时标意义下定常线性二次最优控制问题求解论文

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最优控制论文..docx

最优控制方法的分析和综合摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。

最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。

而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。

通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制的问题。

最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。

所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。

第一章最优控制的一般概念1.1背景知识在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。

所谓的自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备和装置，是机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动按照预定的规律运行。

近几十年来，随着电子计算机技术的发展和应用，在宇宙航行、机器人控制、导弹制导以及核动力等高新技术的领域中，自动控制技术更具有特别重要的作用。

自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。

它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制。

第二次世界大战期间，为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统以及其它基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。

到战后，已形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入—单输出、线性定常系统的分析和设计问题。

随着现代应用数学新成果的推出和电子计算机技术的应用，为适应宇航技术的发展，自动控制理论跨入了一个新阶段——现代控制理论。

它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最忧控制问题，主要采用的方法是以状态为基础的状态空间法。

从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析

2018/10/31
1
第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0

线性二次型最优控制器的设计

99
线性二次型最优控制器的设计
u
B
﹢ ∑ x ﹢
.
∫
A
x
C ﹢ ∑ ﹣∧ C
y
B
﹢ ∑ x ﹢﹢
. ∧
∫
A G
x
∧
y
Figure 2. Reconstruction of state x ( t ) 图 2. 状态 x ( t ) 的重构示意图
u u u
系统
y
控制器
x
∧
u
观测器
y
Figure 3. An optimal controller with a state observer 图 3. 带有观测器的最优控制器
根据以上步骤，得出线性二次型最优控制器结构图如图 1 所示。线性二次型最优控制器的特点如下所示： 1) 最优控制式 u ∗ ( t ) 是线性状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制；
2) 黎卡提方程是非线性矩阵微分方程，通常只能采用计算机逆时间方向求数值解。由于黎卡提方程与状态及控制变量无关，因而在定常系统情况下可以离线算出 P ( t ) ； 3) 只要时间区间黎卡提矩阵微分方程的解 P ( t ) 就是时变的，最优反馈系统将成为 t0 , t f 是有限的，线性时变系统，即使对于线性定常系统，加权阵为常阵，求出的 P ( t ) 也是时变的。
关键词
最优控制，线性系统，状态反馈
1. 引言
线性二次型最优控制问题属于线性系统综合理论中简单而又应用广泛的一类优化型综合问题，是现代控制理论中的最重要的成果之一。优化型综合问题的特点是通过使全面表征系统性能好坏程度的性能指标函数取极大或极小值来确定系统的控制规律。如果系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，则这样的最优控制问题称为二次型最优控制问题。二次型性能指标具有明显物理意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求。线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)的最优解可以用统一的解析式表示，且可得到一个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制，这对最优控制在工程应用中的实现具有十分重要的意义。同时，线性二次型问题还可以兼顾系统性能指标如快速性、准确性、稳定性和灵敏度等多方面因素。线性二次型问题是最优控制问题中简单而且应用广泛的一类优化问题。线性二次型最优控制器的实现是先计算出使性能指标泛函取极小值的输入量 u ∗ ( t ) ，而 u ∗ ( t ) 的作用是通过状态的线性反馈来实现的，即通过确定状态的最优反馈系数来实现最优控制。在 20 世纪 60 年代之前，控制系统的设计风格为：手算，利用作图，反复试凑；而在 20 世纪 60 年代之后，控制系统的设计风格为：提出目标函数，采用优化方法，使用数字计算机，重视算法。LQR 控制器的研究具有普遍意义，易于获得解析解，最为可贵的是能获得线性反馈的结构[1] [2]。 LQR 控制即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函

