数据结构第5章—树和二叉树

顺序存储结构
❖它是用一组连续的存储单元存储二叉树的数据元素。 因此，必须把二叉树的所有结点安排成为一个恰当的序 列，结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的 逻辑关系，用编号的方法：
#define MAX-TREE-SIZE 100
typedef TElemType SqBiTree[MAX-TREESIZE];
A、n=h+m B、h+m=2n C、m=2h-1 D、n=2h-1
答案：1（C） 2（B） 3（C、D）
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5.2.2 二叉树的性质
填空题
1、深度为k的完全二叉树至少有（ ）个结点，至多
有（ ）个结点，若自上而下，从左到右次序给结点
编号（从1开始），则编号最小的叶子结点的编号是
取对数 k-1 < log2n ≤ k，又k是整数， 因此有 h = log2n ＋1
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5.2.2 二叉树的性质
【性质5】如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点 按层序编号(从第1层到第 log2n +1层，每层从左到右) ，则对任一结点i(1 ≤ i ≤ n)，有：
i 1
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5.2.2 二叉树的性质
【性质3 】对任何一棵二叉树T，如果其叶结点数为 n0， 度为2的结点数为 n2，则n0＝n2＋1。 【证明】设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点
数为：n＝n0＋n1＋n2 二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进
编码及带权路径长度的计算。
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本章内容
5.1 树的定义和基本术语 5.2 二叉树 5.3遍历二叉树和线索二叉树 5.4树和森林 5.5 赫夫曼树及其应用
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5.1 树的定义和基本术语
5.1.1 树的定义
M
则A结点是B结点的双亲；如B是E的双亲。
4、兄弟结点：同一双亲的孩子结点；如H、I、J互为兄弟。
5、堂兄结点：同一层上结点；如G与E、F、H、I、J互为堂兄
6、祖先结点：结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结
点； 如H的祖先为A、D。
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5.1.2 基本术语
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树的逻辑结构特点
1. 树中只有根结点没有前趋； 2. 除根外，其余结点都有且仅一个前趋；
3. 树的结点，可以有零个或多个后继；
4. 除根外的其它结点，都存在唯一条从根到该结点
的路径；
A
5. 树是一种分支结构(除了一个 称为根的结点外)每个元素都有 且仅有一个直接前趋，有且仅有
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树的表示法
嵌套集合表示法
凹入表表示法
广义表表示法
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树的示例
A
B
C
D
E
FG H I J
KL
M
T = { A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L } A是根，其余结点可以划分为3个互不相交的集合： T1= { B，E，F，K，L } T2 ={ C，G } T3 ={ D，H，I，J，M } 这些集合中的每一集合都本身又是一棵树，它们是A的子树。 对于T1，B是根，其余结点可以划分为2个互不相交的集合： T11 ={ E，K，L } T12 ={ F } T11，T12是B的子树。
（ ）。
2、一棵有n（n>0）个结点的满二叉树共有（ ）个叶
子结点和（ ）个非叶子结点。
3、P139 习题6题
答案：
1、2k-1, 2k-1,2k-1
2、2log2(n+1)-1 , 2log2(n+1)-1-1 3、 2h-1,2h-1
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5.2.3 二叉树的存储结构
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5.2.2 二叉树的性质
选择题
1、按二叉树的定义，具有3个结点的二叉树有（ ）
种。
A、3 B、4
C、5
D、6
2、深度为5的二叉树至多有（ ）个结点。
A、16 B、31 C、32 D、10
3、对一个满二叉树，m个树叶，n个结点，深度为h，
则（ ）。
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5.2.2 二叉树的性质
【性质2 】深度为 k 的二叉树至多有 2k-1个结点(k ≥1) 【证明】由【性质1】可见，深度为k的二叉树的最大结 点数为
k
(第i层上的最大结点数）
i 1
=
k
2i 1
= 20 + 21 + … + 2k-1 = 2k-1
B
C
D
E
FGH I J
零个或多个直接后继。
KL
M
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树的应用
树可表示具有分支结构关系的对象
【例1】 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H
、I、J、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的
树表示。
A
Байду номын сангаас
【例2】 单位行政机构的组织关系 B
二叉树的形态
φ
L
L
R
R
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
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两种特殊的二叉树
1、满二叉树：深度为k的二叉树，有2k-1个结点则称为 满二叉树； 2、完全二叉树：如果深度为k、由n个结点的二叉树中 个结点能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标 号的结点相对应，则称为完全二叉树。 完全二叉树的特点是： 1. 所有的叶结点都出现在第k层或k-1层(即：倒数两层)。 2. 对任一结点，如果其右子树的最大层次为L ，则其 左子树的最大层次为 L 或 L+1。
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一般二叉树的顺序表示
一般二叉树也按完全二叉树形式存储，只有增添一些并不
存在的空结点(用Ø表示，Ø 表示该处没有元素存在，仅仅为了
好理解)，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组
7、子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点称为
