分数阶导数简介-徐杭

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高中数学分数阶导数

分数阶导数1引言我们都熟悉的导数的定义。

通常记作1()()df x D f x dx 或 222()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。

我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是像这样的记号1/21/21/2()D ()d f x f x dx或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。

因为几乎没有任何教科书会提到它。

然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。

在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。

现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。

近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。

此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。

Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。

而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。

我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。

首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n axn axe a e =。

然后用其他数字取代自然数字n 。

这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。

我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。

我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。

（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。

）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。

对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。

那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数ax e 的导数。

导数概念课件

泰勒展开的应用
泰勒公式不仅仅应用于提高函数的逼近精度，更可将问题转化成求某个数列的极限问题。
总结
导数是微积分学中基础和重要的概念。在本节中我们介绍了导数的本质、作用和局限性。
1
导数的本质
导数是用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率的概念。
2
导数的作用
导数在最值问题、曲率问题和斜率问题的解法中具有重要作用。
导数概念ppt课件
本PPT课件将教授导数的概念和应用。了解导数的定义、性质和求法，为最值问题、曲率问题和斜率问题的解法提供基础。
导数的定义
导数用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率。本节将讲解坡度与导数、切线与导数之间的关系。
坡度
斜率的简称，描述了曲线的陡峭程度。
导数
函数在某一点上的切线斜率,
利用导数求曲线的斜率
导数可用于计算曲线在某一点上切线的斜率。
利用导数求曲线的凹凸性及驻点
导数可以描述函数凹凸性及驻点，对函数图像进行全面分析。
练习题
本节将提供练习题，让您巩固导数的概念和常见的应用场景之间的联系。
选择题
加深对导数基本概念的认知和理解。
计算题
巩固求导数的方法和技巧。
应用题
切线
曲线在某一点上的切线，与导数相关。
导数的求法
本节主要介绍三种求导数的方式：函数图像、函数公式和复合函数。对于函数图像，可以通过绘制切线并计算斜率来求导数。而对于函数公式，可以通过求导数公式计算更为方便。
1
函数图像
通过绘制切线并计算斜率来求导数。
2
函数公式
通过求导数公式计算，比如可用一元多次函数求导法。
应用
导数不仅在理论中具有重要性，也在实际问题中发挥巨大作用。本节将从最值问题、曲率问题和斜率问题三个方面，介绍导数在不同应用场景中的运用。

分数二阶导数

分数二阶导数
分数阶导数是一个数学概念，它描述了函数在某个点的导数与该点的位置之间的关系。

具体来说，分数阶导数可以用来描述函数在某个点的斜率与该点位置的幂次关系。

在数学中，整数阶导数是指函数在某一点的导数，表示函数在该点的斜率。

而分数阶导数则是指函数的导数的阶次不是整数。

例如，如果一个函数的二阶导数是1/2，那么这个函数就是分数阶导数。

分数阶导数的计算方法与整数阶导数类似，但需要用到一些特殊的数学公式和技巧。

常用的分数阶导数公式包括：
1.分数阶导数的定义公式：(D^a f(x) = \frac{d^a}{dx^a} f(x))
2.分数阶导数的链式法则：(D^a [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot D^a g(x))
3.分数阶导数的幂规则：(D^a [x^n] = n \cdot x^{n-a})
其中，(D^a) 表示分数阶导数，(f(x)) 表示函数，(f'(x)) 表示函数的一阶导数，(g(x)) 表示另一个函数，(n) 和 (a) 是正整数。

总结来说，分数阶导数是指函数的导数的阶次不是整数的情形，它描述了函数在某个点的斜率与该点位置的幂次关系。

常用的计算方法包括定义公式、链式法则和幂规则等。

分数阶导数的新发展_记忆依赖型导数概念

记忆依赖型导数概念简介王金良博士 2012-2-24数学像一棵大树，根植于其他学科的沃土，却又以自己的方式向上开枝散叶，而其果实和木材却往往被挪为他用。

在17世纪分数阶导数已是这棵大树上的一根枝条，但是由于其定义太过抽象无人觉得它有实用价值。

直到近几十年人们才意识到它比通常的导数具有更强的表现力，能够更好地反映事物的变化，其相应的理论和应用研究才多起来。

目前分数阶导数已被用于粘弹性和流变学、电力工程、生物学、信号处理和控制工程等学科[1]。

其实，分数阶导数之所以能够有如此广泛的应用是因为它能在一定程度上反映某些动力过程的“记忆依赖性”[2]（指当前状态对过去状态具有依赖性）。

但是，用分数阶导数来刻画这种记忆依赖性存在两点不足：1）记忆依赖区间[a ,t ]随时间t 增加而不断增大(a 是某个给定的数)，但实际的物理过程对过去状态的依赖一般是某个有限的时间段[,t ]t τ−，其中τ为时滞；2）所定义的积分中关于过去的依赖权重函数是一个具有奇异性的确定函数，不能满足不同物理过程对权重函数的灵活性要求。

针对分数阶导数的上述缺陷，我们在文[3]中提出了一种新导数——“记忆依赖型导数”来代替分数阶导数，以便更好地刻画各种具有记忆依赖性的动力过程。

1 分数阶导数概念分数阶导数的概念可以追溯到1695年，当时de l’Hospital 问了一个著名的问题“导数在时表示什么意思？”从那以后数学上产生了一个新分支——分数阶微积分学。

