洛必达法则

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洛必达法则

0 ( 型) 0 0 ln x 1 1 ( 型) x 1 0 ln x
x
练习
3.03：（2）
作业
3.01：（8） 3.02：（2） 3.03：（3）（ 4）
3.2函数曲线的切线与法线
函数y f ( x) 在其上一点 M ( x0 , y0 ) 处，切线方程： y y0 f ( x0 )( x x0 )
或能断定的极限，
f ( x ) g ( x )
无极限，
则洛必达法则失效.
此时需用别的办法判断未定式
f ( x) g( x )
例7
1 x sin x 求 lim x 0 sin x
2
0 型未定式，但分子分母分别解这个问题是属于 0
求导后得
1 1 2 x sin cos x x cos x
例5 求
tan x lim x tan 3 x

2

2 2
2
解:
tan x sec2 x 1 cos2 3 x lim lim lim 2 x tan 3 x x 3 sec 3 x 3 x cos2 x
1 2 cos3 x( 3 sin x ) lim 3 x 2 cos x( sin x )
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
极值
驻点：若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 叫函数 y f ( x) 的驻点。结论一：极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（前提是 f ( x0 ) 存在）结论二： x0 是驻点（或导数不存在的点），x 的取值从 x0 的左边变化到右边时，若（1）f ( x)变号，先正后负，x0 是极大值点。（2）f ( x)变号，先负后正，x0 是极小值点。

洛必达法则

洛必达法则洛必达法则是一种由雷洛必达（RaymondLoewy）提出的设计原则，指的是设计者通过其革新能力来完成有效的设计。

洛必达提出这一原则的目的是强调设计的可操作性，并为设计者提供更多的自主权，以满足客户的需求并创造出更好的作品。

洛必达法则包括三个要素：可理解性、可操纵性和可部署性。

可理解性要求设计图形应即刻易懂，使用者不必事先读取它们。

可操纵性要求用户能够迅速找到有用信息，而可部署性要求设计能够在实际环境中进行灵活的部署。

洛必达法则的实施有助于简化复杂的设计问题，使设计者不必耗费过多的时间来完成任务。

让设计者只需要花费较少的时间就可以获得令人满意的结果。

此外，它还有助于提升设计者的设计效率，使设计者更有可能在更紧凑的时间内完成更多的任务。

洛必达法则有助于创造出简单易懂、高效操作的设计，为用户提供很大的便利。

同时，这一原则使设计者更有可能在限制条件之下完成任务，并节省时间和金钱。

洛必达法则的实施也可以帮助人们更深入的理解其所使用的设计理念，辅助设计者完成设计任务。

这一原则可以帮助人们更好地识别设计中的易操作性、可理解性和可部署性，从而更好地完成所面临的设计任务。

洛必达法则不仅仅适用于设计专业，还可以广泛应用于各行各业。

在工业设计方面，洛必达法则可以帮助企业更快捷地完成生产工业产品设计任务。

在软件设计领域，这一原则还可以帮助企业更快地完成软件的开发任务。

在建筑方面，洛必达法则可以帮助设计者寻求更加实用的方案，从而提高建筑设计的可操作性。

总之，洛必达法则是一种重要的设计原则，在不同行业中都可以得到广泛应用。

它有助于提高设计者的设计效率，同时为用户提供便利。

实施洛必达法则也有助于在限制条件下完成任务，使设计者更有可能以更实用和更易操作的方式完成设计任务。

洛必达法则

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。

洛必达法则的原理及应用

洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。

其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。

洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。

二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。

2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。

三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。

所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。

2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。

高数洛必达法则

与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联，可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法则求解。
多元函数洛必达法则的应用条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分学中的一个重要定理，用于求解不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必达法则求解函数的极值点，进而确定不等式的解集。

