中考数学：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
初中数学一次函数的最值问题
初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。
但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。
图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。
图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。
图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。
（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。
解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。
②当时，，此时y的值大于4400。
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。
（2）设取奶站建在距A楼xm处。
①当时，，解得（舍去）。
②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。
（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。
②当时，，解得，当a增大时，x增大。
例析一次函数最值问题
—
彩 电
１
— —
冰 箱
１
— —
１
—
—
２
３
４
产值 （ 元１
４ ０ ０ ０
３０ ０ ０
２０ ０ ０
问 ： 周 生 产 空 调 器 、 电 、 箱 各 多 少 台 ， 能 使 总 产 值 最 高 ？ 高 每 彩 冰 才 最
总产值 是 多少 ？ 解 析 ： 据 表 中 提 供 的 关 系 ， 没 出 未 知 数 ， 出 相 应 的 式 子 ， 寻 根 先 列 再
备 每 周 （ １ ０个 Ｔ 时 计 算 ） 产 空 调 器 、 电 、 箱 共 ３ ０ 台 ， 冰 箱 至 按 ２ 生 彩 冰 ６ 且
少 生 产 ６ 台 ．已 知 生 产 这 些 家 电产 品 每 台 所 需 的 Ｔ 时 和 每 台 家 电 的 产 ０
值 如下 表所示 ．
表 ２
空 调 器
的 运 费 分 别 为 ４０ ０元 和 ５ ０元 ． ０
没从 Ａ 市 、 市 各 调 运 台 机 器 到 Ｄ 市 ． ２ Ｂ 当 ８台 机 器 全 部 调 运 完 毕 后 ， 求 总 运 费 （ Ｊ 于 （ Ｊ 函数 关 系式 ， 求 元 关 台 的 并 朗化． 也是解 这类 问题 的常用方法 之一． 这
，
一
引
口河
南
张 瑞 红
在 一 次 函 数 的 应 用 题 中 ， 一 类 是 和 一 次 函 数 的 最 大 值 最 小 值 有 关 有 的 ． 际 上 ， 次 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 在 做 决 策 时 用 处 很 大 ． 关 键 是 实 一 其
对 问 题 的 原 始 形 态 进 行 分 析 、 想 、 象 、 括 ， 而 构 建 相 应 的 函数 关 联 抽 概 进 系． 面举几个 较典 型的例 子． 下 例 １ 市 、 市 和 Ｃ 市 分 别 有 某 种 机 器 １ 台 、 ０ 台 和 ８台 ． 决 定 曰 ０ １ 现
初中数学知识点各个击破专项练习：一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”(解析版)
一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y =4kx +5k +132k ≠0 ．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132的图象交x 轴，y 轴于A 、B 两点，点Q 是直线l 2：y =x +1上一点，若S △ABQ =6，求Q 点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，直线l 2：y =x +1交AB 于点P ，C 点在x 轴负半轴上，且S △ABC =203，动点M 的坐标为a ,a ，求CM +MP 的最小值．【答案】(1)-54,132(2)3,4 或-1,0(3)1093【分析】(1)整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ，根据题意，得当4x +5=0，求解得函数图象必过定点-54,132 ；(2)确定解析式y =4kx +5k +132为y =-2x +4，点A 坐标为2,0 ，点B 坐标为0,4 ；设点Q 坐标为m ,m +1 ，分情况讨论：①当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ，列方程解得m =3，点Q 坐标为3,4 ；②当点Q 位于AB 左侧时，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，点N 的纵坐标为(m +1)，QN =-32(m -1)，于是S △ABQ =S △AQN +S △BQN =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，Q 坐标为-1,0 ；(3)联立得y =-2x +4y =x +1，得P 1,2 ，设C c ,0 ，由S △ABC =203，求得C 的坐标为-43,0 ，点M 在直线y =x 上，点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =1093，所以CM +MD 的最小值为1093．【详解】(1)解：整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ∵不论k 取何值时，上式都成立∴当4x +5=0，即x =-54时，y =132∴无论k 为何值，函数图象必过定点-54,132；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0 ；点B 坐标为0,4 ；∵点Q 在直线l 2：y =x +1上，∴设点Q 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ．∴12×2m +1 +12×4m =12×2×4+6．解得m =3．点Q 坐标为3,4 ；②如图，当点Q 位于AB 左侧时，此时S △ABQ =6，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，则点N 的纵坐标为(m +1)，由y =-2x +4，得m +1=-2x +4，x =-12(m -3)，∴QN =-12(m -3)-m =-32(m -1)．∴S △ABQ =12QN ∙y B -y A =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，∴Q 恰好位于x 轴上，此时Q 坐标为-1,0 ；综上所述：若S △ABQ =6，Q 点的坐标为3,4 或-1,0 ；(3)由(2)可得直线AB ：y =-2x +4，联立得y =-2x +4y =x +1 ，解得x =1y =2 ．∴P 1,2 ∵点C 在x 轴的负半轴，设C c ,0则AC =2-c ，∵OB =4，S △ABC =203∴122-c ×4=203解得c =-43∴点C 的坐标为-43,0∵动点M 的坐标为a ,a ．∴点M 在直线y =x 上．∴点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43 ，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF则PF 为CM +MP 的最小值；作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =PG 2+FG 2=12+2+43 2=1093∴CM +MD 的最小值为1093．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．2已知一次函数y =4kx +5k +132(k ≠0)．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，该直线交x 轴，y 轴于A ，B 两点，直线l 2:y =x +1交AB 于点P ，点T 是l 2上一点，若S △ABT =9，求T 点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D 点在该直线上，横坐标为1，C 点在x 轴负半轴，∠ABC =45°，点M 是x 轴上一动点，连接BM ，并将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，①求点C 的坐标；②CQ +QD 的最小值为．【答案】(1)-54，132(2)T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)-43，0 ，5653【分析】(1)将一次函数变形4kx -y =-5k -132，根据图像过定点，得到与k 值无关，求出k ，进而求出定点坐标；(2)求出直线解析式，设点T 坐标为m ,m +1 ；分点T 在AB 两侧分类讨论即可；(3)先根据题意，求出点D 坐标，根据将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，得到点Q 所在直线解析式，求出点C 对称点C ，连接C D ，求出C D 的长即可．