它是对通常整数阶导数的推广，其基本思想是将分数阶导数看成是某个积分的逆运算，而这个积分通常被选为Riemann-Liouville 形式/n n d f dx 1/2n =[4]：1()()(),[,],0()ta a t s J f t f s ds t ab αααα−−=∈Γ∫> (1) 此处要求()f t 在给定区间[,上可积，]a b Γ是Gamma 函数。

其相应的α阶Riemann- Liouville 型分数阶导数定义为()()()(),m t m m a a m a d D f t D J f t K t s f s ds dt ααα−⎡⎤==−⎢⎥⎣⎦∫ (2) 在这里m 是一个整数满足1m m α−<≤m ，D 是通常的m 阶导数，积分核定义为：1()()()m t s K t s m αα.α−−−−=Γ− (3) 从历史上来看，这种导数定义的最早，其相应的数学理论也已经发展的比较完善了，但是却很难应用于解决实际问题。

高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

分数阶leibniz法则

分数阶leibniz法则分数阶Leibniz法则是微积分中常用的一种计算方法，也称为分数阶多项式展开法则。

它与常规的Leibniz法则相似，但是使用的是分数阶导数来适应复杂函数的分数阶微积分。

一、分数阶导数分数阶导数是指将微积分中的整数阶导数扩展到分数阶导数，它主要用来描绘不光滑的函数或不充分可微分的物理现象。

分数阶导数可以用两种方法来定义：一种是通过傅立叶变换，另一种是通过Riemann-Liouville分数阶积分。

定义如下：$$D^{v}_{x}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-v)}\frac{d^n}{dx^n}\int^{x}_{0}\frac{f(t)}{(x-t)^{v+1-n}}dt$$其中，v是一个实数，f(x)是函数，$\Gamma$是gamma函数，n是大于v的最小整数。

常规Leibniz法则用于求两个函数的乘积的导数。

如果f(x)和g(x)是两个函数，则它们的乘积的导数可以表示为：$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$D^v_x (f(x)g(x))=\sum_{k=0}^{v} {v\choose k} D^{v-k}_x f(x) D^k _x g(x)$$其中，v是一个实数，f(x)和g(x)是函数。

在这个公式中，D表示分数阶导数，${v\choose k}$表示组合数。

这个公式可以解释为：通过求取所有D^{v-k}_x f(x)的k阶导数，以及所有D^k _x g(x)的v-k阶导数，然后将它们相乘，并用组合数加权求和来得到两个函数的乘积的分数阶导数。

四、例子以$f(x)=x^{\alpha}$和$g(x)=x^{\beta}$为例，其中$\alpha$和$\beta$是实数。

首先，使用常规Leibniz法则求出它们的一阶导数，$$\frac{d}{dx}(x^{\alpha}x^{\beta})=\alpha x^{\alpha-1}x^{\beta}+\betax^{\alpha} x^{\beta-1}$$$$D^{\gamma}_{x}(x^{\alpha}x^{\beta})=\sum_{k=0}^{\gamma}\frac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}D^{\gamma-k}_{x} (\alpha x^{\alpha-1}x^{\beta})D^k_{x}(\betax^{\alpha}x^{\beta-1})$$$$=\sum_{k=0}^{\gamma}\frac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}\al pha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}x^{\beta}+$$$$\sum_{k=0}^{\gamma}\f rac{\gamma!}{k!(\gamma-k)!}\beta(\beta-1)\cdots(\beta-k+1)x^{\alpha}x^{\beta-k }$$这个公式可以用来计算更为复杂的函数乘积的导数，例如用于模拟金融工具价格波动时的模型。

时空分数阶导数算子讲解

时空分数阶导数算子BORIS BAEUMERMARK M. MEERSCHAERTJEFF MORTENSEN摘要不规则扩散的演化方程在空间和时间中使用分数阶导数。

在时空间的变量的连接产生了新型的分数阶导数算子。

本文讨论一些算子的数学基础。

简介在经典扩散中，微粒以通常的钟型的模式传播，其宽度与时间的平方根相关。

当生长率或粒子分布的形状经典模型预测不同时发生异常扩散。

异常扩散在可以许多物理现象中观察到，并激励新的数学模型和物理模型的发展[5，6，7，13，16，20]。

一些最成功的模型采用分数阶导数[21，27]，其实就是异常扩散中常见整数情况的衍生物。

建立异常扩散的物理模型一种方法是源于全体粒子在随机过程中的极限分布。

连续时间下的随机漫步[22，29] 一直是最有用的[18，20，30]，其中每个随机粒子跳跃后会有随机的等待时间。

非常大的颗粒的跳跃与空间分数阶导数[14]有关，而很长的等待时间会产生时间的分数阶导数[18，26]。

同样的模型方程也被应用到混沌动力学[31]和经济学28]。

在连续时间的随机漫步中，颗粒跳跃的大小可以取决于在跳跃之间的等待时间。

对于这些模型，颗粒的极限分布受控于涉及时空分数阶导数算子的分数阶微分方程[3,19]。

本文建立了这些算子的数学基础。

尤其是，它们被证明是某些连续卷积半群的生成元，并且它们的域表现为一个合适的函数空间，其中的乘法的运算在傅立叶拉普拉斯空间的产物。

普通空时算子的一般形式被给出。

在这方面的发展中所使用的技术手段是算子半群[1，11，23]，和算子稳定的概率分布的理论[12，15]。

分数阶导数和异常扩散让(,)C c t 表示粒子在位置x 处和时间t 时的相对浓度。

经典扩散方程212t x C C ∂=∂可以使用傅立叶变换(,)(,)ikx c k t e C x t dx =⎰求解，这把扩散方程转化为一个常微分方程的21/()2dc dt ik c =。