洛必达法则

求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a

洛必达法则

洛必达法则是在求解极限问题时的一种有效方法。在应用洛必达法则时，需要注意验证其条件，特别是第一个条件，即函数在指定点的极限存在且为0或无穷大。文档中通过多个具体的计算示例来展示洛必达法则的应用，如求解lim x→0 sinx/x、lim x→0(1-cosx)/x^2等极限问题。这些示例不仅帮助理解洛必达法则的应用，还展示了在复杂问题中如何灵活运用该法则。此外，文档还介绍了其他未定型的处理方法，如通过通分、有理化、取倒数、取对等手段将问题转化为可应用洛必达法则的形式。这些内容为深入理解和掌握洛必达法则提供了有益的补充。总的来说，通过文档中的计算示例和详细解析，可以更加清晰地理解洛必达法则的原理和应用，提高解决极限问题的能力。

洛必达法则详解

洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。

该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。

洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。

在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。

而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。

洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。

首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。

即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。

其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。

少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。

这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。

然而，洛必达法则也存在一些争议。

一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。

他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。

此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。

总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。

它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。

然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。

洛必达法则

lim
x□
x□
例: lim
sin x x
x 0
lim
(sin x ) ( x )
x 0
lim
co s x 1
x 0
1
0 型 0
e 1
x
例:求 lim
x 0
x x
2
例:求 lim
x x6 x4
x 4
例:求 lim
(1 x ) 2 ln x
原式 lim
nx
n1
x
e
x
lim n!
n ( n 1) x
n2
x
e
2
x
...... lim
x
e
n
x
0.
洛必达法则失效
例:求 lim x
x s in x x s in x x s in x x s in x lim 1 cos x 1 cos x
(3)该法则并非总是求极限的最简便方法.
(0 ) 型
可将乘积化为除的形式,即化为式来计算.0 0或Fra bibliotek型的未定
例:求 lim x ln x
x 0

例:求 lim x cot x
2 x 0
1
1
例:求 lim x ( e x 1)
x
思考: lim x 2 e x
x 0

型
洛必达法则定义若当 x x 0 (或 x )时,两个函数 f (x)
与 g(x) 都趋于零或都趋于无穷大,则极限
x x0
( x )
lim
0 或型未定式. 称为 0 g( x)

洛必达法则

洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则洛必达法则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。

经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。

(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。

例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。

例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。

针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。

例：求解：原式======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。

(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=洛必达法则注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。

但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

洛必达法则

洛必达法则一、00型约定用“0”表示无穷小，用“∞”表示无穷大.已知两个无穷小之比00或两个无穷大之比∞∞的极限可能有各种不同的情况.因此，求00或∞∞形式的极限都要根据函数的不同类型选用相应的方法，洛必达法则是求00或∞∞形式的极限的简便方法. 00或∞∞都称为待定型。

