人教版高中数学向量练习题
人教版高中数学必修第二册6.2.3 向量的数乘运算 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算同步精练【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .考点二向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .考点三向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【题型归纳】题型一：向量的线性运算1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），则下列关于向量的运算错误的是（）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若0ma =，则0a =D ．若ma na =，则m n=2．（2021·全国·高一课前预习）若a b c =+，化简()()()32232a b b c a b +-+-+的结果为（）A ．a-B ．4b-C ．cD ．a b-3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为（）①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-；③若ma mb =，则a b =；④若ma na =，则m n =．A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④题型二：平面向量的混合运算4．（2021·全国·高一课时练习）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）A ．3122a b+B ．2133a b+C ．1122a b+D ．3144a b+6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且11,.33AP AB BQ BC ==若AB a =，AC b =，则PQ ＝（）A ．1133a b+B ．1133a b-+C ．1133a b-D ．1133a b--题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图，ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（）A ．23BG BE =B ．12DG AG =；C ．121332DA FC BC +=uu u r uu u r uu u r D ．2CG FG=-8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在ABC 中，D 为线段BC 上一点，2CD DB =，E 为AD 的中点．若AE AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．14B ．13C ．12D ．239．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB +B ．1162AC AB +C ．1126AC AB +D ．1263AC AB +题型四：三角形的心的向量表示10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，0OA OB OC ++=，则:OBCABCS S=（）A ．12B ．13C ．14D ．1511．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图，O 是ABC 的重心，AB a =，AC b =，D 是边BC 上一点，且4BD DC =，则（）A ．271515OD a b =-+B ．271515OD a b =-C ．271515OD a b =--D ．271515OD a b =+12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 、N 、P 在ABC 所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点O 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．314．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心15．（2021·全国·高一课时练习）若23AB BC =-，则下列各式中不正确的是（）．A ．32CB AB =B ．2BA AC=C ．13CA BC=-D ．12AC AB =16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC等于（）A ．13B ．12C ．3D ．217．（2021·全国·高一课时练习）设向量1OA e =，2OB e =，若1e 与2e 不共线，且点P 在线段AB 上，:2AP PB =，则OP =（）A ．121233e e -B ．122133e e +C ．121233e e +D ．122133e e -18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（）A ．若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使λa b =．B ．3b a =(a 为非零向量)，则,a b 共线C ．若334,22m a b n a b =+=+，则//m nu r r D ．若0a b c ++=，则a b c+=-19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC 中，AN ＝23NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝t AB ＋13AC ，则实数t 的值为（）．A ．16B ．13C ．23D ．5620．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接EF 交AC 于点M ，且满足4BE EA =，3AF FD =，23AM AB AC λμ=-，则1952λμ-=（）A ．-3B ．1C ．32-D ．1221．（2021·河南郑州·高一期末）已知ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，则AD →可表示为（）A ．2AD AB AC →→→=-+B ．1233AD AB AC →→→=+C ．2AD AB AC→→→=-D ．2133AD AB AC →→→=+22．（2021·江西宜春·高一期末）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为()A ．19B ．13C ．1D ．3【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一专题练习）已知点,O N 在△ABC 所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，则点,O N 依次是△ABC 的（）A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心24．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边ABC 中，点E 在中线CD 上，且6CE ED =，则AE =（）A ．1377AC AB +B ．13377AC AB -C ．3177AC AB +D ．31377AC AB -25．（2021·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（）①()7642a a -⨯=-；②()2223a b a b a -++=；③()0a b a b +-+=.A ．0B ．1C ．2D ．326．（2021·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在ABC 中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若3177AF AB AC =+，则 ACAD的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．527．（2021·全国·高一课时练习）设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||a ba b =成立的条件是（）A ．a b =-B ．//a b r rC ．2a b=D ．//a b r r且=a b28．（2020·全国·高一）点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心二、多选题29．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知43AB AD AC -=，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．||||AC DB =D ．||3||BC DB =30．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若230OA OB OC ++=，AOCS，ABCS分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△C ．两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若向量a b ≠，则a 与b 一定不是共线向量31．（2021·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量a →，下列说法正确的是（）A ．2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同B ．3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反C ．若0λ=，则a λ→等于零D ．若1aλ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量32．（2021·湖南·高一期末）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．333．（2021·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论中正确的是（）A ．//AD BCuuu r uu u r B ．22OA OD ⋅=-C ．0=OB OD D ．22AF =-三、填空题34．（2021·全国·高一课时练习）已知D ，E ，F 分别为ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，BC a =，CA b =．给出下列五个命题：①AB a b =+uu u r r r ；②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④1122AF a b =--；⑤0AD BE CF ++=．其中正确的命题是________．（填序号）35．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，12DE EC BF FC ==，，若AC =λA E +μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ+μ=_______.36．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DC =，设AB a =，BC b =，那么AD 等于________（结果用a 、b 表示）37．（2021·全国·高一课时练习）设平面内四边形ABCD 及任一点O ，,OA a OB b ==uu r r uu u r r ．,OC c OD d ==．若a c b d+=+r r r u r且||||a b a d -=-．则四边形ABCD 的形状是_________．四、解答题38．