Hausdroff分数阶灰色模型及城市空气质量的预测研究

Hausdorff分数阶灰色模型建立
基于Hausdorff分数阶导…
在传统灰色预测模型的基础上，引入Hausdorff分数阶导数，建立新的预测模型，以提高预测精度。
数据预处理
模型参数选择
对原始数据进行预处理，如缺失值填充、异常值处理等，以保证模型输入数据的可靠性。
根据实际问题的特点，选择合适的模型参数，包括时间窗口长度、分数阶导数的阶次等。
收集城市空气质量历史数据
从相关机构或数据库获取城市历史空气质量数据，包括各种污染物的浓度值。
数据预处理
对收集到的数据进行清洗和整理，去除异常值和缺失值，确保数据的质量和准确性。
基于Hausdorff分数阶灰…
根据处理后的数据，利用 Hausdorff分数阶灰色模型进行预测，建立相应的数学模型，并使用适当的软件工具进行计算和分析。
模型训练与预测
利用训练数据集对模型进行训练，并利用测试数据集对模型进行验证和预测。
03
基于Hausdorff分数阶灰色模型的空气质量预测研
究
基于Hausdorff分数阶灰色模型的空气质量预测流程
收集城市空气质量历史数据，包括各项污染物的浓度值和时间信息。
使用得到的分数阶灰色预测模型对未来空气质量进行预测。
高的预测精度和稳定性。
该研究为城市空气质量的预测和管理提供了新的思路和方法
。
研究展望与建议
进一步拓展Hausdorff分数阶灰色模型在空气质量预测领域的应用范围，与其他模型进行比较，以验证其优越性。
加强与环境保护部门、气象部门等合作，开展更为深入的结合大数据和人工智能等技术手段，对模型进行优化和完善，提高预测精度和效率，为城市空气

分数阶微积分-描述记忆特性与中间过程的数学工具

在我们熟悉的经典微积分里，导数都是整数阶的，我们说函数的一阶导数、二阶导数、十阶导数，而不会说函数的1/2阶导数或者阶导数；同样，对于积分，我们有一重积分、二重积分、或者五重积分等，但没有2/3重积分或者重积分等概念。

其实，早在1695年9月30日，法国数学家L ’Hospital 在给德国数学家Leibniz 的信件中就提出这样一个问题: 如果采用通常使用的导数记号那么当时，这个表达式的结果是什么？Leibniz 的回复是“an apparent paradox from which ，one day ，useful consequences will be drawn ”。

这大概就是分数阶导数概念最早的源头。

经过数学家与其它领域的专家300多年不懈的努力，分数阶微积分终于受到科技工作者越来越多的注意，并逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具[1-5]。

本文将对分数阶微积分作一简要介绍，主要回答什么是分数阶导数？为什么要引入分数阶导数与分数阶积分?它们有什么特点和应用?一分数阶导数的定义与计算分数阶导数是一个泛称,表示阶数取非整数(不仅仅为分数)的导数,它既表示阶数大于零时对应的分数阶导数,在不需要强调积分特有性质时也可表示阶数小于零时对应的分数阶积分。

分数阶导数的定义有多种，最常用有Riemann-Liouville 导数和Caputo 导数。

在经典微积分里，我们可以定义求导运算和求积运算如下它们满足如下关系式这表明，求导运算是求积运算的左逆运算，且这两种运算一般说来不具有交换性。

进一步，对任何自然数有即求导运算是求积运算的左逆运算。

现在，对连续函数，反复应用分部积分法可得因此，对非正整数，我们可以定义分数阶积分进一步，对实数，记为不超过的最大整数，取，利用导数与积分的运算公式，非整数阶的Riemann-Liouville 导数定义为如果利用, 则得到非整数阶导数的Caputo 定义:由定义可知, 分数阶导数值与起始点的取值有关。

导数的应用-肥西中学

距离最小化
通过导数分析，可以找到离学生宿舍和教学楼最近的位置，使得学生能够方便快捷地就餐。
噪音和污染控制
利用导数分析，可以找到噪音和污染最小化的位置，为学生提供舒适的就餐环境。
05
导数的未来发展与
展望
导数在其他领域的应用
金融领域
导数在金融领域中有着广泛的应用，如股票价格变化率、投资组合优化、风险评估等。
通风和采光优化
通过导数分析，可以找到最佳的窗户和通风口位置，使得教学楼内的通风和采光效果达到最佳。
3
安全疏散设计
利用导数分析，可以找到最快的疏散路径，确保在紧急情况下学生和教职工能够快速安全地撤离。
肥西中学的食堂选址问题
人流量最大化
利用导数研究食堂选址，可以找到人流量最大的位置，从而提高食堂的营业额。
导数的应用
目录
CONTENTS
• 导数简介 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数在肥西中学的应用实例 • 导数的未来发展与展望
01
导数简介
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数是由法国数学家费马首先提出，定义为函数在某一点的变化率的极限，即函数在这一点附近的小范围内，切线的斜率。
最大值问题
导数可以帮助我们找到函数的最值点，即函数在某一点取得最大或最小值的点。通过求导并令导数为零，我们可以找到函数的极值点，进而确定函数的最值。
最小值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
与最大值问题类似，通过求导并令导数为零，我们可以找到函数的极小值点，进而确定函数的最小值。
速度与加速度
速度
导数可以表示函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。在物理中，这可以解释为速度，即物体在某时刻的运动速度。

