函数与递归-程序结构和递归

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递归函数的程序结构

递归函数的程序结构一、引言递归函数是一种非常重要的算法工具，它在许多编程问题中发挥着关键作用。

递归函数能够将复杂问题分解为更小的子问题，并逐个解决，最终完成整个问题的求解。

本文将详细介绍递归函数的程序结构，包括其基本概念、特点、实现方式以及在编程中的应用。

二、递归函数的基本概念递归函数是指一个函数直接或间接地调用自身来解决问题的方法。

在编程中，递归函数通常用于处理分治策略，即将一个大问题分解为若干个小问题，每个小问题又可能进一步分解，直到问题规模足够小或得以解决。

递归函数的输入参数可以是常数或变量，而输出则是解决问题的结果。

三、递归函数的特点1. 分治思想：递归函数利用分治策略将大问题分解为更小的子问题，通过逐个解决子问题来求解原问题。

2. 自我调用：递归函数的核心在于自我调用，即函数自身调用自身来处理更小的子问题。

3. 边界条件：递归函数的边界条件是指当问题规模足够小时停止递归，通常表示问题已得到完全解决。

4. 递归树：在递归过程中，函数调用顺序形成了一棵递归树，可以帮助我们理解问题的分解过程。

四、递归函数的实现方式1. 显式递归：在代码中明确写出递归调用的语句，适用于简单的问题。

2. 隐式递归：通过返回值或中间结果来实现递归，适用于复杂的问题。

3. 尾递归优化：在某些情况下，可以将递归转化为列表或其他数据结构的遍历，以减少内存占用和提高效率。

五、递归函数的应用递归函数在编程中应用广泛，例如排序算法（如快速排序、堆排序）、分治算法（如动态规划）、搜索算法（如二分搜索）等。

通过使用递归函数，我们可以将复杂问题分解为更小的子问题，逐个解决，最终得到问题的解。

此外，递归函数还可以用于处理树形结构、表达式求值、图遍历等问题。

六、程序示例以下是一个简单的递归函数示例，用于计算一个整数的阶乘：```pythondef factorial(n):if n == 0: # 边界条件return 1else:return n * factorial(n-1) # 自我调用```七、总结递归函数是一种非常重要的算法工具，它能够将复杂问题分解为更小的子问题，并通过逐个解决子问题来求解原问题。

计算机算法递归

计算机算法递归计算机算法是计算机科学和数学中的一种技巧，用来解决计算问题。

它是一种有序的步骤集合，每个步骤都受到严格的限制。

计算机算法是一种计算机程序，它能够解决某个具体问题或提供某种服务。

而递归则是计算机算法中的一种常见的技巧。

递归是什么？递归是指一个函数调用自身的行为。

在计算机领域中，递归常用于解决一些需要多层关联的问题，如树形结构和图形结构问题。

递归可以使得代码更加简单、易于理解，但它也可能会带来效率问题。

递归函数的基本结构递归函数通常有两个部分：一个递归部分和一个终止条件。

递归部分是指调用函数本身，而终止条件是指在某个条件下停止递归。

递归函数的基本结构如下：```def recursion_function(parameters):if exit from condition satisfied:return some valueelse:recursion_function(modified parameters)```递归函数的例子下面是一个简单的递归算法，用于计算一个数字的阶乘：```def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个例子中，递归函数计算 n 的阶乘，如果 n == 1，就返回1，否则就返回 n * 执行 factorial(n-1) 的结果。