该结点的子孙；如A的子孙为B、C、…、L、M。 A
8、结点的度：结点子树的个数；
B
C
D
如D的度为3。
E
FGH I J
9、叶子结点：也叫终端结点，
KL
M
是度为0的结点；如K、L、F、G、M、I、J。
10、分支结点：度不为0的结点；如A、B、C、D
11、结点层次：根结点的层定义为1，根的孩子为第二层结点，
【性质1 】在二叉树的第 i 层上至多有 2i -1个结点。(i ≥ 1) 【证明】当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
假设对所有j， 1≤j﹤i，命题成立，即第j层上至多 有2 j-1 个结点。
由归纳假设第i-1 层上至多有 2i -2个结点。 由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上 的最大结点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2×2i -2= 2 i-1。
数据结构
—— 第5章 树和二叉树
目标
1、理解树的定义和基本术语，重点了解二叉树 的定义、性质和存储结构。
2、掌握二叉树遍历的递归算法及它的典型运算。 3、理解线索化二叉树的特性以及寻找某结点的
前驱和后继的方法。 4、理解树、森林和二叉树间的相互转换规则。 5、掌握哈夫曼树的实现方法，理解构造哈夫曼
入分支，设B为二叉树中的分支总数， 则有：n＝B＋1。 由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所以有： B＝n1+2×n2 ；即： n＝B＋1＝n1＋2×n2＋1
得到： n0＋n1＋n2 =n1＋2×n2＋1 ；即：n0＝n2＋1
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5.2.2 二叉树的性质
【性质 4】具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。 【说明】 x 表示不大于x的最大整数，如3.2 =3； 【证明】设完全二叉树的深度为 k，则根据【性质2 】 和完全二叉树的定义有
2k-1-1< n ≤2k-1或 2k-1 ≤ n< 2k（ n=2k-1 表示第k层只 有最左边一个结点，n= 2k-1表示满二叉树）
C
D
E
FG H I J
KL
M
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树的应用
树是常用的数据组织形式
有些应用中数据元素之间并不存在分支结构关系，但是
为了便于管理和使用数据，将它们用树的形式来组织。
【例3】计算机的文件系统
不论是DOS文件系统还是window文件系统，所
有的文件是用树的形式来组织的。
C
文件夹1 文件夹2 文件1 文件2
文件夹11 文件夹11 文件11 文件12
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5.1.2 基本术语
1、树的结点：包含一个数据元素的 内容及若干指向子树的分支。
A
B
C
D
2、孩子结点：结点的子树的根称为
E
FGH I J
该结点的孩子；如E是B的孩子。 K L 3、双亲结点：B结点是A结点的孩子，
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顺序存储结构
通常是按照二叉树结点从上至下、从左到右的 顺序存储，但这样结点在存储位置上的前驱后继关系 并不一定就是它们在逻辑上的邻接关系，只有通过一 些方法确定某结点在逻辑上的前驱结点和后继结点， 这种存储才有意义。
依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采 用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反 映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节 省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点 在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。
子树、右子树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左
、右子树本身也是二叉树。
A
【说明】
B
C
1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 D
E
F
树，二叉树每个结点的度≤2；
G
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定义中又用到了二
叉树的概念。
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完全二叉树的顺序表示
A
B
C
如何反映结点之 间的逻辑关系？
D
E
F
G
例如：
H I JK L
bt[3]的双亲为└3/2┘=1，即在 bt[1]中；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其左孩子在bt[2i]=bt[6]中； A B C D E F G H I J K L 其右孩子在bt[2i+1]=bt[7]中。
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。它或为空树(n =0)；或为非空树，如果是非空树，则
➢ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直接后 继，但没有直接前驱； ➢ 当n >1，除根以外的其它结点划分为 m (m>0) 个互不相交的 有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称 为根的子树(SubTree)。 【注1】过去许多书籍中都定义树为n≥1，曾经有“空树不是树” 的说法，但现在树的定义已修改。 【注2】树的定义具有递归性，即树中还有树。
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两种特殊的二叉树
1
2
4
5
3
满
满二叉树二
6
7
叉
树
8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
67
8 9 10 11 12
完全二叉树
1
1
2
32
3
4
5
45
6
6 7 非完全二叉树
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5.2.2 二叉树的性质
以此类推。
12、树的深度：树中结点的最大层次；如图所示树的深度为4。 13、树的度： 树中各结点的度的最大值；如图所示树的度为3。 14、森林：m(m>=0)棵互不相交的树的集合；
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5.2 二叉树
5.2.1 二叉树的定义
二叉树：或为空树，或由根及最多两棵互不相交的左
1. 若i= 1, 则 i 是二叉树的根，无双亲 2. 若i > 1, 则 i 的双亲为i /2 3. 若2i ≤ n, 则 i 的左孩子为2i，否则无左孩子 4. 若2i+1≤n, 则 i 的右孩子为2i+1，否则无右孩子 5. 若 i 为奇数, 且i≠1, 则其左兄弟为i-1 6. 若 i 为偶数, 且i≠n, 则其右兄弟为i+1