基于MATLAB的线性二次型最优控制算法及应用研究

基于MATLAB的线性二次型最优控制算法及应用研究摘要早在上世纪50年代，世界上就出现了对于线性二次型最优控制LQ（Linear Quadratic）的研究。

随着对LQ的不断深入研究，如今它已经成为了现代控制理论中最经典的最优控制之一。

在各种关于对LQ的研究中，基于状态反馈控制器的研究是最为系统且完整的。

而直线一级倒立摆系统作为研究控制理论的一种实验平台，它不但结构简单，价格低廉，而且可以反映出控制中的许多典型问题，从而使它在很多领域都得到了应用。

MATLAB作为数字仿真领域中所使用的系统软件的代表，且又具有功能强大的函数库，能使研究者们便捷地实现现代控制理论的目标。

本文针对一阶线性系统，以状态变量x和控制输入变量u构成的二次型函数为目标函数，研究了线性二次型最优控制算法中的三个主要研究方向，具体为状态调节器问题、输出调节器问题以及跟踪器问题，并分别给出数值算例进行了MATLAB仿真。

最后以直线一级倒立摆系统作为具体的例子，研究了如何利用线性二次型最优控制实现倒立摆控制器设计，并给出系统模型及MATLAB仿真波形。

该论文有图14幅，表2个，参考文献32篇。

关键词：线性二次型最优控制状态调节器输出调节器跟踪器MATLAB 倒立摆系统The Algorithm and Application Research of Linear Quadratic Optimal Control based on MATLABAbstractIn early 1950, there appeared for the research of the linear quadratic optimal control LQ (Linear Quadratic) , with the deepening study of LQ, LQ has now become one of the most classical optimal control of the modern control theory. In many of research on LQ, one of them which based on state feedback controller is the most systematic and complete. And the linear inverted pendulum system as an experimental platform which research the control theory, it not only has the advantages of simple structure, low price, but also can reflect many typical control problem, so it has been applied in many fields.MATLAB, as the representative of the system software used in the field of digital simulation, and has a powerful function library, so it can make the researchers easily achieve the goals of modern control theory.In this paper, for the first-order linear system, the quadratic function formed by the state variable x and the control input variable U is the objective function,and studies three major issues in the linear quadratic optimal control algorithm,which are the state regulator problem, the output regulator problem and tracker problem, and gives the specific numerical examples and simulates these problems by MATLAB. Then this paper studies the application of linear quadratic optimal control in the inverted pendulum controller design, gives system model and the MATLAB simulation waveform.Key Words:Linear quadratic optimal control state regulator output regulator tracker MATLAB inverted pendulum system目录摘要 (I)Abstract ........................................................................................................................ I I 目录 . (III)图清单 (V)表清单 (V)1 绪论 (1)1.1 课题的研究背景及意义 (1)1.2 课题的研究现状 (2)1.3 本文研究工作与内容安排 (3)2 MATLAB基础 (4)2.1 简述 (4)2.2 MATLAB基本功能及特点 (4)2.3 M文件的使用 (5)2.4 本章小结 (7)3 线性二次型理论研究及MATLAB仿真 (8)3.1 线性二次型基本理论 (8)3.2 状态调节器问题研究 (9)3.3 输出调节器问题研究 (14)3.4 跟踪器问题研究 (17)3.5 本章小结 (22)4 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现 (23)4.1 问题简述 (23)4.2 倒立摆系统的数学模型 (23)4.3 二次型最优控制器 (25)4.4 Simulink仿真 (27)4.5 本章小结 (31)5 总结与展望 (32)参考文献 (33)致谢 (35)附录 (36)图清单表清单1 绪论早在1950年，就有人开始对于线性二次型最优控制LQ 进行研究，到了现在LQ 的研究理论不断成熟，已经成为现代控制理论中最经典的最优控制之一。

第4章线性二次型最优控制

由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n，即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能，可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可以将 Q(t)逐渐取大。二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得到的最优控制规律也是完全不一样的。（4）线性二次型最优控制问题的三种类型依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为如下三类： I. 状态调节器问题此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题