（2021·全国·高一课时练习）在四边形ABCD 中，已知2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，试判断四边形ABCD 的形状．39．（2021·全国·高一课时练习）计算：（1）()()35326a b a b --+；（2）()()4352368a b c a b c -+---+．40．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，求12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知向量,a b →→，且52x y a →→→+=，3x y b →→→-=，求x →，y →.41．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用a ，b 表示AD ，A E ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．42．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG BDDG CD==，过点G 作直线与AB ，AC 分别交于点E ，F .（1）用向量AB ，AC 表示AD .（2）试问2AB AC AE AF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案详解】1．D 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】由题意，向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），由向量的运算律可得，()m a b ma mb -=-，故选项A 正确；由向量的运算律可得，()m n a ma na -=-，故选项B 正确；若0ma =，因为0m ≠，则0a =，故选项C 正确；当0a =时，ma na =，此时m 和n 不一定相等，故选项D 错误．故选：D ．2．A 【分析】根据已知条件结合a b c =+，利用向量的线性运算即可求解.【详解】()()()32232a b b c a b+-+-+366222a b b c a b=+----()2222a b c b c b c b c a =--=+--=-+=-，故选：A.3．B 【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：()m a b ma mb -=-，故①正确；对于②：根据数乘向量的法则可得：()m n a ma na -=-，故②正确；对于③：由ma mb =可得()0m a b -=，当m ＝0时也成立，所以不能推出a b =，故③错误；对于④：由ma na =可得()0m n a -=，当0a =，命题也成立，所以不能推出m ＝n .故④错误；故选：B4．A 【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，()0CB OB OA OC OA ⋅-+-=,()()220AB AC AB AC AB AC -⋅+=-=，所以AB AC c b =⇒=，所以三角形ABC 是等腰三角形.故选：A 5．C 【分析】由向量的加法运算得到MN MA AB BN =++，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】12MN MA AB BN EA AB =++=++12BD()()1122EA AB AB BD =+++12EB =+111222AD a b =+,故选：C 6．A 【分析】由已知得到11,.33AP AB BQ BC ==利用PB AB AP =-，得到23PB AB =，利用PQ PB BQ =+及BC AC AB =-和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得11,.33AP AB BQ BC ==1233PB AB AP AB AB AB =-=-=，()2121111133333333PQ PB BQ AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.7．B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，所以G 是三角形ABC 的重心.所以23BG BE =，A 选项正确.12DG AG =-，B 选项错误.121332DA FC DG GC DC BC +=+==，C 选项正确.2CG FG =-，D 选项正确.故选：B8．C【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出λμ，的值，进而求出结果.【详解】因为D 为线段BC 上一点，2CD DB =，所以2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，且E 为AD 的中点，所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又因为AE AB AC λμ=+，因此1136λμ==，，所以12λμ+=，故选：C.9．B【分析】根据向量的加法运算可得EM EC CM =+和减法运算可得CB AB AC =-，结合条件,可得答案.【详解】由2EC AE =，则23EC AC =则()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B10．B【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：O 为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系【详解】如图所示，由0OA OB OC ++=得：O 为三角形ABC 的重心，是中线的交点，且23AO AD =，所以，1:3OBC ABC h h =，底边为BC ，所以，1::3OBC ABC OBC ABC h SS h ==故选：B11．A【分析】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-，化简即可.【详解】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-,故()141735315OD OB BD BA BC BC BA BC =+=-++=-+()17272731515151515AB AC AB AB AC a b =+-=-+=-+，故选：A.12．C【分析】由||||||OA OB OC ==知O 是ABC 的外心；利用共起点向量加法将0NA NB NC ++=变形为共线的两向量关系，得到N 点在中线上的位置，从而判断为重心；由PA PB PB PC ⋅=⋅移项利用向量减法变形为0PB CA ⋅=，得出PB 为CA 边上的高，同理得PC 为AB 边上的高，故为垂心.【详解】||||||OA OB OC ==，则点O 到ABC 的三个顶点距离相等，∴O 是ABC 的外心.0NA NB NC ++=，NA NB NC ∴+=-，设线段AB 的中点为M ，则2NM NC =-，由此可知N 为AB 边上中线的三等分点(靠近中点M )，所以N 是ABC 的重心.PA PB PB PC ⋅=⋅，()0PB PA PC PB CA ∴⋅-=⋅=.即PB CA ⊥，同理由PB PC PC PA ⋅=⋅，可得PC AB ⊥.所以P 是ABC 的垂心.故选：C.【点睛】关于ABC 四心的向量关系式：O 是ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==；O 是ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅；O 是ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(其中a b c 、、为ABC 的三边)13．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C14．C【分析】取BC 的中点D ，由已知条件可知动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，易得2AP AD λ→→=，则点,,A D P 三点共线，进而得到点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.【详解】解：设D 为BC 的中点，则=+()2OP OA AB AC OA AD λλ→→→→→→+=+，则2OP OA AD λ→→→-=，即2AP AD λ→→=，,,A D P ∴三点共线，又因为D 为BC 的中点，所以AD 是边BC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：C.15．D【分析】根据向量的数乘的定义判断．【详解】如图，由23AB BC =-知C 在BA 延长线上，且12AC AB =，因此由向量数乘定义知ABC 三个选项均正确，D 错误．故选：D ．16．C【分析】由已知可得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，从而可得答案.【详解】解：由430OA OB OC -+=，得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，所以3AB BC =，即3AB BC =，故选：C.17．C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到,,OP OA OB 的线性关系，即可知正确选项.【详解】由2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==-，∴121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+.故选：C18．A【分析】选项A ：要注意0b =时不成立；选项B ：由3b a =得到,a b 方向相同，从而得到,a b 共线；选项C ：由条件得到2m n =，从而//m n u r r ；选项D ：通过移项可知选项D 显然正确.【详解】选项A ：当0b =时，满足,a b 共线，但不满足存在唯一的实数λ，使λa b =成立，此时不存在实数λ，使λa b =成立，所以选项A 错误；选项B ：若3b a =，则,a b 方向相同，所以,a b 共线，所以选项B 正确；选项C ：因为3342222m a b a b n ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以//m n u r r ，所以选项C 正确；选项D ：若0a b c ++=，则a b c +=-，选项D 正确.故选：A ．19．A【分析】由向量的线性运算可得56AP t AB AN =+，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为AN 23NC =，所以25AN AC =，所以AP =t AB 11553326AC t AB AN t AB AN +=+⨯=+，又P 是BN 上一点，所以516t +=，解得16t =.故选：A.20．D【分析】因为E ，F ，M 三点共线，故可考虑将AM 用,AE AF 表示，再结合三点共线满足的性质计算即可【详解】因为AC AB AD =+，所以2323()(23)3AM AB AC AB AB AD AB AD λμλμλμμ=-=-+=--.因为4BE EA =，3AF FD =，故45,3AB AE AD AF ==,所以5(23)4AM AE AF λμμ=--.因为E ，F ，M 三点共线，所以4(2)531λμμ--=，10191λμ-=，所以191522λμ-=.故选：D21．A【分析】由已知得出向量BC 与向量BD 的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．【详解】因为ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，所以2BD CD →→=，则12BC BD DC BD →→→→=+=，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→=+=+=+-=-+，故选：A22．A【分析】利用向量的线性运算将条件2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化为89AP mAB AN =+，再根据B 、P 、N 三点共线，得出819m +=，解得19m =.