【详解】(1)解：一次函数y =4kx +5k +132=k 4x +5 +132，∴4x +5=0时，y =132，解得：x =-54，y =132∴无论k 为何值，函数y =4kx +5k +132k ≠0 图像必过定点-54，132 ；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0，时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0；点B 坐标为0,4 ；∵点T 在直线l 2:y =x +1上，∴设点T 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点T 位于AB 右侧时，连接OT ，根据题意得S △AOT +S △BOT =S △AOB +S △ABT∴12×2×m +1 +12×4m =12×2×4+9解得m =4，∴点T 坐标为4,5 ；②如图，当点T 位于AB 左侧时，根据题意得S △AOT +S △BOT +S △AOB =S △ABT∴12×2×-m -1 +12×4×-m +12×2×4=9解得m =-2，∴点T 坐标为-2,-1 ；综上所述：若S △ABT =9，T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)如图，将△OAB 沿直线AB 翻折，得到△NAB ，将△OCB 沿直线BC 翻折，得到△HCB ，延长HC 、NA 交于点E ，则四边形BHEN 为正方形，∴BN =BH =HE =NE =OB =4，NA =OA =2，AE =NE -AN =2，设OC =n ，则HC =n ，CE =4-n ，在Rt △ACE 中，22+4-n 2=2+n 2，解得n =43，所以点C 坐标为-43，0 ，②解：∵D 点在直线上y =-2x +4上，横坐标为1，∴y =-2×1+4=2，所以点D 坐标为(1，2)；设动点M 的坐标为a ,0 ，如图所示，过点Q 作QH ⊥x 轴，∵将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，∴BM =QM ，∠BMQ =90°，∴∠OMB +∠QMH =90°又∠BOM =∠MHQ =90°，∴∠OMB +∠MBO =90°，∴∠QMH =∠MBO ，∴△QMH ≌△∠MBO ，∴QH =OM ，MH =OB =4∴Q a +4,a∴点Q 在直线y =x -4上运动，如图所示，设直线y =x -4与x 轴交于点K ，与y 轴交与点G ，则K 4,0，∴CK=43+4=163，作C K⊥x轴，且C K=CK=16 3，则△CC K是等腰直角三角形，KG⊥CC ，∴则C ，C关于y=x-4的对称，则C Q+QD=CQ+QD≥C D，此时如图所示，则C 4,16 3∵D1,2∴C D=4-12+163+22=5653故答案为：565 3．【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大．解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确定相应的解题模型．3如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A-4,0,B0,2，∴AB=22+42=25；(2)作CF⊥x轴于点F，如图，则∠CFA=∠AOB=90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．4已知一次函数y =kx +b (k ≠0)与x 轴交于点A (3,0)，且过点7,8 ，回答下列问题．(1)求该一次函数解析式；(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y =kx +b 我们只需要将y 向右移项就可以得到kx -y +b =0，将x 前的系数k 替代为未知数A ，将y 前的系数1替代为未知数B ，将常数项b 替代为未知数C ，即可得到方程Ax +By +C =0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A 一般为非负整数，且A 、B 不能同时为0)．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：点P x 0,y 0 到直线Ax +By +C =0的距离d 公式是：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2如：求：点P 1,1 到直线y =-13x +32的距离．解：先将该解析式整理为一般方程：(I )移项-13x -y +32=0 (II )将A 化为非负整数即得一般式方程：2x +6y -9=0由点到直线的距离公式，得d =2×1+6×1-9 22+62=140=1020①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．已知(1)中的解析式代表的直线与直线2x-y+9=0平行，试求这两条直线间距离；②已知一动点P t2，t(t为未知实数)，记h为点P到直线3x-4y+7=0的距离(点P不在该直线上)，求h的最小值．【答案】(1)y=2x-6；(2)①35；②1715．【分析】(1)利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；(2)根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；(3)利用点到直线的距离公式，得到h=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出h的最小值．【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点7,8，则3k+b=07k+b=8，解得：k=2b=-6，∴该一次函数解析式为y=2x-6；(2)解：①∵一次函数解析式为y=2x-6，整理得：2x-y-6=0，∵点A(3,0)在直线y=2x-6，∴点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，将点A代入距离公式，得：d=2×3-0+922+-12=155=35，∴这两条直线间距离为35；②将点P t2，t代入距离公式，得：h=3t2-4t+732+-42=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7=3t-2 32+173，∴当t=23时，m有最小值为173>0，∴h的最小值为1735=1715．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．5如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=3x的图象交于点B，B 点的横坐标为1．(1)求一次函数y =kx +b 的解析式；(2)若点C 在y 轴上，且满足S △BOC =12S △AOB ，求点C 的坐标；(3)若点D 4,-2 ，点P 是y 轴上的一个动点，连接BD ，PB ，PD ，是否存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD 周长的最小值．【答案】(1)y =-x +4(2)C 0,6 或C 0,-6(3)存在，52+34【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；(2)设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，再根据点B 的坐标，得出x B =1，y B =3，再根据三角形的面积公式，得出S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，再根据题意，列出方程，解出即可得出答案；(3)根据两点间的距离公式，得出BD =34，再根据三角形的周长，得出要使△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值，作点B 关于y 轴的对称点M ，则M 的坐标为-1,3 ，连接DM ，根据线段最短，得出DM 为PB +PD 的最小值，再根据两点间的距离公式，计算得出DM =52，再根据三角形的周长公式，计算即可．【详解】(1)解：∵点B 是y =3x 的图象上的点，横坐标为1，∴点B 坐标为1,3 ．∵OA =4，∴点A 坐标为4,0 ．将A ，B 两点坐标分别代入y =kx +b ，得0=4k +b 3=k +b ，解得k =-1b =4 ，∴一次函数的解析式为y =-x +4；(2)解：设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，∵B 1,3 ，∴x B =1，y B =3，∵OA =4，∴S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，∵S △BOC =12S △AOB ，∴t 2=12×6，∴t =6，∴t =6或t =-6，∴C 0,6 或C 0,-6 ；(3)解：存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值，理由如下：∵B 1,3 ，D 4,-2 ，∴BD =1-4 2+3+2 2=34，∵△PBD 的周长=PB +PD +BD ，∴要求△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值．如图，作点B关于y轴的对称点M，则M的坐标为-1,3，连接DM，则PB+PD≥DM，即DM为PB+PD的最小值．∴DM=-1-42+3+22=50=52，∴△PBD周长的最小值为：PB+PD+BD=52+34．【点睛】本题考查了求一次函数解析式、坐标与图形、两点间的距离、点关于坐标轴的轴对称点、线段最短，解本题的关键在熟练掌握两点之间的距离公式．6在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上的一个动点，设点C的横坐标为t．(1)求A、B两点的坐标；(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点，且与点A、B、C构成平行四边形ABCD．①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；②在点C运动的过程中，点D的纵坐标是否发生变化，若不变，求出点D的纵坐标；若变化，说明理由；③当t为何值时，BC+BD的值最小，请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值．