《D23高阶导数》课件

培养学生对数学的兴趣和热情
教学方法与手段
讲解法：通过讲解D23高阶导数的概念、性质、计算方法等，让学生理解并掌握相关知识。
练习法：通过布置习题，让学生进行练习，巩固所学知识。
讨论法：组织学生进行讨论，让学生互相交流学习心得，提高学习效果。
实验法：通过实验，让学生亲自动手操作，加深对D23高阶导数的理解。
学习建议：结合实际案例，进行实践操作，提高应用能力
注意事项
适用对象：高等数学、微积分等课程的学生和教师
使用建议：建议在讲解D23高阶导数时，结合实例进行讲解，以便学生更好地理解和掌握
注意事项：在使用课件时，注意保护知识产权，不得擅自修改或传播课件内容
反馈建议：在使用过程中，如有任何问题或建议，请及时反馈给课件制作者，以便改进和完善课件内容
高阶导数的微分方程和积分
高阶导数的几何意义和物理意义
高阶导数的综合练习和习题解答
高阶导数的总结和复习
课件的演示方式
幻灯片演示：通过幻灯片展示D23高阶导数的概念、公式、应用等
视频讲解：通过视频讲解D23高阶导数的概念、公式、应用等
互动问答：通过互动问答的方式，让学生更好地理解和掌握D23高阶导数的概念、公式、应用等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
可微性：导数在定义域内是可微的
导数的极限性质：导数是原函数在某一点的极限值
导数在数学中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于计算极限、积分等
优化问题：导数用于求解函数的极值和最值，如求函数的最大值和最小值
物理应用：导数在物理学中用于描述物体的运动状态，如速度、加速度等经济学：导数在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求曲线、供给曲线等

基于分数阶导数的波形属性分析方法

基于分数阶导数的波形属性分析方法
徐希坤;董晓燕;刘垒
【期刊名称】《油气地质与采收率》
【年(卷),期】2008(015)006
【摘要】波形分析技术是储层地震预测的重要方法之一,建立表征地震反射波形变化的样本道是实现波形分类的关键.将分数阶导数的概念引入到地震反射波形分类中,由地震子波的分数阶导数构成完备的波形集合,与每一道地震反射波形匹配,可实现对地震波形的精确分类.模型和实际资料的处理效果表明该方法能准确表征地震波形在横向上的变化,其变化点能够定量指示出异常的准确位置,划分不同的反射界面类型,描述界面上下的岩性结构特征和地质构造的变化.
【总页数】3页(P46-48)
【作者】徐希坤;董晓燕;刘垒
【作者单位】成都理工大学,油气藏地质及开发工程国家重点实验室,四川,成
都,610059;中国石化股份胜利油田分公司,地质科学研究院,山东,东营,257015;中国石油大学(华东),山东,东营,257061;中国石油大学(华东),山东,东营,257061
【正文语种】中文
【中图分类】TE112.13
【相关文献】
1.基于敏感地震属性波形分类的流体预测研究 [J], 赵忠泉;贺振华;万晓明;帅庆伟
2.基于地震波形差异属性精细分析煤矿陷落柱边界及发育高度 [J], 陈加林;张兴平
3.基于地震波形及属性优选的优势储层预测——以渤海湾盆地A油田为例 [J], 崔名喆;郭诚;穆朋飞;吴春新;钱庚
4.基于楔形模型的波形结构属性特征研究 [J], 张运龙;丁峰;尹成;范廷恩
5.基于属性波形分类的地震沉积学应用 [J], 国景星;王霄霆;刘文凯;巩逸文;陈铭因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分数阶延迟微分方程数值方法的研+究

The beginning of this article introduces the history development and the current research situation of fractional delay differential equations and fractional calculus theory. Basis on this, we consider the analytical solution and numerical solution of the fractional order delay differential equations.
Classified Index: O241.8 U.D.C: 519.09
Dissertation for the Master Degree in Science
NUMERICAL METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER WITH
第 1 章绪论 .....................................................................................................1 1.1 延迟微分方程的背景及意义...................................................................1 1.2 分数阶微分方程的发展及应用...............................................................2 1.3 国内外在该方向的研究现状...................................................................4 1.4 本文主要研究内容 ..................................................................................5

