《备战2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习4-3三角函数的图象与性质

4-3三角函数的图象与性质
【基础巩固强化】
1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3 B ．3 C ．6 D ．9
[答案] C
[解析] 由题意知，π3＝2π
ω·k (k ∈Z )，
∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.
(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )
A ．向左平移
π
12
个单位 B ．向左平移
π
6
个单位 C ．向右平移π
12个单位
D ．向右平移π
6
个单位
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin2(x ＋π
6)，∴f (x )的图
象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移
π
6
个单位得到，故应选B. 2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π
4
)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4
B ．x ＝π
2
C ．x ＝－π
4
D ．x ＝－π
2
[答案] C
[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题．
函数f (x )＝sin(x －
π
4
)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π
4，k ∈Z .
当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4
.
[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π
3
)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π
12
B ．x ＝
5π
12
C ．x ＝π
3
D ．x ＝π
6
[答案] A
[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
12，k ∈Z ，
令k ＝0得x ＝
π
12
，故选A. [点评] f (x )＝sin(2x ＋π
3
)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π
2
，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π
6)的一个递减区间为( )
A ．(π6，2π3)
B ．(－
π3，π6
) C ．(－
π2，π
2
) D ．(π2，3π2
)
[答案] A
[解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2得，
k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z )，
令k ＝0得，
π6≤x ≤2π3
，故选A. (理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2，π)
上单调递减，则ω的取值范围是( )
A ．[12，5
4]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2]
D ．(0,2]
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．
ω＝2⇒ωx ＋π4∈[
5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π
4
，5π
4
]合题意，排除B ，C. 4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π
4]上的最
小值是－2，则ω的最小值为( )
A.23
B.32 C ．2 D ．3
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T
4≤π3，即π2ω≤π3
， ∴ω≥32，即ω的最小值为3
2
.
5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝π
2
，φ＝
π
4
B．ω＝π
3
，φ＝
π
6
C．ω＝π
4
，φ＝
π
4
D．ω＝π
4
，φ＝
5π
4
[答案] C
[解析]∵T
4
＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝
2π
T＝
π
4
.
令π
4
×1＋φ＝
π
2
，得φ＝
π
4
，∴选C.
(理)函数y＝
x
sin x
，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )
[答案] C
[解析] 依题意，函数y ＝
x
sin x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝
x
sin x
>1，故选C. 6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π
4)，则( )
A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
4对称
B ．y ＝f (x )在(0，
π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π
2
对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
4对称
D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π
2对称
[答案] D
[解析] f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .
则函数在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称．
(理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：
①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝3
2；
③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π
8是函数y ＝sin(2x
＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形．
其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤
[答案] C
[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 2
3
x 是奇函数；
②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<3
2，所以不存在实数α，
使得sin α＋cos α＝3
2
；
③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，
即tan α<tan β不成立； ④把x ＝
π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2
＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π
4)的一条对称轴；
⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π
2
＝1，
所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π
3)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1
2，1]，则b －a 的最小
值为________．
[答案] 2π
3
[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π
3
，k ∈Z ，cos x ＝1时，
x ＝2k π，k ∈Z .
由图象观察知，b －a 的最小值为
2π
3
. (理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于
π
2
，则正数ω的值为________． [答案] 1
[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋
π3
)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π
2，T ＝2
π，所以ω＝1.
8．已知关于x 的方程2sin 2
x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π
2
，π)上有两个
不同的实数根，则m 的取值范围是________．
[答案] －2<m <－1
[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π
6
)，
∵x ∈(π
2
，π)时，原方程有两个不同的实数根，
∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π
2
，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.
9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π
3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对
称，若x 0∈[－π
2
，0]，则x 0＝________.
[答案] －
π6
[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π
3
)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π
3
)＝0，
∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π
6
.
10．(文)(2011·北京文)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6
)－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间[－
π6，π
4
]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)－1
＝4cos x (32sin x ＋1
2
cos x )－1
＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6
)．
所以f (x )的最小正周期为π.
(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3.
于是，当2x ＋
π6＝π2，即x ＝π
6
时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋
π6＝－π6，即x ＝－π
6
时，f (x )取得最小值－1. (理)(2011·天津南开中学月考)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋
3
2
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤
π
2
时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32
＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， 所以f (x )的最小正周期为π.
令sin(2x －π3)＝0，得2x －π
3＝k π，
∴x ＝
k π2＋π6
，k ∈Z .
故所求对称中心的坐标为(
k π2＋π6
，0)(k ∈Z )．
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3
.
∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3
2，1].
【能力拓展提升】
11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x
|(0<x <π)的图象大致是( )
[答案] B [解析] y ＝sin x ·|
cos x
sin x
| ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
cos x ，0<x <
π
2
0，x ＝
π2
－cos x ，π2<x <π
.
(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，y ＝f (x )
的部分图象如图，则f (π
24
)＝(
)
A ．2＋ 3
B. 3
[答案] B
[解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π
2，
∴ω＝
π
T
＝2，
又∵图象过点(3
8
π，0)，
∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(3
4π＋φ)＝0，
∴φ＝π
4
.
又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π
4)＝A ＝1，
∴f (x )＝tan(2x ＋
π4
)， ∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)
＝tan(π12＋π4)＝tan π
3
＝ 3.
12．(文)为了使函数y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )
A ．98π B.1972π C ．99π D ．100π
[答案] C
[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥
1，∴ω≤99π，故选C.
(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至
少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 [答案] C
[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，
∴t ≥7
4
T ＝7，故选C.