【答案】(1)A(-4,0),B(0,3)(2)①94；②点D的纵坐标不变，是-3；③t=2时，BC+BD最小值为9【分析】(1)根据坐标轴上点的特点直接代值求解即可；(2)①矩形可知90°，证明相似三角形后直接通过边的关系列方程求解即可；②根据平行四边形的平移规律直接写出D点纵坐标即可；③求最短路径的题，与造桥选址类似，平移后三点共线即为最小值．【详解】(1)y=34x+3中，令x=0，则y=3令y=0，则x=-4∴A(-4,0),B(0,3)(2)①若平行四边形ABCD是矩形则BC⊥AB∵AO⊥BO∴△ABO∽△BCO∴OB OA =OC OB∵A(-4,0),B(0,3)∴OA=4,OB=3∴OC=t=94；②点D的纵坐标不变，∵A、B、C构成平行四边形ABCD．A(-4,0),B(0,3),C(t,0)∴A向上平移3个单位长度得到B，则C向下平移3个单位长度得到D∴D点纵坐标为-3.③将△BCD平移至△C BA∴C (-t,6)，D(t-4,-3)∴(BC+BD)min=DC =(-t-t+4)2+(6+3)2=(2t-4)2+81，当t=2时，(BC+BD)min=81=9【点睛】此题考查一次函数与相似三角形的综合题型，解题关键是找到相似的三角形，得到边长之间的数量关系，难点是判断此题为造桥选址的同类型题．7已知，一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠-1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．【答案】(1)6(2)是，6(3)t =12，△ABP 周长最小值为213+6【分析】(1)分别令x =0，求出y 值，得到A 和B 的坐标，从而可得AB 的长；(2)求出点P 坐标，利用三角形面积公式求出△ABP 的面积即可；(3)画出图形，分析得出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小，作点A 关于直线x =-2对称的点A-4,4 ，连接A B ，找到此时点P 的位置，求出直线AB 的表达式，可得点P 坐标，可得t 值，再根据点的坐标求出周长的最小值．【详解】(1)解：在y =(2-t )x +4中，令x =0，则y =4，在y =-(t +1)x -2中，令x =0，则y =-2，∴A 0,4 ，B 0,-2 ，∴AB =4--2 =6；(2)∵图像相交于点P ，∴令(2-t )x +4=-(t +1)x -2，解得：x =-2，代入y =(2-t )x +4中，y =-22-t +4=2t ，∴P -2,2t ，∴S △ABP =12×x P ×AB =12×-2 ×6=6；(3)如图，∵P -2,2t ，∴点P 在直线x =-2上，若要△ABP 的周长最小，而AB =6，∴当AP +BP 最小即可，作点A 关于直线x =-2对称的点A -4,4 ，连接A B ，与直线x =-2交于点P ，此时AP +BP ，设直线A B 的表达式为y =kx +b ，则4=-4k +b -2=b ，解得：k =-32b =-2，∴直线A B 的表达式为y =-32x -2，令x =-2，则y =1，即P -2,1 ，则2t =1，解得：t =12，此时AP =22+32=13，BP =22+32=13，∴△ABP 的周长最小值为PA +PB +AB =213+6．【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意(3)中分析出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小．8如图1，已知一次函数y =x +3与x 轴，y 轴分别交于B 点，A 点，x 正半轴上有一点C ，∠ACO =60°，以A ，B ，C 为顶点作平行四边形ABCD ．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时(DP+PQ+QE)2的值．(3)如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A ，O的对应点为O ，将△A O O绕点O顺时针旋转，旋转角为α0°≤α≤180°，在旋转过程中，直线AB与直线A O 、A O交于M，G两点，在旋转过程中，△A MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．【答案】(1)3,0(2)48+93(3)当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形【分析】(1)先求得A0，3则OA=3，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，则可得到点C的坐标；(2)由关于y轴对称点的坐标特点可得到AE的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得CD的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q，则D′E′的长为DP+PQ+QE的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；(3)先根据题意画出图形(见答图：图2、图3、图4、图5)，然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．【详解】(1)解：把x=0代入直线AB的解析式得：y=3，∴A0，3，∴OA=3，∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，∴∠CAO=90°-60°=30°，∴AC=2OC，∵AC2-OC2=OA2，∴2OC2-OC2=32，解得：OC=3或-3(舍去)，∴点C的坐标为：3,0．(2)解：∵直线AE与直线AB关于y轴对称，∴AE的解析式为y=-x+3，设直线CD的解析式为y=kx+b k≠0，∵AB∥CD，∴k=1，∴直线CD的解析式为y=x+b，将点C的坐标代入得：3+b=0，解得：b=-3，∴直线CD的解析式为y=x-3，联立y=-x+3y=x-3 ，解得：x=3+32 y=3-32，∴点E的坐标为：3+32,3-32，作点E关于x轴的对称点E ，D点关于y轴的对称点D ，连接E D 分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：则D E 的长为DP+PQ+QE的最小值，∵E3+32,3-32，点E与点E 关于x轴对称，∴E 3+32,-3+32，把y=0代入y=x+3得：x=-3，∴点B的坐标为-3,0，∴BC=3+3，∵AD =AD=BC=3+3，∴D -3-3,3，∴DP+PQ+QE2=D E 2=3+32+3+32+3+3-322=48+93．(3)解：如图2所示：当GM=GA 时，∵GM=GA ，∴∠A MG=∠MA G=30°，∴∠BGO=60°，∵OB=OA，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠BOG=180°-45°-60°=75°，∴∠BOO =75°-60°=15°，即α=15°；如图3所示：当A M=A G时，∵A M=A G，∴∠A MG=∠A GM又∵∠A MG+∠A GM=∠BA O=30°，∴∠MGA =15°，∴∠BOG=180°-∠OBG-∠BGO=120°，∵∠O OA =60°，∴∠BOO =60°，即α=60°；如图4所示：当MG=MA 时，∵MG=MA ，∴∠MGA =∠MA G=30°，∵∠MBO=45°，∴∠BOG=15°，∴∠BOA =165°，∴∠BOO =165°-60°=105°，即α=105°．如图5所示：当A G=A M时，∵A G=A M，∠GA M=30°，∴∠MGA =75°，∵∠GBO+∠BOG=∠MGA ，∴∠BOG=75°-45°=30°，∴∠A Ox=30°，∴∠O Ox=30°，∴∠BOO =150°，即α=150°；综上所述，当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理，轴对称图形的性质、关于坐标轴对称点的坐标特点、等腰三角形的性质，找出DP+PQ+QE取得最小值的条件是解答问题(2)的关键，根据题意画出符合题意的图形是解答问题(3)的关键．9(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B、C的坐标分别为、、．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0，-6)，点B坐标(8，0)，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是．【答案】(1)A(-4，0)，B(0，1)，C(-5，4)(2)①D(0，2)或163,-263；②65【分析】(1)利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；(2)①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D(m，-2m+2)，求出AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG=DF+AF=8列式计算即可；②设M(t，0)过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN=t+62+t2+ t+62+t-62=S，故S可以看作点(t，t)到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t，t)在y=x上，如图，F(-6，0)，E(-6，6)，作F关于y=x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．