数学：最新2013版第1单元-证明(二)讲练课件(北师大版九年级上)

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基本不等式(第二课时)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

9
∴ + = ( + )( + ) = +
+ 10 ≥ 2
⋅
+ 10 = 16,

9
=

=4
当且仅当
即
时，等号成立. ∴ +
= 12
1 9
+ =1

min
题型讲练
常数代换或消元法求最值
例题3：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是
随堂小测
1
1.已知x>0,则x+2的最小值为(
1
A.2
D)
2
B.1
C. 2
D. 2
4
9
2.已知正数x,y满足 + =1,则xy有( C )
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
144
3.当且仅当x=
4. +

1
时,4x+(x>0)取得最小值.
4
的最小值等于

4
.
D.最大值
x
[答案] 4
4
4
4
[解析] ∵x>0，∴ >0，∴y＝x＋ ≥2 x· ＝4.
x
x
x
3．x，y∈R，x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是________．
[答案]
18 3
[解析] 3 x>0,3y>0.∴3x＋3y≥2 3x·3y
5
＝2 3x＋y＝2·( 3)5＝18 3，当且仅当 x＝y＝时等号成立．
4

即x 3时，等号成立.

北师大版初中数学九年级上(初三数学上)课件PPT配套教案-第1章特殊平行四边形矩形(提高阶段)

北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案第1章特殊平行四边形矩形（提高阶段）第1部分矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°．∴∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，故∠PBA ＝∠PCQ ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB ＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ．∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA ＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO ＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝BD．∴ AO＝BO．∵ AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°．∴∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB．∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°．∴△ABO是等边三角形．∴ BO＝AB，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO，∠OBE＝30°．∴∠BOE＝18030752-=°°°．【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、（2016•濠江区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】（2015春•邗江区期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE ⊥AB ．∵ 在Rt △CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG ＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG ＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG ⊥DE ．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题．举一反三：【高清课堂 417081 矩形例11】【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）A.21B.5C.1455D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1， DE ＝2222112AD AE +=+=，∴OD 的最大值为：21+.第2部分菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（2014春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．第3部分正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．【答案与解析】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC 的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．【答案与解析】证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（AAS）．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．(1)求证：AE＋CF＝EF．(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ，∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ，∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,,∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ，∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或12，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．【答案与解析】证法一：(间接折半法)如图①所示．∵∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．∴∠3＝∠5，BE＝BF．取AE的中点G，连接OG，∵ AO＝OC，∴ OG 12 EC．由∠7＝∠5，∠8＝∠3，∴∠7＝∠8，∴ FO＝GO．∴ EC＝2OG＝2FO．证法二：(直接折半法)如图②所示．由证法一得BE＝BF．取EC的中点H，连接OH．∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．∴∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．∴ EC＝2EH＝2FO．证法三：(直接加倍法)如图③所示．由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC．由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．举一反三：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．第4部分全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 为腰以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角三角形ABD ，以AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE ，连结BE 、DC ，两条线段相交于点F ，试猜想∠EFC 的度数并说明理由．【答案与解析】解法一：作DH//BE 交EA 延长线于H，连接CH 易证四边形BEHD 为平行四边形CEH EAB CE=AE CEH=EAB=90HE=BD=AB CEH EAB SAS CH=BE=DH CHE=ABECHD=90EFC=CDH=45⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴≅∴∠∠∴∠∴∠∠在△与△中△△（），解法二：作CG//BE 交AB 的延长线于G ，连接DG ，∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.又∠AEC=90°，∴AB ∥CE.∴四边形BECG 为平行四边形，∴CE=GB ，又AE=EC ，∴GB=AE.在△BGD 与△AEB 中，DB=AB ，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE ，∴△BGD ≌△AEB(SAS)，∴∠GDB=∠ABE ，BE=DG.∵平行四边形BGCE,∴∠ABE=∠AGC ，BE=GC,∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.于是CDG △是等腰直角三角形，所以45EFC DCG ∠=∠=.【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．类型二、菱形2、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF 为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，。

北师大版数学八年级下册数学课件：第一章2直角三角形第二课时

AC=DB，则下列结论不正确的是
A. ∠A=∠D
（ C）
B. ∠ABC=∠DCB
C. OB=OD
D. OA=OD
课后作业
4. 如图1-2-21，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC， ∠1=∠2. （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是否为直角三角形？并说明理由.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC.
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-2-13，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件__A_C_=_B__D_（__答__案_不__唯__一__）_. （只需写出符合条件的一种情况）
课堂讲练
2. 如图1-2-15，已知∠A=∠D=90°，E，F在线段BC上， DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形.
（ D） A. AE=DF B. ∠A=∠D C. ∠B=∠C D. AB=DC
课后作业
2.如图1-2-19，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的根据是
（A ） A. HL B. AAS C. SSS D. ASA
课后作业
3. 如图1-2-20，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，若
∴△ACE≌△BDF（AAS）. ∴CE=DF.
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）.
课堂讲练
3. 如图1-2-17，已知在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=FD，求证：AE-BE=AF. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（AAS）. ∴DC=DE.

北师大版九年级上册数学《菱形的性质与判定》特殊平行四边形说课教学教学说课研讨课件复习(第2课时)

（来自《典中点》）
知1－练
2 下列命题中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 由边的数量关系判定菱形
议一议
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC
证明：在△AOB中， ∵AB＝ 5 ，OA＝2，OB＝1， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
（来自教材）
总结
知2－讲
1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形. 2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平
（B ）
A.18
B.16
C.15
D.14
随堂演练
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 __3_cm___.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
____3_0_° _.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是___5_c_m__.
新课进行时
证一证
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角
线AC与BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
A
O
C
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.

