「精品」高考数学一轮复习课时分层训练40简单几何体的结构及其三视图和直观图理北师大版

课时分层训练(四十) 简单几何体的结构及其三视图和直观图
A组基础达标
一、选择题
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥
C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体
C[截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．]
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的两个底面是全等的正多边形
B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形
C．{直棱柱}⊆{正棱柱}
D．{正四面体}⊆{正三棱锥}
D[因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C 都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．]
3．(2017·河北石家庄质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图7­1­8所示，则该三棱锥的左视图可能为( )
图7­1­8
A B C D
D[由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，
所以该三棱锥的左视图可能为选项D.]
4．(2018·东北三省四市模拟(一))如图7­1­9，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为( )
【导学号：79140221】
图7­1­9
A．6 B．4 2
C．25＋2 D．26＋2
D[由三视图知，该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形、长为4的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)的三棱锥，所以该三棱锥的最长棱的棱长为42＋(22)2＝26，最短棱的棱长为2，所以该几何体中最长的棱与最短的棱的长度之和为26＋2，故选D.]
5．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：如图7­1­10以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为( )
图7­1­10
B[由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，
由图易得其俯视图为B，故选B.]
二、填空题
6．(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图
O ′A ′B ′C ′如图7­1­11所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC
的面积为________．
图7­1­11
2 2 [因为直观图的面积是原图形面积的2
4
倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]
7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．
2 [由题意知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为2.]
8．如图7­1­12所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ­ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________.
【导学号：79140222】
图7­1­12
1 [三棱锥P ­ABC 的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.] 三、解答题
9．某几何体的三视图如图7­1­13所示．
图7­1­13
(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．
[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个1
4圆柱后的几何体．
(2)直观图如图所示．
10．如图7­1­14，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图7­1­15为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
图7­1­14 图7­1­15
(1)根据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .
[解] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2
.
(2)由左视图可求得PD ＝PC 2
＋CD 2
＝62
＋62
＝6 2.
由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，所以在Rt△APD 中，PA ＝PD 2
＋AD 2
＝(62)2
＋62
＝6 3 cm.
B 组 能力提升
11．(2018·贵州适应性考试)如图7­1­16，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，
则三棱锥P ­BCD 的俯视图与主视图面积之比的最大值为( )
图7­1­16
A ．1
B ． 2 C. 3
D ．2
D [设正方体的棱长为1，则由题意得三棱锥主视图的面积S 主视图＝12×1×1＝1
2，而三棱锥俯视
图面积的最大值为S 俯视图＝S 四边形ABCD ＝1×1＝1，所以三棱锥P ­BCD 的俯视图与主视图的面积之比的最大值为
S 俯视图
S 主视图
＝2，故选D.] 12．已知正四棱锥V ­ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________.
【导学号：79140223】
6 [如图，取正方形ABCD 的中心O ，连接VO ，AO ，则VO 就是正四棱锥V ­ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝2 2.
因为一条侧棱长为211. 所以VO ＝VA 2
－AO 2
＝44－8＝6. 所以正四棱锥V ­ABCD 的高为6.]
13．已知正三棱锥V ­ABC 的主视图、左视图和俯视图如图7­1­17所示．
图7­1­17
(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出左视图的面积． [解] (1)直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中
VA ＝
42
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝23，
∴S △VBC ＝1
2×23×23＝6.。