【详解】(1)解：对于一次函数y=14x+1，令x=0，y=1，∴B (0，1)，令y =0，则14x +1=0，∴x =-4，∴A (-4，0)，∴OA =4，OB =1，即A (-4，0)，B (0，1)，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠ADC =∠BOA =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠CAD +∠BAO =90°，∴∠ACD =∠BAO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =AB ，在△ADC 和△BOA 中，∠ADC =∠BOA∠ACD =∠BAO AC =BA，∴△ADC ≌△BOA (AAS )，∴CD =OA =4，AD =OB =1，∴OD =OA +AD =5，∴C (-5，4)；故答案为：(-4，0)，(0，1)，(-5，4)；(2)解：①如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，延长FD 交BP 于G ，∵点A 坐标(0，-6)，点B 坐标(8，0)，∴DF +DG =OB =8，∵点D 在直线y =-2x +2上，∴设点D (m ，-2m +2)，∴F (0，-2m +2)，OF =|2m -2|，AF =|2m -2-6|=|2m -8|，∵BP ⊥x 轴，B (8，0)，∴G (8，-2m +2)，同(1)的方法得，△AFD ≌△DGP (AAS )，∴AF =DG ，DF =PG ，∵DF +DG =DF +AF =8，∴m +|2m -8|=8，∴m =163或m =0，∴D (0，2)或163，-263；(3)设M (t ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴交x 轴于H ，根据旋转的性质易证△AOM ≌△MHN ，∴OM =HN ，OA =HM ，∴N (t +6，t )，∴ON +AN =t +62+t 2+t +6 2+t -6 2=S ，故S 可以看作点(t ，t )到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t ，t )在y =x 上，如图，∵D (t ，t )是y =x 上的动点，F (-6，0)，E (-6，6)，∴S =DE +DF ，∵F 关于y =x 的对称点为P (0，-6)，DF =DP ，∴当E 、D 、P 三点共线时，S 取得最小值为EP =-6-0 2+6--6 2=180=65，即ON +AN 的最小值是65．故答案为：65．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点M 的坐标为0,m ，其中0<m <32．(1)若点A (-32,0)，过点O 作OP ⊥AM ，连接BP 并延长与x 轴交于点C ，①求k 的值；②求证：BP PC =OM OC；(2)若点A -2,0 ，求2AM +BM 的最小值．【答案】(1)①1；②见解析(2)32+2【分析】(1)①将点A 的坐标代入y =kx +32可得出答案；②过点B 作BD ∥OP 交x 轴交于点D ，延长AM 交BD 于点N ，证明△OAM ≌△OBD (ASA )，得出OM =OD；证明BPPC =DOOC，则可得出结论；(2)取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，2AM+BM= 2AM+PM≥2AH，求出AH的长，则可得出答案．【详解】(1)①∵A-32,0在y=kx+32的图象上，∴(-32)k+32=0，∴k=1；②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，∵BD∥OP，OP⊥AM，∴AN⊥BD，∵∠AOB=∠BOD=90°，∴∠OAM+∠ADN=90°，∠OBD+∠ODB=90°，∴∠OAM=∠OBD，由题意，可知OA=OB=32，∠AOB=∠BOD=90°，∴△OAM≅△OBD ASA，∴OM=OD；∵BD∥OP，∴BP PC =DOOC，即BPPC=OMOC；(2)如图，取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，在Rt△BOE中，OB=OE=32，∴∠OBE=45°，∴BE=2OB=6，在Rt△MPB中，∠MPB=90°，PM=BM sin∠PBM=BM sin45°=22BM，∴2AM+BM=2AM+22BM=2(AM+PM)≥2AH，(当且仅当A，M，P三点共线时取等号，此时，点P、H重合)，∵S△ABE=12AE⋅OB=12BE⋅AH，∴AH=AE⋅OBBE =(32+2)⋅326=3+2，∴2AM+BM的最小值=2(3+2)=32+2．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11如图1，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB=PE，求证：∠BPE=2∠OAB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA=PQ，∠APQ=2∠OAB．连接OQ．①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有；(都写出来)②试求线段OQ长的最小值．【答案】(1)(-3，0)；(0，4)(2)证明见解析(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为125【分析】(1)根据题意令x=0，y=0求一次函数与坐标轴的交点；(2)由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；(3)根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB(SAS)，推出∠AEP=∠QBP，再证明OA=OT，推出直线BT的解析式为为：y=43x+4，推出点Q在直线y=-43x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】(1)解：在y=43x+4中，令y=0，得0=43x+4，解得x=-3，∴A(-3，0)，在y=43x+4中，令x=0，得y=4，∴B(0，4)；故答案为：(-3，0)，(0，4)．(2)证明：如图2中，设∠ABO=α，则∠OAB=90°-α，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB=α，∴∠BPE=180°-∠PBE-∠PEB=180°-2α=2(90°-α)，∴∠BPE=2∠OAB．(3)解：①结论：∠QPO，∠BAQ理由：如图3中，∵∠APQ=∠BPE=2∠OAB，∵∠BPE=2∠OAB，∴∠APQ=∠BPE．∴∠APQ-∠APB=∠BPE-∠APB．∴∠QPO=∠EPA．又∵PE =PB ，AP =PQ∴∠PEB =∠PBE =∠PAQ =∠AQP ．∴∠BAQ =180°-∠EAQ =180°-∠APQ =∠EPA ．∴与∠EPA 相等的角有∠QPO ，∠BAQ ．故答案为：∠QPO ，∠BAQ ．②如图3中，连接BQ 交x 轴于T ．∵AP =PQ ，PE =PB ，∠APQ =∠BPE ，∴∠APE =∠QPB ，在△APE 和△QPB 中，PA =PQ∠APE =∠QPB PE =PB，∴△APE ≌△QPB (SAS )，∴∠AEP =∠QBP ，∵∠AEP =∠EBP ，∴∠ABO =∠QBP ，∵∠ABO +∠BAO =90°，∠OBT +∠OTB =90°，∴∠BAO =∠BTO ，∴BA =BT ，∵BO ⊥AT ，∴OA =OT ，∴直线BT 的解析式为为：y =43x +4，∴点Q 在直线y =-43x +4上运动，∵B (0，4)，T (3，0)．∴BT =5．当OQ ⊥BT 时，OQ 最小．∵S △BOT =12×3×4=12×5×OQ ．∴OQ =125．∴线段OQ 长的最小值为125．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．12如图一次函数y 1=k1x +3的图象与坐标轴相交于点A -2,0 和点B ，与反比例函数y 2=k 2x (x >0)的图象相交于点C 2,m ．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，连接CP 并延长，交x 轴正半轴于点D ，若PD :CP =1:2时，求△COP 的面积；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使PQ +CQ 的值最小，若存在请直接写出PQ +CQ 的最小值，若不存在请说明理由．【答案】(1)y 2=12x(x >0)；(2)S △OPC =16；(3)45．【分析】(1)根据一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得0=-2k 1+3，解方程求出k 1=32，根据点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，可得点C (2，6)，利用待定系数法求分别列函数解析式即可；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，先证△CED ∽△PFD ，得出CP =2PD ，求出PF =2，求出点P (6，2)，利用待定系数法CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，求出点D (8,0)，利用面积差求解即可；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，可得CQ =C ′Q ，根据两点距离公式PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，利用勾股定理求出最小值即可．