福建省仙游第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

仙游一中2017-2018学年度下学期期末考高一数学试卷（ 满分：__150__分，答卷时间：__2_小时）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )A ．－210°B ．－150°C ．－190°D ．－170° 2．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 4．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 35.不等式x －12x ＋1≤0的解集为 ( )A ．(－12，1] B ．C ．(－∞，－12)∪∪[1，＋∞)6．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *)7.下列不等式一定成立的是 ( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R )8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π69.某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元10.数列{a n }的通项公式a n =ncos 错误！未找到引用源。

,其前n 项和为S n ,则S 2016等于( ) A.2016B.1008C.504D.011.已知x,y 满足约束条件错误！未找到引用源。

当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2错误！未找到引用源。

时,a 2+b 2的最小值为( ) A.5B.4C.错误！未找到引用源。

D.212.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C.94 D ．3二．填空题 (每小题5分 共20分)13．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． 14. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .15．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．16.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核．已知该生产线连续生产n 年的产量f (n )＝n （n ＋1）（n ＋2）3吨，每年生产量a n 的倒数记作该年的“可持续指数”，如果累计“可持续指数”不小于80%，则生产必须停止，则该产品可持续生产________年．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤。

）17．(10分)已知平面向量a =(1,x),b =(2x+3,-x)(x ∈R). (1)若a ⊥b ,求x 的值. (2)若a ∥b ,求|a -b |.18.设{a n }是公比q 大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令21ln n n b a +=，n ＝1，2，3，…，求数列{b n}的前n 项和T n.19.已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f (A )＝32，b ＋c ＝2， 求实数a 的最小值．20.已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b 的值.(2)解不等式ax 2-(ac+b)x+bc<0.21． 如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围；（2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且()21,02n n n n s a a a =+(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若12nn n a b -=，数列{b n }的前n 项和为T n ，若存在正整数m ，使得m ≤T n <m ＋3对任意正整数n 恒成立，求m 的值．QPDCBA仙游第一中学2014-2015学年下学期期末考高一数学答案13、 13λ=-14、 1615、 {}x |2<x <3 16、 317.(1)由a ⊥b 得,2x+3-x 2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1. (2)由a ∥b ,则2x 2+3x+x=0,即2x 2+4x=0,得x=0或x=-2. 当x=0时,a =(1,0),b =(3,0),所以a -b =(-2,0). 此时|a -b |=2.当x=-2时,a =(1,-2),b =(-1,2), 则a -b =(2,-4). 故|a -b =18.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，解得a 2＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，有a 2q＋a 2＋a 2q ＝7，化简得2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12. 又公比q 大于1，所以q ＝2，所以a 1＝1， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 2n ＋1＝ln 22n＝2n ln 2， 又b n －b n －1＝2ln 2(n ≥2)，∴数列{b n }是等差数列， ∴T n ＝（b 1＋b n ）n 2＝(n ＋1)n ln 2.19．解：(1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意知，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵∠A ∈(0，π)，∴2∠A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2∠A ＋π6＝5π6，∴∠A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1.20.(1)因为不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系, 得错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

(2)不等式ax 2-(ac+b)x+bc<0, 即x 2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.所以,当c>2时,不等式ax 2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式ax 2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,不等式ax 2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.21．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1)100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=-∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=-当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-．22.解：(1)当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋a n －1)，又S n ＝12(a 2n ＋a n )，∴两式相减得a n ＝12(a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，又a n >0，∴a n －a n －1＝1. 当n ＝1时，a 21＋a 1－2a 1＝0， ∴a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n .(2)∵T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，①∴12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，②①－②得12T n ＝1＋12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴T n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝4－(2n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.易知T n <4，又T n ＋1－T n ＝4－(2n ＋6)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－4＋(2n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0，所以T n ≥T 1＝1，所以存在正整数m ＝1，使得1≤T n <4对任意正整数n 恒成立．。