高二暑期文第8讲导数的概念与运算教师版

导数的引入我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率．１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，知识点睛满分晋级8.1导数的概念导数3级导数的运算与几何意义导数1级导数的概念与运算导数2级导数在研究函数中的简单应用第8讲导数的概念与运算则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．【教师备案】讲变化率的时候可以和速度结合到一起，比如小车问题（课件中有图）有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图：1t s ∆=时：这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成0.5秒，就会变成下图：0.5t s ∆=时：比如我们要计算1到1.5秒间的平均速度，也需要用位移差st∆∆．如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是22π()π2ππx x x x x x x x+∆-=+∆+∆-我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大．平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从0s 到1s 的平均速度是2/m s ，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是2/m s ．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是0，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了10块钱，一年之后收回10块钱，那么这一年中的平均变化率就是0，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己比较擅长的例子进行讲解产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个x ∆上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的x ∆可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让x ∆无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是2ππx x +∆，当x ∆趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了2πx ．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到瞬时变化率的问题【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用0x 解平均变化率的题．对于学生来说，一个比较合理的学习顺序是这样的：最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：导数的运算了．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．这时又称()f x 在0x x =“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．考点1：导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率【解析】 ①()f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆； ()f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆；②()2f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为4yx x ∆=+∆∆；()2f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为6yx x∆=+∆∆；【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的．【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．【例1】平均变化率与瞬时变化率⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可经典精讲以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在1x =处的瞬时变化率⑵①在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)1f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)1f '=．②在1x =处的瞬时变化率为(1)2f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)4f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)6f '=．③在1x =处的瞬时变化率为(1)3f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)12f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)27f '=．④在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=-；在2x =处的瞬时变化率为1(2)4f '=-；在3x =处的瞬时变化率为1(3)9f '=-．⑤在1x =处的瞬时变化率为1(1)f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)f '=．【总结】由例1⑵增长的，只不过增长速度越来越慢．【教师备案】⑥⑦只求在1x =处的瞬时变化率，解析为：在1x =处的瞬时变化率为()00sin sin 21lim lim sin1sin cos1cos122x x x y x x f x x x ∆→∆→⎡∆⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∆∆∆'==⋅+=⎢⎥ ⎪∆∆∆⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在1x =处的瞬时变化率为【教师备案】⑥⑦的解析用到了0sin lim 1x xx→=的思想：证明：0sin lim 1x xx →=【解析】 sin xx为偶函数，只考虑0x >的情形，0sin tan x x x <<<，从图上直接读出 sin sin 1cos tan x xx x x>>=；容易证明 0limcos 1x x →=；于是由夹逼定理0sin 1lim 1x x x →≥≥，于是0sin lim 1x xx→=．（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）提高班学案1【拓1】求函数3()2f x x x =-在[]11x +∆，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【解析】函数()f x 在[]11x +∆，上附近的平均变化率为：yx∆=∆2()31x x ∆+∆+，在1x =处的瞬时变化率与导数相等，为(1)1f '=．尖子班学案1【拓2】已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．【总结】一次函数的平均变化率就是斜率．目标班学案1【拓3】质点M 按规律()21s t at =+作直线运动，若质点M 在2t s =时的瞬时速度为8/m s ，求a 的值．若()f x 在0x x =处可导，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）． A ．()013f x 'B ．()03f x 'C ．()0f x 'D ．0 【分析】此题很容易出错．教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而加深学生对导数定义的真正理解，原来的x ∆是()x x x +∆-，跟21x x -是一回事，所以这里用21x x -给学生讲更直观，建议板书：⑴若函数()y f x =在区间()a b ，内可导且0()x a b ∈，，则000()()lim h f x h f x h--→的值为（）A ．0()f x 'B ．02()f x 'C ．0()f x '-D ．0⑵设(3)4f '=，则0(3)(3)lim 2h f h f h→--=（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1⑶若000(2)()lim 13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（）A ．23B ．32C ．3D ．2⑷设()f x 在0x 可导，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【解析】 ⑴C现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡．延续我们刚才的学习顺序：关于求导公式：常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之内的．这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的． 1．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我知识点睛8.2导数的运算们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．2．常用函数()()()()()21f x C f x x f x x f x f x x ====，，，，【教师备案】常用函数的推导过程如下： 3．基本初等函数的导数公式 ⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=； ⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完导数公式后可以让学生做例2⑴，本题可以老师带领学生一起做．4．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数：【教师备案】这里只证一个加法的四则运算设()()y f x g x =+，则()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+⎡⎤⎣⎦y f g x x x ∆∆∆=+∆∆∆∴，0000lim lim lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆⎛⎫=+=+ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭∴，即()y f g f g ''''=+=+ 我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把x 看做是时间，()f x 看做是船的位移，()g x 看做是水的位移，那么()'f x 和()'g x 分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．()()f x g x +总的位移，()()()'f x g x +就是总的速度，自然等于右边()()''f x g x +，也就是船速加水速．四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；②常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；③乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个； ④除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例2⑵⑶；例2⑵属于简单函数的四则运算，例2⑶属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案2；在例2的后边还有一个【挑战十分钟】，【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做．考点2：导数的运算【例2】导数的运算⑴ 求下列函数的导数 ⑵ 求下列函数的导数 ⑶ 求下列函数的导数经典精讲【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则求下列函数的导数提高班学案2【拓1】设函数()322f x x ax x =++，()19f '=，则a = ．尖子班学案2【拓2】已知()ln xf x x=，若()0f a '=，则ln a = ．【例3引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会在春季课上重点介绍．在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质．