河北省2020届中考数学系统复习第三单元函数第12讲第2课时二次函数的实际应用课件

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九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时二次函数的图像与性质(一)

第12课时二次函数的图像与性质（一）【复习目标】1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．【知识梳理】1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______．4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为_______；若a_______0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为_______．6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______．7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．【考点例析】考点一二次函数的有关概念例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－ 1)D （－2，1）提示由配方可得y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，从而求得抛物线的顶点坐标．考点二抛物线的平移例2 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( )A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3提示由平移规律“上加下减．左加右减”，根据抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到平移后抛物线的解析式．考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例 3 在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )提示本题主要考查一次函数和二次函数图象位置的确定，由一次函数y＝ax＋1可知其图象经过(0，1)，与y轴交于正半轴．又二次函数y＝x2＋a．当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数图象的开口向上，顶点在y轴正半轴上，没有选项符合；当a<0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限．二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴上，从而确定正确选项．考点四利用二次函数的增减性比较坐标大小例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ( )A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y2>y1>y3提示本题根据二次函数图象在对称轴两边的增减性解题，要注意所有点必须先放在对称轴同一侧，然后进行比较．【反馈练习】1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是 ( )A．直线y＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝22．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．（2012．上海）将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1_______y2．6．已知二次函数y＝－12x2－x＋32．(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．。

中考数学考点系统复习第三章函数第十节二次函数与几何综合题

解：此抛物线的解析式为 y＝x2－4x.
(2)若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限，当△OAB 的面积为 15 时，求点 B 的坐标；
如答图①，∵点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限， ∴设 B(2，m)(m＞0)，设直线 OA 的解析式为 y＝kx，则 5k＝5，解得 k＝1， ∴直线 OA 的解析式为 y＝x，设直线 OA 与抛物线对称轴交于点 H，则 H(2，2)，∴BH＝m－2，
2．(2022·北部湾)已知抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)． (1)求点 A，点 B 的坐标；
解：当 y＝0 时，－x2＋2x＋3＝0， ∴x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)如图，过点 A 的直线 l：y＝－x－1 与抛物线的另一个交点为 C，点 P 为抛物线对称轴上的一点，连接 PA，PC，设点 P 的纵坐标为 m，当 PA＝ PC 时，求 m 的值；
点 E 的坐标为(－1，0)，
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
1
1
∴S△BCE＝S△ABE－S△ACE＝2AE·OB－2AE·CD
＝12×4×3－12×4×2＝2，
∴△BCE 的面积为 2.
3．(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段 AB 上的动点，过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.
第十节二次函数与几何综合题
类型一：二次函数与线段问题
1．(2022·齐齐哈尔)如图，某一次函数与二次函数 y＝x2＋mx＋n 的图象交点为 A(－1, 0)，B(4, 5)． (1)求抛物线的解析式；

2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题

二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式（2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。

中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)

第12讲二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小大三、y 轴左右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5，令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5，令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5，化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。

2020中考数学函数复习：二次函数及其图像(含答案)

2020中考数学函数复习：二次函数及其图像（含答案）一、选择题1.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，2.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（）x …－1012…y…－147-－247-…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点3.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）4.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定B ．C ． D ．5.将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．46.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C.22y x x =-++ D ．22y x x =++7.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x y C.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（）A ．40 m/sB ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2.已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3.抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．5.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．6.函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：(FC AC 3.已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M （1，12）是否在直线AC 上？（3）过点M （1，12）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．4.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】选择题1.B 2.B 3. C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 填空题1.-32. 2y x x =+，21133y x =-+3.（1，5）4.45.223y x x =-++6.52解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：∴这个二次函数的关系式是，即2. （1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）.（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++即()FC AC EC +为定值8.3. （1）设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2（0a ≠），把A （0，2-），B （1-，0），C （5948，）代入得2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩解得 a =2 ， b =0 ， c =－2，∴222y x =-（2）设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ，把A （0，－2），C （5948，）代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得522k b ==-，，∴522y x =-当x =1时，511222y =⨯-= ∴M （1，12）在直线AC 上（3）设E 点坐标为（1322--，），则直线EM 的解析式为4536y x =-第3由 2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=，即17()(2023x x +-=，∴F 点的坐标为（713618，）．过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（102-）．∴3122EH BH ==，∴2223110()()224BE =+=，类似地可得 22213131690845(()186324162BF =+==，222401025001250()(186324162EF =+==， ∴2221084512504162162BE BF EF +=+==，∴△BEF 是直角三角形．4. 解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1．∵OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE ＝90°．又∵∠BOE+∠OBE ＝90°，∴∠AOF ＝∠OBE ．∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ．∴2===OAOBAF OE OF BE ．∴BE ＝2，OE ＝4．∴B(4，2)．（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c ．∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a∴所求抛物线的表达式为x x y 23212-=．（3）由题意，知AB ∥x 轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则S △ABP ＝AF AB d AB ⋅=⋅2121．∴d ＝2．∴点P 的纵坐标只能是0或4．令y ＝0，得023212=-x x ，解之，得x ＝0，或x ＝3．∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)．令y ＝4，得423212=-x x ，解之，得2413±=x ．∴符合条件的点P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)．∴综上，符合题意的点有四个：P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)．（评卷时，无P 1(0，0)不扣分） 5.解：（1）当时，线段O A 的函数关系式为;当时，由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为在中，令x=10，得；∴B （10，320）∵B （10，320）在该抛物线上∴解得∴当时，=综上可知，(2) 当时,当时,当时,(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．7. （1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：，．．，．即．是直角三角形．（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．．当时，最大．．，．，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=∴当时，最大，．．∴综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为。