这里递归部分就是调用 factorial 函数本身，而终止条件就是 n == 1 时返回 1。

递归的优点和缺点递归的优点是可以使代码更加简单易懂。

某些情况下，使用递归可以大大降低代码量，从而避免编写大量的循环语句。

递归还可以简化一些问题的处理，如图形结构和树形结构问题。

然而，递归也有其缺点。

首先，在不断地调用函数时，系统需要维护大量的调用栈，这样会消耗大量的系统资源，可能会导致程序崩溃。

其次，在某些情况下，使用递归会带来效率问题，因为同一个问题可能会被重复计算多次，从而导致程序运行缓慢。

python课件第五章Python的函数：函数的递归及应用

第五章 Python的函数函数的递归及应用
教学内容
5.5 函数的递归
5.7 内置函数
教学要求
掌握：函数的嵌套与递归。熟悉：函数的概念、函数化编程的思想。了解：内置函数的使用。
5.5 函数的递归
函数定义中调用函数自身的方式形成递归。
例5-4 求第n项的阶乘
阶乘一般定义：n！=n(n-1)(n-2)……(1)
2022/2/3
17
5.7 Python内置函数
2022/2/3
18
5.7 Python内置函数
2022/2/3
19
5.7 Python内置函数
2022/2/3
20
小结
掌握：函数的定义和使用；函数的参数和函数的返回值；函数的嵌套。
熟悉：函数的递归。了解：内置函数的使用。
课堂小测
单选题 1分
n！=
n(n-1)! (n>0)
2022/2/3
5
5.5 函数的递归
例5-4 求第n项的阶乘
2022/2/3
6
ห้องสมุดไป่ตู้
5.5 函数的递归
执行过程
2022/2/3
7
多选题 1分
下列是递归程序特点的是()。
A 书写简单 B 一定要有基例 C 执行效率高 D 思路简单,但不宜理解
提交
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制
2022/2/3
9
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制——实验七（见实验课件）
2022/2/3
10
课后思考：汉诺塔问题
问题IPO 输入：汉诺塔的层数处理：实现一个汉诺塔圆盘的移动，采用递归实现将所有圆盘从A移动到C。输出：整个移动流程

编程语言中的递归方法解析

编程语言中的递归方法解析在计算机编程中，递归是一种重要的方法，它允许程序通过调用自身来解决问题。

递归在算法设计和实现中起着重要的作用，它能够简化问题的解决过程，提高代码的可读性和可维护性。

本文将深入探讨编程语言中的递归方法，探索其原理、应用和一些常见的注意事项。

一、递归的原理递归是一种自我调用的方法，它将问题划分为更小的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。

递归方法通常包含两个部分：基本情况和递归情况。

基本情况是指问题的最小规模，它通常是递归方法的终止条件。

递归情况是指将问题分解为更小规模的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。

递归方法的实现通常使用函数或过程的形式。

在函数式编程语言中，递归方法是一种常见的编程范式。

例如，在Lisp和Scheme等语言中，递归是一种基本的控制结构，用于解决各种问题。

二、递归方法的应用递归方法在许多领域中都有广泛的应用。

其中一个常见的应用是计算数列中的斐波那契数列。

斐波那契数列是一个无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。

通过递归方法可以轻松地计算斐波那契数列的第n个数字。

另一个常见的应用是树的遍历。

树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成。

通过递归方法可以遍历树的所有节点，从而实现对树的操作和分析。

递归方法还可以用于解决复杂的数学问题，如计算阶乘、排列组合等。

通过递归方法，可以将这些问题简化为更小规模的子问题，从而提高解决问题的效率。

三、递归方法的注意事项尽管递归方法具有许多优点，但在使用时也需要注意一些问题。

首先，递归方法可能会导致堆栈溢出。

每次递归调用都会将一些信息存储在堆栈中，如果递归调用的层数过多，堆栈可能会超出其容量，导致程序崩溃。

因此，在使用递归方法时，需要确保递归的深度不会过大，或者使用尾递归等优化方法来减少堆栈的使用。

另一个需要注意的问题是递归方法的性能。

由于递归方法涉及多次函数调用和堆栈操作，它可能比迭代方法更慢。

在某些情况下，可以使用迭代方法或其他更高效的算法来替代递归方法。

C语言递归函数递归的原理和应用场景

C语言递归函数递归的原理和应用场景递归函数是指在函数的定义中调用函数本身的一种方式。

通过递归函数，可以实现对问题的逐级拆分与求解，便于理解和编码。

本文将介绍C语言递归函数的原理和一些常见的应用场景。

一、递归函数的原理递归函数的原理基于分治法，将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到满足某个递归终止条件，然后通过逐级返回求解出整个问题。

