高等数学 偏导数

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高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

f ( x 0 , y0 + y ) f ( x 0 , y0 ) lim y → 0 y
记为,
z y
f , x = x0 y
y = y0
x = x0 y = y0
, zy
x = x0 y = y0
或 f y ( x 0 , y0 )
偏导函数:
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是 x , y 的函数,它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导函数, 记作 ,
注: 请同学们把上述结果与一元函数导数的 相应结果作一个比较.
有关偏导数的几点说 明: u
1, 偏导数
x
是一个整体记号,不能拆分;
2, 求分段点,不连续点处的偏导数要用 定义求;
例如, 设z = f ( x , y ) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).

| x 0 | 0 = 0 = f y (0,0). f x (0,0) = lim x → 0 x
y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0 x( x 2 y 2 ) 2 f y ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) , ( x , y ) = (0,0) ( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) . ( x , y ) = ( 0 ,0 )
xy 2 x + y2 例 5 设 f ( x, y) = 0 求 f ( x , y )的偏导数 .
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) ( x , y ) = ( 0 ,0 )

偏导数公式大全24个

偏导数公式大全24个

偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念,用于描述函数在特定方向上的变化率。

在实际问题中,偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。

下面是24个常用的偏导数公式,每个公式都有它们的特定应用场景。

1. 常数偏导数公式:对于常数函数f(x)=c,其偏导数为0,即f/x = 0。

2. 幂函数偏导数公式:对于幂函数f(x)=x^n,其中n为常数,其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。

3. 指数函数偏导数公式:对于指数函数f(x)=a^x,其中a为常数,其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。

4. 对数函数偏导数公式:对于对数函数f(x)=log_a(x),其中a为常数且a>0,其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数偏导数公式:对于三角函数f(x)=sin(x),其偏导数为f/x = cos(x)。

类似地,对于cos(x)和tan(x)函数,其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。

6. 反三角函数偏导数公式:对于反三角函数f(x)=asin(x),其中a为常数,其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。

类似地,对于acos(x)和atan(x)函数,其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2),-1/sqrt(1+x^2)。

7. 求和公式:对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x),其偏导数为f/x = g/x + h/x。

8. 积函数公式:对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x),其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。

9. 商函数公式:对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x),其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。

10. 复合函数公式:对于复合函数f(g(x)),其中f和g是两个函数,其偏导数为f/x = f/g * g/x。

偏导数的四种写法

偏导数的四种写法

偏导数的四种写法在高等数学中,偏导数是一种非常重要的概念。

它是指一个函数在多个自变量中固定某一个自变量的值时,对于该自变量的导数。

它有四种常见的写法,分别是$f_x$、$\frac{\partial f}{\partialx}$、$D_xf$和$\partial_xf$。

下面我们就来分步骤阐述这四种写法的含义和使用方法。

1. $f_x$这种写法是最为简单的一种偏导数的写法,它的意义是对函数$f(x,y)$求$x$的导数,相当于$\frac{\partial f}{\partial x}$。

例如,如果$f(x,y)=x^2+y^2$,那么$f_x=2x$,$f_y=2y$。

2. $\frac{\partial f}{\partial x}$这种写法也是非常常见的一种偏导数的写法,它表示对函数$f(x,y)$求$x$的偏导数。

在这种写法中,$\partial$的字母形状表明这是一个偏导符号,代表着只对$x$求导。

例如,如果$f(x,y)=\sin(x+y)$,那么$\frac{\partial f}{\partialx}=\cos(x+y)$,$\frac{\partial f}{\partial y}=\cos(x+y)$。

3. $D_xf$这种写法是一种比较新颖的偏导数的写法,也是最为简洁和易记的一种写法。

它的意义和$\frac{\partial f}{\partial x}$是等价的,表示对函数$f(x,y)$求$x$的偏导数。

例如,如果$f(x,y)=xe^y$,那么$D_xf=e^y$,$D_yf=xe^y$。

4. $\partial_xf$这种写法也常常被用来表示对函数$f(x,y,z)$求$x$的偏导数。

与$\frac{\partial f}{\partial x}$类似,它表示对函数$f(x,y,z)$求$x$的偏导数。

不同之处在于,这种符号更加简洁和易于书写。

例如,如果$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$,那么$\partial_xf=2x$,$\partial_yf=2y$,$\partial_zf=2z$。