【详解】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =.故选：A ．23．C【分析】由外心O 到三角形顶点距离相等、重心N 的性质：2NB NC ND +=且2AN ND =，结合题设即可判断,O N 是△ABC 的哪种心.【详解】∵||||||OA OB OC ==，∴O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，故O 是△ABC 的外心，如下图，若N 是△ABC 三条中线的交点，AD 是BC 上的中线，∴2NB NC ND +=，又2AN ND =，∴0NA NB NC ++=，故题设中的N 是△ABC 的重心.故选：C24．A【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】因为66()77AE AC CE AC CD AC AD AC =+=+=+-，12AD AB =，所以1377AE AC AB =+.故选：A25．C【分析】由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.【详解】对于①，()7642a a -⨯=-，①正确；对于②，()2223a b a b a -++=，②正确；对于③，()0a b a b +-+=，③错误.故选：C.26．C【分析】设AC AD λ=，可得3177AF AB AD λ=+，由B ，F ，D 三点在同一条直线上，可求得λ的值，即可得解．【详解】设AC AD λ=，因为3177AF AB AC =+，所以3177AF AB AD λ=+，因为B ，F ，D 三点在同一条直线上，所以31177λ+=，所以4λ=，所以4AC AD=．故选：C27．C【分析】根据a a 、b b 的含义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】aa 、b b 分别表示与a 、b 同方向的单位向量，对于A ：当a b =-r r 时，a b a b=-，故A 错误；对于B ：当//a b r r 时，若,a b 反向平行，则单位向量方向也相反，故B 错误；对于C ：当2a b =时，22a bba b b ==，故C 正确；对于D ：当//a b r r 且=a b 时，若a b =-r r 满足题意，此时a b a b=-，故D 错误.故选：C28．B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．29．BD【分析】由43AB AD AC -=可得3DB BC =，从而可对ABD 进行判断，再对43AB AD AC -=变形化简可对C 进行判断【详解】因为43AB AD AC -=，所以33AB AD AC AB -=-，所以3DB BC =，因为,DB BC 有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且||3||BC DB =，所以BD 正确，A 错误，由43AB AD AC -=，得333AC AB AD AB DB AB =-+=+，所以||||AC DB ≠，所以C 错误，故选：BD30．AD【分析】A 向量平行传递性的前提是都为非零向量；B 若,D E 分别是,AC BC 的中点，结合已知得2OE OD =-，再过,,E O B 作AC 上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C 由向量反向共线的性质即可判断；D 根据共线向量的定义即可判断.【详解】A ：如果,a c 都是非零向量，而0b =，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B ：若,D E 分别是,AC BC 的中点，由题设有()()20OA OC OB OC +++=，即420OD OE +=，2OE OD =-，所以,,O D E 三点共线且2OE OD =，过,,E O B 作AC 上的高123,,h h h ，易知211311,32h h h h ==，则2316h h =，所以:1:6AOC ABC S S =△△，正确；C ：两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，正确；D ：若向量a b ≠，则a 与b 可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD31．ABD【分析】对于选项ABD 可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C ，a λ等于零向量，不是零，故C 错误.【详解】解：对于A ：2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同，故A 正确；对于B ：3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反，故B 正确；对于C ：若0λ=，则a λ→等于零向量，不是零，故C 错误；对于D ：若1a λ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量，故D 正确.故选：ABD32．BD【分析】设AC t AN =，利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于λ，t 的方程，再由三角形面积比得关于λ，t 的另一方程，联立即可求得实数λ的值．【详解】解：如图，()AM MB AB AM λλ==-，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD33．ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为4π.结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH 中，//AD BC ，那么//AD BC uuu r uu u r ，故A 对； B.32cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=-，故B 对；C.OB 与OD uuu r 夹角为2π，故0=OB OD ，故C 对； D.222()222AF OF OA OF OA OF OA OF OA =-=-=+-⋅=+，故D 错；故选：ABC34．②③④⑤【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为BC a =，CA b =，所以()AB AC CB CA BC a b =+=-+-=--uu u r uuu r uu r uu r uu u r r r ，1122BE BC CE BC CA a b =+=+=+，()11112222CF CA AF CA AB b a b a b =+=+=+--=-+，()11112222AF AB a b a b ==--=--，()()()111222AD BE CF AB AC BA BC CA CB ++=+++++()()11022AB AC BA BC CA CB AB AC AB BC AC BC =+++++=+-+--=，即0AD BE CF ++=，即正确的有：②③④⑤故答案为：②③④⑤35．75【分析】利用向量的加减法及数乘化简可得AC =32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+计算即可.【详解】由平面向量的加法运算，有AC AB AD =+.因为AC =λA E +μAF =λ(AD DE +)+μ(AB BF +)=λ13AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+μ12AB AD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以32AB AD AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312λμμλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，故答案为：75或1.236．23a b +【分析】根据AD AB BD =+以及23BD BC =进行线性运算，由此可求得AD 的表示.【详解】因为23AD AB A D BC B B ==++，所以23AD a b =+，故答案为：23a b +.37．菱形【分析】由a c b d +=+r r r u r 易得BA CD =，即ABCD 为平行四边形，再由||||a b a d -=-即可判断ABCD 的形状.【详解】由a c b d +=+r r r u r 得a b d c -=-r r u r r ，即OA OB OD OC -=-，∴BA CD =，于是AB 平行且等于CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又||||a b a d -=-，从而||||OA OB OA OD -=-，∴||||BA DA =，即四边形ABCD 为菱形．故答案为：菱形38．四边形ABCD 是梯形【分析】根据共面向量基本定理可知，2(4)2AD AB BC CD a b BC =++=--=，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，2453822(4)AD AB BC CD a b a b a b a b a b =++=+----=--=--，所以2AD BC =，即//AD BC ，且2AD BC =.所以四边形ABCD 是梯形.39．（1）311a b-（2）104a c+【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并（1）原式=()()35326=159122=311a b a b a b a b a b --+----（2）原式=()()4352368=4122061216=104a b c a b c a b c a b c a c-+---+-+++-+40．（1）-53i →-5j →；（2）311a →-511b→.【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1113⎛⎫-- ⎪⎝⎭a →+2123⎛⎫-++ ⎪⎝⎭b →=-53a →+53b →.∵32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，∴原式=-53(3i →+2j →)+53(2i →-j →)=1053⎛⎫-+ ⎪⎝⎭i →+10533⎛⎫-- ⎪⎝⎭j →=-53i →-5j →.(2)将3x →-y →=b →两边同乘2，得6x →-2y →=2b →.与5x →+2y →=a →相加，得11x →=a →+2b →，∴x →=111a →+211b→.∴y →=3x →-b →=3121111a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-b →=311a →-511b →..41．（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量共线定理可得求证.【详解】（1）如图，延长AD 到点G ，使2AG AD =，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AB AC A a G b =+=+，因为D 是BC 的中点，所以()1122AD AG a b ==+，()2133AE AD a b ==+，因为F 是AC 的中点，所以1122==AF AC b ，()()11323a b a b B a E AE AB =-=+-=-，()11222BF AF AB b a b a =-=-=-；（2）由（1）知，()123BE b a =-，()122b a BF =-，所以23BE BF =，所以BE ，BF 共线，又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．42．（1）1233AD AB AC =+；（2）是定值，定值为92.