北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文

(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函数转化成了两个一元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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【中考小复习配套课件】北师大九年级上第一章证明

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等 . 9．角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
∴AD⊥BC，BD＝AD，
∴∠B＝∠DAC＝45°，
又BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，
图 S1－6
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
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上册第一章复习 ┃ 考点攻略
(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：
又∠ADE＝∠CDE，
图S1－9
数学·新课标（BS）
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4.
在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA. ∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.
数学·新课标（BS）
下面证明命题一：已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF. 求证：∠ABC＝∠DEF.
数学·新课标（BS）
上册第一章复习 ┃ 考点攻略证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
上册第一章复习 ┃ 试卷讲练【针对第1题训练】 1．以下命题中，是真命题的是( D ) A．两条直线只有相交和平行两种位置关系 B．同位角相等 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷(测试范围：第1-2章)(北师大版)(解析版)

2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷（测试范围：第1-2章）一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．20ax bx c ++=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．223x x -=A ．231416x æö+=ç÷èøB ．231248x æö-=ç÷èøC ．23148x æö+=ç÷èøD ．2311416x æö+-=-ç÷èø故选：A ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若3OA =，则BD 的长为（）A ．3B ．6C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程2(1)230k x kx k --+-=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且1k ¹C ．34k ≥D ．34k ≥且1k ¹5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．()251182x +=B ．()()250501501182x x ++++=C ．()()2501501182x x +++=D ．()50501182x ++=【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据增长率的等量关系()21a x b +=，结合题意，列出方程即可．【解析】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x ，由题意，得：()()250501501182x x ++++=；故选B ．6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（）A ．12B ．14C ．12或14D ．247．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线8cm 6cm AC DB DH AB ==^，，于点H ，则DH 的长为（）A ．5cmB ．10cmC ．24cm 5D ．48cm 5【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出AB ，再根据菱形的面积计算公式即可求出DH ，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，13，，则AC的长是（）8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是()A．3B C D．413，，∵点B的坐标是()∴22=+=OB，1310∵四边形OABC是矩形，∴10AC OB==，故选：C．9．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 上一点，连结BF ，然后沿着BF 将矩形对折，使点C 恰好落在AD 边上的E 处．若41AE ED =::，则EF BE的值为（）A ．4B ．3C ．13D10．如图，正方形ABCD 中，1AB =，点E 、F 分别在边BC CD 、上，45EAF Ð=°，连接AE EF AF 、、，下列结论：①BE DF EF +=；②AE 平分BEF Ð；③CEF △的周长为2；④CEF ABE ADF S S S =+△△△，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B 【分析】延长CB 到T ，使得BT DF =，连接AT ,证明ADF ABT△≌△，EAF EAT △≌△，可判定①②，利用等量代换，可判③，利用面积公式解答即可，本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【解析】延长CB 到T ，使得BT DF =，连接AT∵四边形ABCD 是正方形，∴90D ABE ABT Ð=Ð=Ð=°，AD AB =，∵DF BT ABT ADF AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ADF ABT △≌△（SAS ），∴AF AT =，DAF BAT Ð=Ð，∴90FAT DAB Ð=Ð=°，∵45EAF Ð=°，∴45EAF EAT Ð=Ð=°，∵AF ABT TAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，二、填空题11．已知()211350mm x x +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．【答案】1-【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．【解析】解：由题意知：212m +=且10m -¹，解得1m =-，故答案为：1-．12．平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，要使平行四边形ABCD 是矩形请添加一个条件．【答案】AC BD =（答案不唯一）【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键．【解析】解：要使平行四边形ABCD 是矩形，可添加的条件是AC BD =（对角线相等的平行四边形是矩形）【答案】25320x x +-=【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可．【解答】解：根据题意得：532a b c ===-,,，则该一元二次方程是25320x x +-=，故答案为：25320x x +-=．14．如图，已知四边形ABCD 是矩形，6AB =，点E 在AD 上，2DE =．若EC 平分BED Ð，则BC 的长为．【答案】10【分析】由矩形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，由角平分线和平行线的性质可证BE BC =，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．【解析】解：EC Q 平分BED Ð，BEC CED \Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \∥，AD BC =，DEC BCE \Ð=Ð，BEC BCE \Ð=Ð，BE BC \=，222BE AB AE =+Q ，2236(2)BC BC \=+-，10BC \=，故答案为：10．15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，2AB =，2AC =，则BD 的长为．∵两条纸条宽度相同，∴AE AF =，∵AB CD ∥，AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，16．已知a 是方程22202310x x -+=的一个根，则代数式220232121a a +++的值为．17．如图，ABCD 绕点C 顺时针旋转后得到正方形EFCG ， EF 交于点H ，则AH的长是．边长为的正方形按顺时针方向旋转后得到正方形30,DCG CFH \Ð=°Ð∴60DCF Ð=°，在 Rt CHF V 和 R t CHD V CH CH CF CD=ìí=î，18．定义：20cx bx a ++=是一元二次方程20ax bx c ++=的倒方程．则下列四个结论：①如果2x =是220x x c ++=的倒方程的解，则54c =-；②如果0ac <，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程220ax x c -+=无解，则它的倒方程也无解；④如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。