【详解】解：(1)∵一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得：0=-2k 1+3解得：k 1=32，∴一次函数解析式为：y 1=32x +3，点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，∴点C (2，6)，∵点C 在反比例函数y 2=k 2x(x >0)图像上，∴k 2=xy =2×6=12，∴y 2=12x(x >0)；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∴CE ∥PF ，∴∠ECD =∠FPD ，∠AED =∠PFD ,∴△CED ∽△PFD ，∴CE PF =CD PD，∵PD :CP =1:2，∴CP =2PD ，∴CD =CP +PD =2PD +PD =3PD ，∵EC =6，∴6PF =3PD PD=3，∴PF =2，∵点P 在y 2=12x (x >0)上，∴2=12x，解得x =6，∴点P (6，2)，设CP 解析式为：y 3=mx +n ，过C 、P 两点，代入坐标得：6m +n =22m +n =6 ，解得m =-1n =8 ，∴CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，∴点D (8，0)∴S △OPC =S △DOC -S △POD =12OD ⋅CE -12OD ⋅PF =12×8×6-12×8×2=16；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，∵CQ =C ′Q ，∴PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，PQ +CQ 的值最小，∴PQ +CQ 最小=PC =6+2 2+(6-2)2=45．【点睛】本题考查待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题，掌握待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题常作对称点，与对称点连线找交点解决问题．13【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l 的斜率存在时，对于一次函数y =kx +b (k ≠0)，k 即为该函数图象(直线)的斜率．当直线过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)时，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1，特别的，若两条直线l 1⊥l 2，则它们的斜率之积k 1•k 2=-1，反过来，若两条直线的斜率之积k 1•k 2=-1，则直线l 1⊥l 2【运用】请根据以上材料解答下列问题：(1)已知平面直角坐标系中，点A (1，3)、B (m ，-5)、C (3，n )在斜率为2的同一条直线上，求m 、n 的值；(2)在(1)的条件下，点P 为y 轴上一个动点，当∠APC 为直角时，求点P 的坐标；(3)在平面直角坐标系中另有两点D (3，2)、E (-1，-6)，连接DA 并延长至点G ，使DA =AG ，连接GE 交直线AB 于点F ，M 为线段FA 上的一个动点，求DM +55MF 的最小值．【答案】(1)-3；7；(2)(0，4)或(0，6)；(3)4【分析】(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入求出b =1，得到函数解析式，再将点B 、C 分别代入求出m 、n 的值；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，根据K PA •K PC =-1，得到y -30-1⋅y -70-3=-1，求解即可；(3)连接DE ，证得AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，求出AD 、DE 、DG ，利用勾股定理求出EG ，及sin ∠GFA 的值，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值，由DH •GE =DG •DE 得到DH =4．【详解】解：(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入得b =1，∴直线的解析式为y =2x +1，将B (m ，-5)、C (3，n )两点分别代入解析式，得m =-3，n =7；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，有K PA •K PC =-1，由(1)知，A (1，3)、C (3，7)，∴y -30-1⋅y -70-3=-1，解得y =4或y =6，∴点P 的坐标为(0，4)或(0，6)．(3)如图，连接DE ，由题意知，K AB =2，K DE =2-(-6)3-(-1)=2,K DA =3-21-3=-12，∵K AB =K DE ，K AB ⋅K DA =2×-12=-1，∴AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，∴AD =(1-3)2+(3-2)2=5,DE =45,DG =2AD =25，∴EG =DG 2+DE 2=10，∴sin ∠GFA =sin ∠GED =2510=55，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，∴DM +55MF =DM +MN ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值．由DH •GE =DG •DE ，得DH =4，即DM+55MF的最小值为4．【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键．14如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(23,4)，一次函数y= -33x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30°，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．(1)求b的值；(2)连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；(3)求OM+12MF的最小值．【答案】(1)b=3；(2)M233,73；(3)92【分析】(1)利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；(2)首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题；(3)过点M作MN⊥x轴交于点N，则OM+12MF=OM+MN，即可转化为求OM+MN的最小值，作点O关于一次函数的对称点O ，过点O 作x轴的垂线交x轴于点N ，交一次函数于点M，即OM+MN的最小值为O N ，算出长度即可．【详解】(1)在y=-33x+b中，令x=0，则y=b，∴点D的坐标为(0,b)，∵OD=BE，B(23,4)，∴E(23,4-b)，把E(23,4-b)代入y=-33x+b中得：4-b=-33×23+b，解得：b=3；(2)由(1)得一次函数为y=-33x+3，D(0,3)，E(23,1)，∴OD=3，AE=1，OA=23，∴S四边形OADE =12(OD+AE)⋅OA=12×(3+1)×23=43，∵ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ΔODM的面积与四边形OADE的面积之比为1:4，∴S△ODM=14S四边形OADE=3，设点M 的横坐标为a ，则12×3a =3，解得：a =233，把x =233代入y =-33x +3中得：y =73，∴M 233,73；(3)如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30°，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ，且OO '与直线DF 交于Q 点，过点O 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，∴OM =O M ，∴OM +12MF =OM +MN =O M +MN ，当O 、M 、N 在同一直线时O M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O M +MN 的最小值为O N ，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ON =90°-30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×32=332，∴OO =2OQ =33，在Rt △ON O 中．O N =OO sin60°=33×32=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．15如图1，一次函数y =34x -6的图象与坐标轴交于点A ，B ，BC 平分∠OBA 交x 轴与点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求CD 所在直线的解析式；(3)如图2，点E 是线段OB 上的一点，点F 是线段BC 上的一点，求EF +OF 的最小值．。
中考方程(组)不等式(组)一次函数求最值的综合应用
专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。
1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。
（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)一次函数是高中数学中的重要概念之一，掌握一次函数的最值和区间对于解题非常有帮助。
本文将提供一些绝对经典且全面的一次函数最值和区间练题，帮助读者巩固这一知识点。
最值问题一次函数的最值问题，主要考虑函数在定义域内的最大值和最小值。
下面是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x + 3$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 5$，求函数 $g(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