【分析】（1）结合图形利用向量的加法运算求解；（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，然后根据题意将AG 用,AB AC 表示出来，从而可用,AE AF 表示，再由,,E F G 三点共线可得结论【详解】解：（1）A AB BDD =+23AB BC =+()23AB BA AC =++1233AB AC =+.（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，因为2AG BD DG CD==所以23AG AD =uuu r uuu r 212333AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2499AB AC =+2499AE AF λμ=+，所以24199λμ+=，即922λμ+=，故292AB AC AE AF +=为定值.。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-若(2).a b b -⊥则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+++的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．84．已知向量(1,1)a =-，(1,)b m =，若(2)4a b a -⋅=，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．设向量(12)a =-，,(1)b m =，，若向量a 与b 平行，则a b ⋅= A ．27-B ．21-C ．23D ．256．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．2133AC AB + 8．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 （ ）．A ．6B ．12C ．24D ．489．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→→=+=+若()()m n m n →→→→+⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,6-D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,313．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为A ．1B ．2C ．3D ．314．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（ ） A 、4- B 、4 C 、0 D 、915．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-16．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A 、1b =B 、a b ⊥C 、1a b ⋅=D 、()4C a b +⊥B 17．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ） A 、232a -B 、234a -C 、234aD 、232a 18．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A ．1313-B ．1313C ．21313-D ．2131319．已知向量a =（1，3），b =（-2，-6），|c |=，若（a +b ）·c =5，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 20．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为A ．-1B ．7C ．13D ．1121．如图，平行四边形ABCD 中，)2,3(),0,2(-==AD AB ，则=⋅AC BD （ ）A ．6-B ．4C ．9D ．13 22．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)--的取值范围为 （A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（ ） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2) 25．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=A ． （5,7）B ． （5,9）C ． （3,7）D ． （3,9） 26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ） A ．－1 B ．2或－1 C ．2 D ．－227．在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133c b - D ．2233b c + 28．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(3,6)- B ．(2,0) C ．(6,2) D ．(2,0)- 29．在矩形ABCD 中，4,2,AB AD ==则BA BD BC ++=（ ） A ．12 B．6 C ．．30．已知向量(1,2)a = ,(3,1)b = ,则b a -=（ ）． A ．(2,1)- B ．(2,1)- C ．(2,0) D ．(4,3)31．若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （ ） A ．21B ．1C ．2D ．2± 32．设,,a b c 是单位向量，且0,a b ⋅=则()()a c b c -⋅-的最小值是（） A ．1B1 C ．1133．如图所示，D 是ABC 的边AB 上的中点，记,BC a BA c ==，，则向量DC （ ）ACBA ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c - D ．12a c + 34．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于 （ ）A ．0B ．4C ．8D ．4- 35．已知平面向量b a 与的夹角为3π，1,223,b a b a =+==且则（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．336．已知向量()()3,4,sin ,cos ,a b αα==且a 与b 共线，则tan α=（ ）A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 二、填空题37．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝_____________. 38．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-39．空间四边形OABC 中，OB OC =，60AOB AOC ∠=∠=︒，则cos ,OA BC <>=（ ） A ．21 B ．22 C ．12- D ．040．已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是 ． 41．化简：= ．42．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则ABC ∆的面积为 ．43．已知向量=（1，2），•=10，|+|=5，则||= ．44．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．EDCB45．若|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为________。
高一数学向量题50道
高一数学向量题50道每题2分，满分：100分，考试时间：60分钟1.计算a=(3,4)a=(3,4)和b=(1,2)b=(1,2)的和a+b a+b。
2.计算u=(−1,3)u=(−1,3)和v=(2,−5)v=(2,−5)的差u−v u−v。
3.计算向量a=(2,1)a=(2,1)的模∣a∣∣a∣。
4.计算向量b=(3,4)b=(3,4)的单位向量。
5.求u=(1,2)u=(1,2)和v=(3,4)v=(3,4)的点积u⋅v u⋅v。
6.求向量a=(4,0)a=(4,0)和b=(0,3)b=(0,3)的叉积a×b a×b。
7.判断向量m=(2,3)m=(2,3)和n=(4,6)n=(4,6)是否共线。
8.求向量a=(2,−1)a=(2,−1)和b=(3,4)b=(3,4)的夹角余弦。
9.求向量c=(−1,2)c=(−1,2)和d=(5,6)d=(5,6)的模。
10.计算向量a=(3,−1)a=(3,−1)乘以标量k=2k=2的结果。
11.计算向量b=(4,−3)b=(4,−3)乘以标量k=−1k=−1的结果。
12.判断向量p=(2,2)p=(2,2)和q=(−1,−1)q=(−1,−1)之间的夹角。
13.求在平面直角坐标系中，点A(2,3)A(2,3)和点B(5,7)B(5,7)的位置向量AB AB。
14.求向量u=(1,−4)u=(1,−4)和v=(4,3)v=(4,3)的和。
15.计算向量a=(2,3)a=(2,3)和b=(3,4)b=(3,4)的内积。
16.证明向量m∥n m∥n当且仅当存在非零数k k使得m=kn m=kn。
17.求向量a=(1,2,3)a=(1,2,3)和b=(4,5,6)b=(4,5,6)的叉积。
18.求通过两点A(1,2)A(1,2)和B(4,6)B(4,6)的直线方程。
19.确认向量c=(2,4)c=(2,4)，d=(3,6)d=(3,6)是否线性相关。
人教版高中数学必修四平面向量单元测试题(三套)
人教版高中数学必修四平面向量单元测试题(三套)（数学4必修）第二章 平面向量[基础训练A 组]一、选择题1．化简AC -BD +CD -AB 得（ ）A ．AB B ．DAC ．BCD ．02．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题 1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB =_________ 2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-b =1，且5a b ⋅=，则向量b =____。
3．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。
5．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。
高中数学向量的基础题目
高中数学向量的基础题目题目一：向量的加法和减法1. 已知向量A = (2, 3) 和向量A = (-1, 4)，求向量A =A + A的结果。
2. 已知向量A = (5, -2) 和向量A = (3, 1)，求向量A =A - A的结果。
题目二：向量的数量积1. 已知向量A = (3, 4) 和向量A = (2, -1)，求向量A和向量A的数量积。
2. 已知向量A = (1, 2) 和向量A = (4, 3)，求向量A和向量A的数量积。
题目三：向量的模长和单位向量1. 已知向量A = (4, -3)，求向量A的模长。
2. 已知向量A = (-2, 5)，求向量A的单位向量。
题目四：向量的夹角和垂直判断1. 已知向量A = (2, 3) 和向量A = (-1, 4)，求向量A和向量A的夹角。
2. 已知向量A = (1, 2) 和向量A = (4, 3)，判断向量A和向量A是否垂直。
题目五：向量的投影1. 已知向量A = (3, 4) 和向量A = (1, -1)，求向量A在向量A上的投影。
2. 已知向量A = (2, 5) 和向量A = (3, 1)，求向量A在向量A上的投影。
题目六：平面向量的共线性和线性组合1. 已知向量A = (2, 3) 和向量A = (4, 6)，判断向量A和向量A是否共线。
2. 已知向量A = (1, 2) 和向量A = (3, 1)，求实数A和A，使得向量A = AA + AA。
题目七：平面向量的平行四边形法则1. 已知向量A = (2, 3) 和向量A = (4, 1)，求向量A = A+ A的结果。