矩形的性质与判定课件初中数学北师大版九年级上册

BC＝CB，

∴△BEC≌△CFB(AAS)．∴BE＝CF.
知2－练
感悟新知
知识点 3 直角三角形斜边上中线的性质定理图示知3－讲
数学表达式
如图，在Rt △ ABC 中，
直角三角形斜
边上的中线等
感悟新知
知2－讲
知识点 2 矩形的性质
矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的
所有性质. 矩形的性质可以从边、角、对角线、对称性这
四个方面来研究. 总结如下表：
感悟新知
知2－讲
图形
性质
对边平行
对边相等
数学表达式
AB∥CD，AD∥BC
边
AB=CD，AD=BC
∵四边形ABCD 是矩形，
矩形的四个
又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形.
∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC.
∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，在△ ABC中，D 是BC
的中点，E 是AD，BF 的中点，
AB=AC. 求证：四边形ADCF
是矩形.
AC，CF ⊥ BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF.
感悟新知
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
1
1
∴AC＝BD，OC＝2AC，OB＝2BD.
∴OB＝OC.∴∠FBC＝∠ECB.
∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEC＝∠CFB＝90°.
∠BEC＝∠CFB，

在△BEC 和△CFB 中，∠ECB＝∠FBC，
≌△COB.
AOB ≌ △ COD，△ AOD
感悟新知
知2－练

1.1菱形的性质与判定(第二课时)课件北师大版数学九年级上册

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数学九年级上册 BS版
如图，在▱ ABC D中， BC ＝2 AB ， AB ⊥ AC ，分别在边 BC ， A D上的点E与点F关于 AC 对称，连接EF， A E， C F，DE.
（1）试判断四边形 A E C F的形状，并说明理由；
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数学九年级上册 BS版
（2）求证： A E⊥DE. 【思路导航】（1）由对角线互相垂直平分可得到四边形 A E C F 的形状；（2）先求得∠ A E C 的度数，进而可求得∠ C ED的度数，即可得到∠ A ED的度数.
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数学九年级上册 BS版
02
典例讲练
数学九年级上册 BS版
已知四边形 ABC D为平行四边形，有下列条件：① AC ⊥ B D； ②∠ BA D＝90°；③ AB ＝ BC ；④ AC ＝ B D. 其中能使▱ ABC D 为菱形的有 ①③ （填序号）. 【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断即可.
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数学九年级上册 BS版
【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知① ③符合，②④不符合.故答案为①③. 【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四边形的基础上加上菱形独有的条件.
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动.设点 P ，Q运动的时间是t s .过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，连接
P Q，Q M .
（1）请用含有t的式子填空： A Q＝ t ， AP ＝ 40－2 t ，

2.5一元二次方程的根与系数的关系课件-北师大版数学九年级上册

b2－4ac ≥ 0 且x1·x2>0
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数两根同为负数两根异号，且正根的绝对值大两根异号，且负根的绝对值大
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
知1－练
例 1 【母题教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根和q 的值.
第二章一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
1 课时讲解一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为1 的一元二次方程的性质
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋
bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ，且k2=αβ ＋3k，求k 的值. 解：∵方程的两个根为 α，β， ∴αβ＝ac＝3－k. ∴k2＝3－k＋3k＝3＋2k，解得 k1＝3，k2＝－1(舍去)．

北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第2课时)

平行四边形对角线相等
1.必做: 完成教材P16T1-T3 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《典中点》）
2 下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD 相交于点O，下列结论中不正确的是( ) A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
（来自《典中点》）
知识点 2 由直角的个数判定矩形
知2－导
想一想我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
（来自教材）
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC 的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°. ∴OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
（来自教材）
知1－练
1 如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
（来自《典中点》）
知2－练
2 下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内；

2.直接开平方法PPT课件(北师大版)

知2－练
1 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根
知2－练
2 一元二次方程(x－2)2＝1的根是( C )
A．x＝3 C．x1＝3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝－3
解：（1）移项，得9x2＝81，系数化为1，得x2 ＝9. 开平方，得x ＝± 3. 于是x1＝3，x2＝－3.
（2）移项，得2(x－3)2 ＝50，系数化为1，得(x－3)2 ＝25. 开平方，得x－3 ＝± 5. 于是x1＝8，x2＝－2.
知2－讲
总结
知2－讲
解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知2－导
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5?
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得
x＋3＝± 5 ，
例1 用直接开平方法解下列方程． (1)x2－81＝0；(2)4x2－64＝0
导引：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成 x2＝p(p≥0)的情势，再根据平方根的意义求解．
解：(1) 移项得x2＝81，于是 x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.
(2)移项得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-2 菱形的性质与判定(基础篇)