在函数中我们有这样的结论：()y f x =是一个函数，是可以“动”的，而()1y f =就是一个数，因为自变量已经取定了，他就不能“动”了．所以在函数考察中曾经有过这样的问题：“()()121f x xf =+，求()f x ”，我们的做法很简单，就是把1x =代入，求出()1f 的值即可．解这类题的关键就在于理解()1f '其实是一个固定的数．例3就是这类题在导数中的考察．比如例3（1）中的()'1f -表示的就是()f x 这个函数在1x =-处的导数，这是一个固定的数．这类题解法的基本过程是：通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值．强调这个概念的目的是防止学生在计算()1f x '-导数的时候把它当做两个函数相乘求导．【例3】()f a '实际是一个数⑴已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______⑵已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．⑶已知函数()πsin 23f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不能确定设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆切线的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数．【教师备案】切线的定义：“直线l 与曲线C 有一个交点”，是“直线l 是曲线C 的切线”的________条件【解析】既不充分也不必要一方面：只有一个交点不见得是切线，如图1；另一方面：切线不见得只有一个知识点睛8.3导数的几何意义交点，如图2；更加强，切线与函数可能会有无数个交点，如图3：图 1图2图3对于程度很好的学生可以进一步解释：相切只是局部概念，不是整体概念，比方说知识点睛中的图只是在A点附近割线逼近的情况，至于这个范围以外的部分和切线无关．什么是切线的的斜率，举个例子：函数()f x的图象在3x=处与x轴相切，在1x=于5x=处的切线分别为AB CD，，其中A B C，，，D的坐标分别为()03，，()20，，()40，，()63，，如图，则(1)(1)limxf x fx∆→+∆-=∆；()3f'=_____；()5f'=_____．【教师备案】例4主要讲导数与切线斜率之间的关系，让学生从图象上充分了解导数与切线斜率之间的关系，老师在讲完导数的几何意义后可以让学生做例4；在学生理解导数与切线斜率之间的关系后讲切线方程，例5主要是求切线方程，例5后边有一个【挑战十分钟】，老师可以以例5为例讲切线方程，以【挑战十分钟】为练习让学生熟练的求切线方程；例6主要讲切点的核心作用，让学生灵活的运用导数与切线之间的关系，对于目标班的学生，因为程度很好，可以让学生做做目标班学案3．考点3：导数的几何意义【例4】导数等于切线斜率⑴如图，直线l是曲线()y f x=在4x=处的切线，则(4)f'=．⑵如图，曲线()y f x=在点(2(2))M f，处的切线方程是23y x=-，(2)(2)f f'+=．⑶函数siny x=的图象上一点π3⎛⎝⎭处的切线的斜率为（）A．1 B C D．12⑷设()f x是偶函数．若曲线()y f x=在点()()11f，处的切线的斜率为2，则该曲线在点()()11f--，处的切线的斜率为．⑶ D【例5】切线方程⑴已知曲线1yx=上一点()12A，，求曲线在点A处的切线方程．⑵（2019丰台一模文12）函数()lnf x x=的图象在点()e,(e)f处的切线方程是．【追问】求xy e=在00(())x f x，处的切线方程，并且计算切线和x轴交点的坐标．由此找出指数函数切线的小性质——切线和x轴交点横坐标和切点的横坐标之间的差是一个定值，这个定值只受指数函数的底影响．最后由此性质类比可以得到对数函数的相关性质．【解析】⑴在点A处的切线方程为250x y+-=．经典精讲【总结】【追问】y =01x =-，故横截距与切点横坐标之差为1-.【挑战十分钟】学生在学完切线方程后，对切线方程可能还不是很熟悉，老师可以选择以下十个小题让学生多练练．①求曲线()214f x x =在点()21，处的切线方程； ②求函数()1f x x=-在点()11-，处的切线方程；③求曲线()321f x x x =++在点()213，处的切线方程； ④求函数()1f x x x =+在点522⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程；⑤求曲线()ln f x x x =在点()e e ，处的切线方程；⑥求曲线()2e 3x f x x x =++在点()03，处的切线方程；⑦求曲线()11f x x =-在点()21-，处的切线方程； ⑧求曲线()21xf x x =-在点()11，处的切线方程； ⑨求曲线()cos f x x =在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程； ⑩求函数()sin f x x =在π6x =处的切线方程．【例6】切点的应用⑴曲线2y x =在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为（）A ．()39，B ．()39-，C ．3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵ 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（）．A B ． C ．23 D ．23或0⑶ 已知直线1y x =+与曲线ln y x a =+相切，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2- ⑵ A ⑶ B【总结】切线的相关问题绝大多数都是围绕切点做的，这是由于切点是曲线和切线的结合点，它的坐标可以同时影响曲线和切线．一般来说，只要题目中出现了切点或切线，我们都需要设出切点坐标，然后利用切点的三个性质：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率，列出三个方程．解出切点坐标后基本就ok 了．所以建议老师在课上强调切点的重要性，至少让学生见到类似问题的时候可以想到“切点”这个核心要素．例如：例6的（3），我们一开始就要明白这个题的关键是解出切点坐标，我们就可以列出：提高班学案3【拓1】 ⑴曲线2y x =上切线的倾斜角为π4的点的坐标为．⑵曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点的坐标． ⑵()12-，或()12-，尖子班学案3【拓2】 ⑴ 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求 a b ，的值．⑵ 已知直线1y ax =+与曲线ln 1y x =+相切，则a 的值为（）．A ．1B ．2C ．eD ．1e⑵ D目标班学案2【拓3】已知抛物线21:2=+C y x x 和22:=-+C y x a ，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴ a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵ 若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【解析】 ⑴ 函数22=+y x x 的导数22'=+y x ，曲线1C 在点()21112+，P x x x 的切线方程是()()()21111222-+=+-y x x x x x ，即()21122=+-y x x x ①．函数2=-+y x a 的导数2'=-y x ，曲线2C 在点()222-+，Q x x a 的切线方程是()()22222y x a x x x --+=--，即2222=-++y x x x a ②．如果直线l 是过P 和Q 的抛物线1C ，2C 的公切线，则①式和②式都是l 的方程．所以1222121+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，x x x x a，消去2x 得方程2112210+++=x x a ．若判别式()44210∆=-⨯+=a 时，即12=-a 时解得112=-x ，此时点P 与Q 是唯一确定的，即当12=-a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14=-y x ．⑵ 由⑴可知，当12<-a 时，1C 和2C 有两条公切线，设一条公切线上切点为()11，P x y ，()22，Q x y ，其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121+=-x x ，线段PQ 的中点为1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ，同理，另一条公切线段''P Q 的中点也是1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ．所以公切线段PQ 和''P Q 互相平分．若曲线()321f x x x =-+与()21g x x =+在0x x =处的切线互相平行，则0x = ．【演练1】⑴ 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-⑵已知函数2()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）．A ．2x +∆B ．1x +∆C ．2D ．1【解析】 ⑴ D⑵ C【演练2】若()()0002lim 1x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（）．实战演练A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【解析】 C【演练3】⑴下列函数中，满足()()f x f x '=的函数是（）．A ．()1f x x =-B ．()f x x =C ．()0f x =D ．()1f x =⑵()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值为________． ⑶设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（）．A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln2 【解析】 ⑴ C⑶ B【演练4】已知函数()()221f x x xf '=+，则()0f '=（）A ．0B ．4-C ．2-D ．2【演练5】求曲线e 21x y x x =++在点()01，处的切线方程（2019北大保送）函数()sin f x ax x =+上有两个点处的切线互相垂直，求a 的值．设()f x 在1x x =与2x x =处的切线互相垂直，则有12(cos )(cos )1a x a x ++=-．（*）于是21212(cos cos )(cos cos 1)0a x x a x x ++++=．将它看成关于a 的一元二次方程，则此方程有解，于是判别式21212(cos cos )4(cos cos 1)0x x x x ∆=+-+≥，即212(cos cos )4x x -≥．又12cos cos [11]x x ∈-，，，故12cos cos 2x x -≤，于是212(cos cos )4x x -≤，故212(cos cos )4x x -=，12cos 1cos 1x x =⎧⇒⎨=-⎩或12cos 1cos 1x x =-⎧⎨=⎩．代入（*）式得0a =．从学而思钟的10点钟说起这两个数相等吗？有人认为不相等，怎么着这俩数也有那么点差距啊；其实这个问题可以转化为一个更加广为传播的问题：0.91=吗？有人认为相等，理由很有意思：证明：10.33⋅=，两边同时乘以三，结果就是：10.9⋅= 那么这两个数究竟相等吗？这就涉及到极限的概念．我们先弄明白什么叫.0.9．观察下面的式子：10.9110=-，210.99110=-，310.999110=-，所以我们可以得到一个式子就是10.99999110n n⋅⋅⋅=-，那么无限循环小数就可以写成：10.9lim 110n n ⋅→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭．根据我们学过的极限的概念，等式右侧中的110n 的极限是零，所以右侧极限值为1．可能还有同学没有明白，这主要是“极限”的概念在高中阶段给的极为模糊．实际极限的定义是非常严格的，我们先看一个简单的例子：大千世界阅读材料怎么理解这个式子呢？其实可以理解为，随着n无限的变大，1n的值和0之间的差距可以做到“要多小有多小”．比如你说11000很小了，那我1001n=就能比你小；你再说1100000已经很小了，那我100001n=就能比你小．无论你说多么小的数，我都能比你小．那么我们就可以说随着n逐渐变大，1n的极限是0．刚才那个例子也是一样的，你说0.9⋅和1之间的差距能有多少呢？我们可以想到，这就是所谓的要多小有多小．你随便说一个数，他们的差距都能比它小．所以我们可以认为他们是相等的．更进一步，我们在研究导数的时候，极限的概念往往是直接应用的，常见的技巧是解决0的形式．比如我们在推2x导数的时候，用的是：()22limxx x xx∆→+∆-∆，本来是一个的形式，但是我们可以把x∆约掉，变成：()()2002lim lim2+x xx x xx xx∆→∆→∆+∆=∆∆，这样就打破这个的形式了．所以我们在推导数的公式或者求瞬时变化率的时候，比较关键的一个步骤就是消灭掉x∆，解决了分母上的0，其他的就好办了．当然，也有x∆不能约的情况，同学们如果有兴趣的话可以思考下面的问题：。