2. 已知向量A = (5, -2) 和向量A = (1, 3)，求向量A =A + A的结果。
题目八：平面向量的三角形法则1. 已知向量A = (2, 3)、向量A = (4, 1) 和向量A = (1,2)，求向量A = A + A + A的结果。
2. 已知向量A = (5, -2)、向量A = (1, 3) 和向量A = (2, 4)，求向量A = A + A + A的结果。
人教版高二数学空间向量与立体几何练习(含答案)
人教版高二数学空间向量与立体几何练习（含答案）1.空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A -，(3,2,5)B -，则线段AB 的中点坐标为( ) A.(1,2,4)--B.(2,0,1)-C.(2,0,2)-D.(2,0,1)-2.若向量(1,,0)λ=a ，(2,1,2)=-b ，且a 与b 的夹角的余弦值为23，则实数λ等于( ). A.0B.43-C.0或43-D.0或433.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 的中心为1O ，则11AO AC ⋅的值为( ).A.-1B.0C.1D.24.已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 的一个法向量的是( ) A.(1,1,1)- B.(1,1,1)- C.333,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D.333,,333⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭5.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 为等边三角形，PAC 为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为( )A.142 3 D.126.如图，点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面,ABCD Q 为线段AP 的中点，3,4,2AB BC PA ===，则点P 到平面BQD 的距离为( )A.513B.1213C.135D.13127.（多选）已知向量(1,1,)m =-a ，(2,1,2)m =--b ，则下列结论中正确的是( ) A.若||2=a ，则2m = B.若⊥a b ，则1m =- C.不存在实数λ，使得=a b D.若1⋅=-a b ，则(1,2,2)+=---a b8.（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是( ) A.点A 到直线BE 5 B.点O 到平面11ABC D 2 C.平面1A BD 与平面11B CD 3 D.点P 到直线AB 的距离为25369.已知(1,52) AB =-，，(3,1,)BC z =，若AB BC ⊥，(1,,3)BP x y =--，且BP ⊥平面ABC ，则x y +=___________.10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB =，点M 为PA 的中点，BD BN λ=.若MN AD ⊥，则实数λ=__________.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是111,A D CD 的中点，则直线MN 与平面ABCD 所成的角的余弦值为__________.12.如图，ABC △和BCD △都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.DE ⊥平面BCD ，且6AE =.(1)设P 是DE 的中点，求证://AP 平面BCD . (2)求二面角B AE C --的正弦值.答案以及解析1.答案：D解析：设中点坐标为(,,)x y z ，根据中点坐标公式得1322x +==，2202y -+==，3512z -==-.故选D. 2.答案：C解析：由题意得2202cos ,||31414λλ⋅-+〈〉===+⋅++a b a b a b ，解得0λ=或43λ=-.故选C. 3.答案：D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，111,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭，1(0,1,1)C ，111,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(1,1,1)AC =-，121111,,1(1,1,1)122222AO AC ⎛⎫∴⋅=-⋅-=++= ⎪⎝⎭.故选D.4.答案：C解析：易得(1,1,0)AB =-，(1,0,1)AC =-， 设(,,)x y z =n 为平面ABC 的一个法向量，则0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩x y z ∴==，故选C.5.答案：B解析：取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC = ，OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC 是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC 为等边三角形，(22,0,0)A ∴，(2,0,0)C -，2)P ，(2,6,0)D ， (42,0,0)AC ∴=-，(2,6,2)PD =-，2cos ,424||||AC PD AC PD AC PD ⋅∴〈〉===⨯∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24. 故选B. 6.答案：B解析：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,0,1)B D P Q ，(3,0,1),(3,4,0),(0,0,1)QB BD QP =-=-=.设平面BQD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BD QB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即340,30.x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令4x =，则12,3,(4,3,12)z y ==∴=n .∴点P到平面BQD 的距离||12||13QP d ⋅==n n . 7.答案：AC解析：由||2=a 2221(1)2m +-+， 解得2m =±，故A 选项正确；由⊥a b得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误； 若存在实数λ，使得λ=a b ，则12λ=-，1(1)m λ-=-，2m λ=，显然λ无解，即不存在实数λ使得λ=a b ，故C 选项正确； 若1⋅=-a b ，则2121m m --++=-，解得0m =， 于是(1,2,2)+=--a b ，故D 选项错误. 8.答案：BC解析：如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，1,0,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(1,0,0)BA =-，1,0,12BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，225sin 1cos θθ-. 故A 到直线BE 的距离12525||sin 1d BA θ===A 错. 易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211222DA C O d DA ⋅===，故B 对. 1(1,0,1)A B =-，1(0,1,1)A D =-，11(0,1,0)A D =.设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1y =，1x =， 所以(1,1,1)=n .所以点1D 到平面1A BD 的距离1133||3A D d ⋅=n n . 因为易证得平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 3，故C 对.因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离2218195||144166||AP AB d AP AB ⋅=-=-=，故D 错. 9.答案：257解析：已知AB BC ⊥，由题意，可得BP AB ⊥，BP BC ⊥.利用向量数量积的运算公式，可得352015603(1)30z x y x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩，，，解得4071574,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，401525777x y ∴+=-=. 10.答案：4解析：连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2PA AB ==，则(2,0,0)A ，(0,2,0)D -，22M ⎝⎭，2,0)B ，(0,2,0)BD ∴=-，(2,2,0)AD =-，设(0,,0)N b ，则(0,2,0)BN b =-.BD BN λ=，22(2)b λ∴-=，222b λ-∴=222N λ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭，22222,,22MN λλ⎛⎫-∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭， MN AD ⊥，2410MN AD λλ-∴⋅=-=，解得4λ=.11.答案：63解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),,(0,1,1)D D M N ，所以(1,1,1)MN =--，平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,2)DD =，所以1113cos ,3||MN DD MN DD MN DD ⋅〈==-MN 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin θ，所以6cos θ=. 12.答案：(1)见解析 26解析：(1)证明：取BC 的中点O ，连接,,AO DO AD .ABC ∴△是正三角形， OA BC ∴⊥.∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，OA ∴⊥平面BCD . OD ⊂平面BCD ， AO OD ∴⊥.在Rt AOD △中，2sin 603AO DO ===336∴=+=.AD又6AE=，∴△为等腰三角形.ADE∴⊥.P是DE的中点，AP DEDE⊥平面BCD，∴∴⊥∴.AO DE AP AO AP OD////,,BCD AP⊄平面BCD，OD⊂平面,∴平面BCD.//AP(2)由(1)知，,OA DP AP OD，////∴四边形APDO为平行四边形，∴==，PD OA3∴=.23DE以点O为坐标原点，以,,OD OC OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz-，则3),(0,1,0)C E，A B-，(0,1,0),(3,0,23)∴===-.BA AE AC(0,1,3),(3,0,3),(0,1,3)设平面ABE的法向量为(,,)m，x y z=则0,0,BA AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,0.y ⎧=⎪=令y =1,1x z ==-，1)∴=-m .设平面ACE 的法向量为(,,)a b c =n ， 则0,0,AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.b ==⎪⎩ 令1a =-，则1b c ==，(∴=-n.1cos ,||||5⋅∴===m n m n m n. sin ,∴=m n ∴二面角B AE C --.。
