
阶乘的定义是n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0! = 1。
2. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个无限序列，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21...3. 文件夹遍历：在操作系统中，文件夹通常包含子文件夹和文件。
使用递归可以遍历文件夹及其子文件夹，从而找到特定文件或执行某些操作。
递归的优缺点递归有以下优点：1. 可读性高：递归函数通常比迭代函数更易于理解和实现，因为它能够直接表达问题的本质。
2. 代码复用性好：递归函数可以重复调用自身，从而解决相同类型的问题，提高了代码的复用性。
然而，递归也存在一些缺点：1. 性能低下：递归函数可能会导致栈溢出，特别是在处理大规模问题时。
【C】函数递归算法讲解
【C】函数递归算法讲解在数学与计算机科学中，递归算法是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
在程序中，递归是通过函数的调用来实现的。
函数直接调用其自身，称为直接递归；函数间接调用其自身，称为间接递归。
在函数定义中，其内部操作又直接或间接地调用了自身，则称这样的函数为递归函数。
生活中我们也存在这样的递归现象，比如：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山,山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。
一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是……故事中又调用了这个故事正如函数中又调用了这个函数一样。
•••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f()//自定义函数{ return f();}int main()//主函数 { cout<<f();//函数调用 return 0;} 但上述函数的定义是不合理的，因为递归函数和生活中的递归现象具有不同之处：生活中有些递归现象可以无限递归，但递归函数必须有递归终止条件。
所以，递归函数有两大要素：①递归关系式：对问题进行递归形式的描述。
②递归终止条件：当满足该条件时以一种特殊情况处理而不是用递归关系式处理。
参考程序：••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;void output(int n)//自定义函数 { if(n==1) cout<<1<<' ';//递归终止条件 else//递归关系式 { output(n-1); cout<<n<<' '; } }int main()//主函数{ int n; cin>>n; output(n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int sum(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return n+sum(n-1);//递归关系式}int main()//主函数{ int n; cin>>n; cout<<sum(n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int jc(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return n*jc(n-1);//递归关系式 }int main()//主函数 { int n; cin>>n; cout<<jc(n);//函数调用 return 0;}参考程序：••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int xn(int x,int n)//自定义函数 { if(n==0) return 1;//递归终止条件 else return x*xn(x,n-1);//递归关系式}int main()//主函数{ int x,n; cin>>x>>n; cout<<xn(x,n);//函数调用 return 0;}参考程序：•••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f(int n)//自定义函数 { if(n<=1) return n;//递归终止条件 else return f(n-1)+f(n-2);//递归关系式 }int main()//主函数 { int n; cin>>n; for(int i=0;i<=n;i++) cout<<f(i)<<' ';//函数调用 return 0;}••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int gcd(int m,int n)//自定义函数 { if(m%n==0) return n;//递归终止条件 else returngcd(n,m%n);//递归关系式}int main()//主函数{ int m,n; cin>>m>>n; cout<<gcd(m,n);//函数调用 return 0;}••••••••••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int a[20];bool flag;//利用全局变量falg传递结果void judge(int n,int m)//自定义函数{ if(a[n]==m) flag=true;//递归终止条件else if (n==1) return;//递归终止条件 else//递归关系式 { judge(n-1,m-a[n]); judge(n-1,m); }}int main()//主函数 { int n,m; cin>>n; for (int i=1; i<=n; ++i) cin>>a[i]; cin>>m; flag=false; judge(n,m);//函数调用if (flag) cout<<'YES'<<endl; else cout<<'NO'<<endl; return 0;}••••••••••••••••••••••••#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int