2021年中考数学第十二讲二次函数的图像和性质(33PPT)

【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=3 或a=-1,
2
∴抛物线为y= 3x2-3x+3或y=-x2+2x-1.
2
2
(3)∵抛物线的对称轴为x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
(x-5)2+2上有两个点(x1,y1)和(x2,y2),若x1>x2>5,则
y1____>__y2.
高频考点·疑难突破
考点一二次函数的图象和性质【示范题1】(2020·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论: ①b2-4ac>0;②abc<0; ③4a+b=0;④4a-2b+c>0. 其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向:向上. (2)顶点坐标: (__2_ba_，4ac b2 ).
4a
(3)对称轴:直线_x_____2b_a_.
(4)增减性:当x<- b 时,y随x的增大而___减__小____;
2a
当x>- b 时,y随x的增大而___增__大____.
考点三二次函数与方程、不等式
【示范题3】(2020·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与
(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x

中考数学第一部分基础知识过关第三章函数及其图象第12讲二次函数精练

第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.(2018陕西)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2018威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论错误的是( )A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.(2017甘肃兰州)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )二、填空题6.(2017湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是.7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为m2.8.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为.三、解答题9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边的距离分别为 m, m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?B组提升题组一、选择题1.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.(2018枣庄)下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.(2018潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.(2018菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题5.(2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.6.(2018淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C 是线段AD的三等分点,则m的值为.三、解答题7.(2017广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.8.(2018陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y 轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( )A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,x=-1是对称轴,下列结论:①<0;②a-b+c=-9a;③若(-3,y1),是抛物线上两点,则y1>y2;④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2-9).其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/℃-4 -2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是.三、解答题6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价x的范围;(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m)两点,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B(3,0),C(0,3)两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN 的最大值;(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.①求S关于m的函数表达式;②当S最大时,在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使△DFQ为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中点A(0,8),OB=OA.(1)求二次函数的表达式;(2)若OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.①当△CEF的面积最大时,求出点E的坐标;②如图2,将△CEF绕点E旋转180°,C点落在M处,若M点恰好在该抛物线上,求出此时△CEF 的面积.12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(-1,0).(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥y轴交BC于F,求△DEF 周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.C 当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-<0,=<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.D A.由图象开口可知:a<0,由对称轴可知:->0,∴b>0,∴由抛物线与y轴的交点可知:c>0,∴abc<0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y<0,∴y=a-b+c<0,∴a+c<b,故B正确;C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,∴>2,∵a<0,∴4ac-b2<8a,∴b2+8a>4ac,故C正确;D.对称轴x=-<1,a<0,∴2a+b<0,故D错误.故选D.3.A4.A5.D二、填空题6.答案-3<a<-2或<a<解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,m==,解得m1=,m2=-a,∵2<m<3,∴2<<3或2<-a<3,解得<a<或-3<a<-2.7.答案75解析设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.8.答案(,2)解析∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∵AB⊥x轴,∴B(-2,0),∴OB=2,∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴D点在y轴上,且OD=OB=2,∴D(0,2),∵DC⊥OD,∴DC∥x轴,∴P点的纵坐标为2,代入y=x2,得2=x2,解得x=(负值舍去),∴P(,2).三、解答题9.解析(1)根据题意得B,C,把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得解得∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,∴图案最高点到地面的距离==1 m.(2)令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,∵10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.B组提升题组一、选择题1.D ∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,∴ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=>0,故选D.2.D ∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ac<0,所以B选项错误;∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴-=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,所以D选项正确.故选D.3.B 对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去);当h>5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.4.B ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,∴a>0,∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,∴a、b异号,即b<0.∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0.∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,故选B.二、填空题5.答案m>9解析∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,∴Δ<0,即(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.6.答案 2解析如图,∵B,C是线段AD的三等分点,∴AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=3+1=4,∴AC=BC=2,∴m=2,故答案为2.三、解答题7.解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为,当x=时,y=,所以点P的坐标为.(3)由(2)得点C的坐标为,∴OC=,又OB=3,∴BC==.∴sin∠OCB===.8.解析(1)令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,∴A(-3,0),B(2,0).