约定用“1”表示以1为极限的一类函数，待定型还有五种：0•∞，1∞，00 ，∞0，∞1，-∞2 这五种待定型都可以化为00或∞∞的待定型，例如:0•∞=∞10 =00 或 0•∞=01∞=∞∞. 1∞=e 1ln ∞=e 0•∞.00=e 0ln 0= e ∞•0.∞0=e ∞ln 0= e ∞•0.=∞∞∞-∞=∞-∞=∞-∞2112212*********0. 洛必达法则1 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1) 在a 的某去心领域)(0a U 可导，且0)('≠x ϕ；2) 0)(lim =→x f a x 与0)(lim =→x a x ϕ； 3) l x a x =→)((x)f lim ''ϕ.则l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证法证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与)(x ϕ在a 满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与)(x ϕ在a 作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数(x )f(x )ϕ在a 的极限与函数f(x)与)(x ϕ在a 的函数值无关.证明将函数f(x)与)(x ϕ在a 作连续延拓，即设⎩⎨⎧=≠=;,0,),()(1a x a x x f x f ⎩⎨⎧=≠=;,0,),()(1a x a x x x ϕϕ ∈∀x )(0a U .在以x 与a 为端点的区间上函数)(1x f 与)(1x ϕ满足满足柯西中值定理的条件，则在x 与a 之间至少存在一点c ，使)()()()()()('1'11111c c f a x a f x f ϕϕϕ=--. 已知)(1a f =)(1a ϕ=0，a x ≠∀，有)()(1x f x f =与)()(1x x ϕϕ=，)()(''1c f c f =，)()(''1c c ϕϕ=.从而，(x )f(x )ϕ=)((c)f ''c ϕ. 因为c 在x 与a 之间，所以当a x →时，有a c →，有条件3），有l x a c a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ=)((x )f lim ''x a x ϕ→. 洛必达法则2 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1)0>∃A ,在(-A -∞,)与(+∞,A )可导，且)('x ϕ0≠；2）0)(lim =∞→x f x 与0)(lim =∞→x x ϕ；3）l x x =∞→)((x)f lim ''ϕ 则l x x x ==∞→∞→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证法应用换元法设y x 1=，就将∞→x 换成0→y .于是，函数)1(y f 与)1(y ϕ在y=0的领域内满足洛必达法则1.由洛必达法则1可证洛必达法则2.证明设yx 1=.∞→x ⇔0→y .从而， (x )f(x )lim ϕ∞→x =)1()1(lim 0yy f y ϕ→，其中0lim →y )1(y f =0与0lim →y )1(yϕ=0.根据洛必达法则1，有 )1()1(lim 0y y f y ϕ→=''0)]1([)]1([lim y y f y ϕ→==--→)1)(1()1)(1(lim 2'2'0yy y y f y ϕ)1()1(lim ''0y y f y ϕ→=l x x =∞→)((x )f lim ''ϕ 即l x x x ==∞→∞→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 应用洛必达法则，而极限)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→仍是00的待定型，这是只要导函数(x )f '与)('x ϕ仍满足洛必达法则的条件，特别是极限)((x)f lim '''')(x x a x ϕ∞→→存在，则有)(f(x)lim )(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '''')(x x a x ϕ∞→→一般情况，若)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→，)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→，…，)((x)f lim )1(1)-(n )(x n x a x -∞→→ϕ 都是00的待定型，而导数(x )f 1)-(n 与(x )1)-(n ϕ满足洛必达法则的条件，特别是极限)((x)f lim )((n))(x n x a x ϕ∞→→存在，则有)(f(x)lim )(x x a x ϕ∞→→=)((x)f lim '')(x x a x ϕ∞→→=…=)((x)f lim )((n))(x n x a x ϕ∞→→. 例1 求极限).0,0(lim 0>>-→b a x b a x x x (00) 解由洛必达法则1，有=-→x b a x x x 0lim =-→''0)()(lim x b a x x x 1ln ln lim 0b b a a x x x -→=ln a-ln b=ln b a . 例2 求极限x x x 1sin arctan 2lim -+∞→π.(00) 解 x x x 1sin arctan 2lim -+∞→π=x xx x 1cos 111lim 22-+-+∞→=x x x x 1cos 11lim 22++∞→=1. 例3 求极限.sin cos sin lim 30x x x x -→ (00) 解 x x x x 30sin cos sin lim -→='3'0)(sin )cos (sin lim x x x x -→=x x x x x cos sin 3sin lim 20→=x x x x cos sin 3lim 0→(00) =''0)cos sin 3()(lim x x x x → =)sin (cos 31lim 220x x x -→=31 例4 求极限.sin 2lim 0x x x e e x x x ----→(00)解 x x x e e x x x sin 2lim 0----→=.cos 12lim 0x e e x x x --+-→(00) =x e e x x x sin lim 0-→-(00) =2cos lim 0=+-→xe e xx x 二、∞∞型洛必达法则3 若函数f(x)与)(x ϕ满足下列条件：1)在a 的某去心领域)(0a U 可导，且0)('≠x ϕ； 2) ∞=→)(lim x a x ϕ,∞=→)(lim x f a x ； 3)l x a x =→)((x)f lim ''ϕ. 则l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ. 证明只证明-→a x 情况.同法可证+→a x 情况. 由条件3)，0>∀ε，∈∃1x )(0a U ，a x <<∀ξξ1:，有 εξϕξ<-l f )()(''. (1) 取定1x .),(1a x x ∈∀,函数f(x)与)(x ϕ在区间[x x ,1]满足柯西中值定理的条件，根据柯西中值定理，∈∃c ),(1x x ，有 )()()()()()(''11c c f x x x f x f ϕϕϕ=-- 或 l c c f l x x x f x f -=---)()()()()()(''11ϕϕϕ，x c x <<1. 用)()(1x x ϕϕ-乘上式的等号的两端，有=---)]()([)()(11x x l x f x f ϕϕ[l c c f -)()(''ϕ][)()(1x x ϕϕ-]=-)()(x l x f ϕ[l c c f -)()(''ϕ][)()(1x x ϕϕ-]+[)()(11x l x f ϕ-]. 对上式再除以)(x ϕ，有l x x f -)()(ϕ=[l c c f -)()(''ϕ][)()(11x x ϕϕ-]+)()()(11x x l x f ϕϕ-. (2) 由条件2),有(1x 是常数)(x))(x lim 1ϕϕ-→a x =0 与 (x))(x l -)f(x lim 11ϕϕ-→a x =0. 从而，对上述的a x x x x x <<∀>∃>212:,,0ε，同时有 1(x))(x 1<ϕϕ 与εϕϕ<(x))(x l -)f(x 11. 由于c: x c x <<1,有a c x <<1，由(1)式，有εϕ<-l x x f )()(''. 于是，由(2)式，a x x x <<∀2:，有 |l x x f -)()(ϕ|≤|l c c f -)()(''ϕ|•(1+(x))(x 1ϕϕ)+(x))(x l -)f(x 11ϕϕ<εεε3)11(=++, 即 l a x =-→(x )f(x )lim ϕ. 同法可证， l a x =+→(x )f(x )limϕ 于是 l x a x a x ==→→)((x)f lim (x)f(x)lim ''ϕϕ 在洛必达法则3中，将a x →换成∞→x ，且满足相应的条件，结论仍然成立.证法与洛必达法则2相同. 例5。