递归函数通常具有以下结构：1. 基线条件（递归终止条件）：判断是否满足递归的结束条件，当满足条件时，递归不再继续，直接返回结果。

2. 递归条件：由于递归是调用函数本身，需要满足某个条件时才执行递归调用，将问题规模缩小一步，继续求解更小规模的子问题。

3. 递归调用：在函数体内部直接调用函数本身，将问题规模不断缩小，直到满足基线条件。

二、递归函数的应用场景1. 阶乘计算：阶乘是指对于非负整数n，将其与前面所有的正整数相乘。

使用递归函数可以轻松实现阶乘的计算。

例如，计算n的阶乘可以通过函数调用factorial(n)来实现，其中factorial(n)表示计算n的阶乘。

```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1; // 基线条件} else {return n * factorial(n - 1); // 递归调用}}int main() {int n = 5;int result = factorial(n);printf("%d的阶乘为：%d\n", n, result);return 0;}```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。

递归函数可以简洁地实现斐波那契数列的计算。

例如，计算斐波那契数列的第n个数可以通过函数调用fibonacci(n)来实现，其中fibonacci(n)表示计算第n个斐波那契数。

python 函数递归

python 函数递归Python函数递归在Python中，函数递归是一种常见的编程技巧。

递归是指函数调用自身的过程，它可以解决一些复杂问题，也可以使代码更加简洁。

本文将介绍Python函数递归的基本概念、实现方法以及注意事项。

1. 什么是函数递归？函数递归是指函数在执行过程中调用自身的过程。

在递归过程中，函数会不断地调用自身，直到满足某个条件才停止。

递归函数通常包含两部分：基本情况和递归情况。

基本情况是指递归过程中满足某个条件时，函数不再调用自身，而是返回一个结果。

递归情况是指函数在递归过程中继续调用自身，直到满足基本情况。

2. 如何实现函数递归？实现函数递归的关键是要理解递归的基本原理。

在Python中，我们可以通过以下方式实现递归函数：def recursive_function(parameters):if base_case(parameters): # 基本情况return base_case_valueelse: # 递归情况new_parameters = modify_parameters(parameters)return recursive_function(new_parameters)在递归函数中，我们首先判断当前参数是否满足基本情况，如果满足则返回基本情况的结果，否则继续调用递归函数，直到满足基本情况为止。

需要注意的是，在函数递归的过程中，每次调用函数都会在内存中创建一个新的函数栈，如果递归深度过大，可能会导致栈溢出的问题。

3. 函数递归的应用函数递归在编程中有很多应用。

以下是一些常见的应用：(1) 阶乘函数阶乘函数是指n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

可以使用递归函数来实现阶乘的计算：def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)(2) 斐波那契数列斐波那契数列是指第n个数等于前两个数的和，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。

C语言的函数与递归

C语言的函数与递归引言函数和递归是C语言中非常重要的概念，它们为程序的模块化和重复利用提供了强大的工具。

函数可以将一些功能代码封装起来，使得代码更加有组织、易于维护。

而递归则可以在某些情况下解决问题更加简洁高效。

本文将介绍C语言中的函数和递归的概念，并通过示例代码详细说明其用法和注意事项。

函数什么是函数函数是一段具有特定功能的代码块，它可以被调用并执行。

函数可以接受参数，也可以返回结果。

C语言中的函数具有以下几个特点： - 函数由函数头和函数体组成，函数头包含函数的返回类型、函数名和参数列表。

- 函数可以有多个参数，参数可以是基本数据类型、指针、数组等。

- 函数可以有返回值，返回值的类型与函数头中的返回类型相匹配。

- 函数可以被多次调用，提供了代码的重复利用性。