∴AB=5,令x=0,得y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6,∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15.(2)由题意得A'B'=AB=5.要使S△A'B'C'=S△ABC,只要抛物线L'与y轴的交点为C'(0,-6)或C'(0,6)即可. 设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.∵抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标相同,∴=,=,解得m=±7,n=±1(n=1舍去).∴抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C 当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当x=-=10.5时,y最大,即高度最高.故选C.2.B ∵礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,∴高度h取最大值时,t=-,即t=-=4.故选B.3.D ∵二次函数的图象开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴<0,故①正确;∵抛物线的对称轴x=-=-1,∴b=2a,当x=2时,y=0,∴4a+2b+c=0,∴4a+4a+c=0,∴c=-8a,∴a-b+c=-9a,故②正确;∵抛物线的对称轴为x=-1,∴当x=-1时,抛物线有最大值,-3距离-1有2个单位长度,距离-1有个单位长度,∴y1>y2,故③正确;设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,∵c=-8a,∴a+k=-8a,∴k=-9a,∴将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=a(x2-9),故④正确.正确结论为①②③④.故选D.二、填空题4.答案-1解析设l=at2+bt+c(a≠0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组解得所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,当t=-=-1时,l有最大值50,即最适合这种植物生长的温度是-1 ℃.5.答案x<-1或x>4解析由题图可知,当x<-1或x>4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.三、解答题6.解析(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,由50x-1 100>0,解得x>22,∵x是5的倍数,∴每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每天的净收入为y元,当0<x≤100时,y1=50x-1 100,∵y1随x的增大而增大,∴当x=100时,y1的最大值为50×100-1 100=3 900;当x>100时,y2=x-1 100=50x-x2+20x-1 100=-x2+70x-1 100=-(x-175)2+5 025,当x=175时,y2的最大值为5 025,5 025>3 900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5 025元.7.解析(1)根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为y=200+50×,化简得y=-5x+2 200.(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,则解得300≤x≤350.所以售价x的范围为300≤x≤350.(3)w=(x-200)(-5x+2 200),整理得w=-5(x-320)2+72 000.∵x=320在300≤x≤350内,∴当x=320时,w有最大值,为72 000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72 000元.8.解析(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=6,即B(4,6),∵A和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点P的坐标为(n,n+2),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,∵-2<0,∴抛物线开口向下,有最大值,∴当n=时,线段PC的长有最大值.9.解析(1)由题意将点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),∵MN∥y轴,∴点N的坐标为(m,-m+3).∵A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点.∴1<m<3.∵线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-+,∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为.(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).当m=时,点N的坐标为,∴PB==,PN=,BN==.△PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:①当PB=BN,即=时,解得n=±,此时点P的坐标为或.②当PN=BN,即=时,解得n=,此时点P的坐标为或.综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为或或或.10.解析(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+8.(2)①∵OA=8,OC=6,∴AC==10,过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB===,∴=,∴QE=(10-m),∴S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m.②∵S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m=-(m-5)2+, ∴当m=5时,S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使△DFQ为直角三角形,∵抛物线y=-x2+x+8的对称轴为x=,D的坐标为(3,8), Q的坐标为(3,4),当∠FDQ=90°时,F1,当∠FQD=90°时,则F2,当∠DFQ=90°时,设F,则FD2+FQ2=DQ2,即+(8-n)2++(n-4)2=16,解得n=6±,∴F3,F4,满足条件的点F共有四个,分别为F1,F2,F3,F4,6-.11.解析(1)∵OA=8,∴OB=OA=4,∴B(4,0),∵y=-x2+bx+c的图象过点A(0,8),B(4,0), ∴解得∴二次函数的表达式为y=-x2-x+8.(2)①当y=0时,-x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,∴C点坐标为(-8,0),∵D点坐标为(0,4),∴设直线CD的解析为y=kx+d(k≠0),故解得故直线DC的解析为y=x+4.如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,设F点坐标为,则P点坐标为, 则FP=-m2-m+4,∴S△FCD=·FP·OC=×-m2-m+4×8=-m2-6m+16,∵E为FD中点,∴=×=-m2-3m+8=-(m+3)2+,当m=-3时,有最大值,∴-m2-m+8=-×9+3+8=,E点纵坐标为×=,∴F,∴E.②∵F点坐标为,C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),∴M,又∵M点在抛物线上,∴-(m+8)2-(m+8)+8=-m2-m+12,解得m=-7,故=-m2-3m+8=.12.解析(1)直线y=-x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C(0,2), 设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得a=-1,b=1,c=2,∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),∴DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以x=1时,DF最大=1,∵OB=OC,∴△OBC为等腰直角三角形,∵DE⊥BC,DF∥y轴,∴∠DFE=∠OCB=45°,∴△DEF为等腰直角三角形,∴△DEF周长的最大值为1+.(3)存在.如图,当△DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,则DB=,DH=2,OH=1,当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,∴=,∴DP=,∴===,∴PM=,DM=,∴P点的横坐标为OH+PM=1+=,P点的纵坐标为DH-DM=2-=,∴P.13.解析(1)对于y=x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,∴C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-对称,∴点B的坐标为(1,0). ∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),又∵抛物线过点C(0,2),∴2=-4a,∴a=-,∴y=-x2-x+2.(2)设P.过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,∴Q,∴PQ=-m2-m+2-=-m2-2m,∵=×PQ×(x C-x A)=×PQ×4=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值4,易知S△ACB=×OC×AB=×2×5=5.则四边形PABC面积的最大值是9,此时P(-2,3).(3)存在.在Rt△AOC中,tan∠CAO=,在Rt△BOC中,tan∠BCO=,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下图:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;③当点M在第四象限时,设M n,-n2-n+2,则N(n,0), ∴MN=n2+n-2,AN=n+4,当=时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4),整理得n2+2n-8=0,解得n1=-4(舍),n2=2,∴M(2,-3);当=时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),整理得n2-n-20=0,解得n1=-4(舍),n2=5,∴M(5,-18).综上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.。

