信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)

T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1

~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e

jn0t
1 Cn T0

T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
幅度衰减特性
不正确，应为越密
（随着谐波 n0 增大，幅度频谱 C n 逐渐衰减，并趋于零）
二、信号的有效带宽
1、定义 将包含主要谐波分量的 0 2 这段频率范围称为周期 矩形脉冲信号的有效带宽。 B 2 fB 1 与持续时间 反比 2、实际意义——频率特性中的重要指标
吉伯斯（Gibbs）现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
吉伯斯（Gibbs）现象
1.2 1.2 1 1
0.8
0.8
N=5
0.6
4 6 cos(0 t ) 2 cos(20 t ) 4 cos(30 t )
n


Cn e jn0t
x (t )的频谱函数并绘制频谱图 例5 试计算图示信号 ~
~ x (t )
A
- T0
0

T0
t
2π 0 T0
解:
1 Cn T0

T0 2 T 0 2
第4章 周期信号的频域分析
一、连续时间信号的Fourier级数 二、Fourier级数的基本性质
三、连续周期信号的频谱分析
4.1连续时间信号的Fourier级数
一、傅里叶级数定义 二、傅里叶级数指数形式及三角形式
三、傅里叶级数的收敛条件 四、信号对称性与傅里叶系数的关系
一. 周期信号傅里叶级数定义
1、线性特性
若 ~ x1 (t ) C1n , ~ x2 (t ) C2n
则有
a1 ~ x1 (t ) a2 ~ x2 (t ) a1 C1n a2 C2n
注意： x 1(t )和x 2(t ) 必须是同周期信号！线性组 合后的信号也是同一个周期的！
例2 求图示周期信号的傅里叶级数
二、傅里叶级数指数形式及三角形式
1、指数形式
~ x (t ) n = jnFra bibliotekt C e n
x(t )
+C（-2） e
-j20t
+C（-1） e
-j10t
+C（0） e
-j00t
+C（1） e
j10t
+C（2） e
j20t
+
n 0 时，对应项是常数，表示信号的直流分量
将一个连续时间周期信号表示为如下形式， 称为周期信号的Fourier级数表示。
~ x (t )
n =
C

n
e
jn0t
1 Cn T0

T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
其中，T0称为周期信号的基波周期； 0 称为基波角频率,f0称为基波频率； Cn称为傅里叶系数； 物理含义： x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
0.6
0.4
0.4
N=15
0.2
0.2
0
0
-0.2 -2
1.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2 -2
1.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1
1
N=50
0.8
0.8
0.6
0.6
N=500
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2 -2
-1.5
4.2 Fourier级数的基本性质
5、 对称特性（共轭特性的特例）
~ 若 x (t ) 为实信号
则 | Cn || Cn |
n n
6、频移特性
~ x (t ) Cn 则有 ~ x (t )e jM0t Cn M 若
4.3 连续周期信号的频谱分析
一、周期信号频谱的概念 二、信号的有效带宽
信号丢失有效带宽内的谐波成分对信号有明显 影响，反之无明显影响； 信号与系统的有效带宽必须“匹配”；
三、周期信号的功率谱
1、帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ ~ x ( t ) x (t ) 1、偶对称信号（纵轴对称） ~ x (t ) 2 T0 /2 an x(t )cos(n 0t )dt A T /2 T0 0
T0 T0 / 2
0 T0 / 2 T0 t
T0 特点： 2 T /2 ~ 只含有直流项与余弦项 bn x (t ) sin( n0t )dt 0 T0 T / 2 系数Cn也是实偶对称的 an -jbn 2 T /2 a0 x(t ) + an cos(n 0 t) C n 2 T 0 x(t )cos(n 0t )dt
g(t )
-2
-1
1
2
t
n

A
2
Sa(
nπ
2
) ejnt ejn /2
-
f(t )
A -2 -0.5 0.5 2
t
f(t )
n

A
2
Sa(
nπ
2
) ejnt
-
4.2 Fourier级数的基本性质
3、卷积性质
~ ~ x ( t ) 和 x2 (t ) 均是周期为T0的周期信号，且 若 1
(n = 1,2) (n = 1,2)
2 bn T0

t 0 T0
t0
~ x (t ) sin( n0t )dt
~ 例1 试计算图示信号 x (t ) 的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
A
- T0
0