高中数学必修一向量经典习题
高中数学必修一向量经典习题1.选择题1.已知向量`a`和向量`b`的模分别为3和4，且它们的夹角为60度，则向量`a·b`的值为：A。
5B。
6C。
7D。
8答案选B。
62.已知两个非零向量`a`和`b`的夹角为90度，则向量`a·b`的值为：A。
0B。
1C。
2D。
-1答案选A。
03.设向量`a`和向量`b`的模分别为2和5，且它们的夹角为30度，则向量`a`与向量`b`的夹角的余弦值为：A。
cosπ/3B。
cosπ/6C。
cosπ/2D。
cos2π/3答案选B。
cosπ/62.计算题1.已知向量`a = (2.3)`，向量`b = (4.1)`，计算向量`a + b`的结果。
答案：向量`a + b`的结果是`(6.4)`。
2.已知向量`a = (3.1)`，向量`b = (-2.5)`，计算向量`a - b`的结果。
答案：向量`a - b`的结果是`(5.-4)`。
3.已知向量`a = (1.2)`，计算向量`3a`的结果。
答案：向量`3a`的结果是`(3.6)`。
3.应用题1.一辆汽车以60km/h的速度行驶了2小时，求汽车行驶的位移向量。
答案：汽车行驶的位移向量是`(120.0)`。
2.已知一个力的大小为10N，方向为东北方，求该力的向量表示。
答案：该力的向量表示为`(5√2.5√2)`。
3.一个力的向量表示为`(6.-8)`，求该力的大小和方向。
答案：该力的大小为`10`，方向向下。
以上是高中数学必修一中关于向量的经典习题，希望能对你的学习有所帮助。
高中数学必修二(人教版)《平面向量加减法答案》习题
1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ∥bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B 当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向是任意的，a ∥b 未必成立，所以A 错误；因为零向量的长度是0，所以B 正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C 错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D 错误．故选B.2.(多选)如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断正确的是( )A ．AB ―→＝OC ―→ B ．AB ―→∥DE ―→ C ．|AD ―→|＝|BE ―→| D ． AD ―→＝FC ―→解析：选ABC 由题图可知，|AD ―→|＝|FC ―→|，但AD ―→，FC ―→的方向不同，故AD ―→≠FC ―→，D 不正确，其余均正确，故选A 、B 、C. 3．(多选)下列四个条件能使a ∥b 成立的条件是( ) A ．a ＝bB ．|a |＝|b |C ．a 与b 方向相反D ．|a |＝0或|b |＝0解析：选ACD 因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即A 能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即B 不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即C 能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是A 、C 、D.4．(多选)对于任意一个四边形ABCD ，下列式子能化简为BC ―→的是( )A ．BA ―→＋AD ―→＋DC ―→B ．BD ―→＋DA ―→＋AC ―→ C ．AB ―→＋BD ―→＋DC ―→D ．DC ―→＋BA ―→＋AD ―→解析：选ABD 在A 中，BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→；在B 中，BD ―→＋DA ―→＋AC ―→＝BA ―→＋AC ―→＝BC ―→；在C 中，AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AC ―→；在D 中，DC―→＋BA ―→＋AD ―→＝DC ―→＋BD ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→.5.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝( )A ．CD ―→B ．DC ―→C ．DA ―→D ．DO ―→解析：选B OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝DO ―→＋OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DB ―→＋BC ―→＝DC ―→.6．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ―→＋AB ―→＝________，AD ―→＋DC ―→＝________，AC ―→＋BA ―→＝________.解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解． 答案：AC ―→ AC ―→ BC ―→ (或AD ―→)7．在矩形ABCD 中，|AB ―→|＝4，|BC ―→|＝2，则向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为________．解析：因为AB ―→＋AD ―→＝AC ―→，所以AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为AC ―→的模的2倍．又|AC ―→|＝42＋22＝25，所以向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为4 5. 答案：458.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形． (1)找出与向量AB ―→共线的向量； (2)找出与向量AB ―→相等的向量．解：(1)依据图形可知，DC ―→，ED ―→，与AB ―→方向相同，BA ―→ CD ―→，DE ―→，CE ―→与AB ―→方向相反，所以与向量AB ―→共线的向量为BA ―→，DC ―→，CD ―→，ED ―→，DE ―→，CE ―→.(2)由四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形，知DC ―→，ED ―→与AB ―→长度相等且方向相同，所以与向量AB ―→相等的向量为DC ―→和ED ―→.9．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值是________．解析：由向量的三角形不等式，知|a ＋b |≥|b |－|a |，当且仅当a 与b 反向，且|b |≥|a |时，等号成立，故|a ＋b |的最小值为4. 答案：410．如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝________.解析：BE ―→－CD ―→＋ED ―→＝BE ―→＋ED ―→＋CD ―→＝BD ―→＋CD ―→.因为BD ―→＋CD ―→ ＝0，所以BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝0. 答案：011.(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 ( )A ．AB ―→＝DC ―→ B ．AD ―→＋AB ―→＝AC ―→ C ．AB ―→－AD ―→＝BD ―→ D ．AD ―→＋CB ―→＝0解析：选ABD 结合图形可知，A 、B 、D 显然正确．由于AB ―→－AD ―→＝DB ―→，故C 项错．12．已知向量a 与b 反向，则下列等式成立的是( )A ．|a |＋|b |＝|a －b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a ＋b |＝|a －b |D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |解析：选A 如图，作AB ―→＝a ，BC ―→＝－b ，易知选A.13.如图，在四边形ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则DC ―→＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A DC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝AB ―→－AD ―→＋BC ―→＝a －b ＋c . 14．(多选)下列结果为零向量的是( )A ．AB ―→－(BC ―→＋CA ―→) B ．AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→ C ．OA ―→－OD ―→＋AD ―→D ．NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→解析：选BCD A 项，AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)＝AB ―→－BA ―→＝2AB ―→；B 项，AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0；C 项，OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0；D 项， NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0.故选B 、C 、D.15．已知O 是平面上一点，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 易知OB ―→－OA ―→＝AB ―→，OC ―→－OD ―→＝DC ―→，而在平行四边形ABCD 中有AB ―→＝DC ―→，所以OB ―→－OA ―→＝OC ―→－OD ―→，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0.故选B. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－ BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→. 答案：CA ―→17．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1.∵a 与b 共线，∴|a －b |＝2. 答案：0 2。
人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算 同步练习(含答案)
∴ 与 惨共线,又 与 惨有公共点, ∴A,B,D 三点共线.
(2)∵ka+b 与 2a+kb 共线,∴ka+b=λ(2a+kb)(λ∈R),
∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,∴
-2 1−
= 0, 解得 = 0,
k=±
2.
15.A [解析] 易知 = 惨+ ,因为点 P 在线段 AC 上,所以 与 同向,且 0<| |<| |, 故 =λ( 惨+ ),λ∈(0,1). 16.解:(1) = .理由如下: ∵D 为 BC 的中点,∴ 惨+ =2 , ∴由 2 + 惨+ =0,得 2 +2 =0,∴ = . (2)由题意得 +2 惨+3 =( + )+2( 惨+ )=2 +4 =0, ∴ =2 ,∴DE=3DO, 又 AB=2DE,∴AB=6DO,∴S△ABC=6S△BOC=12,即△ABC 的面积为 12.
-3 惨+2
=0,则| 惨|=
|惨 |
.
12.在四边形 ABCD 中,若 惨=3e, =-5e,且| |=|惨 |,则四边形 ABCD 的形状为
. .
.
三、解答题(本大题共 2 小题,共 20 分)
13.(10 分)化简: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c); (2)1 1(2a+8b)-(4a-2b) .