分数阶导数,简单来讲就是对整数阶导数理论的拓展。例如

分数阶导数，简单来讲就是对整数阶导数理论的拓展。

例如，我们一般对某个性质较好的可导函数，可以求出它的一阶导数、二阶导数、……、n阶导数。

那么我们是否可以对函数求半阶导数呢？再如某个函数不满足求导条件，我们是否可以使用微积分理论对这个函数进行分析性质的研究呢？答案是肯定的，这也是分数阶导数产生的源动力。

早在1695年，Leibniz给L’Hospital写了一封信，问：“整数阶导数的概念能否自然地推广到非整数阶导数。

”L’Hospital对这个问题感到很新奇，作为回信他反问了一个简单的问题：“如果求导的次数为1/2，那么将会是怎样的情况呢？”在这一年的9月30号，Leibniz给L’Hospital的回信写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有用的结果。

”这个特殊的日子1695年9月30号被认为是分数阶微积分的诞生日。

自1695年，分数阶微积分的研究已经经历了三百多年。

但是早期分数阶微积分的研究主要存在于理论数学领域。

在很长的一段时间内，分数阶微积分的研究没有得到自然科学与工程科学研究人员的关注，基本上没有相关的应用文章发表。

分数阶微积分的研究热潮是在二十世纪七十年代，主要原因是因为研究人员发现分形几何、幂律现象与记忆过程等相关现象或过程可以与分数阶微积分建立起密切的联系。

分数阶微积分可以作为一种很好的描述与刻画手段。

分数阶微积分的物理和几何意义则由Podlubny教授于2008年在牛津大学做访问学者时给出。

其中分数阶微积分中所涉及到的积分变量(时间)t还与霍金《时间简史》中的时间理论有着非常重要的联系(宇宙的时间是非均匀的，是从t=0，即宇宙大爆炸开始逐渐变慢的)。