线性二次型最优控制

线性二次型最优控制(12/12) 线性二次型最优控制(12/12)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3) 若z(t)≠0,则e(t)=z(t)-y(t)。则。这时,线性二次型问题为用不大的控制能量这时线性二次型问题为:用不大的控制能量使输出线性二次型问题为用不大的控制能量,使输出 y(t)跟踪期望信号的变化称为输出跟踪问题。跟踪期望信号z(t)的变化称为输出跟踪问题。跟踪期望信号的变化,称为输出跟踪问题下面将陆续介绍状态调节器、下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为具体内容为：求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现具体内容为：时变状态调节器定常状态调节器
1 τ 1 tf τ J [u(⋅)] = y (t f ) Fy (t f ) + ∫ [ y (t )Q(t ) y (t ) + u τ (t ) R (t )u(t )]dt 2 2 t0
该问题转化成:用不大的控制能量使输出值该问题转化成用不大的控制能量,使输出值保持在零值用不大的控制能量使输出值y(t)保持在零值附近,称为输出调节器问题称为输出调节器问题。附近称为输出调节器问题。
线性二次型最优控制(6/12) 线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 下面对上述性能指标泛函作细致的讨论 1) 性能指标泛函性能指标泛函J[u(·)]中的第项 eτ(tf)Fe(tf),是为了突出对中的第1项中的第是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端末端目标的控制误差的要求和限制而引进的称为末端代价函数。代价函数。非负定的常数矩阵F为加权矩阵其各行各列元素的非负定的常数矩阵为加权矩阵,其各行各列元素的为加权矩阵值的不同,体现了对误差向量在末态时刻t 体现了对误差向量e(t)在末态时刻值的不同体现了对误差向量在末态时刻 f各分量的要求不同、重要性不同。的要求不同、重要性不同。若矩阵F的第行第列元素值较大,代表二次项的重若矩阵的第i行第列元素值较大代表二次项的重的第行第i列元素值较大要性较大,对其精度要求较高对其精度要求较高。要性较大对其精度要求较高。

in_无限维系统线性二次最优控制问题

浙江大学博士后士学位论文无限维系统线性二次最优控制问题姓名：***申请学位级别：博士后士专业：运筹学与控制论指导教师：***2000.7.1内容摘要小报佟ｔｌｔ的研究埘象为厄限维系统，包括确定性的抽象发展系统制砸机系统±ｊ州为姐Ｊ１－，ｊ的复尔系统，垃、‘１｝；Ｕ拱ｉ制科０：：州究的一ｊ：ｉ：，＾剁舯瞄之小｛Ｈ；ＩｉｌｌＬ‘’山曲个洲分：讹部分建●。

ｒ分ｎＪ参数系统的“ＢｊｌＩ＝小删沦钒。

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¨玖最优揣；ａ，４ＩｉＵ题一／｜ｊｕ州分托ｔＲ讨沦从线一儿次最优控制叫题（阳杨：ＬＱ川邀ｊ挝…的此教问阻乔ｑ埔％从慨１小Ｉ求侧７ｔｎ｝刮襞此般＋ｒｌ？｝＾粜，为拎制删沦服务刈』－而尔们特。

邓｛川，．玖泛蛹的檄值问题，卣次给ｆ｜ｌ厂该川题适定。

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Ｊ¨刈ＪＪ｛ｆｉ尤界搬动手ｕ厄界ｌ。

Ｊ由Ｊ＿！ｉ！的线性发展系统，给出厂斛天Ｊ－ｌ’川｛Ｊ灿内表达Ｊ℃（即相应常数变易公式），推广了Ｃｕｒｔａｉｎ＆Ｐｒｉｔｃｈａｒｄ、李洲终’Ｊ刘Ｊ隶”李训纤１Ｊ稚‘炯敏等人的Ｌ，作。

作为卣接的应用，柏ｊ通常的控制表小为反馈加ｊ．’挎删的变换ｈ抛物型偏微分方科的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ、Ｘｉｅｕｌｎａｎｎ边界挖制羊¨．＾态拧圳挪ｒｔⅢＪ此抽象批架统处州之。

“部分＿＿ｉ】｝究了随机系统ｔｔ¨藤型方程）线｛ｑ．．次最优控制叫题。

＋Ｊ确止ｒＩ川题棚【Ｅ，随机线‘附：：次最优控制问题有着新的特点车¨Ⅲ难，此时小仪’ｒｉｚ¨匕，Ｕ丁¨ｔ‘仆＿｛；】控制Ｊ贝加权算ｒ（锋『５々）１１Ｔ以取为负定，ｌ而｝１相应的Ｒｉｃｃａｔｉ方科ｔ｝ｔ…现Ｊ’禽ｆ术，＝ｌｊ鲥ｉ阵的奇肄项。