C.-1 惨+1
2
2
D.12 惨-12
7.在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且
=2
3
+1
3
2023年人教版数学向量几何练习题及答案
2023年人教版数学向量几何练习题及答案在数学学科中，向量几何是一门重要的分支，它研究了向量的性质、运算以及在几何图形中的应用。
为了帮助学生更好地掌握向量几何的知识，人教版在2023年出版了一套全新的向量几何教材。
本文将为大家介绍2023年人教版数学向量几何的练习题及答案，帮助学生进行复习和巩固。
练习题一：已知向量a = (3, -2, 4)和向量b = (1, 5, -2)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积可以表示为a·b，其中a·b = a₁b₁ + a₂b₂+ a₃b₃。
根据已知数据，我们可以计算数量积如下：a·b = 3 * 1 + (-2) * 5 + 4 * (-2) = 3 - 10 - 8 = -15。
练习题二：设向量c = (5, -1, 3)，计算向量c的模长。
解答：向量c的模长可以表示为∥c∥，其中∥c∥ = √(c₁² + c₂² + c₃²)。
根据已知数据，我们可以计算模长如下：∥c∥ = √(5² + (-1)² + 3²) = √(25 + 1 + 9) = √35。
练习题三：已知向量d = (2, -3, 1)和向量e = (4, 2, -1)，求向量d与向量e的向量积。
解答：向量d与向量e的向量积可以表示为d×e，其中d×e = (d₂e₃ -d₃e₂, d₃e₁ - d₁e₃, d₁e₂ - d₂e₁)。
根据已知数据，我们可以计算向量积如下：d×e = (2 * (-1) - 1 * 2, 1 * 4 - 2 * (-1), 2 * 2 - (-3) * 4) = (-4, 6, 14)。
练习题四：已知向量f = (1, -2, 3)和向量g = (2, 1, -2)，求向量f与向量g的夹角。
解答：向量f与向量g的夹角可以表示为θ，其中cosθ = (f·g) / (∥f∥ *∥g∥)。
人教版高中数学必修第二册6.1.3相等向量与共线向量 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册6.1.3相等向量与共线向量同步练习(含答案)人教版高中数学必修第二册6.1.3相等向量与共线向量同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的2.如图L6-1-1,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则图中与平行的向量有()图L6-1-1A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的个数是()①温度含零上和零下温度,所以温度是向量;②向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;③若|a|>|b|,则a>b.A.0B.1C.2D.34.下列命题中为真命题的是()A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a|>|b|,则a>bC.若a=b,则a∥bD.若|a|=0,则a=05.若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD的形状一定是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形6.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则的值为()A. B.C.1D.27.已知O是∥ABC内一点,若||=||=||,则O一定是∥ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心8.如图L6-1-2所示,四边形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列结论不一定成立的是()图L6-1-2A.||=||B.与共线C.与共线D.与共线二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L6-1-3所示,四边形ABCD为正方形,∥BCE为等腰直角三角形.图L6-1-3(1)图中与共线的向量有;(2)图中与相等的向量有;(3)图中与相等的向量有.10.在四边形ABCD中,若∥且||≠||,则四边形ABCD的形状是.11.给出下列说法:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|≠|b|,则a≠b;③若a≠b,则a一定不与b共线;④共线向量是在一条直线上的向量.其中正确的是.(填序号)12.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L6-1-4,EF是∥ABC的中位线,AD是BC边上的中线,在以A,B,C,D,E,F为端点的有向线段表示的向量中,请分别写出:(1)与向量共线的向量;(2)与向量的模相等的向量;(3)与向量相等的向量.图L6-1-414.(10分)已知飞机从A地沿北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地,再从B地沿南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地,再从C地沿西南方向飞行1000 km到达D地.(1)作出向量,,,.(2)D地在A地的什么方向D地距A地多远15.(5分)把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积为.16.(15分)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针转变α度,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.(1)作示意图说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量.(2)按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件参考答案与解析1.B[解析] 单位向量的方向是任意的,所以当两个单位向量的起点相同时,其终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不一定相同,所以选项A不正确;向量与向量方向相反,长度相等,所以选项B正确;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以选项C不正确;规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以选项D不正确.故选B.2.C[解析] 与平行的向量有,,,共3个.3.B[解析] ①温度没有方向,所以不是向量,故①错误;③向量不可以比较大小,故③错误;②若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故由a与b不共线,得a与b均为非零向量,故②正确.4.C[解析] 若两向量相等,则两向量共线.5.A[解析] 由=知AB∥CD且AB=CD,故四边形ABCD为平行四边形.故选A.6.C[解析] 因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.7.C[解析] 由条件知点O到∥ABC的三个顶点的距离相等,所以O一定是∥ABC的外心.8.C[解析] ∥三个四边形是全等的菱形,∥||=||,AB∥CD∥FH,故与共线,又D,C,E三点共线,∥与共线,∥A,B,D中的结论一定成立.故选C.9.(1),,,,,,(2),(3)[解析] 结合图形及向量的有关概念来解答问题.10.梯形[解析] ∥∥且||≠||,∥AB∥DC,但AB≠DC,∥四边形ABCD是梯形.11.②[解析] ①错误,两个向量相等,它们的起点和终点不一定相同.②正确.③错误,a≠b时,a与b可能共线.④错误,共线向量所在的直线也可能平行.12.0[解析] 因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又m∥且m∥,所以m=0.13.解:(1)与向量共线的向量有,,,,,,.(2)与向量的模相等的向量有,,,,.(3)与向量相等的向量有,.14.解:(1)向量,,,如图所示.(2)由图知,D地在A地的东南方向,D地距A地1000 km.15.3π[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.16.解:(1)如图所示,操作8次后赛车的位移为零向量.(2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正n边形,故有n(180°-α)=(n-2)180°,得α=,n为不小于3的整数.。
高二数学向量的练习题
高二数学向量的练习题一、基础练习1. 已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求向量a + b的坐标表示。
2. 已知向量a = (2, -1)和向量b = (-3, 5)，求向量a - b的坐标表示。
3. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (2, 3)，求向量a · b的结果。
4. 已知向量a = (3, 4)，求向量a的模长。
5. 求向量(4, 1)的单位向量。
二、向量运算1. 已知向量a = (5, -2)和向量b = (-3, 1)，求向量a + 2b的坐标表示。
2. 已知向量a = (2, 4)，向量b = (-3, 1)，和向量c = (0, -2)，求向量a + b - c的坐标表示。
3. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (2, 3)，求向量a · b + 2a的结果。
4. 若向量a的模长为5，向量b的模长为3，且向量a与向量b的夹角为45度，求向量a · b的结果。
5. 求向量(3, 4)的模长，并求与该向量夹角为60度的单位向量。
三、平面向量与几何应用1. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 3)，C(2, 6)，求向量AB和向量BC的坐标表示。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1, 1)，B(5, 1)，C(5, 4)，D(1, 4)，求向量AB + 向量BC + 向量CD + 向量DA的坐标表示。
3. 若平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(3, 2)，且向量CD的坐标表示为(4, 1)，求向量AB的坐标表示。
4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(2, 3)，向量AB的坐标表示为(-1, 4)，求向量BC的坐标表示。
5. 已知平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(3, 4)，向量CD的坐标表示为(1, 2)，求平行四边形的面积。
四、向量的投影1. 已知向量a = (3, 5)和向量b = (1, -2)，求向量a在b方向上的投影的坐标表示。
高中向量练习题
高中向量练习题在高中数学学习中，向量是一个重要的概念。
向量不仅仅是一个有大小和方向的量，它还具有多种运算法则，能够帮助我们解决很多几何和代数问题。
本文将为大家提供几个高中向量练习题，帮助大家加深对向量的理解和运用。
练习一：向量的模和方向角1. 已知向量AB = (-3, 4)，求向量AB的模和方向角。
解析:向量AB的模可以通过勾股定理求得：|AB| = √((-3)^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5向量AB的方向角可以根据三角函数求得：tanθ = y/x = 4/(-3)θ = arctan(4/(-3)) ≈ -0.93 弧度练习二：向量的加法和减法2. 已知向量AC = (2, -1) 和向量CB = (4, 3)，求向量AB的坐标表示和模。
解析:向量AB = 向量AC + 向量CB = (2 + 4, -1 + 3) = (6, 2)向量AB的模可以通过勾股定理求得：|AB| = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10练习三：向量的数量积3. 已知向量A = (2, 3) 和向量B = (4, -1)，求向量A与向量B的数量积。
解析:向量A与向量B的数量积可以通过坐标分量对应相乘再相加求得：A·B = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5练习四：向量的夹角4. 已知向量A = (2, 4) 和向量B = (-3, 5)，求向量A与向量B的夹角。
解析:向量A与向量B的夹角可以通过向量的数量积和模的关系求得：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)= (2 * (-3) + 4 * 5) / (√(2^2 + 4^2)* √((-3)^2 + 5^2))= (-6 + 20) / (√20 * √34)= 14 / (2√5 * √34)= 7 / (√5 * √17)= 7√17 / 5√17= √17 / 5θ = arccos(√17 / 5) ≈ 0.36 弧度练习五：向量的共线与垂直5. 已知向量A = (-2, 3) 和向量B = (4, -6)，判断向量A和向量B是否共线，并求其是否垂直。
人教版高中数学向量练习题
一、选择题；1、若a ,b ,c 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）A 、a b b a +=+B 、()a b a b λλλ+=+ C 、()()a b c a b c ++=++ D 、b a λ=2、已知向量a =（1，1，0），则与a 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（22，22，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6495、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ） Ａ．2Ｂ．2-Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．129、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）Ａ． Ｃ．210、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）。