3. 对于函数 $h(x) = ax + b$，当 $a>0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？4. 对于函数 $k(x) = cx + d$，当 $c<0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？区间问题一次函数的区间问题，涉及函数在某个区间上的取值范围。
以下是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x - 4$，求函数 $f(x)$ 在 $[-3, 5]$ 区间上的取值范围。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 2$，求函数 $g(x)$ 在 $[0, 5]$ 区间上的取值范围。
3. 已知函数 $h(x) = 2x + 1$，求函数 $h(x)$ 在 $(-\infty, 3]$ 区间上的取值范围。
4. 对于函数 $k(x) = -x + 5$，求函数 $k(x)$ 在 $[1, \infty)$ 区间上的取值范围。
以上是一些一次函数最值和区间的练习题，希望能对读者的学习有所帮助。
通过练习这些经典题目，读者可以更好地理解和掌握一次函数的最值和区间的概念。
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。
一次函数最值问题
一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
对于一次函数，其斜率为 k。
1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。
因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。
因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。
在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。
利用一次函数的性质解最值问题
利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。
专题14 一次函数中的最值问题(解析版)
考点一 坐标系中两点之间的距离最值问题
【方法点拨】①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。 1．如图，点 P 的坐标为（2，0），点 B 在直线 y＝x+m 上运动，当线段 PB 最短时，PB 的长度是
m．
【思路点拨】当线段 PB 最短时，PB 与直线 y＝x+m 垂直，根据解析式即可求得 C、D 的坐标，然后根 据勾股定理求得 CD，然后根据三角形相似即可求得 PB 的最短长度． 【解析】解：当线段 PB 最短时，PB⊥CD，如图所示： 由直线 y＝﹣x+m 可知，直线与坐标轴的交点为 C（﹣m，0），D（0，m）， ∴OC＝m，OD＝m， ∴CD m， ∵点 P 的坐标为（2，0）， ∴PC＝2+m， ∵∠PCB＝∠DCO，∠PBC＝∠DOC＝90°， ∴△PBC∽△DOC，
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考点二 坐标内的线段和（差）最值问题
【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大 1．如图，已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（ ，﹣2），点 P 在直线 y＝﹣x 上运动，当|PA﹣PB|
最大时点 P 的坐标为（ ）
A．（2，﹣2）
B．（4，﹣4）
C．（ ， ）
变，根据 22+22
，得到∠PBA＝90°，由勾股定理求出 PM 即可
【解析】解：取 AB 的中点 M，连 OM，PM，
，另两边长度不
在 Rt△ABO 中，OM
1，在等边三角形 ABP 中，PM ，
无论△ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，
∵O 到 AB 的最大值是 AB＝1，
∴点 D 的坐标为（ ， ），即 D（﹣3，3），
中考数学最值问题总结
中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。
如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
专题10 一次函数的实际应用中最值问题(学生版) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题10一次函数的实际应用中最值问题【专题训练】一、解答题1．(2020·四川广安市·中考真题)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．(两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变)(1)A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W 与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．2．(2020·山东济南市·中考真题)5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？3．(2020·四川中考真题)推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．(1)甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？(2)现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．4．(2020·云南中考真题)众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．5．(2020·山东烟台市·中考真题)新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？6．(2020·广西中考真题)倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知2台A 型机器人和5台B 型机器人同时工作2h 共分拣垃圾3.6吨，3台A 型机器人和2台B 型机器人同时工作5h 共分拣垃圾8吨．(1)1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A 型机器人a 台104()5a ≤≤，B 型机器人b 台，请用含a 的代数式表示b ；(3)机器人公司的报价如下表：在(2)的条件下，设购买总费用为w 万元，问如何购买使得总费用w 最少？请说明理由．7．(2020·广东深圳市·中考真题)端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？(2)由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？8．(2020·黑龙江鹤岗市·中考真题)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．(1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．9．(2020·湖北荆州市·中考真题)为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：(单位：吨)(1)求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；<≤且m为整数)，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．(3)当每吨运费降低m元，(0m1510．(2020·甘肃天水市·中考真题)天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠()1020m m <<元，B 种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．11．(2020·湖北咸宁市·中考真题)5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒(m 为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按(2)中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？12．(2020·湖北孝感市·中考真题)某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知1kg乙产品的售价比1kg 甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？(2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？13．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：(1)A，B两种书包每个进价各是多少元？(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？14．(2020·湖南怀化市·中考真题)某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．(1)设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．15．(2020·四川达州市·中考真题)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．(1)求表中a的值；(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？16．(2020·四川泸州市·中考真题)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？17．(2020·山东济宁市·中考真题)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?18．(2020·山东聊城市·中考真题)今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．19．(2020·贵州铜仁市·中考真题)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？20．(2020·贵州遵义市·中考真题)为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：(1)求甲、乙两种型号水杯的售价；(2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．21．(2020·浙江温州市·中考真题)某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．(1)4月份进了这批T恤衫多少件？(2)4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．。