函数的定义和调用定义函数的语法如下所示：返回类型函数名(参数列表) {// 函数体}调用函数的语法如下所示：函数名(参数列表);下面是一个简单的示例：#include <stdio.h>// 定义一个add函数，接受两个整数作为参数，返回它们的和int add(int a, int b) {return a + b;}int main() {int result = add(1, 2); // 调用add函数计算1+2printf("1 + 2 = %d\n", result); // 输出结果3return0;}在上面的示例中，我们定义了一个add函数，它接受两个整数作为参数，并返回它们的和。

在主函数中，我们调用了add函数，并将结果赋值给result变量，最后输出结果。

函数的参数传递方式C语言中函数的参数传递方式有两种：值传递和地址传递。

值传递值传递是指将参数的值复制一份给函数，在函数内部对该参数的修改不会影响到原始变量。

下面是一个示例：#include <stdio.h>void changeValue(int a) {a = 10;}int main() {int num = 5;printf("Before change: %d\n", num); // 输出结果5changeValue(num); // 调用函数changeValueprintf("After change: %d\n", num); // 输出结果依然是5return0;}在上面的示例中，我们定义了一个changeValue函数，它接受一个整数作为参数，并将该参数的值修改为10。

什么是递归

什么是递归？递归（Recursion）是一种编程技术，其中一个函数调用自身来解决问题。

递归是通过将问题分解成更小的子问题来解决复杂问题的一种方法。

这种自我调用的过程在每次调用中都会处理一个更小的问题，直到达到基本情况（终止条件），然后逐步返回结果，最终解决整个问题。

递归的核心思想是将复杂问题分解成更小规模的相同问题。

每次递归调用都会将问题的规模减小，直到问题达到一定的规模，可以直接解决。

这个基本情况通常是一个简单且不再需要递归的情况。

递归的实现通常包括以下几个要素：1. 基本情况：基本情况是递归调用的终止条件。

当问题的规模减小到一定程度，可以直接解决时，递归将停止。

在基本情况下，函数通常直接返回结果而不再进行递归调用。

2. 递归调用：递归函数在解决问题的过程中会调用自身来处理更小规模的子问题。

递归函数通过传递问题的子集或更小的输入来减小问题的规模。

递归调用将重复进行，直到达到基本情况。

3. 问题的规模减小：递归函数通过每次调用将问题的规模减小来逐步解决问题。

这通常涉及到在每次递归调用中使用不同的输入或参数。

问题的规模必须在每次递归调用中减小，否则递归将无法终止，导致无限循环（无穷递归）。

递归的一个典型示例是计算阶乘。

阶乘是指从1到某个正整数之间所有整数的乘积。

使用递归，我们可以将阶乘问题分解为更小的子问题，直到达到基本情况。

例如，计算5的阶乘（5!）可以使用递归的方式来实现：```factorial(n):if n == 0: // 基本情况return 1else:return n * factorial(n-1) // 递归调用```在上面的示例中，当n等于0时，递归调用将停止，返回1作为结果。

否则，函数将n与n-1的阶乘相乘，并继续递归调用，直到达到基本情况。

递归函数需要小心处理，确保递归调用能够终止，并且问题的规模在每次递归调用中减小。

否则，递归可能会导致堆栈溢出或无限循环的问题。

递归在许多算法和数据结构问题中都有应用，例如树的遍历、图的搜索、排序算法等。

程序与递归-组合-抽象与构造

命名新运算符和构造中使用新运算符及执行中以过程替换新运算符
(square 10)
名字的使用
(square (+ 2 8))
(square (square 3))
(square (square (+ 2 5)))
(define (SumOfSquare x y) (+ (square x) (square y))
1. 程序的作用和本质 1.1 怎样设计并实现一个计算系统?
如何设计实现一个基本计算系统？
首先，设计并实现系统可以执行的基本动作(可实现的)，例如
“与”动作 “或”动作
已知的基本事实是:
“非”动作 “异或”动作那么，复杂的动作呢？
“加减乘除运算都可转换为加法运算来实现” “加法运算又可以转换为逻辑运算来实现”
(define circumference (* 2 pi radius)) (* circmference 20)
程序与递归：组合-抽象与构造 3. 程序构造示例(II)
程序构造示例(II)
----组合、抽象与构造 ----命名新运算符和构造中使用新运
算符及执行中以过程替换新运算符 ----带有条件的运算组合式
先代入，后求值