T0
t
解:
1 Cn T0

T0 2 T 0 2
1 jn0t ~ x (t )e dt T0
n 1 两项的基波频率为f0，合起来称为信号的基波分量
n 2 两项的基波频率为2f0，合起来称为信号的2次谐波分量
n N两项的基波频率为Nf0，合起来称为信号的N次谐波分量
二、傅里叶级数指数形式及三角形式
2、三角形式 ~ 当 x (t )为实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即 C n C n
A
- T0
0

T0
t
~ 由于 x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式傅里 叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t
T0
n 1
T0
2
若 =T0/2，则有
A 2A 1 1 ~ x (t ) (cos0t cos 30t cos 50t ) 2 π 3 5
例2 课本P142(3)
三、傅里叶级数的收敛条件
~ 周期信号 x (t ) 应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足 有限个极大值和极小值。

T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；且只有
注意：
（1）是弱Dirichlet条件，只能保证傅里叶级数存在，不能保 证收敛； （2）是强Dirichlet条件，可以确保傅里叶级数存在且收敛；
x1(t ) C 1n , x 2(t ) C 2n 则有 x 1(t ) * x 2(t ) T0C 1n C 2n
4、微分特性 若 x(t ) C n
则有
x '(t ) D n =jn 0C n
若 x '(t ) D n 则有
x(t ) C n =D n /（jn 0）
0
0 0

4

T0 /2
x(t )cos(n 0t )dt
0
2
n 1
0
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
2、奇对称信号（原点对称）
~ x (t )
~ x (t ) ~ x (t )
2 an T0
A
T0 / 2

T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) cos(n0t )dt 0
将C0 Cn Cn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式
二、傅里叶级数指数形式及三角形式
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
2 t0 T0 ~ 其中：a0 x (t )dt T0 t0 2 t0 T0 ~ an x (t ) cos(n0t )dt T0 t0
4、半波镜像信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A T0/2 0 -A T0 t
特点： 只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次 谐波分量。
4.2 Fourier级数的基本性质
线性特性 时移特性
卷积特性 微分特性
4.2 Fourier级数的基本性质
一、周期信号频谱的概念
1、频谱的定义 周期信号的傅里叶系数Cn即为信号的频谱，其 反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值。
Cn
1
T0
t
T0 t0
0
x(t )ejn
0t
dt = C n ejn
C n 随频率变化的特性称之为信号的幅度频谱； n 随频率变化的特性称之为信号的相位频谱；
绘制信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，称为 信号的频谱图。
~ x (t ) C0
n


1
Cn e
jn0t
Cn e
n 1

jn0t
a n jb n 令 Cn 2
则有 C n
C0 C n e
n 1

jn0t
C n e
jn0t

an jbn 2
a0 2
由于C0是实的，所以 b0= 0，故 C 0



2


2
Ae
jn0 t
n0 A dt Sa ( ) T0 2
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~
~ x (t )
n =
C

n
e
jn0t
A T0
n0 jn0 t Sa ( )e 2 n =
2π 0 T0
~ x (t )
1 jn0t ~ x (t )e dt T0
A / T0


2


2
Ae
jn0 t
Cn
n0 A dt Sa ( ) T0 2

2π
2π


n 0
0 2π / T
一、周期信号频谱的概念
2、频谱的特性
离散特性（所有周期信号的频谱都是间隔为 0 的谱线）
问题1：信号周期越大，谱线越疏是否正确？
x(t )sin(n 0t ) dt
0 T0 / 2 -A
t
bn

2
T0
4
T

T0 /2
0 /2
特点： 只含有正弦项 系数Cn是纯虚数且奇对称
T0

T0 /2
0
x(t )sin(n 0t ) dt
x(t )

n 1

an -jbn 2j Cn 2 T0 bn sin(n 0 t)
t
~ x2 (t )
1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
nπ nπt ~ x2 (t ) 0.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
t

4.2 Fourier级数的基本性质
2、时移特性
若
x(t ) C n
g(t )
A
则有 x(t t1 ) ejn0t1C n