最新人教版高中数学《平面向量》精选习题(含答案解析)
最新人教版高中数学《平面向量》精选习题（含答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( )A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π26．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( )A ．－4B ．4C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )A ．－45B ．－35C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16. 如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时， (1)c ∥d ；(2)c ⊥d.19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．参考答案与解析1．B [∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.]2．C [∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b |a ＋b |＝|a －b |.∴a ·b ＝0.]3．A [∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0，∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.]4．A [∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]5．C [∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.]6．B [由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④.]7．A [向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.]8．B [∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.]9．C [设△ABC 边BC 的中点为D ，则S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP＝2ADAP .∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABC S △ABP＝3.]10．B [AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.]11．B [由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a－4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.]12．B [若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．] 13．2解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7.15．2x －3y －9＝0解析 设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.16．－12解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12.∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12.17．解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－1，∴θ＝180°.18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914.19．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°.(2)∵|a |＝1，|b |＝22，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22，又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55.即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55.20．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.21．证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. ∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .22．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，∴OP 1→·OP 2→＝－12，cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。
高三向量练习题及答案
高三向量练习题及答案向量是数学中重要的概念之一，它广泛应用于各个领域，尤其在几何学和物理学中。
本文将为高三学生提供一些向量练习题，并附上详细的答案和解析，以帮助他们更好地理解和掌握向量的相关知识。
1. 练习题一已知向量A = (3, -2) 和向量B = (-1, 4)，求向量A + B的结果。
答案解析：向量A + B的结果等于将A和B的对应分量相加，所以A +B = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。
2. 练习题二已知向量C = (5, -3) 和向量D = (-2, 1)，求向量C - D的结果。
答案解析：向量C - D的结果等于将C和D的对应分量相减，所以C -D = (5 - (-2), -3 - 1) = (7, -4)。
3. 练习题三已知向量E = (2, 5)，求向量E的模长。
答案解析：向量E的模长等于它的分量平方和的平方根，所以|E| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29。
4. 练习题四已知向量F = (3, -4)，求向量F的单位向量。
答案解析：向量F的单位向量等于将F除以它的模长，所以F的单位向量 = (3/|F|, -4/|F|) = (3/5, -4/5)。
5. 练习题五已知向量G = (1, 2) 和向量H = (3, -1)，求向量G和向量H的数量积。
答案解析：向量G和向量H的数量积等于将G和H的对应分量相乘，然后再相加，所以G·H = (1 * 3) + (2 * (-1)) = 3 - 2 = 1。
6. 练习题六已知向量I = (2, -3) 和向量J = (-4, 5)，求向量I和向量J的向量积。
答案解析：向量I和向量J的向量积等于将I和J的对应分量相乘，然后再相减，所以I × J = (2 * 5) - ((-3) * (-4)) = 10 - 12 = -2。
通过以上的练习题，我们可以看到向量的运算方法和性质。
高三向量练习题
高三向量练习题在高中数学学习中，向量是一个重要的概念。
向量不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、计算机科学等领域也有重要作用。
掌握向量的基本概念和运算规则对于高三学生来说至关重要。
本文将通过一系列练习题，帮助读者巩固和加深对高三向量的理解。
1. 请计算向量a = (3, 4)与向量b = (-1, 2)的和。
解析：向量的和等于两个向量对应分量的和。
a +b = (3 + (-1), 4 + 2)= (2, 6)2. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, -4)，求它们的数量积。
解析：向量的数量积等于两个向量对应分量的乘积再求和。
a ·b = 1 * 3 + 2 * (-4)= 3 - 8= -53. 向量的模长是什么？请计算向量a = (3, 4)的模长。
解析：向量的模长就是向量的长度，可以通过勾股定理求得。
向量a的模长= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 54. 如果向量a = (2, 3)与向量b的数量积等于0，求向量b。
解析：当两个向量的数量积等于0时，可以推出它们的两个分量的乘积之和等于0。
2b1 + 3b2 = 0化简得到b1 = -3/2 * b2可取b2 = 2，则b1 = -3。
因此，向量b = (-3, 2)。
5. 已知向量a = (4, 3)和向量b的模长等于5，且向量a与向量b夹角为60°，求向量b。
解析：根据向量的数量积公式和余弦定理可以求得向量b的模长和分量。
由于|a| * |b| * cosθ = a · b，其中θ是向量a和向量b之间的夹角。
已知|a| = √(4^2 + 3^2) = 5已知|b| = 5已知θ = 60°，cosθ = cos60° = 1/2因此，(5) * (5) * (1/2) = (4, 3) · b解之得到b = (2, 4/3)。
通过以上练习题的分析和解答，我们可以进一步加深对高三向量的理解。
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一、选择题；
1、若a ,b ,c 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）
A 、a b b a +=+
B 、()
a b a b λλλ+=+ C 、()()
a b c a b c ++=++ D 、b a λ=
2、已知向量a =（1，1，0），则与a 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（
22，2
2
，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-
Ｂ．9
Ｃ．9-
Ｄ．
649
5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8
9
，则λ=（ ） Ａ．2
Ｂ．2-
Ｃ．2-或
2
55
Ｄ．2或255
-
6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，
则D 的坐标为（ ） Ａ．7412
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，
7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）
Ａ．60°
Ｂ．90°
Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ）
Ｃ．12
9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角
P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）
Ａ． Ｃ．2
10、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）。
A.
63 B.552 C.155 D.10
5
二、填空题：
11、若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a = 。
12、已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b += 。
13、已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量
12
53
OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A
B C ，，共面，那么λ= 。
14、在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 。
15、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，15==BC AC ，AA 1=6，E 为AA 1的中点，则平面EBC 1与平面ABC 所成的二面角的大小为_____ ___。
三、解答题：
16、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,。
（1）试用c b a ,,表示出向量BM ； （2）求BM 的长。
M
P
D
C
B
A
17、设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y == 与向量()1,1,1c =的夹
角都等于45︒。
(1)求11x y +和11x y ⋅的值； (2)求,a b 的大小。
18、如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小。
19、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=1，，AB 1与
A 1
B 相交于点D ，M 为B 1
C 1的中点。
（1）求证：C
D ⊥平面BDM ；
（2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小。
20、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB=a ，E 为PB 的中点。
（1）求异面直线PD 与AE 所成的角的大小；
（2）在平面PAD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ； （3）在（2）的条件下求二面角F —PC —E 的大小。
21、平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当
1
CD
CC 的值为多少时，1
AC ⊥面1C BD ？请予以证明。