线性二次型最优控制问题

2019/6/13
9
对容许控制()和终态()的说明
（）在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制作用()的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对()进行必要的限制。实际上，用适当选择()和()数值比例的方法，同样可以把()的幅值限制在适当的范围之内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实现对()的限制。
Y (t) X (t) e (t)
J 1 2 X T ( t f) S X 于( t f 是) 性1 2 能t t 0 f 指[ X 标T ( （t ) Q ）( t 变) X 为( t ) U T ( t ) R ( t ) U ( t ) ] d t
这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态()保持在零值附近，因而称为状态调节器问题。
式（）中的第三部分
Lu1 2tt0fUT(t)R(t)U(t)
称作控制代价，用它来限制控制()的幅值及平滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。
说明：
（）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（）、（）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。
( t ) Q X ( t ) A T ( t ) ( t ) ( Q A T P ( t ) ) X ( t )
( P ( t ) P ( t ) B R 1 B T P ( t ) P ( t ) A A T P ( t ) Q ) X ( t ) 0
2

线性二次型问题的最优控制

若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ，因此，系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x

二次型性能指标的线性系统最优控制

(10-17)
将式（8－12）、式（8－16）代入式（8－17）
(t ) [ P (t ) P(t ) A(t ) P(t ) B(t ) R 1 (t ) B(t ) P(t )]x (t ) (10-18)
将式（8－16）代入式（8－9）
(t ) [Q(t ) AT (t ) P(t )]x (t )
(10-15)
由于横截条件中 x (t f ) 与 (t f ) 存在线性关系，而正则方程又是线性的。因此可以假设，在任何时刻 x 与均可以存在如下线性关系；
( t ) P( t ) x ( t )

(10-16)
对式（10-16）求导
(t ) P (t ) x (t ) P(t ) x (t )
1 T e (t )Q (t )e(t ) 代表整个过程中误差 e(t ) 的 2
矩阵 F Q(t ) R(t ) 则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时间函数，以表示在不同时刻的不以加权。
因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。
根据等号两边矩阵的对应元素就相等，可得下列方程：
11 1 1 p11 p22 p21 p
2 22 2 p12 p22 p
已知为p 对称矩阵，故 p12 p21 ，上式可变成：
2 11 1 p12 p 12 p11 p12 p22 p 2 22 2 p12 p12 p
最求最优控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
解:
本例相应的具有关矩阵为：
0 1 0 A ,B 0 0 1 1 0 F 0, Q ,R 1 0 0

毕业论文-线性二次型最优控制器的MATLAB实现

湖北文理学院物理与电子工程学院2014届本科毕业论文论文题目线性二次型最优控制器的matlab实现班级姓名学号指导教师（职称）线性二次型最优控制器的MATLAB实现摘要：本文从线性二次型最优控制器原理出发，对象是现代控制理论中用状态空间形式给出的线性系统，目标函数为状态和控制输入的二次型函数。

通过加权矩阵Q 和R的一些选择规则，利用MATLAB仿真分析参数Q和R的变化对最优控制系统的影响，然后对其最优控制矩阵进行求解。

分别介绍了连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现和最优观测器的MATLAB实现这三种研究方案，以不同的程序实现其功能。