代入阶段求值阶段
3. 程序构造示例(II) 3.4 有条件的运算如何表达?
带有条件的运算组合式
(cond ( <p1> <e1>) ( <p2> <e2>) ... ( <pn> <en>) )
(define (abs x) (cond ((> x 0) x) ((= x 0) 0)
次的系统
程序复杂动作 = 基本动作的各种方式的组合 (V1 + V2) x (V3 V4) V5

python 函数的递归

python 函数的递归Python函数的递归在编程中，递归是一种非常重要的概念。

它可以让我们解决一些复杂的问题，同时也可以提高代码的可读性和可维护性。

在Python中，函数的递归可以实现一个函数调用自身的功能，从而解决一些需要重复执行的问题。

什么是递归？递归是指一个函数调用自身的过程。

通常，递归函数会将一个问题划分为一个或多个更小的子问题来解决。

每个子问题都是原始问题的一个规模较小的版本，并且可以通过相同的函数来解决。

递归函数会不断地调用自身，直到达到某个终止条件，然后逐层返回结果，最终解决原始问题。

递归函数的特点1. 结束条件：递归函数必须有一个或多个结束条件，也称为基准情况。

当满足结束条件时，递归函数将不再调用自身，而是返回结果。

2. 问题规模的缩小：递归函数必须能够将原始问题划分为规模较小的子问题。

每次递归调用都应该使问题的规模减小，直到满足结束条件。

3. 函数调用自身：递归函数通过调用自身来解决子问题。

在每次递归调用中，问题的规模都会减小，直到满足结束条件。

递归的应用场景递归广泛应用于许多领域，特别是在数学和计算机科学中。

下面是一些常见的递归应用场景：1. 阶乘：计算一个正整数的阶乘。

阶乘的定义是n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0! = 1。

2. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个无限序列，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21...3. 文件夹遍历：在操作系统中，文件夹通常包含子文件夹和文件。

使用递归可以遍历文件夹及其子文件夹，从而找到特定文件或执行某些操作。

递归的优缺点递归有以下优点：1. 可读性高：递归函数通常比迭代函数更易于理解和实现，因为它能够直接表达问题的本质。

2. 代码复用性好：递归函数可以重复调用自身，从而解决相同类型的问题，提高了代码的复用性。

然而，递归也存在一些缺点：1. 性能低下：递归函数可能会导致栈溢出，特别是在处理大规模问题时。

C语言的递归算法解析

C语言的递归算法解析递归算法是一种经常在编程中使用的重要技术。

在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。

本文将对C语言中的递归算法进行详细解析，并介绍递归算法在实际应用中的一些常见场景。

一、什么是递归算法递归算法是一种通过函数的自我调用来解决问题的方法。

在递归算法中，一个函数可以直接或间接地调用自身。

递归算法通常分为两个部分：基本情况和递归情况。

基本情况是指能够直接解决的问题，而递归情况是指将问题划分为子问题并通过递归调用解决。

递归算法的核心思想是将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。

递归算法必须要有一个终止条件，否则会进入无限循环，导致程序崩溃或者运行时间过长。

二、递归算法的实现在C语言中，递归算法可以通过函数的自我调用来实现。

下面是一个求解斐波那契数列的递归算法示例：```c#include <stdio.h>int fibonacci(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return n;} else {return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);}}int main() {int n = 10;int result = fibonacci(n);printf("The %dth Fibonacci number is: %d\n", n, result);return 0;}```在上述代码中，`fibonacci`函数通过递归调用自身来求解斐波那契数列的第n个数。

如果n为0或者1，那么直接返回n，否则将问题划分为求解第n-1个数和第n-2个数的和，并通过递归调用来解决子问题。

三、递归算法的优缺点递归算法具有以下优点：1. 递归算法可以简化问题的解决过程，将大问题划分为小问题，降低了问题解决的复杂度。