洛必达法则洛必达法则

洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

洛必达法则通俗理解

洛必达法则通俗理解洛必达法则，又称为洛必达定理，是微积分中的基本定理之一。

它是由法国数学家洛必达于1696年提出的。

洛必达法则用于求解极限问题，是微积分中非常重要的工具之一。

下面我们来通俗理解洛必达法则。

我们需要了解一下极限的概念。

在数学中，极限是指函数在某一点无限接近于某个值的过程。

而洛必达法则则是用来求解某些特定函数在极限点处的极限值的方法。

洛必达法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的极限之商的形式，从而更加方便地计算。

洛必达法则的具体表述是：如果函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内都可导，且g'(x)不等于0，那么当x趋近于a时，f(x)除以g(x)的极限等于f'(x)除以g'(x)的极限。

这个表述可能有些抽象，下面我们通过几个具体的例子来说明洛必达法则的应用。

我们来计算极限lim(x->0) (sinx)/x。

根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) cosx/1。

因为cosx在x=0处可导，且cos(0)=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。

接下来，我们来计算极限lim(x->∞) (x^2+3x)/(2x^2+5)。

根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->∞) (2x+3)/(4x)，因为x^2在x趋近于无穷大时增长的速度远远大于x，所以x^2+3x 和2x^2+5的极限值相等。