关键词:MATLAB；线性二次型；最优控制；矩阵Applying MATLAB to the Design of the Linear QuadraticOptimal ControllerAbstract：In this paper, starting from the principle of the linear quadratic optimal controller, the object is given the linear system using the forms of state space in modern control theory , the objective function is the two type of function of state and control input. Through some selection rules of the weighting matrices Q and R, analysis of the changes of parameters Q and R influence on the optimal control system by using MATLAB simulation, and then to solve the optimal control matrix. Respectively introduces the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB these three research programs. Realize its function in a different program.Key words:MATLAB; Linear quadratic; The optimal control;Matrix目录1引言 (1)1.1概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (3)2最优控制的基本概念 (4)2.1最优控制基本思想 (4)2.2最优控制问题的求解方法 (5)2.3 Q、R的选择原则 (6)2.4加权矩阵的调整 (6)2.4.1廉价控制 (6)2.4.2昂贵控制 (7)2.5问题的阐述 (8)2.6问题的求解 (9)2.7利用仿真给定的控制系统 (9)3最连续系统最优控制的MATLAB实现 (12)3.1连续系统线性二次型最优控制 (12)3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (13)4离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (14)4.1 离散系统稳态线性二次型最优控制 (14)4.2 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (15)5最优观测器的MATLAB实现 (16)5.1 连续时不变系统的Kalman滤波 (16)5.2 Kalman滤波的MATLAB实现 (17)4结论 (19)[参考文献] (20)致谢 (21)1引言1.1概述近年来，仿真技术得到广泛的应用与发展，在系统设计、目标与环境模拟、人员培训等方面取得了丰硕成果，随着计算机技术的快速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛应用，目前已经达到了相当高的水平。

线性二次型最优控制问题

线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。

1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距离加权平方和. 整个性能指标物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统终端跟踪误差综合最优。

线性二次型最优控制的MATLAB实现

线性二次型最优控制的MATLAB实现摘要线性二次型最优控制是一种普遍采用的最优控制系统设计方法。

使用MATLAB 软件设计的GUI控制界面实现最优控制，有较好的人机交互界面，便于使用。

线性二次型最优控制又叫做LQ最优控制或者称为无限长时间定常系统的状态调节控制器。

本文分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现，最优观测器的MATLAB实现，线性二次性Guass 最优控制的MATLAB实现四个研究方案。

本论文就是从这四个方面分别以不同的性能指标设计不同的GUI界面以及不同的程序实现其功能并说明其各自的应用范围。

关键词：线性二次型，最优控制, GUI控制界面，最优观测器，Guass最优控制The Linear Quadratic Optimal Control of MA TLABAbstractLinear quadratic optimal control is a widely used to optimal control system design method. Use of MATLAB software design GUI interface control to realize the optimal control, Have good man-machine interface, easy to use. The linear quadratic optimal control and called LQ optimal control or an infinite long time of the system state regulation and constant controller.This paper respectively from the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB, sexual Guass linear quadratic optimal control MATLAB four research plan. This paper is from the four aspects of the performance index respectively in different design different GUI interface and Different programs that realize its function and their application scope.Keywords：Linear quadratic, The optimal control, GUI control interface, The best Guass observer, the optimal control目录1 引言 (1)1.1 概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (2)2 最优控制的基本概念 (3)2.1最优控制基本思想 (3)2.2最优控制的性能指标 (3)2.2.1 积分型性能指标 (3)2.2.2 末值型性能指标 (5)2.3最优控制问题的求解方法 (5)3 最连续系统最优控制的MATLAB实现 (7)3.1连续系统线性二次型最优控制 (7)3.2连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (8)3.3连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现示例 (8)4 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (17)4.1离散系统稳态线性二次型最优控制 (17)4.2离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现与示例 (18)5 最优观测器的MATLAB实现 (23)5.1 连续时不变系统的KALMAN滤波 (23)5.2K ALMAN滤波的MATLAB实现 (24)5.3K ALMAN滤波的MATLAB实现示例 (25)6 线性二次型GUASS最优控制的MATLAB实现 (31)6.1LQG最优控制的求解 (31)6.2LQG最优控制的MATLAB实现与示例 (32)7 结论 (37)参考文献： (38)致谢 (39)1 引言1.1 概述随着计算机技术的飞速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛的应用，目前已达到了相当高的水平。