2020 最新中考数学复习第12讲第1课时二次函数的图象与性质

第12讲二次函数第1课时二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。

中考数学复习课件：第1轮第3章第12讲二次函数

(1)求该二次函数的表达式；解：由题意可设抛物线解析式为 y＝a(x－4)2－3(a≠0)，把A(1，0)代入，可得0＝a(1－4)2－3，解得a＝ 31，故该二次函数解析式为y＝31(x－4)2－3；
(2)求 tan ∠ABC．
解：令x＝0，则y＝13(0－4)2－3＝37，则OC＝73. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，A(1， 0)，则点B与点A关于直线x＝4对称，可得B(7，0)，
②当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB ＝PQ，
当P点在Q点右边时，则P(4，n)，把P(4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，可得n＝－52，则P4，－52；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2所
示，AB与PQ交于点E，则E(1，0)，
∵PE＝QE，∴P(2，－n)，
把P(2，－n)代入y＝－12x2＋x＋32，
3.已知函数 y＝－3x2－6x＋1，此抛物线的开口向 ___下___，对称轴为直线__x_＝__－__1___，顶点坐标为 __(_－__1_，__4_)_；当 x＝__－__1__时，抛物线有最__大____ 值，最值为___4_____；当 x__<_－__1___时，y 随 x 的增大而增大；当 x__>__－__1__时，y 随 x 的增大而减小.
第一轮考点突破
第三章函数
第12讲二次函数
1.(2020·哈尔滨)抛物线 y＝3(x－1)2＋8 的顶点坐标为_(_1_，__8_)__．
2．(2020·上海)如果将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是_y_＝__x_2＋__3_．
3．(2020·淮安)二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象的顶点坐标为_(－__1_，__4_)_．