分数阶微积分函数的分形维数估计梁永顺南京理工大学2012年9月26日目录0.前言；1.背景介绍；2.分数阶微积分函数研究的三要素；3.分形曲线、分形维数、分数阶微积分的历史；4.主要研究的两个问题；5.几个开问题；6.若干应用；7.总结。

分数阶导数python

分数阶导数python分数阶导数是微积分中的一个重要概念，它是对函数进行微分运算的一种扩展。

与常见的整数阶导数不同，分数阶导数可以处理更加复杂的函数关系，并且在实际问题中有着广泛的应用。

在传统的微积分中，我们所熟悉的导数运算是指对函数进行整数阶的微分运算。

例如，对于函数f(x)，其一阶导数可以表示为f'(x)，二阶导数可以表示为f''(x)，以此类推。

而分数阶导数则是对函数进行非整数阶的微分运算，也就是对函数进行分数阶的微分运算。

分数阶导数的定义可以通过分数阶微分的泛函定义来表述。

对于函数f(x)在区间[a,b]上的分数阶导数，可以表示为：D^qf(x) = C_q * ∫[a,b] (f(x) - f(t))/(x - t)^(q+1) dt其中，D^q表示分数阶导数运算符，q为分数阶导数的阶数，C_q为与阶数q相关的常数。

分数阶导数可以有效地描述一些非常复杂的现象。

例如，在物理学领域，分数阶导数可以用来描述非线性介质中的电流、热传导和扩散等现象。

在金融学领域，分数阶导数可以用来建模股票和期权的价格变动。

在生物学领域，分数阶导数可以用来分析生物系统中的生长和衰老等现象。

为了求解分数阶导数，通常可以使用分数阶微分方程的方法。

分数阶微分方程是一类具有分数阶导数的微分方程，其解决了在传统微分方程中无法描述的复杂问题。

通过求解分数阶微分方程，我们可以得到函数的分数阶导数。

在实际应用中，分数阶导数的计算可以通过数值方法来实现。

常用的数值方法包括基于离散点的差分法和基于插值多项式的方法。

这些方法可以将分数阶导数的计算转化为求解离散点上的函数差分或插值问题，从而得到近似的分数阶导数值。

分数阶导数的研究和应用已经成为一个热门的领域。

许多学者在此领域进行了深入的研究，提出了许多新的方法和理论。

分数阶导数的研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用前景。

总结起来，分数阶导数是微积分中的一种扩展概念，它可以处理更加复杂的函数关系，并且在实际问题中有着广泛的应用。

caputo 分数阶导数

caputo 分数阶导数摘要：一、Caputo分数阶导数的定义1.分数阶导数的基本概念2.Caputo分数阶导数的定义二、Caputo分数阶导数的性质1.Caputo分数阶导数的连续性2.Caputo分数阶导数的可微性3.Caputo分数阶导数与传统导数的关系三、Caputo分数阶导数的计算方法1.常见函数的Caputo分数阶导数计算2.隐函数的Caputo分数阶导数计算3.参数方程的Caputo分数阶导数计算四、Caputo分数阶导数在实际应用中的案例1.物理模型中的分数阶导数应用2.金融领域的分数阶导数应用3.其他领域的分数阶导数应用正文：Caputo分数阶导数是一种广泛应用于数学、物理和工程领域的导数形式。

与传统的导数不同，Caputo分数阶导数能够更好地描述非线性系统的非均匀性。

本文将介绍Caputo分数阶导数的定义、性质、计算方法和在实际应用中的案例。

首先，我们来了解分数阶导数的基本概念。

分数阶导数是指函数在某一点的变化率，其阶数是一个大于1的实数。

在数学上，分数阶导数可以表示为：f(x)的k阶导数= (df/dx)^k。

其中，k是分数阶的阶数，df/dx表示函数f(x)的微分。

Caputo分数阶导数是分数阶导数的一种特殊形式。

它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上可积，k是一个大于1的实数，那么f(x)在区间[a, b]上的k阶Caputo导数定义为：Caputo k阶导数= (1/k!) ∫[a, b] (f(x) - f(a)) (x - a)^(k-1) dx其中，k!表示k的阶乘。

Caputo分数阶导数具有一些有趣的性质。

首先，Caputo分数阶导数具有连续性，即当k阶数增加时，Caputo分数阶导数的值会连续地接近传统导数。

其次，Caputo分数阶导数具有可微性，即分数阶导数可以作为微分算子作用于其他函数。

最后，Caputo分数阶导数与传统导数之间存在一定的关系，当k趋近于1时，Caputo分数阶导数将趋近于传统导数。

高二数学导数模块知识点总结

高二数学导数模块知识点总结高二数学导数模块知识点总结导数是微积分中的重要基础概念。

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

高二数学导数模块知识点总结，欢迎参考。

高二数学导数模块知识点总结1一、早期导数概念——特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。

在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f(A)。

二、17世纪——广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。

牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

三、19世纪导数——逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{d/dx)=li(/x)。

1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。

19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。

四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。

一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。