高数大一偏导数知识点归纳

高数大一偏导数知识点归纳

高数大一偏导数知识点归纳一、导数的定义和计算方法在高等数学中,偏导数是一个非常重要的概念。

它描述了一个函数在某一点上的变化率,即函数沿特定方向的斜率。

下面将对偏导数的定义和计算方法进行总结。

1.1 导数的定义偏导数的定义是:对于具有多个自变量的函数,当其中的一个自变量发生微小变化时,其他自变量保持不变,函数值相应地发生变化。

偏导数用来表示函数在这一自变量上的变化率。

1.2 偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通的导数计算方法类似,只需将其他自变量看作常数。

对于一个具有两个自变量的函数f(x, y),其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。

具体计算时,可以使用以下方法来计算偏导数:- 对于一个单变量函数,求导即可得到偏导数。

- 对于一个多变量函数,可以将其他自变量看作常数,并对每个自变量求导。

二、偏导数的性质和应用2.1 偏导数的性质偏导数具有以下性质:- 线性性质:偏导数满足线性运算法则,即和、差的偏导数等于偏导数之和、差的和。

- 交换性:对于函数f(x, y),其关于x和y的偏导数可以互相交换次序。

- 高阶偏导数:偏导数可以进行多次求导,得到高阶偏导数。

2.2 偏导数的应用- 偏导数可以用于求函数的最大值、最小值等极值问题。

- 在物理学、工程学等领域中,偏导数可以表示变量之间的相互关系和影响。

- 偏导数还可以用于微分方程的求解和函数的泰勒展开等数学问题。

三、常见的偏导数公式3.1 二阶偏导数二阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导。

在计算二阶偏导数时,需要注意求导的次序,常见的二阶偏导数公式有:- 混合偏导数:对于函数f(x, y),其混合偏导数可以通过先对一个自变量求偏导数,再对另一个自变量求一次偏导数得到。

- 拉普拉斯算子:表示对函数f(x, y)的二阶混合偏导数之和。

3.2 高阶偏导数在实际问题中,有时需要对一个函数进行多次求导,得到高阶偏导数。

高阶偏导数的计算需要依次对各个变量求导,按照求导的顺序,可以得到各个阶数的偏导数。

高数大一偏导数知识点汇总

高数大一偏导数知识点汇总

高数大一偏导数知识点汇总在大一的高等数学学习中,偏导数是一个重要且必须掌握的概念。

偏导数主要用来描述函数在多个变量中,针对其中一个变量的变化率。

下面将对大一偏导数的相关知识进行汇总,并进行分类介绍。

一、偏导数的概念和计算方法偏导数是多元函数关于其中一个变量的导数,并将其它变量视为常数。

可以用符号∂表示它的差分。

对于二元函数,偏导数可以表示为∂z/∂x或∂z/∂y,表示z关于x或y的变化率。

对于高维函数,偏导数可以类似地进行求解。

计算偏导数的方法主要有两种:隐函数法和参数法。

隐函数法是通过将多元函数转化为隐函数,然后求解对应的偏导数。

参数法则是将多元函数表示为参数方程的形式,再对每个参数求偏导数。

这两种方法根据具体问题的不同,可以选择合适的方法进行计算。

二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有直观的解释。

对于二元函数而言,偏导数可以理解为二元曲面在某一点上的切线斜率。

如果将函数的自变量取为平面上的坐标轴,则偏导数可以表示平面上曲线在某一点的切线斜率。

类似地,对于更高维度的函数,偏导数可以表示为多元曲面的切平面的斜率。

三、高阶偏导数和混合偏导数高阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导,可以用符号∂²z/∂x²表示。