2020年中考代数综合第12讲：以二次函数为主导的等腰三角形的存在性问题

2020 年中考代数综合第12 讲：以二次函数为主导的等腰三角形的存在性问题【案例赏析】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【案例赏析】4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【参考答案】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ 中CP＝x，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P 的坐标．②当CM＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；∴解得：．（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EF ⊥x 轴于 F ，S 四边形 BOCE ＝S △BFE +S 梯形 FOCE ．直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长．在△ BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长．如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值．即可求出此时 E 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B （﹣3， 0），，∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）如答图 1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴其对称轴为 x ＝＝﹣1，∴设 P 点坐标为（﹣1，a ），当 x ＝0 时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当 CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得 a ＝，∴P 点坐标为：P 1（﹣1，）；∴当 CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得 a ＝±， ∴P 点坐标为：P 2（﹣1，）或 P 3（﹣1，﹣）；∴当 CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得 a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点 P ，其坐标为 P （﹣1，）或 P （﹣1，﹣）或 P （﹣1，6）或 P （﹣1，）；，解得（3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图 2，点 C （0，3）关于对称轴 x ＝﹣1 的对称点 C ′的坐标是（﹣2，3），连接 AC ′，直线 AC ′与对称轴的交点即为点 Q ．设直线 AC ′函数关系式为：y ＝kx +t（k ≠0）．将点 A （1，0），C ′（﹣2，3）代入，得，所以，直线 AC ′函数关系式为：y ＝﹣x +1．将 x ＝﹣1 代入，得 y ＝2，即：Q （﹣1，2）；（4）过点 E 作 EF ⊥x 轴于点 F ，设 E （a ，﹣a 2﹣2a +3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a +3，BF ＝a +3，OF ＝﹣a∴S 四边形 BOCE ＝BF •EF + （OC +EF ）•OF＝（a +3）•（﹣a 2﹣2a +3）+ （﹣a 2﹣2a +6）•（﹣a ）＝﹣ a 2﹣ a + ＝﹣ （a + ）2+ ，∴当 a ＝﹣时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为．此时，点 E 坐标为（﹣）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）①过点D 作y 轴的平行线交OB 于点H，△BOD 面积＝×DH×x B，即可求解；②分OP＝PC、OP＝OC、PC＝OC 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B 的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+ x；（2）将点A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP 的表达式为：y＝﹣x；①过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD 面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+ x+x）＝﹣x2+ x，∵，故△BOD 面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC 时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC 时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）②要注意分类求解，避免遗漏．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c 的值．（2）过P 作直线x＝1 的垂线，可求P 纵坐标，知道M、P、F 三点坐标，就能求出三角形各边的长．（3）存在，Rt△PNH 中，利用勾股定理建立起y 与t 的关系式，推出t 的值，即可得知存在这样的点．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得﹣＝1，＝1，c＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝0．（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，故设P点的坐标为（m，﹣m2+2m），则M点的坐标（m，），∵△PFM 是以PM 为底边的等腰三角形∴PF＝MF，即（m﹣1）2+（﹣m2+2m﹣）2＝（m﹣1）2+（﹣）2∴﹣m2+2m﹣＝或﹣m2+2m﹣＝﹣，①当﹣m2+2m﹣＝时，即﹣4m2+8m﹣5＝0∵△＝64﹣80＝﹣16＜0∴此式无解②当﹣m2+2m﹣＝﹣时，即m2﹣2m＝﹣∴m＝1+ 或m＝1﹣Ⅰ、当m＝1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）Ⅱ、当m＝1﹣时，P点的坐标为（1﹣，），M点的坐标为（1﹣，），经过计算可知PF＝PM，∴△MPF 为正三角形，∴P点坐标为：（1+，）或（1﹣，）．（3）当t＝时，即N 与F 重合时PM＝PN 恒成立．证明：过P 作PH 与直线x＝1 的垂线，垂足为H，在Rt△PNH 中，PN2＝（x﹣1）2+（t﹣y）2＝x2﹣2x+1+t2﹣2ty+y2，PM2＝（﹣y）2＝y2﹣y+，P 是抛物线上的点，∴y＝﹣x2+2x；∴PN2＝1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+，∴1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+ ，移项，合并同类项得：﹣y+2ty+ ﹣t2＝0，∴y（2t﹣）+（﹣t2）＝0 对任意y 恒成立．∴2t﹣＝0 且﹣t2＝0，∴t＝，故t＝时，PM＝PN 恒成立．∴存在这样的点．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）求直线y＝﹣x+4 与x 轴交点B，与y 轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C 坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x 轴于点E，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB＝t 求得BE＝PE＝t，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证△MPQ∽△ NCQ，故有，把用t 表示的MP、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3 种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP ＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD ＝45°，进而得AE＝ME，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD ＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠ CDF 进而得CF＝CD．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF＝CD，解方程即得到t 的值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0 时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x 轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP 中，sin∠PBE＝∴BE＝PE＝PB＝t∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t∵点M 在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t∵PN⊥y 轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：t1＝，t2＝4（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°DG ＝①若 MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即 DM ∥x 轴，与题意矛盾②若 DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0 时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若 MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记 AM 与 y 轴交点为 F ，过点 D 作 DG ⊥y 轴于点 G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线 AM 解析式为 y ＝ax +m∴解得：∴直线 AM ：y ＝tx +t∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：x ＝∴DG ＝x D ＝∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°∴CD ＝∴4﹣t ＝解得：t ＝ ﹣1综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1 或 t ＝ ﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．【分析】（1）根据点M 的坐标，利用待定系数法可求出m，b 的值；（2）由（1）可得出抛物线及直线AB 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x 的方程，解之即可得出结论；（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，由点P 的坐标可得出PN，PO 的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP 的值．【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，∴m＝1；将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，∴b＝2．（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB 的解析式为y＝﹣x+2．当y＝0 时，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．∵△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形，∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，如图所示．当点P 的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，∴sin∠BOP＝＝；当点P 的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2 ，∴sin∠BOP＝＝．∴满足（2）的条件时，sin∠BOP 的值的值为或．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE 的表达式，联立求得点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2 ﹣m）（2﹣﹣2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CF＝PF 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得：函数PB 的表达式为：y＝﹣mx+ ，∵CE⊥PE，故直线CE 表达式中的k 值为，将点C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE 的表达式为：y＝，解得：x＝2﹣，＝故点F（2﹣，0）， S△PCF×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，解得：m＝5 或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F 的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF 时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；（2）由已知易得点P 为AB 的垂直平分线与抛物线的交点，点P 的纵坐标是1，则有 1 ＝﹣﹣x+2，即可求P；﹣ ）2+ ；（4）设点 Q （m ，0），直线 BC 的解析式 y ＝x +2，直线 AQ 的解析式 y ＝﹣（x +2） +2，求出点 K （0，），H （﹣，），由勾股定理可得 OK 2＝，OH 2＝+，HK 2＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可．【解答】解：（1）设函数解析式为 y ＝ax 2+bx +c ，将点 A （﹣2，2），C （0，2），D （2，0）代入解析式可得，∴y ＝﹣ ﹣ x +2；（2）∵△PAM ≌△PBM ，∴PA ＝PB ，MA ＝MB ，∴点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB ＝2，∴点 P 的纵坐标是 1， ∴1＝﹣ ﹣ x +2， ∴x ＝﹣1+ 或 x ＝﹣1﹣，∴P （﹣1﹣，1）或 P （﹣1+，1）；（3）CM ＝t ﹣2，MG ＝ CM ＝2t ﹣4， MD ＝4 ﹣（BC +CM ）＝4 ﹣（2+t ﹣2）＝4﹣ t ，MF ＝MD ＝4﹣t ，∴BF ＝4﹣4+t ＝t ，∴ ，2+ ；当t＝时，S 最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ 的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（﹣，），∴OK2＝，OH2＝+ ，HK2＝+ ，①当OK＝OH 时，＝+ ，∴3m2+12m+8＝0，∴m＝﹣2+ 或m＝﹣2﹣；②当OH＝HK 时，+ ＝+ ，∴m2+4m+8＝0，∴m 无解；③当OK＝HK 时，＝+ ，∴m2+4m﹣8＝0，∴m＝﹣2+2 或m＝﹣2﹣2；综上所述：Q（﹣2+2 ，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+ ，0）或Q（﹣2﹣，0）【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF 时，②当DE＝EF 时，③当DF＝EF 时，分别求解即可．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时 E 与B 重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF 时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△BEF∽△ADE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE 的长为5 或时，△CFE 为等腰三角形．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+ ×3×（n﹣2）﹣×4 则S△PBD×3＝﹣（n﹣4）2+ ，∵﹣＜0，∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P 的个数有4 个，当m＝时，满足条件的点P 的个数有3 个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2 （PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），则PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+ ﹣4﹣2m）＝﹣（m+ ）2+ ，∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG 周长最大，此时，点P 的横坐标为﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM 时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN 时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③当DN＝DM 时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1 或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）将A、B 关坐标代入y＝﹣x2+bx+c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F 关于直线x＝1 对称，即可求解；（3）①△AOC 与△BMN 相似，则，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ 、OQ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c 中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，∵点E、F 关于直线x＝1 对称，又E 到对称轴的距离为1，∴EF＝2，∴F 点的横坐标为2，将x＝2 代入y＝﹣x+3 中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC 交MN 于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC 与△BMN 相似，则，即：，解得：t＝或﹣或1（舍去、﹣），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ 为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ 时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t＝；第二种，当BO＝BQ 时，在Rt△BMQ 中∵∠OBQ＝45°，∴BQ＝，∴BO＝，即3＝，∴t＝；第三种，当OQ＝OB 时，则点Q、C 重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意综上述，当t＝或秒时，△BOQ 为等腰三角形．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第31页（共31页）。