专题1.2 菱形的性质与判定（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、利用菱形的性质求角1．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（）A ．80°B ．60°C ．40°D ．20°类型二、利用菱形的性质求线段3．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若120ADC =∠︒，2DO =，菱形的周长为（）A ．8B ．16C ．12D ．4．如图，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(0,2)，(2,1)，(4,2)，则顶点D 的坐标是（）A．(2,2)B．(2,4)C．(3,2)D．(2,3)类型三、利用菱形的性质求面积5．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为60︒，则S S =阴影空白（）A．3B．4C．2D．16．如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、D在坐标轴上，)A，AB＝3，则菱形ABCD的面积等于（）．A．20B．C．D．类型四、利用菱形的性质证明7．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，添加一个条件，不能判定△ABE≌≌ADF的是（）A ．EC ＝FCB ．AE ＝AFC ．≌BAF ＝≌DAED ．BE ＝DF8．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角类型五、添加一个条件证明四边形是菱形9．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ≌AB ，DF ≌AC ．增加下列条件能判定四边形AFDE 为菱形的是（）A ．点D 在≌BAC 的平分线上B ．AB AC = C ．90A ∠=︒D ．点D 为BC 的中点10．如图，已知ABCD 为任意四边形，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH 为菱形的是（）A ．EH HG =B ．EG HF ⊥C ．AC BD = D ．AC BD ⊥类型六、证明已知四边形是菱形11．如图，平移≌ABC 到≌BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC ，CD ，若AB =BC ，那么在以下四个结论：≌四边形ABEC 是平行四边形；≌四边形BDEC 是菱形；≌AC DC；≌DC平分≌BDE，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．小红按如下操作步骤作图：≌作线段AB；≌分别以点A、B为圆心，以线段d(d>12AB)的长为半径画弧，分别相交于点C、D两点；≌连接AC、BC、AD、BD．则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对类型七、用菱形的性质与判定求角度13．菱形不具备的性质是（）A．对角线一定相等B．对角线互相垂直C．是轴对称图形D．是中心对称图形14．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图（1），直线l及外一点A，求作l的垂线，使它经过点A，小红的做法如下：≌在直线l上任取一点B，连接AB≌以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；≌分别以,B D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；≌作直线AC，直线AC即为所求如图（2），小红的做题依据是（）A ．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直B ．直径所对的圆周角是直角C ．直线外一点到这条直线上垂线段最短D ．同圆或等圆中半径相等类型八用菱形的性质与判定求线段15．如图，在平行四边形ABCD 中，≌BAD 的平分线交BC 于点E ，≌ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为（）．A ．6.5B ．7C ．7.5D ．816．如图，在Rt△ABC 中，△C =90°，△A =30°，AB =2，将△BEF 沿EF 所在直线翻折得到△DEF ，点D 为≌ABC 的平分线与边AC 的交点，则线段EF 的长度为（）A ．12 B C ．23 D 类型九、用菱形的性质与判定求面积17．如图，在MON ∠的两边上分别截取OA ，OB ，使OA OB =；再分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；再连接AC ，BC ，AB ，OC ．若2AB =，4OC =，则四边形AOBC 的面积是（）A ．B ．8C ．4D ．5218．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝4，AD ＝6，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．3二、填空题类型一、利用菱形的性质求角19．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线BD 于点F ，垂足为点E ，连接AF 、AC ，若≌DCB ＝70°，则≌F AC ＝______．20．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长BC 至点E ，使CE BC =，连接DE ，若70E ∠=︒，则OBC ∠=________．类型二、利用菱形的性质求线段21．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，4，则AB 长为__．22．若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是________．类型三、利用菱形的性质求面积23．在菱形ABCD中，10AC=，24BD=，则菱形的边长等于______，面积等于______．24．如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若8+=，则菱形ABCD的面积为________．PE PF类型四、利用菱形的性质证明25．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件_______时，有EF≌GH．26．尺规作图：作一个角的平分线．小涵是这样做的：∠，如图1所示已知：MAN∠求作：射线AD，使它平分MAN图1 图2作法：（1）如图2，以A 为圆心，任意长为半径作弧，交AM 于点B ，交AN 于点C ；（2）分别以B 、C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于点D ；（3）作射线AD ．所以射线AD 就是所求作的射线．小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD 、CD 和BC ，发现BC 与AD 的位置关系是______，依据是______________________．类型五、添加一个条件证明四边形是菱形27．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．28．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：≌AB BC =；≌AB BC ⊥；≌AD BC =；≌AC BD ⊥；≌AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率是________．类型六、证明已知四边形是菱形29．如图，在≌ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，已知AB ＝4，BC ＝6，≌B ＝60°，现将≌ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ．（1）如图1，当点B ′恰好落在AD 边上时，x ＝_____；（2）如图2，若点B ′落在≌ADE 内（包括边界），则x 的取值范围是 _____．30．菱形的判定：（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．几何语言描述：≌四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝____________，≌四边形ABCD 是菱形．（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形几何语言描述：≌在平行四边形ABCD 中，AC ≌____________，≌ 平行四边形ABCD 是菱形．（3）四条边都____________的四边形是菱形．几何语言描述：≌在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝____________，≌ 平行四边形ABCD 是菱形．类型七、用菱形的性质与判定求角度31．如图在菱形ABCD 中，边AB 的垂直平分线与对角线AC 相交于点E ，140B ∠=︒，那么DEC ∠=__________度．32．如图，菱形ABCD 中，≌D =120°，点E 在边CD 上，将菱形沿直线AE 翻折，使点D 恰好落在对角线AC 上，连结BD '，则≌AD 'B =______°．类型八用菱形的性质与判定求线段33．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分≌BAD ，交BC 于点E ，BF 平分≌ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连结EF ，PD ．