周波函数的统计解释(1)

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量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学

➢Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量叠加性->干涉,衍射(V)
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波函数的统计解释

波函数的统计解释在经典力学中，我们可以准确地跟踪粒子的位置和速度，因此可以明确地描述粒子的位置和运动。

然而，量子力学表明，在微观尺度上，粒子不能准确地同时拥有确定的位置和动量。

代替位置和动量，我们用波函数来描述粒子的状态。

波函数是一个复数函数，它包含了有关粒子的全部信息。

波函数本身并没有实际物理意义，而是通过它的平方来得到概率分布。

具体来说，波函数的模方给出了在不同位置或状态上找到粒子的概率。

设想一个简单的例子，一个自由粒子在一维空间中运动。

我们可以用一个波函数ψ(x)来描述粒子在不同位置x处的概率分布。

在这种情况下，波函数的模方，ψ(x)，²表示在位置x处找到粒子的概率。

在量子力学中，我们用概率波给出了粒子的运动方式。

当我们对粒子进行测量时，波函数会坍缩到一个确定的状态上，这个状态是与测量结果相对应的。

比如，在上述自由粒子的例子中，当我们在一些位置x处进行测量时，波函数会坍缩到只在这个位置上有非零值的状态上。

这就意味着，在测量后，我们可以确定粒子在这个位置x上。

波函数的统计解释也包括了不确定性原理的概念。

根据不确定性原理，位置和动量不能同时被准确地测量。

如果我们知道粒子的位置，我们对其动量的测量将有不确定性，并且相反地，如果我们知道粒子的动量，我们对其位置的测量也将是不确定的。

这是由于波函数的局域性和不连续性导致的。

值得注意的是，波函数的统计解释并不是唯一的解释。

历史上，有多种对波函数的解释，如哥本哈根解释和波函数坍缩解释等。

而且，波函数的实际物理意义仍然是一个有待深入研究的问题。

总结起来，波函数的统计解释是量子力学中一种描述粒子概率分布的工具。

通过波函数的模方，我们可以得到粒子在不同位置或状态上的概率分布。

波函数的统计解释还涉及到不确定性原理，指出了位置和动量不能同时被准确地测量的事实。

然而，波函数的具体物理意义仍然是一个待解决的问题。

波函数PPT课件

作代换：px x，px x0，则
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
13
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )
x x0 x x0
x0 x0
(x
x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有：
—函数亦可写成 Fourier 积分形式：令 k=px/ , dk= dpx/ , 则性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
p
x
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) .
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
ei[
E
x
E
x
]t
px * ( x) px ( x)dx
(
px
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )

量子力学教程-周世勋-第二章波函数

在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。

波函数的统计解释

有关实验：
子弹水波光波
｝｛双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？

波函数及其统计解释

却变大了。
根据右图可粗估
与的关系。
得
即
考虑到高于一级仍会有电子出现
取
通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明
和
不可能
同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种
客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克
常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。
真空或介质
电子云
纵向分辨率达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，
控使保持不变。针尖的空间坐标的变化
及反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
连续单值有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
某粒子的波函数为
归一化波函数
算例
概率密度概率密度最大的位置
不考虑物质的波粒二象性经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念是否存在一个
量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态波函数
量子力学中的