2020届中考数学专题复习二次函数_二次函数解决实际问题专题训练及参考答案

二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2 7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y ＝－x2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x2＋3x ＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T 恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA10. 2511. 512. 1513. 1514. 25215. 600 240016. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功. 18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5＝c 3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.。

2022中考数学第一轮考点系统复习第三章函数第12讲二次函数的图象与性质(练本)课件

设直线BC的解析式为y＝kx＋b′.
将点B(－3，0)，C(0，3)代入，
得
3k b b 3,
0,解得
k b
1, 3,
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，即
1 CD PN 2 1 BD PN
，1
2
∴
CD BD
1 2
2
，∴BD＝2CD，
∴
BD BC
BD BD CD
4.(2021·绍兴)关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( D )
A.有最大值4 C.有最大值6
B.有最小值4 D.有最小值6
5.对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( C )
A.开口向下 C.有最低点
B.对称轴是直线x＝－2 D.与x轴有两个交点
中考先锋数学 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午7时13分22.3.319:13March 3, 2022
3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月3日星期四7时13分37秒19:13:373 March 2022
解得
a
b
1, 2,
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴顶点坐标为(－1，4).
(2)连接PB，PO，PC，BC.PO交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求点
D的坐标.
解：过点D作DM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥BC于点N.

中考数学第一轮系统复习夯实基础第三章函数及其图象第13讲二次函数课件

【解析】二次函数中 a＝－14，所以二次函数的开口向下，∵－2ba＝2， ∴对称轴为 x＝2，当 x＝2 时，取得最大值，最大值为－3，所以 B 正确．
1．将抛物线解析式写成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线 x＝h，也可应用对称轴公式 x2．解题时尽可能画出草图．
【解析】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故①错误；根据图象有a＞0, b＜0, c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x＝－1时，a－b＋c＞0，故③错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标纵坐标为－2，∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，∴m＞－2，故④正确．故选B.
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2016·衢州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x， y)对应值列表如下：
(2)∵将 x＝0 代入 y＝12x＋32得 y＝32，将 x＝1 代入得 y＝2，∴直线 y＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线 y＝12x＋32的图象如图所示，由函数图象可知：当 x＜－1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值 (3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为 P(－1， 1)．平移后的表达式为 y＝(x＋1)2＋1，即 y＝x2＋2x＋2.点 P 在 y＝12x＋32的函数图象上．理由：∵把 x＝－1 代入得 y＝1，∴点 P 的坐标符合直线的解析式，∴点 P 在直线 y＝12x＋32的函数图象上

第2讲二次函数的认识知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义

第二讲二次函数㈠承上启下知识回顾问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”㈡紧扣考点专题讲解请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;（1）y =πx 2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4） )1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y答：1.3.4.2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 二次函数1 二次函数3 二次函数 -2 一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2 常数项1 常数项 -12 常数项03、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 2 。