一次函数的最值问题
一次函数的最值问题★最值型函数应用题在一次函数应用题中, 求最值应用题综合性较强，难度较大。
此类题要注意将复杂问题转化为几个简单问题，步步深入，由易到难地寻求解答，建立正确的函数解析式，并注意自变量的的范围，这是解题的关键。
1、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（1）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；（2）如何配制这两种饮料，使成本最低？最低成本是多少？2、种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式；(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．3、为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗。
某树苗公司提供如下信息：信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。
信息二：如下表设购买杨树、柳树分别为x株、y株。
（1）写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：（2）当每株柳树的批发价P等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？（3）当每株柳树批发价P（元）与购买数量y（株）之间存在关系P＝3－0.005y时，求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
中考 函数专题13 一次函数-最值问题(老师版)
专题13 一次函数-最值问题本专题是一次函数背景下的最值问题，题型上有三个方面，（1）函值性质中的最值问题；（2）几何图形中的最值问题；（3）利用一次函数性质解决生活中的最值问题；通过本专题的学习，让学生对最值问题的认知更全面，从而全面提升学生的分析和解决问题的能力。
本专题适合教师对学生进行专题教学，也适合教师对学生进行个体辅导。
题型一：一次函数性质（增减性）最值问题一、单选题1．（2019·合肥寿春中学 ）设20k -<<，关于x 的一次函数()31y kx x =++，当01x ≤≤时的最小值是（ ）A ．kB ．3k +C ．6k +D ．3【答案】D【解析】把一次函数()31y kx x =++整理，得()()3133,y kx x k x =++=++判断出30k +>，根据一次函数的性质即可得到当01x ≤≤时的最小值. 【详解】()()3133,y kx x k x =++=++20,k -<< 30k ∴+>故0x =取最小值为3，故选:D.【考点】一次函数()0y kx b k =+≠的性质，当0k >时，y 随x 的增大而增大.当k 0<时，y 随x 的增大而减小.2．（2018·余姚市梁辉初级中学中考模拟）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k -2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（ ）A ．2k -2B ．k -1C ．kD ．k+1【答案】A【解析】先根据0＜k ＜2判断出k -2的符号，再判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．【详解】∵0＜k ＜2，∴k -2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k -2）+2=2k -2．故选A ．【考点】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，y 随x 的增大而减小。
3．（2018·广东初二学业考试）一次函数()y k 1x k =--的大致图象如图所示，关于该次函数，下列说法错误的是( )A ．k 1>B ．y 随x 的增大而增大C ．该函数有最小值D ．函数图象经过第一、三、四象限【答案】C 【解析】根据一次函数的增减性确定有关k 的不等式组，求解即可． 【详解】观察图象知：y 随x 的增大而增大，且交与y 轴负半轴，函数图象经过第一、三、四象限，所以，k - 1> 0 , - k<0 , 解得：k 1>，该函数没有最小值，故选C ．【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．二、填空题4．（2020·辽宁初二期末）已知一次函数2y x =-+，当31x -≤≤-时，y 的最小值是________．【答案】3【解析】根据一次函数的性质得出当31x -≤≤-时，y 的取值范围即可．【详解】∵k=-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当31x -≤≤-时，∴x = - 1 时，函数值最小，最小值为3. 故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．5．（2019·安徽省桐城市黄岗初中初二月考）在一次函数23y x =+中，当 05x ≤≤时，y 的最小值为____________.【答案】3【详解】k =2>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 有值小值，把x =0代入y =2x +3得y =0+3=3．故答案为3．【点拨】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降；当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴．6．（2019·江西初二期末）已知一次函数y ＝﹣2x +5，若﹣1≤x ≤2，则y 的最小值是_____．【答案】1【详解】解：∵一次函数y ＝﹣2x +5，k ＝﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵﹣1≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 的最小值是1，故答案为：1【点拨】此题主要考查了一次函数，根据一次函数的性质得出其增减性是解答此题的关键． 7．（2018·梅州市梅县区松口中学初二月考）在一次函数23y x =+中，y 随x 的增大而____________（填“增大”或“减小”），当 05x ≤≤时，y 的最小值为____________.【答案】增大 3【解析】由题意得：∵一次函数y=2x+3中，k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，∵此函数为增函数，∴当0≤x≤5时，y 的最小值为x=0时，y 最小=3．8．（2019·北京市第十一中学初二月考）在一次函数y ＝﹣2x +3中，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”），当﹣1≤x ≤3时，y 的最小值为_____．【答案】减小 ﹣3【解析】根据一次函数的性质得一次函数23y x =+﹣，y 随x 的增大而减小；然后计算3x =时得函数值即可得到y 的最小值．【详解】∵k ＝﹣2＜0，∴一次函数y ＝﹣2x +3，y 随x 的增大而减小；当x ＝3时，y ＝﹣2x +3＝﹣3．∴当﹣1≤x ≤3时，y 的最小值为﹣3．故答案为减小，﹣3．【点拨】本题考查了一次函数的性质：0k >，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；0k <，y 随x 的增大而减少，函数从左到右下降.题型 二：几何图形中最值问题；一、选择题9．（2019·广东红岭中学初二期中）一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点(2,0)A ,(0,4)B ,点C ,D 分别是OA ,AB 的中点,P 是OB 上一动点.则DPC ∆周长的最小值为（ ）A ．4B C ． D ．2【答案】D 【解析】作C 点关于y 轴的对称点C '，连接'DC ，与y 轴的交点即为所求点P ，用勾股定理可求。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版最值问题)
题型一：一次函数最值问题：（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为1y 元和2y 元，分别求1y 和2y与x 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？2、（中招•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？3、（中招•深圳）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？6．（中招•深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“中招年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？7．（中招•深圳）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？。