波函数的统计解释

01
02
03
概率幅
波函数描述了一个量子系统在特定状态下的概率幅，即系统处于某个状态的可能性。
概率分布
通过平方模长计算，可以得到系统处于某个状态的概率分布，即波函数的模长的平方。
叠加态
当一个量子系统同时处于多个状态时，波函数描述了系统在各个状态下的概率分布。
波函数的期望值和方差
期望值
通过波函数，可以描述量子纠缠现象，以及量子纠缠在信息传递和处理中的应用。
量子密钥分发
波函数可以用于实现量子密钥分发，提高通信安全性。
05 结论
对波函数统计解释的理解
波函数是描述微观粒子状态的函数，它包含了粒子的所有信息。
波函数的统计解释认为，在多次测量中，波函数的描述是有效的，但在单次测量中，无法确定粒子
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过将波函数与可观测量算符进行内积运算，可以得到该可观测量在量子系统中的期望值。
方差
方差描述了量子系统可观测量的不确定性，即测量结果偏离期望值的程度。
测量误差
由于量子系统的波动性，测量误差与方差有关，方差越大，测量误差越大。
波函数的测量问题
测量过程
测量不确定性
当对一个量子系统进行测量时，系统会与测量仪器发生相互作用，导致波函数发生塌缩。
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得它们的状态是相互依赖的。
波函数可以用来描述纠缠态，即多个粒子之间的关联状态。例如，两个自旋处于纠缠态的粒子，一个粒子的自旋状态改变，另一个粒子的自旋状态也会立即改变。
04 波函数的统计解释的应用
在原子和分子物理中的应用

波函数的统计诠释

波函數的統計詮釋現在，讓我們回頭再來看薛丁格的波動力學。

其實，當時在波動力學中還存在一個懸而未決的大問題，這就是波動方程式中包含的波函數ψ的物理意義究竟是什麼。

最初，薛丁格認為ψ函數負數模的平方式電荷的密度，這就好像電子分解成電子雲似的。

但是，哥本哈根的物理學家們並沒有像接受薛丁格的理論那樣給以讚賞。

與之相反，薛丁格對波函數的解釋遭到波耳的批評和反對。

波耳邀請薛丁個到家中討論這個問題，最後，兩人馬拉松式的討論竟把薛丁格累得病倒在波耳家中。

然而，主人卻堅持在床頭繼續與薛丁格討論。

波耳既善良熱情又很有涵養，可是在及其重要的物理學問題面前，他實在難以抑制激情。

1926年，玻恩把薛丁格波動方程用於量子力學散射過程，從而提出了波函數的統計詮釋（statistical interpretation）。

玻恩是當時享有盛名的物理學家，他1882年12月11日生於普魯士，1907年獲哥廷根大學博士學位，1921年起任該校物理系主任。

玻恩不但個人成就卓越，對學生和晚輩的提攜更是不遺餘力，海森伯、泡利等人都曾是他的研究助手。

希特勒上台後，玻恩被迫流亡英國，先後在劍橋大學和愛丁堡大學任教。

1953年退休後，波恩回到了德國，直到1970年1月5日逝世。

玻恩在1926年發表的一篇論文中指出，薛丁格波函數是一種機率振幅（probability amplitude），它的絕對值的平方對應於測量到的電子的機率分佈。

直到這時，波函數的物理含意才變得明確了。

不過，一個力學理論竟然給出了機率，這簡直是太令人震驚了！在電子的繞射圖中，底片上暗環實際上就是許多電子集中到達的地方，亮環處就是電子幾乎沒有到達過的位置。

按繞射環的半徑統計出每個環中電子留下的黑斑數目，物理學家馬上就發現，以環的半徑為橫座標、相應半徑的黑斑數為縱座標作的圖，其形狀與光以及X射線繞射的密度分佈曲線相同。

這是偶然的巧合，還是另有什麼深刻的含意呢？由於這一分佈曲線也呈波的形狀，而且對應的是電子射中底片某點的機率，玻恩建議把這種波命名為機率波。

波函数及其统计解释

上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样，与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来，并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数二、波函数的统计解释三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功，但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。

波函数及其统计解释

5
动量分布概率（1）
设子设有平出动面pr现量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其问中题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定微观粒子的状态可以被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般满足连续性、有限性和单值性三个条件。说明：波函数一般是粒子坐标和时间的复函数，波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释粒子的动量分布不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。由平面波公式 Asin(kxt)

波函数及其统计解释资料课件

特点
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函数，它可以表示出量子态的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示出某个物理量的概率分布，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相关，测量会导致波函数塌缩，进而影响后续的测量结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望