高阶偏导数描述了函数的变化率的变化率。

对于二阶偏导数,可以通过二阶混合偏导数来判断函数的凸凹性。

如果二阶混合偏导数满足一定的条件,即Hessian矩阵的主特征值都大于0,则函数为凸函数;反之,如果主特征值都小于0,则函数为凹函数;否则,函数为非凸非凹函数。

四、偏导数的应用偏导数在各个领域有广泛的应用。

在物理学中,偏导数可以用于描述物理量的变化率,例如速度、加速度等。

在经济学中,偏导数可以用于描述需求变化对价格的影响。

在工程学中,偏导数可以用于优化问题的求解,例如最小化路径长度等。

此外,偏导数还可以用于描述曲线的切线方程和法线方程等。

总结:偏导数是描述多元函数关于其中一个变量的变化率的重要工具。

高等数学-偏导数

高等数学-偏导数

z
记为
,
x x x0
y y0
f x
,
x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0

f x ( x0 , y0 ).
2
同理,可定义函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处
对y的偏导数为
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0,
y0
y) y
f ( x0,
y0 )
z
记为
, y x x0
x 导数,则 2z ( ).
xy
yf ( xy) ( x y) y( x y)
z x
1 x2
f ( xy)
y x
f ( xy)
y( x y)
26
设u
yf
x y
xg
y ,其中f , g有连续的 x
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0

u x
f
x y
u x x x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
利用函数关于自变量的对称性
2u y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0
24
例 验证函数 z sin( x ay)满足波动方程:
2z y2
a2
2z x 2
.
证 因 z cos( x ay), x

高等数学第八章第二节偏导数

高等数学第八章第二节偏导数

(R 为常数) ,
V R T p
说明: 此例表明,
p V T RT 1 V T p pV
偏导数记号是一个
整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
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有关偏导数的几点说明:
u 1、 偏导数 是一个整体记号,不能拆分; x
2、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求;
偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在
xy , x2 y2 0 x2 y2 例如,函数 f ( x , y ) , 0, x2 y2 0 依定义知在( 0,0)处, f x (0,0) f y (0,0) 0 .
x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) , f y ( x, y , z ) lim y y 0 f z ( x, y , z ) lim f ( x, y , z z ) f ( x, y , z ) . z z 0
x
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结束
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
思考与练习
解答提示: P73 题 5
P73 题 5 , 6
当 x 2 y 2 0 时,
x2 y f x ( x, y ) 2 2 x x y
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高等数学偏导数

高等数学偏导数

例5 设z x
y
求证
z z y 1 证 x y ln x yx y x x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x x y x y 2 z y x ln x y y ln x
例6 气态方程 pV RT RT RT V p p V
2
例8 求u e ax cos by 的二阶偏导数

u ax ae cos by x
u ax be sinby y
2u 2 ax a e cos by 2 x
u abeax sinby xy
2
2u 2 ax b e cos by 2 y u abeax sinby yx
例3
2 2 z x 3 xy y 求 在(1,2)处的偏导数

z 2x 3 y x z 3x 2 y y
z x z y
x 1 y2 x 1 y2
8
5
例4 解
求 z x sin5 y的偏导数
3
z 2 3 x sin5 y x
z 3 5 x cos 5 y y x z 1 z 2z y x ln x y
f ( x , y )在(0,0)连续 f (0 x ,0) f (0,0) f x (0,0) lim x 0 x lim x 0 不 x 0 x
偏导数的 几何意义
f y ( x0 , y0 ) lim f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y 0 y
同理
f y (0,0) 0
偏导数
注意: 在P0 ( x0 , y0 )处
?
连续
在P0 ( x0 , y0 )处

第二节 偏导数

第二节   偏导数

f ( x Δx , y , z) f ( x , y , z)
fx(x
,
y
,
z)
lim
Δx 0
Δx
f ( x , y Δy , z) f ( x , y , z)
fy(x
,
y
,
z)
lim
Δy 0
Δy
f ( x , y , z Δz) f ( x , y , z)
fz(x
,
y
,
z)
lim
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
第九章 第二节
24
f
(
x,
y)
x2
xy
y
2
( x , y) (0 , 0)
0 ( x , y) (0 , 0)
依定义知在 (0 , 0) 处,fx (0 , 0) f y (0 , 0) 0
但函数在该点处并不连续,
所以偏导数存在 连续
第九章 第二节
13
例5 理想气体的状态方程 pV = RT (R 为常数) ,
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2
当 ( x , y) (0 , 0) 时,
f (0 Δx , 0) f (0 , 0)
fx
(0
,
0)
lim
Δx0
Δx
0
第九章 第二节
11
fx(x
,
y)
y(
y2
x2
)