2. 递归算法的逻辑清晰，代码简洁，易于理解和维护。

然而，递归算法也存在一些缺点：1. 递归算法需要占用大量的系统栈空间，函数的调用层级过深可能导致栈溢出的问题。

第6章递归(C++版)

• 例6.18 用递归方法求两个数m和n的最大公约数。(m>0，n>0) 【分析】求两个数的最大公约数，可以用枚举因子的方法，从两者中较小的数枚举到能被两个数同时整除且是最大的约数的方法；也可以用辗转相除法，这里采用递归实现辗转相除算法： ①求m除以n的余数; ②如果余数不为0，则让m=n，n=余数，重复步骤①，即调用子程序; ③如果余数为0，则终止调用子程序; ④输出此时的n值。
2．函数的调用声明了函数原型之后，便可以按如下形式调用函数：函数名（实参列表）例如语句sum+=js(i); 实参列表中应给出与函数原型形参个数相同、类型相符的实参。在主调函数中的参数称为实参，实参一般应具有确定的值。实参可以是常量、表达式，也可以是已有确定值的变量，数组或指针名。函数调用可以作为一条语句，这时函数可以没有返回值。函数调用也可以出现在表达式中，这时就必须有一个明确的返回值。
它的执行流程如下图所示：
采用有参函数编写程序如下： #include<iostream> using namespace std; int fac(int ); int main() { int x; cin>>x; cout<<x<<"!="<<fac(x)<<endl; //主程序调用fac(x) 求x ! return 0; } int fac(int n) //函数fac(n) 求n ! { return n==0 ? 1 : n*fac(n-1); //调用函数fac(n-1)递归求(n-1) ! } 【说明】：这里出现了一个小东西，三元运算符“?:”。a?b:c的含义是：如果 a为真，则表达式的值是b，否则是c。所以n==0 ? 1 : n*fac(n-1)很好地表达了刚才的递归定义。

程序与递归组合抽象与构造课件

02
提高代码可读性
03
提高代码可维护性
使用构造方法可以使得代码更加清晰和易于理解，提高代码的可读性。
使用构造方法可以使得代码更加模块化，方便代码的维护和修改。
CHAPTER 04
组合抽象与构造
组合抽象的定义
01
02
03
组合抽象
将复杂问题分解为更小的子问题，并分别解决这些子问题，从而解决原始问题的过程。
组合抽象的步骤
识别问题、分解子问题、解决子问题、整合解决方案。
组合抽象的优点
简化问题、提高可管理性、提高效率、提高可复用性。
组合抽象的实现
选择合适的子问题
01
根据问题的性质和需求，选择合适的子问题进行分解和解决。
设计子问题的解决方案
02
针对每个子问题，设计合适的解决方案，确保子问题的解决能
案例四：组合抽象在算法设计中的应用
总结词
组合抽象的概念和实现过程
详细描述
介绍组合抽象的概念、特点和实现过程，阐述如何通过组合抽象实现算法设计中的模块化、复用性和扩展性等特性，以及组合抽象在算法设计中的重要性和应用。
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递归
递归是一种解决问题的方法，通过将问题分解为更小的子问题来解决原问题。递归的基本思想是将问题分解为若干个子问题，每个子问题都与原问题相似，但规模较小。
程序与递归的关系
01
递归是程序的一种重要结构
递归是程序设计中一种重要的结构，它可以使程序更加简洁、易于理解
。通过将程序分解为递归结构，可以降低问题的复杂度，使程序更加易
详细描述
介绍抽象类和接口的概念、特点和作用，阐述如何通过抽象类和接口实现面向对象编程中的多态、继承和封装等特性，以及抽象在面向对象编程中的重要性和应用。

递归程序设计

对于第一种计算规则，F(1,2)的计算过程终止，且F(1,2)=0; 但对第二种计算规则， F(1,2)的计算过程却永不终止，因而F(1,2)无定义。
5 - 20
上述讨论表明： (1) 递归程序可以采用不同的计算规则来进行计算； (2) 采用不同的计算规则来计算递归程序时，对相同的变元，计算过程可能终止，也可能不终止； (3) 如果对于不同的计算规则，相应的递归程序（对相同的自变元）的计算过程都终止，则它们所得的结果一定相同； (4) 在(3)的情况下，因为计算过程不同，所以虽然得到的结果相同，但其效率（计算时间和存储量）却可能差别大。总之，在递归程序的执行过程中，计算规则的选取是很重要的。本章及后面的章节中，将统一规定: 采用”最左，最内”的计算规则，即在计算过程中，总是先计算最内层的F中最左的一个。例如，在例6中，计算A(1,2)的第一种计算顺序就是按”最左，最内”的计算规则进行的。但在例7中，按”最左，最内”的计算规则去计算F(1,2)却是不终止的，故不能认为F(1,2)＝0. 虽然”最左，最内”的规则未必是最佳的，但现今具有处理递归调用功能的程序设计语言大都采用这种计算规则。