若AB ＝4，AD ＝6，≌ABC ＝60°，则DP ＝___．34．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE //AC ，CE //BD ．若AD ＝2，AB ＝3，则四边形CODE 的周长是________．类型九、用菱形的性质与判定求面积35．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 与BD 互相垂直且平分，BD ＝6，AC ＝8，则四边形周长为_____，面积为_____．36．如图，在MON ∠中，使OA =OB ，按以下步骤作图：≌以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM ，ON 于点A ，B ；≌分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；≌连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2cm AB =，四边形OACB 的面积为24cm ．则OC的长为________cm．三、解答题37．如图，在菱形ABCD中，AE≌BC于点E，AF≌CD于点F．(1)求证：BE＝DF．(2)当≌BAD＝110°时，求≌EAF的度数．38．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求≌ADE的周长．39．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，≌BAD＝60°．(1)求对角线AC ，BD 的长；(2)求菱形的面积．40．如图，在菱形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点．连BE ，DE ，求证：BE DE =．41．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，若//AB CD ，OA OC =， (1)求证：四边形ABCD 是平行四边形(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件，使四边形ABCD 是菱形42．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．且AO CO =，点E 在BD 上，满足EAO DCO ∠=∠．(1)求证：AOE COD ≌△△；(2)若AB BC =，求证：四边形AECD 是菱形．43．如图，BD 是ABC 的角平分线，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，//DF AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）如果80A ∠=，30C ∠=，求BDE ∠的度数．44．图，点D 为≌ABC 边AC 上一点，过点D 作DE ≌AB ，点O 为BE 的中点，连接AO 并延长，交DE 的延长线于点F ，连接AE 、BF ．(1)试判断四边形ABFE的形状，并说明理由；(2)若AB＝BF，AC＝10，30∠=，求OC的长．C45．如图，在平行四边形ABCD中，BE≌AD，BF≌CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．参考答案1．C【分析】先根据菱形的性质求出≌BAC 的度数，再证OE 是≌ABC 的中位线即可得到答案．解：≌四边形ABCD 是菱形，≌AD BC ∥，点O 是AC 的中点，1=2BAC BAD ∠∠，≌≌BAD =180°-≌ABC =110°， ≌≌BAC =55°， ≌E 是BC 的中点， ≌OE 是≌ABC 的中位线， ≌OE AB ∥， ≌≌COE =≌BAC =55°，故选C ．【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．2．C 【分析】折痕为AC 与BD ，≌BAD =100︒，根据菱形的对角线平分对角可得≌ABD 和≌BAC 的度数，由此得出答案．解：如下图，≌四边形ABCD 是菱形；≌≌ABD =12≌ABC ，≌BAC =12≌BAD ，AD ≌BC ； ≌≌BAD =100︒，≌≌ABC =180︒－≌BAD =80︒， ≌≌ABD =40︒，≌BAC =50︒，≌剪切线与折痕所成的角的大小应为40︒．故选：C ．【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，熟练掌握菱形对角线平分对角的性质是解题的关键．3．B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，四边形相等，每条对角线平分每组对角，易得到30DCO ∠=︒，再根据含30的直角三角形的性质求出菱边CD 的长度，然后用菱形的周长公式求解．解：≌菱形ABCD 的两条对角线交于点O ，120ADC =∠︒，≌AC BD ⊥，60DCB ∠=︒，AD AB BC CD ===， ≌1302ACD BCA DCB ∠=∠=∠=︒，在Rt DOC 中，2DO =， ≌2224CD OD ==⨯=，≌菱形ABCD 的周长为4416⨯=，故选：B ．【点拨】本题主要考查了菱形的性质、含30的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解答关键．4．D 【分析】根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解．解：设D 点的坐标为(a ,b )，菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点， ≌AC 的中点与BD 的中点坐标相同， ≌根据中点坐标公式有：+2042212222a b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，则a =2，b =3，即D 点坐标为：(2,3)，故选：D ．【点拨】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题的关键．5．C 【分析】边长为a 的正六边形可拆成6个边长为a 的等边三角形，图中的菱形有一个≌为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a 的等边三角形，所求即可解解：下图所示，由图可知，边长为a 的正六边形可拆成6个边长为a 的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a 的菱形可以拆成2个边长为a 的等边三角形，边长为a 的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，=，边长为a的等边三角形的面积为：212a ⨯=，226⨯=，222⨯=，222=，则有2S S ==阴影空白，故选：C ．【点拨】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a 的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a 的等边三角形是解答本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OB ，再利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出AC 和BD ，最后利用菱形面积公式求解即可．解：()5,0A，OA ∴=四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，2OB ==∴，4222BD OB =⨯==∴，2AC OA ==∴菱形ABCD 的面积11224S AC BD =⋅==⨯ 故选C ．【点拨】本题考查勾股定理、菱形的性质及面积公式，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直且平分”是解题的关键．7．B 【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定条件逐项判断即可．解：≌四边形ABCD 是菱形，≌AB AD BC CD ===，B D ∠=∠．A ．由EC ＝FC ，可得出BC CE CD CF -=-，即BE DF =， ≌()ABE ADF SAS ≌，故该选项不符合题意；B ．AE ＝AF ，结合已知不能证明△ABE ≌≌ADF （没有“SSA ”或“ASS ”），故该选项符合题意；C. 由≌BAF ＝≌DAE ，可得出BAF EAF DAE EAF ∠∠∠∠-=-，即BAE DAF ∠=∠， ≌()ABE ADF ASA ≌，故该选项不符合题意；D. 由BE ＝DF 可直接证明()ABE ADF SAS ≌，故该选项不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定．熟练掌握上述知识是解题关键．8．D【分析】根据菱形的性质与平行四边形的性质逐项分析判断即可．解：A．菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；B．菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；C．菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；D．菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形和菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．9．A【分析】根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论．