高等数学第二节 偏导数

高等数学第二节 偏导数

xz x xxz
2z x2
fxx(x,y) zxx;
z x
y
y
z x
2z x y
fxy(x,y)
zxy;
z y
x
x
zy
2z
y x
fyx(x,y) zyx ;
z y
y
y
z y
2z y2
fyy(x,y) zyy .
其中 fxy(x, y) 及 fyx(x, y) 称为二阶混合偏导数.
证明 由例3可知
ux,uy,uz, x u y u z u
所以
2u x2
x
x u
u
x u x
u2
u x2 u
u2
u2 x2 u3
,
同理, 2yu得 2 u2u3y2,
所以
2u u2 z2 z2 u3 ,
2u 2u 2u x2 y2 z2
u2 x2 u3
u2 y2 u3
u2 z2 u3
x
x2
x y2
1(x2y2)x(2x0)
y2 x2
,
(x2 y2)2
( x2 y2 )2
验证了
2z 2z . x y yx
例 9 设uexy,z 求 3u .
x y z
解 因为
u yzexyz, x
2u (yzexyz) z (yexyz)
xy y
y
z[exy z yexyzx]z
(y2xsiny) 2siny, x
2 z (y2xs iny)12xcoys, x y y
2z y2
(xx2cosy) x2siny, y
2 z (xx2cosy)12xcoys. y x x

高等数学《偏导数》

高等数学《偏导数》
的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
在(0,0)处连续, 但 f x (0,0) f y (0,0)不存在.
练习题
一、填空题:
1、设z ln tan x ,则z ________;z _________.
y x
y
2、设z e xy ( x y),则 z _______;z ________.
(2) 求关于 y 的偏导数,把 z=f (x , y) 中的 x 看成常数,对 y 仍用一元函数求导法求偏导.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数. [解法一] 先求偏导数再代入具体点. [解法二]先固定 y=2 或 x=1 ,再对 x 或 y 求偏导数.
求 f x ( x0 , y0 ) 的两种常用方法:
即不能看作分子与分母的商.
例3 已知理想气体的状态方程 pV RT (R为常数),求证:p V T 1 . V T p

p RT V
p V
RT V2
;
V RT p
V R; T p
T pV R
T V ; p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;
二、求下列函数的偏导数:
1、z (1 xy) y ;
2、u arctan(x y)z .
x2 y2
三、曲线
z
4
,在点(2,4,5)处的切线与正向x
y 4
轴所成的倾角是多少?
四、设z
y
x
,求 2 x
z
2
,

高等数学 第二节 偏导数

高等数学 第二节  偏导数

RT ∂p RT =− 2 ; p= ⇒ ∂V V V RT ∂V R V= ⇒ = ; p ∂T p ∂T V pV = ; T= ⇒ ∂p R R
RT R V ∂ p ∂V ∂T RT = −1 . ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ ⋅ =− ∂ V ∂T ∂ p p R pV V
5
有关偏导数的几点说明: 有关偏导数的几点说明:
( x , y ) ≠ ( 0 , 0) x = 0, y = 0
求 f ( x , y ) 在原点处的偏导数 , 并讨论 f 在原点的连续性 .
f ( 0 + ∆ x , 0 ) − f ( 0, 0 ) 0−0 解 f x (0,0) = lim = lim =0. ∆ x →0 ∆ x →0 ∆ x ∆x 同理 f y (0,0) = 0 . x ⋅ kx k lim f ( x , y ) = lim 2 = 随 k 而变 . 2 2 2 x →0 x→0 x + k x 1+ k
∴ ∂ 2u ∂x
2
y ∂u , = 2 2 ∂y x + y
2 2
=
(x2 + y2 ) − x ⋅ 2x (x + y )
2
=
y2 − x2 (x + y )
2 2 2
,
∂ 2u ∂y ∴
2
= +
(x2 + y2 ) − y ⋅ 2 y (x + y )
2 2 2
=
x2 − y2 (x + y )
14
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
P 12
设 z = f ( x , y ) , 定义 : ∂z ∂ ′ f ( x , y ) = f x ( x , y ) = z ′x = 偏导数 ∂x ∂x f ( x + ∆ x, y) − f ( x, y) = lim ∆ x →0 ∆x ∂z ∂ ′ = f ( x , y ) = f y ( x , y ) = z ′y 偏导数 ∂y ∂y f ( x, y + ∆ y) − f ( x, y) = lim ∆ y →0 ∆y