量子力学波函数的统计解释

波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维
空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等
波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子
的运动速度。
3
§2.1 波函数的统计解释（续3）
必须注意
称为几率密度(概率密度)
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概概波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）
设粒子状态由波函数 (r , t) 描述，波的强度是
(r ,t) 2 *(r ,t)(r ,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的概率
dW (r ,t) C2 (r ,t) 2 d
这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运
动的一种统计规律性，波函数 r,t 有时也称为概率幅。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个
原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation

波函数的统计解释

波函数的统计解释
在波函数的统计解释中，波函数的平方（ψ^2）被解释为找到某个特
定状态的概率。

换句话说，ψ^2描述了一个量子系统存在于某个特定状
态的可能性。

以一个粒子的波函数为例，假设该粒子的波函数为ψ(某)，描述了
位置某上粒子的状态。

则ψ(某)^2表示在位置某上找到该粒子的概率。

这意味着在测量时，粒子出现在位置某的概率正比于ψ(某)^2、这类似
于经典物理中的概率分布函数。

波函数的统计解释还可以扩展到描述多个粒子系统。

例如，对于一个
由两个粒子组成的体系，波函数可以写为ψ(某1,某2)，其中某1和某2
分别表示第一个和第二个粒子的位置。

则ψ(某1,某2)^2表示在位置(某1,某2)同时找到这两个粒子的概率。

需要注意的是，波函数的统计解释是概率性的，并不意味着该粒子一
定会出现在波函数ψ(某)^2所描述的某个位置。

测量时，粒子只会选择
一个位置出现，但在模拟大量实验的统计平均下，粒子出现在该位置的概
率就是ψ(某)^2。

值得一提的是，波函数的统计解释并不适用于所有的量子物理现象。

在一些特殊情况下，例如量子叠加态和量子纠缠态，波函数的统计解释可
能不足以完全描述系统的行为。

这些情况涉及到更复杂的概念，如量子态
的叠加和观测等。

总而言之，波函数的统计解释是量子力学中描述量子系统状态和行为
的重要概念。

它通过平方波函数得到一个量子系统在某个状态的概率分布。

这一解释提供了量子力学研究和实验预测的基础，为我们更好地理解量子世界提供了工具。

波函数的统计诠释的概念

波函数的统计诠释的概念波函数的统计诠释是量子力学中描述微观粒子行为的一种理论解释。

波函数是量子力学中的基本概念，它可以描述粒子的位置、动量以及相应的概率分布。

波函数的统计诠释是指通过波函数的模的平方来描述粒子在不同位置的概率分布，而不是用经典物理学中的确定性描述。

在经典物理学中，我们可以用牛顿运动定律来描述物体的运动规律，而量子力学中的波函数则描述了微观粒子的运动规律。

波函数的统计诠释认为，粒子的物理状态在某一给定时刻是不确定的，而只能用概率来描述。

通常情况下，粒子的运动状态由波函数表示，波函数的平方的绝对值表示了粒子在不同位置上的概率。

波函数的统计诠释最早由德国物理学家马克斯·玻恩（Max Born）于1926年提出。

他通过研究波动方程和波函数的性质，得出了波函数的平方表示了测量粒子位置的概率密度。

根据这一理论，波函数的平方的绝对值越大，粒子在该位置出现的概率就越大。

这就解释了为什么在双缝干涉实验中，粒子在干涉条纹上的概率更大，而在暗区的概率很小。

波函数的统计诠释揭示了微观粒子行为的非经典性质。

在经典物理学中，粒子的位置和动量是可以同时确定的，而量子力学中却存在不确定原理的限制，即海森堡不确定性原理。

根据不确定性原理，我们无法完全确定粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。

这就意味着，我们无法预测粒子在某一时刻的确切位置和动量，只能通过波函数的统计诠释来获得它们的概率分布。

波函数的统计诠释也带来了量子纠缠和量子隐形传态等奇特现象。

由于波函数的统计诠释，当两个或多个粒子处于量子纠缠态时，它们之间的相互作用会导致它们的状态处于相关的状态。

这就意味着，当我们测量其中一个粒子的状态时，另一个粒子的状态也会瞬间塌缩到与之相关的状态上。

这种现象违反了经典物理学中的因果关系，被称为“量子非局域性”。

波函数的统计诠释还揭示了量子测量的本质。

根据量子测量原理，当我们对粒子的某一物理量进行测量时，其波函数将塌缩到与测量结果相对应的本征态上。

第4讲2波函数统计解释态叠加原理

振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
返回
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
返回
状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
返回
描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，

