最优控制与状态估计2

J [ x (t f )]
tf t0
H ( x, u, λ, t ) d t λ (t ) x
T
tf t0

tf t0
T (t ) x d t λ
（12）
当泛函J 取极值时，其一次变分等于零。 即
δJ 0
可以变分的量： u(t ) u(t ) δ u
x (t f ) x (t f ) δ x (t f )
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泛函的变分等于
J x(t ) x 0
3、泛函变分的规则 1） 2） 3） 4）
δ( L1 L2 ) δ L1 δ L2
δ( L1 L2 ) L1 δ L2 L2 δ L1
Hale Waihona Puke δb a , t]d t L[ x , x
b a
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第一部分、最优控制
什么是最优控制？以下通过例子来说明 问题 1： 电动机的运动方程为
d K m I D TF J D （1） dt 其中，K m 为转矩系数；J D为转动惯 TF 为恒定的负载转矩； 量；

tf 0
(t ) d t const
（2）
希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度 tf 2 E R I R 后停止，使电枢电阻 D 上的损耗 D D (t ) d t最小，求 I D (t )
0 0
在 x U ( x0 , ) D 时，均有 Δ J [ x ] J [ x ] J [ x 0 ] ≤0 Δ J [ x ] J [ x ] J [ x 0 ] ≥0 或 则称 J ( x ) 在 x x0处达到极大值或极小值。
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定理：设 J [ x ] 是在线性赋泛空间 R n 上某个开子集D 中定义的可 微泛函，且在 x x0 处达到极值的必要条件是对于J [ x ] 在 x x0 处 必有泛函
δ J [ x0 , δ x ] 0
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变分 2 J 。但在实 际问题中根据问题的性质容易判别是极大还是极小，故一般 不计算 2 J 。
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欧拉方程：
, t )dt J [ x ] L( x , x 定理：设有如下泛函极值问题： min t x (t )
tf
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J 取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是任意的，要
使上式中第一项（积分项）为零，必有
L d L ( )0 x dt x
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
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二、用变分法求解最优控制问题
1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制 非线性时变系统状态方程为
f ( x, u, t ) x
初始状态
（6） （7）
x (t )
t t 0
x (t0 )
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。 要求在控制空间中寻求一个最优控制向量 u(t )，使以下性能指标
沿最优轨线 x (t )取极小值。 （性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎 问题）
x (t ) x * (t ) x (t )
于是泛函J 的增量J
J
(t ) x * (t ) x (t ) x
可计算如下（以下将*号省去）

tf t0
tf
x , t L x, x , t dt L x x , x
初始状态为 x (t0 )
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数， 它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。 寻求在[ t 0 , t f ]上的最优控制 u R r 或 u U R r ，以将系统状 态从 x (t0 ) 转移到 x (t f ) 或 x (t f ) 的一个集合，并使性能指标
x (t ) x (t ) δ x
不可以变分的量： t0
T
tf
x (t0 )
λ(t )
T T H H T δ x δ u λ δ x dt 0 u x
求出J 的一次变分并令其为零
tf T δJ δ x (t f ) λ (t f ) δ x (t f ) t0 x (t f )
I D (t )
≤ I D max
tf 0
（5） （6）
性能指标
J
dt tf
最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 I D (t )≤ I D max ，将 x (t f ) 转移到 x (0) ，使J 为极小。
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最优控制问题的一般性提法为
f ( x, u, t ) 系统状态方程为 x
定义：设 J [ x ]是线性赋泛空间 R 上的连续泛函，其增量可表示为 Δ J [ x ] J [ x δ x ] J [ x ] L[ x , δ x ] r[ x , δ x ] L[ x, δ x ]是关于 δ x 的线性连续泛函， r[ x , δ x ] 是关于δ x 的高阶 其中， 无穷小。则 δ J L[ x , δ x ] 称为泛函 J [ x ] 的变分。
J [ x] x(t ) d t
0 3
（其中，x(t )为在[ 0 , 3 ]上连续可积函数）
t x ( t ) t x ( t ) e J 4 . 5 当 时，有 ；当 时，有 J e3 1 。
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泛函 J [ x (t )]如果满足以下条件时，称为线性泛函： 1） J [cx (t )] cJ [ x (t )] ，其中c 为任意常数； 2） J [ x1 (t ) x 2 (t )] J [ x1 (t )] J [ x 2 (t )] 对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 x (t ) x0 (t ) 时，有
x1 (t f ) x1 (0) 0 初始状态 末值状态 x (t ) 2 f 0 x 2 ( 0) 0
性能指标
E
tf 0
2 RD I D (t ) d t
本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个 控制 I D (t ) ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为最 小。
J [ x (t f ), t f ]
tf t0
L( x , u, t ) d t
最优。其中 L( x , u, t ) 是 x 、u 和t 的连续函数 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。
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第一章、用变分法求解最优控制问题
一、泛函与变分
1、泛函的基本定义： 如果对于某个函数集合 x(t )中的每一个函数 x(t )，变量J 都有一个 值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 x(t ) 的泛函，记作 J x(t ) 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如：

tf t0
L L x x dt x x
对上式第二项作分部积分，按公式

可得
tf t0
tf t0
udv uv
tf t0


tf t0
vdu
J
L L d L ( ) xdt x x x dt x t0
将性能指标（8）式改写为其等价形式
t0
]} d t J [ x (t f )] {L( x , u, t ) λT (t )[ f ( x , u, t ) x
定义哈密顿函数 H ( x , u, λ, t ) L( x , u, t ) λT (t ) f ( x , u, t ) 则 （10）
0
tf
, t ) 及 x (t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t0 和 t f 给定， 其中， L( x , x
x (t f ) x f ，x (t ) R n ，则极值轨线 x * (t ) 满足如下欧 已知 x (t0 ) x0 ， 拉方程
L d L 0 x d t x
J [ x (t f )] [ x (t f )]
tf t0 tf t0
]d t [ H ( x, u, λ, t ) λT (t ) x H ( x , u, λ, t ) d t
tf t0
dt λT (t ) x
（11）
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对（11）式中的第三项进行分部积分，得
T
及横截条件
L x
tf
L x(t f ) x
T
x(t0 ) 0
t0
注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
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证明：让自变量函数 x (t ) 、 * (t ) 附 (t ) 在极值曲线 x * (t ) 、x x 近发生微小变分 x、 x ，即
0
因为 I D 是时间的函数，E 又是 I D 的函数，E 是函数的函数，称为 泛函。
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采用状态方程表示，令 1 x2 x x1 于是
2 x
Km TF ID JD JD
（3） 控制 I D 不受限制 （4）
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 J D D