那么根据洛必达法则，上述极限的值为1/2。

我们来计算极限lim(x->0) (e^x-1)/x。

根据洛必达法则，我们可以将这个极限转化为lim(x->0) e^x/1，因为e^x在x=0处可导，且e^0=1，那么根据洛必达法则，上述极限的值为1。

通过以上几个例子，我们可以看出洛必达法则在求解极限问题中的重要性和实用性。

它能够将复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更便于计算。

当然，在使用洛必达法则时，我们需要注意一些条件，比如函数可导性和分母不等于0等。

洛必达法则

洛必达法则洛必达法则（Pareto Principle）是指在许多情况下，80%的结果通常来自20%的原因。

这个法则最早由意大利经济学家洛达尔多·洛必达（Vilfredo Pareto）提出，他在19世纪末的研究中发现，意大利的财富大部分集中在少数人手中。

这个概念后来逐渐扩展到其他领域，并成为管理学、经济学、市场营销等领域中的重要理论之一。

洛必达法则的核心思想是不平等的分布规律。

在经济学中，洛必达法则可以用来解释财富分配不均的现象，即富者愈富，穷者愈穷。

在管理学中，洛必达法则可以用来解释企业中重要客户、关键任务、重要决策等只占总体的一小部分，却对整体结果起到决定性的作用。

在市场营销中，洛必达法则可以用来确定关键客户群体，投入更多的资源和精力来维护和发展这部分客户，从而取得更好的市场表现。

洛必达法则的应用非常广泛。

在个人生活中，我们常常会发现，只有极少数的活动和人际关系对我们的幸福感和成功起到决定性的作用。

比如，我们的朋友圈里只有少数几个好友对我们的生活和情感态度有深远的影响，而其他大部分人的作用相对较小。

同样，在工作中，我们可能发现只有很少的重要任务和决策对我们的能力和职业发展起到关键性的作用，而其他的琐碎工作相对较少。

洛必达法则的应用也对团队和组织管理非常有启示。

我们常常会发现，一个团队中只有少数几个核心成员能够决定大部分的结果。

这些核心成员通常具有极强的能力和经验，他们的贡献对整个团队的发展起到决定性的作用。

因此，团队的管理者应该注重培养和激励这些核心成员，为他们提供更多的机会和资源，以确保团队的成功。

在市场营销中，洛必达法则可以帮助企业识别关键客户群体。

根据洛必达法则，只有少数的顾客贡献了企业大部分的收益。

因此，企业应该重点关注这部分重要的顾客，与他们建立更紧密的合作关系，提供个性化的产品和服务，以提高客户满意度和忠诚度。

与此同时，企业还应该挖掘潜在的重要客户，以扩大市场份额和增加收益。

洛必达法则

第二节洛必达法则洛必达法则型未定式解法型及一、:0∞∞定义.00)()(lim ,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当∞∞∞→→∞→→x F x f x F x f x a x x a x 洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出)(lim )(lim )1==→→x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为)∞)()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ′′=→→,)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且定理1.(洛必达法则)例1.tan lim 0xx x →求例2.123lim 2331+−−+−→x x x x x x 求例3.1arctan 2lim xx x −+∞→π求)00(二、∞∞型未定式∞==→→)(lim )(lim )1x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为∞))()(lim x F x f a x →定理2.)()(lim x F x f a x ′′=→(洛必达法则),)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且例4lnsin lim .lnsin x axbx+→求)(∞∞例5.3tan tan lim 2xxx π→求)(∞∞例5解.3tan tan lim 2xxx π→求xx x 3sec 3sec lim222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312−−=π→xxx 2sin 6sin lim 2π→=xx x 2cos 26cos 6lim2π→=.3=)(∞∞注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，特别是等价无穷小的替换，效果更好.例6.tan tan lim20xx xx x −→求型未定式解法二、00,1,0,,0∞∞−∞∞⋅∞例7.lim 2x x e x −+∞→求型∞⋅0.1三例8).1sin 1(lim 0xx x −→求型∞−∞.2型00,1,0.3∞∞例9.lim 0xx x +→求解x x x e ln 0lim +→=原式xx x e ln lim 0+→=2011limx x x e−+→=0e =.1=xx x e1ln lim0+→=例10.lim 111xx x−→求例11.)(cot lim ln 10xx x +→求例10解.lim 111xx x−→求)1(∞x xx eln 111lim −→=原式x x x e−→=1ln lim111lim 1−→=x x e.1−=e 例11解.)(cot lim ln 10xx x +→求)(0∞,)(cot )ln(cot ln 1ln 1x xxex ⋅=取对数得)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→∵x xx x 1sin 1cot 1lim 20⋅−=+→xx xx sin cos lim 0⋅−=+→,1−=.1−=∴e 原式通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化0∞10∞取对数转化∞−∞例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中解11ln 2()2x x a b x xxx a be ++=001ln()ln 2lim ln lim 2x x x x x x a b a b x x →→++−=0ln ln lim 1x x x xx a a b ba b →++=lnabe ab==原式ln ln ln 2a bab +==例13.cos limxxx x +∞→求注意：洛必达法则的使用条件．三、小结洛必达法则型00,1,0∞∞型∞−∞型∞⋅0型00型∞∞gf g f 1=⋅fg fg g f 1111⋅−=−取对数令gf y =设)()(lim x g x f 是不定型极限，如果)()(x g x f ′′的极限不存在，是否)()(x g x f 的极限也一定不存在？举例说明.思考题思考题解答不一定．例,sin )(x x x f +=xx g =)(显然=′′∞→)()(lim x g x f x 1cos 1lim xx +∞→极限不存在．但=∞→)()(limx g x f x xx x x sin lim +∞→1=极限存在．。