5-7
递推与递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，它在复杂算法的描述中经常被采用。能采用递归描述的算法通常有这样特征，为求解规模为N的问题，设法将它分解成一些规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模稍大问题的解。特别的，当规模N=1时，能直接得到解。
5 - 15
…递归程序的例子…
例３ Fibonacci函数 φ(x)if x=0 then 0 else if x=1 then 1 elseφ(x-1)+ φ(x-2) 其中，x为非负整数我们有φ(0)=0 φ(1)=1 φ(2)= φ(1)+ φ(0)=0+1=1 φ(3)= φ(2)+ φ(1)=1+1=2 φ(4)= φ(3)+ φ(2)=2+1=3 φ(5)= φ(4)+ φ(3)=3+2=5 … 例４计算xy 利用下述公式不难编出相应的递归程序 F(x,y)= xy: 1 y=0 F(x,y)=1 2 y为偶数 F(x,y)=(x*x)y/2 3 y为奇数 F(x,y)=xy-1*x F(x,y)if y=0 then 1 Else if even(y) then F(x*x,y/2) Else F(x,y-1)*x 其中，x 为正实数；y为非负整数例如：F(4,3)=F(4,2)*4=F(16,1)*4 =F(16,0)*64=64

递归

1 递归及其实现递归是程序设计中最常用的方法之一，许多程序设计语言都提供递归调用的功能。

有些问题用递归方法求解往往使程序非常简单清晰。

栈在实现递归调用中起了关键作用。

一个直接调用自己或通过一系到的调用语句间接地调用自己的函数，称做递归函数。

直接调用自己的函数称做直接递归函数。

间接调用自己的函数称做间接递归函数。

有很多数学函数是递归定义的。

例如阶乘函数的递归定义是1 若n=0Fact(n)=n×Fact(n-1) 若n>0又例如，Fibonacci(斐波那契)数列可递归定义为0 若n=0Fib(n) = 1 若n=1Fib(n-1)+Fib(n-2) 若n>1据此可以写出实现求n 的阶乘和求Fibonacci数列中第n项的递归算法，如算法21和算法22所示。

long int fact(int n){ //求非负整数n的阶乘if(!n) return 1; //0!=1else return n*fact(n-1); //n!=n*(n-1)!}//fact算法21 求阶乘的递归算法long int fib(int n){ //求斐波那契数列中的第n个数if(n<2) return n; //f(0)=0,f(1)=1else return fib(n-1)+fib(n-2); //若n>1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)}//fib算法22 求斐波那契数的递归算法一般地说，每一个递归函数的定义都包含两个部分。

(1) 递归基础对无需递归的规模最小的问题直接进行处理。

(2) 递归步骤将一般情况的问题简化成一个或多个规模较小的同性质的问题，递归地调用同样的方法求解这些问题，使这些问题最终简化成基础问题。

算法21的递归基础是n=0时，直接返回1（0！=1）。

一般情况下，将fact(n)简化成规模较小的问题fact(n-1)，求出fact(n-1)后再与n相乘即求得了fact(n) 。

递归及递归算法图解

递归问题的提出
第一步：将问题简化。 – 假设A杆上只有2个圆盘，即汉诺塔有2层，n＝2。
A
B
C
递归问题的提出
A
B
C
对于一个有 n（n>1）个圆盘的汉诺塔，将n个圆盘分为两部分：上面的 n-1 个圆盘和最下面的n号圆盘。将 “上面的n-1个圆盘”看成一个整体。
– 将 n-1个盘子从一根木桩移到另一根木桩上
1
当n 1时
n ! n (n 1)! 当n 1时
long int Fact(int n)
{ long int x;
if (n > 1)
{ x = Fact(n-1);
/*递归调用*/
return n*x; }
else return 1;
/*递归基础*/
}
Fact(n) 开始传进的参数n N n>1
两种不同的递归函数--递归与迭代
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(2)递归和迭代有什么差别?
递归和迭代(递推)