解：如图所示，连接AD≌DE≌AB交AC于点E，DF≌AC交AB于点F，≌四边形DEAF是平行四边形，≌F AD=≌EDA，当点D在≌BAC的平分线上时，≌≌F AD=≌EAD，≌≌EAD=≌EDA，≌AE=DE，≌四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项B不符合题意；当≌A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故选项C不符合题意；当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．D 【分析】根据题意连接BD ，AC ，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．解：如图连接BD ，AC ，因为E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形中位线定理，故EH DB ∥，DB FG ∥,AC HG ∥，AC EF ，故四边形EFGH 是平行四边形．A 选项：EH HG = ，邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．B 选项：EG HF ⊥ ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意．C 选项：AC BD = ，根据三角形中位线定理12HG AC =，12HE BD =，故EH HG =，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意．D 选项：AC BD ⊥ 不能证明四边形EFGH 是菱形，符合题意．故选：D【点拨】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接BD ，AC ，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可．11．D 【分析】利用平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质逐项判断即可．解：≌平移≌ABC 到≌BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，≌AD CE AC BE∥，∥，≌四边形ABEC是平行四边形，故≌正确；≌平移≌ABC到≌BDE的位置，≌AB=BD=CE，BC=DE，≌AB=BC，≌AB=BD=CE=BC=DE，≌四边形BDEC是菱形，故≌正确；≌四边形BDEC是菱形，≌BE CD⊥，≌AC BE，AC CD∴⊥，故≌正确；≌四边形BDEC是菱形，≌DC平分≌BDE，故≌正确；≌正确的有4个．故选D．【点拨】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质．12．B【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．解：≌分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，≌AC=AD=BD=BC，≌四边形ADBC一定是菱形，故选：B．【点拨】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．13．A【分析】根据菱形的性质：≌菱形具有平行四边形的一切性质；≌菱形的四条边都相等；≌菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；≌菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线，即可判断．解：根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分，故B正确；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D正确；菱形不具备对角线一定相等，故A错误；故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．14．A【分析】根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC 与BD垂直．解：由作法得AB＝AD＝BC＝DC，则四边形ABCD为菱形，所以AC≌BD．即四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直．故选A．【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15．D【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可．解：设AE与BF交于G，≌四边形ABCD 是平行四边形，≌AD //BC ，AFB EBF ∴∠=∠． ≌F AE=≌BEA ，≌BF 平分ABC ∠，ABF EBF ∴∠=∠，AFB ABF ∴∠=∠，AF AB ∴=，≌AE 平分≌BAF ，≌≌BAE =≌F AE ，≌≌BAE =≌BEA ，≌AB BE =，AF BE ∴=，≌AD//BC ，即AF//BE ，≌四边形ABEF 是平行四边形．≌AB=AF ，≌四边形ABEF 是菱形，11,,322AE BF AG GE AE BG GF BF ∴⊥=====， ≌5AB =，4AG ∴==，28AE AG ∴==．故选：D ．【点拨】本题主要考查平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理，掌握平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理是解题关键．16．C【分析】连接BD ，求证四边形BEDF 是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可．解：如图，连接BD ，≌≌C =90°，≌A =30°，AB =2，≌BC =12AB =1，≌ABC =90°-≌A =60°， ≌点D 为≌ABC 的平分线与边AC 的交点，≌≌ABD =≌CBD =12≌ABC =30°， ≌将△BEF 沿EF 所在直线翻折得到△DEF ，≌BE =DE ，BF =DF ，≌≌EDB =≌CBD =30°，≌FDB =≌ABD =30°，≌≌EBD =≌FDB =30°，≌EDB =≌FBD =30°，≌BE ≌DF ，BF ≌DE ，四边形BEDF 是平行四边形，≌ADF =≌C =90°，又≌BE =DE ，≌四边形BEDF 是菱形，≌BE =BF =DF =DE ，在Rt △ADF 中，≌≌A =30°，≌AF =2DF =2BF ，≌AB =AF +BF =2BF +BF =3BF ，≌BF =13AB =23，又≌,60BE BF ABC ∠==︒，≌≌BEF 是等边三角形，≌BE=BF=EF=23，故选：C．【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点．17．C【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．解：根据作图，AC BC OA==，≌OA OB=，≌OA OB BC AC===，≌四边形OACB是菱形，≌2AB=，4OC=，≌12442OACBS=⨯⨯=菱形．故选：C．【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．18．A【分析】连接AC，BD，FH，EG，得出平行四边形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于12×GH×HF，代入求出即可．解：连接AC，BD，FH，EG，≌E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，≌AH＝12AD，BF＝12BC，≌四边形ABCD是矩形，≌AD＝BC，AD//BC，≌AH＝BF，AH//BF，≌四边形AHFB是平行四边形，≌FH＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，≌四边形ABCD是矩形，≌AC＝BD，≌E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，≌HG//AC，HG＝12AC，EF//AC，EF＝12AC，EH＝12BD，≌EH＝HG，GH＝EF，GH//EF，≌四边形EFGH是平行四边形，≌平行四边形EFGH是菱形，≌FH≌EG，≌阴影部分EFGH的面积是12×HF×EG＝12×6×4＝12，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关键是求出四边形EFGH是菱形．19．20°【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出≌BAC和≌F AB的度数，即可解决问题．解：≌EF是线段AB的垂直平分线，≌AF＝BF，≌≌F AB＝≌FBA，≌四边形ABCD是菱形，≌DCB＝70°，≌BC＝AB，≌BCA＝12≌DCB＝35°，AC≌BD，≌≌BAC＝≌BCA＝35°，≌≌FBA＝90°﹣≌BAC＝55°，≌≌F AB＝55°，≌≌F AC＝≌F AB﹣≌BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20°．【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．20．20°【分析】根据菱形的性质得到BC=CD=CE，求出≌DCE的度数，利用菱形的性质求出≌OBC即可．解：≌四边形ABCD是菱形，≌BC=CD，AB≌CD，≌CE BC=，≌CE=CD，≌≌CDE=70E∠=︒，≌≌DCE=12（180°-2≌E）=40°，≌AB≌CD，≌≌ABC=≌DCE=40°，≌≌OBC=12≌ABC=20°，故答案为：20°．