sum;void res(int a,int y)//自定义函数{ for(int i=y;i<=sqrt(a);i++) { if(a%i==0) res(a/i,i); } sum++;}int main()//主函数{ int n,a; cin>>n; while(n--) { cin>>a; sum=0; res(a,2); cout<<sum<<endl; } return 0;}••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int f(int n)//自定义函数 { if(n==1) return 1;//递归终止条件 else return 2*f(n-1)+1;//递归关系式}int main()//主函数 { int n; cin>>n; cout<<f(n);//函数调用 return 0;}•••••••••••••••••••#include<iostream>using namespace std;int step=0;//步数void hanoi(int n,char a,char b,char c)//自定义函数{ if(n==1) cout<<'第'<<++step<<'步：'<<'将圆盘'<<n<<'从'<<a<<'移动到'<<c<<endl; else { hanoi(n-1,a,c,b); cout<<'第'<<++step<<'步：'<<'将圆盘'<<n<<'从'<<a<<'移动到'<<c<<endl; hanoi(n-1,b,a,c); } }int main()//主函数 { int n; cin>>n; hanoi(n,'A','B','C');//函数调用 return 0;}。
机械原理 递归函数
机械原理递归函数机械原理中，递归函数是一种十分重要的概念。
递归函数指的是函数在执行时会自我调用的一种函数。
这种自我调用的机制可以让我们在处理一些复杂问题时，可以通过递推的方式来解决。
递归函数的基本原理是将一个大问题分解为若干个小问题来进行求解。
接着，将这些小问题通过递归函数自我调用来逐个求解，最后再合并起来，得出整个问题的解。
我们对于一个数列进行排序，可以采用递归函数来实现。
将整个数列分解为两个部分来进行排序，随后对这两个部分再进行分解。
递归函数在不断地调用自身的情况下，将整个数列分解为一个个单独的元素，再将这些单独的元素依次进行排序，最后再通过递归函数将这些部分合并起来，得到最终的结果。
递归函数的优点在于可以大大简化程序开发的工作量，可以将大问题分解为小问题来进行处理。
递归函数也可以使代码更加易于阅读和理解，降低程序开发的难度。
递归函数也有其缺点，其主要是由于递归函数的自我调用机制会导致函数栈的不断增长，从而导致内存的消耗。
在使用递归函数的时候要谨慎，最好在程序中加入限制条件。
递归函数还有一些需要注意的问题。
在使用递归函数时，一定要注意递归深度的控制，不能无限制地调用自身，否则会导致死循环。
在编写递归函数时，一定要注意递归结束条件的设置，否则也会导致死循环。
递归函数在机械原理中具有十分重要的地位，可以帮助我们更加高效地解决复杂的问题。
在使用递归函数时，要注意一些需要注意的问题，这样才能更好地发挥递归函数的优点，避免其缺点的影响。
除了以上提到的注意事项，递归函数在机械原理中还有其它的一些应用。
在图形学和计算机科学领域，递归函数被广泛应用于分形图形的绘制中。
分形图形通常具有自相似性的特点，即这个图形的一部分可以看作是整个图形的缩小版。
可以通过递归的方式来绘制分形图形。
在每次递归时，将这个图形分成若干个部分，再在每个部分内部递归地进行绘制。
最终将所有的小部分拼接起来，即可得到整个分形图形。
在机器人控制和路径规划中，递归函数也被广泛地应用。
递归问题求解实验报告
一、实验目的1. 理解递归的基本概念，掌握递归的编写方法。
2. 通过递归解决实际问题，如汉诺塔、斐波那契数列等。
3. 深入了解递归的优缺点，以及递归在程序设计中的应用。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 开发工具：PyCharm三、实验内容1. 汉诺塔问题汉诺塔问题是一个经典的递归问题。
问题描述如下：有3个塔，编号分别为A、B、C，其中A塔有n个盘子，盘子从大到小依次编号为1到n。
每次只能移动一个盘子，且移动时只能将大盘子放在小盘子上。
要求将A塔上的n个盘子全部移动到C塔上，并满足以下条件：（1）每次移动盘子时，大盘子只能放在小盘子上。
（2）每次移动盘子时，只能移动一个盘子。
（3）不能将大盘子放在大盘子上。
下面是汉诺塔问题的递归求解代码：```pythondef hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk 1 from A to C")returnhanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk {} from {} to {}".format(n, A, C))hanoi(n-1, B, A, C)hanoi(3, 'A', 'B', 'C')```2. 斐波那契数列问题斐波那契数列是一个著名的数列，其定义为：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 1)。
下面是斐波那契数列问题的递归求解代码：```pythondef fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)print(fibonacci(10))```3. 快速排序问题快速排序是一种高效的排序算法，其基本思想是：选取一个基准值，将数组分为两部分，一部分是小于基准值的元素，另一部分是大于基准值的元素，然后递归地对这两部分进行排序。
用递归函数实现
用递归函数实现递归函数是指函数内部调用自身的函数。
它可以用于解决许多数学问题，例如阶乘、斐波那契数列、皇后问题等。
递归函数的基本思想是将问题分解成更小的问题并逐步解决，直到问题被彻底解决为止。
对于初学者来说，递归函数可能比较抽象和难以理解。
下面我们以简单的例子来介绍递归函数的概念和应用。
1. 阶乘问题阶乘是指一个正整数的阶乘，表示从1乘到该数的积。
例如，5的阶乘为5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。