高等数学偏导数

高等数学偏导数

高等数学偏导数高等数学偏导数是一门非常重要的数学课程,尤其是现在大学里的重要学科。

学习偏导数能够帮助人们理解许多复杂的数学问题,从而让学习变得更加容易。

因此,学习偏导数可以说是一门必修课程。

偏导数是指函数沿着某一方向上的变化率,也可以用来度量函数在某一点上急剧变化的程度。

在偏导数的研究中,人们将函数的变化率分为一阶、二阶、三阶和多阶偏导数,并且研究它们的属性以及它们如何影响和描述函数的变化。

一阶偏导数描述的是函数在某一点的斜率,当偏导数大于零时,函数在这一点处是增函数,如果偏导数小于零,那么函数在这一点处是减函数,而当偏导数等于零时,函数在这一点处变化最慢。

二阶偏导数是指函数在某一点的二阶导数,也就是函数在某一点的曲率,当二阶偏导数大于零时,函数在这一点处处于凸函数,而当二阶偏导数小于零时,函数在这一点处处于凹函数,而当二阶偏导数等于零时,函数在这一点处的曲率为零,也就是函数在这一点处变得更加平缓。

多阶偏导数能够描述函数随着变量变化的趋势,比如函数在某一方向上的变化率是怎样的。

多阶偏导数可以反映函数曲线的形态,而且可以用来研究函数的局部极值点和去极值点,从而找出函数的最大值、最小值和拐点。

除了上述偏导数的概念和用途,偏导数还可以用来分析函数在某一方向上的变化情况,从而帮助人们更好地了解函数的变化规律。

另外,偏导数还可以帮助人们解决多元函数的极值问题,从而帮助人们分析不同函数的关系。

总之,学习偏导数是一件非常重要的事情。

学习偏导数不仅可以提升学生的数学水平,而且还可以帮助学生理解更复杂的数学问题,在学习和研究其他数学课程时会有很大的帮助。

因此,只有通过努力学习偏导数,学生才能发展出良好的数学能力,更好地把握未来的发展机遇。

偏导数的定义与计算

偏导数的定义与计算

偏导数的定义与计算偏导数是高等数学中一个重要的概念,用于研究多元函数的变化率。

在本文中,我们将介绍偏导数的定义以及如何计算它。

一、偏导数的定义对于一个多元函数,它可能是一个变量的函数,也可能是多个变量的函数。

当我们固定其他变量,只考虑其中一个变量的变化时,所得到的导数称为偏导数。

对于一个二元函数 f(x, y),我们可以定义其关于 x 的偏导数为∂f/∂x,关于 y 的偏导数为∂f/∂y。

偏导数表示了函数在某一变量上的变化率。

二、计算偏导数的方法1. 对于只含有一个变量的函数,例如 f(x),其偏导数就是普通的导数,可以使用常规的求导法则来计算。

2. 对于含有多个变量的函数,例如 f(x, y),可以逐个对各个变量求偏导数,其他变量视作常数。

具体计算方法如下:- 对于关于 x 的偏导数,将 f(x, y) 视为只是 x 的函数,即固定 y 不变,求 f(x, y) 对 x 的导数。

- 对于关于 y 的偏导数,将 f(x, y) 视为只是 y 的函数,即固定 x 不变,求 f(x, y) 对 y 的导数。

注:对于更多变量的函数,也可以使用类似的方法逐个求偏导数。

三、举例说明让我们通过一个例子来具体说明偏导数的计算过程。

例:考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。

我们首先计算关于 x 的偏导数:∂f/∂x = 2x + 2y接下来计算关于 y 的偏导数:∂f/∂y = 2x + 2y如此,我们就得到了 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 的偏导数。