【点拨】此题考查了菱形的性质，等边对等角求角度，熟记菱形的性质是解题的关键．21【分析】根据菱形的性质求得OA，OB的长，然后在Rt AOB∆中利用勾股定理即可求解．解：≌菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，∴AC BD⊥，132OA AC==，122OB BD==，∴Rt AOB∆中，AB===【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．22．13【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB 得到菱形的边长．解：如图，BD＝10，AC＝24，≌四边形ABCD是菱形，≌OA＝12AC＝12，OB＝12BD＝5，AC≌BD，≌AB13．故答案为：13．【点拨】本题考查了菱形的性质和勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键．23．13120【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长；由菱形面积公式即可求得面积．解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，在菱形ABCD中，152AO AC==，1122BO BD==，且AO BO⊥，13 AB∴==，菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是11202S AC BD=⨯=．故答案为：13，120．【点拨】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AB的值是解题的关键．24．80【分析】根据菱形的性质得到10AB AD ==，再根据三角形的面积公式计算即可．解：连接AP四边形ABCD 是菱形AB AD ∴=菱形ABCD 的周长为4010AB AD ∴==,PE AB PF AD ⊥⊥∴菱形ABCD 的面积1122()2(1010)10()22ABD ABP ADP S S S PE PF PE PF ∆∆∆==⨯+=⨯⨯⋅+⨯⋅=+ 8PE PF +=∴菱形ABCD 的面积10880=⨯=故答案为：80．【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．AB =CD【分析】当AB =CD 时，有EF ≌GH ，连接GE 、GF 、HF 、EH ，根据三角形的中位线定理可得EG =GF =FH =EH ，则四边形EFGH 是菱形，最后利用菱形的性质即可．解：当AB =CD 时，有EF ≌GH ，理由如下：如图所示，连接GE 、GF 、HF 、EH ．≌E 、G 分别是AD 、BD 的中点，≌EG 是≌ABD 是中位线≌EG =12AB ，同理HF =12AB ，FG =12CD ，BH =12CD ．又≌AB=CD≌EG=GF=FH=EH．≌四边形EFGH是菱形≌EF≌GH．故答案为：AB=CD．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFGH是菱形的条件是解答本题的关键．26．AD BC（AD与BC互相垂直）菱形的对角线互相垂直【分析】作≌BAC的平分线，就是要证明这条射线是角平分线，把这条射线分得的两个角置于两个三角形中，为构造两个三角形，以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C，满足AB=AC，然后分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；由有BD=CD，由AD=AD，≌ABD≌≌ACD，则≌BAD=≌CAD,脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD、CD和BC则AB=BD=CD=AC，四边形ABDC为菱形，BC与AD是菱形的对角线，BC≌AD，．解：以A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；则AB=AC，分别以B、C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；则BD=CD,≌AD=AD,≌≌ABD≌≌ACD(SSS),≌≌BAD=≌CAD,≌AD是≌BAC的平分线由作图知AB=BD=CD=AC，≌四边形ABDC为菱形，≌BC≌AD．故答案为：≌BC≌AD，≌菱形的对角线互相垂直．【点拨】本题考查尺规作图中角平分线的拓展问题，关键是掌握角平分线的作法依据全等三角形，由于作图的半径相同，由要掌握菱形的判定与性质．27．AB＝AD（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.解：添加的条件是AB＝AD.理由如下：≌AB∥CD，AD∥BC，≌四边形ABCD是平行四边形，若AB＝AD，≌四边形ABCD是菱形.【点拨】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正确地添加条件是解此题的关键.28．2 5【分析】根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．解：根据菱形的判断，可得≌；≌能判定平行四边形ABCD是菱形，≌能判定ABCD是菱形的概率是25，故答案为：25．【点拨】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．29．222x≤≤【分析】（1）根据折叠的性质知EC=BC-BE=6-4=2；（2）当B'落在DE上时，作AH≌DE于H，由折叠的性质可证AD=DE，再利用△AB'H 是含30°的直角三角形，从而求出DB'的长，即可解决问题．解：（1）≌将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，≌AB=AB’，≌B=≌AB'E，≌四边形ABCD是平行四边形，≌≌B=≌ADC，AB≌CD，AD≌BC，≌≌AB’E=≌ADC，≌B’E≌CD，≌B’E≌AB，≌四边形ABEB’是平行四边形，≌AB=AB’，四边形ABEB'是菱形，≌EC=BC-BE=6-4=2，故答案为：2；（2）如图，当B'落在DE上时，作AH≌DE于H，在Rt≌AHB'中，≌≌AB'H=60°，AB'=4，≌HB'=1AB′＝2，AH′＝在Rt≌ADH中，DH==≌AD≌BC，≌≌DAE=≌AEB=≌AED，≌DA=DE=6，'==-=-≌62)8EB BE≌6(82=-=--=，EC BC BE≌若点B′落在≌ADE内（包括边界），则x的取值范围是22≤≤，x故答案为：22≤≤．x【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，含30°角的直角三角形的性质等知识，找到临界状态求出x的长是解题的关键．30．相等 AD 垂直 BD 相等 AD略31．40【分析】由菱形性质解得CB CD BCE DCE =∠=∠，，进而证明()BCE DCE SAS ≅，再由全等三角形对应角相等的性质，解得EDC EBC ∠=∠，结合线段垂直平分线的性质解题即可．解：连接BE ，四边形ABCD 是菱形，CB CD BCE DCE ∴=∠=∠，在BCE 和DCE 中CB CD BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE DCE SAS ∴≅EDC EBC ∴∠=∠在菱形中ABCD 中，140ABC ∠=︒18040BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒1202BAC BAD ∴∠=∠=︒ 边AB 的垂直平分线与对角线AC 相交于点E ，AE BE ∴=20ABE BAC ∴∠=∠=︒120EBC ABC ABE ∴∠=∠-∠=︒120EDC ∴∠=︒1801202040DEC ∴∠=︒--︒=︒故答案为：40．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．32．75【分析】根据菱形的性质先求出≌BAC ，再由折叠知AD'=AB ，从而求出≌AD'B 的度数.解：≌四边形ABCD 为菱形，≌AB=BC=CD=AD ，CD≌AB ，≌≌D=120°，≌≌DAB=60°，≌AC 为菱形ABCD 的对角线，≌≌BAC=30°，≌将菱形沿直线AE 翻折，使点D 恰好落在对角线AC 上，≌AD'=AD ，≌AD'=AB ， ≌≌AD'B=()1180BAC =752-∠，故答案为：75.【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键.33．【分析】先证明四边形ABEF 是菱形，可得AE ≌BF ，再由≌ABC =60°，可得≌ABF =30°，≌BAP =≌F AP =60°，从而得到AP =12AB =2，再过点P 作PM ≌AD 于M ，可得AM =12AP =1，PM =解：≌四边形ABCD 是平行四边形，≌AD ≌BC ，≌≌AFB =≌FBE ，≌BF 平分≌ABC ，≌≌ABF =≌FBE ，≌≌ABF =≌AFB ，≌AB=AF，同理AB=BE，≌AF=BE≌AF≌BE，≌四边形ABEF是平行四边形，≌四边形ABEF是菱形，≌AE≌BF，≌≌ABC=60°，≌≌ABF=30°，≌BAP=≌F AP=60°，≌AB=4，≌AP=12AB=2，如图，过点P作PM≌AD于M，≌≌APM=30°，≌AM=12AP=1，≌PM=，AM=1,≌AD=6，≌DM=5，≌PD==故答案为：【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质和菱形的判定，特殊三角形的性质，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．34．【分析】。