13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π
2))
的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝
π
12
对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点(π
4，0)对称；
②图象关于点(π
3，0)对称；
③在[0，π
6]上是增函数；
④在[－
π
6
，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④
[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝
π
12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π
3
，
∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π
3)
＝0，故②正确；由2k π－
π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π
12
≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π
12
，故③错，④正确，∴正确结论为②④.
(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：
①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数
f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π
2]上单调递增，在区间[－π2
，0]上单调递减．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④
[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π
2)
＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2
， ∴②假；∵f (
π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π
2
)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤
π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1
sin x 2
<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π
2，0]上为减函数，
∴④真．
14．函数f (x )＝2a cos 2
x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32
.
(1)求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．
[解析]
(1)由⎩⎨⎧
f 0＝2，
f π3
＝12＋32
，
得⎩⎨⎧
2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.
解得a ＝1，b ＝2，
∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π
4)＋1，
∵－1≤sin(2x ＋
π
4
)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2.
(2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋
π4)＝sin(2β＋π4
)． ∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π
4
)，且α≠β，
∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π
4)，
∴α＋β＝
π4或α＋β＝5π
4
，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π
2－x )．
(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝1
3，求f (α)的值；
(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝1
3＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，
∴α∈(0，
π
2
)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝4
3，
得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝2
3 3.
(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π
4)，又0≤x ≤π，
∴f (x )的单调递增区间为[0，
π4
]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，
n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .
(1)求角B 的大小；
(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )
在区间[0，π
2
]上的最大值和最小值．
[解析](1)由m∥n得，b cos C＝(2a－c)cos B，
∴b cos C＋c cos B＝2a cos B.
由正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos B，即sin(B＋C)＝2sin A cos B.
又B＋C＝π－A，∴sin A＝2sin A cos B.
又sin A≠0，∴cos B＝1
2
.又B∈(0，π)，∴B＝
π
3
.
(2)由题知f(x)＝cos(ωx－π
6
)＋sinωx
＝
3
2
cosωx＋
3
2
sinωx＝3sin(ωx＋
π
6
)，
由已知得2π
ω＝π，∴
ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋
π
6
)，
当x∈[0，π
2
]时，(2x＋
π
6
)∈[
π
6
，
7π
6
]，
sin(2x＋π
6
)∈[－
1
2
，1]．
因此，当2x＋π
6
＝
π
2
，即x＝
π
6
时，f(x)取得最大值 3.
当2x＋π
6
＝
7π
6
，即x＝
π
2
时，f(x)取得最小值－
3
2
.
16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sin x cos x＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
[解析]f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π
6 )，
(1)由2kπ＋π
2
≤2x＋
π
6
≤2kπ＋
3π
2
(k∈Z)
得kπ＋π
6
≤x≤kπ＋
2π
3
(k∈Z)，
∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π
3](k ∈Z )．
(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π
6＝k π(k ∈Z )，
即x ＝
k π2－π12
(k ∈Z )，
∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π
12
，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋
π6)＝2sin(2β＋π6
)， 又∵角α与β的终边不共线，
∴(2α＋π6)＋(2β＋π
6)＝2k π＋π(k ∈Z )，
即α＋β＝k π＋π
3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.
(理
)
(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π
2.y ＝f (x )
的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，
A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π
3，求A 的值．
[解析] (1)由题意得，T ＝
2π
π3
＝6，
因为P (1，A )在y ＝A sin(π
3x ＋φ)的图象上，
所以sin(π
3
＋φ)＝1.
又因为0<φ<π2，所以φ＝π
6.
(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，
由题意可知
π3x 0＋π6＝3π
2
，得x 0＝4， 所以Q (4，－A )．
连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2
3
π，由余弦定理得，
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－1
2，
解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3. 【备选】
1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－
π
2
<φ<0)在x ＝5π
6
处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )
A ．[－π，－5π
6]
B ．[－5π6，－π6]
C ．[－
π
3
，0] D ．[－
π
6
，0] [答案] D
[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝
5π6处取得最大值，A >0，－π
2
<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )得2k
π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π
6
≤x ≤0，故选D.
2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个
单位长度后，与函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2 C.1
12 D.233
[答案] D
[解析] y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3，
∴
π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －1
3
(k ∈Z )， 又∵ω>0，∴ωmin ＝
23
3
. 3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πx
R
图象上相邻的一个最大
值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] D
[解析] f (x )的周期T ＝2ππ
R
＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知
R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.
4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin
θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )
A ．x ＝π
B ．x ＝
7π
8
C ．x ＝π
4
D ．x ＝π
2
[答案] B
[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π
4)．
由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π
8，
令k ＝1得x ＝7π
8
，故选B. 5.
(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设
P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )
A ．10
B ．8 C.87 D.47
[答案] B
[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．
[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝
2π
π
＝2，tan α＝
AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝12＋3
21－12×3
2＝8，∴选B.
6．对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )
A ．y 1＝y 2
B ．y 1>y 2
C ．y 1<y 2
D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B
[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1
x 1
的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)
的直线斜率，1＋sin x 2
x 2
的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，
观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.
7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎨⎧
sin x ，sin x ≤cos x
cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命
题：
[键入文字]
2014年高三数学一轮复习（新课标）
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1；
③该函数的图象关于直线x ＝5π4
＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22
. 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确．
8．已知函数f (x )＝3sin(2x －
π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．
[解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3
)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.
(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －
π3)＝1，得出x ＝k π＋5π12
(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。