迭代(递推)：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直
接计算；
递归：可以自递归基础开始，由前向后依次计算或直接计算；
但有些，只能由后向前代入，直到递归基础，寻找一条路径，然后再由前向后计算。
递归包含了递推(迭代)，但递推(迭代)不能覆盖递归。
递归的概念 (5)小结
战德臣教授
组合抽象
构造递归
用递归定义
用递归构造
递归计算/执行
递归基础
递归步骤
两种不同的递归函数
递归
迭代
两种不同的递归函数--递归与迭代
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(1)两种不同的递归函数?
递归和递推：比较下面两个示例

c语言函数之递归函数

c语言函数之递归函数朱有鹏1、递归函数1.1、函数的调用机制C语言函数的调用一般在X86平台是用栈的方式来支持其操作的（也就是Calling Convention），栈是先进后出的数据结构，当函数发生调用的时候，函数以入栈的方式，将函数的返回地址、参数等进行压栈，C语言默认环境下的调用规范为，参数是从右向左依次压栈（如：printf函数），这就是函数的调用机制。

同时函数每调用一次，就会进行一次压栈，其所占的空间彼此独立，调用函数和被调用函数依靠传入参数和返回值彼此联系。

如: 一个main()函数调用函数sub（int a, int b）的简单的内存图形是：入栈int aInt bsub()返回地址main参数main()返回地址栈1.2、递归函数（1）什么是递归函数？通过简单的了解函数的调用机制，在程序设计中经常会用递归函数解决问题，此方法清晰易于理解。

那么什么是递归函数呢？递归函数的本质就是函数直接或间接调用其函数本身。

直接调用函数调用本身示例：求n的阶乘？factorial()函数直接调用其本身。

间接调用是函数调用其它函数，其它函数又调用其本身函数示例：func_1()函数中调用了func_2() 函数,func_2()函数又调用了func_1() 这样的方式就是间接递归，此示例，本身就是个错误，各位不要急后面一一道来（没有注意收敛性）。

（2）递归的调用的原理比如下例：#include<stdio.h>void recursion(int n) {printf("递归前：n = %d.\n", n); if (n > 1) {recursion(n-1);} else {printf("结束递归，n = %d.\n", n); }printf("递归后：n = %d.\n", n); }int main(void){void recursion(3);}执行结果为：递归前：n = 3.递归前：n = 2.递归前：n = 1.结束递归，n = 1.递归后：n = 1.递归后：n = 2.递归后：n = 3.函数的执行顺序，如图所示:解析：当程序执行时，通过主函数执行到void recursion(3);时，以n=3进入recursion函数中。

python 函数递归函数

python 函数递归函数摘要：1.函数和递归函数的定义2.Python 中递归函数的编写方法3.递归函数的应用举例4.递归函数的优缺点正文：1.函数和递归函数的定义在Python 编程语言中，函数是一段组织好的、可重复使用的代码块，用于执行特定任务。

而递归函数是一种特殊的函数，它通过调用自身来执行任务。

递归函数通常用于解决需要重复执行相同或类似操作的问题，以减少代码重复。

2.Python 中递归函数的编写方法要编写一个递归函数，需要遵循以下步骤：（1）定义一个函数，使用def 关键字。

（2）在函数体中，编写用于解决问题的代码。

通常，这包括一个条件判断语句，用于判断问题是否可以被直接解决。

（3）如果问题不能直接解决，编写调用自身（即递归调用）的代码。

这通常包括将函数的参数传递给函数本身，并在调用结束后返回结果。

3.递归函数的应用举例下面是一个简单的递归函数示例，用于计算给定数字的阶乘：```pythondef factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个例子中，函数`factorial`用于计算`n`的阶乘。

当`n`等于1 时，函数直接返回1，这是递归的出口。

当`n`大于1 时，函数调用自身，计算`n`乘以`n-1`的阶乘，这是递归的逻辑部分。

4.递归函数的优缺点递归函数的优点是代码简洁，易于理解。

递归函数的缺点是容易陷入无限递归，导致程序崩溃。

因此，在编写递归函数时，需要确保递归有出口，避免无限递归的情况发生。

总结一下，递归函数是一种在Python 中非常有用的编程技巧，可以用于解决许多实际问题。