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数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
考查意图难易度
证明(二)是属于数学新课程标准中《图形与几何》部分的重要内容，在日常测试及中考中，常以填空、选择及证明、计算及综合题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．本卷以双基为主，考查学生对于基本知识点的理解及基本解题思路的掌握，重点在于培养学生对几何题的分析能力和逻辑推理能力．
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
3．如图S1－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ________. 2
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练【针对第9题训练】
1．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为一边，
等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于F点．
(1)求证：AN＝BM； (2)求证：△CEF为等边三角形； (3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论是
否仍然成立．(不要求证明)
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
解：(1)易证△CMB≌△CAN，则AN＝BM.
(2) 证明： ∵ △ CMB≌△CAN ， ∴ ∠ ANC ＝ ∠ MBC. 又 ∵∠MCN＝∠FCB＝60°， BC＝CN， ∴△ECN≌△FCB，∴CE＝CF. 又∵∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形． (3)如图②所示，(1)小题的结论仍然成立，(2)小题不成立．
在 △ ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段 BD 的长为 4 或 2 5或 10 ______________________．
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
2．如图S1－11所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C的个数是( C ) A．6 B．7
A．等腰三角形边上的中线也是高 B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C．等边三角形每条角平分线都平分对边 D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练【针对第8题训练】 1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.所以 △ADE≌△FCE.所以FC＝AD. (2)因为△ADE≌△FCE，所以AE＝FE.又因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝FB.因为FB＝BC＋FC
＝BC＋AD.所以AB＝BC＋AD.
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练【针对第24题训练】如图S1－15①，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是
易中难 1、2、3、4、11、12、13、14、17、18、19、20 5、6、7、8、15、21、22 9、10、16、23、24
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
全等三角形知识与技能
2、3、6、8、12、16、17、22
等腰三角形及直角三角形
勾股定理及逆定理线段的垂直平分线及角的平分线
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
2．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为( D ) A．2 B．3 C．4 D．5
数学·新课标（BS）
C．8 D．9
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
3．在正方形网格图S1－12①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B，C，D，E，F，G中选取，并且所画的两个三角形不全等．
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练解：如图S1－13所示．
亮点
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练【针对第1题训练】 1．以下命题中，真命题的是( D )
A．两条直线只有相交和平行两种位置关系
B．同位角相等
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
2．下列说法中，正确的是( C )
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练【针对第23题训练】
如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，
连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD.
数学·新课标（BS）
第1章讲练 ┃ 试卷讲练
解：(1)因为E是CD的中点，所以DE＝CE.
数学·新课标（BS）
1、4、10、14、20、21
5、23 5、7、9、13、18、19
思想方法
分类讨论、数形结合第9题用分类讨论的思想方法；第10题将动手操作与逻辑推理相结合考查等腰三角形的性质；第16题属于开放性问题，答案不唯一；第22题将等腰直角三角形的性质与三角形全等结合；第23题巧妙地对直角三角形较短直角边“加倍”；第24题将同侧作等边三角形改为等腰三角形，既复习全等又复习相似.