二次型最优控制问题

二次型最优控制问题标题：二次型最优控制问题在控制理论中，二次型最优控制问题是一个经典的研究领域。

它涉及到在最小化特定成本函数的同时，通过合适的控制策略来实现系统的最优性能。

本文将介绍二次型最优控制问题的基本概念、数学模型和解决方法。

首先，二次型最优控制问题的核心在于寻找一个最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最小化。

这个性能指标通常由一个二次型成本函数来表示，其中包含了系统状态和控制输入之间的关系。

通过对该成本函数进行最小化，可以获得最优的控制策略。

其次，针对不同的系统，可以建立相应的数学模型来描述二次型最优控制问题。

这些模型通常采用微分方程或差分方程的形式，用于描述系统状态的动态演化规律。

在建立模型的过程中，需要考虑系统的物理特性以及所需达到的控制目标。

解决二次型最优控制问题的方法有多种，其中最常用的是最优控制理论中的动态规划方法。

动态规划方法基于贝尔曼方程，通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略。

此外，还有其他方法如最优化理论、线性二次调节器和广义预测控制等可以用于处理二次型最优控制问题。

需要注意的是，在实际应用中，二次型最优控制问题可能面临一些挑战和限制。

例如，系统模型可能存在不确定性，或者控制器的设计需要考虑到实时性和鲁棒性等因素。

因此，在解决问题时需要综合考虑这些因素，并根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，二次型最优控制问题是一个重要的研究领域，它涉及到在最小化成本函数的同时实现系统最优性能的控制策略。

在解决该问题时，需要清晰的思路，流畅的表达，并避免包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。

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线性二次型最优控制

线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。

线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。

本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。

首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。

实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。

线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。

其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。

实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。

基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。

此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。

最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。

在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。

只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。

总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。

本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。

线性二次型最优控制

Chapter7 线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。

通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。

用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。

7.1 二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。

对于Bu Ax x+= Cx y = （7-1）系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： ⎰∞+=0d ][t Ru u Qx x J T T （7-2）Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。

第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。

通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u ，使J 最小。

若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：Kx u -= （7-3）将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得x BK A x)(-= （7-4）若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次型Lyapunov 函数Px x x T =)V (，利用系统的稳定性可得⎰⎰∞∞⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J TT []{}∞==∞--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00)]([V d )()([]000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x TT T T T T +--+++=⎰∞对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+-- P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=可得[]0001d Px x t x P B PBR P A PA Q x J TT T T +-++=⎰∞- ⎰∞----+011d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T （7-5）求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K ，是性能指标J 最小化。

时标意义下定常线性二次最优控制问题的求解

时标意义下定常线性二次最优控制问题的求解摘要：本文以时标意义下（LQ）问题的Hamilon函数为基础，利用直接法计算出时标意义下定常线性二次最优控制的解，并给出其最优状态方程及最优控制的表达式。

关键词：时标解二次最优控制摘要：本文以时标意义下（LQ）问题的Hamilon函数为基础，利用直接法计算出时标意义下定常线性二次最优控制的解，并给出其最优状态方程及最优控制的表达式。

Abstract:In this paper, base on time scales version Halmilton function of (LQ)problem,using direct method,we calculat the solution of linear quadratic optimal control problem on time scales and present the exprrssions of the optimal state eqution and optimal control.Key words:time scales; solution; quadratic optimal control;参考文献：[1]S.Hilger, Ein Ma?kettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannig Faltigkeiten, PhD Thesis, Universitat Wurzburg, 1988.[2]S.Hilger, Analysis on measure chains―a unified approach to continuous and discrete calculus, Result Math,18(1990),18-56.[3]M.Bohner and A.Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkh?user, Boston, 2003.[4]M.Bohner and A.Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Birkh?user, Boston, 2001.[5]Bryan P.Rynne, L2 spaces and boundary value problems on time scales, JMAA, 328(2007), 1217-1236.[6]解学书.最优控制理论与应用[M].北京.清华大学出版社.1986, 231-236; 264-286.[7]邢继祥,张春蕊,徐洪泽.最优控制应用基础[M].北京:科学出版社.2003, 139-148.[8]Gong Yurong, Tao Juan, X.Xiang, The first order linear dynamic equations and the adjiont equations on time scales, J. Guizhou University , 23(2006), 239-244.[9]Y.Peng, X.Xiang, Y.gong, G.Liu. Necessary Conditions of Optimality for a class of Optimal Control Problem on Time Scales. Computers & Mathmatics with Ap;ications, 2009; 58 (10): 2035.。