波函数的统计解释

波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。

波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。

1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。

例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。

这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。

2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。

这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。

这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。

3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。

根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。

这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。

4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。

例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。

通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。

5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。

通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。

测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。

这一解释与量子力学的测量原理密切相关。

需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。

例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。

波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。

总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。

它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。

1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。

如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。

由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。

）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。

由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。

首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。

,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。

波函数的统计解释习题

1
1
− ikr
∂t
2. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3. 证明正负电子对不可能湮灭成为一个光子。
2
14. 求具有确定动量的自由粒子的概率流密度。 15. 求概率流密度
1
(由于时间因子e − iω ⋅t 对概率流密度没有贡献，略写) ψ 1 = eikr (2) ψ 2 = e r r 根据计算结果，说明 ψ 1 ,ψ 2 分别是向外和向内传播的球面波。 (1) 16. 证明在定态中，概率流密度与时间无关。 17. 判断正误：(1) 定态 S 方程的解 ψ(r) 是定态波函数。 (2) 根据态叠加原理定态 S 方程的的两个解 ψ1(r), ψ2(r) 的线性叠加仍然是该方程的解。 (二) 补充题 ∂ , p → −i ∇, 导出自由粒子相对论性的克来因-戈登方程。 1. 用代换 E → i
量子力学习题集
卢大海北京大学物理学院第四章计算题参考解答
一. 波函数及其统计解释 (一) 训练底线题 1. 为什么看不到宏观粒子的波动性？以微尘：m =10 −12克，v =1 cm /秒，子弹：m =20克， v =500 m /秒为例，计算它们的 de Broglie 波长，说明波动可以忽略不计。 2. 为什么在量子力学中要放弃粒子轨道的概念？ 3. 在经典力学和量子力学中，粒子的状态各用什么描写？谈谈你的理解。 4. 为什么量子力学中的波函数可以归一化？经典波如声波、电磁波等可以归一化吗？ 5.在球坐标中粒子的波函数为 ψ(r,θ,ϕ,t)，求在 t 时刻 (1)在球壳 (r, r+dr) 中找到粒子的概率。(2) 在(θ,ϕ)方向的立体角 dΩ = sinθdθdϕ 中找到粒子的概率。 6. 计算归一化常数 nπ 证明 ( x + a ) (| x |< a) A sin ψ(x) = 2a

波函数的统计意义

波函数的统计意义
1 波函数的统计意义
波函数（wave function）又称幅值函数，是统计学研究中用来描
述两个变量之间关系的函数，它是一种统计度量指标，主要表现出两
个变量之间的关联性。

波函数用来反映研究对象的发展趋势、描述变
量的对立关系以及衡量变量之间的关联度等，更有助于加深人们对研
究对象的理解。

波函数通常表示为一个实数函数，其数学表达式由参数x和参数y （也就是两个要进行分析的变量）组成，即: f(x,y)。

它考虑的是从
某一点出发，以法线和x轴分别为正、反向的两个曲线的受影响的程度。

对于某一点来说，波函数的值代表了正曲线和反曲线的相对比例。

以社会学中的社会变量为例：某地的社会发展水平与人均收入、
人均住房面积及文化水平有关，当地社会发展水平只要考虑到以上三
个因素就可以完全用波函数来描述。

举例来说，当地社会发展水平分别对于人均收入、人均住房面积
及文化水平有不同程度的受影响，而波函数就可以表达出这三个因素
在影响地方社会发展水平时哪个因素被主导及相对比例，从而找出影
响社会发展水平的主要因素，从而为提高地方社会发展提供科学的决
策依据。

因此，波函数在统计学研究中是非常重要的指标，它可以为人们了解各种变量之间的联系提供一种科学的视角，更有助于加深人们对研究对象的理解。