四、应用与意义偏导数在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在数学中,偏导数用于研究多元函数的变化规律,帮助建立基础的微分方程。

在物理学中,偏导数则被用于描述各种物理量之间的关系,例如速度的导数就是加速度。

偏导数的计算也为我们提供了一种评估函数的斜率变化的方法,帮助我们更好地理解函数的行为模式和特点。

总结:本文介绍了偏导数的定义与计算方法,通过对多元函数中单个变量的变化率的研究,帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

高等数学中的 偏导数

高等数学中的 偏导数

x 轴的斜率.
f
y
(
x0 ,
y0
)
为曲线
z

x

f (x, x0 .
y),

M0(
x0 ,
y0
)
处的
切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
例.
f
(x, y)
0, 1,
x0或 y0 xy 0
f x (0,0)

lim
x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)

0
f y (0,0)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) ,
f y ( x0 , y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0
y) y
f ( x0 , y0 ) ,
z x
,f x x0 x
z ,
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
fx(x, y,z)
lim
x0
f ( x x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
fz(x, y,z)
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
3. 偏导数的计算
fx ( x, y0 ) 可对 f ( x, y0 ) 求 x 的导数,即 固定 y y0,求对 x 的导数。
例1. 求 z x2 3xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数;

高等数学-偏导数

高等数学-偏导数

高等数学-偏导数偏导数是多元函数微积分的重要概念,它是一个函数在某个点沿着某个方向的变化率。

通过偏导数可以研究多元函数的性质,求得最值点和方向导数等重要结果。

一、定义1.1 对于二元函数f(x,y),在点(x0,y0)处,对x求偏导数定义为:可以理解为将y看做常数,对x进行求导。

二、求解方法偏导数的求解和一元函数的求导有些不同,需要注意以下几点:2.1 偏导数的计算只与所求变量有关,其它变量作为常数处理。

例如对于二元函数f(x,y)=xy+sin(x)其关于x的偏导数为:2.2 求偏导数时需要计算相应的极限,因此需要满足极限的存在。

例如对于二元函数f(x,y)=x^2y,f在(0,0)处的偏导数f‘ x和f ‘y均为0。

2.3 当函数存在二阶及以上的导数时,须注意求偏导数的顺序。

偏导数的计算顺序应当与求导阶数的顺序一致。

例如对于二元函数f(x,y)=xe^y+cosx,它的二阶偏导数f'' xy可以通过以下步骤求解:三、应用3.1 最值点在多元函数的优化问题中,最值点是非常重要的概念,偏导数可以帮助求解。

设f(x1,x2,...,xn)为多元函数,当它在点(x1 0,x2 0,..., xn 0)处取最大值或最小值时,称点(x1 0,x2 0,..., xn 0)为f的最值点。

最值点的判定定理为:例如对于二元函数f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3,在点(1,2)处有f‘x=2(x-1)=0,f‘y=2(y-2)=0,因此点(1,2)为可能的最值点。

通过计算可以得到:f‘‘xx=2,f‘‘yy=2,f‘‘xy=0,从而确定点(1,2)为f的最小值点。

3.2 方向导数方向导数是多元函数微积分的重要概念,它表示函数在某一方向上的变化率。

在三维空间中,每一点存在无数个方向,因此方向导数具有方向性。

设f(x,y,z)为三元函数,点P(x0,y0,z0)处的单位向量为l,其方向导数定义为:3.3 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理,它可以将一个函数在某点处的导数展开成一系列项的和,进而研究函数的性质。

高等数学中的 偏导数

高等数学中的 偏导数

函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x

z x


2z x 2

f xx ( x, y),
y

z x


2z xy

fxy ( x, y),
z y y
2z y 2

f yy ( x, y)
纯偏导
z x y
由一元函数导数的几何意义:
z = tan
y M x
z
Ty
Tx
L
M
z= f (x,y)
0
(x , y )
x =x0
.
y
.

偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截得 的曲线在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得 的曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y 轴的斜率.
x,求 y
fx ( x,1).
解: f ( x,1) x fx ( x,1) 1.
4. 偏导数和连续性的关系
一元函数中在某点可导 连续,
多元函数中在某点偏导数存在
连续,
例如,函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处, f x (0,0) f y (0,0) 0.
3. 偏导数的计算
fx ( x, y0 ) 可对 f ( x, y0 ) 求 x 的导数,即 固定 y y0,求对 x 的导数。

简述偏导数的定义

简述偏导数的定义

小白也懂!偏导数的定义与应用偏导数是高等数学中比较基础的概念之一,同时也是微积分中的
一个重要概念。

下面我们来详细探究一下偏导数的定义和应用。

偏导数的定义:偏导数是指在多元函数中,将其中一个变量看作
常数,再对另一个变量求导数的过程。

一般情况下,我们用符号∂来表
示偏导数,例如∂z/∂x就表示函数z对变量x的偏导数。

需要注意的是,显然一个函数的所有偏导数并不一定存在,因此必须在定义域内分别
讨论。

在实际应用中,偏导数可以帮助我们求出函数在某个方向上的变
化率和斜率,以及在局部最优解等情况下决策是否正确等。

例如,对
于一个具有多个自变量的函数,我们需要通过求出其所有自变量的偏
导数,来判断在每个自变量的变化方向上,函数的变化趋势以及变化
快慢,从而为最优解的寻找提供指导。

此外,偏导数在物理学和工程
学等学科中也有广泛的应用,例如求出热传导方程和电磁场方程等。

因此,偏导数作为一种全面而有力的数学工具,在现代科学研究、工程技术和经济管理等领域中有着广泛应用和深远的影响。

希望大家
加强对偏导数的学习和应用,为实现美好的科学和社会发展作出贡献。

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2 2 z z z z 2 f yy ( x , y ) ( x, y), 2 f xx y y y x x x 纯偏导
z 2 z z 2 z ( x, y ), f xy ( x , y ) f yx x y yx y x xy
( D
).
A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
16
9.2.2 偏导数的几何意义
设二元函数 z f ( x , y )在点 M 0 ( x0 , y0 ) 有 偏导数. 如图, z z f ( x, y) M 0 z f ( x , y0 ) 设M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上的一点,
O
x0 x轴的斜率; x f ( x , y ) 偏导数 y 0 0 在几何上表示 z f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 曲线 x x0
y
处的切线对y轴的斜率.
18
设 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点.
过点 M 0 作平面 y y0 , 此平面
y0 与曲面相交得一曲线, 曲线的 O z f ( x , y ), x0 方程为 y y0 . x ( x0 , y0 )等于一元函数 f ( x, y0 )的 由于偏导数 f x 导数 f ( x , y0 ) x x , 故由一元函数导数的几何意义
但函数在该点处没有极限,所以不连 续. 偏导数存在 14 连续.
例 研究函数 f ( x , y )
x 2 y 2 在(0,0)点的
连续性与可偏导性.
解 因为 lim f ( x , y ) lim x 2 y 2 0 f (0,0), x 0 x 0
y 0 y 0
解 当( x, y) (0,0)时,
12
xy 当( x , y ) (0,0), 2 2 f ( x, y) x y 当( x , y ) (0,0). 0
y ( x 2 y 2 ) xy 2 x y( y 2 x 2 ) ( x, y ) 2 fx 2 2 2 2 2 (x y ) (x y ) 2 2 2 2 xy 2 y ( x y ) x x ( x y ) f y ( x, y ) 2 2 2 2 (x y ) ( x y 2 )2 当( x, y) (0,0)时, 按定义得 0 f (0 x ,0) f (0,0) 0 lim (0,0) lim fx x 0 x x 0 x f (0,0 y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0 y 0 y 0 y y 13
r y
r , 2 2 2 z x y z y
8
z x y z
2 2 2
例 求f ( x, y, z ) ( z a xy ) sinln x 2 在点(1,0,2)处的 三个偏导数. 2 2 2 2 cos ln x [sin ln x ] 解 f x (1,0,2) x 1 x x 1
该区域内
( x , y ) f yx ( x , y ). f xy
一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连 续就与求导次序无关. 如
f f f 2 2. x y xyx yx
3 3 3
23
2 2 u ( x , y ) ln x y 例 验证函数 满足
x x 2z.
y y
6
证毕.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim x 0 x
f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim y 0 y
3. 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续, 连续,
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如, 函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0
2 2
,
x y 0
(0,0) f y (0,0) 0. 由前面的例子可知在(0,0)处, f x
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
21