例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。

2020年中考代数综合第2讲：二次函数图象与线段公共点问题

2020年中考代数综合第2讲：二次函数图象与线段公共点问题【案例赏析】1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【专项突破】6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．7．已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣2x交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点为B．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y＝ax2+bx+c与线段CD 有交点时，求a的取值范围．8．已知：抛物线y＝ax2+4ax+4a（a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n的取值范围．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点．求m的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．13．已知：直线l：y＝x+2与过点（0，﹣2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x＝﹣1的对称点为点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线l上移动，当抛物线与线段AB有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A和顶点D的坐标；（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．19．直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别父于A、B两点，点A关于直线x＝﹣1的对称点为点C．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y＝mx2+nx﹣3m（m≠0）经过A、B、C三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A，B两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【解答】解：（1）当a＝0时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3A（0，﹣3），∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B．∴B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，有三个交点．∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a＜0，当a＝1时，y＝x2﹣2x+a﹣3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有两个公共点．综上所述：﹣3＜a＜0或a＝1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝﹣，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（﹣1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．【解答】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2到x＝1的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．故答案为：m≤﹣2或m＝2或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a即可求出MN的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，y＝a要在线段AB的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点，∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，∴y＝a要在线段AB的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【点评】本题考查二次函数的图象与性质；能够画出M图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B的坐标；（2）根据抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；（3）根据翻折的性质和二次函数的性质可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＜3，点B在抛物线C2下方，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a＝，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＝2，点B在抛物线C2上，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB有一个交点，∴a的取值范围是；同理可得，当抛物线C2：y＝﹣ax2+2ax+3a过点A（0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a＝﹣1或a＝﹣，∴a的取值范围是﹣1≤a＜﹣，由上可得，a的取值范围是﹣1≤a＜﹣或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）求出x＝0时y的值与y＝0时x的值即可得答案；（2）分m＞0和m＜0两种情况，结合函数图象可得．【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝2．∴A（0，2）．∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，∴对称轴为直线x＝1．∴B（1，0）．（2）由题意，C（﹣1，0），D（3，0）．①当m＞0时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，即2﹣m＜0．∴m＞2．②当m＜0时，过C（﹣1，0）的抛物线的顶点为E（1，）．结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点E上方或与点E重合，即2﹣m≥．∴m≤．综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3时；②当n＝3时；③当0＜n＜3时，抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，∵直线y＝2x﹣3与直线l交于点C，∴点C坐标为（3，3），（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），∵点B（0，3），点C（3，3），①当n＞3时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC无公共点；②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点B，则3＝5n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点C，则3＝2n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述，当≤n＜或n＝3时，抛物线与线段BC有一个公共点．【点评】本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n的不等式组是解题的关键．7．已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣2x交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点为B．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y＝ax2+bx+c与线段CD 有交点时，求a的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2表达式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；（2）设抛物线y＝ax2+bx+c的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y＝a（x﹣1）2﹣2，再根据点C的坐标利用待定系数法即可得出结论；（3）根据两直线相交，求出点C、D的坐标，将其分别代入y＝a（x﹣1）2﹣2中求出a 的值，由此即可得出抛物线y＝ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y＝x+b中，0＝3+b，解得：b＝﹣3，∴直线l1：y＝x﹣3．联立直线l1、l2表达式成方程组，，解得：，∴点B的坐标为（1，﹣2）．（2）设抛物线y＝ax2+bx+c的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），∴y＝a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，∴a（3﹣1）2﹣2＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2．（3）∵直线x＝﹣1分别与直线l1，l2交于C、D两点，∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），当抛物线y＝ax2+bx+c过点C时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣4，解得：a＝﹣；当抛物线y＝ax2+bx+c过点D时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝2，解得：a＝1．∴当抛物线y＝ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围为﹣≤a≤1且a≠0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两直线相交与平行、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的三种形式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l1的表达式；（2）将二次函数一般式改写为顶点式；（3）分别代入C、D点的坐标求出a 值．8．已知：抛物线y＝ax2+4ax+4a（a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1＜y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由抛物线的对称性可知当开口向上时，离对称轴越近其函数值则越小，则可求得答案；（3）由于抛物线的顶点确定，且开口向上，所以当抛物线开口越大时a的值越小，当抛物线开口越小时a的值越大，可知当抛物线过C时a有最小值，当抛物线过F时a有最大值，则可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）；（2）∵a＞0，且对称轴为直线x＝﹣2，∴当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，∵﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，∴A点离对称轴x＝﹣2近，∴y1＜y2，故答案为：＜；（3）∵y＝a（x+2）2开口向上，且顶点为（﹣2，0），∴当开口越大时a的值越小，当开口越小时a的值越大，∴当抛物线过点C时a有最小值，当抛物线过点F时a有最大值代入点C（1，2），得a＝，代入点F（﹣3，2），得a＝2，∴＜a＜2．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、二次函数的开口大小、二次函数的比较大小及数形结合思想等知识．在（1）中把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）中掌握抛物线上的点离对称轴的距离的远近与函数值的大小关系是解题的关键，在（3）中掌握抛物线的开口大小与二次项系数的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但综合性很强，难度适中．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n的取值范围．【分析】（1）先求得点B的坐标，再根据△OAB是等腰直角三角形得出点A的坐标，代入求得n即可；（2）分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x＝﹣＝1，则B的坐标是（1，0），当△OAB是等腰直角三角形时，OA＝OB＝1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1＝1或n﹣1＝﹣1，解得n＝2或n＝0；（2）①当抛物线的顶点在x轴上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣1）＝0，解得：n＝2；②当抛物线的顶点在x轴下方时，如图，由图可知当x＝0时，y＜0；当x＝3时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1或n＝2．【点评】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段OC有且只有一个公共点得出x＝0时y＜0；x＝3时，y≥0的结论．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点．求m的取值范围．【分析】（1）由OC＝8、tan∠ABC＝2得点B坐标，将点A、B坐标代入求解可得；（2）先求出直线CD解析式和点E、F坐标，设平移后解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，求得临界时m的值，从而得出答案，【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即OC＝8；Rt△OBC中，OB＝OC•tan∠ABC＝8×＝4，则点B（4，0）．将A、B的坐标代入抛物线的表达式中，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8，∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）．（2）设直线CD的表达式为y＝kx+8，∵点D（1，9），∴直线CD表达式为y＝x+8．∵过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，可得：E（﹣2，6），F（4，12）．设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+9+m；当抛物线过E（﹣2，6）时，m＝6，当抛物线过F（4，12）时，m＝12，∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1个公共点，∴m的取值范围是6＜m≤12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与直线的交点问题，利用图象与线段只有一个交点得出临界是m的值是解题关键11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，于是得到结论；（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；（3）根据题意得到线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得到x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y′＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，于是得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m＝1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m＝3或m＝1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点，当x＝﹣3时，y＝m2+4m+11＞0，∵△＞0，∴此种情况不存在，当x＝1时，y＝m2﹣4m+3≤0，解得1≤m≤3．解法二：由题意或，解得1≤m≤3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据顶点在x轴上，得出﹣m+1＝0，求出m＝1，即可得出抛物线的解析式；（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；（3）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点坐标是（m，﹣m+1），∵抛物线的顶点在x轴上，∴﹣m+1＝0，∴m＝1，∴y＝﹣x2+2x﹣1；（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上；（3）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝﹣3，当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝1，故﹣3≤m≤1．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．13．已知：直线l：y＝x+2与过点（0，﹣2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x＝﹣1的对称点为点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线l上移动，当抛物线与线段AB有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．【分析】（1）由点A在直线l上可得A的坐标，根据点A、B关于直线x＝﹣1对称可得点B坐标；（2）根据（1）中A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y＝﹣（x ﹣t）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围．【解答】解：（1）由题可知A点的纵坐标为﹣2，∵点A在直线l：y＝x+2上，∴A（﹣4，﹣2），由对称性可知B（2，﹣2）；（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+6；（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c顶点在直线y＝x+2上，由题可知，设抛物线顶点坐标为（t，t+2），∴抛物线解析式可化为y＝﹣（x﹣t）2+t+2．把A（﹣4，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（﹣4﹣t）2+t+2，解得：t＝﹣3或t＝﹣4．∴﹣4≤t＜﹣3，把B（2，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（2﹣t）2+t+2．解得：t＝0或t＝5，∴0＜t≤5．综上可知t的取值范围时﹣4≤t＜﹣3或0＜t≤5．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本、前提，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题关键．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称；（3）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB 无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；【解答】解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，∴函数与PQ无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．。