通过递归函数可以实现阶乘计算。
代码如下：```pythondef factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```解析：当函数传入的参数为1时，返回1，否则返回n乘上n-1的阶乘。
2. 斐波那契数列问题斐波那契数列中，前两个数字是1和1，之后每个数字都是前两个数字之和，如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...通过递归函数可以实现斐波那契数列序列的生成。
3. 皇后问题皇后问题是指如何将八个皇后放在棋盘上，使得每个皇后都不会互相攻击。
通过递归函数可以实现皇后问题的解决。
```pythondef queen(n, m, bd, row):if row == n: # 如果当前行数等于棋盘的总行数，输出棋盘状态print_board(bd, n)returnfor i in range(n): # 遍历当前行所有的列if attack(i, row, m, bd): # 如果该位置会被攻击，跳过continuebd[row][i] = 1 # 否则放置皇后queen(n, m, bd, row+1) # 递归下一行bd[row][i] = 0 # 回溯```解析：该递归函数需要传入一个n表示棋盘的总行数，一个m表示棋盘的总列数，一个bd表示当前棋盘的状态，一个row表示当前的行数。
递归的工作原理
递归的工作原理
递归是一种通过调用自身来解决问题的方法。
它通过将一个大问题分解为较小的、同类的子问题来进行求解。
递归的工作原理可以概括为以下几个步骤：
1. 定义基准情况：递归函数首先需要定义一个基准情况，即最简单的情况，该情况下可以直接给出结果，而不是再次调用自身。
基准情况通常是在满足某个条件时返回固定值或特定操作。
2. 分解问题：递归函数会将给定的问题分解为更小的同类子问题。
这个过程可以通过递归调用本身来实现。
每次递归调用时，问题的规模都会减小，同时保持相同的问题类型。
3. 调用递归函数：递归函数在解决子问题时通过调用自身来实现。
通过递归调用，问题将会在不断分解和缩小的过程中得到解决。
4. 组合结果：递归函数返回的结果会被用来组合成大问题的解。
递归函数返回的结果通常会在每一层递归结束后进行合并、计算或其他操作。
5. 终止递归：为了防止递归无限循环，递归函数需要在某个条件下终止递归调用。
这个条件通常和基准情况或问题规模相关，当满足条件时，递归将停止执行。
需要注意的是，递归函数的设计需要保证每次递归调用后问题规模都会减小，否则递归可能会陷入无限循环，导致程序运行
出错或引起栈溢出。
此外，递归可能会造成重复计算，因此可以采用记忆化搜索等方法进行优化。
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实验11 函数递归
一．实验目的
1．掌握函数的嵌套调用方法。
2．掌握函数的递归调用方法。
二．实验要求
1．实验前复习函数的定义以及函数的嵌套、递归调用方式。
2．能够用程序流程图描述实验题目的算法。
3．能够独立调试运行实验题目。
4．本实验要求2学时完成。
三．实验内容和步骤
题目1：编写两个函数，分别求两个正整数的最大公约数和最小公倍数，用主函数调用这两个函数并输出结果，两个正整数由键盘输入。
有好多方法解决最大公约数问题，如：辗转相除法、递归等。
本题是用辗转相除法，很容易理解，关键是解题的思路：输入两个正整数m和n，求其最大公约数a和最小公倍数b，计算最大公约数a的方法如下：先算出m/n的余数r,若r等于0，则n为最大公约数；若r 不为0，则把原来的n值作为新的m值，把原来的r值作为新的n值，继续运算。
这样辗转相除，直到r为0，此时的n值为最大公约数a,最小公倍数则可用原始m与n值的积除以最大公约数求得。
要求：程序填空并测试运行结果。
01#include <stdio.h>
02#include <conio.h>
03
04int largedivisor(int m,int n)
05{
06int r;
07if(m<n)
08{
09m=m+n;
10n=m-n;
11m=m-n;
12}
13while(n!=0)
14{
15r= 【1】;
17n=r;
18}
19return m;
20}
21
22int smallmultiple(int m,int n)
23{
24return m*n/ largedivisor(m,n);
25}
26
27main( )
28{
29int largedivisor(int m,int n);
30int smallmultiple(int m,int n);
31int m,n;
32printf("\nInput 2 positive integer:\n");
33scanf("%d%d", 【2】);
34
35printf("The largest divisor is : %d\n", 【3】); /*输出最大公约数*/
36printf("The smallest common multiple is:%d\n",【4】);/*输出最小公倍数*/ 37
38getch();
39}
题目2：编一递归函数求n!。
思路：以求4的阶乘为例:
4!=4*3!，3!=3*2!，2!=2*1!，1!=1，0!=1。
递归结束条件：当n=1或n=0时，n!=1。
要求：程序填空并写出运行结果。
01#include <stdio.h>
02#include <stdlib.h>
03#include <conio.h>
04
05float fact (int n)
06{
07float f=0;
08if(n<0)
09{
10printf("n<0,error!");
11getch();
12exit(0);
13}
14else if (n==0 || n==1)
15f=1;
17f=fact(n-1)*n;
18return 【1】;
19}
20
21main( )
22{
23float fact (int n);
24int n; float y;
25printf("\nInput n:");
26scanf("%d", 【2】);
27y=fact(n);
28printf("%d!=%-10.0f\n", 【3】, 【4】);
29
30getch();
31}
四．实验思考
1．递归方法有什么优缺点？。