3 2 3 z x y 3 xy xy 1, 求 设
2z 2z 2z 2z 、 2、 及 . 2 x y xy yx
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x 2 2z z 3 2 2 x 18xy 2 6 xy , 2 x y
数, 简称偏导数.
z f , , z ( x, y ). 记作 或 fx x x x
同理, 可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y
z f ( x , y ). , , zy 或 f y 的偏导数, 记作 y y
4
求多元函数的偏导数并不需要新的方法,

( x, y),只需将y 看作常量, 利用一元函数 如求 f x
19
2 2 x y z 例 求曲线 在点(2,4,5)处的切线 4 y4
与x轴正向所成的倾角. 解
1 ( x, y) x, fx 2

(2,4) 1 tan , fx

4
20
9.2.3 高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
f ( x , y, z z ) f ( x , y, z ) f z( x , y, z ) lim z 0 z
7


求r
x 2 y 2 z 2 的偏导数.
r 1 2x x 2 x 2 y 2 z 2
x x2 y2 z2
,
利用函数关于自变量的对称性, 有
9.2 偏导数
9.2.1 偏导数的概念及其计算法
为求一元函数的变化率, 我们引入了导数的概念. 对于多元函数, 我们先考虑它关于一个自变 量的变化率. 例如, 二元函数 z = f (x, y), 先让 y固定 (即y
视为常数), 这时z就是 x的一元函数, z 对 x的导数,
称为二元函数 z 对 x的偏导数.
pV RT
(R 为常数), 求证: p V T 1. V T p 证
RT p RT p 2 ; V V V
T V pV T p R R
V R RT ; V T p p
p V T RT R V RT 1 2 V T p p R pV V
所以, 函数在(0,0)点连续. 而
f ( x ,0) x ,
f (0, y) y
在. 所以, f ( x, y)在(0,0)点的两个偏导数都不存
15
二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的
z ( y sin y ) (1 cos y ) 2 y 0 y 0 y ( 1 , 0 )
解2
z 2 xy, x
z 0, x (1,0 )
z x 2 cos y , y z 2. y ( 1 , 0 )
10
例 已知理想气体的状态方程
2 2 u 拉普拉斯方程 2 u 0. 2 x y u x 1 2 2 2 , u( x , y ) ln(x y ), 2 x x y 2
z 记为 x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
2
, z x
x x0 , y y0
( x0 , y0 ). 或 fx
同理,可定义函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处 对y的偏导数为
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
1
定义9.3 设二元函数z = f (x, y), P0(x0, y0)为平面上一点. 如果z = f (x, y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点 可导, 即极限
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )处 对x的偏导数,
11
有关偏导数的几点说明:
f 1. 偏导数 是一个整体记号, 不能拆分; x
2. 分界点、不连续点处的偏导数要用定义求; 例
xy 2 f ( x, y) x y 2 0 当( x , y ) (0,0) 当( x , y ) (0,0)
求 f ( x, y )的偏导数 .
f y (1,0,2) 0 y 0 0,
f z(1,0,2) 0 z 2 0
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入, 变为一元函数, 再求导, 常常较简单.
9
求 z x 2 y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数.
解1
z 0, x (1,0 )
的求导法对x 求导即可.
例 求 z x 3 xy y 在点 (1,2)处的偏导数.
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