2020年中考数学复习专题13 二次函数的应用全面复习系列讲座 (2)

3． [2019·衢州]某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的房间数为 60 间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在 170～240 元之间(含 170 元，240 元)浮动时，每天入住的房间数 y(间)与每间标准房的价格 x(元)的数据如下表：
x(元) … 190 200 210 220 … y(间) … 65 60 55 50 … (1)根据所给数据在如图 15－7 所示的坐标系中描出相应的点，并画出图象； (2)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
③小球抛出 3 秒时速度为 0；
④小球的高度 h＝30 m 时，t＝1.5 s.
其中正确的是( )
图 15－2
A．①④ D
B．①②
C．②③④
D．②③
【解析】 ①由图象知小球在空中达到的最大高度是 40 m，故①错误； ②小球抛出 3 秒后，速度越来越快，故②正确； ③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0，故③正确； ④设函数表达式为 h＝a(t－3)2＋40，把 O(0，0)代入得 0＝a(0－3)2＋40，解得 a＝－490， ∴函数表达式为 h＝－490(t－3)2＋40，把 h＝30 代入表达式得 30＝－490(t－3)2＋40，解得 t＝4.5 或 t＝1.5， ∴小球的高度 h＝30 m 时，t＝1.5 s 或 4.5 s，故④错误．
方法
命题角度 1 二次函数的实际应用——类型1 抛物线型问题
例1
思路分析 (1)先根据题意设出抛物线的顶点式,再利用待定系数法求解即可.(2)令 y=1.8,求得x的值,再根据抛物线的对称性即可确定范围.(3)先根据题意设出新抛物线的函数表达式,再利用待定系数法求解即可.

人教版九年级数学第三单元《函数》中考知识点梳理

第三单元《函数》中考知识点梳理第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用五、知识清单梳理。

2020年中考数学知识点总结第12讲二次函数的图象与性质

当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
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