一次函数求最值问题
归纳总结
一、一次函数最值在数学问题中的 确定方法：
1.有确定的一次函数关系式；
2.有自变量的取值范围；
3.根据一次函数的增减性确定它的最值。
学习目标：
1.会用一次函数解决数学中的最值问题 2.掌握用一次函数最值在实际问题中的解答思 路和方法
快乐导学： 二、一次函数最值在实际问题中的确定方法
1.某汽车停车场预计五一这天将停放大小汽车1000 辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车 每辆次5元。 （1）写出这天停车场的收费总额P（元）与大车停 放辆次x（辆）之间的函数关系式。 解：（ 1）P=10x+5(1000-x)=5x+5000 （2）这天停车场的收费总额最多为多少元？ （3）如果这天停放的大汽车不低于停车总辆次的 解：（ 2）∵P随x的增大而增大，0≤x≤1000 60%，那么，这天停车场的收费总额最少为多少元？ ∴当x=1000时，P最大。 当x=1000时，P=5×1000+5000=10000
所以这天停车场的收费总额最多为10000元。
解：（3）根据题意得： x≥ 1000×60% 0≤x≤1000 解得 600≤x≤1000 ∵ P随x的增大而增大， 故当x=600时，P最小。 当x=600 时 ，P=5×600＋5000=8000 所以，五一这天停车场的收费总额最少为8000元。
归纳与总结 二、一次函数最值在实际问题中的解答 思路：
回顾与反思
1、本课内容所运用的知识点 2、学习本课的收获、体会
3、对于本节课的内容你还有哪些疑惑？
作 业
学练优84页
1、求一次函数解析式。 2、结合题意列出不等式（组），确定自变量的取值 范围。
3、根据一次函数的增减性，计算函数的最大（小）值。
初中数学几何模型与最值问题10专题-一次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题10 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.3、有A B、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发多少度电？（2）A B、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．专题10 一次函数在实际应用中的最值问题答案【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？【分析】(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x ＋20，解得x＝4(h)．【解析】(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？【分析】本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.【解析】观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处函数值相等3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.【分析】考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km，则500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.【小结】有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【解析】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则 300260(90)4023400y x x x =+-=+①2(90)x x ≤-①60x ≤①y 随x 的增大而增大①当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元， 根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，3015x y =⎧∴⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元； （2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3z z ≥-，152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【解析】（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【解析】（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，①有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．①W=8t+900中W随x的增大而增大，①当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，①为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【解析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．①2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，①，解得：5≤m≤7，①有三种不同方案．①w=200m+4000中，200＞0，①w值随m值的增大而增大，①当m=5时，总费用最小，最小值为5000元答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【解析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，①y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．①x取整数，①x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．①在y=5x+1200中，k=5＞0，①y随x的增大而增大，①当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【解析】(1)①由题意得：y=300x﹣600；①由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，①当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，①x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【解析】（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，①18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，① 185≤n≤6，①n非负整数，①n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；①购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∴所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∴购进A 品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．。
中考自招数学知识点26：函数的最值问题
最值问题知识梳理：常用的求函数最值的方法①直接法：利用常见函数的值域；一次函数y =ax +b (a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k k y 的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a >0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a <0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}。
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=形式；③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；分离常数法；⑤基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xk x y ，利用基本不等式求值域；⑤数形结合法：耐克函数的图像等。
⑤判别式法例题精讲：1、直接法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）例1、求函数y=211x +的最大值2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()2F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦例2、求函数26 2+-=x x y 的最小值例3、若≤≤01x ，函数=-+2()a f x x ax 的最小值为m ，用a 表示m 。
3、换元法例4：求函数123+--=x x y 的最值。
4、基本不等式法例5、求函数)1(222->+++=x x x y 的最小值。
5、耐克函数单调性法（需掌握基本初等函数及以下函数的单调性）（1）)0,0(>>+=b a x b ax y （2）)0,0(<>+=b a xb ax y （3）)0,0(<<+=b a x b ax y （4）)0,0(><+=b a x b ax y 例6、求函数)221(1222≤≤-+++=x x x x y 的最值。