洛必达法则定义

洛必达法则定义洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它被广泛应用于求解极限的问题。

其名称来源于法国数学家、物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易·拉格朗日，他们独立地发现了这个定理。

洛必达法则的定义如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内都可导，且g'(x)≠0，则lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))换句话说，当一个函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”时，我们可以利用洛必达法则将其转化为一个等价的形式，即对函数的导数进行求解。

这条法则的关键在于对函数的导数运算。

假设f(x)和g(x)在某点a 的某个邻域内都可导，通过函数的导数我们可以得到以下推导：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/hg'(x) = lim[h->0] (g(x+h) - g(x))/h在使用洛必达法则时，我们计算这两个导数的极限，然后将结果代入到洛必达法则的等式中。

具体计算方法如下：1. 首先计算f(x)和g(x)在点a的函数值，即f(a)和g(a)。

2. 计算f'(x)和g'(x)。

3. 对f'(x)和g'(x)计算极限。

若极限存在且不为无穷大，记为L和M。

4. 若存在极限，则根据洛必达法则的等式 lim[x->a] (f(x)/g(x)) =L/M，将L和M代入。

5. 若L/M的极限存在，即lim[x->a] (f(x)/g(x))存在，则该极限即为原函数lim[x->a] (f(x)/g(x))的极限。

需要注意的是，洛必达法则只适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，且假设函数满足以上条件才能进行计算。

洛必达法则的应用范围非常广泛。

它可以用于解决各种求极限问题，特别是在处理不确定型的极限时非常有用。

洛必达法则

注 7º 对数列极限不能直接用洛必达法则.
1
例7如：lim ln n×= lim n = 0
n→∞ n n→∞ 1
数列极限与函数极限关系：
lim f ( x) = A ⇔
x→a
∀{xn}: xn → a(n → ∞),
正确解：
∞型 1
xn
≠
a, 有 lim
n→∞
f
( xn )
=
A.
∵
lim
ln x ∞ = lim
= lim
x→+∞
λ2eλ x
=⋯
∞型 ∞ ∞型 ∞ ∞型 ∞
n!
= lim
x→+∞
λneλ x
= 0.
例4-1 求 lim ln(1 + x2 ) .
0型
x→0 sec x − cos x
0
解原式 = lim
x2
x→0 sec x − cos x
等价无穷小代换
= lim
2x
x→0sec x tan x − (− sin x)
0型
等价无穷0小量代换
解
原式 =
lim ex . lim
x→0 x→0
xe x
+
x − 2ex x3
+
2
0型 0
非零因子单独求极限
xex+ ex+ 1− 2ex
= lim
x→0
3x2
洛必达法则
=
lim
xex + 2ex − 2ex
=
ex lim
= 1.
x→0
6x
x→0 6 6
例5-3 求 lim

洛必达法则洛必达法则

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。